วิธีการ เครเมอร์และ เกาส์เซียนหนึ่งในโซลูชั่นยอดนิยม สลาว. นอกจากนี้ ในบางกรณี แนะนำให้ใช้วิธีการเฉพาะ เซสชั่นปิดลง และตอนนี้เป็นเวลาที่จะทำซ้ำหรือเชี่ยวชาญตั้งแต่เริ่มต้น วันนี้เราจัดการกับวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีแครมเมอร์ ท้ายที่สุดการแก้ปัญหาของระบบ สมการเชิงเส้นวิธีการของแครมเมอร์เป็นทักษะที่มีประโยชน์มาก

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นระบบสมการของรูปแบบ:

ชุดสุดคุ้ม x ซึ่งสมการของระบบกลายเป็นข้อมูลประจำตัวเรียกว่าคำตอบของระบบ เอ และ ข เป็นสัมประสิทธิ์ที่แท้จริง ระบบง่าย ๆ ที่ประกอบด้วยสมการสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าสามารถแก้ได้ทางจิตใจหรือโดยการแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง แต่ใน SLAE สามารถมีตัวแปรได้มากกว่าสองตัวแปร (x) และการจัดการโรงเรียนอย่างง่ายเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ที่นี่ จะทำอย่างไร? เช่น แก้ SLAE ด้วยวิธีการของ Cramer!

ดังนั้นให้ระบบเป็น น สมการกับ น ไม่ทราบ

ระบบดังกล่าวสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์

ที่นี่ อา เป็นเมทริกซ์หลักของระบบ X และ บี ตามลำดับ เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักและสมาชิกอิสระ

การแก้ปัญหา SLAE โดยวิธีของแครมเมอร์

หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ (เมทริกซ์ไม่เป็นเอกพจน์) ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีแครมเมอร์

ตามวิธี Cramer พบวิธีแก้ปัญหาโดยสูตร:

ที่นี่ เดลต้า เป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลัก และ เดลต้า x n-th - ดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักโดยแทนที่คอลัมน์ที่ n ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

นี่คือจุดรวมของวิธีการของแครมเมอร์ แทนค่าที่พบในสูตรข้างต้น x ในระบบที่ต้องการ เราเชื่อมั่นในความถูกต้อง (หรือกลับกัน) ของโซลูชันของเรา เพื่อให้คุณเข้าใจประเด็นได้ง่ายขึ้น นี่คือตัวอย่าง วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด SLAE โดยวิธีของแครมเมอร์:

ครั้งแรกไม่สำเร็จ อย่าท้อ! ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะเริ่มเล่น SLOW ได้เหมือนถั่ว ยิ่งกว่านั้น ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเจาะโน้ตบุ๊ก แก้การคำนวณที่ยุ่งยากและเขียนบนแกน การแก้ปัญหา SLAE เป็นเรื่องง่ายด้วยวิธีการของ Cramer ทางออนไลน์ เพียงแค่แทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลงในแบบฟอร์มที่ทำเสร็จแล้ว ลองดู เครื่องคิดเลขออนไลน์วิธีแก้ปัญหาโดยวิธี Cramer สามารถทำได้บนไซต์นี้

และหากระบบกลายเป็นคนดื้อรั้นและไม่ยอมแพ้ คุณสามารถขอความช่วยเหลือจากผู้เขียนของเราได้เสมอ เช่น ซื้อเรื่องย่อ หากมีสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างน้อย 100 รายการในระบบ เราจะแก้ไขให้ถูกต้องและทันเวลาอย่างแน่นอน!

ให้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการ:

ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์ ดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ  ถูกรวบรวมจากสัมประสิทธิ์ของนิรนาม สำหรับระบบ (1) ดีเทอร์มีแนนต์หลักมีรูปแบบ
.

ต่อไป ดีเทอร์มีแนนต์จะถูกรวบรวมตามตัวแปร
,,. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในดีเทอร์มีแนนต์หลัก แทนที่จะเป็นคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรที่สอดคล้องกัน คอลัมน์ของสมาชิกอิสระจะถูกเขียนขึ้น นั่นคือ

,
,
.

จากนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วยสูตร Cramer

,
,

ควรสังเกตว่าระบบมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร
ถ้าตัวกำหนดหลัก
. ถ้า
และ
= 0,= 0,= 0 จากนั้นระบบจะมีคำตอบเป็นอนันต์ ซึ่งไม่สามารถพบได้ในสูตรของแครมเมอร์ ถ้า
และ
0 หรือ 0 หรือ 0 จากนั้นระบบสมการไม่สอดคล้องกันนั่นคือไม่มีคำตอบ

ตัวอย่าง

วิธีการแก้:

1) เขียนและคำนวณดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ ซึ่งประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนาม

.

ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

2) เขียนและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เสริม แทนที่คอลัมน์ที่เกี่ยวข้องใน  ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

โดยใช้สูตรของ Cramer เราพบสิ่งที่ไม่รู้จัก:

,
,
.

เราจะตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่าวิธีแก้ปัญหานั้นถูกต้อง

เหล่านั้น.
.

, เช่น.

, เช่น.

ตอบ: .

ตัวอย่าง

แก้ระบบสมการด้วยวิธีของแครมเมอร์:

วิธีการแก้:

1) เขียนและคำนวณดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบจากค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนาม:

.

ดังนั้นระบบจึงไม่มีโซลูชันเฉพาะ

2) เขียนและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เสริม แทนที่คอลัมน์ที่เกี่ยวข้องใน  ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

,
ดังนั้นระบบจึงไม่สอดคล้องกัน

ตอบ: ระบบไม่สอดคล้องกัน.

วิธีเกาส์

วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรอย่างต่อเนื่องจากสมการของระบบโดยใช้การกระทำที่ไม่ละเมิดความเท่าเทียมกันของระบบ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสองสมการแรกของระบบ (1)

(1)

จำเป็นต้องเพิ่มสมการทั้งสองนี้เพื่อให้ได้สมการที่ไม่มีตัวแปร . คูณสมการแรกด้วย และครั้งที่สองในวันที่ (
) และเพิ่มสมการผลลัพธ์

เราแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ก่อน y, zและสมาชิกฟรีบน ,และ ดังนั้นเราจึงได้สมการคู่ใหม่

โปรดทราบว่าไม่มีตัวแปรในสมการที่สอง x.

หลังจากดำเนินการที่คล้ายกันในสมการที่หนึ่งและสามของระบบ (1) จากนั้นในสมการที่สองและสามที่ได้จากการบวก เราแปลงระบบ (1) เป็นรูปแบบ

(2)

ผลลัพธ์นี้เป็นไปได้หากระบบมีโซลูชันเฉพาะ ในกรณีนี้ จะพบวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเกาส์ย้อนกลับ (ขั้นที่สอง) จากสมการสุดท้ายของระบบ (2) เราพบตัวแปรที่ไม่รู้จัก zจากสมการที่สองเราพบว่า y, แ xตามลำดับจากครั้งแรกแทนที่ในพวกเขาแล้วพบสิ่งที่ไม่รู้จัก

ในบางครั้ง จากการบวกสองสมการ สมการทั้งหมดสามารถอยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

แต่)
, ที่ไหน
. ซึ่งหมายความว่าระบบที่กำลังแก้ไขไม่สอดคล้องกัน

ข) นั่นคือ
. สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบ ด้วยเหตุนี้ จำนวนสมการในระบบจึงน้อยกว่าจำนวนตัวแปร และระบบมีคำตอบจำนวนอนันต์ ซึ่งจะแสดงตัวอย่างให้เห็น

ตัวอย่าง

วิธีการแก้:

พิจารณาวิธีการต่อไปนี้สำหรับการนำขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาไปใช้โดยวิธีเกาส์ ให้เราเขียนสัมประสิทธิ์สามแถวสำหรับคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและเป็นอิสระซึ่งสอดคล้องกับสมการทั้งสามของระบบ เราแยกเงื่อนไขอิสระออกจากสัมประสิทธิ์ด้วยเส้นแนวตั้ง และลากเส้นแนวนอนใต้เส้นที่สาม

