Ang linyang dumadaan sa puntong K(x 0; y 0) at kahanay ng linyang y = kx + a ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya.

Alternatibong formula:
Ang linyang dumadaan sa puntong M 1 (x 1 ; y 1) at kahanay ng linyang Ax+By+C=0 ay kinakatawan ng equation

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Halimbawa #1. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (-2.1) at sa parehong oras:
a) parallel sa tuwid na linya 2x+3y -7 = 0;
b) patayo sa linya 2x+3y -7 = 0.
Solusyon . Katawanin natin ang slope equation bilang y = kx + a . Upang gawin ito, inililipat namin ang lahat ng mga halaga maliban sa y sa kanang bahagi: 3y = -2x + 7 . Pagkatapos ay hatiin natin ang kanang bahagi sa coefficient 3 . Nakukuha namin ang: y = -2/3x + 7/3
Hanapin ang equation na NK na dumadaan sa puntong K(-2;1) parallel sa tuwid na linya y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ang pagpapalit ng x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 ay nakukuha namin:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Halimbawa #2. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na kahanay sa tuwid na linya 2x + 5y = 0 at bumubuo, kasama ng mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Solusyon . Dahil ang mga linya ay parallel, ang equation ng nais na linya ay 2x + 5y + C = 0. Ang lugar ng isang right triangle, kung saan ang a at b ang mga binti nito. Hanapin ang mga punto ng intersection ng nais na linya na may mga coordinate axes:
;
.
Kaya, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Palitan sa formula para sa lugar: . Kumuha kami ng dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 = 0 at 2x + 5y - 10 = 0 .

Halimbawa #3. Isulat ang equation ng linyang dumadaan sa punto (-2; 5) at ang parallel na linya 5x-7y-4=0 .
Solusyon. Ang tuwid na linyang ito ay maaaring katawanin ng equation na y = 5/7 x – 4/7 (dito a = 5/7). Ang equation ng gustong linya ay y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Halimbawa #4. Ang paglutas ng halimbawa 3 (A=5, B=-7) gamit ang formula (2), makikita natin ang 5(x+2)-7(y-5)=0.

Halimbawa numero 5. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (-2;5) at isang parallel na tuwid na linya 7x+10=0.
Solusyon. Dito A=7, B=0. Ang formula (2) ay nagbibigay ng 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Ang pormula (1) ay hindi naaangkop, dahil ang equation na ito ay hindi malulutas nang may kinalaman sa y (ang tuwid na linyang ito ay parallel sa y-axis).

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa three-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

• nagsalubong ang mga linya;

• tuwid na mga linya ay parallel;

• nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at MULA SA Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring katawanin sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Solusyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay ang resultang equation ay tinatawag

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat non-zero vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha namin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, ang paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang magsulat iba't ibang uri mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung bibigyan ng punto M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, makuha namin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa direksyong ito. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

Mga halimbawa ng mga problema sa mga solusyon

Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: (-1, 2) at (2, 1).

Solusyon.

Ayon sa equation

naniniwala dito x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 \u003d 1 (kahit aling punto ang itinuturing na una, alin - ang pangalawa), nakukuha natin

pagkatapos ng mga pagpapasimple, sa wakas ay nakuha namin ang nais na equation sa form

x + 3y - 5 = 0.

Ang mga gilid ng tatsulok ay ibinibigay ng mga equation: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC ) x - y + 2 = 0, (BC ) 3 x + 4 y -12 = 0. Hanapin ang mga coordinate ng vertices ng triangle.

Solusyon.

Mga coordinate ng vertex A hanapin sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema na binubuo ng mga side equation AB at AC:

sistema ng dalawa linear na equation na may dalawang hindi alam na nilulutas namin sa pamamagitan ng mga pamamaraan na kilala mula sa elementarya algebra, at nakuha namin

Vertex A may mga coordinate

Mga coordinate ng vertex B hanapin sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga equation ng mga panig AB at BC:

nakukuha namin.

