มันแสดงให้เห็นวิธีการรับรู้สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ทั่วไป พิจารณาวิธีการแก้สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ทั่วไปของลำดับที่หนึ่ง มีตัวอย่างให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสมการดังกล่าว

เนื้อหา

คำนิยาม

สมการอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับหนึ่งทั่วไปทั่วไปคือสมการของรูปแบบ:
ที่ไหน ≠ 0 , α ≠ 1 , f - ฟังก์ชัน

วิธีการตรวจสอบว่าสมการอนุพันธ์เป็นเอกพันธ์ทั่วไปหรือไม่

ในการพิจารณาว่าสมการอนุพันธ์เป็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปหรือไม่ เราต้องใส่ค่าคงที่ t และทำการแทนที่:
y → เสื้อ α y , x → เสื้อ x .
หากเราสามารถเลือกค่า α ดังกล่าวได้โดยที่ค่าคงที่ t จะลดลง นี่คือ - สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ทั่วไป. การเปลี่ยนแปลงในอนุพันธ์ y′ ภายใต้การแทนที่ดังกล่าวมีรูปแบบดังนี้
.

ตัวอย่าง

พิจารณาว่าสมการที่กำหนดนั้นเป็นเอกพันธ์ทั่วไปหรือไม่:
.

เราทำการเปลี่ยนแปลง y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 ปี:
;
.
หารด้วย t α+ 5 :
;
.
สมการจะไม่มี t if
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
เนื่องจากสำหรับ α = 3/2 , t ลดลงแล้ว นี่คือสมการเอกพันธ์ทั่วไป.

วิธีการแก้ปัญหา

พิจารณาสมการอนุพันธ์เอกพันธ์ทั่วไปของลำดับแรก:
(1) .
ให้เราแสดงให้เห็นว่ามันสามารถลดลงเป็นสมการเอกพันธ์ได้โดยการแทนที่:
เสื้อ = xα .
จริงๆ,
.
จากที่นี่
; .
(1) :
;
.

นี่คือสมการเอกพันธ์ มันถูกแก้ไขโดยการทดแทน:
y = z เสื้อ,
โดยที่ z เป็นฟังก์ชันของ t
เมื่อแก้ปัญหาจะง่ายกว่าที่จะใช้การทดแทนทันที:
y = z x α ,
โดยที่ z เป็นฟังก์ชันของ x

ตัวอย่างของการแก้สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ทั่วไปของลำดับที่หนึ่ง

แก้สมการเชิงอนุพันธ์
(ป.1) .

ให้เราตรวจสอบว่าสมการที่กำหนดนั้นเป็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปหรือไม่ สำหรับสิ่งนี้ใน (ป.1)ทำการทดแทน:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 ปี.
.
หารด้วย t α :
.
t จะลดลงหากเราใส่ α = - 1 . นี่คือสมการเอกพันธ์ทั่วไป

เราทำการทดแทน:
y = z x α = z x - 1 ,
โดยที่ z เป็นฟังก์ชันของ x
.
เราแทนสมการเดิม (ป.1):
(ป.1) ;
;
.
คูณด้วย x แล้วเปิดวงเล็บ:
;
;
.
หารตัวแปร - คูณด้วย dx และหารด้วย x z 2 . สำหรับ z ≠ 0 เรามี:
.
เรารวมเข้าด้วยกันโดยใช้ตารางอินทิกรัล:
;
;
;
.
ศักยภาพ:
.
เราแทนที่ค่าคงที่ e C → C และลบเครื่องหมายของโมดูลเนื่องจากการเลือกเครื่องหมายที่ต้องการจะถูกกำหนดโดยการเลือกเครื่องหมายของค่าคงที่ C:
.

เรากลับไปที่ตัวแปร y แทนที่ z = xy :
.
หารด้วย x :
(หน้า2) .

เมื่อเราหารด้วย z 2 , เราคิดว่า z ≠ 0 . พิจารณาวิธีแก้ปัญหา z = xy = 0 , หรือ y = 0 .
เนื่องจากสำหรับ y = 0 , ด้านซ้ายของนิพจน์ (หน้า2)ไม่ได้กำหนดไว้ จากนั้นในอินทิกรัลทั่วไปที่ได้รับ เราจะเพิ่มคำตอบ y = 0 .

;
.

ข้อมูลอ้างอิง:
น.ม. กุนเธอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, การรวบรวมปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง, Lan, 2003.

เมื่อคลิกที่ปุ่ม "ดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวร" คุณจะดาวน์โหลดไฟล์ที่คุณต้องการได้ฟรี
ก่อนดาวน์โหลดไฟล์นี้ โปรดจำเรียงความที่ดี การควบคุม เอกสารภาคเรียน วิทยานิพนธ์บทความและเอกสารอื่น ๆ ที่ไม่มีการอ้างสิทธิ์ในคอมพิวเตอร์ของคุณ นี่คืองานของคุณ ควรมีส่วนร่วมในการพัฒนาสังคมและเป็นประโยชน์ต่อผู้คน ค้นหาผลงานเหล่านี้และส่งไปยังฐานความรู้
พวกเราและนักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ทุกคนที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงานจะขอบคุณท่านมาก

หากต้องการดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวรด้วยเอกสาร ให้ป้อนตัวเลขห้าหลักในช่องด้านล่างแล้วคลิกปุ่ม "ดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวร"

เอกสารที่คล้ายกัน

ปัญหา Cauchy สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ กราฟของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง สมการที่มีตัวแปรที่แยกได้และการลดให้เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่หนึ่ง สมการเบอร์นูลลี

การบรรยาย, เพิ่ม 08/18/2012


แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีสมการอนุพันธ์สามัญ เครื่องหมายของสมการใน ผลต่างทั้งหมด, การสร้างอินทิกรัลทั่วไป กรณีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาปัจจัยการบูรณาการ กรณีของตัวคูณขึ้นอยู่กับ X และ Y เท่านั้น

กระดาษภาคเรียนเพิ่ม 12/24/2014


ลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันและอนุพันธ์ของสมการ การพิสูจน์ทฤษฎีบทของการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชัน ตัวอย่างและอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการในส่วนต่างทั้งหมด การรวมปัจจัยในตัวอย่าง

ภาคเรียน, เพิ่ม 02/11/2014


สมการเชิงอนุพันธ์ริชคาติ. คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้น การหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการอนุพันธ์เบอร์นูลลี แก้สมการด้วยตัวแปรที่แยกได้ คำตอบทั่วไปและพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์ของแคลโรต์

ภาคเรียนที่เพิ่ม 01/26/2558


สมการกับตัวแปรที่แยกออกได้ สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์และเชิงเส้น คุณสมบัติทางเรขาคณิตของเส้นโค้งอินทิกรัล ค่าดิฟเฟอเรนเชียลรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว การหาอินทิกรัลโดยวิธีเบอร์นูลลีและการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

บทคัดย่อ เพิ่มเมื่อ 24/08/2015


แนวคิดและคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับใดก็ได้ รวมถึงสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์การวิเคราะห์คงที่ ระบบสมการเชิงเส้น พฤติกรรมเชิงซีมโทติกของการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นตรงบางระบบ

วิทยานิพนธ์, เพิ่ม 06/10/2010


อินทิกรัลทั่วไปของสมการ การประยุกต์ใช้วิธีลากรองจ์สำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่ทราบฟังก์ชัน คำตอบของสมการอนุพันธ์ในรูปแบบพาราเมตริก เงื่อนไขออยเลอร์ สมการลำดับที่หนึ่งในส่วนต่างทั้งหมด

งานคอนโทรลเพิ่ม 11/02/2011

def 1 การควบคุมประเภท

เรียกว่า สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง(โอดี)

Th1 ให้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชัน:

1) ต่อเนื่องที่

จากนั้น ODE (1) จะมีอินทิกรัลร่วม ซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร:

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน กับเป็นค่าคงที่โดยพลการ

หมายเหตุ 1หากสำหรับบางคน ตรงตามเงื่อนไข ในกระบวนการแก้ไข ODE (1) การแก้ปัญหาของแบบฟอร์มอาจหายไป กรณีดังกล่าวควรได้รับการปฏิบัติอย่างระมัดระวังยิ่งขึ้น และควรตรวจสอบแต่ละกรณีแยกกัน

จากทฤษฎีบท Th1ควร อัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้ ODE (1):

1) ทำการเปลี่ยน:

2) ดังนั้น จะได้ DE ที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ ซึ่งควรรวมเข้าด้วยกัน

3) กลับไปที่ตัวแปร g เก่า

4) ตรวจสอบค่าการมีส่วนร่วมในการแก้ปัญหา รีโมทเดิมซึ่งอยู่ภายใต้เงื่อนไข

5) เขียนคำตอบ

ตัวอย่าง 1แก้ DE (4)

วิธีการแก้: DE (4) เป็นสมการอนุพันธ์เอกพันธ์ เนื่องจากมีรูปแบบ (1) มาทำการแทนที่ (3) สิ่งนี้จะนำสมการ (4) มาสู่รูปแบบ:

สมการ (5) เป็นอินทิกรัลทั่วไปของ DE (4)

โปรดทราบว่าเมื่อแยกตัวแปรและหารด้วย คำตอบอาจหายไป แต่ไม่ใช่คำตอบของ DE (4) ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการแทนที่โดยตรงลงในความเท่าเทียมกัน (4) เนื่องจากค่านี้ไม่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ ของ DE เดิม

ตอบ:

หมายเหตุ2บางครั้งเราสามารถเขียน ODE ในรูปของดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรได้ Xและ ย.ขอแนะนำให้ส่งผ่านจากสัญกรณ์ DE นี้ไปยังนิพจน์ผ่านอนุพันธ์และจากนั้นทำการแทนที่ (3) เท่านั้น

สมการเชิงอนุพันธ์ลดให้เป็นเอกพันธ์

def2 ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชันเอกพันธ์ของดีกรี k ในพื้นที่ซึ่งจะทำให้เกิดความเท่าเทียมกัน:

ต่อไปนี้เป็นประเภททั่วไปของ DE ที่สามารถลดขนาดลงให้อยู่ในรูปแบบ (1) หลังจากการแปลงต่างๆ

1) ฟังก์ชั่นอยู่ที่ไหน เป็นเนื้อเดียวกันศูนย์องศานั่นคือความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: DE (6) สามารถลดลงได้อย่างง่ายดายในรูปแบบ (1) ถ้าเราใส่ ซึ่งรวมเพิ่มเติมโดยใช้การแทนที่ (3)

2) (7) โดยที่หน้าที่เป็นเนื้อเดียวกันในระดับเดียวกัน k . DE ของแบบฟอร์ม (7) ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยใช้การเปลี่ยนแปลง (3)

ตัวอย่าง 2แก้ DE (8).

วิธีการแก้:ให้เราแสดงว่า DE (8) เป็นเนื้อเดียวกัน เราหารด้วยสิ่งที่เป็นไปได้ เนื่องจากไม่ใช่คำตอบของสมการอนุพันธ์ (8)

มาทำการแทนที่ (3) สิ่งนี้จะนำสมการ (9) มาสู่รูปแบบ:

สมการ (10) เป็นอินทิกรัลทั่วไปของ DE (8)

โปรดทราบว่าเมื่อแยกตัวแปรและหารด้วย คำตอบที่สอดคล้องกับค่าของ และ อาจสูญหายได้ ลองตรวจสอบนิพจน์เหล่านี้ มาแทนที่พวกมันเป็น DE (8):

ตอบ:

เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าเมื่อแก้ตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันจะปรากฏขึ้นที่เรียกว่า "เครื่องหมาย" ของตัวเลข X(อ่าน " ซิกนั่ม x”) กำหนดโดยนิพจน์:

หมายเหตุ 3ไม่จำเป็นต้องนำ DE (6) หรือ (7) มาสู่แบบฟอร์ม (1) หากเห็นได้ชัดว่า DE เป็นเนื้อเดียวกันก็สามารถเปลี่ยนได้ทันที

3) DE ของแบบฟอร์ม (11) ถูกรวมเข้าเป็น ODE ถ้า ในขณะที่การทดแทนถูกดำเนินการในขั้นต้น:

(12) คำตอบของระบบอยู่ที่ไหน: (13) จากนั้นใช้การแทนที่ (3) สำหรับฟังก์ชัน หลังจากได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้วให้กลับไปที่ตัวแปร Xและ ที่.

ถ้า สมมติในสมการ (11) เราจะได้ DE ที่มีตัวแปรที่แยกออกได้

ตัวอย่างที่ 3แก้ปัญหา Cauchy (14)

วิธีการแก้:ให้เราแสดงให้เห็นว่า DE (14) ถูกลดขนาดให้เป็น DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันและรวมเข้าด้วยกันตามรูปแบบข้างต้น:

เราจะแก้ระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของเส้นตรง สมการพีชคณิต(15) วิธีการของแครมเมอร์:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรและรวมสมการผลลัพธ์เข้าด้วยกัน:

(16) – อินทิกรัลทั่วไปของ DE (14) เมื่อทำการหารตัวแปร คำตอบอาจหายไปเมื่อหารด้วยนิพจน์ ซึ่งสามารถหาได้อย่างชัดเจนหลังจากแก้สมการกำลังสอง อย่างไรก็ตาม จะนำมาพิจารณาในอินทิกรัลทั่วไป (16) ที่

ให้เราหาทางแก้ไขของปัญหา Cauchy: เราแทนค่าของและเป็นอินทิกรัลทั่วไป (16) และหา กับ.

ดังนั้นอินทิกรัลบางส่วนจะได้รับจากสูตร:

ตอบ:

4) เป็นไปได้ที่จะนำ DE บางตัวไปเป็นเนื้อเดียวกันสำหรับฟังก์ชันใหม่ที่ยังไม่เป็นที่รู้จัก หากเราใช้การแทนที่ของแบบฟอร์ม:

ในขณะเดียวกัน ตัวเลข มถูกเลือกจากเงื่อนไขที่สมการผลลัพธ์ ถ้าเป็นไปได้ จะกลายเป็นเนื้อเดียวกันในระดับหนึ่ง อย่างไรก็ตาม หากไม่สามารถทำได้ ค่า DE ที่พิจารณาแล้วจะไม่สามารถลดลงเป็นค่าที่เป็นเนื้อเดียวกันได้ด้วยวิธีนี้

ตัวอย่างที่ 4แก้ปัญหา DU (สิบแปด)

วิธีการแก้:ให้เราแสดงให้เห็นว่า DE (18) ถูกลดขนาดให้เป็น DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้การแทนที่ (17) แล้วรวมเข้าด้วยกันโดยใช้การแทนที่ (3):

มาหากัน กับ:

ดังนั้น คำตอบเฉพาะของ DE (24) มีรูปแบบ

.
สมการเชิงอนุพันธ์.

§ 1 แนวคิดพื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

คำจำกัดความ 1สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ น-ลำดับของฟังก์ชัน yการโต้แย้ง xเรียกว่าความสัมพันธ์ของรูป

ที่ไหน Fเป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด ในนามของสมการทางคณิตศาสตร์ชั้นนี้ คำว่า "ส่วนต่าง" เน้นย้ำว่ารวมอนุพันธ์ด้วย
(ฟังก์ชั่นที่เกิดขึ้นจากความแตกต่าง); คำว่า - "สามัญ" กล่าวว่าฟังก์ชันที่ต้องการขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ที่แท้จริงเพียงข้อเดียวเท่านั้น

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอาจไม่มีอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน x, ฟังก์ชั่นที่ต้องการ
และอนุพันธ์ใดๆ แต่อนุพันธ์สูงสุด
จะต้องรวมอยู่ในสมการ น- คำสั่ง. ตัวอย่างเช่น

ก)
เป็นสมการลำดับแรก

ข)
เป็นสมการลำดับที่สาม

เมื่อเขียนสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ มักใช้สัญกรณ์อนุพันธ์ผ่านดิฟเฟอเรนเชียล:

ใน)
เป็นสมการลำดับที่สอง

ช)
คือสมการลำดับแรก

ก่อตัวหลังจากการหารโดย dxรูปแบบเทียบเท่าของสมการ:
.

การทำงาน
เรียกว่าคำตอบของสมการอนุพันธ์สามัญ ถ้าแทนที่มันจะกลายเป็นเอกลักษณ์

ตัวอย่างเช่น สมการลำดับที่ 3

มีทางแก้
.

หากต้องการค้นหาด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง เช่น การเลือก ฟังก์ชันหนึ่งที่ตรงกับสมการไม่ได้หมายความว่าจะแก้สมการนั้น การแก้สมการอนุพันธ์สามัญหมายถึงการหา ทั้งหมดฟังก์ชันที่สร้างเอกลักษณ์เมื่อแทนที่ลงในสมการ สำหรับสมการ (1.1) แฟมิลีของฟังก์ชันดังกล่าวถูกสร้างขึ้นโดยใช้ค่าคงที่ตามอำเภอใจและเรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ นลำดับที่ และจำนวนค่าคงที่ตรงกับลำดับของสมการ: y(x) : ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาเรียกว่าอินทิกรัลทั่วไปของสมการ (1.1)

ตัวอย่างเช่น คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
เป็นนิพจน์ต่อไปนี้: และเทอมที่สองสามารถเขียนเป็น
, เนื่องจากค่าคงที่ตามอำเภอใจ หารด้วย 2 สามารถแทนที่ด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจใหม่ .

โดยการตั้งค่าที่ยอมรับได้สำหรับค่าคงที่ตามอำเภอใจทั้งหมดในโซลูชันทั่วไปหรือในอินทิกรัลทั่วไป เราจะได้ฟังก์ชันบางอย่างที่ไม่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจอีกต่อไป ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคำตอบเฉพาะหรืออินทิกรัลเฉพาะของสมการ (1.1) เพื่อหาค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจและด้วยเหตุนี้จึงใช้เงื่อนไขเพิ่มเติมต่างๆ ของสมการ (1.1) ตัวอย่างเช่น สามารถกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับ (1.2) ได้

ในส่วนที่ถูกต้องของเงื่อนไขเริ่มต้น (1.2) จะมีการให้ค่าตัวเลขของฟังก์ชันและอนุพันธ์ และจำนวนรวมของเงื่อนไขเริ่มต้นจะเท่ากับจำนวนค่าคงที่ตามอำเภอใจที่ถูกกำหนด

ปัญหาในการหาคำตอบเฉพาะของสมการ (1.1) จากเงื่อนไขตั้งต้นเรียกว่าปัญหาคอชี

§ 2 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ 1 - แนวคิดพื้นฐาน

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ 1 ( น=1) มีรูปแบบ:
หรือหากสามารถแก้ไขได้ด้วยอนุพันธ์:
. การตัดสินใจร่วมกัน y= y(x,จาก)หรืออินทิกรัลทั่วไป
สมการอันดับที่ 1 มีค่าคงที่ตามอำเภอใจหนึ่งค่า เงื่อนไขเริ่มต้นเพียงอย่างเดียวสำหรับสมการลำดับที่ 1
ให้คุณกำหนดค่าคงที่จากโซลูชันทั่วไปหรือจากอินทิกรัลทั่วไป ดังนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหรือซึ่งเป็นปัญหาของ Cauchy ก็จะได้รับการแก้ไข คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา Cauchy เป็นหนึ่งในคำถามสำคัญใน ทฤษฎีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ โดยเฉพาะสำหรับสมการอันดับที่หนึ่ง ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้จริง ซึ่งยอมรับที่นี่โดยไม่มีการพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2.1.ถ้าอยู่ในสมการฟังก์ชัน
และอนุพันธ์ย่อยบางส่วน
ต่อเนื่องในบางพื้นที่ ดีเครื่องบิน XOYและจุดจะได้รับในพื้นที่นี้
จึงมีอยู่และยิ่งไปกว่านั้น คำตอบที่ไม่ซ้ำใครที่ตอบสนองทั้งสมการและ เงื่อนไขเบื้องต้น
.

เรขาคณิต การตัดสินใจร่วมกันสมการอันดับที่ 1 คือแฟมิลีของเส้นโค้งในระนาบ XOY, ใครยังไม่มี จุดร่วมและแตกต่างกันโดยหนึ่งพารามิเตอร์ - ค่าของค่าคงที่ ค. เส้นโค้งเหล่านี้เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัลสำหรับสมการที่กำหนด เส้นโค้งอินทิกรัลของสมการมีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ชัดเจน: ในแต่ละจุด แทนเจนต์ของความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับค่าทางด้านขวาของสมการ ณ จุดนั้น:
. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือสมการได้รับในระนาบ XOYสนามของทิศทางของแทนเจนต์ต่อเส้นโค้งอินทิกรัล ความคิดเห็น:ควรสังเกตว่าสำหรับสมการ
ให้สมการและสมการที่เรียกว่าสมมาตร
.

§ 3 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 พร้อมตัวแปรที่แยกได้

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรแยกได้คือสมการของรูปแบบ
(3.1)

หรือสมการของแบบฟอร์ม (3.2)

เพื่อแยกตัวแปรในสมการ (3.1) เช่น ลดสมการนี้เป็นสมการที่เรียกว่าตัวแปรแยกจากกัน ดำเนินการดังต่อไปนี้:

;

ตอนนี้เราต้องแก้สมการ g(y)= 0 . หากมีทางออกที่แท้จริง y= เอ, แล้ว y= เอจะเป็นคำตอบของสมการ (3.1) ด้วย

สมการ (3.2) ลดลงเป็นสมการตัวแปรที่แยกจากกันโดยหารด้วยผลคูณ
:

ซึ่งช่วยให้เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (3.2):
. (3.3)

เส้นโค้งอินทิกรัล (3.3) จะถูกเสริมด้วยวิธีแก้ปัญหา
หากมีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว

แก้สมการ: .

การแยกตัวแปร:

.

การบูรณาการ เราได้รับ

เพิ่มเติมจากสมการ
และ
หา x=1, y=-1. การตัดสินใจเหล่านี้เป็นการตัดสินใจส่วนตัว

§ 4 สมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่หนึ่ง

คำจำกัดความ 1สมการของลำดับที่ 1 เรียกว่า เอกพันธ์ ถ้าด้านขวาสำหรับ any
วิทยุ
เรียกว่า สภาพความเป็นเนื้อเดียวกันของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว มิติศูนย์.

ตัวอย่าง 1แสดงว่าฟังก์ชันนั้น
- การวัดค่าศูนย์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

วิธีการแก้.

,

คิวอีดี

ทฤษฎีบท.ฟังก์ชั่นใดก็ได้
เป็นเนื้อเดียวกันและในทางกลับกันฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกัน
มิติศูนย์จะลดลงเป็นรูปแบบ
.

การพิสูจน์.

การยืนยันครั้งแรกของทฤษฎีบทนั้นชัดเจนตั้งแต่
. ให้เราพิสูจน์การยืนยันครั้งที่สอง มาใส่กัน
, จากนั้นสำหรับฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกัน
ซึ่งต้องพิสูจน์

คำจำกัดความ 2สมการ (4.1)

นั้น เอ็มและ นู๋เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ในระดับเดียวกัน กล่าวคือ มีทรัพย์สินให้ทุกคน เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน

แน่นอน สมการนี้สามารถถูกลดรูปลงได้เสมอ
(4.2) ถึงแม้ว่าสิ่งนี้อาจจะแก้ไม่ได้

สมการเอกพันธ์จะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกได้โดยการแทนที่ฟังก์ชันที่ต้องการ yตามสูตร y= zx, ที่ไหน z(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ที่ต้องการ หลังจากทำการแทนที่ในสมการ (4.2) เราได้รับ:
หรือ
หรือ
.

เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเทียบกับฟังก์ชัน z(x)
ซึ่งหลังจากเปลี่ยนซ้ำแล้วซ้ำอีก
ให้อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม นอกจากนี้ ถ้า - รากของสมการ
จากนั้นฟังก์ชัน
- คำตอบของสมการที่กำหนดให้เป็นเนื้อเดียวกัน ถ้า
จากนั้นสมการ (4.2) จะใช้รูปแบบ

และกลายเป็นสมการกับตัวแปรที่แยกได้ การแก้ปัญหาเป็นแบบกึ่งทางตรง:
.

ความคิดเห็นบางครั้งขอแนะนำให้ใช้การทดแทนแทนการทดแทนข้างต้น x= zy.

§ 5. สมการเชิงอนุพันธ์ลดลงจนเป็นเนื้อเดียวกัน

พิจารณาสมการของรูปแบบ
. (5.1)

ถ้า
แล้วสมการนี้ก็คือการแทนที่ โดยที่ และ เป็นตัวแปรใหม่ และ - บาง ตัวเลขคงที่กำหนดจากระบบ

ลดลงเป็นสมการเอกพันธ์

ถ้า
จากนั้นสมการ (5.1) จะใช้รูปแบบ

.

สมมติ z= ขวาน+ โดย, เรามาถึงสมการที่ไม่มีตัวแปรอิสระ

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

สมการบูรณาการ

และเน้นเส้นโค้งอินทิกรัลผ่านจุด: a) (2;2); ข) (1;-1)

วิธีการแก้.

มาใส่กัน y= zx. แล้ว dy= xdz+ zdxและ

มาย่อให้สั้นลง และรวบรวมสมาชิกได้ที่ dxและ dz:

มาแยกตัวแปรกัน:

.

การบูรณาการ เราได้รับ ;

หรือ
,
.

เปลี่ยนที่นี่ zบน เราได้รับอินทิกรัลทั่วไปของสมการที่กำหนดในรูปแบบ (5.2)
หรือ

.

วงกลมตระกูลนี้
ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง y = xและที่จุดกำเนิดสัมผัสกับเส้น y + x = 0. ตรงนี้y = - x ในทางกลับกัน คำตอบเฉพาะของสมการ

ตอนนี้โหมดงาน Cauchy:

A) สมมติในอินทิกรัลทั่วไป x=2, y=2, หา ค=2,ดังนั้นทางออกที่ต้องการคือ
.

B) ไม่มีวงกลมใด (5.2) ผ่านจุด (1;-1) แต่ครึ่งเส้น y = - x,
ผ่านจุดและให้คำตอบที่ต้องการ

ตัวอย่าง 2แก้สมการ: .

วิธีการแก้.

สมการเป็นกรณีพิเศษของสมการ (5.1)

ดีเทอร์มิแนนต์
ในตัวอย่างนี้
จึงต้องแก้ระบบดังนี้

แก้ได้เราว่า
. ทำการทดแทนในสมการที่กำหนด
เราจะได้สมการเอกพันธ์ บูรณาการกับการทดแทน
, เราพบว่า
.

การกลับคืนสู่ตัวแปรเดิม xและ yสูตร
, เรามี .

§ 6. สมการเอกพันธ์ทั่วไป

สมการ เอ็ม(x, y) dx+ นู๋(x, y) dy=0 เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันทั่วไปถ้าสามารถเลือกตัวเลขดังกล่าวได้ kว่าด้านซ้ายของสมการนี้จะกลายเป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ในระดับหนึ่ง มค่อนข้าง x, y, dxและ dyโดยมีเงื่อนไขว่า xถือเป็นค่าของการวัดครั้งแรก y – kที่วัด , dxและ dy – ศูนย์และ (k-1) ที่วัด ตัวอย่างเช่น นี่จะเป็นสมการ
. (6.1)

ใช้ได้ภายใต้สมมติฐานเกี่ยวกับการวัดค่า

x, y, dxและ dyสมาชิกทางด้านซ้าย
และ dyจะมีขนาดตามลำดับ -2, 2 kและ k-หนึ่ง. เท่ากับเราได้เงื่อนไขว่าต้องเป็นไปตามจำนวนที่ต้องการ k: -2 = 2k=k-หนึ่ง. เงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจเมื่อ k= -1 (ด้วยเช่น kพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการที่พิจารณาจะมีมิติ -2) ดังนั้น สมการ (6.1) จึงเป็นเอกพันธ์ทั่วไป

สมการเอกพันธ์ทั่วไปจะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้โดยใช้การแทนที่
, ที่ไหน zเป็นฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก ให้เรารวมสมการ (6.1) โดยวิธีที่ระบุ เพราะ k= -1 แล้ว
จากนั้นเราจะได้สมการ

เมื่อรวมเข้าด้วยกันเราพบว่า
, ที่ไหน
. นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการ (6.1)

§ 7. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก

สมการเชิงเส้นของลำดับที่ 1 คือสมการที่เป็นเส้นตรงเทียบกับฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการ ดูเหมือนว่า:

, (7.1)

ที่ไหน พี(x) และ Q(x) ได้รับฟังก์ชันต่อเนื่องของ x. ถ้าฟังก์ชัน
, จากนั้นสมการ (7.1) จะมีรูปแบบดังนี้
(7.2)

และเรียกว่าสมการเอกพันธ์เชิงเส้น มิฉะนั้น
เรียกว่าสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น (7.2) เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้:

(7.3)

นิพจน์ (7.3) เป็นคำตอบทั่วไปของสมการ (7.2) เพื่อหาคำตอบของสมการทั่วไป (7.1) ซึ่งฟังก์ชัน พี(x) หมายถึงฟังก์ชันเดียวกับในสมการ (7.2) เราใช้วิธีที่เรียกว่าวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจและประกอบด้วยดังนี้ เราจะพยายามเลือกฟังก์ชัน ค=ค(x) เพื่อให้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (7.2) จะเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธ์ (7.1) สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (7.3) เราได้รับ:

.

แทนที่อนุพันธ์ที่ค้นพบเป็นสมการ (7.1) เราจะได้:

หรือ
.

ที่ไหน
โดยที่ค่าคงที่โดยพลการอยู่ที่ไหน เป็นผลให้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เท่ากัน (7.1) จะเป็น (7.4)

เทอมแรกในสูตรนี้แทนคำตอบทั่วไป (7.3) ของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น (7.2) และเทอมที่สองในสูตร (7.4) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (7.1) ที่ได้จากสมการทั่วไป (7.4) ) กับ
. ให้เราแยกแยะข้อสรุปที่สำคัญนี้ออกมาในรูปแบบของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท.ถ้ารู้คำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นตรงอย่างใดอย่างหนึ่ง
จากนั้นโซลูชันอื่น ๆ ทั้งหมดจะมีรูปแบบ
, ที่ไหน
เป็นคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าวิธีการอื่น ซึ่งบางครั้งเรียกว่าวิธีเบอร์นูลลี มักใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นของลำดับที่ 1 (7.1) เราจะหาคำตอบของสมการ (7.1) ในรูปแบบ
. แล้ว
. เราแทนที่อนุพันธ์ที่ค้นพบลงในสมการดั้งเดิม:
.

ให้เรารวม ตัวอย่างเช่น พจน์ที่สองและสามของนิพจน์สุดท้าย และนำฟังก์ชันออก ยู(x) สำหรับวงเล็บ:
(7.5)

เราต้องการให้วงเล็บหายไป:
.

เราแก้สมการนี้โดยตั้งค่าคงที่ตามอำเภอใจ คเท่ากับศูนย์:
. ด้วยฟังก์ชันที่พบ วี(x) กลับไปที่สมการ (7.5):
.

การแก้ปัญหาเราได้รับ:
.

ดังนั้น คำตอบของสมการทั่วไป (7.1) จึงมีรูปแบบดังนี้

§ 8. สมการของเบอร์นูลลี

คำนิยาม.

สมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ
, ที่ไหน
เรียกว่าสมการเบอร์นูลลี

สมมติว่า
, เราหารสมการเบอร์นูลลีทั้งสองข้างด้วย . เป็นผลให้เราได้รับ:
(8.1)

ขอแนะนำฟังก์ชั่นใหม่
. แล้ว
. เราคูณสมการ (8.1) ด้วย
และส่งต่อไปยังฟังก์ชัน z(x) :
, เช่น. สำหรับฟังก์ชั่น z(x) ได้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 1 สมการนี้แก้ได้ด้วยวิธีการที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า ให้เราแทนที่เป็นคำตอบทั่วไปแทน z(x) การแสดงออก
, เราได้รับอินทิกรัลทั่วไปของสมการเบอร์นูลลี, ซึ่งแก้ได้อย่างง่ายดายด้วยความเคารพ y. ที่
มีการเพิ่มสารละลาย y(x)=0 . สมการเบอร์นูลลีสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนสมการเชิงเส้นโดยการแทนที่
และการนำวิธีเบอร์นูลลีมาประยุกต์ใช้ ซึ่งได้อภิปรายอย่างละเอียดใน § 7. พิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีนี้ในการแก้สมการเบอร์นูลลีโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.หาคำตอบทั่วไปของสมการ:
(8.2)

วิธีการแก้.

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบดังนี้
, y(x)=0.

§ 9 สมการเชิงอนุพันธ์ในส่วนต่างทั้งหมด

คำนิยาม.ถ้าอยู่ในสมการ เอ็ม(x, y) dx+ นู๋(x, y) dy=0 (9.1) ด้านซ้ายคือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง ยู(x, y) จากนั้นจึงเรียกว่าสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด สมการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น ดู(x, y)=0 ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปของมันคือ ยู(x, y)= ค.

ตัวอย่างเช่น สมการ xdy+ ydx=0 เป็นสมการในผลต่างทั้งหมด เนื่องจากสามารถเขียนใหม่ได้ในรูป d(xy)=0. อินทิกรัลทั่วไปจะเป็น xy= คเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ตามใจชอบ เราแยกความแตกต่าง (9.3) เกี่ยวกับu
§ 10. ปัจจัยการบูรณาการ

ถ้าสมการ เอ็ม(x, y) dx + นู๋(x, y) dy = 0 ไม่ใช่สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดและมีฟังก์ชัน µ = µ(x, y) ดังนั้นหลังจากคูณสมการทั้งสองข้างด้วยมันแล้ว เราจะได้สมการ

µ(Mdx + Ndy) = 0ในส่วนต่างทั้งหมดเช่น µ(Mdx + Ndy)ดูจากนั้นฟังก์ชัน µ(x, y) เรียกว่า ตัวประกอบการบูรณาการของสมการ ในกรณีที่สมการนั้นเป็นสมการในอนุพันธ์ทั้งหมดอยู่แล้ว ให้ถือว่า µ = 1.

หากพบปัจจัยการบูรณาการ µ จากนั้นการรวมสมการนี้จะลดการคูณทั้งสองส่วนของมันด้วย µ และการหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการผลลัพธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ถ้า µ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องของ xและ y, แล้ว
.

ตามมาด้วยปัจจัยการบูรณาการ µ เป็นไปตาม PDE ลำดับที่ 1 ต่อไปนี้:

(10.1).

หากทราบล่วงหน้าว่า µ= µ(ω) , ที่ไหน ω เป็นฟังก์ชันที่กำหนดจาก xและ yจากนั้นสมการ (10.1) จะลดลงเป็นสมการธรรมดา (และยิ่งกว่านั้นคือสมการเชิงเส้น) ที่มีฟังก์ชันไม่ทราบค่า µ จากตัวแปรอิสระ ω :

(10.2),

ที่ไหน
นั่นคือ เศษส่วนเป็นฟังก์ชันของ .เท่านั้น ω .

การแก้สมการ (10.2) เราพบปัจจัยการบูรณาการ

, กับ = 1.

โดยเฉพาะสมการ เอ็ม(x, y) dx + นู๋(x, y) dy = 0 มีปัจจัยบูรณาการที่ขึ้นอยู่กับ .เท่านั้น x(ω = x) หรือจาก .เท่านั้น y(ω = y) หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ตามลำดับ:

,

,
.

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 พร้อมตัวแปรที่แยกได้

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกออกได้คือสมการของรูปแบบ (3.1) หรือสมการของรูปแบบ (3.2)

เพื่อแยกตัวแปรในสมการ (3.1) เช่น ลดสมการนี้เป็นสมการที่เรียกว่าตัวแปรแยกจากกัน ดำเนินการดังต่อไปนี้: ;

ตอนนี้เราต้องแก้สมการ กรัม(y)=0. หากมีทางออกที่แท้จริง y=a,แล้ว y=aจะเป็นคำตอบของสมการ (3.1) ด้วย

สมการ (3.2) ลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกโดยหารด้วยผลคูณ:

ซึ่งช่วยให้เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (3.2): . (3.3)

เส้นโค้งอินทิกรัล (3.3) จะถูกเสริมด้วยวิธีแก้ปัญหา หากมีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว

สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่ 1

คำจำกัดความ 1สมการของลำดับที่ 1 เรียกว่า เอกพันธ์ ถ้าความสัมพันธ์ เรียกว่าเงื่อนไขความเป็นเนื้อเดียวกันสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีมิติเป็นศูนย์

ตัวอย่าง 1แสดงว่าฟังก์ชันเป็นเนื้อเดียวกันของศูนย์มิติ

วิธีการแก้. ,

คิวอีดี

ทฤษฎีบท.ฟังก์ชันใดๆ จะเป็นเอกพันธ์ และในทางกลับกัน ฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกันของมิติศูนย์จะลดลงเป็นรูปแบบ

การพิสูจน์.การยืนยันครั้งแรกของทฤษฎีบทนั้นชัดเจนตั้งแต่ . ให้เราพิสูจน์การยืนยันครั้งที่สอง ให้ จากนั้นสำหรับฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งต้องพิสูจน์

คำจำกัดความ 2สมการ (4.1) ซึ่ง เอ็มและ นู๋เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ในระดับเดียวกัน กล่าวคือ มีคุณสมบัติสำหรับทั้งหมด เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน เห็นได้ชัดว่าสมการนี้สามารถลดลงเป็นรูปแบบ (4.2) ได้เสมอ แม้ว่าจะแก้ไม่ได้ก็ตาม สมการเอกพันธ์จะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกได้โดยการแทนที่ฟังก์ชันที่ต้องการ yตามสูตร y=zx,ที่ไหน ซี(x)เป็นฟังก์ชันใหม่ที่ต้องการ เมื่อทำการแทนที่ในสมการ (4.2) เราได้รับ: หรือ หรือ .

เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเทียบกับฟังก์ชัน ซี(x) ซึ่งหลังจากการแทนที่ซ้ำแล้วซ้ำอีกจะให้อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม นอกจากนี้ หากเป็นรากของสมการ ฟังก์ชันก็คือคำตอบของสมการที่กำหนดให้เป็นเนื้อเดียวกัน ถ้า สมการ (4.2) จะใช้รูปแบบ

และกลายเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ วิธีแก้ปัญหาคือครึ่งบรรทัด: .

ความคิดเห็นบางครั้งขอแนะนำให้ใช้การทดแทนแทนการทดแทนข้างต้น x=ซี่

สมการเอกพันธ์ทั่วไป

สมการ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันทั่วไปถ้าสามารถเลือกตัวเลขดังกล่าวได้ kว่าด้านซ้ายของสมการนี้จะกลายเป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ในระดับหนึ่ง มค่อนข้าง x, y, dxและ dyโดยมีเงื่อนไขว่า xถือเป็นค่าของการวัดครั้งแรก y – เค-ที่วัด , dxและ dy-ศูนย์และ (k-1)ที่วัด ตัวอย่างเช่น นี่จะเป็นสมการ . (6.1) อันที่จริง ภายใต้สมมติฐานเกี่ยวกับการวัด x, y, dxและ dyสมาชิกทางด้านซ้ายและ dyจะมีขนาดตามลำดับ -2, 2 kและ k-หนึ่ง. เท่ากับเราได้เงื่อนไขว่าต้องเป็นไปตามจำนวนที่ต้องการ k: -2 = 2k=k-หนึ่ง. เงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจเมื่อ k= -1 (ด้วยเช่น kพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการที่พิจารณาจะมีมิติ -2) ดังนั้น สมการ (6.1) จึงเป็นเอกพันธ์ทั่วไป