Co je náhodná veličina. Kolik hodnot může nabývat diskrétní náhodná proměnná

Jedním z nejdůležitějších základních konceptů teorie pravděpodobnosti je koncept náhodné veličiny.

Náhodná veličina je veličina, která v důsledku experimentu může nabývat té či oné hodnoty a není předem známo, které.

Příklady náhodných proměnných:

1) počet zásahů třemi ranami;

2) počet hovorů přijatých telefonní ústřednou za den;

3) četnost zásahů 10 ran.

Ve všech třech uvedených příkladech mohou náhodné proměnné nabývat samostatných izolovaných hodnot, které lze předem vyčíslit.

Takže v příkladu 1) jsou tyto hodnoty:

v příkladu 2):

v příkladu 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Takové náhodné proměnné, které nabývají pouze hodnot navzájem oddělených, které lze předem vyčíslit, se nazývají nespojité nebo diskrétní náhodné proměnné.

Existují náhodné proměnné jiného typu, například:

1) úsečka bodu dopadu při výstřelu;

2) chyba vážení těla na analytických vahách;

3) rychlost letadla v době dosažení dané nadmořské výšky;

4) náhodně vybraná hmotnost zrna pšenice.

Možné hodnoty takových náhodných proměnných nejsou od sebe odděleny; průběžně zaplňují určitou mezeru, která má někdy ostře ohraničené hranice, a častěji - neurčité, nejasné hranice.

Takové náhodné proměnné, jejichž možné hodnoty plynule vyplňují určitý interval, se nazývají spojité náhodné proměnné.

Koncept náhodné veličiny hraje v teorii pravděpodobnosti velmi důležitou roli. Jestliže „klasická“ teorie pravděpodobnosti operovala hlavně s událostmi, pak moderní teorie pravděpodobnosti preferuje, pokud je to možné, pracovat s náhodnými veličinami.

Uveďme příklady metod přechodu od událostí k náhodným veličinám typických pro teorii pravděpodobnosti.

Provádí se experiment, v jehož důsledku se může nebo nemusí objevit nějaká událost. Místo události můžeme uvažovat náhodnou proměnnou , která se rovná 1, pokud událost nastane, a rovná 0, pokud událost nenastane. Náhodná veličina je zjevně nespojitá; má dvě možné hodnoty: 0 a 1. Tato náhodná veličina se nazývá charakteristická náhodná veličina události. V praxi se často ukazuje jako výhodnější pracovat s jejich charakteristickými náhodnými veličinami namísto událostí. Pokud se například provádí série experimentů, v každém z nich je možný výskyt události, pak se celkový počet výskytů události rovná součtu charakteristických náhodných proměnných události ve všech experimentech. Při řešení mnoha praktických problémů se použití této techniky ukazuje jako velmi výhodné.

Na druhou stranu se velmi často pro výpočet pravděpodobnosti události ukazuje jako vhodné spojit tuto událost s nějakou spojitou náhodnou veličinou (nebo systémem spojitých proměnných).

Necháme například změřit souřadnice nějakého objektu O, abychom sestrojili bod M znázorňující tento objekt na panoramatu (sweepu) oblasti. Zajímá nás událost spočívající v tom, že chyba R v poloze bodu M nepřekročí zadanou hodnotu (obr. 2.4.1). Označme náhodné chyby v měření souřadnic objektu. Je zřejmé, že událost je ekvivalentní zásahu do náhodného bodu M se souřadnicemi uvnitř kruhu o poloměru se středem v bodě O. Jinými slovy, aby k události došlo, náhodné proměnné a musí splňovat nerovnost

Pravděpodobnost události není nic jiného než pravděpodobnost naplnění nerovnosti (2.4.1). Tuto pravděpodobnost lze určit, pokud jsou známy vlastnosti náhodných veličin.

Takové organické spojení mezi událostmi a náhodnými veličinami je velmi charakteristické pro moderní teorii pravděpodobnosti, která, kdekoli je to možné, přechází od „schémy událostí“ ke „schématu náhodných veličin“. Druhé schéma je ve srovnání s prvním mnohem flexibilnějším a univerzálnějším aparátem pro řešení problémů souvisejících s náhodnými jevy.

Náhodná hodnota- jedná se o veličinu, která v důsledku zkušenosti nabývá jedné z mnoha hodnot a výskyt té či oné hodnoty této veličiny před jejím měřením nelze přesně předpovědět.

Formální matematická definice následující: nechť je prostor pravděpodobnosti, pak náhodná veličina je funkce, která je měřitelná vzhledem k a Borel σ-algebra na . Pravděpodobnostní chování samostatné (nezávislé na ostatních) náhodné veličiny je kompletně popsáno jejím rozdělením.

Definice [upravit]

Prostor elementárních událostí [editovat]

Prostor elementárních událostí v případě hodu kostkou

Pokud je vržena kostka, pak může být horní strana jednou ze šesti ploch s počtem teček od jedné do šesti. Ztráta jakékoli tváře se v tomto případě v teorii pravděpodobnosti nazývá elementární událost, tzn

Soubor všech tváří tvoří prostor elementárních událostí, jejichž podmnožiny se nazývají náhodné události. V případě jediného hodu kostkou jsou příklady událostí

Algebra událostí[editovat]

Sada náhodných událostí tvoří algebru událostí, pokud jsou splněny následující podmínky:

Pokud místo třetí podmínky splňuje další podmínku: sjednocení spočetné podrodiny také patří do , pak množina náhodných událostí tvoří σ-algebru událostí.