Mga coordinate ng vertex C nakukuha natin sa pamamagitan ng paglutas ng sistema mula sa mga equation ng mga panig BC at AC:

Vertex C may mga coordinate.

A (2, 5) parallel sa linya 3x - 4 y + 15 = 0.

Solusyon.

Patunayan natin na kung ang dalawang linya ay magkatulad, ang kanilang mga equation ay maaaring palaging kinakatawan sa paraang nagkakaiba lamang sila sa mga libreng termino. Sa katunayan, mula sa kondisyon ng paralelismo ng dalawang linya ay sumusunod na .

Tukuyin sa pamamagitan ng t ang kabuuang halaga ng mga relasyong ito. Pagkatapos

at samakatuwid ito ay sumusunod na

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Kung dalawang linya

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 at

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

ay parallel, ang mga kondisyon (1) ay nasiyahan, at, pinapalitan sa una sa mga equation na ito A 1 at B 1 sa pamamagitan ng mga formula (1), magkakaroon tayo

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

o, paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng , nakukuha natin

Paghahambing ng resultang equation sa equation ng pangalawang linya A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, tandaan namin na ang mga equation na ito ay nagkakaiba lamang sa libreng termino; kaya, napatunayan namin ang claim. Ngayon simulan natin ang paglutas ng problema. Isinulat namin ang equation ng nais na tuwid na linya sa paraang ito ay mag-iiba mula sa equation ng tuwid na linya na ito sa pamamagitan lamang ng libreng termino: ang unang dalawang termino sa nais na equation ay kukunin mula sa equation na ito, at ang libreng termino nito ay matukoy ng C. Pagkatapos ang nais na equation ay maaaring isulat sa form

3x - 4y + C = 0, (3)

at upang matukoy C.

Pagbibigay sa equation (3) sa halaga C lahat ng posibleng tunay na halaga, nakakakuha tayo ng isang hanay ng mga linya parallel sa ibinigay na isa. Kaya, ang equation (3) ay hindi isang equation ng isang linya, ngunit ng isang buong pamilya ng mga linya na parallel sa linyang ito 3 x - 4y+ 15 = 0. Mula sa pamilyang ito ng mga linya, dapat isa-isa ang isa na dumadaan sa punto A(2, 5).

Kung ang isang linya ay dumaan sa isang punto, kung gayon ang mga coordinate ng puntong iyon ay dapat matugunan ang equation ng linya. At kaya namin tukuyin C, kung sa (3) pinapalitan natin sa halip na ang kasalukuyang mga coordinate x at y mga coordinate ng punto A, ibig sabihin. x = 2, y= 5. Nakukuha namin at C = 14.

Nakahanap ng halaga C pinapalitan natin sa (3), at ang nais na equation ay isusulat tulad ng sumusunod:

3x - 4y + 14 = 0.

Ang parehong problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Dahil ang mga slope ng magkatulad na linya ay katumbas ng bawat isa, at para sa isang naibigay na linya 3 x - 4y+ 15 = 0 slope, kung gayon ang slope ng nais na linya ay katumbas din ng .

Ngayon ginagamit namin ang equation y - y 1 = k(x - x 1) isang bundle ng mga tuwid na linya. Dot A(2, 5), kung saan dumadaan ang tuwid na linya, ay alam natin, at samakatuwid, pinapalitan ang equation ng lapis ng mga tuwid na linya. y - y 1 = k(x - x 1) mga halaga, nakukuha namin

o pagkatapos ng mga pagpapasimple 3 x - 4y+ 14 = 0, ibig sabihin, katulad ng dati.

Maghanap ng mga equation ng mga linyang dumadaan sa isang puntoA (3, 4) sa 60 degrees hanggang linya 2x + 3 y + 6 = 0.

Solusyon.

