การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีแก้ ตัวอย่าง ระบบสมการ

ระบบสมการที่ได้รับ แอพพลิเคชั่นกว้างในภาคเศรษฐกิจ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ กระบวนการต่างๆ. เช่นในการแก้ปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิตเส้นทางโลจิสติกส์ ( งานขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์.

ระบบสมการไม่ได้ใช้เฉพาะในสาขาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยา เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นเป็นคำที่ใช้แทนสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับของตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันจริงหรือพิสูจน์ว่าลำดับนั้นไม่มีอยู่จริง

สมการเชิงเส้น

สมการในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่า เชิงเส้น การกำหนด x, y คือค่าที่ไม่รู้จัก ซึ่งต้องหาค่า b, a คือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยการพล็อตกราฟจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งจุดทั้งหมดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

วิธีที่ง่ายที่สุดคือตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรของฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - หมายถึงการค้นหาค่าดังกล่าว (x, y) ซึ่งระบบกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือระบุว่าไม่มีค่าที่เหมาะสมของ x และ y

คู่ของค่า (x, y) ที่เขียนเป็นพิกัดจุดเรียกว่าคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีโซลูชันเดียวหรือไม่มีโซลูชันใดเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คือระบบที่ด้านขวามีค่าเท่ากับศูนย์ หากส่วนที่ถูกต้องหลังเครื่องหมาย "เท่ากับ" มีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีมากกว่าสองตัวแปร ดังนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสามตัวขึ้นไป

ต้องเผชิญกับระบบ เด็กนักเรียนคิดว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร แต่อาจมีจำนวนมากโดยพลการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีวิเคราะห์ทั่วไปในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับโซลูชันที่เป็นตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การแทนที่ ตลอดจนวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ การแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์

งานหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริทึมโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบของกฎและการดำเนินการสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของโปรแกรมโรงเรียนการศึกษาทั่วไปเกรด 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายอย่างละเอียด ในตำราคณิตศาสตร์ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ปัญหาตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธี Gauss และ Cramer ได้รับการศึกษาในรายละเอียดเพิ่มเติมในหลักสูตรแรกของสถาบันการศึกษาระดับสูง

การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีทดแทน

การดำเนินการของวิธีการแทนที่มีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งถึงตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบตัวแปรเดียว การกระทำซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนที่ไม่รู้จักในระบบ

ลองยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นชั้น 7 โดยวิธีการแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y นิพจน์ผลลัพธ์ที่แทนที่ลงในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้ไม่ก่อให้เกิดปัญหาและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายนี่คือการทดสอบค่าที่ได้รับ

เป็นไปไม่ได้เสมอที่จะแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการแทนที่ สมการอาจซับซ้อนและการแสดงออกของตัวแปรในแง่ของตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวที่สองจะยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เมื่อมีสิ่งที่ไม่รู้จักมากกว่า 3 รายการในระบบ โซลูชันการแทนที่ก็จะใช้ไม่ได้เช่นกัน

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกเชิงพีชคณิต

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วยวิธีการบวก การบวกแบบคำต่อคำและการคูณสมการด้วยตัวเลขต่างๆ จะดำเนินการ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการที่มีตัวแปรเดียว

สำหรับการใช้งาน วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการบวกที่มีจำนวนตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป การบวกพีชคณิตจะมีประโยชน์เมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและเลขทศนิยม

อัลกอริทึมการดำเนินการของโซลูชัน:

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลข. อันเป็นผลมาจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ หนึ่งในค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจะต้องเท่ากับ 1
เพิ่มนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ทีละคำและค้นหาหนึ่งในนิพจน์ที่ไม่รู้จัก
แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีแก้ไขโดยแนะนำตัวแปรใหม่

สามารถนำตัวแปรใหม่มาใช้ได้หากระบบต้องการหาคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ จำนวนที่ไม่รู้จักก็ไม่ควรเกินสองสมการเช่นกัน

วิธีนี้ใช้เพื่อลดความซับซ้อนของสมการโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่จะแก้ไขตามค่าที่ไม่รู้จักที่ป้อน และค่าผลลัพธ์จะถูกใช้เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างที่ว่า การเพิ่มตัวแปรใหม่ t สามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐานได้ คุณสามารถแก้พหุนามได้โดยการหาตัวจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของการเลือกปฏิบัติโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D เป็นตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c เป็นตัวคูณของพหุนาม ในตัวอย่างที่กำหนด a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากการเลือกปฏิบัติมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาสองวิธี: t = -b±√D / 2*a หากค่าจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว: x= -b / 2*a

วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบผลลัพธ์นั้นพบได้โดยวิธีการเพิ่มเติม

วิธีการที่มองเห็นได้สำหรับการแก้ปัญหาระบบ

เหมาะสำหรับระบบที่มี 3 สมการ วิธีการประกอบด้วยการพล็อตกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งและจะเป็น วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบ

วิธีการกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในแบบที่มองเห็นได้

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างมีการสร้างจุดสองจุดสำหรับแต่ละบรรทัดค่าของตัวแปร x ถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ตามค่าของ x พบค่าของ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้น

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดของเส้นคือทางออกของระบบ

ในตัวอย่างต่อไปนี้ จำเป็นต้องหาคำตอบเชิงกราฟของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาว

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 มีความคล้ายคลึงกัน แต่เมื่อสร้างขึ้น จะเห็นได้ชัดว่าโซลูชันของพวกเขาแตกต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ แต่จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอ

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้ในการเขียนระบบสมการเชิงเส้นสั้นๆ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน เมทริกซ์เวกเตอร์คือเมทริกซ์คอลัมน์เดียวที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้ไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีหน่วยตามแนวเส้นทแยงมุมและองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่น ๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ดังกล่าวเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมกลายเป็นหนึ่งหน่วยเมทริกซ์ดังกล่าวจะมีอยู่เฉพาะสำหรับสแควร์ดั้งเดิมเท่านั้น

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

เกี่ยวกับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และสมาชิกอิสระของสมการจะถูกเขียนเป็นตัวเลขของเมทริกซ์ หนึ่งสมการคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์เรียกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในแถวไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นหากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใด ๆ จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์ของเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดจะถูกคูณด้วยตัวเลขอย่างต่อเนื่อง

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผัน และ |K| - ตัวกำหนดเมทริกซ์ |K| ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจึงมีทางแก้ไข

ดีเทอร์มีแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์แบบสองคูณสอง จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงมุมเท่านั้น สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" จะมีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำองค์ประกอบหนึ่งรายการจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้หมายเลขคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำกันในผลคูณ

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการหาคำตอบทำให้สามารถลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่าง นาโนเมตรคือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์

ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง วิธีเกาส์ได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการในการหาทางออกให้กับระบบเรียกว่าวิธีการแก้แบบเกาส์-แครมเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์เซียนนั้นคล้ายกับการแทนที่และการบวกเชิงพีชคณิตมาก แต่เป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน สารละลายเกาส์เซียนใช้สำหรับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีการคือการนำระบบไปสู่รูปแบบของสี่เหลี่ยมคางหมูคว่ำ โดยการแปลงเชิงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกพบในสมการหนึ่งของระบบ สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก และ 3 และ 4 - โดยมีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายแล้ว วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการแทนที่ตัวแปรที่รู้จักตามลำดับลงในสมการของระบบ

