Pagsusuri ng mga sukat ng pisikal na dami. Pagsusuri ng Dimensyon

Ang mga pisikal na dami, ang numerical na halaga nito ay hindi nakasalalay sa napiling sukat ng mga yunit, ay tinatawag na walang sukat. Ang mga halimbawa ng walang sukat na dami ay ang anggulo (ang ratio ng haba ng arko sa radius), ang refractive index ng matter (ang ratio ng bilis ng liwanag sa vacuum sa bilis ng liwanag sa matter).

Ang mga pisikal na dami na nagbabago ng kanilang numerical na halaga kapag binago ang sukat ng mga yunit ay tinatawag na dimensional. Ang mga halimbawa ng mga dimensional na dami ay ang haba, puwersa, atbp. Ang pagpapahayag ng isang yunit ng isang pisikal na dami sa mga tuntunin ng mga pangunahing yunit ay tinatawag na dimensyon nito (o formula ng dimensyon). Halimbawa, ang dimensyon ng puwersa sa mga sistema ng CGS at SI ay ipinahayag ng formula

Ang mga pagsasaalang-alang sa dimensyon ay maaaring gamitin upang suriin ang kawastuhan ng mga sagot na nakuha kapag nilutas ang mga pisikal na problema: ang kanan at kaliwang bahagi ng nakuha na mga expression, pati na rin ang mga indibidwal na termino sa bawat isa sa mga bahagi, ay dapat magkaroon ng parehong dimensyon.

Ang paraan ng mga dimensyon ay maaari ding gamitin upang makakuha ng mga formula at equation, kapag alam natin kung anong mga pisikal na parameter ang maaaring depende sa nais na halaga. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay pinakamadaling maunawaan na may mga kongkretong halimbawa.

Mga aplikasyon ng paraan ng mga sukat. Isaalang-alang ang isang problema kung saan ang sagot ay kilala sa amin: sa anong bilis ang isang katawan ay mahuhulog sa lupa, malayang bumabagsak nang walang paunang bilis mula sa isang taas, kung ang paglaban ng hangin ay maaaring mapabayaan? Sa halip na isang direktang pagkalkula batay sa mga batas ng paggalaw, kami ay magtatalo bilang mga sumusunod.

Isipin natin kung ano ang maaaring depende sa nais na bilis. Ito ay malinaw na ito ay dapat na nakasalalay sa paunang taas at sa acceleration ng libreng pagkahulog Maaari itong ipagpalagay, kasunod ni Aristotle, na ito ay nakasalalay din sa masa. Dahil ang mga halaga lamang ng parehong dimensyon ang maaaring idagdag, ang sumusunod na formula ay maaaring imungkahi para sa nais na bilis:

kung saan ang C ay ilang walang sukat na pare-pareho (numerical coefficient), at ang x, y at z ay hindi kilalang mga numero, na dapat matukoy.

Ang mga sukat ng kanan at kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay dapat na magkapareho, at ito ang kundisyong ito na maaaring magamit upang matukoy ang mga exponent na x, y, z sa (2). Ang dimensyon ng bilis ay ang dimensyon ng taas, ang dimensyon ng free fall acceleration ay , at sa wakas, ang dimensyon ng masa ay M. Dahil ang pare-parehong C ay walang sukat, ang formula (2) ay tumutugma sa sumusunod na pagkakapantay-pantay ng mga sukat:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay dapat manatili anuman ang mga numerong halaga. Samakatuwid, kinakailangang ipantay ang mga exponent sa at M sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (3):

Mula sa sistemang ito ng mga equation, nakuha natin Samakatuwid, ang formula (2) ay kumukuha ng anyo

Ang tunay na halaga ng bilis, gaya ng nalalaman, ay katumbas ng

Kaya, ang diskarte na ginamit ay naging posible upang matukoy nang tama ang pagtitiwala sa at at hindi naging posible upang mahanap ang halaga

walang sukat na pare-pareho C. Bagama't hindi tayo nakakuha ng kumpletong sagot, gayunpaman, napaka makabuluhang impormasyon ang nakuha. Halimbawa, maaari nating sabihin nang may kumpletong katiyakan na kung ang paunang taas ay apat na beses, ang bilis sa sandali ng pagbagsak ay doble at na, salungat sa opinyon ni Aristotle, ang bilis na ito ay hindi nakasalalay sa masa ng bumabagsak na katawan.

Pagpili ng mga pagpipilian. Kapag ginagamit ang paraan ng mga sukat, dapat una sa lahat ay kilalanin ang mga parameter na tumutukoy sa hindi pangkaraniwang bagay na isinasaalang-alang. Madali itong gawin kung alam ang mga pisikal na batas na naglalarawan dito. Sa ilang mga kaso, ang mga parameter na tumutukoy sa phenomenon ay maaaring tukuyin kahit na ang mga pisikal na batas ay hindi alam. Bilang isang tuntunin, kailangan mong malaman ang mas kaunti upang magamit ang paraan ng pagsusuri ng dimensional kaysa sa pagsulat ng mga equation ng paggalaw.

Kung ang bilang ng mga parameter na tumutukoy sa hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga pangunahing yunit kung saan itinayo ang napiling sistema ng mga yunit, kung gayon, siyempre, ang lahat ng mga exponent sa iminungkahing formula para sa hinahangad na halaga ay hindi matukoy. Sa kasong ito, ito ay kapaki-pakinabang una sa lahat upang matukoy ang lahat ng mga independiyenteng walang sukat na kumbinasyon ng mga napiling parameter. Pagkatapos ang nais na pisikal na dami ay matutukoy hindi sa pamamagitan ng isang formula ng uri (2), ngunit sa pamamagitan ng produkto ng ilan (ang pinakasimpleng) kumbinasyon ng mga parameter na may nais na dimensyon (i.e., ang dimensyon ng nais na dami) ng ilang function ng ang nahanap na mga parameter na walang sukat.

Madaling makita na sa halimbawa sa itaas ng isang katawan na bumabagsak mula sa isang taas, imposibleng bumuo ng isang walang sukat na kumbinasyon mula sa mga dami at walang sukat na kumbinasyon. Samakatuwid, ang formula (2) doon ay nauubos ang lahat ng posibleng kaso.

Walang sukat na parameter. Isaalang-alang natin ngayon ang sumusunod na problema: tinutukoy natin ang saklaw ng pahalang na paglipad ng isang projectile na pinaputok sa isang pahalang na direksyon na may paunang bilis mula sa isang baril na matatagpuan sa isang bundok na may taas.

Sa kawalan ng paglaban ng hangin, ang bilang ng mga parameter kung saan maaaring nakasalalay ang nais na hanay ay katumbas ng apat: at m. Dahil ang bilang ng mga pangunahing yunit ay katumbas ng tatlo, imposible ang isang kumpletong solusyon ng problema sa pamamagitan ng paraan ng mga sukat. . Hanapin muna natin ang lahat ng independiyenteng walang sukat na mga parameter y na maaaring binubuo ng at

Ang expression na ito ay tumutugma sa sumusunod na pagkakapantay-pantay ng mga sukat:

Mula dito nakuha namin ang sistema ng mga equation

na nagbibigay at para sa nais na walang sukat na parameter na nakuha namin

Makikita na ang tanging independiyenteng walang sukat na parameter sa problemang isinasaalang-alang ay .

nasaan ang hindi pa alam na function ng walang sukat na parameter. Ang paraan ng mga sukat (sa ipinakita na bersyon) ay hindi nagpapahintulot sa isa na matukoy ang function na ito. Ngunit kung alam natin mula sa isang lugar, halimbawa, mula sa karanasan, na ang nais na hanay ay proporsyonal sa pahalang na bilis ng projectile, kung gayon ang anyo ng pag-andar ay agad na tinutukoy: ang bilis ay dapat pumasok dito sa unang kapangyarihan, i.e.

Ngayon mula sa (5) para sa hanay ng projectile na nakukuha namin

na tumutugma sa tamang sagot

Binibigyang-diin namin na sa pamamaraang ito ng pagtukoy ng uri ng pag-andar, sapat na para sa amin na malaman ang likas na katangian ng itinatag na pag-asa ng eksperimento sa hanay ng paglipad hindi sa lahat ng mga parameter, ngunit sa isa lamang sa kanila.

Vector unit ng haba. Ngunit posibleng matukoy ang hanay (7) lamang mula sa mga pagsasaalang-alang sa dimensyon, kung tataas natin sa apat ang bilang ng mga pangunahing yunit kung saan ipinapahayag ang mga parameter, atbp. Hanggang ngayon, kapag nagsusulat ng mga formula ng dimensyon, walang ginawang pagkakaiba sa pagitan ng mga yunit ng haba sa pahalang at patayong direksyon. Gayunpaman, ang gayong pagkakaiba ay maaaring ipakilala batay sa katotohanan na ang gravity ay kumikilos lamang patayo.

Tukuyin natin ang dimensyon ng haba sa pahalang na direksyon sa pamamagitan at sa patayong direksyon - sa pamamagitan Pagkatapos ang dimensyon ng hanay ng flight sa pahalang na direksyon ay ang dimensyon ng taas ay ang dimensyon ng pahalang na bilis ay magiging at para sa acceleration

free fall na nakukuha natin Ngayon, sa pagtingin sa formula (5), nakita natin na ang tanging paraan para makuha ang tamang dimensyon sa kanang bahagi ay isaalang-alang itong proporsyonal. Muli tayong dumating sa formula (7).

Siyempre, ang pagkakaroon ng apat na pangunahing mga yunit at M, ang isa ay maaaring direktang bumuo ng halaga ng kinakailangang dimensyon mula sa apat na mga parameter at

Ang pagkakapantay-pantay ng mga sukat ng kaliwa at tamang bahagi may porma

Ang sistema ng mga equation para sa x, y, z at at ay nagbibigay ng mga halaga at muli tayong dumating sa formula (7).