Upang malutas ang problema, dapat nating matukoy ang mga slope ng mga linya I at II (tingnan ang figure). Tukuyin natin ang mga coefficient na ito, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng k 1 at k 2 , at ang slope ng tuwid na linyang ito - sa pamamagitan k. Obvious naman na .

Batay sa kahulugan ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya, kapag tinutukoy ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang tuwid na linya, sinusundan ko ang numerator ng isang fraction sa formula

ibawas ang slope ng ibinigay na linya, dahil kailangan itong paikutin nang counterclockwise sa paligid ng punto C hanggang sa magkasabay ito sa linya I.

Isinasaalang-alang na , nakukuha namin

Kapag tinutukoy ang anggulo sa pagitan ng linya II at isang naibigay na linya, dapat ibawas ng isa ang slope ng linya II sa numerator ng parehong fraction, i.e. k 2 , dahil ang linya II ay dapat na paikutin nang counterclockwise sa paligid ng punto B hanggang sa ito ay tumutugma sa linyang ito:

Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang puntoA (5, -1) patayo sa linya 3x - 7 y + 14 = 0.

Solusyon.

Kung dalawang linya

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

ay patayo, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

o, na pareho,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

at samakatuwid ito ay sumusunod na

Ang pangkalahatang kahulugan ng mga ekspresyong ito ay ilalarawan ng t.

Pagkatapos , kung saan ito sumusunod na

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Pagpapalit sa mga halagang ito A 2 at B 2 at ang equation ng pangalawang tuwid na linya, nakukuha namin

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

o paghahati sa pamamagitan ng t magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay, magkakaroon tayo

Paghahambing ng resultang equation sa equation ng unang tuwid na linya

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

tandaan na mayroon silang mga coefficient sa x at y nagbago ng mga lugar, at ang tanda sa pagitan ng una at pangalawang termino ay nagbago sa kabaligtaran, habang ang mga libreng termino ay iba.

Simulan na natin ang paglutas ng problema. Nais na isulat ang equation ng isang tuwid na linya patayo sa isang tuwid na linya 3 x - 7y+ 14 = 0, batay sa konklusyon na ginawa sa itaas, nagpapatuloy kami tulad ng sumusunod: pinapalitan namin ang mga coefficient sa x at y, at ang minus sign sa pagitan ng mga ito ay pinapalitan ng plus sign, ang libreng termino ay tinutukoy ng titik C. Kunin natin ang 7 x + 3y + C= 0. Ang equation na ito ay ang equation ng isang pamilya ng mga linya na patayo sa linya 3 x - 7y+ 14 = 0. Tukuyin C mula sa kondisyon na ang nais na linya ay dumaan sa punto A(5, -1). Ito ay kilala na kung ang isang linya ay dumaan sa isang punto, kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation ng linya. Pagpapalit sa huling equation 5 sa halip na x at -1 sa halip y, nakukuha namin

Ang halagang ito C Palitan sa huling equation at makuha

7x + 3y - 32 = 0.

Nilulutas namin ang parehong problema sa ibang paraan, gamit ang equation ng isang lapis ng mga linya

y - y 1 = k(x - x 1).

Ang slope ng tuwid na linyang ito 3 x - 7y + 14 = 0

pagkatapos ay ang slope ng linya patayo dito,

Pagpapalit sa equation ng isang lapis ng mga linya , at sa halip na x 1 at y 1 coordinate ng ibinigay na punto A(5, -1), hanapin , o 3 y + 3 = -7x+ 35, at panghuli 7 x + 3y- 32 = 0, ibig sabihin, katulad ng dati.

Mga equation sagana ang mga kurba kapag nagbabasa ng literaturang ekonomiko.Ituro natin ang ilan sa mga kurbadang ito.

kurba ng kawalang-interes - isang kurba na nagpapakita ng iba't ibang kumbinasyon ng dalawang produkto na may parehong halaga ng consumer, o utility, para sa consumer.

