สมการเชิงอนุพันธ์ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ กฎการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์

พิจารณาการแกว่งของตุ้มน้ำหนัก m บนสปริงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความแข็ง k ซึ่งวางอยู่บนโต๊ะแนวนอนราบ โดยถือว่าไม่มีการเสียดสีของน้ำหนักบนพื้นผิวโต๊ะ หากนำน้ำหนักออกจากตำแหน่งสมดุล น้ำหนักจะแกว่งไปมาในตำแหน่งนี้ เราจะอธิบายการแกว่งเหล่านี้โดยฟังก์ชันที่ขึ้นกับเวลา สมมติว่ามันกำหนดความเบี่ยงเบนของน้ำหนักจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t

ในแนวนอนมีแรงเพียงแรงเดียวเท่านั้นที่กระทำต่อน้ำหนัก - แรงยืดหยุ่นของสปริงซึ่งกำหนดโดยกฎของฮุกที่รู้จักกันดี

สปริงผิดรูปเป็นหน้าที่ของเวลา ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้สปริงเป็นตัวแปรด้วย

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน เรามี

เพราะความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของการกระจัด: .

สมการ (9) สามารถเขียนใหม่ได้ในรูป

ที่ไหน. สมการนี้เรียกว่าสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์

ความคิดเห็น ในวรรณคดีคณิตศาสตร์ เมื่อเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ เรามักจะไม่ระบุอาร์กิวเมนต์ (t) ใกล้กับฟังก์ชันทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับสมการนั้น การพึ่งพานี้ถูกสันนิษฐานโดยค่าเริ่มต้น เมื่อใช้แพ็คเกจทางคณิตศาสตร์ Maple ใน (10) จำเป็นต้องระบุการพึ่งพาฟังก์ชันอย่างชัดเจน

ต่างจากตัวอย่างก่อนหน้าของการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงคงที่ ในกรณีของเรา แรงเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา และสมการ (10) นั้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้ขั้นตอนการรวมตามปกติอีกต่อไป ลองเดาคำตอบของสมการนี้กัน โดยรู้ว่ามันอธิบายกระบวนการแกว่งบางอย่าง ในฐานะหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการ (10) เราสามารถเลือกฟังก์ชันต่อไปนี้:

ฟังก์ชันสร้างความแตกต่าง (11) เรามี

แทนที่นิพจน์ (12) ลงในสมการ (10) เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่า t เท่ากันทุกประการ

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชัน (11) ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเดียวสำหรับสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเลือกฟังก์ชันเป็นโซลูชันอื่นได้ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน นอกจากนี้ เราสามารถตรวจสอบว่าผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของโซลูชันที่มีชื่อแบบสุ่มทั้งสองนี้รวมกันหรือไม่

ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ A และ B ก็เป็นคำตอบของสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เช่นกัน

สามารถพิสูจน์ได้ว่าสารละลายสองค่าคงที่ (13) เป็นคำตอบทั่วไปของสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ (10) ซึ่งหมายความว่าสูตร (13) หมดคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ไม่มีคำตอบเฉพาะอื่น ๆ ยกเว้นที่ได้จากสูตร (13) โดยการตรึงค่าคงที่โดยพลการ A และ B

โปรดทราบว่าในวิชาฟิสิกส์ บ่อยครั้งจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ ODE แต่ละรายการหรือระบบของ ODE ลองพิจารณาคำถามนี้โดยละเอียด

เป็นไปได้ที่จะกระตุ้นการสั่นในระบบของน้ำหนักในสปริงที่เรากำลังพิจารณา วิธีทางที่แตกต่าง. ให้เรากำหนดเงื่อนไขเบื้องต้นดังต่อไปนี้

ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลาเริ่มต้น น้ำหนักจะถูกลบออกจากตำแหน่งสมดุลด้วยค่า a และปล่อยอย่างอิสระ (กล่าวคือ มันเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์) เราสามารถจินตนาการถึงการกระตุ้นด้วยวิธีอื่นๆ ได้มากมาย เช่น น้ำหนักในตำแหน่งสมดุลจะได้รับความเร็วเริ่มต้นโดยการ "คลิก" เป็นต้น [ กรณีทั่วไป, ].

เราพิจารณาเงื่อนไขเริ่มต้น (14) เป็นเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการสำหรับการแยกออกจากสารละลายทั่วไป (13) วิธีแก้ปัญหาเฉพาะบางอย่างที่สอดคล้องกับวิธีการกระตุ้นการสั่นของตุ้มน้ำหนักของเรา

สมมติว่า t=0 ในนิพจน์ (13) เรามี ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น B=a ดังนั้นเราจึงพบหนึ่งในค่าคงที่โดยพลการก่อนหน้านี้ในโซลูชัน (13) นอกจากนี้ การแยกความแตกต่างในสูตร (13) เรามี

สมมติว่า t=0 ในนิพจน์นี้ และคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นที่สองจาก (14) เราได้รับ ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่ A=0 และดังนั้น โซลูชันเฉพาะเริ่มต้นจึงมีรูปแบบ

อธิบายโหมดการสั่นของระบบทางกลที่พิจารณา ซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขของการกระตุ้นเริ่มต้น (14)

เป็นที่ทราบจากวิชาฟิสิกส์ของโรงเรียนว่าในสูตร (16) a คือแอมพลิจูดของการแกว่ง (กำหนดค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของน้ำหนักจากตำแหน่งสมดุล) คือความถี่ของวัฏจักรและเป็นเฟสของการแกว่ง ( เฟสแรกกลายเป็นศูนย์)

สมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ (10) เป็นตัวอย่างของ ODE เชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ทั้งหมดจะรวมอยู่ในแต่ละเทอมของสมการจนถึงระดับแรก สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นมีคุณสมบัติที่โดดเด่นอย่างยิ่ง: เป็นไปตามหลักการของการทับซ้อน ซึ่งหมายความว่าผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของสองโซลูชันใดๆ ของ ODE เชิงเส้นก็คือโซลูชันของมันด้วย

ในตัวอย่างของสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ที่เรากำลังพิจารณา การรวมกันเชิงเส้นตามอำเภอใจของสองคำตอบเฉพาะไม่ได้เป็นเพียงคำตอบใหม่ แต่เป็นคำตอบทั่วไปของสมการนี้ (มันทำให้คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดหมดลง)

โดยทั่วไปจะไม่เป็นเช่นนี้ ตัวอย่างเช่น หากเรากำลังจัดการกับสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสาม (เช่น หากสมการรวมอนุพันธ์อันดับสามด้วย) ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบเฉพาะสองตัวใด ๆ ของสมการนั้นก็จะเป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน แต่จะไม่ใช่ เป็นตัวแทนของเขา การตัดสินใจร่วมกัน.

ในสมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วว่าคำตอบทั่วไปของ ODE ของลำดับที่ N (เชิงเส้นหรือไม่เป็นเชิงเส้น) ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ N โดยพลการ ในกรณีของสมการไม่เชิงเส้น ค่าคงที่ใดๆ เหล่านี้สามารถป้อนคำตอบทั่วไป (ตรงกันข้ามกับ (13)) ในลักษณะที่ไม่เป็นเชิงเส้น

หลักการทับซ้อนมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีของ ODE เนื่องจากสามารถใช้เพื่อสร้างคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปของการซ้อนทับของคำตอบเฉพาะของมัน ตัวอย่างเช่น สำหรับกรณีของ ODE เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่และระบบของพวกมัน (สมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์อยู่ในสมการประเภทนี้อย่างแม่นยำ) วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปได้รับการพัฒนาในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ สาระสำคัญของมันมีดังนี้ เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในแบบฟอร์ม ผลจากการแทนที่มันในสมการเดิม ปัจจัยที่ขึ้นกับเวลาทั้งหมดจะถูกยกเลิก และเรามาถึงสมการคุณลักษณะบางอย่าง ซึ่งสำหรับ ODE ลำดับที่ N คือ สมการพีชคณิตระดับ น. การแก้ปัญหานั้น เราจึงพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นตามอำเภอใจ ซึ่งให้คำตอบทั่วไปของ ODE ดั้งเดิม เราจะไม่พูดถึงประเด็นนี้อีกต่อไป โดยอ้างถึงหนังสือเรียนที่เหมาะสมเกี่ยวกับทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ โดยเฉพาะกรณีที่สมการลักษณะเฉพาะประกอบด้วยรากศัพท์หลายราก

หากพิจารณา ODE เชิงเส้นพร้อมสัมประสิทธิ์ตัวแปร (ค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับเวลา) หลักการซ้อนทับก็ใช้ได้เช่นกัน แต่ไม่สามารถสร้างคำตอบทั่วไปของสมการนี้ในรูปแบบที่ชัดเจนด้วยวิธีมาตรฐานใดๆ ได้อีกต่อไป เราจะกลับมาที่ประเด็นนี้ในภายหลัง โดยพูดถึงปรากฏการณ์ของพาราเมทริกเรโซแนนซ์และสมการมาติเยอที่เกี่ยวข้องกับการศึกษา

บางทีระบบกลไกที่ง่ายที่สุดที่อธิบายการเคลื่อนที่ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ก็คือมวลบนสปริง หลังจากที่ถ่วงน้ำหนักจากสปริงแล้ว มันจะยืดออกเล็กน้อยเพื่อให้แรงโน้มถ่วงสมดุล ให้เราติดตามความเบี่ยงเบนในแนวตั้งของมวลจากตำแหน่งสมดุล (รูปที่ 21.1) เราแสดงถึงการเบี่ยงเบนขึ้นจากตำแหน่งสมดุลโดยและถือว่าเรากำลังเผชิญกับสปริงที่ยืดหยุ่นได้อย่างสมบูรณ์ ในกรณีนี้ แรงที่ต้านการยืดจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการยืด ซึ่งหมายความว่าแรงเท่ากัน (เครื่องหมายลบเตือนเราว่าแรงตรงข้ามการกระจัด) ดังนั้นความเร่งคูณด้วยมวลจึงควรเท่ากับ

เพื่อความง่าย สมมติว่ามันเกิดขึ้น (หรือเราเปลี่ยนระบบของหน่วยตามความจำเป็น) ว่า เราต้องแก้สมการ