Ang iba't ibang mga yunit ng haba na ginagamit dito sa magkabilang patayo na direksyon ay minsang tinutukoy bilang mga vector unit ng haba. Ang kanilang aplikasyon ay makabuluhang nagpapalawak ng mga posibilidad ng paraan ng pagsusuri ng dimensional.

Kapag ginagamit ang pamamaraan ng pagsusuri ng dimensional, kapaki-pakinabang na bumuo ng mga kasanayan sa isang lawak na hindi ka gumawa ng isang sistema ng mga equation para sa mga exponent sa nais na formula, ngunit piliin ang mga ito nang direkta. Ilarawan natin ito sa susunod na problema.

Isang gawain

Pinakamataas na saklaw. Sa anong anggulo sa pahalang dapat ihagis ang isang bato upang mapakinabangan ang pahalang na hanay ng paglipad?

Solusyon. Ipagpalagay natin na "nakalimutan" natin ang lahat ng mga formula ng kinematics at subukang makakuha ng sagot mula sa mga dimensional na pagsasaalang-alang. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang paraan ng mga sukat ay hindi naaangkop dito, dahil ang ilang trigonometriko na pag-andar ng anggulo ng paghagis ay dapat pumasok sa sagot. Samakatuwid, sa halip na ang anggulo a mismo, susubukan naming maghanap ng isang expression para sa hanay.Malinaw na hindi namin magagawa nang walang mga yunit ng vector ng haba.

Dapat itong bigyang-diin na ang pangwakas na layunin sa kasong isinasaalang-alang ay nananatiling pareho: paghahanap ng mga numero ng pagkakatulad kung saan ang pagmomodelo ay dapat isagawa, ngunit ito ay malulutas sa isang makabuluhang mas maliit na halaga ng impormasyon tungkol sa likas na katangian ng proseso.

Upang linawin kung ano ang sumusunod, susuriin natin sandali ang ilan sa mga pangunahing konsepto. Ang isang detalyadong pagtatanghal ay matatagpuan sa aklat ni A.N. Lebedev "Pagmomodelo sa siyentipikong at teknikal na pananaliksik." - M.: Radyo at mga komunikasyon. 1989. -224 p.

Ang anumang materyal na bagay ay may bilang ng mga katangian na nagbibigay-daan sa pagpapahayag ng dami. Bukod dito, ang bawat isa sa mga katangian ay nailalarawan sa laki ng isang tiyak na pisikal na dami. Ang mga yunit ng ilang pisikal na dami ay maaaring piliin nang arbitraryo, at sa kanilang tulong ay kumakatawan sa mga yunit ng lahat ng iba pa. Tinatawag ang mga pisikal na yunit na pinili nang arbitraryo pangunahing. Sa internasyonal na sistema (tulad ng inilapat sa mekanika), ito ang kilo, metro at pangalawa. Ang natitirang mga dami na ipinahayag sa mga tuntunin ng tatlong ito ay tinatawag derivatives.

Ang batayang yunit ay maaaring tukuyin alinman sa pamamagitan ng simbolo ng katumbas na dami o ng isang espesyal na simbolo. Halimbawa, ang mga yunit ng haba ay L, mga yunit ng masa - M, yunit ng oras - T. O, ang yunit ng haba ay ang metro (m), ang yunit ng masa ay ang kilo (kg), ang yunit ng oras ay ang pangalawa (s).

Ang dimensyon ay nauunawaan bilang isang simbolikong pagpapahayag (minsan ay tinatawag na pormula) sa anyo ng isang power monomial, na nagkokonekta sa nagmula na halaga sa mga pangunahing. Ang pangkalahatang anyo ng regularidad na ito ay may anyo

saan x, y, z- Mga tagapagpahiwatig ng sukat.

Halimbawa, ang sukat ng bilis

Para sa isang walang sukat na dami, lahat ng mga tagapagpahiwatig , at samakatuwid .

Ang susunod na dalawang pahayag ay medyo malinaw at hindi nangangailangan ng anumang mga espesyal na patunay.

Ang ratio ng mga sukat ng dalawang bagay ay isang pare-parehong halaga, anuman ang mga yunit kung saan sila ipinahayag. Kaya, halimbawa, kung ang ratio ng lugar na inookupahan ng mga bintana sa lugar ng mga dingding ay 0.2, kung gayon ang resulta na ito ay mananatiling hindi nagbabago kung ang mga lugar mismo ay ipinahayag sa mm2, m2 o km2.

Ang pangalawang posisyon ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod. Anumang tamang pisikal na relasyon ay dapat na dimensional na pare-pareho. Nangangahulugan ito na ang lahat ng terminong kasama sa kanan at kaliwang bahagi nito ay dapat magkaroon ng parehong dimensyon. Ang simpleng panuntunang ito ay malinaw na ipinatupad sa pang-araw-araw na buhay. Napagtanto ng lahat na ang mga metro ay maaari lamang idagdag sa mga metro at hindi sa mga kilo o segundo. Dapat itong malinaw na maunawaan na ang panuntunan ay nananatiling wasto kapag isinasaalang-alang ang kahit na ang pinaka kumplikadong mga equation.

Ang paraan ng pagsusuri ng dimensional ay batay sa tinatawag na -theorem (basahin: pi-theorem). -Ang theorem ay nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng isang function na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga dimensional na parameter at isang function sa isang walang sukat na anyo. Ang theorem ay maaaring mas ganap na mabalangkas tulad ng sumusunod:

Anumang functional na relasyon sa pagitan ng mga dimensional na dami ay maaaring katawanin bilang isang relasyon sa pagitan N mga walang sukat na complex (mga numero) na binubuo ng mga dami na ito. Ang bilang ng mga complex na ito , saan n- bilang ng mga pangunahing yunit. Tulad ng nabanggit sa itaas, sa hydromechanics (kg, m, s).

Hayaan, halimbawa, ang halaga PERO ay isang function ng limang dimensional na dami (), i.e.

(13.12)

Ito ay sumusunod mula sa -theorem na ang dependence na ito ay maaaring mabago sa isang dependence na naglalaman ng dalawang numero ( )

(13.13)

kung saan at ang mga walang sukat na complex na binubuo ng mga dimensional na dami.

Ang theorem na ito ay minsan ay iniuugnay sa Buckingham at tinatawag na - Buckingham's theorem. Sa katunayan, maraming kilalang siyentipiko ang nag-ambag sa pag-unlad nito, kabilang sina Fourier, Ryabushinsky, at Rayleigh.

Ang patunay ng teorama ay lampas sa saklaw ng kurso. Kung kinakailangan, ito ay matatagpuan sa aklat ng L.I. Sedov "Mga pamamaraan ng pagkakapareho at sukat sa mekanika" - M .: Nauka, 1972. - 440 p. Ang isang detalyadong pagbibigay-katwiran ng pamamaraan ay ibinigay din sa aklat ni V.A. Venikov at G.V. Venikov "Teorya ng pagkakatulad at pagmomolde" - M.: Mas mataas na paaralan, 1984. -439 p. Ang isang tampok ng aklat na ito ay, bilang karagdagan sa mga isyu na may kaugnayan sa pagkakatulad, kabilang dito ang impormasyon tungkol sa pamamaraan para sa pag-set up ng isang eksperimento at pagproseso ng mga resulta nito.

Ang paggamit ng dimensional analysis para sa paglutas ng mga partikular na praktikal na problema ay nauugnay sa pangangailangan na mag-compile ng functional dependence ng form (13.12), na sa susunod na yugto ay pinoproseso ng mga espesyal na diskarte na sa huli ay humahantong sa pagkuha ng mga numero (mga numero ng pagkakatulad).

Ang pangunahing yugto ng malikhaing ay ang unang yugto, dahil ang mga resultang nakuha ay nakasalalay sa kung gaano katama at kumpleto ang pag-unawa ng mananaliksik sa pisikal na katangian ng proseso. Sa madaling salita, kung paano tama at ganap na isinasaalang-alang ng functional dependence (13.12) ang lahat ng mga parameter na nakakaapekto sa prosesong pinag-aaralan. Ang anumang pagkakamali dito ay hindi maiiwasang humahantong sa maling konklusyon. Ang tinatawag na "Rayleigh's error" ay kilala sa kasaysayan ng agham. Ang kakanyahan nito ay kapag pinag-aaralan ang problema ng paglipat ng init sa magulong daloy, hindi isinasaalang-alang ni Rayleigh ang impluwensya ng lagkit ng daloy, i.e. hindi ito isinama sa dependency (13.12). Bilang resulta, ang mga huling ratio na nakuha niya ay hindi kasama ang Reynolds similarity number, na gumaganap ng isang napakahalagang papel sa paglipat ng init.

Upang maunawaan ang kakanyahan ng pamamaraan, isaalang-alang ang isang halimbawa, naglalarawan ng parehong pangkalahatang diskarte sa problema at ang paraan ng pagkuha ng mga numero ng pagkakatulad.

Kinakailangang itatag ang uri ng pag-asa na ginagawang posible upang matukoy ang pagkawala ng presyon o pagkawala ng ulo sa magulong daloy sa mga bilog na tubo.

Alalahanin na ang problemang ito ay naikonsidera na sa Seksyon 12.6. Samakatuwid, walang alinlangan na interes na itatag kung paano ito malulutas gamit ang dimensional na pagsusuri at kung ang solusyon na ito ay nagbibigay ng anumang bagong impormasyon.

Malinaw na ang pagbaba ng presyon sa kahabaan ng tubo, dahil sa enerhiya na ginugol upang mapagtagumpayan ang mga puwersa ng malapot na alitan, ay inversely proporsyonal sa haba nito, samakatuwid, upang mabawasan ang bilang ng mga variable, ipinapayong isaalang-alang ang hindi , ngunit , ibig sabihin. pagkawala ng presyon sa bawat yunit ng haba ng tubo. Alalahanin na ang ratio , kung saan ang pagkawala ng presyon, ay tinatawag na haydroliko na slope.