Consumer Budget Curve ay isang kurba na nagpapakita ng magkaibang kumbinasyon ng mga dami ng dalawang kalakal na mabibili ng isang mamimili sa isang partikular na antas ng kanyang kita sa pera.

Curve ng Posibilidad ng Produksyon - isang kurba na nagpapakita ng iba't ibang kumbinasyon ng dalawang produkto o serbisyo na maaaring gawin sa buong trabaho at buong output sa isang ekonomiya na may patuloy na stock ng mga mapagkukunan at hindi nagbabagong teknolohiya.

Curve ng demand sa pamumuhunan - isang kurba na nagpapakita ng dynamics ng rate ng interes at ang dami ng mga pamumuhunan sa iba't ibang mga rate ng interes.

kurba ng Phillips- isang kurba na nagpapakita ng pagkakaroon ng matatag na ugnayan sa pagitan ng antas ng kawalan ng trabaho at rate ng inflation.

Laffer curve- isang kurba na nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng mga rate ng buwis at mga kita sa buwis, na nagpapakita ng naturang rate ng buwis kung saan ang mga kita sa buwis ay umabot sa maximum.

Kahit na ang isang simpleng enumeration ng mga termino ay nagpapakita kung gaano kahalaga para sa mga ekonomista na makabuo ng mga graph at masuri ang mga equation ng mga curve, na mga tuwid na linya at second-order curves - isang bilog, isang ellipse, isang hyperbola, isang parabola. Bilang karagdagan, kapag nilulutas ang isang malaking klase ng mga problema, kinakailangan na pumili ng isang lugar sa eroplano na napapalibutan ng ilang mga kurba na ang mga equation ay ibinigay. Ang pagtatalaga ng mga mapagkukunan ay karaniwang nasa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang mga equation na kung saan ay ibinigay. Samakatuwid, kailangan mong hanapin ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga na kinuha ng ilang function sa rehiyon na tinukoy ng mga equation ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Sa analytic geometry linya sa eroplano ay tinukoy bilang ang hanay ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation F(x,y)=0. Sa kasong ito, ang mga paghihigpit ay dapat ipataw sa function F upang, sa isang banda, ang equation na ito ay may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon at, sa kabilang banda, upang ang hanay ng mga solusyon na ito ay hindi punan ang isang "piraso ng eroplano. ”. Ang isang mahalagang klase ng mga linya ay yaong kung saan ang function na F(x,y) ay isang polynomial sa dalawang variable, kung saan ang linya na tinukoy ng equation na F(x,y)=0 ay tinatawag algebraic. Ang mga linyang algebraic na ibinigay ng equation ng unang degree ay mga tuwid na linya. Ang isang equation ng pangalawang degree, na may walang katapusang bilang ng mga solusyon, ay tumutukoy sa isang ellipse, hyperbola, parabola, o isang linyang nahahati sa dalawang tuwid na linya.

Hayaang magbigay ng isang rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano. Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay maaaring ibigay ng isa sa mga equation:

sampu . Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vector n Ang (А,В) ay orthogonal sa isang tuwid na linya, ang mga numerong A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras.

dalawampu . Line Equation na may Slope

y - y o = k (x - x o), (2.2)

kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya, ibig sabihin, k = tg a , saan a - ang halaga ng anggulo na nabuo ng tuwid na linya na may axis Оx, M (x o , y o) - ilang punto na kabilang sa tuwid na linya.

Ang equation (2.2) ay nasa anyong y = kx + b kung ang M (0, b) ay ang punto ng intersection ng linya na may Oy axis.

tatlumpu. Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

x/a + y/b = 1, (2.3)

kung saan ang a at b ay ang mga halaga ng mga segment na pinutol ng isang tuwid na linya sa mga coordinate axes.

40 . Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos ay A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2):

. (2.4)

limampu . Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto A(x 1 , y 1) parallel sa isang ibinigay na vector a(m, n)

. (2.5)

60 . Normal na equation ng isang tuwid na linya

rn o - p = 0, (2.6)

saan r ay ang radius ng isang arbitrary na punto M(x, y) ng linyang ito, n o ay isang unit vector orthogonal sa linyang ito at nakadirekta mula sa pinanggalingan hanggang sa linya; p ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya.