Algebra událostí je speciální případ σ-algebry množin.

Nejmenší ze všech možných -algeber, jejichž prvky jsou všechny intervaly na reálné čáře, se nazývá Borelova σ-algebra na množině reálných čísel.

Pravděpodobnost [upravit]

Pokud je každé elementární události přiřazeno číslo, pro které je podmínka splněna:

pak se má za to, že pravděpodobnosti elementárních událostí jsou dány. Pravděpodobnost události, jako spočetná podmnožina prostoru elementárních událostí, je definována jako součet pravděpodobností těch elementárních událostí, které k této události patří. Požadavek počitatelnosti je důležitý, protože jinak bude součet nedefinovaný.

Zvažte příklad určení pravděpodobnosti různých náhodných událostí. Pokud je například událost prázdnou množinou, její pravděpodobnost je nulová:

Pokud je událost prostorem elementárních událostí, pak je její pravděpodobnost rovna jedné:

Pravděpodobnost události (podmnožiny prostoru elementárních událostí) je rovna součtu pravděpodobností těch elementárních událostí, které zahrnují uvažovanou událost.

Definice náhodné proměnné [editovat]

Náhodná veličina je funkce měřitelná vzhledem k a Borelově σ-algebře na .

Náhodná veličina může být definována i jiným ekvivalentním způsobem. Funkce se nazývá náhodná proměnná, jestliže pro jakákoli reálná čísla a množinu událostí, jako je , patří.

Příklady [upravit]

se rovná aritmetickému průměru všech přijatých hodnot.

to znamená, že matematické očekávání není definováno.

Klasifikace [upravit]

náhodné proměnné může nabývat diskrétních, spojitých a diskrétně spojitých hodnot. Podle toho se náhodné proměnné dělí na diskrétní, spojité a diskrétně spojité (smíšené).

Na testovacím schématu lze definovat jak samostatnou náhodnou veličinu (jednorozměrná/skalární), tak celý systém jednorozměrných vzájemně souvisejících náhodných veličin (vícerozměrné/vektorové).

Příkladem smíšené náhodné veličiny je čekací doba při průchodu silnice ve městě na neregulované křižovatce.
V nekonečných schématech (diskrétních nebo spojitých) je vhodné kvantitativně popsat již zpočátku elementární výsledky. Například počty gradací typů nehod v analýze silničních nehod; doba provozuschopnosti přístroje pro kontrolu kvality atd.
Číselné hodnoty popisující výsledky experimentů nemusí nutně charakterizovat jednotlivé elementární výstupy v testovacím schématu, ale mohou také odpovídat některým složitějším událostem.

Na jedné straně může být několik číselných hodnot současně spojeno s jedním testovacím schématem a s jednotlivými událostmi v něm, které je třeba analyzovat společně.

Například souřadnice (úsečka, ordináta) nějakého druhu výbuchu projektilu při střelbě na pozemní cíl; metrické rozměry (délka, šířka atd.) součásti pod kontrolou kvality; výsledky lékařského vyšetření (teplota, tlak, puls atd.) při stanovení diagnózy pacienta; údaje ze sčítání lidu (podle věku, pohlaví, bohatství atd.).

Protože hodnoty numerických charakteristik testovacích schémat odpovídají ve schématu některým náhodným událostem (s jejich určitými pravděpodobnostmi), pak jsou tyto hodnoty samy o sobě náhodné (se stejnými pravděpodobnostmi). Proto se takové číselné charakteristiky obvykle nazývají náhodné proměnné. V tomto případě se rozdělení pravděpodobností pro hodnoty náhodné veličiny nazývá zákon rozdělení náhodné veličiny.

Metody popisu[editovat]

Náhodnou veličinu je možné částečně specifikovat a popsat tak všechny její pravděpodobnostní vlastnosti jako samostatnou náhodnou veličinu, pomocí distribuční funkce, hustoty pravděpodobnosti a charakteristické funkce, určující pravděpodobnosti jejích možných hodnot. Distribuční funkce F(x) je pravděpodobnost, že hodnoty náhodné veličiny jsou menší než reálné číslo x. Z této definice vyplývá, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny spadá do intervalu

Náhodná proměnná, obecně řečeno, může nabývat hodnot v jakémkoli měřitelném prostoru. Pak se často nazývá náhodný vektor nebo náhodný prvek. Například,

Viz také [upravit]

náhodný proces
distribuční funkce
Očekávaná hodnota

Poznámky [upravit]

1 2 Černova N. I. Kapitola 1. § 2. Elementární teorie pravděpodobnosti // Teorie pravděpodobnosti. - Tutorial. - Novosibirsk: stát Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 s.
Černova N. I. Kapitola 3. § 1. Algebra a sigma-algebra událostí // Teorie pravděpodobnosti. - Tutorial. - Novosibirsk: stát Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 s.
Černova N. I. KAPITOLA 1 § 2. Elementární teorie pravděpodobnosti // Teorie pravděpodobnosti. - Tutorial. - Novosibirsk: stát Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 s.
1 2 Černova N. I. Kapitola 6. Náhodné veličiny a jejich rozdělení § 1. Náhodné veličiny // Teorie pravděpodobnosti. - Tutorial. - Novosibirsk: stát Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 s.

