Linia care trece prin punctul K(x 0; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
Linia care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) si paralela cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentata prin ecuatie

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Exemplul #1. Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 0 (-2.1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Soluţie . Să reprezentăm ecuația pantei ca y = kx + a . Pentru a face acest lucru, transferăm toate valorile cu excepția y la partea dreapta: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțim partea dreaptă cu coeficientul 3 . Se obține: y = -2/3x + 7/3
Aflați ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1) paralel cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0

Exemplul #2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie . Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Găsiți punctele de intersecție ale dreptei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Înlocuiți în formula pentru suprafață: . Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y - 10 = 0 .

Exemplul #3. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul (-2; 5) și dreapta paralelă 5x-7y-4=0 .
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5/7 x – 4/7 (aici a = 5/7). Ecuația dreptei dorite este y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul #4. Rezolvând exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplul numărul 5. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul (-2;5) și a unei drepte paralele 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa y).

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.

Există infinit de linii care pot fi trase prin orice punct.

Prin oricare două puncte care nu coincid, există o singură linie dreaptă.

Două drepte non-coincidente în plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:

• liniile se intersectează;

• liniile drepte sunt paralele;

• linii drepte se intersectează.

Drept linia- curba algebrică de ordinul întâi: în sistemul de coordonate carteziene, o dreaptă

este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).

Ecuația generală a unei drepte.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

și constantă A, B nu egal cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general

ecuație în linie dreaptă.În funcție de valorile constantelor A, Bși DIN Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia trece prin origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia coincide cu axa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite formeîn funcţie de orice dat

condiții inițiale.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.

Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe dreapta dată de ecuație

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Soluţie. Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C

substituim coordonatele punctului dat A in expresia rezultata, obtinem: 3 - 2 + C = 0, deci

C = -1. Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)și M2 (x 2, y 2 , z 2), apoi ecuație în linie dreaptă,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe

plan, ecuația unei drepte scrisă mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2și x = x 1, dacă x 1 = x 2 .

Fracțiune = k numit factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Soluţie. Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.

Dacă ecuația generală a unei drepte Ah + Wu + C = 0 aduce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină

o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția

Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al dreptei.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.

la x=1, y=2 primim C/ A = -3, adică ecuația dorită:

x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la -C, obținem:

sau unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu ax Oh, A b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.

Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ah + Wu + C = 0împărțiți la număr , Care e numit

factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0.

R- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linie,

A φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a unei drepte 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie tipuri diferite ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei drepte în segmente:

Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

Ecuația unei drepte:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre liniile unui plan.

Definiție. Dacă sunt date două rânduri y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, apoi unghiul ascuțit dintre aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare

dacă k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direct Ah + Wu + C = 0și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele când coeficienții sunt proporționali

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Dacă de asemenea С 1 \u003d λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte

se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe o dreaptă dată.

Definiție. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b

reprezentat de ecuația:

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linie Ah + Wu + C = 0 definit ca:

Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza perpendicularei coborâtă din punct M pentru un dat

direct. Apoi distanța dintre puncte Mși M 1:

(1)

Coordonatele x 1și 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular

linie dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat în această direcție. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

Exemple de probleme cu soluții

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte: (-1, 2) și (2, 1).

Soluţie.

Conform ecuaţiei

crezând în ea X 1 = -1, y 1 = 2, X 2 = 2, y 2 \u003d 1 (indiferent care punct este considerat primul, care - al doilea), obținem

dupa simplificari, obtinem in sfarsit ecuatia dorita in forma

X + 3y - 5 = 0.

Laturile triunghiului sunt date de ecuațiile: (AB ) 2 X + 4 y + 1 = 0, (AC ) X - y + 2 = 0, (î.Hr ) 3 X + 4 y -12 = 0. Aflați coordonatele vârfurilor triunghiului.

Soluţie.

Coordonatele vârfurilor A afla prin rezolvarea unui sistem compus din ecuatii laturilor ABși AC:

sistem de doi ecuatii lineare cu două necunoscute rezolvăm prin metode cunoscute din algebra elementară și obținem

Vertex A are coordonate

Coordonatele vârfurilor B afla prin rezolvarea unui sistem de ecuatii ale laturilor ABși î.Hr:

primim .

Coordonatele vârfurilor C obţinem prin rezolvarea sistemului din ecuaţiile laturilor î.Hrși AC:

Vertex C are coordonate.

A (2, 5) paralel cu linia 3X - 4 y + 15 = 0.

Soluţie.

Să demonstrăm că, dacă două drepte sunt paralele, atunci ecuațiile lor pot fi întotdeauna reprezentate în așa fel încât să difere doar în termeni liberi. Într-adevăr, din condiția paralelismului a două drepte rezultă că .

Notează prin t valoarea totală a acestor relaţii. Apoi

și de aici rezultă că

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Dacă două rânduri

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0 și

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

sunt paralele, condițiile (1) sunt îndeplinite și, înlocuind în prima dintre aceste ecuații A 1 și B 1 prin formulele (1), vom avea

A 2 tx + B 2 Multumesc + C 1 = 0,

sau, împărțind ambele părți ale ecuației la , obținem

Comparând ecuația rezultată cu ecuația celei de-a doua linii A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, observăm că aceste ecuații diferă doar în termenul liber; astfel, am dovedit afirmația. Acum să începem să rezolvăm problema. Scriem ecuația dreptei dorite în așa fel încât să difere de ecuația acestei drepte doar prin termenul liber: primii doi termeni din ecuația dorită vor fi preluați din această ecuație, iar termenul ei liber va fi fi notat cu C. Apoi ecuația dorită poate fi scrisă sub formă

3X - 4y + C = 0, (3)

si de determinat C.

Dând în ecuația (3) valoarea C toate valorile reale posibile, obținem un set de linii paralele cu cea dată. Astfel, ecuația (3) nu este o ecuație a unei linii, ci a unei întregi familii de drepte paralele cu această dreaptă 3 X - 4y+ 15 = 0. Din această familie de drepte, ar trebui să o evidențiem pe cea care trece prin punct A(2, 5).

Dacă o dreaptă trece printr-un punct, atunci coordonatele acelui punct trebuie să satisfacă ecuația dreptei. Și așa definim C, dacă în (3) înlocuim coordonatele curente Xși y coordonatele punctului A, adică X = 2, y= 5. Obținem și C = 14.

Valoare găsită Cînlocuim în (3), iar ecuația dorită se va scrie după cum urmează:

3X - 4y + 14 = 0.

Aceeași problemă poate fi rezolvată în alt mod. Deoarece pantele dreptelor paralele sunt egale între ele, iar pentru o dreaptă dată 3 X - 4y+ 15 = 0 pantă, atunci și panta dreptei dorite este egală cu .

Acum folosim ecuația y - y 1 = k(X - X 1) un mănunchi de linii drepte. Punct A(2, 5), prin care trece linia dreaptă, ne este cunoscută și, prin urmare, înlocuind în ecuația creionului liniilor drepte y - y 1 = k(X - X 1) valorile, obținem

sau după simplificări 3 X - 4y+ 14 = 0, adică la fel ca înainte.

Găsiți ecuații ale dreptelor care trec printr-un punctA (3, 4) la 60 de grade până la linia 2X + 3 y + 6 = 0.

Soluţie.

Pentru a rezolva problema, ar trebui să determinăm pantele dreptelor I și II (vezi figura). Să notăm acești coeficienți, respectiv, prin k 1 și k 2 și panta acestei drepte - prin k. Este evident că.

Pe baza definiției unghiului dintre două drepte, atunci când se determină unghiul dintre o linie dreaptă dată și o linie dreaptă, I urmează la numărătorul unei fracții din formula

scădeți panta dreptei date, deoarece trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului C până când coincide cu linia I.

Având în vedere asta, obținem

Când se determină unghiul dintre linia II și o dreaptă dată, ar trebui să se scadă panta dreptei II în numărătorul aceleiași fracții, adică k 2, deoarece linia II ar trebui rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului B până când coincide cu această linie:

Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punctA (5, -1) perpendicular pe dreapta 3X - 7 y + 14 = 0.