Ang normal sa coordinate form ay may anyo:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

saan a - ang halaga ng anggulo na nabuo ng isang tuwid na linya na may x-axis.

Ang equation ng isang lapis ng mga linya na nakasentro sa punto A (x 1, y 1) ay may anyo:

y-y 1 = l (x-x 1),

kung saan l ay ang beam parameter. Kung ang sinag ay ibinibigay ng dalawang intersecting na linya A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, kung gayon ang equation nito ay may anyo:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

kung saan l at m ay ang mga parameter ng beam na hindi nagiging 0 sa parehong oras.

Ang anggulo sa pagitan ng mga linya y \u003d kx + b at y \u003d k 1 x + b 1 ay ibinibigay ng formula:

tg j = .

Ang pagkakapantay-pantay 1 + k 1 k = 0 ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para ang mga linya ay patayo.

Upang gumawa ng dalawang equation

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

itakda ang parehong tuwid na linya, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang mga coefficient ay proporsyonal:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Tinukoy ng mga equation (2.7), (2.8) ang dalawang magkaibang magkatulad na linya kung A 1 /A 2 = B 1 /B 2 at B 1 /B 2¹ C 1 /C 2; magsalubong ang mga linya kung A 1 /A 2¹B1/B2.

Ang distansya d mula sa puntong M o (x o, y o) hanggang sa tuwid na linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa puntong M o hanggang sa tuwid na linya. Kung ang linya ay ibinigay ng isang normal na equation, kung gayon d =ê r tungkol sa n o - r ê , saan r o ay ang radius vector ng point M o o, sa coordinate form, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Ang pangkalahatang equation ng second-order curve ay may anyo

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Ipinapalagay na kabilang sa mga coefficient ng equation a 11 , a 12 , a 22 ay mayroong iba sa zero.

Ang equation ng isang bilog na nakasentro sa punto C(a, b) at may radius na katumbas ng R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Ellipseang locus ng mga puntos ay tinatawag, ang kabuuan ng mga distansya kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto F 1 at F 2 (foci) ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng 2a.

Canonical (pinakasimpleng) equation ng isang ellipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Ang ellipse na ibinigay ng equation (2.10) ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes. Mga pagpipilian a at b tinawag mga axle shaft ellipse.

Hayaan ang a>b, pagkatapos ay ang foci F 1 at F 2 ay nasa Ox axis sa layo
c= mula sa pinanggalingan. Ratio c/a = e < 1 называется eccentricity ellipse. Ang mga distansya mula sa puntong M(x, y) ng ellipse hanggang sa foci nito (focal radius vectors) ay tinutukoy ng mga formula:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Kung ang< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Kung a = b, kung gayon ang ellipse ay isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan ng radius a.

Hyperboleang locus ng mga puntos ay tinatawag, ang pagkakaiba ng mga distansya kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto F 1 at F 2 (foci) ay katumbas ng ganap na halaga sa ibinigay na numero 2a.

Canonical equation ng hyperbola

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Ang hyperbola na ibinigay ng equation (2.11) ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes. Nag-intersect ito sa axis ng Ox sa mga puntong A (a,0) at A (-a,0) - ang mga vertices ng hyperbola at hindi bumabagtas sa Oy axis. Parameter a tinawag tunay na semiaxis, b -imaginary axis. Ang parameter c= ay ang distansya mula sa focus hanggang sa pinanggalingan. Ratio c/a = e >1 ang tinatawag eccentricity hyperbole. Mga tuwid na linya na ang mga equation ay y =± b/a x ay tinatawag asymptotes hyperbole. Ang mga distansya mula sa puntong M(x,y) ng hyperbola hanggang sa foci nito (focal radius vectors) ay tinutukoy ng mga formula:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Tinatawag ang hyperbola na may a = b equilateral, ang equation nito x 2 - y 2 \u003d a 2, at ang equation ng asymptotes y \u003d± x. Hyperbolas x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 at
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 ang tawag conjugated.

parabolaay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang ibinigay na punto (focus) at isang ibinigay na linya (directrix).