Mula sa konsepto ng pisikal na katangian ng proseso, maaaring ipagpalagay na ang mga resultang pagkalugi ay dapat na nakasalalay sa: ang average na rate ng daloy ng gumaganang daluyan (v); sa laki ng pipeline, na tinutukoy ng diameter nito ( d); mula sa pisikal na katangian transported medium, na nailalarawan sa density nito () at lagkit (); at, sa wakas, makatwirang ipagpalagay na ang mga pagkalugi ay dapat na kahit papaano ay nauugnay sa estado ng panloob na ibabaw ng tubo, i.e. may kagaspangan ( k) ng mga pader nito. Kaya, ang pag-asa (13.12) sa kaso na isinasaalang-alang ay may anyo

(13.14)

Ito ang katapusan ng una at, dapat itong bigyang-diin, ang pinakamahalagang hakbang sa pagsusuri ng mga sukat.

Alinsunod sa -theorem, ang bilang ng mga nakakaimpluwensyang parameter na kasama sa dependence ay . Dahil dito, ang bilang ng mga walang sukat na complex , i.e. pagkatapos ng naaangkop na pagproseso (13.14) ay dapat kunin ang form

(13.15)

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang mga numero. Gagamitin natin ang paraan na iminungkahi ni Rayleigh.

Ang pangunahing bentahe nito ay ito ay isang uri ng algorithm na humahantong sa solusyon ng problema.

Mula sa mga parameter na kasama sa (13.15) kinakailangan na pumili ng alinman sa tatlo, ngunit upang isama nila ang mga pangunahing yunit, i.e. metro, kilo at segundo. Hayaan silang maging v, d, . Madaling i-verify na natutugunan nila ang nakasaad na kinakailangan.

Ang mga numero ay nabuo sa anyo ng mga power monomial mula sa mga napiling parameter na pinarami ng isa sa mga natitira sa (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Ngayon ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lahat ng exponents. Kasabay nito, dapat silang mapili upang ang mga numero ay walang sukat.

Upang malutas ang problemang ito, una naming tinutukoy ang mga sukat ng lahat ng mga parameter:

; ;

Lagkit , ibig sabihin. .

Parameter , at .

At sa wakas, .

Kaya, ang mga sukat ng mga numero ay magiging

Katulad nito, ang iba pang dalawa

Sa simula ng Seksyon 13.3, nabanggit na na para sa anumang walang sukat na dami, ang mga dimensyong exponent . Samakatuwid, halimbawa, para sa isang numero na maaari nating isulat

Ang equating ng mga exponent, nakakakuha tayo ng tatlong equation na may tatlong hindi alam

Saan natin matatagpuan; ; .

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa (13.6), nakukuha namin

(13.19)

Sa katulad na paraan, madaling ipakita iyon

at .

Kaya, ang pag-asa (13.15) ay tumatagal ng anyo

(13.20)

Dahil mayroong isang hindi natukoy na numero ng pagkakatulad (Euler number), kung gayon ang (13.20) ay maaaring isulat bilang isang functional dependence

(13.21)

Dapat itong isipin na ang pagsusuri ng mga sukat ay hindi at sa prinsipyo ay hindi maaaring magbigay ng anumang mga numerong halaga sa mga ratio na nakuha sa tulong nito. Samakatuwid, dapat itong magtapos sa isang pagsusuri ng mga resulta at, kung kinakailangan, ang kanilang pagwawasto batay sa mga pangkalahatang pisikal na konsepto. Isaalang-alang natin ang pagpapahayag (13.21) mula sa mga posisyong ito. Kasama sa kanang bahagi nito ang parisukat ng bilis, ngunit ang entry na ito ay hindi nagpapahayag ng anumang bagay maliban sa katotohanan na ang bilis ay parisukat. Gayunpaman, kung hahatiin natin ang halagang ito sa dalawa, i.e. , kung gayon, gaya ng nalalaman mula sa hydromechanics, nakakakuha ito ng mahalagang pisikal na kahulugan: ang tiyak kinetic energy, a - dynamic na presyon dahil sa average na bilis. Kung isasaalang-alang ito, nararapat na isulat ang (13.21) sa form

(13.22)

Kung ngayon, tulad ng sa (12.26), tinutukoy namin sa pamamagitan ng titik , pagkatapos ay dumating kami sa formula ng Darcy

(13.23)

(13.24)

kung saan ang hydraulic coefficient ng friction, na, tulad ng sumusunod mula sa (13.22), ay isang function ng Reynolds number at relative roughness ( k/d). Ang anyo ng pag-asa na ito ay matatagpuan lamang sa eksperimento.

PANITIKAN

1. Kalnitsky L.A., Dobrotin D.A., Zheverzheev V.F. Espesyal na kurso ng mas mataas na matematika para sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon. M.: Mas mataas na paaralan, 1976. - 389s.

2. Astarita J., Marruchi J. Mga Batayan ng hydromechanics ng mga non-Newtonian fluid. - M.: Mir, 1978.-307p.

3. Fedyaevsky K.K., Faddeev Yu.I. Hydromechanics. - M.: Paggawa ng Barko, 1968. - 567 p.

4. Fabrikant N.Ya. Aerodynamics. - M.: Nauka, 1964. - 814 p.

5. Arzhanikov N.S. at Maltsev V.N. Aerodynamics. - M.: Oborongiz, 1956 - 483 p.

6. Filchakov P.F. Tinatayang mga paraan ng conformal mappings. - K .: Naukova Dumka, 1964. - 530 p.

7. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Mga pamamaraan ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. - M.: Nauka, 1987. - 688 p.

8. Daly J., Harleman D. Fluid Mechanics. -M.: Enerhiya, 1971. - 480 p.

9. A.S. Monin, A.M. Yaglom "Statistical hydromechanics" (bahagi 1. - M .: Nauka, 1968. - 639 p.)

10. Schlichting G. Teorya ng boundary layer. - M.: Nauka, 1974. - 711 p.

11. Pavlenko V.G. Mga batayan ng fluid mechanics. - L.: Paggawa ng Barko, 1988. - 240 p.

12. Altshul A.D. haydroliko na pagtutol. - M.: Nedra, 1970. - 215 p.

13. A.A. Gukhman "Panimula sa teorya ng pagkakatulad." - M.: Higher School, 1963. - 253 p.

14. S. Kline "Mga Pagkakatulad at Tinatayang Pamamaraan". - M.: Mir, 1968. - 302 p.

15. A.A. Gukhman "Paglalapat ng teorya ng pagkakatulad sa pag-aaral ng mga proseso ng paglipat ng init at masa. Ilipat ang mga proseso sa isang gumagalaw na daluyan. - M.: Mas mataas na sukat, 1967. - 302 p.

16. A.N. Lebedev "Pagmomodelo sa siyentipiko at teknikal na pananaliksik". - M.: Radyo at mga komunikasyon. 1989. -224 p.

17. L.I. Sedov "Mga pamamaraan ng pagkakapareho at sukat sa mekanika" - M .: Nauka, 1972. - 440 p.

18. V.A.Venikov at G.V.Venikov "Teorya ng pagkakatulad at pagmomolde" - M.: Mas mataas na paaralan, 1984. -439 p.

1. MATHEMATICAL APPARATUS NA GINAMIT SA FLUID MECHANICS .......................................... .................... ................................ ................... ..... 3

1.1. Mga vector at pagpapatakbo sa mga ito ............................................. ................. ...... apat

1.2. Mga operasyon ng unang pagkakasunud-sunod (mga katangian ng pagkakaiba-iba ng patlang). ................................................... . ................................................ .. ... 5

1.3. Mga pagpapatakbo ng pangalawang pagkakasunud-sunod................................................. ................... ......... 6

1.4. Integral Relations of Field Theory................................................ .. 7

1.4.1. Daloy ng patlang ng vector................................................. ............... 7

1.4.2. Sirkulasyon ng field vector .............................................. .. 7

1.4.3. Formula ng Stokes ................................................ .. ............. 7

1.4.4. Gauss-Ostrogradsky formula............................. 7

2. BATAYANG PISIKAL NA KATANGIAN AT PARAMETER NG LIQUID. MGA PWERSA AT STRESS ............................................... ................ ............................ walo

2.1. Densidad................................................. ................................... walo

2.2. Lagkit................................................. ...................................... 9

2.3. Pag-uuri ng mga puwersa .............................................. ... .................... 12

2.3.1. Mga pwersang masa ................................................ ................... ............. 12

2.3.2. Mga puwersa sa ibabaw ................................................ ................... .... 12

2.3.3. Stress tensor................................................ .............. ...... 13

2.3.4. Equation of Motion in Stress .................................. 16

3. HYDROSTATICS................................................. ................................. labing-walo

3.1. Equation ng Fluid Equilibrium ............................................... 18

3.2. Basic equation ng hydrostatics sa differential form. ................................................... . ................................................ .. ... 19

3.3. Equipotential ibabaw at ibabaw ng pantay na presyon. ................................................... . ................................................ .. ... dalawampu

3.4. Equilibrium ng isang homogenous incompressible fluid sa larangan ng gravity. Batas ni Pascal. Hydrostatic na batas ng pamamahagi ng presyon... 20

3.5. Pagpapasiya ng puwersa ng presyon ng likido sa ibabaw ng mga katawan .... 22

3.5.1. patag na ibabaw................................................ .... 24

4. KINEMATICS................................................. ...................................... 26

4.1. Panay at hindi matatag na paggalaw ng isang likido ...... 26

4.2. Continuity (continuity) equation................................................ .. 27

4.3. Mga streamline at trajectory ............................................... ................ ............ 29

4.4. Stream tube (stream surface)................................................ ...... ... 29

4.5. Modelo ng daloy ng jet .............................................. ................ ............ 29

4.6. Continuity equation para sa isang patak................................................... .. 30

4.7. Pagpapabilis ng isang likidong particle ............................................... ................... ...... 31

