Uno dei concetti base più importanti della teoria della probabilità è il concetto di variabile casuale.

Una variabile casuale è una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere un valore o un altro, e non si sa in anticipo quale.

Esempi di variabili casuali:

1) numero di colpi con tre colpi;

2) il numero di chiamate ricevute al centralino al giorno;

3) tasso di successo con 10 colpi.

In tutti e tre questi esempi, le variabili casuali possono assumere valori separati e isolati che possono essere enumerati in anticipo.

Quindi, nell'esempio 1) questi valori sono:

nell'esempio 2):

nell'esempio 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Tali variabili casuali, che assumono solo valori distinti che possono essere enumerati in anticipo, sono chiamate variabili casuali discontinue o discrete.

Esistono altri tipi di variabili casuali, ad esempio:

1) ascissa del punto di impatto allo sparo;

2) errore nella pesatura del corpo su bilance analitiche;

3) la velocità dell'aeromobile nel momento in cui raggiunge una determinata quota;

4) il peso di un chicco di grano preso a caso.

I possibili valori di tali variabili casuali non sono separati gli uni dagli altri; riempiono continuamente un certo divario, che a volte ha confini chiaramente definiti e, più spesso, confini vaghi e vaghi.

Tali variabili casuali, i cui possibili valori riempiono continuamente un certo intervallo, sono chiamate variabili casuali continue.

Il concetto di variabile casuale gioca un ruolo molto importante nella teoria della probabilità. Se la teoria “classica” della probabilità operava principalmente con gli eventi, allora la moderna teoria della probabilità preferisce, ove possibile, operare con variabili casuali.

Diamo esempi di metodi di transizione dagli eventi alle variabili casuali tipiche della teoria della probabilità.

Viene eseguito un esperimento a seguito del quale alcuni eventi possono apparire o meno. Al posto dell'evento possiamo considerare una variabile casuale, che è pari a 1 se l'evento si verifica e pari a 0 se l'evento non si verifica. La variabile casuale è ovviamente discontinua; ha due valori possibili: 0 e 1. Questa variabile casuale è chiamata variabile casuale caratteristica dell'evento. In pratica, spesso risulta più conveniente operare con le loro caratteristiche variabili casuali invece che con gli eventi. Ad esempio, se vengono condotti una serie di esperimenti, in ognuno dei quali è possibile il verificarsi dell'evento, il numero totale di occorrenze dell'evento è pari alla somma delle variabili casuali caratteristiche dell'evento in tutti gli esperimenti. Quando si risolvono molti problemi pratici, l'utilizzo di questa tecnica risulta essere molto conveniente.

D'altra parte, molto spesso per calcolare la probabilità di un evento risulta conveniente associare tale evento a qualche tipo di variabile casuale continua (o sistema di variabili continue).

Consideriamo, ad esempio, le coordinate di un oggetto O per costruire un punto M, raffigurante questo oggetto in una panoramica (scansione) dell'area. Siamo interessati al caso in cui l'errore R nella posizione del punto M non superi il valore specificato (Fig. 2.4.1). Indichiamo errori casuali nella misurazione delle coordinate di un oggetto. Ovviamente l'evento equivale ad un punto casuale M di coordinate ricadenti in una circonferenza di raggio con centro nel punto O. In altre parole, affinché l'evento si verifichi, le variabili casuali e devono soddisfare la disuguaglianza

La probabilità di un evento non è altro che la probabilità che la disuguaglianza (2.4.1) venga soddisfatta. Questa probabilità può essere determinata se le proprietà delle variabili casuali sono note.

Una tale connessione organica tra eventi e variabili casuali è molto caratteristica della moderna teoria della probabilità, che, ove possibile, si sposta dallo “schema degli eventi” allo “schema delle variabili casuali”. Quest'ultimo schema, rispetto al primo, è un apparato molto più flessibile e universale per risolvere problemi legati a fenomeni casuali.

Valore casuale- questa è una quantità che, come risultato dell'esperimento, assume uno dei tanti valori e l'aspetto dell'uno o dell'altro valore di questa quantità non può essere previsto con precisione prima della sua misurazione.

Formale definizione matematica la seguente: sia uno spazio di probabilità, allora una variabile casuale è una funzione misurabile rispetto alla σ-algebra di Borel su . Il comportamento probabilistico di una variabile casuale individuale (indipendente dagli altri) è completamente descritto dalla sua distribuzione.

Definizione [modifica]

Spazio degli eventi elementari

Lo spazio degli eventi elementari nel caso del lancio di un dado

Quando viene lanciato un dado, la faccia superiore risultante può essere una delle sei facce con un numero di punti compreso tra uno e sei. La perdita di qualsiasi vantaggio in questo caso nella teoria della probabilità è chiamata evento elementare

L'insieme di tutti i volti forma uno spazio di eventi elementari, i cui sottoinsiemi sono detti eventi casuali. Nel caso del lancio di un dado una volta, sono esempi di eventi

Algebra degli eventi

Un insieme di eventi casuali forma un'algebra degli eventi se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Se invece della terza condizione soddisfa un'altra condizione: l'unione di una sottofamiglia numerabile di appartiene anche a , allora l'insieme degli eventi casuali forma una σ-algebra degli eventi.

L'algebra degli eventi è un caso speciale della σ-algebra degli insiemi.