เราวนเส้นแรกซึ่งสอดคล้องกับสมการแรกของระบบ - สัมประสิทธิ์ในสมการนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง แทนที่จะเป็นบรรทัดที่สอง (สมการ) คุณต้องได้เส้น (สมการ) โดยที่สัมประสิทธิ์ที่ เท่ากับศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราคูณตัวเลขทั้งหมดในแถวแรกด้วย (-2) แล้วบวกเข้ากับตัวเลขที่เกี่ยวข้องในแถวที่สอง เราเขียนจำนวนผลลัพธ์ใต้เส้นแนวนอน (บรรทัดที่สี่) เพื่อที่จะแทนเส้นที่สาม (สมการ) ยังได้เส้น (สมการ) ซึ่งสัมประสิทธิ์ที่ เท่ากับศูนย์ เราคูณตัวเลขทั้งหมดในแถวแรกด้วย (-5) แล้วบวกเข้ากับตัวเลขที่เกี่ยวข้องในแถวที่สาม เราเขียนจำนวนผลลัพธ์ในบรรทัดที่ห้าและวาดเส้นแนวนอนใหม่ด้านล่าง เส้นที่สี่ (หรือเส้นที่ห้า - ไม่บังคับ) จะถูกวงกลม เลือกแถวที่มีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่า ในบรรทัดนี้ สัมประสิทธิ์จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แทนที่จะเป็นเส้นที่ห้า คุณต้องได้เส้นที่สัมประสิทธิ์สองตัวมีค่าเท่ากับศูนย์อยู่แล้ว คูณแถวที่สี่ด้วย 3 แล้วบวกเข้ากับแถวที่ห้า เราเขียนจำนวนเงินใต้เส้นแนวนอน (บรรทัดที่หก) และวงกลม

การดำเนินการที่อธิบายไว้ทั้งหมดจะแสดงในตารางที่ 1 โดยใช้เครื่องหมายเลขคณิตและลูกศร เราเขียนแถวที่วงกลมในตารางอีกครั้งในรูปของสมการ (3) และโดยใช้วิธีการย้อนกลับของวิธี Gauss เราจะพบค่าของตัวแปร x, yและ z.

ตารางที่ 1

เราคืนค่าระบบสมการที่ได้รับจากการแปลงของเรา:

(3)

วิธีย้อนกลับเกาส์

จากสมการที่สาม
หา
.

เข้าสู่สมการที่สองของระบบ
แทนค่าที่พบ
, เราได้รับ
หรือ
.

จากสมการแรก
แทนค่าของตัวแปรที่มีอยู่แล้วเราได้รับ
, นั่นคือ
.

เพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบนั้นถูกต้อง ต้องทำการตรวจสอบในสมการทั้งสามของระบบ

การตรวจสอบ:

, เราได้รับ

รับ

รับ

ซึ่งหมายความว่าระบบถูกต้อง

ตอบ:
,
,
.

ตัวอย่าง

แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์:

วิธีการแก้:

ลำดับของการดำเนินการในตัวอย่างนี้คล้ายกับลำดับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ และการดำเนินการเฉพาะระบุไว้ในตารางที่ 2

ผลลัพธ์ของการแปลงทำให้เราได้สมการของรูปแบบ ดังนั้น ระบบที่กำหนดจึงไม่สอดคล้องกัน

ตอบ: ระบบไม่สอดคล้องกัน.

ตัวอย่าง

แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์:

วิธีการแก้:

ตารางที่ 3

ผลลัพธ์ของการแปลงทำให้เราได้สมการของรูปแบบ ซึ่งไม่รวมอยู่ในการพิจารณา ดังนั้นเราจึงมีระบบสมการที่จำนวนไม่ทราบค่าเท่ากับ 3 และจำนวนสมการคือ 2

ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย เพื่อหาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ เราแนะนำตัวแปรอิสระหนึ่งตัว (จำนวนตัวแปรอิสระจะเท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนไม่ทราบค่ากับจำนวนสมการที่เหลืออยู่หลังการแปลงระบบเสมอ ในกรณีของเรา 3 - 2 = 1)

อนุญาต
เป็นตัวแปรอิสระ

จากสมการที่สองเราพบว่า
, ที่ไหน
แล้วหา xจากสมการแรก
หรือ
.

ทางนี้,
;
;
.

มาเช็คสมการที่ไม่เกี่ยวกับการหากัน และ นั่นคือในสมการที่สองและสามของระบบเดิม

การตรวจสอบ:

หรือ , เราได้รับ
.

หรือ , เราได้รับ
.

ระบบถูกต้อง ให้ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ความหมายต่างๆ,เราจะได้ค่าต่างๆกัน x, y และ z.

ตอบ:
;
;
.

2. การแก้ระบบสมการโดยวิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)
3. วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการ

วิธีการของแครมเมอร์

วิธีการของแครมเมอร์ใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ( สลาว).