4.8. Pagsusuri ng paggalaw ng isang likidong particle .............................................. .... 32

4.8.1. Angular deformation ................................................ ................... ... 32

4.8.2. Mga linear na deformation ................................................ ................... .36

5. VORTEX MOTION NG ISANG LIQUID ............................................. ................... .38

5.1. Kinematics ng vortex motion................................................ 38

5.2. Lakas ng puyo ng tubig .............................................. .............. ................ 39

5.3. Bilis ng sirkulasyon................................................ ................... ............... 41

5.4. Teorama ng Stokes .............................................. .... ......................... 42

6. POTENSIAL LIQUID MOVEMENT ............................................. 44

6.1. Potensyal ng Bilis .............................................. ................................. 44

6.2. Laplace equation ................................................ .. ................... 46

6.3. Bilis ng sirkulasyon sa isang potensyal na larangan................................................... 47

6.4. Kasalukuyang function ng daloy ng eroplano .............................................. .................... .47

6.5. Hydromechanical na kahulugan ng kasalukuyang function .............................. 49

6.6. Relasyon sa pagitan ng potensyal na bilis at kasalukuyang function .............................. 49

6.7. Mga Paraan para sa Pagkalkula ng Mga Potensyal na Daloy ............................................. 50

6.8. Superposisyon ng mga Potensyal na Daloy................................................ ...... 54

6.9. Hindi umiikot na daloy na lampas sa isang pabilog na silindro .................. 58

6.10. Paglalapat ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable sa pag-aaral ng mga daloy ng eroplano ng isang perpektong likido ..... 60

6.11. Mga conformal mapping ................................................ ................... ..... 62

7. HYDRODYNAMICS NG ISANG IDEAL NA LIQUID .............................. 65

7.1. Mga equation ng paggalaw para sa perpektong likido.................................... 65

7.2. Gromeka-Lamb transformation.............................................. 66

7.3. Equation ng paggalaw sa anyo ng Gromeka-Lamb .............................. 67

7.4. Pagsasama-sama ng equation ng paggalaw para sa isang tuluy-tuloy na daloy...................................... .......................... ............................ ......................... ........... 68

7.5. Pinasimpleng derivation ng Bernoulli equation............................... 69

7.6. Kahulugan ng enerhiya ng equation ng Bernoulli .......................... 70

7.7. Ang equation ni Bernoulli sa anyo ng mga ulo............................................. .... 71

8. HYDRODYNAMICS NG ISANG MALIGIT NA LIQUID ............................................. ... 72

8.1. Modelo ng malapot na likido .............................................. ................... ........... 72

8.1.1. Linearity hypothesis .............................................. ................... ... 72

8.1.2. Homogeneity hypothesis ................................................ ................... 74

8.1.3. Hypothesis ng isotropy .............................................. ............... .74

8.2 Equation ng paggalaw ng isang malapot na likido. (Navier-Stokes equation) ............................................ ... ................................................... .. ........... 74

9. ONE-DIMENSIONAL FLOWES NG INCOMPRRESSIBLE LIQUID (mga batayan ng hydraulics) .................................... .................... ................................ ................... ................. 77

9.1. Daloy ng daloy at average na bilis................................................. ................. 77

9.2. Mahina ang deform na daloy at ang mga katangian ng mga ito....................... 78

9.3. Bernoulli equation para sa daloy ng malapot na likido .................................. 79

9.4. Ang pisikal na kahulugan ng koepisyent ng Coriolis .............................. 82

10. CLASSIFICATION OF LIQUID FLOWS. KATATAGAN NG KILOS .............................................. ................................................. ........... 84

11. REGULARIDAD NG LAMINAR FLOW SA MGA ROUND PIPES ........................................ ....................... .............................. ...................... .......... 86

12. PANGUNAHING REGULARIDAD NG MAGIGING PAGGALAW. ................................................... . ................................................ .. ............ 90

12.1. Pangkalahatang Impormasyon................................................ ... ....................... 90

12.2. Reynolds equation................................................. ... ............ 92

12.3. Mga semi-empirical na teorya ng kaguluhan................................................ ... 93

12.4. Magulong daloy sa mga tubo .............................................. 95

12.5. Mga Batas ng Kapangyarihan ng Pamamahagi ng Bilis....................... 100

12.6. Pagkawala ng presyon (presyon) sa panahon ng magulong daloy sa mga tubo. ................................................... . ................................................ .. ... 100

13. MGA PUNDAMENTAL NG TEORYA NG PAGKAKATULAD AT PAGMOMODEL .......... 102

13.1. Pagsusuri ng Inspeksyon ng Differential Equation..... 106

13.2. Ang konsepto ng pagkakatulad sa sarili .............................................. ................... .110

13.3. Pagsusuri ng Dimensyon ................................................ ................... ............ 111

Panitikan …………………………………………………………………..118

MAY PANINIWALAANG "MULA SA WAKAS HANGGANG SIMULA" NA MGA DAHILAN SA PAGTATAYA NG MGA SALIK SA TEKNOLOHIKAL NA PROSESO

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa paraan ng pagsusuri ng dimensional

Kapag nag-aaral mekanikal na phenomena isang bilang ng mga konsepto ang ipinakilala, halimbawa, enerhiya, bilis, boltahe, atbp., na nagpapakilala sa hindi pangkaraniwang bagay na isinasaalang-alang at maaaring ibigay at matukoy gamit ang isang numero. Ang lahat ng mga katanungan tungkol sa paggalaw at balanse ay nabuo bilang mga problema sa pagtukoy ng ilang mga function at numerical na halaga para sa mga dami na nagpapakilala sa kababalaghan, at kapag nilutas ang mga naturang problema sa mga teoretikal na pag-aaral, ang mga batas ng kalikasan at iba't ibang mga geometric (spatial) na relasyon ay ipinakita sa anyo ng mga functional equation - kadalasang kaugalian.

Kadalasan, wala tayong pagkakataon na bumalangkas ng problema sa isang matematikal na anyo, dahil ang pinag-aralan na mekanikal na phenomenon ay napakakomplikado na wala pang katanggap-tanggap na pamamaraan para dito at wala pang mga equation ng paggalaw. Nakatagpo kami ng ganitong sitwasyon kapag nilulutas ang mga problema sa larangan ng mekanika ng sasakyang panghimpapawid, hydromechanics, sa mga problema sa pag-aaral ng lakas at mga deformasyon, at iba pa. Sa mga kasong ito, ang pangunahing papel ay ginagampanan ng mga pang-eksperimentong pamamaraan ng pananaliksik, na ginagawang posible upang maitatag ang pinakasimpleng pang-eksperimentong data, na kasunod na bumubuo ng batayan ng magkakaugnay na mga teorya na may mahigpit na kasangkapan sa matematika. Gayunpaman, ang mga eksperimento mismo ay maaaring isagawa lamang sa batayan ng isang paunang teoretikal na pagsusuri. Ang kontradiksyon ay nareresolba sa panahon ng umuulit na proseso ng pananaliksik, naglalagay ng mga pagpapalagay at hypotheses at pagsubok sa mga ito sa eksperimentong paraan. Kasabay nito, ang mga ito ay batay sa pagkakaroon ng pagkakatulad ng mga natural na phenomena, bilang isang pangkalahatang batas. Ang teorya ng pagkakatulad at mga sukat ay sa isang tiyak na lawak ang "gramatika" ng eksperimento.

Dimensyon ng mga dami

Ang mga yunit ng pagsukat ng iba't ibang mga pisikal na dami, na pinagsama batay sa kanilang pagkakapare-pareho, ay bumubuo ng isang sistema ng mga yunit. Sa kasalukuyan, ginagamit ang International System of Units (SI). Sa SI, nang nakapag-iisa sa isa't isa, ang mga yunit ng pagsukat ng tinatawag na pangunahing dami ay pinili - mass (kilogram, kg), haba (meter, m), oras (segundo, sec, s), kasalukuyang lakas (ampere , a), temperatura (degree Kelvin, K) at ang lakas ng liwanag (kandila, sv). Ang mga ito ay tinatawag na mga pangunahing yunit. Ang mga yunit ng pagsukat ng natitira, pangalawa, mga dami ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pangunahing. Ang pormula na nagpapahiwatig ng pag-asa ng yunit ng pagsukat ng pangalawang dami sa mga pangunahing yunit ng pagsukat ay tinatawag na dimensyon ng dami na ito.

Ang dimensyon ng isang pangalawang dami ay matatagpuan gamit ang pagtukoy ng equation, na nagsisilbing kahulugan ng dami na ito sa anyong matematikal. Halimbawa, ang pagtukoy sa equation para sa bilis ay

Ipapahiwatig namin ang dimensyon ng isang dami gamit ang simbolo ng dami na ito na kinuha sa mga square bracket, pagkatapos

, o
,

kung saan ang [L], [T] ay ang mga sukat ng haba at oras, ayon sa pagkakabanggit.

Ang pagtukoy sa equation para sa puwersa ay maaaring ituring na pangalawang batas ni Newton

Pagkatapos ang dimensyon ng puwersa ay magkakaroon ng sumusunod na anyo

[F]=[M][L][T] .

Ang pagtukoy ng equation at ang formula para sa dimensyon ng trabaho, ayon sa pagkakabanggit, ay magkakaroon ng anyo

A=Fs at [A]=[M][L] [T] .

Sa pangkalahatan, magkakaroon tayo ng relasyon

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Bigyang-pansin natin ang talaan ng ugnayan ng mga sukat, magiging kapaki-pakinabang pa rin ito sa atin.

Mga teorema ng pagkakatulad

Ang pagbuo ng teorya ng pagkakatulad sa historikal na aspeto ay nailalarawan sa pamamagitan ng tatlong pangunahing teorema nito.

Unang teorama ng pagkakatulad bumubuo ng mga kinakailangang kondisyon at katangian ng naturang mga sistema, na nagsasaad na ang mga katulad na phenomena ay may parehong pamantayan ng pagkakatulad sa anyo ng mga walang sukat na expression, na isang sukatan ng ratio ng intensity ng dalawang pisikal na epekto na mahalaga para sa prosesong pinag-aaralan.