La più piccola tra tutte le algebre possibili, i cui elementi sono tutti intervalli sulla retta reale, è detta σ-algebra di Borel sull'insieme dei numeri reali.

Probabilità

Se ad ogni evento elementare è associato un numero per il quale la condizione è soddisfatta:

quindi si considera che le probabilità degli eventi elementari siano date. La probabilità di un evento, come sottoinsieme numerabile dello spazio degli eventi elementari, è definita come la somma delle probabilità di quegli eventi elementari che appartengono a questo evento. Il requisito della contabilizzazione è importante perché altrimenti l'importo non verrà determinato.

Consideriamo un esempio per determinare la probabilità di vari eventi casuali. Ad esempio, se un evento è un insieme vuoto, la sua probabilità è zero:

Se un evento è uno spazio di eventi elementari, allora la sua probabilità è uguale a uno:

La probabilità di un evento (un sottoinsieme dello spazio degli eventi elementari) è uguale alla somma delle probabilità di quegli eventi elementari che l'evento in questione include.

Definizione di variabile casuale [modifica]

Una variabile casuale è una funzione misurabile rispetto alla σ-algebra di Borel su .

Una variabile casuale può essere definita in un altro modo equivalente. Una funzione è detta variabile casuale se, per qualsiasi numero reale e un insieme di eventi tale che , appartiene .

Esempi [modifica]

uguale alla media aritmetica di tutti i valori accettati.

.

,

cioè, l'aspettativa matematica non è definita.

Classificazione

Le variabili casuali possono assumere valori discreti, continui e discreto-continui. Di conseguenza, le variabili casuali sono classificate in discrete, continue e discrete-continue (miste).

Nello schema di test è possibile definire sia una variabile casuale separata (unidimensionale/scalare) sia un intero sistema di variabili casuali unidimensionali interconnesse (multidimensionale/vettoriale).

• Un esempio di variabile casuale mista è il tempo di attesa al passaggio autostrada in città ad un incrocio incontrollato.
• Negli schemi infiniti (discreti o continui), conviene descrivere quantitativamente i risultati inizialmente elementari. Ad esempio, i numeri di gradazione dei tipi di incidenti quando si analizzano gli incidenti stradali; tempo di attività del dispositivo durante il controllo qualità, ecc.
• I valori numerici che descrivono i risultati degli esperimenti potrebbero non necessariamente caratterizzare i singoli risultati elementari nello schema di test, ma corrispondere anche ad alcuni eventi più complessi.

Da un lato, più valori numerici che devono essere analizzati insieme possono essere associati contemporaneamente a uno schema di test e ai singoli eventi in esso contenuti.

• Ad esempio, le coordinate (ascissa, ordinata) di una sorta di esplosione di proiettili quando si spara contro un bersaglio terrestre; dimensioni metriche (lunghezza, larghezza, ecc.) delle parti durante il controllo qualità; risultati di una visita medica (temperatura, pressione, polso, ecc.) durante la diagnosi del paziente; Dati del censimento della popolazione (per età, sesso, reddito, ecc.).

Poiché i valori delle caratteristiche numeriche degli schemi di test corrispondono ad alcuni eventi casuali nello schema (con le loro determinate probabilità), allora questi valori stessi sono casuali (con le stesse probabilità). Pertanto, tali caratteristiche numeriche sono solitamente chiamate variabili casuali. In questo caso, la distribuzione delle probabilità secondo i valori di una variabile casuale è chiamata legge della distribuzione di una variabile casuale.

Metodi di descrizione [modifica]

È possibile specificare parzialmente una variabile casuale, descrivendo così tutte le sue proprietà probabilistiche come una variabile casuale separata, utilizzando la funzione di distribuzione, la densità di probabilità e la funzione caratteristica, determinando le probabilità dei suoi possibili valori. La funzione di distribuzione F(x) è la probabilità che i valori della variabile casuale siano inferiori al numero reale x. Da questa definizione segue che la probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo

Una variabile casuale, in generale, può assumere valori in qualsiasi spazio misurabile. Quindi è più spesso chiamato vettore casuale o elemento casuale. Per esempio,

Vedi anche [modifica]

• Processo casuale
• Funzione di distribuzione
• Valore atteso

Note [modifica]

1. 1 2 Chernova N.I. Capitolo 1. § 2. Teoria elementare della probabilità // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: Stato di Novosibirsk. università, 2007. - 160 pag.
2. Chernova N.I. Capitolo 3. § 1. Algebra e sigma-algebra degli eventi // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: Stato di Novosibirsk. università, 2007. - 160 pag.
3. Chernova N.I. CAPITOLO 1 § 2. Teoria elementare della probabilità // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: Stato di Novosibirsk. università, 2007. - 160 pag.
4. 1 2 Chernova N.I. Capitolo 6. Variabili casuali e loro distribuzioni § 1. Variabili casuali // Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: Stato di Novosibirsk. università, 2007. - 160 pag.

Letteratura

• Gnedenko B.V. Corso di teoria della probabilità. - 8a ed. aggiungere. e corr. - M.: Editoriale URSS, 2005. - 448 p.
• Matematico Dizionario enciclopedico/Cap. ed. Prokhorov Yu.V.. - 2a ed. - M.: “Enciclopedia sovietica”, 1998. - 847 p.
• Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Analisi statistica e sintesi di dispositivi e sistemi di radioingegneria. - Libro di testo per le università. - M.: Radio e Comunicazioni, 1991. - 608 p. - ISBN 5-256-00789-0
• Chernova N.I. Teoria della probabilità. - Esercitazione. - Novosibirsk: Stato di Novosibirsk. università, 2007. - 160 pag.