ใน หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาโดยวิธี Gauss ได้อธิบายไว้ดังนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สองสมการ 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 คำตอบของสมการใด ๆ จะช่วยให้คุณค้นหาหนึ่งในตัวแปร x n

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในข้อความ ระบุว่า ถ้าหนึ่งในสมการของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่า ระบบที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนที่จะเข้าใจ มัธยมแต่เป็นวิธีหนึ่งที่น่าสนใจที่สุดในการพัฒนาความเฉลียวฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรม การศึกษาเชิงลึกในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึกการคำนวณ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและเทอมอิสระเขียนในรูปของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์จะสอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันแสดงถึงจำนวนของสมการในระบบ

ขั้นแรกให้เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ จากนั้นดำเนินการทั้งหมดด้วยแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นต่อไปจนกว่าจะได้ผลลัพธ์

เป็นผลให้ควรได้รับเมทริกซ์ซึ่งหนึ่งในเส้นทแยงมุมคือ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบเดียว เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขของทั้งสองด้านของสมการ

สัญลักษณ์นี้มีความยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิด้วยการแสดงรายการที่ไม่รู้จักจำนวนมาก

แอปพลิเคชั่นฟรีสำหรับวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ จะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์จำนวนหนึ่ง ใช้ไม่ได้ทุกวิธี วิธีการค้นหาวิธีแก้ปัญหาบางวิธีเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นมีอยู่เพื่อจุดประสงค์ในการเรียนรู้

ระบบสมการเชิงเส้น การบรรยายครั้งที่ 6

ระบบสมการเชิงเส้น

แนวคิดพื้นฐาน.

ดูระบบ

เรียกว่า ระบบ - สมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก.

หมายเลข , , ถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ.

มีการเรียกหมายเลข สมาชิกฟรีของระบบ, – ตัวแปรของระบบ. เมทริกซ์

เรียกว่า เมทริกซ์หลักของระบบและเมทริกซ์

– ระบบเมทริกซ์ขยาย. เมทริกซ์ - คอลัมน์

และสอดคล้องกัน เมทริกซ์ของสมาชิกฟรีและไม่รู้จักระบบ. จากนั้นให้เขียนระบบสมการในรูปเมทริกซ์ได้เป็น โซลูชันระบบเรียกว่าค่าของตัวแปรเมื่อแทนที่ซึ่งสมการทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง วิธีแก้ปัญหาของระบบสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์-คอลัมน์ แล้วความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์เป็นจริง

ระบบสมการเรียกว่า ข้อต่อหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ปัญหาและ เข้ากันไม่ได้ถ้ามันไม่มีทางออก

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นหมายถึงการหาว่าระบบสมการนั้นเข้ากันได้หรือไม่ และถ้าเข้ากันได้ ให้หาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

ระบบดังกล่าวเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากเงื่อนไขฟรีทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันเข้ากันได้เสมอเพราะมีทางออก

ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-โคเปลลี

คำตอบสำหรับคำถามของการมีอยู่ของคำตอบของระบบเชิงเส้นและความเป็นเอกลักษณ์ของมันช่วยให้เราได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้ซึ่งสามารถกำหนดเป็นข้อความต่อไปนี้เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก

(1)

ทฤษฎีบท 2. ระบบสมการเชิงเส้น (1) จะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ที่ขยาย (.

ทฤษฎีบท 3. หากอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบร่วมของสมการเชิงเส้นเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ระบบจะมีคำตอบเฉพาะ

ทฤษฎีบท 4. หากอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบร่วมน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ ระบบจะมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

กฎสำหรับการแก้ระบบ.

3. ค้นหานิพจน์ของตัวแปรหลักในแง่ของตัวแปรอิสระและรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

4. โดยการให้ค่าโดยพลการแก่ตัวแปรอิสระ จะได้รับค่าทั้งหมดของตัวแปรหลัก

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีเมทริกซ์ผกผัน

และ เช่น ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์

ที่ไหน , , .

คูณทั้งสองข้างของสมการเมทริกซ์ทางซ้ายด้วยเมทริกซ์

เนื่องจาก เราได้รับ ซึ่งเราได้รับความเท่าเทียมกันในการค้นหาสิ่งแปลกปลอม

ตัวอย่างที่ 27.ใช้วิธีเมทริกซ์ผกผันแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย. แสดงโดยเมทริกซ์หลักของระบบ

ให้ แล้วเราหาคำตอบตามสูตร

มาคำนวณกัน

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ค้นหาการเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมด

, ,

ดังนั้น

มาตรวจสอบกัน

พบเมทริกซ์ผกผันอย่างถูกต้อง จากที่นี่ ใช้สูตร เราจะค้นหาเมทริกซ์ของตัวแปร

การเปรียบเทียบค่าของเมทริกซ์ เราได้คำตอบ: .

วิธีการของแครมเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบสาเหตุ

และ เช่น ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เราเขียนคำตอบของระบบในรูปแบบเมทริกซ์หรือ

แสดงว่า

. . . . . . . . . . . . . . ,

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรสำหรับการค้นหาค่าที่ไม่รู้จักซึ่งเรียกว่า สูตรของแครมเมอร์.

ตัวอย่างที่ 28.จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์ .

สารละลาย. ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบ

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ค้นหาปัจจัยที่เหลือสำหรับสูตรของแครมเมอร์

ใช้สูตรของ Cramer ค้นหาค่าของตัวแปร

วิธีเกาส์

วิธีการประกอบด้วยการยกเว้นตัวแปรตามลำดับ

ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบสาเหตุ

กระบวนการแก้ปัญหา Gaussian ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

ในขั้นแรก เมทริกซ์ขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอนด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น

โดยที่ ซึ่งสอดคล้องกับระบบ

หลังจากนั้นตัวแปร ถือว่าฟรีและในแต่ละสมการจะถูกโอนไปทางด้านขวา

ในขั้นที่สอง ตัวแปรจะแสดงจากสมการสุดท้าย ค่าที่ได้จะถูกแทนลงในสมการ จากสมการนี้

ตัวแปรถูกแสดง กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนถึงสมการแรก ผลลัพธ์คือการแสดงออกของตัวแปรหลักในแง่ของตัวแปรอิสระ .

ตัวอย่างที่ 29แก้ระบบต่อไปนี้โดยใช้วิธี Gaussian

สารละลาย. ให้เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและลดขนาดลงในแบบฟอร์มขั้นตอน

เพราะ มากกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก ระบบจะเข้ากันได้และมีโซลูชันจำนวนไม่สิ้นสุด ให้เราเขียนระบบสำหรับเมทริกซ์ขั้นตอน

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขยายของระบบนี้ ซึ่งประกอบด้วยสามคอลัมน์แรก ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงถือว่ามันเป็นพื้นฐาน ตัวแปร

จะเป็นพื้นฐานและตัวแปรจะเป็นอิสระ ลองย้ายไปทางด้านซ้ายในสมการทั้งหมด

จากสมการสุดท้ายที่เราแสดง

แทนค่านี้ลงในสมการที่สองสุดท้าย เราจะได้

ที่ไหน . เราพบการแทนค่าของตัวแปรและลงในสมการแรก . เราเขียนคำตอบในแบบฟอร์มต่อไปนี้

ระบบสมการเชิงเส้นคือการรวมกันของสมการเชิงเส้น n สมการ แต่ละสมการประกอบด้วยตัวแปร k มันเขียนดังนี้:

หลายคนเมื่อเผชิญกับพีชคณิตที่สูงขึ้นเป็นครั้งแรก เชื่อผิดๆ ว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนตัวแปร ในพีชคณิตของโรงเรียนมักเป็นเช่นนี้ แต่สำหรับพีชคณิตระดับสูง โดยทั่วไปแล้วไม่เป็นความจริง