Pangalawang teorama ng pagkakatulad(P-theorem) ay nagpapatunay ng posibilidad na bawasan ang equation sa isang criterion form nang hindi tinutukoy ang kasapatan ng mga kondisyon para sa pagkakaroon ng pagkakatulad.

Pangatlong teorama ng pagkakatulad tumuturo sa mga limitasyon ng regular na pamamahagi ng isang karanasan, dahil ang mga naturang phenomena ay ang mga may katulad na kundisyon para sa pagiging natatangi at parehong pamantayan sa pagtukoy.

Kaya, ang metodolohikal na kakanyahan ng teorya ng mga sukat ay nakasalalay sa katotohanan na ang anumang sistema ng mga equation na naglalaman ng isang mathematical record ng mga batas na namamahala sa kababalaghan ay maaaring mabalangkas bilang isang relasyon sa pagitan ng mga walang sukat na dami. Ang mga pamantayan sa pagtukoy ay binubuo ng magkaparehong independiyenteng mga dami na kasama sa mga kundisyon ng pagiging natatangi: mga geometriko na relasyon, pisikal na mga parameter, mga kondisyon ng hangganan (inisyal at hangganan). Ang sistema ng pagtukoy ng mga parameter ay dapat magkaroon ng mga katangian ng pagkakumpleto. Ang ilan sa mga parameter ng pagtukoy ay maaaring mga pisikal na dimensyon na mga constant, tatawagin natin silang mga pangunahing variable, sa kaibahan sa iba - kinokontrol na mga variable. Ang isang halimbawa ay ang acceleration of gravity. Siya ay isang pangunahing variable. Sa mga kondisyong panlupa pare-pareho at isang variable sa mga kondisyon ng espasyo.

Para sa tamang aplikasyon ng dimensional analysis, dapat malaman ng mananaliksik ang kalikasan at bilang ng mga pundamental at kontroladong variable sa kanyang eksperimento.

Sa kasong ito, mayroong praktikal na konklusyon mula sa teorya ng dimensional analysis at ito ay nakasalalay sa katotohanan na kung talagang alam ng eksperimento ang lahat ng mga variable ng prosesong pinag-aaralan, at wala pa ring mathematical record ng batas sa anyo ng isang equation, pagkatapos ay may karapatan siyang baguhin ang mga ito sa pamamagitan ng paglalapat ng unang bahagi Ang mga teorema ni Buckingham: "Kung ang anumang equation ay hindi malabo na may kinalaman sa mga dimensyon, maaari itong i-convert sa isang ugnayang naglalaman ng isang set ng walang sukat na kumbinasyon ng mga dami."

Ang homogenous na may paggalang sa mga sukat ay isang equation na ang anyo ay hindi nakasalalay sa pagpili ng mga pangunahing yunit.

PS. Ang mga empirical pattern ay karaniwang tinatayang. Ito ay mga paglalarawan sa anyo ng mga hindi magkakatulad na equation. Sa kanilang disenyo, mayroon silang mga dimensional na coefficient na "gumagana" lamang sa isang tiyak na sistema ng mga yunit ng pagsukat. Kasunod nito, kasama ang akumulasyon ng data, nakarating kami sa isang paglalarawan sa anyo ng mga homogenous na equation, ibig sabihin, independyente sa sistema ng mga yunit ng pagsukat.

Mga kumbinasyong walang sukat, ang pinag-uusapan, ay mga produkto o ratio ng mga dami, na iginuhit sa paraang sa bawat kumbinasyon ng mga sukat ay nababawasan. Sa kasong ito, ang mga produkto ng ilang dimensional na dami ng iba't ibang pisikal na kalikasan ay nabubuo mga complex, ang ratio ng dalawang dimensional na dami ng parehong pisikal na kalikasan - mga simplices.

Sa halip na pag-iba-iba ang bawat isa sa mga variable,at ang pagbabago ng ilan sa mga ito ay maaaring maging sanhikahirapan, maaari lamang mag-iba ang mananaliksikmga kumbinasyon. Ang sitwasyong ito ay lubos na nagpapasimple sa eksperimento at ginagawang posible na ipakita sa graphical na anyo at pag-aralan ang nakuhang data nang mas mabilis at may higit na katumpakan.

Gamit ang paraan ng pagsusuri ng dimensional, pag-aayos ng makatwirang pangangatwiran "mula sa katapusan hanggang sa simula".

Ang pagiging pamilyar sa Pangkalahatang Impormasyon, ang partikular na atensyon ay dapat ibigay sa mga sumusunod na punto.

Ang pinaka-epektibong paggamit ng dimensional analysis ay sa pagkakaroon ng isang kumbinasyon na walang dimension. Sa kasong ito, sapat na ang eksperimento na matukoy lamang ang tumutugmang koepisyent (sapat na mag-set up ng isang eksperimento upang mag-compile at malutas ang isang equation). Ang gawain ay nagiging mas kumplikado sa isang pagtaas sa bilang ng mga walang sukat na kumbinasyon. Ang pagsunod sa pangangailangan ng isang kumpletong paglalarawan ng pisikal na sistema, bilang panuntunan, ay posible (o marahil ay iniisip nila ito) na may pagtaas sa bilang ng mga variable na isinasaalang-alang. Ngunit sa parehong oras, ang posibilidad ng komplikasyon ng anyo ng pag-andar ay tumataas at, pinaka-mahalaga, ang dami ng eksperimentong gawain ay tumataas nang husto. Ang pagpapakilala ng karagdagang mga pangunahing yunit sa paanuman ay nagpapagaan ng problema, ngunit hindi palaging at hindi ganap. Ang katotohanan na ang teorya ng dimensional analysis ay bubuo sa paglipas ng panahon ay lubhang nakapagpapatibay at nakatuon sa paghahanap ng mga bagong posibilidad.

Buweno, paano kung, kapag naghahanap at bumubuo ng isang hanay ng mga salik na dapat isaalang-alang, ibig sabihin, sa katunayan, muling likhain ang istruktura ng pisikal na sistemang pinag-aaralan, ginagamit natin ang organisasyon ng makatwirang pangangatwiran "mula sa dulo hanggang sa simula" ayon sa Pappus?

Upang maunawaan ang panukala sa itaas at pagsama-samahin ang mga pundasyon ng pamamaraan ng pagsusuri ng dimensional, iminumungkahi naming pag-aralan ang isang halimbawa ng pagtatatag ng ugnayan ng mga kadahilanan na tumutukoy sa kahusayan ng pagsabog sa panahon ng pagmimina sa ilalim ng lupa ng mga deposito ng mineral.

Isinasaalang-alang ang mga prinsipyo ng diskarte sa mga system, marapat nating hatulan na ang dalawang systemic na nakikipag-ugnayan na mga bagay ay bumubuo ng isang bagong dynamic na sistema. Sa mga aktibidad sa produksyon, ang mga bagay na ito ay ang object ng pagbabago at ang paksang instrumento ng pagbabago.

Kapag sinisira ang ore batay sa pagsabog na pagkasira, maaari nating isaalang-alang ang ore massif at ang sistema ng mga singil sa paputok (mga balon) bilang ganoon.

Kapag ginagamit ang mga prinsipyo ng pagsusuri ng dimensional na may organisasyon ng makatwirang pangangatwiran "mula sa dulo hanggang simula", nakukuha namin ang sumusunod na linya ng pangangatwiran at isang sistema ng mga ugnayan sa pagitan ng mga parameter ng explosive complex at ang mga katangian ng array.

d m = f 1 (W , ako 0 ,t deputy , s)	d m = k 1 W(st deputy ¤ ako 0 W) n (1)
ako 0 = f 2 (I c ,V Boer ,K at )	ako 0 = k 2 ako c V Boer K at (2)
ako c = f 3 (t deputy ,Q ,A)	ako Sa = k 3 t hangin 2/3 Q 2/3 A 1/3 (3)
t hangin = f 4 (r zab ,P Max l mabuti )	t hangin = k 4 r zab 1/2 P Max –1/2 l mabuti (4)
P Max = f 5 (r zar D)	P Max = k 5 r zar D 2 (5)

Ang mga pagtatalaga at mga formula para sa mga sukat ng mga variable na ginamit ay ibinigay sa Talahanayan.

MGA VARIABLE	Pagtatalaga	mga sukat
Pinakamataas na diameter ng pagdurog	d m	[ L]
Linya ng hindi bababa sa pagtutol		[ L]
Ang lakas ng compressive ng mga bato
Panahon (interval) ng pagbabawas ng bilis ng pagsabog	t deputy	[ T]
Impulse ng pagsabog bawat 1 m 3 ng array	ako 0
Tukoy na pagkonsumo ng pagbabarena, m / m 3	V Boer	[ L -2 ]
Ang rate ng paggamit ng mga balon na sinisingil	Upang ay
Impulse ng pagsabog bawat 1 m ng balon	ako c
Enerhiya ng pagsabog bawat 1 m ng singil
Acoustic hardness ng medium (A=gC)
Ang oras ng epekto ng pagsabog sa balon	t hangin	[ T]
stemming density	r zab	[ L -3 M]
Well haba	l mabuti	[ L]
Pinakamataas na paunang presyon ng balon		[ L -1 M T -2 ]
Densidad ng singil sa balon	r zar	[ L -3 M]
Ang bilis ng pagsabog ng paputok		[ L T -1 ]

Ang pagpasa mula sa formula (5) hanggang sa formula (1), na inilalantad ang mga itinatag na relasyon, at isinasaisip din ang dating itinatag na relasyon sa pagitan ng diameter ng average at diameter ng maximum na piraso sa mga tuntunin ng pagbagsak

d ikasal = k 6 d m 2/3 , (6)

nakukuha namin ang pangkalahatang equation para sa relasyon ng mga kadahilanan na tumutukoy sa kalidad ng pagdurog:

d ikasal = kW 2/3 [ s t deputy / r zab 1/3 D -2/3 l mabuti 2/3 M zar 2|3 U mga siglo 2/3 PERO 1/3 V Boer Upang ay W] n (7)

Ibahin natin ang huling expression upang lumikha ng mga walang sukat na complex, habang isinasaisip ang:

Q= M zar U mga siglo ; q mga siglo =M zar V Boer Upang ay ; M zab =0.25 p r zab d mabuti 2 ;

saan M zar ay ang masa ng explosive charge sa 1 m ng haba ng balon, kg/m;

M zab – masa ng stemming sa 1 m ng stemming, kg/m;

U mga siglo – calorific value ng mga paputok, kcal/kg.