Definizione. Una variabile casuale è una quantità che, come risultato di un esperimento, assume un valore qualsiasi tra i suoi numerosi valori possibili ed è impossibile prevedere quale prima dell'esperimento.

Variabili casuali sono, ad esempio, il numero di punti ottenuti lanciando un dado, il numero di visitatori in una farmacia durante il giorno, il numero di mele su un albero, ecc.

Le variabili casuali sono anche la temperatura di un paziente in un momento della giornata selezionato a caso, la massa di una compressa di un determinato farmaco selezionata a caso, l'altezza di uno studente selezionato a caso, ecc.

DI

tuttavia, da un punto di vista matematico, esiste una differenza fondamentale tra variabili casuali come, ad esempio, il numero di visitatori in farmacia durante il giorno (denotiamo questa variabile casuale X 1) e l'altezza di uno studente selezionato casualmente da un certo gruppo di studenti (valore X 2), vale a dire: per il valore X 1, si possono elencare tutti i suoi possibili valori (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), mentre per il valore X 2 ciò non è possibile in quanto tale valore, a seguito della misura, può assumere qualsiasi valore del segmento , Dove

e - rispettivamente, l'altezza minima e massima degli studenti nel gruppo.

Le variabili casuali sono solitamente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino - X, Y, Z, ecc., E i loro possibili valori - mediante corrispondenti lettere minuscole con indici numerici. Ad esempio, i valori della variabile casuale x sono indicati come segue: x 1, x 2, x 3, ecc.

Il concetto di variabili aleatorie discrete e continue

Definizione. Una variabile casuale si dice discreta se l'insieme di tutti i suoi possibili valori rappresenta un insieme di valori finito o infinito, ma necessariamente numerabile, cioè un insieme i cui elementi possono essere (almeno teoricamente) numerati e scritti in la sequenza appropriata.

Definizione. Una variabile casuale si dice continua se l'insieme dei suoi possibili valori rappresenta un intervallo finito o infinito dell'asse numerico.

Sulla base di queste definizioni, vengono utilizzate le variabili casuali sopra elencate, come il numero di punti ottenuti lanciando un dado, il numero di visitatori in farmacia durante il giorno, il numero di mele. albero sono variabili casuali discrete, e come la temperatura di un paziente a una determinata ora del giorno, il peso di una compressa di un determinato farmaco selezionata casualmente, l'altezza di uno studente selezionato casualmente sono variabili continue.

Variabili casuali discrete

Diamo uno sguardo più da vicino variabili casuali discrete e, di regola, limiteremo la nostra considerazione a tali variabili casuali per le quali il numero di valori possibili è finito.

L'informazione più completa su una variabile casuale discreta è fornita dalla legge di distribuzione di questa variabile.

Definizione. La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è la corrispondenza tra tutti i possibili valori di questa variabile casuale e le loro probabilità corrispondenti.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è spesso specificata sotto forma di una tabella a due righe, la prima riga della quale elenca tutti i possibili valori di questo valore (solitamente in ordine crescente) e la seconda riga elenca le probabilità corrispondenti a questi valori nella Tabella 1:

Esempio 2. Ci sono dieci gruppi di studenti, rispettivamente di 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 e 11 studenti. Elabora una legge di distribuzione per una variabile casuale X, definita come il numero di studenti in un gruppo selezionato casualmente.

Soluzione. I possibili valori della variabile casuale considerata X sono i seguenti (in ordine crescente):

8, 9, 10, 11 e 12.

Poiché la variabile casuale X assume il valore 8, se il gruppo selezionato casualmente è un gruppo di 8 studenti (chiamare questo evento A), la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore
, è uguale alla probabilità di questo evento casuale:
.

La probabilità di un evento casuale A secondo la definizione classica di probabilità è uguale a
poiché su 10 gruppi, due hanno 8 studenti ciascuno.

Quindi, per il valore di probabilità otteniamo:

.

Allo stesso modo, puoi trovare le probabilità dei restanti valori della variabile casuale X:

che permette di stilare la legge di distribuzione desiderata (Tabella 2):

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta può anche essere specificata utilizzando una formula che permette di determinare la probabilità corrispondente per ogni possibile valore di questa variabile.

Variabili aleatorie discrete e continue

Di norma, durante la fabbricazione dei prodotti, il processo di produzione è influenzato da molti fattori diversi, a seguito dei quali vi è una dispersione nei valori degli indicatori di qualità del prodotto. Pertanto, gli indicatori della qualità dei prodotti fabbricati o dei servizi forniti dovrebbero essere considerati variabili casuali.

Variabile casuale è una quantità che, a seguito di prove effettuate entro un certo intervallo, può assumere valori numerici diversi (secondo STB GOST R 50779.10, una variabile casuale è una variabile che può assumere qualsiasi valore da un dato insieme di valori ed è associata a una distribuzione di probabilità).