คำตอบของระบบสมการคือลำดับของตัวเลข (k 1 , k 2 , ..., k n ) ซึ่งเป็นคำตอบของแต่ละสมการของระบบ นั่นคือ เมื่อแทนค่าตัวแปร x 1 , x 2 , ..., x n ลงในสมการนี้ จะได้ค่าความเท่ากันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ดังนั้น การแก้ระบบสมการหมายถึงการหาเซตของคำตอบทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าเซตนี้ว่างเปล่า เนื่องจากจำนวนสมการและจำนวนที่ไม่ทราบอาจไม่เท่ากัน จึงเป็นไปได้สามกรณี:

ระบบไม่สอดคล้องกัน เช่น ชุดของการแก้ปัญหาทั้งหมดว่างเปล่า กรณีที่ค่อนข้างหายากที่ตรวจพบได้ง่ายไม่ว่าจะแก้ไขระบบด้วยวิธีใด
ระบบมีความสอดคล้องและกำหนดไว้เช่น มีทางออกเดียว รุ่นคลาสสิคที่รู้จักกันตั้งแต่สมัยเรียน
ระบบมีความสอดคล้องและไม่ได้กำหนดไว้ เช่น มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด นี่เป็นตัวเลือกที่ยากที่สุด ยังไม่เพียงพอที่จะระบุว่า "ระบบมีชุดโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด" - จำเป็นต้องอธิบายว่าชุดดังกล่าวจัดเรียงอย่างไร

ตัวแปร x i ถูกเรียกว่าอนุญาตหากรวมอยู่ในสมการเดียวของระบบ และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในสมการที่เหลือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x i ต้องเท่ากับศูนย์

หากเราเลือกตัวแปรที่อนุญาตหนึ่งตัวในแต่ละสมการ เราจะได้ชุดของตัวแปรที่อนุญาตสำหรับระบบสมการทั้งหมด ระบบเองที่เขียนในแบบฟอร์มนี้จะเรียกว่าอนุญาต โดยทั่วไปแล้ว ระบบเริ่มต้นเดียวและระบบเดียวกันสามารถลดลงเป็นระบบที่อนุญาตที่แตกต่างกันได้ แต่สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับเราในตอนนี้ ตัวอย่างของระบบที่อนุญาตมีดังนี้

ทั้งสองระบบได้รับอนุญาตให้ใช้กับตัวแปร x 1 , x 3 และ x 4 อย่างไรก็ตาม ด้วยความสำเร็จเดียวกันนี้ เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าระบบที่สองได้รับอนุญาตด้วยความเคารพ x 1 , x 3 และ x 5 แค่เขียนสมการล่าสุดใหม่ในรูปแบบ x 5 = x 4 ก็เพียงพอแล้ว

ตอนนี้พิจารณาเพิ่มเติม กรณีทั่วไป. สมมติว่าเรามีตัวแปรทั้งหมด k ซึ่งอนุญาตให้ใช้ r ได้ เป็นไปได้สองกรณี:

จำนวนตัวแปรที่อนุญาต r เท่ากับจำนวนตัวแปรทั้งหมด k : r = k เราได้ระบบสมการ k ซึ่งตัวแปรที่อนุญาต r = k ระบบดังกล่าวเป็นการทำงานร่วมกันและแน่นอนเพราะ x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
จำนวนตัวแปรที่อนุญาต r น้อยกว่าจำนวนทั้งหมดของตัวแปร k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

ดังนั้นในระบบข้างต้น ตัวแปร x 2 , x 5 , x 6 (สำหรับระบบแรก) และ x 2 , x 5 (สำหรับระบบที่สอง) นั้นฟรี กรณีที่มีตัวแปรอิสระจะกำหนดเป็นทฤษฎีบทได้ดีกว่า:

โปรดทราบ: นี่เป็นเรื่องมาก จุดสำคัญ! ขึ้นอยู่กับว่าคุณเขียนระบบขั้นสุดท้ายอย่างไร ตัวแปรเดียวกันสามารถเป็นได้ทั้งแบบอนุญาตและแบบอิสระ ผู้สอนคณิตศาสตร์ขั้นสูงส่วนใหญ่แนะนำให้เขียนตัวแปรตามลำดับพจนานุกรม เช่น ดัชนีขาขึ้น อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องทำตามคำแนะนำนี้เลย

ทฤษฎีบท. ถ้าในระบบสมการ n ตัวแปร x 1 , x 2 , ..., x r ได้รับอนุญาต และ x r + 1 , x r + 2 , ..., x k ว่าง ดังนั้น:

ถ้าเรากำหนดค่าของตัวแปรอิสระ (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) แล้วหาค่า x 1 , x 2 , . .., x r , เราได้หนึ่งในวิธีแก้ปัญหา

หากค่าของตัวแปรอิสระในสองโซลูชันเหมือนกัน ค่าของตัวแปรที่อนุญาตก็จะเหมือนกัน เช่น โซลูชั่นมีค่าเท่ากัน

ความหมายของทฤษฎีบทนี้คืออะไร? เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดของระบบสมการที่อนุญาต ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวแปรอิสระออกมา จากนั้นกำหนดให้กับตัวแปรอิสระ ความหมายที่แตกต่างกันเราจะได้รับ โซลูชั่นแบบครบวงจร. นั่นคือทั้งหมด - ด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับโซลูชันทั้งหมดของระบบ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่น

สรุป: ระบบสมการที่อนุญาตนั้นสอดคล้องกันเสมอ ถ้าจำนวนของสมการในระบบที่อนุญาตเท่ากับจำนวนของตัวแปร ระบบจะแน่นอน ถ้าน้อยกว่า ก็จะไม่มีกำหนด

และทุกอย่างจะดี แต่คำถามก็เกิดขึ้น: จะแก้สมการจากระบบสมการดั้งเดิมได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้มี

เนื้อหาบทเรียน

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

นักเรียนมีเงิน 200 รูเบิลเพื่อรับประทานอาหารกลางวันที่โรงเรียน เค้กราคา 25 รูเบิลและกาแฟหนึ่งถ้วยราคา 10 รูเบิล คุณสามารถซื้อเค้กและกาแฟ 200 รูเบิลได้กี่แก้ว

แสดงจำนวนเค้กที่ผ่าน xและจำนวนแก้วกาแฟที่ผ่าน ย. จากนั้นต้นทุนของเค้กจะแสดงด้วยนิพจน์ 25 xและค่าถ้วยกาแฟใน 10 ย .

25x-ราคา xเค้ก
10ย-ราคา ยถ้วยกาแฟ

จำนวนเงินทั้งหมดควรเป็น 200 รูเบิล จากนั้นเราจะได้สมการที่มีสองตัวแปร xและ ย

25x+ 10ย= 200

สมการนี้มีกี่ราก

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความอยากอาหารของนักเรียน ถ้าเขาซื้อเค้ก 6 ชิ้นและกาแฟ 5 ถ้วย รากของสมการจะเป็นเลข 6 และ 5

คู่ของค่า 6 และ 5 ถูกกล่าวว่าเป็นรากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 . เขียนเป็น (6; 5) โดยตัวเลขตัวแรกคือค่าของตัวแปร xและอันที่สอง - ค่าของตัวแปร ย .