สูตรตัวอย่างระบบสมการสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว
ที่ให้ไว้:แก้ระบบด้วยวิธีของแครมเมอร์

เกี่ยวกับตัวแปร Xและ ที่.
วิธีการแก้:
หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบ การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ :

ลองใช้สูตรของ Cramer และหาค่าของตัวแปร:
และ .
ตัวอย่างที่ 1:
แก้ระบบสมการ:

เกี่ยวกับตัวแปร Xและ ที่.
วิธีการแก้:


ลองแทนที่คอลัมน์แรกในดีเทอร์มีแนนต์นี้ด้วยคอลัมน์สัมประสิทธิ์จากด้านขวาของระบบและหาค่าของมัน:

ลองทำสิ่งที่คล้ายกันโดยแทนที่คอลัมน์ที่สองในดีเทอร์มีแนนต์แรก:

ใช้ได้ สูตรของแครมเมอร์และหาค่าของตัวแปร:
และ .
ตอบ:
ความคิดเห็น:วิธีนี้สามารถใช้แก้ปัญหาระบบมิติที่สูงขึ้นได้

ความคิดเห็น:ถ้าปรากฎว่า และเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์ แสดงว่าระบบไม่มีคำตอบเฉพาะ ในกรณีนี้ ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่มีเลย

ตัวอย่าง 2(โซลูชันจำนวนอนันต์):

แก้ระบบสมการ:

เกี่ยวกับตัวแปร Xและ ที่.
วิธีการแก้:
หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบ:

การแก้ระบบด้วยวิธีการทดแทน

สมการแรกของระบบคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร (เพราะ 4 เท่ากับ 4) เสมอ จึงเหลือสมการเดียวเท่านั้น นี่คือสมการความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร
เราได้คำตอบของระบบคือคู่ของค่าของตัวแปรที่เกี่ยวข้องด้วยความเท่าเทียมกัน
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปเขียนดังนี้:
วิธีแก้ปัญหาเฉพาะสามารถกำหนดได้โดยการเลือกค่า y โดยพลการและคำนวณ x จากสมการความสัมพันธ์นี้

เป็นต้น
มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวมากมาย
ตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน
โซลูชั่นส่วนตัว:

ตัวอย่างที่ 3(ไม่มีวิธีแก้ไข ระบบไม่สอดคล้องกัน):

แก้ระบบสมการ:

วิธีการแก้:
หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบ:

คุณไม่สามารถใช้สูตรของแครมเมอร์ได้ มาแก้ระบบนี้ด้วยวิธีแทนกัน

สมการที่สองของระบบคือความเท่าเทียมกันที่ใช้ไม่ได้กับค่าใดๆ ของตัวแปร (แน่นอน เนื่องจาก -15 ไม่เท่ากับ 2) หากสมการใดสมการหนึ่งของระบบไม่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร แสดงว่าทั้งระบบไม่มีคำตอบ
ตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ในส่วนแรกเราดูบ้าง วัสดุทางทฤษฎีวิธีการแทนค่า และวิธีการบวกสมการระบบแบบเทอมต่อเทอม สำหรับทุกคนที่มาที่เว็บไซต์ผ่านหน้านี้ผมแนะนำให้คุณอ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหานั้นง่ายเกินไป แต่ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้กล่าวถึงข้อสังเกตและข้อสรุปที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

และตอนนี้ เราจะวิเคราะห์กฎของแครมเมอร์ เช่นเดียวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนออย่างเรียบง่าย ในรายละเอียดและชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

ก่อนอื่นเราพิจารณากฎของแครมเมอร์โดยละเอียดสำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองค่าที่ไม่ทราบค่า เพื่ออะไร? “ท้ายที่สุด ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการของโรงเรียน โดยการเพิ่มภาคการศึกษา!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้ง แต่ก็มีงานดังกล่าว - ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของ Cramer สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น - ระบบสามสมการที่มีสามไม่ทราบค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ซึ่งแนะนำให้แก้ตามกฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ขั้นแรก เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เรียกว่า ตัวกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

หาก ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

รากของสมการหาได้จากสูตร:
,

ตัวอย่าง 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีการแก้: เราเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างใหญ่ ทางด้านขวามีเศษส่วนทศนิยมที่มีเครื่องหมายจุลภาค จุลภาคเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากใน งานปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาเศรษฐมิติ

จะแก้ปัญหาระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่น แต่ในกรณีนี้ คุณจะได้เศษส่วนแฟนซีที่แย่มาก ซึ่งไม่สะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้งานด้วย และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมด้วยเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันจะปรากฏที่นี่

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของแครมเมอร์เข้ามาช่วย

;

;

ตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางเป็นอนันต์และพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และเป็นเรื่องธรรมดา) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นในที่นี้ เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขตามสูตรสำเร็จรูป อย่างไรก็ตาม มีข้อแม้อยู่ข้อหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของงานที่มอบหมายเป็นส่วนต่อไปนี้: "ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร". มิฉะนั้น ผู้ตรวจทานอาจลงโทษคุณไม่เคารพทฤษฎีบทของแครมเมอร์

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบซึ่งสะดวกในการดำเนินการกับเครื่องคิดเลข: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ เป็นผลให้มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยควรได้รับตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมธรรมดา ทำการตรวจสอบ

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบที่ดีและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เราหันไปพิจารณากฎของแครมเมอร์สำหรับระบบสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า:

เราพบดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข) ในกรณีนี้ กฎของแครมเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า ระบบมีคำตอบเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบจะถูกคำนวณโดยสูตร:

อย่างที่คุณเห็น โดยพื้นฐานแล้ว ตัวพิมพ์ "สามคูณสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" โดยพื้นฐานแล้ว คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะ "เดิน" ตามลำดับจากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของดีเทอร์มีแนนต์หลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

วิธีการแก้: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์กัน

ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

ตอบ: .

อันที่จริงไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการตัดสินใจทำตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีข้อสังเกตสองสามข้อ

มันเกิดขึ้นจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" ตัวอย่างเช่น:
ฉันแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ เราทำสิ่งนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่เจอช็อตที่ "แย่" คุณต้องตรวจสอบทันทีว่า เป็นเงื่อนไขที่เขียนใหม่ถูกต้องหรือไม่. หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ใหม่โดยใช้การขยายในอีกแถวหนึ่ง (คอลัมน์)

2) หากไม่พบข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่าการพิมพ์ผิดในสภาพของงานที่ได้รับมอบหมาย ในกรณีนี้ให้แก้ปัญหาอย่างใจเย็นและรอบคอบจนจบแล้ว ให้แน่ใจว่าได้ตรวจสอบและวาดขึ้นบนสำเนาที่สะอาดหลังจากการตัดสินใจ แน่นอน การตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่ทำให้สบายใจสำหรับครูที่ชอบใส่เครื่องหมายลบสำหรับสิ่งเลวร้ายเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนมีรายละเอียดในคำตอบสำหรับตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีเมื่อเริ่มบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะเป็นประโยชน์มากที่สุด (แม้กระทั่งก่อนเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ข้อสังเกตที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนดีเทอร์มีแนนต์หลักอย่างถูกต้องและรอบคอบเป็นสิ่งสำคัญมาก:
- เลขศูนย์จะแทนที่ตัวแปรที่ขาดหายไป
อย่างไรก็ตาม มันมีเหตุผลที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ที่มีศูนย์ในแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่ เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่าง 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาตนเอง (การจบตัวอย่างและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

สำหรับกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ค่าไม่ทราบค่า สูตรของแครมเมอร์จะเขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างจริงได้ในบทเรียนคุณสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ การลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ - ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวนั้นค่อนข้างจะแก้ได้ แม้ว่างานนี้จะทำให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดี

คำตอบของระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันเป็นหลักกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างที่ 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

เพื่อศึกษาส่วนนี้ คุณต้องสามารถขยายดีเทอร์มีแนนต์ ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะได้รับเมื่อคำอธิบายดำเนินไป

ตัวอย่าง 11

แก้ระบบด้วยวิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้: เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ด้วยหลักการใดที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปในสมการ จะต้องใส่เลขศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:
โดยที่เมทริกซ์ย้ายขององค์ประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน

ขั้นแรก มาจัดการกับดีเทอร์มีแนนต์:

ที่นี่ดีเทอร์มีแนนต์ถูกขยายโดยบรรทัดแรก

ความสนใจ! หากไม่มีเมทริกซ์ผกผันและเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยวิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยการกำจัดสิ่งแปลกปลอม (วิธีเกาส์)

ตอนนี้คุณต้องคำนวณผู้เยาว์ 9 คนแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ของผู้เยาว์

อ้างอิง:เป็นประโยชน์ที่จะทราบความหมายของตัวห้อยสองตัวในพีชคณิตเชิงเส้น หลักแรกคือหมายเลขบรรทัดที่องค์ประกอบตั้งอยู่ หลักที่สองคือหมายเลขของคอลัมน์ที่องค์ประกอบตั้งอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยสองตัวระบุว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม ในขณะที่องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 2