Variabili casuali discrete sono quelli che, a seguito del test, possono assumere solo valori separati e isolati e non possono assumere valori intermedi tra loro. Ad esempio, il numero di parti inutilizzabili in un lotto può essere solo un numero intero positivo 1, 2, 3, ecc., ma non può essere 1,3; 1.7, ecc.

Variabile casuale continua è una quantità che, a seguito di un test, può assumere qualsiasi valore numerico da una serie continua di valori possibili entro un certo intervallo.

Ad esempio, le dimensioni reali dei pezzi lavorati su una macchina sono variabili casuali di tipo continuo, poiché possono assumere qualsiasi valore numerico entro certi limiti.

La capacità delle variabili casuali di assumere determinati valori numerici durante il test viene valutata utilizzando le probabilità.

Viene chiamato un insieme di valori di variabili casuali disposti in ordine crescente che indicano le loro probabilità per ciascun valore distribuzione delle variabili casuali (secondo STB GOST R La distribuzione 50779.10 è una funzione che determina la probabilità che una variabile casuale assuma un dato valore o appartenga a un dato insieme di valori).

La distribuzione di una variabile casuale può essere presentata in forma tabellare, grafica e utilizzando stime statistiche.

Quando si presenta la distribuzione di una variabile casuale in forma tabellare, ciascun numero dell'unità di produzione in esame (numero di misurazione) corrisponde al valore dell'indicatore di qualità per questa unità di produzione (risultato della misurazione).

Quando si rappresenta la distribuzione di una variabile casuale in forma grafica, viene disegnato un grafico di distribuzione nelle coordinate del valore della variabile casuale - la probabilità (frequenza, frequenza) del valore della variabile casuale.

La figura seguente mostra i grafici della distribuzione delle variabili casuali discrete e continue.

Figura - Grafico della distribuzione di una variabile casuale discreta

Figura - Grafico della distribuzione di una variabile casuale continua

Esistono distribuzioni teoriche ed empiriche di variabili casuali. Nelle distribuzioni teoriche, i possibili valori di una variabile casuale vengono stimati utilizzando le probabilità e nelle distribuzioni empiriche, utilizzando frequenze o frequenze ottenute a seguito di test.

Quindi, distribuzione empirica di una variabile casuale è un insieme dei suoi valori sperimentali, disposti in ordine crescente, che indica le frequenze o le frequenze per ciascuno dei valori (secondo STB GOST R 50779.10 distribuzione di frequenza è una relazione empirica tra i valori di una caratteristica e le sue frequenze o le sue frequenze relative).

Tavolo. Un esempio di rappresentazione tabellare della distribuzione teorica di una variabile casuale discreta

Graficamente, la distribuzione empirica di una variabile casuale discreta può essere rappresentata come: grafico a barre , formato da un insieme di colonne di uguale larghezza, le cui altezze sono proporzionali alle frequenze dei valori discreti di una variabile casuale.

Figura: grafico a barre di una variabile casuale discreta.

Se la variabile casuale è continua, sorgono alcune difficoltà nel rappresentarne la distribuzione sotto forma di tabella o grafico. Pertanto, in pratica, quando si studiano variabili casuali di tipo continuo, i valori ottenuti vengono divisi in intervalli uguali in modo che il valore dell'intervallo sia leggermente maggiore dell'errore di misurazione del valore studiato. Quindi le frequenze vengono calcolate non dai valori effettivi della variabile casuale, ma da intervalli. Pertanto, la tabella della distribuzione empirica di una variabile casuale di tipo continuo avrà la seguente forma.

Tavolo. Distribuzione empirica di una variabile casuale di tipo continuo.

Intervallo di valori X	Significato aritmetico	Frequenza F io	Frequenza M io
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		F io = 100	M io = 1

La distribuzione empirica di una variabile continua casuale può essere rappresentata graficamente sotto forma di un istogramma di distribuzione, un poligono di frequenza o un poligono di frequenza cumulativa.

Istogramma di distribuzione è un insieme di rettangoli adiacenti, le cui basi sono uguali agli intervalli di partizione di una variabile casuale continua, e le aree sono proporzionali alle frequenze con cui i valori della variabile casuale cadono in questi intervalli (secondo STB GOST R 50779.10 grafico a barre (distribuzione) è una rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza per una caratteristica quantitativa, formata da rettangoli adiacenti, le cui basi sono intervalli di classe e le aree sono proporzionali alle frequenze di queste classi).

Figura - Istogramma della distribuzione di una variabile continua casuale.

Poligono di frequenza è una linea spezzata ottenuta collegando punti le cui ascisse sono uguali ai punti medi degli intervalli di partizione e le ordinate sono uguali alle frequenze corrispondenti.

Figura - Poligono di frequenze di valore continuo casuale.

Cumulativo poligonale frequenze è una linea spezzata ottenuta collegando punti le cui ascisse sono uguali ai limiti superiori degli intervalli di partizione e le ordinate sono frequenze cumulative o frequenze cumulative (frequenze relative cumulative).

Figura - Poligono di frequenze cumulative di una variabile continua casuale.

Nelle descrizioni teoriche di variabili casuali di tipo continuo viene utilizzata la funzione di distribuzione. La distribuzione teorica di una variabile casuale continua può essere rappresentata graficamente come integrale, integrale inverso, differenziale funzioni e funzioni di distribuzione intensità.

Sia X una variabile casuale e x un numero reale (in questo caso X< х ). Evento X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

Viene chiamato F(X). funzione distributiva probabilità variabile casuale o funzione di distribuzione cumulativa.