6 และ 5 ไม่ใช่รากเดียวที่กลับสมการ 25 x+ 10ย= 200 ถึงตัวตน หากต้องการในราคา 200 รูเบิลเท่ากัน นักเรียนสามารถซื้อเค้ก 4 ชิ้นและกาแฟ 10 ถ้วย:

ในกรณีนี้ รากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 เป็นคู่ของค่า (4; 10) .

นอกจากนี้ นักเรียนไม่สามารถซื้อกาแฟได้เลย แต่ซื้อเค้กในราคา 200 รูเบิล แล้วรากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 จะเป็นค่า 8 และ 0

หรือในทางกลับกัน อย่าซื้อเค้ก แต่ซื้อกาแฟในราคา 200 รูเบิล แล้วรากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 จะเป็นค่า 0 และ 20

ลองระบุรากที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ 25 x+ 10ย= 200 . เอาเป็นว่าเรามาตกลงกันเลยค่า xและ ยอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม และให้ค่าเหล่านี้มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์:

x∈Z, ย∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

ดังนั้นมันจะสะดวกสำหรับตัวนักเรียนเอง เค้กจะสะดวกกว่าที่จะซื้อทั้งก้อนมากกว่า เช่น เค้กหลายชิ้นและเค้กครึ่งก้อน กาแฟยังสะดวกกว่าที่จะชงกาแฟทั้งแก้วมากกว่า เช่น ชงหลายแก้วและครึ่งแก้ว

โปรดทราบว่าสำหรับคี่ xเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุความเท่าเทียมกันภายใต้ข้อใดข้อหนึ่ง ย. แล้วค่า xจะมีเลขดังต่อไปนี้ 0, 2, 4, 6, 8 และน่ารู้ xสามารถกำหนดได้ง่าย ย

ดังนั้นเราจึงได้คู่ของค่าต่อไปนี้ (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). คู่เหล่านี้คือคำตอบหรือรากของสมการที่ 25 x+ 10ย= 200 พวกเขาเปลี่ยนสมการนี้เป็นตัวตน

พิมพ์สมการ ขวาน + โดย = คเรียกว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร. คำตอบหรือรากของสมการนี้คือคู่ของค่า ( x; ย) ซึ่งทำให้มันกลายเป็นตัวตน

โปรดทราบว่าหากเขียนสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรเป็น ขวาน + b y = ค ,จากนั้นพวกเขาบอกว่ามันถูกเขียนใน เป็นที่ยอมรับ(ปกติ) แบบ.

สมการเชิงเส้นบางตัวแปรในสองตัวแปรสามารถลดรูปแบบบัญญัติ

ตัวอย่างเช่นสมการ 2(16x+ 3ย- 4) = 2(12 + 8x − ย) สามารถนำมาคิด ขวาน + โดย = ค. ลองเปิดวงเล็บทั้งสองส่วนของสมการนี้ดู 32x + 6ย − 8 = 24 + 16x − 2ย . คำที่ไม่รู้จักจะถูกจัดกลุ่มทางด้านซ้ายของสมการ และคำที่ไม่มีคำที่ไม่รู้จักจะถูกจัดกลุ่มทางด้านขวา จากนั้นเราจะได้รับ 32x - 16x+ 6ย+ 2ย = 24 + 8 . เรานำพจน์ที่คล้ายกันมาทั้งสองส่วน เราได้สมการ 16 x+ 8ย= 32. สมการนี้ถูกย่อให้อยู่ในรูป ขวาน + โดย = คและเป็นที่ยอมรับ

สมการที่ 25 พิจารณาก่อนหน้านี้ x+ 10ย= 200 ยังเป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในรูปแบบมาตรฐาน ในสมการนี้ พารามิเตอร์ ก , ขและ คมีค่าเท่ากับ 25, 10 และ 200 ตามลำดับ

จริงๆแล้วสมการ ขวาน + โดย = คมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน การแก้สมการ 25x+ 10ย= 200, เรามองหารากของมันจากเซตของจำนวนเต็มเท่านั้น เป็นผลให้เราได้รับค่าหลายคู่ที่ทำให้สมการนี้กลายเป็นเอกลักษณ์ แต่อยู่ในเซตของสมการจำนวนตรรกยะ 25 x+ 10ย= 200 จะมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

ในการรับคู่ของค่าใหม่ คุณต้องใช้ค่าโดยพลการสำหรับ xแล้วด่วน ย. ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวแปร xค่า 7 จากนั้นเราจะได้สมการที่มีตัวแปรเดียว 25×7 + 10ย= 200 ที่จะแสดงออก ย

อนุญาต x= 15 . จากนั้นสมการ 25x+ 10ย= 200 กลายเป็น 25 × 15 + 10ย= 200. จากที่นี่เราพบว่า ย = −17,5

อนุญาต x= −3 . จากนั้นสมการ 25x+ 10ย= 200 กลายเป็น 25 × (−3) + 10ย= 200. จากที่นี่เราพบว่า ย = −27,5

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สำหรับสมการ ขวาน + โดย = คคุณสามารถใช้ค่าใดก็ได้ตามอำเภอใจ xและหาค่าของ ย. เมื่อแยกจากกัน สมการดังกล่าวจะมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

แต่ก็ยังเกิดขึ้นที่ตัวแปร xและ ยไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยสมการเดียว แต่ด้วยสมการสองสมการ ในกรณีนี้พวกเขาเรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร. ระบบสมการดังกล่าวสามารถมีค่าได้หนึ่งคู่ (หรืออีกนัยหนึ่ง: "หนึ่งคำตอบ")

อาจเกิดขึ้นได้ว่าระบบไม่มีทางแก้ไขเลย ระบบสมการเชิงเส้นสามารถมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดในกรณีที่หายากและพิเศษ

สมการเชิงเส้นสองสมการสร้างระบบเมื่อค่า xและ ยรวมอยู่ในแต่ละสมการเหล่านี้

กลับไปที่สมการแรก 25 x+ 10ย= 200 . หนึ่งในค่าคู่ของสมการนี้คือคู่ (6; 5) . นี่คือกรณีที่ 200 รูเบิลสามารถซื้อเค้ก 6 ชิ้นและกาแฟ 5 ถ้วย

เราเขียนโจทย์เพื่อให้คู่ (6; 5) เป็นคำตอบเดียวสำหรับสมการ 25 x+ 10ย= 200 . ในการทำเช่นนี้ เราสร้างสมการอีกอันที่จะเชื่อมต่อสมการเดียวกัน xเค้กและ ยถ้วยกาแฟ

ใส่ข้อความของงานดังนี้:

“เด็กนักเรียนซื้อเค้กและกาแฟหลายแก้วในราคา 200 รูเบิล เค้กราคา 25 รูเบิลและกาแฟหนึ่งถ้วยราคา 10 รูเบิล นักเรียนซื้อเค้กและกาแฟกี่แก้ว หากทราบว่าจำนวนเค้กมากกว่ากาแฟหนึ่งถ้วย

เรามีสมการแรกแล้ว นี่คือสมการ 25 x+ 10ย= 200 . ทีนี้มาเขียนสมการสำหรับเงื่อนไขกัน "จำนวนเค้กมากกว่าจำนวนถ้วยกาแฟหนึ่งหน่วย" .