รูปที่. 21.1. น้ำหนักลอยอยู่บนสปริง ตัวอย่างง่ายๆ ของฮาร์โมนิกออสซิลเลเตอร์

หลังจากนั้นเรากลับไปที่สมการ (21.2) ซึ่งและมีอยู่อย่างชัดเจน

เราพบสมการ (21.3) แล้วเมื่อเราเริ่มเรียนกลศาสตร์ครั้งแรก เราแก้มันด้วยตัวเลขเพื่อหาการเคลื่อนที่ โดยการรวมเชิงตัวเลข เราพบเส้นโค้งที่แสดงว่าหากอนุภาคเริ่มแรกไม่สมดุล แต่เมื่ออยู่นิ่ง อนุภาคจะกลับสู่ตำแหน่งสมดุล เราไม่ได้ติดตามอนุภาคหลังจากที่มันไปถึงตำแหน่งสมดุล แต่ชัดเจนว่ามันจะไม่หยุดอยู่แค่นั้น แต่จะแกว่ง (แกว่ง) ด้วยการรวมเชิงตัวเลข เราพบเวลาที่จะกลับสู่จุดสมดุล: ระยะเวลาของรอบที่สมบูรณ์นานกว่าสี่เท่า: "วินาที" เราพบทั้งหมดนี้โดยการรวมตัวเลข เนื่องจากเราไม่ทราบวิธีแก้ไขให้ดีขึ้น แต่นักคณิตศาสตร์ได้ให้ฟังก์ชันบางอย่างแก่เรา ซึ่งหากแยกได้สองครั้ง ก็จะเข้าสู่ตัวมันเอง คูณด้วย . (แน่นอนว่าคุณสามารถคำนวณฟังก์ชันดังกล่าวได้โดยตรง แต่นี่ยากกว่าการหาคำตอบ)

ฟังก์ชั่นนี้คือ: . ลองแยกความแตกต่าง: , a . ในช่วงเวลาเริ่มต้น , , และความเร็วเริ่มต้นเท่ากับศูนย์ นี่เป็นข้อสันนิษฐานที่เราทำในการรวมเชิงตัวเลข ตอนนี้ เมื่อรู้แล้ว เราจะพบค่าที่แน่นอนของเวลาที่ คำตอบ: , หรือ 1.57108. เราทำผิดพลาดไปก่อนหน้านี้ในเครื่องหมายสุดท้าย เนื่องจากการรวมตัวเลขเป็นค่าโดยประมาณ แต่ข้อผิดพลาดนั้นน้อยมาก!

ในการไปต่อ ให้กลับไปที่ระบบหน่วย ซึ่งวัดเวลาเป็นวินาทีจริง ในกรณีนี้จะมีทางออกอย่างไร? บางทีเราอาจคำนึงถึงค่าคงที่และคูณด้วยตัวประกอบที่สอดคล้องกัน ? มาลองกัน. ให้แล้ว และ . เพื่อความผิดหวัง เราไม่สามารถแก้สมการ (21.2) ได้สำเร็จ แต่กลับมาที่ (21.3) อีกครั้ง แต่เราได้ค้นพบคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นตรง ถ้าเราคูณคำตอบของสมการด้วยค่าคงที่ เราก็จะได้คำตอบอีกครั้ง มันชัดเจนทางคณิตศาสตร์ว่าทำไม หากมีคำตอบของสมการ หลังจากคูณทั้งสองส่วนของสมการด้วยอนุพันธ์แล้ว พวกมันก็จะถูกคูณด้วยและดังนั้นจึงเป็นไปตามสมการเช่นเดียวกับ . มาฟังสิ่งที่นักฟิสิกส์พูดถึงเรื่องนี้กัน หากน้ำหนักยืดสปริงให้มากเป็นสองเท่า แรงจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ความเร่งจะเพิ่มเป็นสองเท่า ความเร็วที่ได้รับจะเป็นสองเท่าของความเร็วก่อนหน้า และในขณะเดียวกัน น้ำหนักจะครอบคลุมระยะทางสองเท่า แต่นี่เป็นระยะทางสองเท่า ซึ่งเป็นระยะเดียวกับที่น้ำหนักต้องไปยังตำแหน่งสมดุล ดังนั้นจึงต้องใช้เวลาเท่ากันกว่าจะถึงจุดสมดุลและไม่ขึ้นอยู่กับอคติเริ่มต้น กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าอธิบายการเคลื่อนไหว สมการเชิงเส้นโดยไม่คำนึงถึง "ความแข็งแกร่ง" มันก็จะพัฒนาไปในทางเดียวกัน

ความผิดพลาดทำให้เราดี - เราเรียนรู้ว่าการคูณคำตอบด้วยค่าคงที่ เราจะได้คำตอบของสมการก่อนหน้า หลังจากการลองผิดลองถูก คุณอาจสรุปได้ว่าแทนที่จะจัดการ คุณต้องเปลี่ยนมาตราส่วนเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการ (21.2) ต้องมีคำตอบของรูปแบบ

(ในที่นี้ ไม่ใช่ความเร็วเชิงมุมของวัตถุที่หมุนอยู่เลย แต่เราจะมีตัวอักษรไม่เพียงพอหากแต่ละค่าแสดงด้วยตัวอักษรพิเศษ) เราได้ให้ดัชนี 0 ที่นี่ เพราะเรายังมีโอเมก้าอีกมากมายที่ต้องเจอ: จำสิ่งที่สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวตามธรรมชาติของออสซิลเลเตอร์ ความพยายามที่จะใช้ (21.4) เป็นวิธีแก้ปัญหานั้นประสบความสำเร็จมากกว่าเพราะ และ . ในที่สุดเราก็แก้สมการที่เราต้องการแก้ได้ สมการนี้ตรงกับ (21.2) ถ้า .