Per una variabile casuale discreta, la funzione di distribuzione cumulativa F(X) può essere facilmente determinata da una tabella o da un grafico.

Pertanto, per l'esempio sopra della distribuzione di una variabile casuale discreta (a X< 4):

F(X) = à( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Il grafico della funzione di distribuzione cumulativa di una variabile casuale discreta apparirà come una curva a gradini. Le ordinate della curva per qualsiasi valore di X rappresenteranno la somma delle probabilità dei valori precedenti.

Figura - Funzione di distribuzione cumulativa di una variabile casuale discreta

La probabilità che una variabile casuale durante il test si trovi entro i limiti di due valori dati x 1 e x 2 (x 2 > x 1) è uguale all'incremento della funzione integrale in questa sezione, ovvero

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Se passiamo all'esempio sopra della distribuzione di una variabile casuale discreta, allora per x1 = 2 e x2 = 3:

Р(2≤Х≤3) = Р(Х< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Per una variabile casuale continua, il grafico della funzione di distribuzione cumulativa apparirà come una curva monotonicamente crescente. In pratica, la funzione di distribuzione cumulativa viene utilizzata per determinare le frequenze di distribuzione teoriche.

Figura - Funzione di distribuzione cumulativa

variabile casuale continua

La funzione di distribuzione cumulativa inversa è uguale alla differenza tra l'unità e la funzione di distribuzione cumulativa.

Densità di distribuzione (funzione di distribuzione differenziale) una variabile casuale è chiamata derivata prima della funzione di distribuzione cumulativa:

Per una descrizione analitica di una variabile casuale continua nella teoria dell'affidabilità, si utilizza funzione di intensità , pari al rapporto tra la funzione di distribuzione differenziale e la funzione di distribuzione integrale inversa:

Figura - Funzione di intensità di una variabile casuale continua.

Argomento 3.

Variabili casuali e funzioni di distribuzione

Il concetto di variabile casuale.

Il concetto di variabile casuale

Funzione di distribuzione di una variabile casuale, sue proprietà

Variabili casuali con distribuzione discreta

Il concetto di variabile casuale con distribuzione discreta

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta.

Esempi di distribuzioni discrete

Variabili aleatorie con distribuzione assolutamente continua

Il concetto di variabile casuale con distribuzione assolutamente continua

La legge di distribuzione di una variabile casuale assolutamente continua. Densità, sue proprietà

Esempi di distribuzioni assolutamente continue

Il concetto di vettore casuale.

Concetto di vettore casuale

Variabili casuali indipendenti

Distribuzione congiunta di variabili aleatorie

Il concetto di variabile casuale.

Dall'emergere della teoria della probabilità, il suo compito principale è stato quello di studiare non le proprietà probabilistiche degli esperimenti con risultati casuali, ma le quantità numeriche associate a questi esperimenti, che è naturale chiamare variabili casuali. Ad esempio, potremmo essere interessati non alle coppie di numeri sulle facce superiori dei cubi, ma alla loro somma; il numero di successi o il numero di fallimenti prima del primo successo nello schema di Bernoulli.

Spesso in letteratura si possono trovare varianti alla seguente definizione: Variabile casuale detta grandezza variabile, la quale, a seconda dell'esito della prova, assume valori che dipendono dal caso.

Pertanto, una variabile casuale è un valore numerico il cui valore dipende da quale particolare risultato (elementare) si è verificato come risultato di un esperimento con un risultato casuale. Viene chiamato l'insieme di tutti i valori che può assumere una variabile casuale insieme di possibili valori di questa variabile casuale.

Daremo una definizione più rigorosa, poiché il concetto di variabile casuale è uno di quei concetti chiave che collegano la teoria della probabilità con l'analisi matematica e costituiscono la base concettuale della statistica matematica.

Definizione. Variabile casualeè una funzione X = X(ω), definita sullo spazio degli eventi elementari Ω, per la quale l’evento (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Condizione (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из UN. Inoltre, attraverso eventi (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Commento. Pertanto, una variabile casuale è una funzione, il cui dominio è lo spazio degli eventi elementari Ω, e l'insieme dei valori è un insieme numerico, possibilmente l'intero insieme dei numeri reali R.

La σ-algebra degli eventi A è il dominio della probabilità se la consideriamo come una funzione.

Commento . “Il termine “variabile casuale” è alquanto impreciso; il termine “Funzione Case” sarebbe più appropriato; la variabile indipendente è un punto nello spazio degli eventi elementari, cioè l’esito di un esperimento o di un caso”. (W. Feller “Introduzione alla teoria della probabilità”, cap. IX)

Le variabili casuali sono indicate con le lettere dell'alfabeto greco:(xi),(eta), o con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino X, Y, ... Scriveremo i valori di una variabile casuale in la forma di una sequenza finita o infinita X 1 ,X 2 ,, X N,; y1,y2,,y N ,

Commento . In precedenza abbiamo introdotto il concetto di probabilità in relazione a determinati eventi. Passiamo ora a parlare di funzioni. L'evento più ovvio che può essere associato al concetto di funzione è la sua accettazione di un qualche valore (specifico o appartenente ad un intervallo)

Per studiare le proprietà probabilistiche di una variabile casuale, è necessario conoscere una regola che permetta di trovare la probabilità che una variabile casuale assuma un valore da un sottoinsieme dei suoi valori. Qualsiasi regola di questo tipo viene chiamata legge della distribuzione di probabilità o distribuzione (probabilità) di una variabile casuale.(in questo caso, la parola “probabilità” viene solitamente omessa)

La legge generale di distribuzione inerente a tutte le variabili casuali è funzione distributiva.