Ang canonical equation ng isang parabola ay may dalawang anyo:

1) y 2 \u003d 2px - ang parabola ay simetriko tungkol sa axis ng Ox.

2) x 2 \u003d 2py - ang parabola ay simetriko tungkol sa Oy axis.

Sa parehong mga kaso, ang p>0 at ang vertex ng parabola, iyon ay, ang puntong nakahiga sa axis ng symmetry, ay matatagpuan sa pinanggalingan.

Isang parabola na ang equation na y 2 = 2рx ay may focus F(р/2,0) at directrix x = - р/2, focal radius vector ng point M(x, y) dito r = x+ р/2.

Ang parabola na ang equation na x 2 =2py ay may focus F(0, p/2) at directrix y = - p/2; ang focal radius vector ng point M(x, y) ng parabola ay r = y + p/2.

Ang equation na F(x, y) = 0 ay tumutukoy sa isang linya na naghahati sa eroplano sa dalawa o higit pang bahagi. Sa isa sa mga bahaging ito, ang hindi pagkakapantay-pantay F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Sa madaling salita, ang linya
Ang F(x, y)=0 ay naghihiwalay sa bahagi ng eroplano kung saan ang F(x, y)>0 mula sa bahagi ng eroplano kung saan ang F(x, y)<0.

Ang tuwid na linya, na ang equation ay Ax+By+C = 0, ay naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Sa pagsasagawa, upang malaman kung saang kalahating eroplano mayroon tayo Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, ilapat ang paraan ng breakpoint. Upang gawin ito, kumuha ng control point (siyempre, hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, ang equation na kung saan ay Ax + By + C = 0) at suriin kung anong sign ang expression ng Ax + By + C sa puntong ito. Ang parehong tanda ay may ipinahiwatig na expression sa buong kalahating eroplano kung saan namamalagi ang control point. Sa ikalawang kalahating eroplanong Ax+By+C ay may kabaligtaran na tanda.

Ang mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam ay nalulutas sa parehong paraan.

Halimbawa, lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Maaari itong muling isulat bilang (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Ang equation (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 ay tumutukoy sa isang bilog na may sentro sa punto C(2,-3) at isang radius na 5. Hinahati ng bilog ang eroplano sa dalawang bahagi - panloob at panlabas. Upang malaman kung alin sa kanila ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagaganap, kumuha kami ng control point sa panloob na rehiyon, halimbawa, ang sentro C(2,-3) ng aming bilog. Ang pagpapalit ng mga coordinate ng point C sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng negatibong numero -25. Samakatuwid, sa lahat ng mga punto na nakahiga sa loob ng bilog, ang hindi pagkakapantay-pantay
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Halimbawa 1.5.Buuin ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong A(3,1) at nakahilig sa linyang 2x+3y-1 = 0 sa isang anggulo na 45 o .

Solusyon.Maghahanap tayo sa form na y=kx+b. Dahil ang linya ay dumadaan sa punto A, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng linya, i.e. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Anggulo sa pagitan ng mga linya
y= k 1 x+b 1 at y= kx+b ay tinukoy ng formula tg j = . Dahil ang slope k 1 ng orihinal na linya 2x+3y-1=0 ay - 2/3, at ang anggulo j = 45 o , pagkatapos ay mayroon kaming isang equation para sa pagtukoy ng k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 o (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Mayroon kaming dalawang halaga ng k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Ang paghahanap ng kaukulang mga halaga ng b sa pamamagitan ng formula b=1-3k, nakakakuha tayo ng dalawang nais na linya, ang mga equation kung saan ay: x - 5y + 2 = 0 at
5x + y - 16 = 0.