Sa numerator at denominator na ginagamit natin [M zar 1/3 U mga siglo 1/3 (0.25 pd mabuti 2 ) 1/3 ] . Makukuha natin sa wakas

Ang lahat ng mga kumplikado at simplices ay may pisikal na kahulugan. Ayon sa pang-eksperimentong data at data ng pagsasanay, ang power exponent n=1/3, at koepisyent k ay tinutukoy depende sa sukat ng pagpapasimple ng pagpapahayag (8).

Bagama't ang tagumpay ng pagsusuri ng dimensyon ay nakasalalay sa isang tamang pag-unawa sa pisikal na kahulugan ng isang partikular na problema, pagkatapos ng pagpili ng mga variable at pangunahing sukat, ang pamamaraang ito ay maaaring ganap na awtomatikong mailapat. Samakatuwid, ang pamamaraang ito ay madaling maipahayag sa pormularyo ng reseta, na isinasaalang-alang, gayunpaman, na ang naturang "resipe" ay nangangailangan ng mananaliksik na piliin nang tama ang mga sangkap na bumubuo. Ang tanging magagawa natin dito ay magbigay ng ilang pangkalahatang payo.

Stage 1. Pumili ng mga independiyenteng variable na nakakaapekto sa system. Dapat ding isaalang-alang ang mga dimensional coefficient at physical constant kung may mahalagang papel ang mga ito. Ito ang pinaka responsableang yugto ng buong gawain.

Stage 2. Pumili ng isang sistema ng mga pangunahing sukat kung saan maaari mong ipahayag ang mga yunit ng lahat ng napiling mga variable. Ang mga sumusunod na sistema ay karaniwang ginagamit: sa mechanics at fluid dynamics MLq(minsan FLq), sa thermodynamics MLqT o MLqTH; sa electrical engineering at nuclear physics MLqUpang o MLqm., sa kasong ito, ang temperatura ay maaaring isaalang-alang bilang isang pangunahing dami, o ipinahayag sa mga tuntunin ng molecular kinetic energy.

Stage 3. Isulat ang mga sukat ng mga napiling independent variable at gumawa ng mga kumbinasyong walang dimension. Ang solusyon ay magiging tama kung: 1) bawat kumbinasyon ay walang sukat; 2) ang bilang ng mga kumbinasyon ay hindi mas mababa kaysa sa hinulaang ng p-theorem; 3) bawat variable ay nangyayari sa mga kumbinasyon ng hindi bababa sa isang beses.

Stage 4. Suriin ang mga resultang kumbinasyon sa mga tuntunin ng kanilang katanggap-tanggap, pisikal na kahulugan at (kung hindi bababa sa mga parisukat na paraan ang gagamitin) konsentrasyon ng kawalan ng katiyakan sa isang kumbinasyon kung maaari. Kung ang mga kumbinasyon ay hindi nakakatugon sa mga pamantayang ito, kung gayon ang isa ay maaaring: 1) makakuha ng isa pang solusyon sa mga equation para sa mga exponents upang mahanap ang pinakamahusay na hanay ng mga kumbinasyon; 2) pumili ng isa pang sistema ng mga pangunahing sukat at gawin ang lahat ng gawain mula sa simula; 3) suriin ang kawastuhan ng pagpili ng mga independiyenteng variable.

Yugto 5. Kapag nakuha ang isang kasiya-siyang hanay ng mga kumbinasyong walang sukat, maaaring magplano ang mananaliksik na baguhin ang mga kumbinasyon sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng mga halaga ng mga napiling variable sa kanyang kagamitan. Ang disenyo ng mga eksperimento ay dapat bigyan ng espesyal na pagsasaalang-alang.

Kapag ginagamit ang paraan ng pag-aaral ng dimensional na may organisasyon ng makatwirang pangangatwiran "mula sa katapusan hanggang sa simula", kinakailangan na ipakilala ang mga seryosong pagwawasto, at lalo na sa unang yugto.

Maikling konklusyon

Ngayon posible na mabuo ang mga konseptong probisyon ng gawaing pananaliksik ayon sa naitatag na normative algorithm. Ang sunud-sunod na pagsunod ay nagbibigay-daan sa iyo na i-streamline ang paghahanap para sa isang paksa at matukoy ang mga yugto ng pagpapatupad nito na may access sa mga probisyon at rekomendasyong pang-agham. Ang kaalaman sa nilalaman ng mga indibidwal na pamamaraan ay nag-aambag sa kanilang ekspertong pagsusuri at pagpili ng pinakaangkop at epektibo.

Pag-unlad ng siyentipikong pananaliksik ay maaaring iharap sa anyo ng isang lohikal na pamamaraan, na tinutukoy sa proseso ng pagsasagawa ng pananaliksik, na nagha-highlight ng tatlong yugto na katangian ng anumang aktibidad:

Yugto ng paghahanda: Maaari din itong tawaging yugto ng metodolohikal na paghahanda ng pananaliksik at ang pagbuo ng metodolohikal na suporta para sa pananaliksik. Ang saklaw ng trabaho ay ang mga sumusunod. Kahulugan ng problema, pagbuo ng isang konseptong paglalarawan ng paksa ng pananaliksik at kahulugan (pormulasyon) ng paksa ng pananaliksik. Pagguhit ng isang programa sa pananaliksik na may pagbabalangkas ng mga gawain at pagbuo ng isang plano para sa kanilang solusyon. Makatwirang pagpili ng mga pamamaraan ng pananaliksik. Pagbuo ng isang pamamaraan para sa eksperimentong gawain.

Pangunahing yugto: - executive (teknolohiya), pagpapatupad ng programa at plano sa pananaliksik.

huling yugto: - pagproseso ng mga resulta ng pananaliksik, pagbabalangkas ng mga pangunahing probisyon, rekomendasyon, kadalubhasaan.

Ang mga probisyong siyentipiko ay isang bagong katotohanang siyentipiko - ito ang kailangan at maaaring ipagtanggol. Ang pagbabalangkas ng mga probisyong pang-agham ay maaaring mathematical o logical. Ang mga probisyong pang-agham ay tumutulong sa dahilan, ang solusyon ng problema. Dapat ma-target ang mga probisyong pang-agham, i.e. sumasalamin (naglalaman) ng paksa kung saan sila nalutas. Upang maisakatuparan ang pangkalahatang pagkakaugnay ng nilalaman ng R&D sa diskarte para sa pagpapatupad nito, inirerekumenda na magtrabaho sa istruktura ng ulat ng R&D bago at (o) pagkatapos ng pagbuo ng mga probisyong ito. Sa unang kaso, magtrabaho sa istraktura ng ulat kahit na may potensyal na heuristic, nag-aambag sa pag-unawa sa mga ideya sa R&D, sa pangalawang kaso, ito ay gumaganap bilang isang uri ng pagsubok sa diskarte at feedback para sa pamamahala ng R&D.

Tandaan natin na may lohika ang paghahanap, paggawa at pagmasdan pagtatanghal ng geek. Ang una ay dialectical - dynamic, na may mga cycle, returns, mahirap gawing pormal, ang pangalawa ay ang logic ng isang static na estado, pormal, i.e. pagkakaroon ng isang mahigpit na tinukoy na anyo.

Bilang konklusyon ito ay kanais-nais na hindi huminto sa paggawa sa istraktura ng ulat sa buong panahon ng pananaliksik at sa gayon ay episodically "suriin ang mga orasan ng DALAWANG LOGIKA".

Ang systematization ng mga modernong problema ng pagmimina sa antas ng administratibo ay nag-aambag sa pagtaas ng kahusayan ng trabaho sa konsepto.

Sa metodolohikal na suporta ng gawaing pananaliksik, madalas tayong nakatagpo ng mga sitwasyon kung saan ang teoretikal na mga probisyon sa isang partikular na problema ay hindi pa ganap na nabuo. Angkop na gamitin ang methodological "leasing". Bilang isang halimbawa ng naturang diskarte at ang posibleng paggamit nito, ang paraan ng pagsusuri ng dimensional na may organisasyon ng makatwirang pangangatwiran "mula sa dulo hanggang sa simula" ay interesado.

Pangunahing termino at konsepto

Bagay at paksa ng aktibidad	Kaugnayan	teknolohiya sa pagmimina
Konsepto		Pasilidad ng teknolohiya sa pagmimina
Layunin at pagtatakda ng layunin		Mga Tool sa Teknolohiya ng Pagmimina
problema problema sitwasyon	Istruktura	Pisikal at teknikal na epekto
Mga yugto at yugto ng pananaliksik		Siyentipikong posisyon
Mga teorema ng pagkakatulad	Dimensyon	Mga pangunahing yunit

Ang karanasan ay ang explorer ng kalikasan. Siya ay hindi kailanman nanlilinlang ... Dapat tayong gumawa ng mga eksperimento, binabago ang mga pangyayari, hanggang sa makuha natin mula sa kanila pangkalahatang tuntunin, dahil ang karanasan ay naghahatid ng mga tunay na panuntunan.

Leonardo da Vinci

Sa physics... walang lugar para sa mga nalilitong kaisipan...
Talagang nakakaunawa sa kalikasan
Ito o ang hindi pangkaraniwang bagay na iyon ay dapat makatanggap ng pangunahing
Mga batas mula sa mga pagsasaalang-alang ng dimensyon. E. Fermi

Ang paglalarawan ng ito o ang problemang iyon, ang pagtalakay sa teoretikal at pang-eksperimentong mga isyu ay nagsisimula sa isang husay na paglalarawan at pagtatasa ng epekto na ibinibigay ng gawaing ito.

Kapag naglalarawan ng isang problema, kinakailangan, una sa lahat, upang suriin ang pagkakasunud-sunod ng magnitude ng inaasahang epekto, simpleng paglilimita ng mga kaso, at ang likas na katangian ng functional na relasyon ng mga dami na naglalarawan sa hindi pangkaraniwang bagay na ito. Ang mga tanong na ito ay tinatawag na qualitative description ng pisikal na sitwasyon.

Isa sa pinaka mabisang pamamaraan ang ganitong pagsusuri ay ang paraan ng mga sukat.

Narito ang ilang mga pakinabang at aplikasyon ng dimensional na pamamaraan:

mabilis na pagtatasa ng sukat ng mga phenomena na pinag-aaralan;
pagkuha ng qualitative at functional dependencies;
pagpapanumbalik ng mga nakalimutang formula sa mga pagsusulit;
katuparan ng ilang mga gawain ng pagsusulit;
pagpapatunay ng kawastuhan ng solusyon ng mga problema.

Ang dimensional analysis ay ginamit sa pisika mula pa noong panahon ni Newton. Si Newton ang nagbalangkas, malapit na nauugnay sa pamamaraan ng mga sukat, ang prinsipyo ng pagkakatulad (analogy).

Ang mga mag-aaral ay unang nakatagpo ng dimensional na pamamaraan kapag nag-aaral ng thermal radiation sa ika-11 baitang kurso sa pisika:

Ang spectral na katangian ng thermal radiation ng isang katawan ay parang multo density ng liwanag ng enerhiya r v - enerhiya ng electromagnetic radiation na ibinubuga bawat yunit ng oras bawat yunit na lugar ng ibabaw ng katawan sa isang pagitan ng dalas ng yunit.

Ang yunit ng spectral density ng liwanag ng enerhiya ay ang joule per metro kwadrado(1 J / m 2). Ang enerhiya ng thermal radiation ng isang itim na katawan ay nakasalalay sa temperatura at haba ng daluyong. Ang tanging kumbinasyon ng mga dami na ito na may sukat na J/m 2 ay kT/ 2 ( = c/v). Ang eksaktong kalkulasyon na ginawa nina Rayleigh at Jeans noong 1900, sa loob ng balangkas ng teorya ng klasikal na alon, ay nagbigay ng sumusunod na resulta:

kung saan ang k ay ang Boltzmann constant.

Gaya ng ipinakita ng karanasan, ang expression na ito ay pare-pareho sa pang-eksperimentong data lamang sa rehiyon na may sapat na mababang frequency. Para sa mga mataas na frequency, lalo na sa ultraviolet na rehiyon ng spectrum, ang formula ng Rayleigh-Jeans ay hindi tama: ito ay naiiba nang husto mula sa eksperimento. Ang mga pamamaraan ng klasikal na pisika ay naging hindi sapat upang ipaliwanag ang mga katangian ng radiation ng itim na katawan. Samakatuwid, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga resulta ng classical wave theory at eksperimento sa pagtatapos ng ika-19 na siglo tinatawag na "ultraviolet catastrophe".

Ipakita natin ang aplikasyon ng pamamaraan ng dimensyon sa isang simple at naiintindihang mabuti na halimbawa.

Larawan 1

Thermal radiation ng isang itim na katawan: ultraviolet catastrophe - pagkakaiba sa pagitan ng klasikal na teorya ng thermal radiation at karanasan.

Isipin na ang isang katawan ng mass m ay gumagalaw sa isang tuwid na linya sa ilalim ng pagkilos ng isang pare-parehong puwersa F. Kung ang paunang bilis ng katawan ay zero, at ang bilis sa dulo ng nilakbay na seksyon ng landas ng haba s ay katumbas ng v, pagkatapos ay maaari naming isulat ang kinetic energy theorem: Sa pagitan ng mga halaga F, m, v at s mayroong isang functional na koneksyon.

Ipagpalagay natin na ang kinetic energy theorem ay nakalimutan, ngunit naiintindihan natin na ang functional dependence sa pagitan ng v, F, m, at s ay umiiral at may batas ng kapangyarihan.

Narito ang x, y, z ay ilang mga numero. Tukuyin natin ang mga ito. Ang sign ~ ay nangangahulugan na ang kaliwang bahagi ng formula ay proporsyonal sa kanang bahagi, iyon ay, kung saan ang k ay isang numerical coefficient, walang mga yunit ng pagsukat at hindi tinutukoy gamit ang dimensional na paraan.

Ang kaliwa at kanang bahagi ng kaugnayan (1) ay may parehong sukat. Ang mga sukat ng v, F, m at s ay: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (Simbolo [A ] ay nagsasaad ng dimensyon ng A.) Isulat natin ang pagkakapantay-pantay ng mga sukat sa kaliwa at kanang bahagi ng kaugnayan (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

Walang mga kilo sa kaliwang bahagi ng equation, kaya dapat ay wala rin sa kanan.

Ibig sabihin nito ay

Sa kanan, ang mga metro ay kasama sa mga kapangyarihan ng x + z, at sa kaliwa, sa mga kapangyarihan ng 1, kaya

Katulad nito, mula sa isang paghahambing ng mga exponents sa mga segundo, ito ay sumusunod

Mula sa nakuha na mga equation nakita namin ang mga numero x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

Mukhang ang huling formula

Sa pamamagitan ng pag-squaring sa kaliwa at kanang bahagi ng kaugnayang ito, nakukuha natin iyon

Ang huling formula ay isang mathematical notation ng kinetic energy theorem, kahit na walang numerical coefficient.

Ang prinsipyo ng pagkakatulad, na binuo ni Newton, ay ang ratio na v 2 / s ay direktang proporsyonal sa ratio na F/m. Halimbawa, dalawang katawan na may magkaibang masa m 1 at m 2 ; kikilos tayo sa kanila na may iba't ibang pwersa F 1 at F 2 , ngunit sa paraang ang mga ratios F 1 / m 1 at F 2 / m 2 ay magiging pareho. Sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang ito, ang mga katawan ay magsisimulang gumalaw. Kung ang mga paunang bilis ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga bilis na nakuha ng mga katawan sa isang segment ng landas ng haba s ay magiging pantay. Ito ang batas ng pagkakatulad, na narating namin sa tulong ng ideya ng pagkakapantay-pantay ng mga sukat ng kanan at kaliwang bahagi ng formula, na naglalarawan ng ugnayan ng kapangyarihan-batas ng halaga ng pangwakas na bilis sa ang mga halaga ng puwersa, masa, at haba ng landas.

Ang pamamaraan ng mga sukat ay ipinakilala kapag nagtatayo ng mga pundasyon ng mga klasikal na mekanika, ngunit ang epektibong aplikasyon nito para sa paglutas ng mga pisikal na problema ay nagsimula sa pagtatapos ng nakaraan - sa simula ng ating siglo. Ang isang mahusay na merito sa pagtataguyod ng pamamaraang ito at paglutas ng mga kawili-wili at mahahalagang problema sa tulong nito ay pagmamay-ari ng natitirang physicist na si Lord Rayleigh. Sumulat si Rayleigh noong 1915: Madalas akong nagulat sa maliit na atensyon na ibinibigay sa dakilang prinsipyo ng pagkakatulad, kahit na sa bahagi ng napakakilalang mga siyentipiko. Madalas na nangyayari na ang mga resulta ng maingat na pananaliksik ay ipinakita bilang mga bagong natuklasang "mga batas", na, gayunpaman, ay maaaring makuha ng isang priori sa loob ng ilang minuto.

Sa panahon ngayon, hindi na masisisi ang mga physicist na may dismissive na saloobin o hindi sapat na atensyon sa prinsipyo ng pagkakatulad at sa paraan ng mga sukat. Isaalang-alang ang isa sa mga klasikong problema sa Rayleigh.

Ang problema ni Rayleigh sa mga vibrations ng bola sa isang string.

Hayaang maiunat ang isang string sa pagitan ng mga punto A at B. Ang tension force ng string F. Sa gitna ng string na ito sa point C ay may mabigat na bola. Ang haba ng segment AC (at, ayon dito, CB) ay katumbas ng 1. Ang mass M ng bola ay mas malaki kaysa sa mass ng string mismo. Hinihila ang tali at binitawan. Ito ay medyo malinaw na ang bola ay mag-oscillate. Kung ang amplitude ng mga x oscillations na ito ay mas mababa kaysa sa haba ng string, ang proseso ay magiging harmonic.

Alamin natin ang dalas ng mga vibrations ng bola sa string. Hayaang ang mga dami , F, M at 1 ay konektado ng isang batas ng kapangyarihan:

Ang mga exponents x, y, z ay ang mga numero na kailangan nating tukuyin.

Isulat natin ang mga sukat ng mga dami ng interes sa atin sa sistema ng SI:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Kung ang formula (2) ay nagpapahayag ng isang tunay na pisikal na regularidad, kung gayon ang mga sukat ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito ay dapat magkatugma, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay.

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay hindi kasama ang mga metro at kilo, at ang mga segundo ay kasama sa mga kapangyarihan - 1. Nangangahulugan ito na para sa x, y at z ang mga equation ay nasiyahan:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Ang paglutas ng sistemang ito, nakita namin:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Dahil dito,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Ang eksaktong formula para sa dalas ay naiiba sa isa na matatagpuan lamang sa pamamagitan ng isang salik na ( 2 = 2F/(M1)).

Kaya, hindi lamang isang husay, kundi pati na rin ang isang quantitative na pagtatantya ng pagtitiwala sa mga halaga ng F, M, at 1. Sa pagkakasunud-sunod ng magnitude, ang natagpuang kumbinasyon ng kapangyarihan ay nagbibigay ng tamang halaga ng dalas. Ang pagsusuri ay palaging interesado sa pagkakasunud-sunod ng magnitude. Sa mga simpleng problema, ang mga coefficient na hindi natutukoy ng paraan ng mga dimensyon ay kadalasang maituturing na mga numero ng pagkakasunud-sunod ng pagkakaisa. Ito ay hindi isang mahigpit na tuntunin.

Kapag nag-aaral ng mga alon, isinasaalang-alang ko ang qualitative prediction ng bilis ng tunog sa pamamagitan ng paraan ng dimensional analysis. Hinahanap namin ang bilis ng tunog bilang ang bilis ng pagpapalaganap ng isang compression at rarefaction wave sa isang gas. Ang mga mag-aaral ay walang alinlangan tungkol sa pag-asa ng bilis ng tunog sa isang gas sa density ng gas at ang presyon nito p.

Hinahanap namin ang sagot sa form:

kung saan ang С ay isang walang sukat na kadahilanan, ang numerical na halaga nito ay hindi mahahanap mula sa pagsusuri ng mga sukat. Pagpasa sa (1) sa pagkakapantay-pantay ng mga sukat.

m / s \u003d (kg / m 3) x Pa y,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

Ang pagkakapantay-pantay ng mga sukat sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagbibigay ng:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Kaya ang bilis ng tunog sa isang gas

Ang formula (2) sa C=1 ay unang nakuha ni I. Newton. Ngunit ang quantitative derivations ng formula na ito ay napakahirap.

Ang isang eksperimentong pagpapasiya ng bilis ng tunog sa hangin ay isinagawa sa isang kolektibong gawain ng mga miyembro ng Paris Academy of Sciences noong 1738, na sinusukat ang oras na kinuha ang tunog ng isang putok ng kanyon upang maglakbay sa layo na 30 km.

Ang pag-uulit ng materyal na ito sa ika-11 baitang, ang atensyon ng mga mag-aaral ay naaakit sa katotohanan na ang resulta (2) ay maaaring makuha para sa modelo ng isothermal na proseso ng pagpapalaganap ng tunog gamit ang Mendeleev-Clapeyron equation at ang konsepto ng density:

ay ang bilis ng pagpapalaganap ng tunog.

Ang pagkakaroon ng ipinakilala sa mga mag-aaral sa paraan ng mga sukat, binibigyan ko sila ng paraang ito upang makuha ang pangunahing equation ng MKT para sa isang perpektong gas.

Nauunawaan ng mga mag-aaral na ang presyon ng isang perpektong gas ay nakasalalay sa masa ng mga indibidwal na molekula ng isang perpektong gas, ang bilang ng mga molekula sa bawat dami ng yunit - n (ang konsentrasyon ng mga molekula ng gas) at ang bilis ng paggalaw ng mga molekula -.

Alam ang mga sukat ng mga dami na kasama sa equation na ito, mayroon tayong:

Kung ihahambing ang mga sukat ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, mayroon tayong:

Samakatuwid, ang pangunahing equation ng MKT ay may sumusunod na anyo:

- ito ay nagpapahiwatig

Makikita sa shaded triangle na

Sagot: B).

Ginamit namin ang pamamaraan ng dimensyon.

Ang pamamaraan ng mga sukat, bilang karagdagan sa pagsasagawa ng tradisyonal na pag-verify ng kawastuhan ng paglutas ng mga problema, pagsasagawa ng ilang mga gawain ng Pinag-isang Estado ng Pagsusuri, ay tumutulong upang makahanap ng mga functional na relasyon sa pagitan ng iba't ibang mga pisikal na dami, ngunit para lamang sa mga sitwasyon kung saan ang mga dependency na ito ay kapangyarihan- batas. Mayroong maraming mga tulad dependencies sa kalikasan, at ang paraan ng mga sukat ay isang mahusay na katulong sa paglutas ng mga naturang problema.

Sa mga kaso kung saan hindi inilarawan ang mga prosesong pinag-aaralan differential equation, ang isa sa mga paraan upang pag-aralan ang mga ito ay isang eksperimento, ang mga resulta nito ay pinakamahusay na ipinakita sa isang pangkalahatang anyo (sa anyo ng mga walang sukat na complex). Ang paraan ng pag-compile ng mga naturang complex ay paraan ng pagsusuri ng dimensional.

Ang dimensyon ng anumang pisikal na dami ay tinutukoy ng ratio sa pagitan nito at ng mga pisikal na dami na kinuha bilang pangunahing (pangunahin). Ang bawat sistema ng mga yunit ay may sariling mga pangunahing yunit. Halimbawa, sa International System of Units SI, ang mga yunit ng haba, masa at oras ay ayon sa pagkakabanggit ay ang metro (m), kilo (kg), segundo (s). Ang mga yunit ng pagsukat para sa iba pang pisikal na dami, ang tinatawag na mga derived na dami (pangalawang), ay pinagtibay batay sa mga batas na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng mga yunit na ito. Ang relasyon na ito ay maaaring katawanin sa anyo ng tinatawag na formula ng dimensyon.

Ang teorya ng dimensyon ay batay sa dalawang pagpapalagay.

1. Ang ratio ng dalawang numerical na halaga ng anumang dami ay hindi nakasalalay sa pagpili ng mga kaliskis para sa mga pangunahing yunit ng pagsukat (halimbawa, ang ratio ng dalawang linear na dimensyon ay hindi nakasalalay sa mga yunit kung saan sila susukatin) .
2. Ang anumang ugnayan sa pagitan ng mga dimensional na dami ay maaaring buuin bilang isang relasyon sa pagitan ng mga walang sukat na dami. Ang pahayag na ito ay kumakatawan sa tinatawag na P-teorama sa teorya ng dimensyon.

Mula sa unang posisyon ay sumusunod na ang mga pormula para sa dimensyon ng mga pisikal na dami ay dapat magkaroon ng anyo ng mga pagdepende sa kapangyarihan.

nasaan ang mga sukat ng mga pangunahing yunit.

Ang mathematical expression ng P-theorem ay maaaring makuha batay sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang. Hayaan ang ilang dimensional na dami a Ang 1 ay isang function ng ilang independiyenteng dimensional na dami , i.e.

Kaya naman sinusunod iyon

Ipagpalagay natin na ang bilang ng mga pangunahing dimensyon na yunit kung saan ang lahat ay maaaring ipahayag P mga variable, ay katumbas ng t. Ang P-theorem ay nagsasaad na kung lahat P mga variable na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pangunahing yunit, pagkatapos ay maaari silang i-grupo sa mga walang sukat na P-term, i.e.

Sa kasong ito, ang bawat P-term ay maglalaman ng variable.

Sa mga problema ng hydromechanics, ang bilang ng mga variable na kasama sa P-terms ay dapat na apat. Tatlo sa kanila ang magiging mapagpasyahan (karaniwan ay ang haba ng katangian, bilis ng daloy ng likido at density nito) - kasama sila sa bawat P-term. Ang isa sa mga variable na ito (ang ikaapat) ay naiiba kapag pumasa mula sa isang P-term patungo sa isa pa. Mga tagapagpahiwatig ng antas ng pagtukoy sa pamantayan (ipahiwatig natin ang mga ito sa pamamagitan ng x, y , z ) ay hindi kilala. Para sa kaginhawahan, kinuha namin ang exponent ng ikaapat na variable na katumbas ng -1.

Ang mga ugnayan para sa P-terms ay magmumukhang

Ang mga variable na kasama sa mga P-term ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga pangunahing sukat. Dahil ang mga terminong ito ay walang sukat, ang mga exponent ng bawat isa sa mga pangunahing dimensyon ay dapat na katumbas ng zero. Bilang resulta, para sa bawat P-term, posibleng bumuo ng tatlong independiyenteng equation (isa para sa bawat dimensyon) na nag-uugnay sa mga exponent ng mga variable na kasama sa kanila. Ang solusyon ng nagresultang sistema ng mga equation ay ginagawang posible upang mahanap ang mga numerical na halaga ng mga hindi kilalang exponents X , sa , z. Bilang resulta, ang bawat isa sa mga P-term ay tinutukoy sa anyo ng isang formula na binubuo ng mga tiyak na dami (mga parameter ng kapaligiran) sa naaangkop na antas.

Bilang isang tiyak na halimbawa, makakahanap tayo ng solusyon sa problema ng pagtukoy sa pagkawala ng presyon dahil sa alitan sa isang magulong daloy ng likido.

Mula sa mga pangkalahatang pagsasaalang-alang, maaari nating tapusin na ang pagkawala ng presyon sa pipeline ay nakasalalay sa mga sumusunod na pangunahing mga kadahilanan: diameter d , haba l , pagkamagaspang sa dingding k, density ρ at lagkit µ ng medium, average na bilis ng daloy v , panimulang shear stress, ibig sabihin.

(5.8)

Ang equation (5.8) ay naglalaman ng n=7 mga miyembro, at ang bilang ng mga pangunahing dimensyon na yunit. Ayon sa P-theorem, nakakakuha tayo ng equation na binubuo ng mga P-term na walang sukat:

(5.9)

Ang bawat P-term ay naglalaman ng 4 na variable. Kinukuha bilang pangunahing mga variable ang diameter d , bilis v , density, at pagsasama-sama ng mga ito sa natitirang mga variable sa Eq. (5.8), nakuha namin

Pagbubuo ng equation ng dimensyon para sa unang П-term, magkakaroon tayo

Ang pagdaragdag ng mga exponents na may parehong mga base, nakita namin

Upang ang sukat P 1 ay katumbas ng 1 ( P 1 ay isang walang sukat na dami), kinakailangan na hilingin na ang lahat ng mga exponent ay katumbas ng zero, i.e.

(5.10)

Sistema algebraic equation(5.10) ay naglalaman ng tatlong hindi kilalang dami x 1, y 1,z 1. Mula sa solusyon ng sistemang ito ng mga equation, makikita natin x 1 = 1; sa 1=1; z 1= 1.