Definizione. L’intero insieme di probabilità P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает legge di distribuzione della variabile casuale X V caso generale. Spesso, per brevità, la legge della distribuzione di una variabile casuale è chiamata semplicemente distribuzione di una variabile casuale.

Definizione. Funzione F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется funzione di distribuzione della variabile casuale X.

Il valore della funzione di distribuzione nel punto x è uguale alla probabilità dell'evento (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Di solito diciamo che il valore della funzione di distribuzione in un punto x è uguale alla probabilità che la variabile casuale X assuma un valore inferiore a x.

Dal punto di vista geometrico, ciò significa quanto segue: F(x) è la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore rappresentato da un punto sulla linea numerica situata a sinistra del punto x.

Commento . Viene anche chiamata la funzione di distribuzione funzione integrale, o legge integrale distribuzione della variabile casuale X

La funzione di distribuzione è la seguente proprietà:

0≤ F(x)≤1 (poiché, per definizione, la funzione di distribuzione è una probabilità)

F(x 1) ≤ F(x 2) per x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 come x → - ∞ , lim F(x) = 1 come x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) è una funzione continua sinistra, cioè F(x) = F(x - 0), dove F(x - 0) = lim F(y) come y → x - 0 (limite sinistro)

Commento . Per evidenziare a quale variabile casuale appartiene la funzione di distribuzione F(x), a questa funzione viene talvolta assegnato un pedice che denota una variabile casuale specifica. Ad esempio, FX(x) = P(X< х}

Commento. In alcune pubblicazioni, la funzione di distribuzione è definita come F(x) = P(X ≤ x). Questa definizione non cambia nulla essenzialmente del concetto di funzione di distribuzione; cambia solo l'ultima, la quinta proprietà. La funzione in questo caso risulta essere continua giusta.

Digressione: “Cos’è una funzione?”

Diamo due insiemi X e Y, e Y è un insieme numerico. E sia data una regola f, secondo la quale ogni elemento (punto) dell'insieme X è associato a (uno e uno solo) elemento (numero) dell'insieme Y. La regola f, insieme agli insiemi X e Y, definire la funzione f. La notazione y=f(x) significa che la regola f è stata applicata a un punto x dell'insieme X e di conseguenza abbiamo ottenuto un punto y dall'insieme Y. X è chiamato argomento (variabile indipendente) e y è il valore (variabile dipendente) della funzione f nel punto X. L'insieme X è chiamato dominio di definizione (dominio di definizione) della funzione; si dice che la funzione è definita su questo insieme; l'insieme Y è chiamato insieme dei valori della funzione. L'insieme X non è necessariamente un insieme numerico. Pertanto, una variabile casuale è una funzione definita su uno spazio non numerico di eventi elementari.

VARIABILI CASUALI

Una quantità casuale è una quantità che, a seguito di un test, assumerà uno ed un solo valore possibile, e quale di essi non è noto in anticipo.

La discreta è una variabile casuale che assume valori possibili separati e isolati con determinate probabilità.

La continua è una variabile casuale che può assumere tutti i valori da un intervallo finito o infinito.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è la corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità. Questa legge è data sotto forma di tabella, formula o grafico.

Per le variabili casuali discrete, una delle più comunemente utilizzate è la cosiddetta legge della distribuzione binomiale, che porta allo schema di ripetizione del test di Bernoulli. La formula (8) è l'espressione analitica di questa legge.

Esempio 11.

Un messaggio viene trasmesso su un canale di comunicazione utilizzando un codice composto da due caratteri. La probabilità che appaia il primo è 2/3. Sono stati trasmessi tre caratteri. Trova la legge di distribuzione per le occorrenze del primo carattere.

Soluzione.

Per condizione N=4, R=2/3, Q=1/3. Possibili valori per il numero di apparizioni del primo carattere: 0, 1, 2 e 3. Troviamo le loro probabilità utilizzando la formula (8):

Questa legge può essere presentata sotto forma di tabella

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Una funzione di distribuzione è una funzione che determina la probabilità che una variabile casuale X a seguito del test il valore risulterà inferiore X, questo è

Dal punto di vista geometrico, ciò significa che una variabile casuale con probabilità R assumerà il valore rappresentato sull'asse dei numeri da un punto situato a sinistra X.

Per una variabile casuale continua, la funzione di distribuzione è una funzione continua differenziabile a tratti. Le proprietà di base derivano dalla definizione:

1. I valori della funzione di distribuzione appartengono al segmento, cioè

2. F(X) è una funzione non decrescente, cioè se

3. La probabilità che una variabile casuale assuma un valore contenuto nell'intervallo [ un, b[, pari all'incremento della funzione di distribuzione su questo intervallo

Per una variabile casuale continua, la probabilità di accettare un singolo valore è zero. Pertanto, per variabili casuali continue

Esempio 12.

Valore casuale X dato dalla funzione di distribuzione

Trova la probabilità che come risultato del test X assumerà il valore appartenente al segmento [-1; 0,5].