จำนวนเค้กคือ x, และจำนวนถ้วยกาแฟคือ ย. คุณสามารถเขียนวลีนี้โดยใช้สมการ x - ย= 1 สมการนี้จะหมายความว่าผลต่างระหว่างเค้กกับกาแฟคือ 1

x=ย+ 1 . สมการนี้หมายความว่าจำนวนเค้กมากกว่าจำนวนถ้วยกาแฟหนึ่งแก้ว ดังนั้น เพื่อให้เกิดความเท่าเทียมกัน จะมีการเพิ่มจำนวนถ้วยกาแฟ สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายหากเราใช้แบบจำลองน้ำหนักที่เราพิจารณาเมื่อศึกษาปัญหาที่ง่ายที่สุด:

ได้สองสมการ: 25 x+ 10ย= 200 และ x=ย+ 1. เนื่องจากค่า xและ ยคือ 6 และ 5 รวมอยู่ในแต่ละสมการเหล่านี้ จากนั้นจึงรวมกันเป็นระบบ ลองเขียนระบบนี้ หากสมการก่อตัวเป็นระบบ สมการนั้นจะถูกล้อมกรอบด้วยสัญลักษณ์ของระบบ เครื่องหมายของระบบเป็นรูปปีกกา:

มาตัดสินใจกัน ระบบนี้. สิ่งนี้จะทำให้เราเห็นว่าเรามาถึงค่า 6 และ 5 ได้อย่างไร มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว พิจารณาความนิยมสูงสุดของพวกเขา

วิธีการทดแทน

ชื่อของวิธีนี้พูดสำหรับตัวเอง สาระสำคัญคือการแทนที่สมการหนึ่งเป็นอีกสมการโดยแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งไว้ก่อนหน้านี้

ในระบบของเรา ไม่จำเป็นต้องแสดงอะไร ในสมการที่สอง x = ย+ 1 ตัวแปร xแสดงออกแล้ว. ตัวแปรนี้มีค่าเท่ากับนิพจน์ ย+ 1 . จากนั้นคุณสามารถแทนนิพจน์นี้ในสมการแรกแทนตัวแปรได้ x

หลังจากแทนนิพจน์แล้ว ย+ 1 ลงในสมการแรกแทน xเราได้สมการ 25(ย+ 1) + 10ย= 200 . นี่คือสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว สมการนี้ค่อนข้างง่ายในการแก้:

เราพบค่าของตัวแปร ย. ตอนนี้เราแทนค่านี้ลงในสมการหนึ่งแล้วหาค่า x. สำหรับสิ่งนี้จะสะดวกในการใช้สมการที่สอง x = ย+ 1 . ลองใส่ค่าลงไป ย

คู่ (6; 5) จึงเป็นคำตอบของระบบสมการตามที่เราตั้งใจไว้ เราตรวจสอบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าคู่เงิน (6; 5) เป็นไปตามระบบ:

ตัวอย่างที่ 2

แทนสมการแรก x= 2 + ยลงในสมการที่สอง 3 x - 2ย= 9 . ในสมการแรก ตัวแปร xเท่ากับนิพจน์ 2 + ย. เราแทนนิพจน์นี้ลงในสมการที่สองแทน x

ทีนี้มาหาค่ากัน x. ในการทำเช่นนี้ ให้แทนค่า ยลงในสมการแรก x= 2 + ย

ดังนั้นคำตอบของระบบคือค่าคู่ (5; 3)

ตัวอย่างที่ 3. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการแทนค่า:

ซึ่งแตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้ถูกแสดงอย่างชัดเจน

ในการแทนสมการหนึ่งไปยังอีกสมการหนึ่ง คุณต้องใช้ .

เป็นที่พึงปรารถนาที่จะแสดงตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นหนึ่ง หน่วยสัมประสิทธิ์มีตัวแปร xซึ่งมีอยู่ในสมการแรก x+ 2ย= 11 . ลองแสดงตัวแปรนี้

หลังจากนิพจน์ตัวแปร xระบบของเราจะมีลักษณะดังนี้:

ตอนนี้เราแทนสมการแรกลงในสมการที่สองแล้วหาค่า ย

ทดแทน ย x

ดังนั้นคำตอบของระบบคือคู่ของค่า (3; 4)

แน่นอน คุณยังสามารถแสดงตัวแปร ย. รากจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ถ้าคุณแสดงออก ใช่ผลลัพธ์ไม่ใช่สมการง่ายๆ ซึ่งการแก้ปัญหาจะใช้เวลามากขึ้น มันจะมีลักษณะดังนี้:

เราเห็นว่าในตัวอย่างนี้จะแสดง xสะดวกกว่าการด่วนมาก ย .

ตัวอย่างที่ 4. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการแทนค่า:

แสดงในสมการแรก x. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ย

ทดแทน ยลงในสมการแรกแล้วหา x. คุณสามารถใช้สมการเดิม 7 x+ 9ย= 8 หรือใช้สมการที่แสดงตัวแปร x. เราจะใช้สมการนี้เนื่องจากสะดวก:

ดังนั้นคำตอบของระบบคือคู่ของค่า (5; −3)

วิธีการบวก

วิธีการบวกคือการเพิ่มเทอมต่อเทอมของสมการที่มีอยู่ในระบบ การบวกนี้ส่งผลให้เกิดสมการตัวแปรเดียวใหม่ และมันก็ค่อนข้างง่ายที่จะแก้สมการนี้

ลองแก้ระบบสมการต่อไปนี้:

เพิ่มทางซ้ายของสมการแรกทางด้านซ้ายของสมการที่สอง และด้านขวาของสมการแรกด้วย ด้านขวาสมการที่สอง เราได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

นี่คือคำที่คล้ายกัน:

เป็นผลให้เราได้สมการที่ง่ายที่สุด 3 x= 27 ซึ่งมีรากเป็น 9 รู้ค่า xคุณสามารถหาค่า ย. แทนค่า xลงในสมการที่สอง x - ย= 3 . เราได้ 9 - ย= 3 . จากที่นี่ ย= 6 .

ดังนั้นคำตอบของระบบคือคู่ของค่า (9; 6)

ตัวอย่างที่ 2

เพิ่มทางซ้ายของสมการแรกทางด้านซ้ายของสมการที่สอง และด้านขวาของสมการแรกกับด้านขวาของสมการที่สอง ในความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น เราแสดงเงื่อนไขดังนี้:

เป็นผลให้เราได้สมการที่ง่ายที่สุด 5 x= 20 ซึ่งรากของมันคือ 4 รู้ค่า xคุณสามารถหาค่า ย. แทนค่า xลงในสมการแรก 2 x+ย= 11 . เอา 8+ ไปเลย ย= 11 . จากที่นี่ ย= 3 .

ดังนั้นคำตอบของระบบคือคู่ของค่า (4;3)

กระบวนการเพิ่มเติมไม่ได้อธิบายโดยละเอียด ต้องทำที่ใจ เมื่อเพิ่มสมการทั้งสองจะต้องลดขนาดให้อยู่ในรูปบัญญัติ กล่าวคือ เอซี+โดย=ค .

จากตัวอย่างที่พิจารณา จะเห็นได้ว่าเป้าหมายหลักของการบวกสมการคือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง แต่มันเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแก้ระบบสมการโดยวิธีการบวกในทันที โดยมากแล้วระบบจะนำมาสู่รูปแบบเบื้องต้นซึ่งเป็นไปได้ที่จะเพิ่มสมการที่รวมอยู่ในระบบนี้

ตัวอย่างเช่นระบบ สามารถแก้ไขได้โดยตรงด้วยวิธีบวก เมื่อบวกสมการทั้งสองจะได้เงื่อนไข ยและ -ยหายไปเพราะผลรวมเป็นศูนย์ เป็นผลให้สมการที่ง่ายที่สุดถูกสร้างขึ้น 11 x= 22 ซึ่งรูทคือ 2 จากนั้นจะสามารถระบุได้ ยเท่ากับ 5

และระบบสมการ ไม่สามารถแก้ไขวิธีการเพิ่มได้ทันทีเนื่องจากจะไม่นำไปสู่การหายไปของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง การบวกจะได้ผลลัพธ์เป็นสมการ 8 x+ ย= 28 ซึ่งมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

ถ้าทั้งสองส่วนของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด กฎนี้ยังใช้ได้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปร สมการใดสมการหนึ่ง (หรือทั้งสองสมการ) สามารถคูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งได้ ผลลัพธ์คือระบบที่เทียบเท่าซึ่งรากจะตรงกับระบบก่อนหน้า

กลับไปที่ระบบแรกซึ่งอธิบายจำนวนเค้กและกาแฟที่นักเรียนซื้อ วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้คือคู่ของค่า (6; 5) .