ตอนนี้เราต้องเข้าใจความหมายทางกายภาพ เรารู้ว่าโคไซน์ "ซ้ำ" หลังจากที่มุมเปลี่ยนเป็น . ดังนั้นมันจะเป็นการเคลื่อนไหวเป็นระยะ วัฏจักรที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนไหวนี้สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงใน "มุม" โดย ปริมาณมักถูกเรียกว่าเฟสของการเคลื่อนไหว หากต้องการเปลี่ยนเป็น คุณต้องเปลี่ยนเป็น (ช่วงเต็มวงสวิง); แน่นอน พบได้จากสมการ ซึ่งหมายความว่าคุณจำเป็นต้องคำนวณสำหรับหนึ่งรอบ และทุกอย่างจะถูกทำซ้ำหากคุณเพิ่มขึ้นโดย ; ในกรณีนี้ เราจะเพิ่มเฟสเป็น . ทางนี้,

. (21.5)

ซึ่งหมายความว่ายิ่งน้ำหนักมาก สปริงก็จะแกว่งช้าลงเท่านั้น ความเฉื่อยในกรณีนี้จะมากกว่า และถ้าแรงไม่เปลี่ยนแปลง ก็จะต้องใช้เวลามากขึ้นในการเร่งและชะลอโหลด หากคุณใช้สปริงที่แข็งกว่านี้ การเคลื่อนไหวควรเร็วขึ้น และแน่นอน ระยะเวลาจะลดลงเมื่อค่าคงที่ของสปริงเพิ่มขึ้น

ตอนนี้โปรดทราบว่าระยะเวลาการแกว่งของมวลบนสปริงไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าการสั่นเริ่มต้นอย่างไร สำหรับสปริงมันดูไม่แยแสเลยว่าเรายืดมันแค่ไหน สมการการเคลื่อนที่ (21.2) กำหนดระยะเวลาของการแกว่ง แต่ไม่ได้กล่าวถึงแอมพลิจูดของการแกว่ง แน่นอนว่าสามารถกำหนดแอมพลิจูดการสั่นได้ และตอนนี้เราจะจัดการกับมัน แต่สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น

ประเด็นคือเรายังไม่พบคำตอบของสมการทั่วไปมากที่สุด (21.2) มีโซลูชั่นหลายประเภท สารละลายนี้สอดคล้องกับกรณีที่สปริงยืดออกในช่วงเริ่มต้นและความเร็วเท่ากับศูนย์ คุณสามารถทำให้สปริงเคลื่อนที่ไปอีกทางหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น ยึดช่วงเวลาที่สปริงที่สมดุลหยุดนิ่ง แล้วกดลงน้ำหนักอย่างรวดเร็ว นี่จะหมายความว่าในขณะนี้มีการรายงานความเร็วไปยังสปริง การเคลื่อนไหวดังกล่าวจะสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาอื่น (21.2) - โคไซน์จะต้องถูกแทนที่ด้วยไซน์ โยนหินอีกก้อนหนึ่งเข้าไปในโคไซน์: ถ้า - วิธีแก้ปัญหาจากนั้นเข้าไปในห้องที่สปริงแกว่งตัวในขณะนี้ (เรียกมันว่า "") เมื่อน้ำหนักผ่านตำแหน่งสมดุลเราจะถูกบังคับให้เปลี่ยนสิ่งนี้ วิธีแก้ปัญหาด้วยอีกอันหนึ่ง ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป วิธีแก้ปัญหาทั่วไปต้องยอมให้มีการเคลื่อนตัวของต้นกำเนิดของเวลา คุณสมบัติดังกล่าวมี ตัวอย่างเช่น โซลูชัน ที่ใดเป็นค่าคงที่ นอกจากนี้ เราสามารถย่อยสลายได้ที่เรียกว่าความถี่เชิงมุม คือจำนวนเรเดียนที่เฟสเปลี่ยนแปลงใน 1 วินาที ถูกกำหนดโดยสมการอนุพันธ์ ปริมาณอื่นไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการ แต่ขึ้นอยู่กับ เงื่อนไขเบื้องต้น. ค่าคงที่เป็นตัววัดความเบี่ยงเบนสูงสุดของโหลดและเรียกว่าแอมพลิจูดการแกว่ง ค่าคงที่บางครั้งเรียกว่าเฟสของการแกว่ง แต่อาจมีความเข้าใจผิดที่นี่เพราะคนอื่นเรียกเฟสและบอกว่าเฟสขึ้นอยู่กับเวลา เราสามารถพูดได้ว่า - นี่คือการเลื่อนเฟสเมื่อเปรียบเทียบกับบางส่วน ถือเป็นศูนย์ อย่าทะเลาะกันเรื่องคำ แตกต่างกันไปตามการเคลื่อนไหวที่มีขั้นตอนต่างกัน นี่เป็นเรื่องจริง แต่จะเรียกว่าเฟสหรือไม่เป็นอีกคำถามหนึ่ง

การค้นพบในด้านควอนตัมและพื้นที่อื่นๆ ในเวลาเดียวกัน มีการประดิษฐ์อุปกรณ์และอุปกรณ์ใหม่ ซึ่งเป็นไปได้ที่จะทำการศึกษาต่างๆ และอธิบายปรากฏการณ์ของไมโครเวิร์ล หนึ่งในกลไกเหล่านี้คือฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ซึ่งเป็นหลักการที่ตัวแทนของอารยธรรมโบราณรู้จักกันดี

อุปกรณ์และประเภทของอุปกรณ์

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นระบบกลไกในการเคลื่อนที่ ซึ่งอธิบายโดยค่าดิฟเฟอเรนเชียลพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ของค่าคงที่ ที่สุด ตัวอย่างง่ายๆอุปกรณ์ดังกล่าว - โหลดบนสปริง, ลูกตุ้ม, ระบบเสียง, การเคลื่อนที่ของอนุภาคโมเลกุล ฯลฯ

ตามอัตภาพ อุปกรณ์ประเภทนี้สามารถแยกแยะได้:

แอปพลิเคชันอุปกรณ์

อุปกรณ์นี้ใช้ใน สาขาต่างๆส่วนใหญ่เพื่อศึกษาธรรมชาติของระบบออสซิลเลเตอร์ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกควอนตัมใช้เพื่อศึกษาพฤติกรรมขององค์ประกอบโฟตอน ผลการทดลองสามารถนำมาใช้ในด้านต่างๆ ดังนั้น นักฟิสิกส์จากสถาบันอเมริกันจึงพบว่าอะตอมของเบริลเลียมซึ่งอยู่ห่างจากกันและกันค่อนข้างมาก สามารถโต้ตอบกันได้ในระดับควอนตัม ในเวลาเดียวกัน พฤติกรรมของอนุภาคเหล่านี้คล้ายกับวัตถุ (ลูกบอลโลหะ) ในจักรวาลวิทยา โดยเคลื่อนที่ในลำดับย้อนกลับ คล้ายกับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก เบริลเลียมไอออนแม้จะอยู่ในร่างกาย ระยะทางไกลแลกเปลี่ยนหน่วยพลังงานที่เล็กที่สุด (ควอนตั้ม) การค้นพบนี้ช่วยพัฒนาเทคโนโลยีไอทีได้อย่างมาก และยังนำเสนอโซลูชั่นใหม่ในการผลิตอุปกรณ์คอมพิวเตอร์และอิเล็กทรอนิกส์

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกใช้ในการประเมินงานดนตรี วิธีนี้เรียกว่าการตรวจทางสเปกโตรสโกปี ในขณะเดียวกันก็พบว่าระบบที่เสถียรที่สุดคือการแต่งเพลงของนักดนตรีสี่คน (ควอร์เต็ต) และงานสมัยใหม่ส่วนใหญ่จะเป็นแบบแอนฮาร์โมนิก

ฮาร์โมนิกออสซิลเลชัน

บรรยาย 1

VASCULATION

การระบายอากาศ คลื่น เลนส์

การสั่นเป็นหนึ่งในกระบวนการที่พบบ่อยที่สุดในธรรมชาติและเทคโนโลยี ความผันผวนเป็นกระบวนการที่ทำซ้ำเมื่อเวลาผ่านไป อาคารสูงและสายไฟฟ้าแรงสูงสั่นภายใต้อิทธิพลของลม ลูกตุ้มของนาฬิกาไขลาน และรถบนสปริงขณะเคลื่อนที่ ระดับของแม่น้ำในระหว่างปี และอุณหภูมิของร่างกายมนุษย์ในช่วงเจ็บป่วย เสียงคือความผันผวนของความดันอากาศ คลื่นวิทยุคือการเปลี่ยนแปลงความแรงของไฟฟ้าเป็นระยะและ สนามแม่เหล็ก, แสงก็เช่นกัน การสั่นของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า. แผ่นดินไหว - การสั่นสะเทือนของพื้นดิน การขึ้นและลง - การเปลี่ยนแปลงในระดับของทะเลและมหาสมุทรที่เกิดจากแรงดึงดูดของดวงจันทร์ ฯลฯ

การสั่นเป็นลักษณะทางกล แม่เหล็กไฟฟ้า เคมี อุณหพลศาสตร์ ฯลฯ แม้จะมีความหลากหลายเช่นนี้ แต่การแกว่งทั้งหมดก็อธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เดียวกัน

นักวิทยาศาสตร์กลุ่มแรกที่ศึกษาการสั่นสะเทือนคือ Galileo Galilei และ Christian Huygens กาลิเลโอสร้างความเป็นอิสระของช่วงเวลาของการแกว่งจากแอมพลิจูด Huygens ได้ประดิษฐ์นาฬิกาลูกตุ้ม

ระบบใดๆ ที่เมื่อไม่สมดุลเล็กน้อย ออสซิลเลตอย่างต่อเนื่องเรียกว่าฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ในฟิสิกส์คลาสสิก ระบบดังกล่าวเป็นลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ภายในมุมโก่งตัวเล็กๆ โหลดภายในแอมพลิจูดการแกว่งน้อย วงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยองค์ประกอบความจุเชิงเส้นและองค์ประกอบการเหนี่ยวนำ

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสามารถพิจารณาเป็นเส้นตรงได้หากการกระจัดจากตำแหน่งสมดุลเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงที่ก่อกวน ความถี่การสั่นของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด สำหรับออสซิลเลเตอร์ หลักการของการทับซ้อนนั้นเป็นจริง - หากแรงรบกวนหลาย ๆ อันกระทำการ ผลของการกระทำทั้งหมดสามารถได้รับอันเป็นผลมาจากการเพิ่มผลกระทบจาก กำลังพลแยกจากกัน

การสั่นของฮาร์มอนิกอธิบายโดยสมการ (รูปที่ 1.1.1)

(1.1.1)

ที่ไหน X- การกระจัดของค่าการสั่นจากตำแหน่งสมดุล แต่– แอมพลิจูดของการแกว่งเท่ากับค่าของการกระจัดสูงสุด - เฟสของการแกว่งซึ่งกำหนดการเคลื่อนที่ ณ เวลา , - ระยะเริ่มต้นซึ่งกำหนดขนาดของการกระจัดในช่วงเวลาเริ่มต้น - ความถี่วัฏจักรของการแกว่ง

เวลาของการแกว่งที่สมบูรณ์หนึ่งครั้งเรียกว่าช่วงเวลา โดยที่จำนวนการแกว่งที่เสร็จสมบูรณ์ในช่วงเวลานั้น

ความถี่การสั่นจะกำหนดจำนวนการแกว่งต่อหน่วยเวลา ซึ่งสัมพันธ์กับความถี่ของวัฏจักรตามอัตราส่วน แล้วตามด้วยคาบ

ความเร็วของจุดวัสดุที่แกว่งไปมา

อัตราเร่ง

ดังนั้นความเร็วและความเร่งของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ก็เปลี่ยนไปตามกฎฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดและตามลำดับ ในกรณีนี้ ความเร็วจะมาก่อนการกระจัดเฟสโดย , และการเร่งความเร็ว - โดย (รูปที่ 1.1.2)

จากการเปรียบเทียบสมการการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ (1.1.1) และ (1.1.2) จะได้ว่า หรือ

มัน สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองเรียกว่าสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ สารละลายของเขามีค่าคงที่สองตัว เอและ ซึ่งถูกกำหนดโดยการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น

หากอธิบายกระบวนการซ้ำเป็นระยะด้วยสมการที่ไม่ตรงกับ (1.1.1) จะเรียกว่าแอนฮาร์โมนิก ระบบที่ทำการสั่นของแอนฮาร์มอนิกเรียกว่า แอนฮาร์โมนิกออสซิลเลเตอร์

1.1.2 . อิสระการสั่นของระบบที่มีระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับ รูปแบบที่ซับซ้อนการแสดงการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

โดยธรรมชาติแล้ว การสั่นเล็กน้อยที่ระบบทำให้ใกล้กับตำแหน่งสมดุลนั้นเป็นเรื่องปกติมาก หากระบบที่ถูกดึงออกจากสมดุลถูกปล่อยไว้สำหรับตัวมันเอง นั่นคือ แรงภายนอกไม่ได้กระทำกับระบบนั้น ระบบดังกล่าวจะทำการแกว่งแบบไม่แปรผันอย่างอิสระ พิจารณาระบบที่มีอิสระในระดับหนึ่ง

สมดุลที่เสถียรสอดคล้องกับตำแหน่งของระบบที่พลังงานศักย์มีขั้นต่ำ ( qคือพิกัดทั่วไปของระบบ) การเบี่ยงเบนของระบบจากตำแหน่งสมดุลนำไปสู่การเกิดขึ้นของแรงที่มีแนวโน้มที่จะนำระบบกลับมา เราแสดงค่าของพิกัดทั่วไปที่สอดคล้องกับตำแหน่งสมดุล จากนั้นค่าเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุล

เราจะนับพลังงานศักย์จากค่าต่ำสุด ลองใช้ฟังก์ชันผลลัพธ์ขยายเป็นอนุกรม Maclaurin และปล่อยให้เทอมแรกของการขยายเรามี: o

การระบายอากาศ คลื่น เลนส์

VASCULATION

บรรยาย 1

ฮาร์โมนิกออสซิลเลชัน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกในอุดมคติ สมการ ออสซิลเลเตอร์ในอุดมคติและการตัดสินใจของเขา แอมพลิจูด ความถี่ และเฟสของการแกว่ง

การสั่นเป็นหนึ่งในกระบวนการที่พบบ่อยที่สุดในธรรมชาติและเทคโนโลยี ความผันผวนเป็นกระบวนการที่ทำซ้ำเมื่อเวลาผ่านไป อาคารสูงและสายไฟฟ้าแรงสูงสั่นภายใต้อิทธิพลของลม ลูกตุ้มของนาฬิกาไขลาน และรถบนสปริงขณะเคลื่อนที่ ระดับของแม่น้ำในระหว่างปี และอุณหภูมิของร่างกายมนุษย์ในช่วงเจ็บป่วย เสียงคือความผันผวนของความดันอากาศ คลื่นวิทยุคือการเปลี่ยนแปลงความแรงของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเป็นระยะ แสงยังเป็นการสั่นสะเทือนทางแม่เหล็กไฟฟ้า แผ่นดินไหว - การสั่นสะเทือนของพื้นดิน การขึ้นและลง - การเปลี่ยนแปลงในระดับของทะเลและมหาสมุทรที่เกิดจากแรงดึงดูดของดวงจันทร์ ฯลฯ

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสามารถพิจารณาเป็นเส้นตรงได้หากการกระจัดจากตำแหน่งสมดุลเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงที่ก่อกวน ความถี่การสั่นของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด สำหรับออสซิลเลเตอร์ หลักการของการทับซ้อนนั้นเป็นจริง - หากแรงก่อกวนหลายตัวกระทำการ ผลของการกระทำทั้งหมดสามารถได้รับจากการเพิ่มผลกระทบของแรงกระทำแยกกัน

การสั่นของฮาร์มอนิกอธิบายโดยสมการ (รูปที่ 1.1.1)

(1.1.1)

ความเร็วของจุดวัสดุที่แกว่งไปมา

อัตราเร่ง

สมการอนุพันธ์อันดับสองนี้เรียกว่าสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ สารละลายของเขามีค่าคงที่สองตัว เอและ ซึ่งถูกกำหนดโดยการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น

1.1.2 . อิสระการสั่นของระบบที่มีระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับ รูปแบบที่ซับซ้อนของการแสดงการสั่นของฮาร์มอนิก

ที่ไหน . จากนั้นคำนึงถึงสัญกรณ์ที่แนะนำ:

, (1.1.4)

โดยคำนึงถึงนิพจน์ (1.1.4) สำหรับแรงที่กระทำต่อระบบ เราได้รับ:

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของระบบมีรูปแบบดังนี้

นิพจน์ (1.1.5) เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (1.1.3) ของการแกว่งของฮาร์มอนิกอิสระ โดยมีเงื่อนไขว่า

และมีสองโซลูชันอิสระ: และ ดังนั้น โซลูชันทั่วไปคือ:

จากสูตร (1.1.6) ความถี่จะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติที่แท้จริงของระบบกลไกเท่านั้นและไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและสภาวะเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว

การพึ่งพาพิกัดของระบบการสั่นตรงเวลาสามารถกำหนดได้ว่าเป็นส่วนที่แท้จริงของนิพจน์ที่ซับซ้อน , ที่ไหน A=Xe-iαเป็นแอมพลิจูดเชิงซ้อน โมดูลัสของมันจะตรงกับแอมพลิจูดปกติ และอาร์กิวเมนต์ของมันจะตรงกับเฟสเริ่มต้น

1.1.3 . ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบสั่นของธรรมชาติทางกายภาพต่างๆ

ความผันผวนของโหลดบนสปริง

พิจารณาการสั่นของโหลดบนสปริง โดยที่สปริงต้องไม่เสียรูปเกินขีดจำกัดความยืดหยุ่น เราจะแสดงให้เห็นว่าโหลดดังกล่าวจะทำการแกว่งฮาร์มอนิกที่สัมพันธ์กับตำแหน่งสมดุล (รูปที่ 1.1.3) ตามกฎของฮุค สปริงที่ถูกบีบอัดหรือยืดออกจะสร้างแรงฮาร์มอนิก:

ที่ไหน - ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริง คือพิกัดของตำแหน่งสมดุล Xคือพิกัดของโหลด (จุดวัสดุ) ในช่วงเวลา คือการกระจัดจากตำแหน่งสมดุล

ให้เราวางจุดกำเนิดของพิกัดในตำแหน่งสมดุลของระบบ ในกรณีนี้ .

ถ้าสปริงยืดออก Xแล้วปล่อยเมื่อถึงเวลา t=0 แล้วสมการการเคลื่อนที่ของโหลดตามกฎข้อที่สองของนิวตันจะอยู่ในรูป -kx=ma, หรือ , และ

(1.1.6)

สมการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการการเคลื่อนที่ (1.1.3) ของระบบที่มีการสั่นแบบฮาร์มอนิก เราจะหาคำตอบในรูปแบบ:

. (1.1.7)

เราแทนที่ (1.17) เป็น (1.1.6) เรามี: กล่าวคือ นิพจน์ (1.1.7) เป็นการแก้สมการ (1.1.6) โดยมีเงื่อนไขว่า

หากในช่วงเวลาเริ่มต้นตำแหน่งของโหลดเป็นไปตามอำเภอใจ สมการการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปแบบ:

ลองพิจารณาว่าพลังงานของโหลดเปลี่ยนแปลงอย่างไรทำให้เกิดการสั่นแบบฮาร์มอนิกในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอก (รูปที่ 1.14) ถ้าในขณะนั้น t=0 ส่งออฟเซ็ตไปที่สินค้า x=Aจากนั้นพลังงานทั้งหมดจะเท่ากับพลังงานศักย์ของสปริงที่ผิดรูป พลังงานจลน์เท่ากับศูนย์ (จุดที่ 1)

แรงกระทำต่อโหลด F= -kx, พยายามที่จะกลับไปที่ตำแหน่งสมดุลเพื่อให้โหลดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งและเพิ่มความเร็วและด้วยเหตุนี้พลังงานจลน์ของมัน แรงนี้ช่วยลดการกระจัดของโหลด เอ็กซ์,พลังงานศักย์ของโหลดลดลงกลายเป็นจลนศาสตร์ ระบบ "โหลด - สปริง" ถูกปิด ดังนั้นพลังงานทั้งหมดจึงถูกอนุรักษ์ นั่นคือ:

. (1.1.8)

ในช่วงเวลานั้น โหลดอยู่ในสภาวะสมดุล (จุดที่ 2) พลังงานศักย์เป็นศูนย์ และพลังงานจลน์สูงสุด เราพบความเร็วสูงสุดของโหลดจากกฎการอนุรักษ์พลังงาน (1.1.8):

เนื่องจากสต็อคของพลังงานจลน์ โหลดจึงต้านแรงยืดหยุ่น – และผ่านตำแหน่งสมดุล พลังงานจลน์ค่อยๆ เปลี่ยนเป็นศักย์ เมื่อโหลดมีการกระจัดเชิงลบสูงสุด - แต่,พลังงานจลน์ wk=0 โหลดหยุดและเริ่มเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุลภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น F= -kx. การเคลื่อนไหวเพิ่มเติมจะคล้ายคลึงกัน

ลูกตุ้ม

ลูกตุ้มเป็นวัตถุแข็งเกร็งที่แกว่งไปมารอบจุดหรือแกนคงที่ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง มีลูกตุ้มกายภาพและคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นระบบในอุดมคติที่ประกอบด้วยเกลียวที่ไม่มีน้ำหนักซึ่งมวลที่จุดวัสดุหนึ่งถูกระงับ

ตัวอย่างเช่น ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือลูกบอลบนเส้นด้ายเส้นเล็กยาว

ความเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลนั้นมีลักษณะเป็นมุม φ ซึ่งประกอบเป็นเกลียวในแนวตั้ง (รูปที่ 1.15) เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุล โมเมนต์ของแรงภายนอก (แรงโน้มถ่วง) จะเกิดขึ้น: , ที่ไหน ม- น้ำหนัก, - ความยาวลูกตุ้ม

ช่วงเวลานี้มีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล (คล้ายกับแรงกึ่งยืดหยุ่น) และมุ่งตรงไปตรงข้ามกับการกระจัด φ ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายลบในสูตร

สมการไดนามิก การเคลื่อนที่แบบหมุนสำหรับลูกตุ้มจะมีรูปแบบดังนี้ ฉัน=,

เราจะพิจารณากรณีความผันผวนเล็กน้อยดังนั้น บาป φ ≈φ, หมายถึง ,

เรามี: , หรือ , และในที่สุดก็

นี่คือสมการของการแกว่งของฮาร์มอนิกซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหา:

ความถี่การสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยความยาวและความเร่งของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น และไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้ม ระยะเวลาคือ:

หากวัตถุสั่นไม่สามารถแสดงเป็นจุดวัสดุได้ ลูกตุ้มจะเรียกว่ากายภาพ (รูปที่ 1.1.6) เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบ:

ในกรณีที่มีความผันผวนเล็กน้อย , หรือ =0 ที่ไหน . นี่คือสมการการเคลื่อนที่ของร่างกายที่มีการสั่นแบบฮาร์มอนิก ความถี่การสั่นของลูกตุ้มกายภาพขึ้นอยู่กับมวล ความยาว และโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่เคลื่อนผ่านจุดแขวนลอย

แสดงว่า. ค่า เรียกว่าความยาวลดลงของลูกตุ้มกายภาพ นี่คือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีคาบการสั่นพร้อมกับคาบของลูกตุ้มกายภาพที่กำหนด จุดบนเส้นตรงที่เชื่อมจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์กลางมวลซึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะทางที่มีความยาวลดลง เรียกว่า จุดศูนย์กลางการแกว่งของลูกตุ้มกายภาพ ( โอ'). หากลูกตุ้มห้อยอยู่ตรงกลางวงสวิง ความยาวและระยะเวลาการแกว่งที่ลดลงจะเท่ากับ ณ จุดนั้น อู๋. ดังนั้นจุดแขวนลอยและศูนย์กลางวงสวิงจึงมีคุณสมบัติของการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกัน: เมื่อจุดกันสะเทือนถูกย้ายไปยังศูนย์กลางการแกว่ง จุดกันกระเทือนแบบเก่าจะกลายเป็นศูนย์กลางของวงสวิงใหม่

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่แกว่งด้วยคาบเดียวกับลูกตุ้มกายภาพที่ถูกพิจารณาเรียกว่าไอโซโครนัสของลูกตุ้มกายภาพที่กำหนด

1.1.4. เพิ่มการสั่นสะเทือน (บีท, ตัวเลข Lissajous) คำอธิบายเวกเตอร์ของการบวกการสั่น

การเพิ่มการแกว่งที่กำกับอย่างเท่าเทียมกันสามารถทำได้โดยใช้วิธีการของไดอะแกรมเวกเตอร์ การแกว่งของฮาร์มอนิกใดๆ สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้ดังนี้ มาเลือกแกนกัน Xโดยมีจุดกำเนิดที่จุด อู๋(รูปที่.1.1.7)

จากจุดหนึ่ง อู๋สร้างเวกเตอร์ที่ประกอบเป็นมุม พร้อมเพลา X. ให้เวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน Xเท่ากับ:

นั่นคือมันทำการสั่นฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูด ก.

พิจารณาการสั่นของฮาร์มอนิกสองครั้งที่มีทิศทางเดียวกันและวงจรขนาดเล็กที่เหมือนกัน กำหนดโดยเวกเตอร์และ ออฟเซ็ตตามแนวแกน Xเท่ากับ:

เวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์มีการฉายภาพและแสดงถึงการสั่นที่เกิดขึ้น (รูปที่ 1.1.8) ตามทฤษฎีบทโคไซน์ ดังนั้น การเพิ่มการสั่นของฮาร์มอนิกจะดำเนินการโดยการเพิ่มเวกเตอร์

ให้เราดำเนินการเพิ่มการแกว่งในแนวตั้งฉากร่วมกัน ให้จุดวัสดุทำการแกว่งสองฉากในแนวตั้งฉากร่วมกันด้วยความถี่:

จากนั้นจุดวัสดุจะเคลื่อนที่ไปตามวิถีโคจรบางส่วน

จากสมการการเคลื่อนที่ดังนี้ ,

. (1.1.9)

จากสมการ (1.1.9) คุณจะได้สมการวงรี (รูปที่.1.1.9):

พิจารณากรณีพิเศษของสมการนี้:

1. ความแตกต่างของเฟสการสั่น α= 0. ในเวลาเดียวกัน เหล่านั้น. หรือนี่คือสมการของเส้นตรงและผลการแกว่งจะเกิดขึ้นตามเส้นตรงที่มีแอมพลิจูด (รูปที่ 1.1.10)

ความเร่งเท่ากับอนุพันธ์อันดับสองของการกระจัดเทียบกับเวลา แล้วแรงที่กระทำต่อจุดสั่นตามกฎข้อที่สองของนิวตันจะเท่ากับ

นั่นคือ แรงเป็นสัดส่วนกับการกระจัด Xและมุ่งตรงไปยังการกระจัดไปยังตำแหน่งสมดุล แรงนี้เรียกว่ากำลังฟื้นฟู ในกรณีของโหลดบนสปริง แรงคืนสภาพคือแรงยืดหยุ่น ในกรณีของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ มันเป็นส่วนประกอบของแรงโน้มถ่วง

พลังแห่งการฟื้นฟูโดยธรรมชาติเป็นไปตามกฎของฮุค ฉ=-kx,ที่ไหน

คือสัมประสิทธิ์ของแรงฟื้นฟู จากนั้นพลังงานศักย์ของจุดสั่นคือ:

(ค่าคงที่การรวมถูกเลือกเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อ X).

Anharmonic Oscillator