Soluzione.

Ne consegue dalla condizione che Xè una variabile casuale continua che può assumere valori da 0 a 1.

Densità di probabilità continuo variabile casuale X chiamare la derivata prima della funzione di distribuzione

Funzione di distribuzione F(x)è uno degli antiderivativi per la densità di distribuzione. Sulla base della definizione di legge di densità o distribuzione differenziale e della sua relazione con la funzione di distribuzione, è facile mostrare le seguenti proprietà:

1. La densità di distribuzione di una variabile casuale continua è una funzione non negativa

2. Probabilità di colpire una variabile casuale X nell'intervallo è uguale a

(16)

3. Dalla proprietà 2 otteniamo un'espressione per la funzione di distribuzione

(17)

4. Condizione di normalizzazione

(18)

Esempio 13. Quantità discreta X dato dalla tabella

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Trova la funzione di distribuzione e costruisci il suo grafico.

Soluzione.

1. Se , allora , da allora X non può essere inferiore a 2.

In questo caso, nell'intervallo (-¥, X) esiste un solo valore della variabile casuale X (X=2). Ecco perché

Per qualsiasi valore dell'argomento X funzioni F(x), soddisfacendo questa disuguaglianza, nell'intervallo (-¥, X) colpisce due valori di una variabile casuale ( X=2 e X=3). Perché gli eventi che X accetterà che i valori indicati siano incoerenti (o X=2 o X=3), quindi

4. Allo stesso modo se

Pertanto, la funzione di distribuzione avrà la forma

Rappresentazione grafica della funzione di distribuzione

Riso. 1 - Grafico della funzione di distribuzione

variabile casuale discreta

Esempio 14. Densità di distribuzione degli errori di misura

LEGGE DI DISTRIBUZIONE E CARATTERISTICHE

VARIABILI CASUALI

Variabili casuali, loro classificazione e metodi di descrizione.

Una quantità casuale è una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere un valore o un altro, ma di cui non è noto in anticipo. Per una variabile casuale, quindi, è possibile specificare solo valori, uno dei quali verrà preso sicuramente come risultato dell'esperimento. Nel seguito chiameremo questi valori valori possibili della variabile casuale. Poiché una variabile casuale caratterizza quantitativamente il risultato casuale di un esperimento, può essere considerata una caratteristica quantitativa di un evento casuale.

Le variabili casuali sono solitamente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio X..Y..Z, e i loro possibili valori con lettere minuscole corrispondenti.

Esistono tre tipi di variabili casuali:

discreto; Continuo; Misto.

Discretoè una variabile casuale il cui numero di possibili valori forma un insieme numerabile. A sua volta un insieme i cui elementi possono essere numerati è detto numerabile. La parola "discreto" deriva dal latino discretus, che significa "discontinuo, costituito da parti separate".

Esempio 1. Una variabile casuale discreta è il numero di parti difettose X in un lotto di nprodotti. Infatti, i possibili valori di questa variabile casuale sono una serie di numeri interi da 0 a n.

Esempio 2. Una variabile casuale discreta è il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio. Qui, come nell'Esempio 1, i valori possibili possono essere numerati, anche se nel caso limite il valore possibile è un numero infinitamente grande.

continuoè una variabile casuale i cui possibili valori riempiono continuamente un certo intervallo dell'asse numerico, a volte chiamato intervallo di esistenza di questa variabile casuale. Pertanto, su qualsiasi intervallo finito di esistenza, il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinitamente grande.

Esempio 3. Una variabile casuale continua è il consumo mensile di elettricità di un'impresa.

Esempio 4. Una variabile casuale continua è l'errore nella misurazione dell'altezza utilizzando un altimetro. Si sappia dal principio di funzionamento dell'altimetro che l'errore è compreso tra 0 e 2 m, pertanto l'intervallo di esistenza di questa variabile casuale è l'intervallo tra 0 e 2 m.

Legge di distribuzione delle variabili aleatorie.

Una variabile casuale si considera completamente specificata se i suoi possibili valori sono indicati sull'asse numerico e se viene stabilita la legge di distribuzione.

Legge di distribuzione di una variabile casuale è una relazione che stabilisce una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità corrispondenti.

Si dice che una variabile casuale è distribuita secondo una data legge, o soggetta a una data legge di distribuzione. Come leggi di distribuzione vengono utilizzate una serie di probabilità, funzioni di distribuzione, densità di probabilità e funzioni caratteristiche.

La legge della distribuzione fornisce una descrizione probabile completa di una variabile casuale. Secondo la legge della distribuzione, prima dell'esperimento si può giudicare quali possibili valori di una variabile casuale appariranno più spesso e quali meno spesso.

Per una variabile casuale discreta, la legge di distribuzione può essere specificata sotto forma di tabella, analiticamente (sotto forma di formula) e graficamente.

La forma più semplice per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una tabella (matrice), che elenca in ordine crescente tutti i possibili valori della variabile casuale e le loro probabilità corrispondenti, ad es.