ให้ระบบสมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ กล่าวคือ มีรูปแบบ

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่า ดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ เราจะระบุด้วยอักษรกรีก D ดังนั้น

หากในดีเทอร์มิแนนต์หลักเป็นพลวัต ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระของระบบ (1.5) แล้วเราจะได้มากขึ้น นปัจจัยเสริม:

(เจ = 1, 2, …, น). (1.7)

กฎของแครมเมอร์การแก้ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นได้ดังนี้ หากดีเทอร์มิแนนต์หลัก D ของระบบ (1.5) ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าระบบมีคำตอบเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยสูตร:

ตัวอย่าง 1.5.แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ให้เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ทางนี้,

Matrix Actions

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีการกำหนดดังนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นคือ

ตัวอย่าง 1.6 .

การเพิ่มเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ในลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์หนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ แต่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ที่ดังนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการของการคูณ:

ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ แต่ขนาด ม´ นเป็นเมทริกซ์ ที่ขนาด น´ kเราได้เมทริกซ์ จากขนาด ม´ k. ในกรณีนี้ องค์ประกอบของเมทริกซ์ จากคำนวณตามสูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8ถ้าเป็นไปได้ จงหาผลคูณของเมทริกซ์ ABและ BA:

วิธีการแก้. 1) เพื่อหางานทำ ABคุณต้องการแถวเมทริกซ์ อาคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:

2) งานศิลปะ BAไม่มีอยู่เพราะจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ อา.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม แต่หากความเท่าเทียมกันถือ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ แต่:

เพื่อให้เมทริกซ์กำลังสองมีค่าผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ผกผันถูกพบโดยสูตร:

ที่ไหน อา อิจ- การเพิ่มพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ แต่(โปรดทราบว่าการเพิ่มพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ แต่ถูกจัดเรียงในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่าง 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

เราหาเมทริกซ์ผกผันตามสูตร (1.13) ซึ่งสำหรับกรณี น= 3 ดูเหมือนว่า:

มาหาเดตกัน อา = | อา| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมแตกต่างจากศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผัน

1) ค้นหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิต อา อิจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราใส่การบวกเกี่ยวกับพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มีแนนต์ อา. ดังนั้นเราจะได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มีแนนต์หลักไม่เป็นศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน สำหรับสิ่งนี้ ระบบ (1.5) ถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) ทางซ้ายด้วย เอ- 1 เราได้รับวิธีแก้ปัญหาของระบบ:

ดังนั้น ในการหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์หลักของระบบและคูณมันทางขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้.เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

โดยที่เมทริกซ์หลักของระบบคือคอลัมน์ของนิรนามและเป็นคอลัมน์ของเทอมอิสระ เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบคือ ดังนั้นเมทริกซ์หลักของระบบ แต่มีเมทริกซ์ผกผัน แต่-หนึ่ง . การหาเมทริกซ์ผกผัน แต่-1 คำนวณการเติมเต็มพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ แต่:

จากจำนวนที่ได้รับ เราสร้างเมทริกซ์ (นอกจากนี้ การเพิ่มพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ แต่เขียนในคอลัมน์ที่เหมาะสม) และหารด้วยดีเทอร์มีแนนต์ D ดังนั้น เราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

คำตอบของระบบพบได้จากสูตร (1.15):

ทางนี้,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยข้อยกเว้นจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสอง)

จำเป็นต้องหาทางแก้ไขให้กับระบบ กล่าวคือ ชุดของตัวแปรดังกล่าวที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบ (1.16) ที่ กรณีทั่วไประบบ (1.16) ไม่เพียงมีโซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันจำนวนอนันต์อีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้

ในการแก้ปัญหาดังกล่าวจะใช้วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีจากหลักสูตรของโรงเรียนซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีการกำจัดของจอร์แดนธรรมดา แก่นแท้ วิธีนี้อยู่ในความจริงที่ว่าหนึ่งในสมการของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวหนึ่งแสดงในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นของระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิม 1 ตัว จำสมการที่แสดงตัวแปรได้

กระบวนการนี้ทำซ้ำจนกระทั่งสมการสุดท้ายยังคงอยู่ในระบบ ในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางตัวสามารถกลายเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เป็นต้น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากใช้ได้กับค่าตัวแปรใด ๆ และไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งแปลกปลอม อย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่สามารถทำได้สำหรับค่าตัวแปรใดๆ (เช่น ) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีคำตอบ

หากไม่เกิดขึ้นในระหว่างการแก้สมการที่ไม่สอดคล้องกัน จะพบตัวแปรตัวหนึ่งที่เหลืออยู่ในสมการนั้นจากสมการสุดท้าย หากตัวแปรเดียวยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย แสดงว่าตัวแปรนั้นแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นๆ ยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ก็จะถือว่าเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ในสมการที่จำได้สุดท้ายและพบตัวแปรที่สอง จากนั้น ตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรที่สาม และอื่นๆ จนถึงสมการที่ท่องจำตัวแรก

เป็นผลให้เราได้รับการแก้ปัญหาของระบบ โซลูชันนี้จะเป็นวิธีเดียวหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากตัวแปรแรกพบ และตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีโซลูชันจำนวนไม่จำกัด (พารามิเตอร์แต่ละชุดจะสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดของพารามิเตอร์นั้นเรียกว่าโซลูชันทั่วไปของระบบ

ตัวอย่าง 1.11

x

หลังจากจำสมการแรกและนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ในสมการที่สองและสาม เราก็มาถึงระบบ:

ด่วน yจากสมการที่สองและแทนที่ลงในสมการแรก:

จำสมการที่สอง และจากสมการแรกที่เราพบ z:

การย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง yและ z. ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราแทนที่สมการที่จำได้สุดท้าย ที่เราพบ y:

จากนั้นเราแทนที่และลงในสมการที่จดจำแรกซึ่งเราพบ x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

วิธีการแก้.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่ลงในสมการที่สองและสาม:

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและสองจะขัดแย้งกัน อันที่จริงการแสดง yจากสมการแรกและแทนที่ลงในสมการที่สอง เราได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นที่น่าพอใจสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร x, y, และ z. ดังนั้น ระบบ (1.17) จึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ผู้อ่านจะได้รับเชิญให้ตรวจสอบโดยอิสระว่าดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) โดยไม่มีเงื่อนไขเพียงคำเดียว

ปัญหา 1.13แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

วิธีการแก้.ก่อนหน้านี้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่ลงในสมการที่สองและสาม:

จำสมการแรกและให้พจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

แสดงออก yจากสมการแรกและแทนที่มันเป็นสมการที่สอง เราจะได้เอกลักษณ์ 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเท่าเทียมกันที่จำได้ครั้งสุดท้าย ตัวแปร zจะถือเป็นพารามิเตอร์ พวกเราเชื่อว่า . แล้ว

ทดแทน yและ zเข้าสู่ความเสมอภาคที่จำได้ครั้งแรกและพบว่า x:

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีชุดของคำตอบเป็นอนันต์ และสามารถหาคำตอบได้จากสูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ตามอำเภอใจ t:

(1.19)
ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบ คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18) ).

ในกรณีที่ระบบเดิม (1.16) มีสมการและค่าไม่ทราบจำนวนมากเพียงพอ วิธีการที่ระบุของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดานั้นดูยุ่งยาก อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ เพียงพอที่จะหาอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวในรูปแบบทั่วไปและกำหนดวิธีการแก้ปัญหาในรูปแบบของตารางพิเศษของจอร์แดน

ให้ระบบของรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน x j- ตัวแปรอิสระ (ที่ต้องการ) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ผม = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, น). ส่วนขวาของระบบ ฉัน (ผม = 1, 2,…, ม) สามารถเป็นได้ทั้งตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) และค่าคงที่ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ไขสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก

ให้เราพิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้ ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่า "ขั้นตอนหนึ่งของข้อยกเว้นจอร์แดนทั่วไป" จากพล ( r th) ความเท่าเทียมกัน เราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( x s) และแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันอื่น ๆ ทั้งหมด แน่นอน เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. สัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ไข (บางครั้งชี้นำหรือหลัก)

เราจะได้ระบบดังนี้

จาก สความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) ต่อไปเราจะหาตัวแปร x s(หลังจากพบตัวแปรอื่นแล้ว) สบรรทัดที่ ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในภายหลัง ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและหนึ่งตัวแปรอิสระน้อยกว่าระบบเดิม