Halimbawa 1.6. Sa anong halaga ng parameter t mga linya na ang mga equation na 3tx-8y+1 = 0 at (1+t)x-2ty = 0 ay parallel?

Solusyon.Ang mga tuwid na linya na ibinigay ng mga pangkalahatang equation ay parallel kung ang mga coefficient sa x at y proporsyonal, i.e. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Ang paglutas ng nagresultang equation, nakita namin t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Halimbawa 1.7. Hanapin ang equation ng karaniwang chord ng dalawang bilog:
x 2 +y 2 =10 at x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Solusyon.Hanapin ang mga intersection point ng mga bilog, para dito malulutas namin ang sistema ng mga equation:

.

Ang paglutas ng unang equation, nakita namin ang mga halaga x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Mula sa pangalawang equation - ang kaukulang mga halaga y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Ngayon nakuha namin ang equation ng isang karaniwang chord, alam ang dalawang puntos na A (3,1) at B (1,3) na kabilang sa linyang ito: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), o y+ x - 4 = 0.

Halimbawa 1.8. Paano matatagpuan ang mga punto sa eroplano, ang mga coordinate na kung saan ay nakakatugon sa mga kondisyon (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Solusyon.Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay tumutukoy sa loob ng bilog, hindi kasama ang hangganan, i.e. bilog na may sentro sa punto (3,3) at radius . Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang kalahating eroplano na tinukoy ng isang tuwid na linya na ang equation ay x = y, at, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, ang mga punto ng tuwid na linya mismo ay hindi kabilang sa kalahating eroplano, at lahat ng mga punto sa ibaba ng tuwid na ito. ang linya ay kabilang sa kalahating eroplano. Dahil naghahanap kami ng mga puntos na nakakatugon sa parehong hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang nais na lugar ay ang loob ng kalahating bilog.

Halimbawa 1.9.Kalkulahin ang haba ng gilid ng isang parisukat na nakasulat sa isang ellipse na ang equation ay x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Solusyon.Hayaan M(s, s)- ang tuktok ng parisukat, nakahiga sa unang quarter. Pagkatapos ang gilid ng parisukat ay magiging 2 Sa. kasi tuldok M nabibilang sa ellipse, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng ellipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, kung saan
c = ab/ ; kaya ang gilid ng parisukat ay 2ab/ .

Halimbawa 1.10.Pag-alam sa equation ng asymptotes ng hyperbola y =± 0.5 x at isa sa mga puntos nito na M (12, 3), iguhit ang equation ng hyperbola.

Solusyon.Isinulat namin ang canonical equation ng hyperbola: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Ang mga asymptotes ng hyperbola ay ibinibigay ng mga equation na y =± 0.5 x, kaya b/a = 1/2, kaya a=2b. Dahil ang M- punto ng hyperbola, pagkatapos ang mga coordinate nito ay nasiyahan ang equation ng hyperbola, i.e. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Dahil sa a = 2b, makikita natin ang b: b 2 =9Þ b=3 at a=6. Kung gayon ang equation ng hyperbola ay x 2/36 - y 2/9 = 1.

Halimbawa 1.11.Kalkulahin ang haba ng gilid ng isang regular na tatsulok na ABC na nakasulat sa isang parabola na may parameter R, ipagpalagay na ang puntong A ay tumutugma sa tuktok ng parabola.

Solusyon.Ang canonical equation ng isang parabola na may parameter R ay may anyo na y 2 = 2рx, ang vertex nito ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang parabola ay simetriko tungkol sa x-axis. Dahil ang linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo na 30 o sa axis na Ox, ang equation ng linya ay: y = x. maraming chart

Samakatuwid, mahahanap natin ang mga coordinate ng point B sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation y 2 =2px, y = x, kung saan ang x = 6p, y = 2p. Kaya, ang distansya sa pagitan ng mga puntong A(0,0) at B(6p,2p) ay 4p.