Tale tabella è chiamata serie di distribuzione di una variabile casuale discreta. 1

Gli eventi X 1, X 2,..., X n, consistenti nel fatto che a seguito del test la variabile casuale X assumerà rispettivamente i valori x 1, x 2,... x n incoerenti e gli unici possibili (poiché la tabella elenca tutti i possibili valori di una variabile casuale), cioè formare un gruppo completo. Pertanto, la somma delle loro probabilità è uguale a 1. Pertanto, per qualsiasi variabile casuale discreta

(Questa unità è in qualche modo distribuita tra i valori della variabile casuale, da qui il termine "distribuzione").

La serie di distribuzione può essere rappresentata graficamente se i valori della variabile casuale sono tracciati lungo l'asse delle ascisse e le loro probabilità corrispondenti sono tracciate lungo l'asse delle ordinate. La connessione dei punti ottenuti forma una linea spezzata chiamata poligono o poligono della distribuzione di probabilità (Fig. 1).

Esempio La lotteria comprende: un'auto del valore di 5.000 den. unità, 4 televisori che costano 250 den. unità, 5 videoregistratori del valore di 200 den. unità Vengono venduti un totale di 1000 biglietti per 7 giorni. unità Elaborare una legge di distribuzione per le vincite nette ricevute da un partecipante alla lotteria che ha acquistato un biglietto.

Soluzione. I possibili valori della variabile casuale X - la vincita netta per biglietto - sono pari a 0-7 = -7 soldi. unità (se il biglietto non è stato vinto), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unità (se il biglietto contiene rispettivamente la vincita di un videoregistratore, di una TV o di un'auto). Considerando che su 1000 schedine il numero dei non vincitori è 990, e le vincite indicate sono rispettivamente 5, 4 e 1, e utilizzando la definizione classica di probabilità, otteniamo.

Un'estensione del concetto di eventi casuali, consistente nella comparsa di determinati valori numerici a seguito di un esperimento, è valore casuale X.

Definizione. Casuale chiamano una quantità che, a seguito di un esperimento, assume un solo valore da una parte della loro totalità e non si sa in anticipo quale.

Valore casuale, ad esempio, è un modello ragionevole per descrivere i dati geologici, tenendo conto dell'influenza di vari fattori sul campo fisico.

Come il risultato di un esperimento separato, il valore esatto di una variabile casuale non può essere previsto; si possono solo stabilire i suoi modelli statistici, cioè determinare le probabilità dei valori delle variabili casuali. Ad esempio, le misurazioni Proprietà fisiche rocce sono osservazioni delle corrispondenti variabili casuali.

Tra le variabili casuali che incontra un geologo si possono distinguere due tipologie principali: le variabili discreto e grandezza continuo.

Definizione. Discreto Una variabile casuale è una variabile che può assumere un insieme numerabile finito o infinito.

Esempi tipici di variabile casuale discreta possono essere tutti i risultati del lavoro sul campo, tutti i risultati degli esperimenti, i campioni portati dal campo, ecc.

Tutti i possibili valori di una variabile casuale formano un gruppo completo di eventi, cioè , dove è finito o infinito. Pertanto possiamo dirlo valore casuale generalizza il concetto di evento casuale.

Si ottengano a seguito della ricerca le seguenti serie di dati sulla composizione quantitativa di una determinata roccia: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Sono stati eseguiti un totale di 20 test. Per rendere comodo il lavoro con i dati, questi sono stati trasformati: i valori risultanti sono stati disposti in ordine crescente e è stato contato il numero di occorrenze di ciascun valore. Di conseguenza abbiamo ottenuto (Tabella 7.1):

Definizione. Viene chiamata una distribuzione crescente dei dati classifica.

Definizione. Il valore osservato di qualche attributo di una variabile casuale è chiamato variante.

Definizione. Viene chiamata una serie composta da varianti serie di variazioni.

Definizione. Viene chiamata una modifica in alcuni attributi di una variabile casuale vario.

Definizione. Il numero che mostra quante volte varia una determinata opzione è chiamato frequenza ed è indicato con .

Definizione. Probabilità l'occorrenza di una data variante è pari al rapporto tra la frequenza e la somma totale delle serie di variazioni

(1)

Tenendo conto delle definizioni introdotte, riscriveremo la tabella 7.1.

Tabella 7.2. Serie classificate

Opzione	1	2	3	4	5	6
Frequenza	3	4	3	3	6	1
Probabilità	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

A analisi statistica vengono utilizzati principalmente i dati sperimentali quantità discrete. La Tabella 7.3 mostra le principali caratteristiche numeriche di queste quantità, che hanno un importante significato pratico nell'elaborazione dei dati sperimentali.

Tabella 7.3. Caratteristiche numeriche delle variabili casuali

N pag	Caratteristiche (parametro) di una variabile casuale e sua designazione	Formula per trovare le caratteristiche di una variabile casuale	Nota
1	Valore atteso	(2)	Caratterizza la posizione di una variabile casuale sull'asse dei numeri
2	Valore medio	(3)	Se la variabile casuale è indipendente, allora
3	Moda	Questo è il valore per il quale il più grande	Uguale al valore più frequente. Se nella serie di variazioni sono presenti diversi valori di questo tipo, non viene determinato.
4	Mediano	Se pari, allora Se strano, allora	Questo è il valore che si trova al centro della serie classificata.
5	Dispersione		Caratterizza la dispersione effettiva di una variabile casuale attorno al valore medio.
7	Il coefficiente di variazione	(6)	Insieme alla dispersione, caratterizza la variabilità di una variabile casuale
8	Deviazione normalizzata centrata