Soluţie.

Dacă două rânduri

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0, A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

sunt perpendiculare, apoi egalitatea

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

sau, ceea ce este la fel,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

și de aici rezultă că

Sensul general al acestor expresii va fi notat prin t.

Apoi, de unde rezultă că

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Înlocuind aceste valori A 2 și B 2 și ecuația celei de-a doua drepte, obținem

B 1 tx - A 1 Multumesc + C 2 = 0.

sau împărțirea prin t ambele părți ale egalității, vom avea

Comparând ecuația rezultată cu ecuația primei drepte

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

rețineți că au coeficienți la Xși y locurile schimbate, iar semnul dintre primul și al doilea termen s-a schimbat în opus, în timp ce termenii liberi sunt diferiți.

Să începem acum să rezolvăm problema. Dorind să scrieți ecuația unei drepte perpendiculare pe o dreaptă 3 X - 7y+ 14 = 0, pe baza concluziei făcute mai sus, procedăm astfel: schimbăm coeficienții la Xși y, iar semnul minus dintre ele este înlocuit cu un semn plus, termenul liber este notat cu litera C. Să luăm 7 X + 3y + C= 0. Această ecuație este ecuația unei familii de drepte perpendiculare pe dreapta 3 X - 7y+ 14 = 0. Definiți C din condiţia ca linia dorită să treacă prin punct A(5, -1). Se știe că dacă o dreaptă trece printr-un punct, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația dreptei. Înlocuind în ultima ecuație 5 în loc de Xși -1 în schimb y, primim

Această valoare CÎnlocuiți în ultima ecuație și obțineți

7X + 3y - 32 = 0.

Rezolvăm aceeași problemă într-un mod diferit, folosind ecuația unui creion de linii

y - y 1 = k(X - X 1).

Panta acestei drepte 3 X - 7y + 14 = 0

apoi panta dreptei perpendiculară pe aceasta,

Înlocuind în ecuația unui creion de linii , și în loc de X 1 și y 1 coordonatele punctului dat A(5, -1), găsiți sau 3 y + 3 = -7X+ 35 și în sfârșit 7 X + 3y- 32 = 0, adică la fel ca înainte.

Ecuații curbele sunt abundente la citirea literaturii economice.Să subliniem câteva dintre aceste curbe.

curba de indiferență - o curbă care arată diferite combinații de două produse care au aceeași valoare de consum, sau utilitate, pentru consumator.

Curba bugetului de consum este o curbă care arată diferitele combinații de cantități a două bunuri pe care un consumator le poate cumpăra la un anumit nivel al venitului său monetar.

Curba posibilităților de producție - o curbă care arată diferitele combinații de două bunuri sau servicii care pot fi produse la ocuparea deplină a forței de muncă și la producție deplină într-o economie cu stocuri constante de resurse și tehnologie neschimbată.

Curba cererii de investiții - o curbă care arată dinamica ratei dobânzii și volumul investițiilor la diferite rate ale dobânzii.

curba Phillips- o curbă care arată existenţa unei relaţii stabile între rata şomajului şi rata inflaţiei.

Curba Laffer- o curbă care arată relația dintre cotele de impozitare și veniturile fiscale, relevând o astfel de cotă de impozitare la care veniturile fiscale ating un maxim.

Chiar și o simplă enumerare a termenilor arată cât de important este pentru economiști să poată construi grafice și să analizeze ecuațiile curbelor, care sunt linii drepte și curbe de ordinul doi - un cerc, o elipsă, o hiperbolă, o parabolă. În plus, la rezolvarea unei clase mari de probleme, este necesară selectarea unei zone din plan mărginită de niște curbe ale căror ecuații sunt date.De cele mai multe ori aceste probleme sunt formulate astfel: găsiți cel mai bun plan de producție pentru resursele date. Alocarea resurselor ia de obicei forma unor inegalități, ale căror ecuații sunt date. Prin urmare, trebuie să căutați cele mai mari sau mai mici valori luate de o funcție în regiunea specificată de ecuațiile sistemului de inegalități.

În geometria analitică linie în avion este definită ca mulțimea de puncte ale căror coordonate satisfac ecuația F(x,y)=0. În acest caz, trebuie impuse restricții asupra funcției F astfel încât, pe de o parte, această ecuație să aibă o mulțime infinită de soluții și, pe de altă parte, pentru ca această mulțime de soluții să nu umple o „piesă a planului”. ”. O clasă importantă de drepte sunt acelea pentru care funcția F(x,y) este un polinom în două variabile, caz în care linia definită de ecuația F(x,y)=0 se numește algebric. Dreptele algebrice date de ecuația de gradul I sunt drepte. O ecuație de gradul doi, care are un număr infinit de soluții, definește o elipsă, o hiperbolă, o parabolă sau o linie care se împarte în două drepte.

Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan. O linie dreaptă pe un plan poate fi dată de una dintre ecuațiile:

zece . Ecuația generală a unei drepte

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vector n(А,В) este ortogonală cu o linie dreaptă, numerele A și B nu sunt egale cu zero în același timp.

douăzeci . Ecuația dreaptă cu panta

y - y o = k (x - x o), (2.2)

unde k este panta dreptei, adică k = tg a , unde a - valoarea unghiului format de dreapta cu axa Оx, M (x o , y o) - un punct aparținând dreptei.

Ecuația (2.2) ia forma y = kx + b dacă M (0, b) este punctul de intersecție al dreptei cu axa Oy.

treizeci . Ecuația unei drepte în segmente

x/a + y/b = 1, (2.3)

unde a și b sunt valorile segmentelor tăiate de o linie dreaptă pe axele de coordonate.

40 . Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este A(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2):

. (2.4)

cincizeci . Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(x 1 , y 1) paralel cu un vector dat A(m, n)

. (2.5)

60 . Ecuația normală a unei linii drepte

rn o - p = 0, (2,6)

Unde r este raza unui punct arbitrar M(x, y) al acestei drepte, n o este un vector unitar ortogonal pe această linie și direcționat de la origine la linie; p este distanța de la origine la linia dreaptă.

Normal sub formă de coordonate are forma:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

unde un - valoarea unghiului format dintr-o linie dreaptă cu axa x.

Ecuația unui creion de linii centrate în punctul A (x 1, y 1) are forma:

y-y 1 = l (x-x 1),

unde l este parametrul fasciculului. Dacă fasciculul este dat de două drepte care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, atunci ecuația sa are forma:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

unde l și m sunt parametrii fasciculului care nu se întorc la 0 în același timp.

Unghiul dintre liniile y \u003d kx + b și y \u003d k 1 x + b 1 este dat de formula:

tg j = .

Egalitatea 1 + k 1 k = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru ca dreptele să fie perpendiculare.

Pentru a face două ecuații

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

stabiliți aceeași linie dreaptă, este necesar și suficient ca coeficienții lor să fie proporționali:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Ecuațiile (2.7), (2.8) definesc două drepte paralele diferite dacă A 1 /A 2 = B 1 /B 2 și B 1 /B 2¹ C1/C2; liniile se intersectează dacă A 1 /A 2¹B1/B2.

Distanța d de la punctul M o (x o, y o) la linie dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la punctul M o la dreapta. Dacă linia este dată de o ecuație normală, atunci d =ê r despre n o - r ê , Unde r o este vectorul rază al punctului M o sau, sub formă de coordonate, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Ecuația generală a curbei de ordinul doi are forma

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Se presupune că printre coeficienții ecuației a 11 , a 12 , a 22 există alții decât zero.

Ecuația unui cerc centrat în punctul C(a, b) și cu raza egală cu R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2. (2,9)

Elipsăse numește locul punctelor, suma distanțelor cărora de la două puncte date F 1 și F 2 (focurile) este o valoare constantă egală cu 2a.

Ecuația canonică (cea mai simplă) a unei elipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elipsa dată de ecuația (2.10) este simetrică față de axele de coordonate. Opțiuni Ași b numit arbori de osie elipsă.

Fie a>b, atunci focarele F 1 și F 2 sunt pe axa Ox la distanță
c= de la origine. Raportul c/a = e < 1 называется excentricitate elipsă. Distanțele de la punctul M(x, y) al elipsei până la focarele acesteia (vectori cu rază focală) sunt determinate de formulele:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

În cazul în care un< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Dacă a = b, atunci elipsa este un cerc centrat la originea razei A.

Hiperbolăse numește locul punctelor, a căror diferență de distanțe de la două puncte date F 1 și F 2 (focare) este egală în valoare absolută cu numărul dat 2a.

Ecuația canonică a unei hiperbole

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hiperbola dată de ecuația (2.11) este simetrică față de axele de coordonate. Intersectează axa Ox în punctele A (a,0) și A (-a,0) - vârfurile hiperbolei și nu intersectează axa Oy. Parametru A numit semiaxa reală, b -axa imaginară. Parametrul c= este distanța de la focar la origine. Raportul c/a = e >1 este numit excentricitate hiperbolă. drepte ale căror ecuații y =± b/a x sunt numite asimptote hiperbolă. Distanțele de la punctul M(x,y) al hiperbolei până la focarele sale (vectori cu rază focală) sunt determinate de formulele:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

O hiperbolă cu a = b se numește echilateral, ecuația sa x 2 - y 2 \u003d a 2 și ecuația asimptotelor y \u003d± X. Hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 și
se numesc y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 conjugat.

parabolăeste locul punctelor echidistante de un punct dat (focalizare) și de o linie dată (directrice).

Ecuația canonică a unei parabole are două forme:

1) y 2 \u003d 2px - parabola este simetrică față de axa Ox.

2) x 2 \u003d 2py - parabola este simetrică față de axa Oy.

În ambele cazuri, p>0 și vârful parabolei, adică punctul situat pe axa de simetrie, este situat la origine.

O parabolă a cărei ecuație y 2 = 2рx are focarul F(р/2,0) și directricea x = - р/2, vector cu raza focală a punctului M(x, y) pe ea r = x+ р/2.

Parabola a cărei ecuație x 2 =2py are focarul F(0, p/2) și directricea y = - p/2; vectorul rază focală a punctului M(x, y) al parabolei este r = y + p/2.

Ecuația F(x, y) = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două sau mai multe părți. Într-una dintre aceste părți, inegalitatea F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Cu alte cuvinte, linia
F(x, y)=0 separă partea planului în care F(x, y)>0 de partea planului în care F(x, y)<0.

Linia dreaptă, a cărei ecuație este Ax+By+C = 0, împarte planul în două semiplane. În practică, pentru a afla în ce semiplan avem Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, aplicați metoda punctului de întrerupere. Pentru a face acest lucru, luați un punct de control (desigur, nu situat pe o linie dreaptă, a cărui ecuație este Ax + By + C = 0) și verificați ce semn are expresia Ax + By + C în acest punct. Același semn are expresia indicată în întregul semiplan în care se află punctul de control. În al doilea semiplan Ax+By+C are semnul opus.

Inegalitățile neliniare cu două necunoscute sunt rezolvate în același mod.

De exemplu, să rezolvăm inegalitatea x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Poate fi rescrisă ca (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Ecuația (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definește un cerc cu un centru în punctul C(2,-3) și o rază de 5. Cercul împarte planul în două părți - interior și exterior. Pentru a afla în care dintre ele are loc această inegalitate, luăm un punct de control în regiunea interioară, de exemplu, centrul C(2,-3) al cercului nostru. Înlocuind coordonatele punctului C în partea stângă a inegalității, obținem un număr negativ -25. Prin urmare, în toate punctele aflate în interiorul cercului, inegalitatea
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Exemplul 1.5.Compuneți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul A(3,1) și înclinate față de dreapta 2x+3y-1 = 0 la un unghi de 45 o .

Soluţie.Vom căuta sub forma y=kx+b. Deoarece linia trece prin punctul A, coordonatele ei satisfac ecuația dreptei, adică. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Unghiul dintre linii
y= k 1 x+b 1 și y= kx+b este definit prin formula tg j = . Deoarece panta k 1 a dreptei inițiale 2x+3y-1=0 este - 2/3, iar unghiul j = 45 o , atunci avem o ecuație pentru determinarea k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 sau (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Avem două valori ale lui k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Găsind valorile corespunzătoare ale lui b cu formula b=1-3k, obținem două linii dorite, ale căror ecuații sunt: ​​x - 5y + 2 = 0 și
5x + y - 16 = 0.

Exemplul 1.6. La ce valoare a parametrului t drepte ale căror ecuații 3tx-8y+1 = 0 și (1+t)x-2ty = 0 sunt paralele?

Soluţie.Dreptele date prin ecuații generale sunt paralele dacă coeficienții la Xși y proporțional, adică 3t/(1+t) = -8/(-2t). Rezolvând ecuația rezultată, găsim t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Exemplul 1.7. Găsiți ecuația coardei comune a două cercuri:
x 2 +y 2 =10 și x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Soluţie.Găsiți punctele de intersecție ale cercurilor, pentru aceasta rezolvăm sistemul de ecuații:

.

Rezolvând prima ecuație, găsim valorile x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Din a doua ecuație - valorile corespunzătoare y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Acum obținem ecuația unei coarde comune, cunoscând două puncte A (3,1) și B (1,3) aparținând acestei linii: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) sau y+ x - 4 = 0.

Exemplul 1.8. Cum sunt situate punctele pe plan, ale căror coordonate îndeplinesc condițiile (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Soluţie.Prima inegalitate a sistemului definește interiorul cercului, fără a include granița, i.e. cerc cu centrul în punctul (3,3) și raza . A doua inegalitate definește un semiplan definit de o dreaptă a cărei ecuație este x = y și, deoarece inegalitatea este strictă, punctele dreptei în sine nu aparțin semiplanului și toate punctele de sub această dreaptă linia aparține semiplanului. Deoarece căutăm puncte care satisfac ambele inegalități, atunci aria dorită este interiorul semicercului.

Exemplul 1.9.Calculați lungimea laturii unui pătrat înscris într-o elipsă a cărui ecuație este x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Soluţie.Lăsa M(s, s)- vârful pătratului, situat în primul sfert. Atunci latura pătratului va fi 2 Cu. pentru că punct M aparține elipsei, coordonatele acesteia satisfac ecuația elipsei c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, de unde
c = ab/ ; deci latura pătratului este 2ab/ .

Exemplul 1.10.Cunoscând ecuația asimptotelor hiperbolei y =± 0,5 x și unul dintre punctele sale M (12, 3), întocmește ecuația unei hiperbole.

Soluţie.Scriem ecuația canonică a hiperbolei: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimptotele hiperbolei sunt date de ecuațiile y =± 0,5 x, deci b/a = 1/2, deci a=2b. Pentru că M- punctul hiperbolei, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuatia hiperbolei, i.e. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Având în vedere că a = 2b, găsim b: b 2 =9Þ b=3 și a=6. Atunci ecuația hiperbolei este x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Exemplul 1.11.Calculați lungimea laturii unui triunghi regulat ABC înscris într-o parabolă cu parametru R, presupunând că punctul A coincide cu vârful parabolei.

Soluţie.Ecuația canonică a unei parabole cu un parametru R are forma y 2 = 2рx, vârful său coincide cu originea, iar parabola este simetrică față de axa x. Deoarece dreapta AB formează un unghi de 30 o cu axa Ox, ecuația dreptei este: y = x. o mulțime de diagrame

Prin urmare, putem găsi coordonatele punctului B rezolvând sistemul de ecuații y 2 =2px, y = x, de unde x = 6p, y = 2p. Prin urmare, distanța dintre punctele A(0,0) și B(6p,2p) este 4p.