ให้เราคำนวณสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ในแง่ของสัมประสิทธิ์ของระบบเดิม (1.20) มาเริ่มกันที่ rสมการซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว x sผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ใหม่ rสมการ th คำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณสัมประสิทธิ์ใหม่ บีอิจ(ผม¹ r) ของสมการโดยพลการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนที่ตัวแปรที่แสดงใน (1.22) x sใน ผมสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา เราได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้รับสูตรโดยคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของระบบ (1.21) (ยกเว้น rสมการที่ th):

(1.25)
การแปลงระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีการคัดออกธรรมดาของจอร์แดนแสดงในรูปของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) เกี่ยวข้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:

ตาราง 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x น
y 1 =	เอ 11	เอ 12		เอ 1เจ		เอ 1ส		เอ 1น
…………………………………………………………………..
ฉัน=	ฉัน 1	ฉัน 2		ไอจ		เป็น		ใน
…………………………………………………………………..
y r=	r 1	r 2		rj		อาร์เอส		rn
………………………………………………………………….
y n=	เป็น 1	เป็น 2		mj		นางสาว		amn

ตารางจอร์แดน 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งมีการเขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และบรรทัดแรกบนสุดซึ่งมีการเขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางเป็นเมทริกซ์หลักของสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าเราคูณเมทริกซ์ แต่ไปยังเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวส่วนหัวด้านบน จากนั้นเราจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้ว ตารางจอร์แดนเป็นรูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: . ในกรณีนี้ ตาราง Jordan ต่อไปนี้สอดคล้องกับระบบ (1.21):

ตาราง 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x น
y 1 =	ข 11	ข 12		ข 1 เจ		ข 1 ส		ข 1 น
…………………………………………………………………..
ฉัน =	ข ฉัน 1	ข ฉัน 2		บีอิจ		ข คือ		ขใน
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		ข rn
………………………………………………………………….
y n =	ข m 1	ข m 2		bmj		ข ms		bmn

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นเป็นตัวหนา โปรดจำไว้ว่าในการปรับใช้ข้อยกเว้นจอร์แดนขั้นตอนเดียว องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวตารางที่มีองค์ประกอบอนุญาตเรียกว่าแถวที่อนุญาต คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( x s) จากแถวส่วนหัวบนสุดของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกอิสระของระบบ ( y r) ถูกย้ายจากคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายของตารางไปยังแถวส่วนหัวด้านบน

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ในการส่งผ่านจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบที่เปิดใช้งานจะถูกแทนที่ด้วยจำนวนผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของเส้นอนุญาตจะถูกแบ่งโดยองค์ประกอบที่อนุญาตและเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์การเปิดใช้งานจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบที่เปิดใช้งาน:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวการแก้ไขและคอลัมน์การแก้ไขจะถูกคำนวณใหม่ตามสูตร:

สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าคุณสังเกตว่าองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วนอยู่ที่จุดตัด ผม-โอ้และ r-เส้นที่และ เจ th และ ส- คอลัมน์ที่ (การแก้ไขแถว การแก้ไขคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบที่จะคำนวณใหม่) แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้ไดอะแกรมต่อไปนี้:

-21 -26 -13 -37

ดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นจอร์แดน องค์ประกอบใด ๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์ x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์) คุณไม่ควรเลือกเฉพาะองค์ประกอบที่เปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้ายเพราะ ต้องหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5 . เราเลือกตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในแถวที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบเปิดใช้งานจะแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปที่ตาราง 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวด้านบนจะถูกสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในขณะเดียวกันตัวแปร x 3 แสดงในรูปของตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 เมื่อจำได้ก่อนหน้านี้ ตารางที่ 1.4 ยังไม่รวมคอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดส่วนหัวด้านบน ประเด็นคือไม่ว่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์นี้จะเป็นอย่างไรก็ตาม ข ฉัน 3 คำศัพท์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้ กำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และเมื่อจำสมการใดสมการหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยที่เส้นถูกขีดไว้ x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตารางที่ 1.5 เราจำแถวแรกและแยกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยศูนย์อยู่ที่ด้านบนสุด)

ตารางที่ 1.5 ตาราง 1.6

จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบ: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วลงในบรรทัดที่จดจำตามลำดับ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมาย ตัวแปร x 5 คุณสามารถกำหนดค่าโดยพลการ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = ต. เราพิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบและพบวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

ให้พารามิเตอร์ tค่าต่าง ๆ เราได้รับโซลูชั่นจำนวนอนันต์สำหรับระบบเดิม ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)