literatura [editovat]

Gnedenko B.V. Kurz teorie pravděpodobnosti. - 8. vyd. přidat. a správné. - M.: Editorial URSS, 2005. - 448 s.
Matematický encyklopedický slovník/ Ch. vyd. Prochorov Ju. V. - 2. vyd. - M.: "Sovětská encyklopedie", 1998. - 847 s.
Tichonov V.I., Kharisov V.N. Statistická analýza a syntéza radiotechnických zařízení a systémů. - Učebnice pro vysoké školy. - M.: Rozhlas a komunikace, 1991. - 608 s. - ISBN 5-256-00789-0
Černova N. I. Teorie pravděpodobnosti. - Tutorial. - Novosibirsk: stát Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 s.

Definice. Náhodná veličina je taková proměnná, která v důsledku experimentu nabývá libovolnou hodnotu z množiny svých možných hodnot a před experimentem nelze předpovědět kterou.

Náhodné veličiny jsou například počet bodů, které vypadnou při hodu kostkou, počet návštěvníků lékárny během dne, počet jablek na stromě atd.

Náhodné veličiny jsou také teplota pacienta v nějakou náhodně zvolenou denní dobu, hmotnost náhodně vybrané tablety nějakého léku, výška náhodně vybraného studenta atd.

Ó

Z matematického hlediska je však zásadní rozdíl mezi takovými náhodnými veličinami, jako je například počet návštěvníků lékárny během dne (tuto náhodnou veličinu označujeme jako X 1) a růst náhodně vybraného studenta z určitou skupinu studentů (hodnota X 2), konkrétně: pro hodnotu X 1 můžete uvést všechny její možné hodnoty (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), zatímco pro hodnotu X 2, to nelze provést, protože tato hodnota může v důsledku měření nabývat libovolné hodnoty ze segmentu , kde

a - minimální a maximální výška studentů ve skupině.

Náhodné proměnné se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy - X, Y, Z atd., a jejich možnými hodnotami - odpovídajícími malými písmeny s číselnými indexy. Například hodnoty náhodné proměnné x jsou označeny takto: x 1, x 2, x 3 atd.

Pojem diskrétních a spojitých náhodných veličin

Definice. Náhodná proměnná se nazývá diskrétní, pokud množina všech jejích možných hodnot je konečná nebo nekonečná, ale nutně spočetná množina hodnot, tedy taková množina, jejíž všechny prvky lze (alespoň teoreticky) očíslovat a zapsat příslušnou sekvenci.

Definice. Náhodná veličina se nazývá spojitá, pokud množina jejích možných hodnot je nějaký konečný nebo nekonečný interval číselné osy.

Na základě těchto definic mohou být takové náhodné veličiny uvedené výše jako počet bodů, které vypadnou při hodu kostkou, počet návštěvníků lékárny během dne, počet jablek na. strom, jsou diskrétní náhodné proměnné, a jako je teplota pacienta v pevnou denní dobu, hmotnost náhodně vybrané tablety nějakého léku, výška náhodně vybraného studenta, jsou spojité proměnné.

Diskrétní náhodné veličiny

Pojďme se na to podívat blíže diskrétní náhodné proměnné a zpravidla omezíme naši úvahu na takové náhodné veličiny, pro které je počet možných hodnot konečný.

Nejúplnější informaci o diskrétní náhodné veličině dává zákon rozdělení této veličiny.

Definice. Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny je korespondence mezi všemi možnými hodnotami této náhodné veličiny a jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi.

Distribuční zákon diskrétní náhodné proměnné je často specifikován ve formě dvouřádkové tabulky, jejíž první řádek uvádí všechny možné hodnoty této proměnné (zpravidla ve vzestupném pořadí) a druhý řádek uvádí seznam všech možných hodnot této proměnné. pravděpodobnosti odpovídající těmto hodnotám v tabulce 1:

Příklad 2 Existuje deset studentských skupin s 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 a 11 studenty. Napište distribuční zákon pro náhodnou veličinu X, definovanou jako počet studentů v náhodně vybrané skupině.

Řešení. Možné hodnoty uvažované náhodné proměnné X jsou následující (ve vzestupném pořadí):

8, 9, 10, 11 a 12.

Protože náhodná proměnná X nabývá hodnoty 8, je-li náhodně vybranou skupinou skupina 8 studentů (říkejme tomu událost A), pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabude hodnoty
, se rovná pravděpodobnosti této náhodné události:
.

Pravděpodobnost náhodného jevu A v souladu s klasickou definicí pravděpodobnosti je
protože z 10 skupin mají dvě každá 8 studentů.

Pro pravděpodobnost hodnoty tedy dostaneme:

Podobně můžete najít pravděpodobnosti zbývajících hodnot náhodné proměnné X:

což nám umožňuje sestavit požadovaný distribuční zákon (tabulka 2):

Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny lze také specifikovat pomocí vzorce, který umožňuje pro každou možnou hodnotu této proměnné určit odpovídající pravděpodobnost.

Diskrétní a spojité náhodné veličiny

Při výrobě produktů je proces jejich výroby zpravidla ovlivněn mnoha různými faktory, v důsledku čehož dochází k rozptylu hodnot ukazatelů kvality produktu. Ukazatele kvality vyráběných produktů nebo služeb by tedy měly být považovány za náhodné proměnné.

Náhodná proměnná nazývá se taková hodnota, která v důsledku testů v určitém intervalu může nabývat různých číselných hodnot (podle STB GOST R 50779.10 je náhodná proměnná proměnná, která může nabývat libovolné hodnoty z dané množiny hodnot a s níž je spojeno rozdělení pravděpodobnosti).

Diskrétní náhodné veličiny se nazývají ty, které v důsledku testů mohou nabývat pouze samostatné, izolované hodnoty a nemohou nabývat hodnot mezi nimi. Například počet špatných dílů v dávce může být pouze kladné celé číslo 1, 2, 3 atd., ale nemůže být 1,3; 1.7 atd.

Spojitá náhodná veličina nazývá se taková hodnota, která v důsledku testů může nabývat libovolné číselné hodnoty ze souvislé řady jejich možných hodnot v určitém intervalu.

Například skutečné rozměry obráběných součástí jsou náhodné proměnné spojitého typu, protože mohou nabývat jakékoli číselné hodnoty v určitých mezích.

Možnosti náhodných proměnných nabývat určité číselné hodnoty během testů jsou hodnoceny pomocí pravděpodobností.

Soubor hodnot náhodných proměnných, uspořádaných vzestupně, označujících jejich pravděpodobnosti pro každou z hodnot, se nazývá rozdělení náhodných veličin (podle STB GOST R 50779.10 rozdělení je funkce, která určuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude dané hodnoty nebo bude patřit do dané sady hodnot).

Rozdělení náhodné veličiny lze prezentovat v tabulkové, grafické podobě a pomocí statistických odhadů.

Při prezentaci rozdělení náhodné veličiny v tabulkové formě odpovídá každé číslo studované jednotky produkce (číslo měření) hodnotě ukazatele kvality pro tuto jednotku produkce (výsledek měření).

Při prezentaci rozdělení náhodné veličiny v grafické podobě se v souřadnicích vynese graf rozdělení, hodnota náhodné veličiny - pravděpodobnost (četnost, četnost) hodnoty náhodné veličiny.

Níže uvedený obrázek ukazuje grafy rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin.

Obrázek - Graf rozdělení diskrétní náhodné veličiny

Obrázek - Graf rozdělení spojité náhodné veličiny

Existují teoretické a empirické rozdělení náhodných veličin. V teoretických rozděleních se hodnocení možných hodnot náhodné veličiny provádí pomocí pravděpodobností a v empirických rozděleních pomocí frekvencí nebo frekvencí získaných jako výsledek testů.

Tudíž, empirické rozdělení náhodné veličiny je soubor jeho experimentálních hodnot, uspořádaných ve vzestupném pořadí, udávající frekvence nebo frekvence pro každou z hodnot (podle STB GOST R 50779.10 frekvenční rozdělení je empirický vztah mezi hodnotami prvku a jeho frekvencemi nebo jejich relativními frekvencemi).

Stůl. Příklad tabulkového znázornění teoretického rozdělení diskrétní náhodné veličiny

Graficky lze empirické rozdělení diskrétní náhodné veličiny znázornit jako sloupcový graf , tvořený sadou sloupců stejné šířky, jejichž výšky jsou úměrné frekvencím diskrétních hodnot náhodné veličiny.

Obrázek - Sloupcový graf diskrétní náhodné veličiny.

Pokud je náhodná veličina spojitá, pak vznikají určité potíže s prezentací jejího rozdělení ve formě tabulky nebo grafu. Proto se v praxi při studiu náhodných veličin spojitého typu získané hodnoty rozdělují do stejných intervalů tak, že hodnota intervalu je o něco větší než chyba měření studované veličiny. Frekvence se pak nepočítají podle skutečných hodnot náhodné veličiny, ale podle intervalů. Tabulka empirického rozdělení náhodné veličiny spojitého typu bude mít tedy následující podobu.

Stůl. Empirické rozdělení náhodné veličiny spojitého typu.

Hodnotový interval X	Aritmetický průměr	Frekvence F i	Frekvence m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		F i = 100	m i = 1

Empirické rozdělení náhodné spojité proměnné lze graficky znázornit jako distribuční histogram, frekvenční polygon nebo kumulativní frekvenční polygon.

Histogram distribuce je soubor souvislých obdélníků, jejichž základny se rovnají intervalům rozdělení spojité náhodné veličiny a plochy jsou úměrné frekvencím, se kterými hodnoty náhodné veličiny do těchto intervalů spadají (podle STB GOST R 50779.10 sloupcový graf (distribuce) je grafické znázornění rozdělení četností pro kvantitativní charakteristiku, tvořené souvislými obdélníky, jejichž základnami jsou intervaly tříd a plochy jsou úměrné četnostem těchto tříd).

Obrázek - Histogram rozdělení náhodné spojité proměnné.

Frekvenční polygon je přerušovaná čára získaná spojením bodů, jejichž úsečky se rovnají středům rozdělovacích intervalů a pořadnice se rovnají odpovídajícím frekvencím.

Obrázek - Mnohoúhelník frekvencí náhodné spojité veličiny.

Mnohoúhelník kumulativní frekvence je přerušovaná čára získaná spojením bodů, jejichž úsečky se rovnají horním hranicím rozdělovacích intervalů a jejichž pořadnice se rovnají buď kumulativním četnostem, nebo kumulativním četnostem (kumulativní relativní četnosti).

Obrázek - Polygon kumulativních četností náhodné spojité hodnoty.

V teoretických popisech náhodných veličin spojitého typu se používá distribuční funkce. Teoretické rozdělení náhodné spojité proměnné lze graficky znázornit jako integrál, inverzní integrál, diferenciál distribuční funkce a funkce intenzita.

Nechť X je náhodná proměnná a x je nějaké reálné číslo (s X< х ). Událost X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

Zavolá se F(X). distribuční funkce pravděpodobnosti funkce náhodné proměnné nebo integrální distribuční funkce.

Pro diskrétní náhodnou veličinu lze integrální distribuční funkci F(X) snadno určit z tabulky nebo grafu.

Tedy pro výše uvedený příklad rozdělení diskrétní náhodné veličiny (na X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Graf integrální distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny bude vypadat jako stupňovitá křivka. Ordináty křivky pro jakoukoli hodnotu X budou představovat součet pravděpodobností předchozích hodnot.

Obrázek - Integrální distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny

Pravděpodobnost, že náhodná veličina během testování bude v mezích dvou daných hodnot x 1 a x 2 (x 2 > x 1) se rovná přírůstku integrální funkce v této oblasti, tzn.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Pokud se vrátíme k výše uvedenému příkladu rozdělení diskrétní náhodné veličiny, pak pro x1 = 2 a x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Pro spojitou náhodnou veličinu bude graf funkce integrálního rozdělení vypadat jako monotónně rostoucí křivka. V praxi se teoretické distribuční četnosti určují pomocí kumulativní distribuční funkce.

Obrázek - Kumulativní distribuční funkce

spojitá náhodná veličina

Inverzní kumulativní distribuční funkce se rovná rozdílu mezi jednotkovou a kumulativní distribuční funkcí.

Distribuční hustota (diferenciální distribuční funkce) náhodná veličina se nazývá první derivace funkce integrálního rozdělení:

Pro analytický popis spojité náhodné veličiny v teorii spolehlivosti používáme funkce intenzity , rovno poměru funkce diferenciálního rozdělení k funkci inverzního integrálního rozdělení:

Obrázek - Funkce intenzity spojité náhodné veličiny.

Téma 3.

Náhodné veličiny a distribuční funkce

Pojem náhodné veličiny.

Pojem náhodné veličiny

Distribuční funkce náhodné veličiny, její vlastnosti

Náhodné veličiny s diskrétním rozdělením

Pojem náhodné veličiny s diskrétním rozdělením

Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny.

Příklady diskrétních distribucí

Náhodné veličiny s absolutně spojitým rozdělením

Pojem náhodné veličiny s absolutně spojitým rozdělením

Distribuční zákon absolutně spojité náhodné veličiny. Hustota, její vlastnosti

Příklady absolutně spojitých rozdělení

Koncept náhodného vektoru.

Koncept náhodného vektoru

Nezávislé náhodné veličiny

Společné rozdělení náhodných veličin

Pojem náhodné veličiny.

Od vzniku teorie pravděpodobnosti bylo jejím hlavním úkolem studovat nikoli pravděpodobnostní vlastnosti experimentů s náhodnými výsledky, ale číselné veličiny spojené s těmito experimenty, které je přirozené nazývat náhodné proměnné. Například nás nemusí zajímat dvojice čísel na horních stranách kostky, ale jejich součet; počet úspěchů nebo počet neúspěchů před prvním úspěchem v Bernoulliho schématu.

V literatuře často najdete variace na téma následující definice: Náhodná proměnná nazývaná proměnná, která v závislosti na výsledku testu nabývá hodnot, které závisí na případu.

Náhodná veličina je tedy číselná hodnota, jejíž hodnota závisí na tom, k jakému (elementárnímu) výsledku došlo v důsledku experimentu s náhodným výsledkem. Volá se množina všech hodnot, které může náhodná proměnná nabývat množina možných hodnot této náhodné proměnné.

Uvedeme přesnější definici, protože koncept náhodné veličiny je jedním z klíčových konceptů, které spojují teorii pravděpodobnosti s matematickou analýzou a tvoří konceptuální základ matematické statistiky.

Definice. Náhodná proměnná je funkce X = X(ω) definovaná na prostoru elementárních událostí Ω, pro které je událost (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Stav (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из ALE. Kromě toho prostřednictvím událostí (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Komentář. Náhodná proměnná je tedy funkce, jejíž doménou definice je prostor elementárních událostí Ω a množinou hodnot je číselná množina, případně celá množina reálných čísel. R.

σ-algebra událostí A je oborem definice pravděpodobnosti, uvažujeme-li ji jako funkci.

Komentář . „Pojem „náhodná veličina“ je poněkud nepřesný, vhodnější by byl termín „funkce náhody“, nezávislá proměnná je bod v prostoru elementárních dějů, tzn. výsledek experimentu nebo případu. (W. Feller „Úvod do teorie pravděpodobnosti“, kap. IX)

Náhodné proměnné se označují písmeny řecké abecedy:  (xi),  (toto),  nebo velkými písmeny latinské abecedy X, Y, ... Hodnoty náhodné veličiny zapíšeme jako konečná nebo nekonečná posloupnost X 1 ,X 2,, X n,; y 1 , y 2 ,  , y n ,

Komentář . Již dříve jsme zavedli pojem pravděpodobnosti ve vztahu k některým událostem. Nyní přejdeme k povídání o funkcích. Nejzjevnější událostí, která může být spojena s konceptem funkce, je její přijetí nějaké hodnoty (specifické nebo patřící do intervalu)

Pro studium pravděpodobnostních vlastností náhodné veličiny je nutné znát pravidlo, které umožňuje najít pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z podmnožiny jejích hodnot. Každé takové pravidlo se nazývá zákon rozdělení pravděpodobnosti nebo rozdělení (pravděpodobností) náhodné veličiny.(slovo "pravděpodobnost" se obvykle vynechává)

Obecný distribuční zákon vlastní všem náhodným veličinám je distribuční funkce.

Definice. Celá množina pravděpodobností P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает distribuční zákon náhodné veličiny X v obecný případ. Často, pro stručnost, zákon rozdělení náhodné veličiny je jednoduše nazýván rozdělením náhodné veličiny.

Definice. Funkce F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется distribuční funkce náhodné veličiny X.

Hodnota distribuční funkce v bodě x se rovná pravděpodobnosti události (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Obvykle se říká, že hodnota distribuční funkce v bodě x je rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší než x.

Geometricky to znamená následující: F(x) je pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty reprezentované bodem na číselné ose umístěné vlevo od bodu x.

Komentář . Také se nazývá distribuční funkce integrální funkce, neboli integrální zákon rozdělení náhodné veličiny X

Distribuční funkce má následující vlastnosti:

0≤ F(x)≤1 (protože distribuční funkcí je podle definice pravděpodobnost)

F(x 1) ≤ F(x 2) pro x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 jako x → - ∞ , lim F(x) = 1 jako x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) je levá spojitá funkce, tzn. F(x) = F(x - 0), kde F(x - 0) = lim F(y) jako y → x - 0 (levý limit)

Komentář . Aby se zdůraznilo, ke které náhodné veličině distribuční funkce F(x) patří, je této funkci někdy přiřazen dolní index označující určitou náhodnou veličinu. Například F X (x) = P (X< х}

Komentář. V některých publikacích je distribuční funkce definována jako F(x) = P(X ≤ x). Taková definice nic nemění na podstatě pojmu distribuční funkce, mění se pouze poslední, pátá vlastnost. Funkce se v tomto případě ukáže jako správně spojitá.

Odbočka: "Co je to funkce?"

Dostaneme dvě množiny X a Y a Y je číselná množina. A budiž dáno pravidlo f, podle kterého je každý prvek (bod) množiny X spojen s (jediným) prvkem (číslem) množiny Y. Pravidlo f spolu s množinami X a Y definuje funkce f. Zápis y=f(x) znamená, že pravidlo f bylo aplikováno na nějaký bod x množiny X a jako výsledek jsme dostali bod y z množiny Y. X se nazývá argument (nezávislá proměnná) a y je hodnota (závislá proměnná) funkce f v bodě X. Množina X se nazývá doména definice (oblast nastavení) funkce, říká se, že funkce je dána na této množině, množina Y se nazývá množina hodnot funkce. Množina X nemusí být nutně číselná množina. Náhodná veličina je tedy funkce definovaná na nenumerickém prostoru elementárních událostí.

NÁHODNÉ HODNOTY

Náhodná hodnota je veličina, která v důsledku testu nabude pouze jedné možné hodnoty a která není předem známa.

Diskrétní je náhodná proměnná, která nabývá samostatných, izolovaných možných hodnot s určitou pravděpodobností.

Spojitá proměnná je náhodná proměnná, která může nabývat všech hodnot z nějakého konečného nebo nekonečného intervalu.

Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny je korespondence mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostmi. Tento zákon je dán ve formě tabulky, vzorce nebo grafu.

Pro diskrétní náhodné veličiny je jedním z nejčastějších tzv. zákon binomického rozdělení, ke kterému vede Bernoulliho schéma opakování testů. Vzorec (8) je analytickým vyjádřením tohoto zákona.

Příklad 11.

Zpráva je přenášena komunikačním kanálem pomocí kódu sestávajícího ze dvou znaků. Pravděpodobnost výskytu prvního je 2/3. Prošly tři znamení. Najděte distribuční zákon pro výskyty prvního znaménka.

Řešení.

Podle stavu n=4, R=2/3, q= 1/3. Možné hodnoty počtu výskytů prvního znaménka: 0, 1, 2 a 3. Zjistěte jejich pravděpodobnosti pomocí vzorce (8):

Tento zákon lze prezentovat ve formě tabulky

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Distribuční funkce je funkce, která určuje pravděpodobnost náhodné veličiny X jako výsledek testu bude mít hodnotu menší než X, to znamená

Geometricky to znamená, že náhodná veličina s pravděpodobností R bude mít hodnotu, která je na číselné ose znázorněna bodem vlevo X.

Pro spojitou náhodnou veličinu je distribuční funkce spojitá po částech diferencovatelná funkce. Hlavní vlastnosti jsou odvozeny z definice:

1. Hodnoty distribuční funkce patří do segmentu , tzn.

2. F(X) je neklesající funkce, tedy pokud

3. Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty obsažené v intervalu [ a,b[, se rovná přírůstku distribuční funkce na tomto intervalu

Pro spojitou náhodnou veličinu je pravděpodobnost přijetí jediné hodnoty nulová. Tedy pro spojité náhodné veličiny

Příklad 12.

Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí

Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude mít hodnotu patřící segmentu [-1; 0,5].

Řešení.

Z podmínky vyplývá, že X je spojitá náhodná veličina, která může nabývat hodnoty od 0 do 1.

Hustota pravděpodobnosti kontinuální náhodná proměnná X zavolejte první derivaci distribuční funkce

distribuční funkce F(x) je jedním z primitivních derivátů pro hustotu distribuce. Na základě definice hustoty resp diferenciální zákon distribuce a její vztah s distribuční funkcí, je snadné ukázat následující vlastnosti:

1. Hustota rozdělení spojité náhodné veličiny je nezáporná funkce

2. Pravděpodobnost zásahu náhodné veličiny X v intervalu je

(16)

3. Z vlastnosti 2 získáme výraz pro distribuční funkci

(17)

4. Normalizační stav

(18)

Příklad 13 diskrétní hodnotu X dáno tabulkou

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Najděte distribuční funkci a vytvořte její graf.

Řešení.

1. Jestliže , pak , protože X nesmí být menší než 2.

V tomto případě v intervalu (-¥, X) existuje pouze jedna hodnota náhodné veličiny X (X=2). Proto

Pro jakoukoli hodnotu argumentu X funkcí F(x), uspokojení této nerovnosti do intervalu (-¥, X) narazí na dvě hodnoty náhodné proměnné ( X=2 a X=3). Protože události, které X bude akceptovat, že dané hodnoty jsou nekonzistentní (resp X=2 nebo X=3), tedy

4. Podobně, jestliže

Proto bude distribuční funkce vypadat

Sestavíme graf distribuční funkce

Rýže. 1 - Graf distribuční funkce

diskrétní náhodná veličina

Příklad 14. Hustota rozložení chyb měření

ZÁKON ROZDĚLOVÁNÍ A CHARAKTERISTIKY

NÁHODNÉ HODNOTY

Náhodné veličiny, jejich klasifikace a metody popisu.

Náhodná hodnota je veličina, která v důsledku experimentu může nabýt té či oné hodnoty, která však není předem známa. Pro náhodnou veličinu lze tedy zadat pouze hodnoty, z nichž jedna bude nutně nabývat jako výsledek experimentu. Tyto hodnoty budou označovány jako možné hodnoty náhodné proměnné. Protože náhodná veličina kvantitativně charakterizuje náhodný výsledek experimentu, lze ji považovat za kvantitativní charakteristiku náhodné události.

Náhodné proměnné se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy, například X..Y..Z, a jejich možné hodnoty odpovídajícími malými písmeny.

Existují tři typy náhodných proměnných:

oddělený; Kontinuální; Smíšený.

Oddělený taková náhodná proměnná se nazývá, jejíž počet možných hodnot tvoří spočetnou množinu. Počitatelná množina je zase množina, jejíž prvky lze očíslovat. Slovo „diskrétní“ pochází z latinského discretus, což znamená „nesouvislý, skládající se z oddělených částí“.

Příklad 1. Diskrétní náhodná veličina je počet vadných dílů X v dávce nfl. Ve skutečnosti jsou možné hodnoty této náhodné proměnné série celých čísel od 0 do n.

Příklad 2. Diskrétní náhodná veličina je počet výstřelů před prvním zásahem do cíle. Zde, stejně jako v příkladu 1, lze možné hodnoty očíslovat, i když v omezujícím případě je možná hodnota nekonečně velké číslo.

kontinuální se nazývá náhodná veličina, jejíž možné hodnoty plynule vyplňují určitý interval číselné osy, někdy nazývaný interval existence této náhodné veličiny. V jakémkoli konečném intervalu existence je tedy počet možných hodnot spojité náhodné proměnné nekonečně velký.

Příklad 3. Spojitá náhodná veličina je spotřeba elektřiny v podniku za měsíc.

Příklad 4. Spojitá náhodná veličina je chyba v měření výšky pomocí výškoměru. Z principu činnosti výškoměru budiž známo, že chyba leží v rozsahu od 0 do 2 m. Interval existence této náhodné veličiny je tedy interval od 0 do 2 m.

Zákon rozdělení náhodných veličin.

Náhodná veličina je považována za zcela specifikovanou, pokud jsou její možné hodnoty uvedeny na číselné ose a je stanoven distribuční zákon.

Zákon rozdělení náhodné veličiny se nazývá vztah, který vytváří vztah mezi možnými hodnotami náhodné proměnné a odpovídajícími pravděpodobnostmi.

O náhodné veličině se říká, že je rozdělena podle daného zákona nebo podléhá danému zákonu rozdělení. Jako distribuční zákony se používá řada pravděpodobností, distribuční funkce, hustota pravděpodobnosti, charakteristická funkce.

Distribuční zákon poskytuje úplný pravděpodobný popis náhodné veličiny. Podle distribučního zákona lze před zkušeností posoudit, které možné hodnoty náhodné veličiny se budou objevovat častěji a které méně.

Pro diskrétní náhodnou veličinu lze distribuční zákon uvést ve formě tabulky, analyticky (ve formě vzorce) a graficky.

Nejjednodušší formou upřesnění zákona rozdělení diskrétní náhodné veličiny je tabulka (matice), která uvádí vzestupně všechny možné hodnoty náhodné veličiny a jim odpovídající pravděpodobnosti, tzn.

Taková tabulka se nazývá série rozdělení diskrétní náhodné veličiny. jeden

Události X 1 , X 2 ,..., X n , spočívající v tom, že náhodná veličina X nabude v důsledku testu hodnot x 1 , x 2 ,... x n, resp. , jsou nekonzistentní a jediné možné (protože tabulka uvádí všechny možné hodnoty náhodné veličiny), tzn. vytvořit kompletní skupinu. Proto je součet jejich pravděpodobností roven 1. Tedy pro libovolnou diskrétní náhodnou veličinu

(Tato jednotka je nějakým způsobem rozdělena mezi hodnoty náhodné proměnné, odtud termín „distribuce“).

Distribuční řadu lze zobrazit graficky, pokud jsou hodnoty náhodné proměnné vyneseny podél osy x a jejich odpovídající pravděpodobnosti podél osy pořadnice. Spojení získaných bodů tvoří lomenou čáru, nazývanou polygon nebo polygon rozdělení pravděpodobnosti (obr. 1).

Příklad Hraje se loterie: auto v hodnotě 5000 denů. jednotky, 4 televizory v hodnotě 250 den. jednotka, 5 videorekordérů v hodnotě 200 den. Jednotky Celkem se prodalo 1000 vstupenek za 7 den. Jednotky Vypracujte zákon o rozdělení čisté výhry obdržené účastníkem loterie, který si zakoupil jeden tiket.

Řešení. Možné hodnoty náhodné veličiny X - čisté výhry na tiket - jsou 0-7 = -7 den. Jednotky (pokud tiket nevyhrál), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. Jednotky (pokud tiket vyhrál videorekordér, televizor nebo auto). Vzhledem k tomu, že z 1000 tiketů je počet nevýherců 990 a udávané výhry jsou 5, 4 a 1 a za použití klasické definice pravděpodobnosti dostáváme.

Rozšíření konceptu náhodných událostí, které spočívá ve výskytu určitých číselných hodnot v důsledku experimentu, je náhodná hodnota X.

Definice. Náhodný nazývají veličinu, která v důsledku experimentu nabývá pouze jedné hodnoty z nějaké jejich totality a která není předem známa jakou.

Náhodná hodnota, je například rozumný model pro popis geologických dat s přihlédnutím k vlivu různých faktorů na fyzikální pole .

Stejně jako výsledek samostatného experimentu nelze předpovědět přesnou hodnotu náhodné veličiny, lze pouze stanovit její statistické vzorce, tzn. určit pravděpodobnosti hodnot náhodné veličiny. Například měření fyzikální vlastnosti skály jsou pozorování odpovídajících náhodných veličin.

Mezi náhodnými proměnnými, se kterými se geolog musí vypořádat, lze rozlišit dva hlavní typy: oddělený a množství kontinuální.

Definice. Oddělený Náhodná proměnná je taková, která může nabývat konečné nebo nekonečné spočítatelné množiny hodnot.

Jako typické příklady diskrétní náhodné veličiny mohou být všechny výsledky terénních prací, všechny výsledky experimentů, vzorky přivezené z terénu atp.

Všechny možné hodnoty náhodné veličiny tvoří ucelenou skupinu událostí, tzn. , kde je konečný nebo nekonečný. Proto lze říci, že náhodná hodnota zobecňuje pojem náhodné události.

Nechť se jako výsledek výzkumu získá následující řada údajů o kvantitativním složení určitého plemene: 4; 3; jeden; 2; 5; čtyři; 2; 2; 3; jeden; 5; čtyři; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Bylo provedeno celkem 20 testů. Aby bylo možné s daty pohodlně pracovat, byly transformovány: získané hodnoty byly uspořádány vzestupně a byl vypočten počet výskytů každé z hodnot. V důsledku toho jsme dostali (tabulka 7.1):

Definice. Vzestupné rozdělení dat se nazývá žebříčku.

Definice. Pozorovaná hodnota nějakého znaku náhodné veličiny se nazývá varianta.

Definice. Série tvořená variantou se nazývá variační řada.

Definice. Změna některého znaménka náhodné veličiny se nazývá pestrý.

Definice. Číslo, které ukazuje, kolikrát se daná varianta mění, se nazývá frekvence a označuje se .

Definice. Pravděpodobnost výskyt této možnosti se rovná poměru četnosti k celkovému množství variační řady

(1)

S přihlédnutím k zavedeným definicím přepíšeme tabulku 7.1.

Tabulka 7.2. seřazený řádek

Volba	1	2	3	4	5	6
Frekvence	3	4	3	3	6	1
Pravděpodobnost	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

V Statistická analýza experimentální data se používají především diskrétní veličiny. V tabulce 7.3 jsou uvedeny hlavní číselné charakteristiky těchto veličin, které mají velký praktický význam při zpracování experimentálních dat.

Tabulka 7.3. Numerické charakteristiky náhodných veličin

N p / p

Charakteristika (parametr) náhodné veličiny a její označení

Vzorec pro zjištění charakteristik náhodné veličiny

Poznámka

Očekávaná hodnota