เราคูณสมการทั้งสองที่อยู่ในระบบนี้ด้วยตัวเลขบางตัว สมมติว่าเราคูณสมการแรกด้วย 2 และสมการที่สองด้วย 3

ผลลัพธ์คือระบบ
วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้ยังคงเป็นคู่ของค่า (6; 5)

ซึ่งหมายความว่าสมการที่รวมอยู่ในระบบสามารถถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการใช้วิธีการบวก

กลับไปที่ระบบ ซึ่งเราไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการบวก

คูณสมการแรกด้วย 6 และสมการที่สองด้วย −2

จากนั้นเราจะได้ระบบต่อไปนี้:

เราเพิ่มสมการที่รวมอยู่ในระบบนี้ การบวกส่วนประกอบ12 xและ -12 xจะได้ 0 บวก 18 ยและ 4 ยจะให้ 22 ยและเพิ่ม 108 และ −20 จะได้ 88 จากนั้นคุณจะได้สมการ 22 ย= 88 ดังนั้น ย = 4 .

หากในตอนแรก การเพิ่มสมการในใจของคุณทำได้ยาก คุณสามารถเขียนลงไปว่าด้านซ้ายของสมการแรกถูกบวกเข้ากับด้านซ้ายของสมการที่สองอย่างไร และด้านขวาของสมการแรกเพิ่มเข้าไปทางด้านขวาของสมการแรก สมการที่สอง:

รู้ว่าค่าของตัวแปร ยคือ 4 คุณสามารถหาค่าได้ x. ทดแทน ยลงในสมการใดสมการหนึ่ง เช่น ลงในสมการแรก 2 x+ 3ย= 18 . จากนั้นเราจะได้สมการที่มีหนึ่งตัวแปร 2 x+ 12 = 18 . เราโอน 12 ไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้ 2 x= 6 ดังนั้น x = 3 .

ตัวอย่างที่ 4. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

คูณสมการที่สองด้วย −1 จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ลองบวกทั้งสองสมการกัน การเพิ่มส่วนประกอบ xและ -xจะได้ 0 บวก 5 ยและ 3 ยจะให้ 8 ยและการบวก 7 กับ 1 จะได้ 8 ผลลัพธ์คือสมการ 8 ย= 8 , ซึ่งมีรากเป็น 1. รู้ว่ามีค่า ยคือ 1 คุณสามารถหาค่าได้ x .

ทดแทน ยในสมการแรก เราจะได้ x+ 5 = 7 ดังนั้น x= 2

ตัวอย่างที่ 5. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

เป็นที่พึงปรารถนาที่เงื่อนไขที่มีตัวแปรเดียวกันจะอยู่ภายใต้อีกอันหนึ่ง ดังนั้นในสมการที่สอง เทอม 5 ยและ −2 xเปลี่ยนสถานที่ ดังนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

คูณสมการที่สองด้วย 3 จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้ลองบวกทั้งสองสมการกัน จากการบวก เราได้สมการ 8 ย= 16 ซึ่งรากคือ 2

ทดแทน ยในสมการแรก เราได้ 6 x- 14 = 40 . เราย้ายเทอม −14 ไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้ 6 x= 54 . จากที่นี่ x= 9.

ตัวอย่างที่ 6. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

มากำจัดเศษส่วนกันเถอะ คูณสมการแรกด้วย 36 และสมการที่สองด้วย 12

ในระบบผลลัพธ์ สมการแรกสามารถคูณด้วย −5 และสมการที่สองด้วย 8

มาเพิ่มสมการในระบบผลลัพธ์กัน จากนั้นเราจะได้สมการที่ง่ายที่สุด −13 ย= −156 . จากที่นี่ ย= 12 . ทดแทน ยลงในสมการแรกแล้วหา x

ตัวอย่างที่ 7. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

เรานำสมการทั้งสองมาอยู่ในรูปปกติ สะดวกที่จะใช้กฎสัดส่วนในสมการทั้งสอง หากในสมการแรก ด้านขวาแสดงเป็น , และด้านขวาของสมการที่สองเป็น , ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

เรามีสัดส่วน เราคูณเทอมสุดโต่งและกลางของมัน จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

เราคูณสมการแรกด้วย −3 และเปิดวงเล็บในสมการที่สอง:

ทีนี้ลองบวกทั้งสองสมการกัน จากการเพิ่มสมการเหล่านี้ เราได้รับความเท่าเทียมกัน ซึ่งทั้งสองส่วนจะมีค่าเป็นศูนย์:

ปรากฎว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

แต่เราไม่สามารถรับค่าตามอำเภอใจจากท้องฟ้าได้ xและ ย. เราสามารถระบุค่าใดค่าหนึ่งได้ และค่าอื่นๆ จะถูกกำหนดขึ้นอยู่กับค่าที่เราระบุ ตัวอย่างเช่นให้ x= 2 . แทนค่านี้ลงในระบบ:

จากการแก้สมการอย่างใดอย่างหนึ่ง ค่าของ ยซึ่งจะเป็นไปตามสมการทั้งสอง:

คู่ค่าผลลัพธ์ (2; −2) จะตอบสนองระบบ:

มาหาคู่อื่นค่า อนุญาต x= 4. แทนค่านี้ลงในระบบ:

ก็สามารถกำหนดได้ด้วยตาว่า ยเท่ากับศูนย์ จากนั้นเราจะได้ค่าหนึ่งคู่ (4; 0) ซึ่งเป็นไปตามระบบของเรา:

ตัวอย่างที่ 8. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

คูณสมการแรกด้วย 6 และสมการที่สองด้วย 12

มาเขียนสิ่งที่เหลืออยู่ใหม่:

คูณสมการแรกด้วย −1 จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้ลองบวกทั้งสองสมการกัน จากการบวก สมการที่ 6 จึงเกิดขึ้น ข= 48 ซึ่งรากคือ 8 แทน ขลงในสมการแรกแล้วหา ก

ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสามตัวประกอบด้วยตัวแปรสามตัวพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ เช่นเดียวกับการสกัดกั้น ในรูปแบบบัญญัติเขียนได้ดังนี้

ขวาน + โดย + cz = ง

สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด ให้สองตัวแปร ความหมายต่างๆคุณสามารถหาค่าที่สามได้ วิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้คือค่าสามเท่า ( x; y; ซี) ซึ่งเปลี่ยนสมการเป็นตัวตน

ถ้าตัวแปร x, y, zเชื่อมต่อกันด้วยสามสมการ จากนั้นจึงเกิดระบบสมการเชิงเส้นสามตัวที่มีสามตัวแปร ในการแก้ระบบดังกล่าว คุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันกับที่ใช้กับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว: วิธีการแทนที่และวิธีการเพิ่ม

ตัวอย่างที่ 1. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการแทนค่า:

เราแสดงในสมการที่สาม x. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้มาทำการแทนที่กัน ตัวแปร xเท่ากับนิพจน์ 3 − 2ย − 2ซี . แทนนิพจน์นี้เป็นสมการที่หนึ่งและสอง:

เรามาเปิดวงเล็บในสมการทั้งสองแล้วใส่เงื่อนไขที่เหมือนกัน:

เรามาถึงระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปร ในกรณีนี้จะสะดวกที่จะใช้วิธีการเพิ่ม เป็นผลให้ตัวแปร ยจะหายไปและเราสามารถหาค่าของตัวแปรได้ ซี

ทีนี้มาหาค่ากัน ย. สำหรับสิ่งนี้ สะดวกที่จะใช้สมการ - ย+ ซี= 4. แทนค่า ซี

ทีนี้มาหาค่ากัน x. สำหรับสิ่งนี้จะสะดวกในการใช้สมการ x= 3 − 2ย − 2ซี . แทนค่าลงไป ยและ ซี

ดังนั้นค่าสามเท่า (3; −2; 2) จึงเป็นทางออกของระบบของเรา โดยการตรวจสอบ เราแน่ใจว่าค่าเหล่านี้เป็นไปตามระบบ:

ตัวอย่างที่ 2. แก้ระบบด้วยวิธีบวก

ลองเพิ่มสมการแรกด้วยสมการที่สองคูณด้วย −2

ถ้าสมการที่สองคูณด้วย −2 ก็จะอยู่ในรูป −6x+ 6ย- 4ซี = −4 . ตอนนี้เพิ่มลงในสมการแรก:

เราเห็นว่าจากการแปลงเบื้องต้นค่าของตัวแปรถูกกำหนด x. มันมีค่าเท่ากับหนึ่ง

กลับไปที่ระบบหลักกันเถอะ ลองเพิ่มสมการที่สองด้วยสมการที่สามคูณด้วย −1 ถ้าสมการที่สามคูณด้วย −1 ก็จะอยู่ในรูป −4x + 5ย − 2ซี = −1 . เพิ่มลงในสมการที่สอง:

ได้สมการแล้ว x - 2ย= −1 . แทนค่าลงไป xที่เราพบก่อนหน้านี้ จากนั้นเราจะสามารถกำหนดค่าได้ ย

ตอนนี้เรารู้ค่า xและ ย. สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถกำหนดค่าได้ ซี. เราใช้หนึ่งในสมการที่มีอยู่ในระบบ:

ดังนั้นค่าสามเท่า (1; 1; 1) จึงเป็นทางออกของระบบของเรา โดยการตรวจสอบ เราแน่ใจว่าค่าเหล่านี้เป็นไปตามระบบ:

งานรวบรวมระบบสมการเชิงเส้น

งานรวบรวมระบบสมการได้รับการแก้ไขโดยการแนะนำตัวแปรหลายตัว จากนั้นสมการจะรวบรวมตามเงื่อนไขของปัญหา จากสมการที่รวบรวมได้ พวกมันจะสร้างระบบและแก้ปัญหาได้ หลังจากแก้ไขระบบแล้วจำเป็นต้องตรวจสอบว่าโซลูชันนั้นตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่

ภารกิจที่ 1. รถโวลก้าออกจากเมืองเพื่อไปที่ฟาร์มส่วนรวม เธอกลับมาตามถนนอีกเส้นซึ่งสั้นกว่าถนนแรก 5 กม. โดยรวมแล้วรถขับไป 35 กม. ทั้งสองทาง ถนนแต่ละสายยาวกี่กิโลเมตร?

สารละลาย

อนุญาต x-ความยาวของถนนสายแรก ย- ความยาวของวินาที ถ้ารถขับไป 35 กม. ทั้งสองทาง สมการแรกสามารถเขียนได้เป็น x+ ย= 35 สมการนี้อธิบายผลรวมของความยาวของถนนทั้งสอง

ได้ความว่ากำลังกลับรถไปตามทางซึ่งสั้นกว่าทางแรก 5 กม. จากนั้นจึงเขียนสมการที่สองได้เป็น x− ย= 5. สมการนี้แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างระหว่างความยาวของถนนคือ 5 กม.

หรือเขียนสมการที่สองได้เป็น x= ย+ 5 . เราจะใช้สมการนี้

ตั้งแต่ตัวแปร xและ ยในสมการทั้งสองแสดงจำนวนเดียวกัน จากนั้นเราสามารถสร้างระบบจากสมการได้:

ลองแก้ระบบนี้โดยใช้หนึ่งในวิธีที่ศึกษาก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้จะสะดวกที่จะใช้วิธีการแทนเนื่องจากตัวแปรในสมการที่สอง xแสดงออกแล้ว.

แทนสมการที่สองลงในสมการแรกแล้วหา ย

แทนค่าที่พบ ยลงในสมการที่สอง x= ย+ 5 และค้นหา x

ความยาวของถนนสายแรกแสดงโดยตัวแปร x. ตอนนี้เราพบความหมายของมันแล้ว ตัวแปร xคือ 20 ดังนั้นความยาวของถนนสายแรกคือ 20 กม.

และระบุความยาวของถนนสายที่สอง ย. ค่าของตัวแปรนี้คือ 15 ดังนั้นความยาวของถนนสายที่สองคือ 15 กม.

มาตรวจสอบกัน ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าระบบได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง:

ทีนี้มาตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหา (20; 15) ตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่

ว่ากันว่าโดยรวมแล้วรถขับไป 35 กม. ทั้งสองทาง เราเพิ่มความยาวของถนนทั้งสองและตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชัน (20; 15) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้: 20 กม. + 15 กม. = 35 กม

เงื่อนไขต่อไป: รถวนกลับมาตามถนนอีกเส้นซึ่งสั้นกว่าทางแรก 5 กม . เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหา (20; 15) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เช่นกัน เนื่องจาก 15 กม. สั้นกว่า 20 กม. โดย 5 กม.: 20 กม. − 15 กม. = 5 กม

เมื่อคอมไพล์ระบบ สิ่งสำคัญคือต้องให้ตัวแปรแสดงตัวเลขเดียวกันในสมการทั้งหมดที่รวมอยู่ในระบบนี้

ระบบของเราจึงมีสองสมการ สมการเหล่านี้จะประกอบด้วยตัวแปร xและ ยซึ่งแสดงตัวเลขเดียวกันในสมการทั้งสอง คือ ความยาวของถนนเท่ากับ 20 กม. และ 15 กม.

ภารกิจที่ 2. ไม้โอ๊คและไม้สนถูกขนขึ้นไปบนชานชาลา รวมเป็น 300 ไม้หมอน เป็นที่ทราบกันว่าไม้โอ๊คทั้งหมดมีน้ำหนักน้อยกว่าไม้สนทั้งหมด 1 ตัน กำหนดจำนวนไม้โอ๊คและไม้สนแยกกัน ถ้าไม้โอ๊คแต่ละอันหนัก 46 กก. และไม้สนแต่ละอันหนัก 28 กก.

สารละลาย

อนุญาต xต้นโอ๊กและ ยไม้สนถูกขนขึ้นไปบนชานชาลา ถ้ามีจำนวนไม้หมอนนอนทั้งหมด 300 อัน สมการแรกสามารถเขียนได้เป็น x+ย = 300 .

ไม้โอ๊คทั้งหมดมีน้ำหนัก 46 xกก. และต้นสนหนัก 28 ยกิโลกรัม. เนื่องจากไม้โอ๊คมีน้ำหนักน้อยกว่าไม้สน 1 ตัน จึงเขียนสมการที่สองได้เป็น 28ย- 46x= 1000 . สมการนี้แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างของมวลระหว่างไม้โอ๊คและหมอนไม้สนคือ 1,000 กิโลกรัม

ตันถูกแปลงเป็นกิโลกรัมเพราะมวลของต้นโอ๊กและไม้สนมีหน่วยวัดเป็นกิโลกรัม

เป็นผลให้เราได้สองสมการที่สร้างระบบ

มาแก้ระบบนี้กันเถอะ แสดงในสมการแรก x. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

แทนสมการแรกลงในสมการที่สองแล้วหา ย

ทดแทน ยลงในสมการ x= 300 − ยและค้นหาว่าอะไร x

ซึ่งหมายความว่าไม้โอ๊ค 100 ต้นและไม้สน 200 ต้นถูกขนขึ้นไปบนชานชาลา

ตรวจสอบว่าโซลูชัน (100; 200) ตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่ ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าระบบได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง:

ว่ากันว่ามีตู้นอนทั้งหมด 300 ตู้ เราเพิ่มจำนวนไม้โอ๊คและไม้สนและตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชัน (100; 200) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้: 100 + 200 = 300.

เงื่อนไขต่อไป: ไม้โอ๊คทั้งหมดมีน้ำหนักน้อยกว่าไม้สนทั้งหมด 1 ตัน . เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหา (100; 200) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เช่นกัน เนื่องจากไม้โอ๊ค 46 × 100 กก. เบากว่าไม้สน 28 × 200 กก.: 5600 กก. - 4600 กก. = 1,000 กก.

ภารกิจที่ 3. เราใช้โลหะผสมทองแดงและนิกเกิลสามชิ้นในอัตราส่วน 2: 1, 3: 1 และ 5: 1 โดยน้ำหนัก ในจำนวนนี้ ชิ้นส่วนที่มีน้ำหนัก 12 กก. ถูกหลอมรวมเข้ากับอัตราส่วนของทองแดงและนิเกิลที่ 4:1 หามวลของชิ้นส่วนเดิมแต่ละชิ้น ถ้ามวลของชิ้นแรกเป็นสองเท่าของมวลชิ้นที่สอง

ระบบสมการเชิงเส้น m ที่มี n ไม่ทราบค่าเรียกว่าระบบรูปแบบ

ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (ฉัน=1,…,ม; ข=1,…,น) เป็นจำนวนที่รู้จักและ x 1 ,…,x n- ไม่ทราบ ในสัญกรณ์ของสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก ฉันหมายถึงจำนวนของสมการ และตัวที่สอง เจคือจำนวนของค่าสัมประสิทธิ์นี้ที่ไม่ทราบค่า

ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกเขียนในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะเรียกว่า เมทริกซ์ระบบ.

ตัวเลขทางด้านขวาของสมการ ข 1 ,…,ข มเรียกว่า สมาชิกฟรี

รวม นตัวเลข ค 1 ,…,ค นเรียกว่า การตัดสินใจของระบบนี้ ถ้าแต่ละสมการของระบบมีความเท่าเทียมกันหลังจากแทนตัวเลขลงไป ค 1 ,…,ค นแทนสิ่งแปลกปลอมที่สอดคล้องกัน x 1 ,…,x n.

งานของเราคือการหาวิธีแก้ไขระบบ ในกรณีนี้ อาจมีสามสถานการณ์:

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบเรียกว่า ข้อต่อ. มิฉะนั้นเช่น หากระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็จะเรียกว่า เข้ากันไม่ได้.

พิจารณาหาแนวทางแก้ไขระบบ

วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นโดยสังเขปได้ ให้ระบบ 3 สมการที่มีสามค่าที่ไม่รู้จัก:

พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี

มาพบกับสินค้า

เหล่านั้น. จากผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ เราได้รับด้านซ้ายมือของสมการของระบบนี้ จากนั้นใช้นิยามของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น

หรือสั้นกว่านั้น ก∙X=B.

นี่คือเมทริกซ์ กและ ขเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ เอ็กซ์ไม่ทราบ เธอต้องการที่จะพบเพราะ องค์ประกอบของมันเป็นทางออกของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.

ให้ตัวกำหนดเมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | ก| ≠ 0 จากนั้นแก้สมการเมทริกซ์ได้ดังนี้ คูณทั้งสองข้างของสมการทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ เอ-1, ส่วนผกผันของเมทริกซ์ ก: . เพราะว่า ก -1 ก = อีและ อี∙X=เอ็กซ์จากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในแบบฟอร์ม X = A -1 B .

โปรดทราบว่าเนื่องจากเมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น เมธอดเมทริกซ์จึงสามารถแก้ปัญหาเฉพาะระบบที่ จำนวนสมการจะเหมือนกับจำนวนที่ไม่รู้จัก. อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์เมทริกซ์ของระบบยังเป็นไปได้ในกรณีที่จำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ดังนั้นเมทริกซ์ กไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น จึงไม่สามารถหาทางออกให้กับระบบในรูปได้ X = A -1 B.

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

กฎของแครมเมอร์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่มีตัวแปรสามตัว:

ดีเทอร์มิแนนต์อันดับสามที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของระบบ เช่น ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า

เรียกว่า ตัวกำหนดระบบ.

เราสร้างดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัวดังนี้: เราแทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 อย่างต่อเนื่องในดีเทอร์มีแนนต์ D ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ

จากนั้นเราจะสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (กฎของแครมเมอร์)ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบที่กำลังพิจารณามีคำตอบเดียวเท่านั้น และ

การพิสูจน์. ดังนั้น พิจารณาระบบ 3 สมการที่มีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก คูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยพีชคณิตคอมพลีเมนต์ 11องค์ประกอบ 11, สมการที่ 2 - เปิด A21และที่ 3 - บน 31:

ลองเพิ่มสมการเหล่านี้:

พิจารณาแต่ละวงเล็บและด้านขวาของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแง่ขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

ในทำนองเดียวกันสามารถแสดงได้ว่า และ

ในที่สุดมันก็ง่ายที่จะเห็นว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน: .

เพราะฉะนั้น, .

ความเท่าเทียมกันและได้มาในทำนองเดียวกัน ดังนั้นการยืนยันทฤษฎีบทจึงเป็นไปตามนี้

ดังนั้นเราจึงทราบว่าหากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและในทางกลับกัน ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีชุดของคำตอบที่ไม่สิ้นสุดหรือไม่มีคำตอบ เช่น เข้ากันไม่ได้

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

วิธีการของเกาส์

วิธีการที่พิจารณาก่อนหน้านี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาเฉพาะระบบที่จำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนที่ไม่รู้จัก และดีเทอร์มีแนนต์ของระบบจะต้องแตกต่างจากศูนย์ วิธีเกาส์เซียนเป็นสากลมากกว่าและเหมาะสำหรับระบบที่มีสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกจากสมการของระบบอย่างต่อเนื่อง

พิจารณาอีกครั้งเกี่ยวกับระบบสามสมการที่มีสามค่าที่ไม่รู้จัก:

เราปล่อยให้สมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง และจากสมการที่ 2 และ 3 เราไม่รวมเงื่อนไขที่มี x 1. ในการทำเช่นนี้ เราหารสมการที่สองด้วย ก 21 และคูณด้วย - ก 11 แล้วบวกกับสมการที่ 1 ในทำนองเดียวกัน เราแบ่งสมการที่สามออกเป็น ก 31 และคูณด้วย - ก 11 แล้วบวกเข้ากับตัวแรก เป็นผลให้ระบบเดิมจะอยู่ในรูปแบบ: