Linjen som går gjennom punktet K(x 0; y 0) og parallelt med linjen y = kx + a, finnes av formelen:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Hvor k er helningen til den rette linjen.

Alternativ formel:
Linjen som går gjennom punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallelt med linjen Ax+By+C=0 er representert ved ligningen

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Eksempel #1. Komponer ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 0 (-2,1) og samtidig:
a) parallelt med den rette linjen 2x+3y -7 = 0;
b) vinkelrett på linjen 2x+3y -7 = 0.
Løsning . La oss representere helningsligningen som y = kx + a . For å gjøre dette overfører vi alle verdier unntatt y til høyre side: 3y = -2x + 7. Så deler vi høyre side med koeffisienten 3 . Vi får: y = -2/3x + 7/3
Finn ligningen NK som går gjennom punktet K(-2;1) parallelt med den rette linjen y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ved å erstatte x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 får vi:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
eller
y = -2 / 3 x - 1 / 3 eller 3y + 2x +1 = 0

Eksempel #2. Skriv likningen til en rett linje parallelt med den rette linjen 2x + 5y = 0 og lag sammen med koordinataksene en trekant med arealet 5.
Løsning . Siden linjene er parallelle, er ligningen til den ønskede linjen 2x + 5y + C = 0. Arealet av en rettvinklet trekant, der a og b er dens ben. Finn skjæringspunktene til ønsket linje med koordinataksene:
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). Erstatt i formelen for området: . Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y - 10 = 0 .

Eksempel #3. Skriv ligningen for linjen som går gjennom punktet (-2; 5) og den parallelle linjen 5x-7y-4=0 .
Løsning. Denne rette linjen kan representeres av ligningen y = 5/7 x – 4/7 (her a = 5/7). Ligningen til ønsket linje er y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .

Eksempel #4. Ved å løse eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjelp av formel (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.

Eksempel nummer 5. Skriv ligningen for en rett linje som går gjennom punktet (-2;5) og en parallell rett linje 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) gir 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke anvendelig, siden denne ligningen ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linjen er parallell med y-aksen).

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Det er uendelig mange linjer som kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter er det bare én rett linje.

To ikke-sammenfallende linjer i planet krysser enten i et enkelt punkt, eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

• linjer krysser hverandre;

• rette linjer er parallelle;

• rette linjer krysser hverandre.

Rett linje- algebraisk kurve av første orden: i det kartesiske koordinatsystemet, en rett linje

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis ved en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstant A, B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

rettlinjeligning. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og FRA Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan representeres i ulike former avhengig av en gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til den rette linjen: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C

vi erstatter koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket Vi får: 3 - 2 + C = 0, derfor

C = -1. Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) og M2 (x 2, y 2 , z 2), deretter rettlinjeligning,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av en rett linje Ah + Wu + C = 0 ta med til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for den rette linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille vilkårene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. ønsket ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, så, ved å dele med -C, får vi:

eller , hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med aksel Åh, en b- koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne rette linjen i segmenter.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning for en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ah + Wu + C = 0 dividere med tall , som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en rett linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til linjen,

en φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen for en rett linje 12x - 5y - 65 = 0. Påkrevd for å skrive forskjellige typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne rette linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helning: (del med 5)

Ligning av en rett linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

hvis k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Direkte Ah + Wu + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene er proporsjonale

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Hvis også С 1 \u003d λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt er vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. En linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et poeng er gitt M(x 0, y 0), deretter avstanden til linjen Ah + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av perpendikulæren falt fra punktet M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

Koordinater x 1 og 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Ligningen av en linje som går gjennom et gitt punkt i denne retningen. Ligning av en rett linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkel mellom to linjer. Tilstand for parallellitet og perpendikularitet av to linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer

Eksempler på problemer med løsninger

Finn ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter: (-1, 2) og (2, 1).

Løsning.

I følge ligningen

tro på det x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 \u003d 1 (uansett hvilket punkt som anses som det første, hvilket - det andre), får vi

etter forenklinger får vi til slutt den ønskede ligningen i skjemaet

x + 3y - 5 = 0.

Sidene i trekanten er gitt av ligningene: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC ) x - y + 2 = 0, (f.Kr ) 3 x + 4 y -12 = 0. Finn koordinatene til toppunktene i trekanten.

Løsning.

Toppunktkoordinater EN finne ved å løse et system sammensatt av sideligninger AB og AC:

system av to lineære ligninger med to ukjente løser vi med metoder kjent fra elementær algebra, og vi får

Vertex EN har koordinater

Toppunktkoordinater B finne ved å løse et sidelikningssystem AB og f.Kr:

vi får .

Toppunktkoordinater C får vi ved å løse systemet fra sidenes ligninger f.Kr og AC:

Vertex C har koordinater.

EN (2, 5) parallelt med linje 3x - 4 y + 15 = 0.

Løsning.

La oss bevise at hvis to linjer er parallelle, så kan ligningene deres alltid representeres på en slik måte at de bare er forskjellige i frie termer. Faktisk, fra betingelsen om parallellisme av to linjer følger det at .

Angi med t den totale verdien av disse relasjonene. Deretter

og dermed følger det

EN 1 = EN 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Hvis to linjer

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og

EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0

er parallelle, er betingelsene (1) oppfylt, og erstatter i den første av disse ligningene EN 1 og B 1 ved formler (1), vil vi ha

EN 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

eller ved å dele begge sider av ligningen med , får vi

Sammenligning av den resulterende ligningen med ligningen til den andre linjen EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, merker vi at disse ligningene bare skiller seg i frileddet; dermed har vi bevist påstanden. La oss nå begynne å løse problemet. Vi skriver ligningen til den ønskede rette linjen på en slik måte at den vil skille seg fra ligningen til denne rette linjen bare med frileddet: de to første leddene i den ønskede ligningen vil bli tatt fra denne ligningen, og dens frie ledd vil betegnes med C. Deretter kan ønsket ligning skrives i skjemaet

3x - 4y + C = 0, (3)

og skal bestemmes C.

Gi inn ligning (3) til verdien C alle mulige reelle verdier, får vi et sett med linjer parallelt med den gitte. Således er ligning (3) ikke en ligning av en linje, men av en hel familie av linjer parallelt med denne linjen 3 x - 4y+ 15 = 0. Fra denne linjefamilien bør man skille ut den som går gjennom punktet EN(2, 5).

Hvis en linje går gjennom et punkt, må koordinatene til det punktet tilfredsstille linjens ligning. Og slik definerer vi C, hvis i (3) erstatter vi i stedet for gjeldende koordinater x og y punktkoordinater EN, dvs. x = 2, y= 5. Vi får og C = 14.

Fant verdi C vi erstatter i (3), og den ønskede ligningen vil bli skrevet som følger:

3x - 4y + 14 = 0.

Det samme problemet kan løses på en annen måte. Siden skråningene til parallelle linjer er like med hverandre, og for en gitt linje 3 x - 4y+ 15 = 0 stigning, da er stigningen til ønsket linje også lik .

Nå bruker vi ligningen y - y 1 = k(x - x 1) en bunt med rette linjer. Punktum EN(2, 5), som den rette linjen går gjennom, er kjent for oss, og erstatter derfor i ligningen til blyanten av rette linjer y - y 1 = k(x - x 1) verdier får vi

eller etter forenklinger 3 x - 4y+ 14 = 0, dvs. det samme som før.

Finn ligninger av linjer som går gjennom et punktEN (3, 4) ved 60 grader til linje 2x + 3 y + 6 = 0.

Løsning.

For å løse problemet bør vi bestemme helningene til linjene I og II (se figur). La oss betegne disse koeffisientene med henholdsvis k 1 og k 2 , og helningen til denne rette linjen - gjennom k. Det er åpenbart at.

Basert på definisjonen av vinkelen mellom to rette linjer, når jeg skal bestemme vinkelen mellom en gitt rett linje og en rett linje, følger jeg i telleren av en brøk i formelen

trekk fra helningen til den gitte linjen, siden den må roteres mot klokken rundt punktet C til den faller sammen med linje I.

Med tanke på det får vi

Når man skal bestemme vinkelen mellom linje II og en gitt linje, bør man trekke fra helningen til linje II i telleren til samme brøk, dvs. k 2, siden linje II skal roteres mot klokken rundt punktet B til det faller sammen med denne linjen:

Finn ligningen til en rett linje som går gjennom et punktEN (5, -1) vinkelrett på linje 3x - 7 y + 14 = 0.

Løsning.

Hvis to linjer

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0, EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0

er vinkelrett, så likheten

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0,

eller, som er det samme,

EN 1 EN 2 = -B 1 B 2 ,

og dermed følger det

Den generelle betydningen av disse uttrykkene vil bli betegnet med t.

Så, hvorfra følger det

EN 2 = B 1 t, B 2 = -EN 1 t.

Erstatter disse verdiene EN 2 og B 2 og ligningen til den andre rette linjen, får vi

B 1 tx - EN 1 ty + C 2 = 0.

eller dele med t begge sider av likestillingen, vil vi ha

Sammenligning av den resulterende ligningen med ligningen til den første rette linjen

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

merk at de har koeffisienter kl x og y endret plass, og tegnet mellom første og andre ledd endret til motsatt, mens frivilkårene er forskjellige.

La oss nå begynne å løse problemet. Ønsker å skrive ligningen til en rett linje vinkelrett på en rett linje 3 x - 7y+ 14 = 0, basert på konklusjonen ovenfor, fortsetter vi som følger: vi bytter koeffisientene ved x og y, og minustegnet mellom dem erstattes av et plusstegn, er fribegrepet angitt med bokstaven C. La oss få 7 x + 3y + C= 0. Denne ligningen er ligningen til en familie av linjer vinkelrett på linjen 3 x - 7y+ 14 = 0. Definer C fra betingelsen at ønsket linje går gjennom punktet EN(5, -1). Det er kjent at hvis en linje går gjennom et punkt, så må koordinatene til dette punktet tilfredsstille linjens ligning. Substituere i siste ligning 5 i stedet for x og -1 i stedet y, vi får

Denne verdien C Bytt inn i den siste ligningen og få

7x + 3y - 32 = 0.

Vi løser det samme problemet på en annen måte, ved å bruke ligningen til en blyant av linjer

y - y 1 = k(x - x 1).

Hellingen til denne rette linjen 3 x - 7y + 14 = 0

deretter helningen til linjen vinkelrett på den,

Substituere inn i ligningen av en blyant av linjer , og i stedet for x 1 og y 1 koordinater til det gitte punktet EN(5, -1), finn eller 3 y + 3 = -7x+ 35, og til slutt 7 x + 3y- 32 = 0, dvs. det samme som før.

Ligninger kurver er rikelig når du leser økonomisk litteratur, la oss peke på noen av disse kurvene.

likegyldighetskurve - en kurve som viser ulike kombinasjoner av to produkter som har samme forbrukerverdi, eller nytteverdi, for forbrukeren.

Forbrukerbudsjettkurve er en kurve som viser de forskjellige kombinasjonene av mengder av to varer som en forbruker kan kjøpe på et gitt nivå av pengeinntekten.

Produksjonsmulighetskurve - en kurve som viser de ulike kombinasjonene av to varer eller tjenester som kan produseres ved full sysselsetting og full produksjon i en økonomi med konstante ressurser og uendret teknologi.

Investeringsetterspørselskurve - en kurve som viser dynamikken i renten og volumet av investeringer ved forskjellige renter.

Phillipskurve- en kurve som viser eksistensen av et stabilt forhold mellom arbeidsledighetsraten og inflasjonsraten.

Lafferkurve- en kurve som viser forholdet mellom skattesatser og skatteinntekter, som viser en slik skattesats der skatteinntektene når et maksimum.

Selv en enkel oppregning av begreper viser hvor viktig det er for økonomer å kunne bygge grafer og analysere kurvelikningene, som er rette linjer og andreordenskurver – en sirkel, en ellipse, en hyperbel, en parabel. I tillegg, når man løser en stor klasse med problemer, kreves det at man velger et område på planet avgrenset av noen kurver hvis ligninger er gitt Oftest er disse problemene formulert som følger: finn den beste produksjonsplanen for gitte ressurser. Tildelingen av ressurser tar vanligvis form av ulikheter, hvis likninger er gitt. Derfor må man se etter de største eller minste verdiene tatt av en funksjon i regionen spesifisert av likningene til ulikhetssystemet.

I analytisk geometri linje på flyet er definert som settet med punkter hvis koordinater tilfredsstiller ligningen F(x,y)=0. I dette tilfellet må det pålegges begrensninger på funksjonen F slik at denne ligningen på den ene siden har et uendelig sett med løsninger og på den andre siden slik at dette settet med løsninger ikke fyller en "bit av planet" ". En viktig klasse av linjer er de der funksjonen F(x,y) er et polynom i to variabler, i hvilket tilfelle linjen definert av ligningen F(x,y)=0 kalles algebraisk. De algebraiske linjene gitt av ligningen av første grad er rette linjer. En ligning av andre grad, som har et uendelig antall løsninger, definerer en ellipse, hyperbel, parabel eller en linje som deler seg i to rette linjer.

La et rektangulært kartesisk koordinatsystem gis på planet. En rett linje på et plan kan gis ved en av ligningene:

ti. Generell ligning for en rett linje

Axe + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(А,В) er ortogonalt på en rett linje, tallene A og B er ikke lik null på samme tid.

tjue . Linjeligning med stigning

y - y o = k (x - x o), (2,2)

hvor k er helningen til den rette linjen, dvs. k = tg a , hvor a - verdien av vinkelen som dannes av den rette linjen med aksen Оx, M (x o , y o) - et punkt som tilhører den rette linjen.

Ligning (2.2) har formen y = kx + b hvis M (0, b) er skjæringspunktet mellom linjen og Oy-aksen.

tretti . Ligning av en rett linje i segmenter

x/a + y/b = 1, (2,3)

hvor a og b er verdiene til segmentene avskåret av en rett linje på koordinataksene.

40 . Ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter er A(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2):

. (2.4)

femti . Ligning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt A(x 1 , y 1) parallelt med en gitt vektor en(m, n)

. (2.5)

60 . Normal ligning for en rett linje

rn o - p = 0, (2,6)

hvor r er radiusen til et vilkårlig punkt M(x, y) på denne linjen, n o er en enhetsvektor ortogonal på denne linjen og rettet fra origo til linjen; p er avstanden fra origo til den rette linjen.

Normal i koordinatform har formen:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

hvor en - verdien av vinkelen dannet av en rett linje med x-aksen.

Ligningen til en blyant med linjer sentrert i punktet A (x 1, y 1) har formen:

y-y 1 = l (x-x 1),

hvor l er stråleparameteren. Hvis strålen er gitt av to kryssende linjer A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, så har ligningen formen:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

hvor l og m er stråleparametrene som ikke blir til 0 samtidig.

Vinkelen mellom linjene y \u003d kx + b og y \u003d k 1 x + b 1 er gitt av formelen:

tg j =.

Likheten 1 + k 1 k = 0 er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at linjene skal være vinkelrette.

For å lage to ligninger

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2,7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2,8)

sett den samme rette linjen, er det nødvendig og tilstrekkelig at koeffisientene deres er proporsjonale:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Ligninger (2.7), (2.8) definerer to forskjellige parallelle linjer hvis A 1 /A 2 = B 1 /B 2 og B 1 /B 2¹ C1/C2; linjer krysser hverandre hvis A 1 /A 2¹B1/B2.

Avstanden d fra punktet M o (x o, y o) til den rette linjen er lengden på perpendikulæren trukket fra punktet Mo til den rette linjen. Hvis linjen er gitt av en normalligning, så er d =ê r Om n o - r ê , hvor r o er radiusvektoren til punktet Mo eller, i koordinatform, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Den generelle ligningen til andreordenskurven har formen

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Det antas at blant koeffisientene til ligningen a 11 , a 12 , a 22 er det annet enn null.

Ligningen til en sirkel sentrert i punktet C(a, b) og med en radius lik R:

(x-a)2+ (y-b)2 = R2. (2,9)

Ellipsestedet for punkt kalles, summen av avstandene fra to gitte punkter F 1 og F 2 (foci) er en konstant verdi lik 2a.

Kanonisk (enkleste) ligning av en ellipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Ellipsen gitt av ligning (2.10) er symmetrisk med hensyn til koordinataksene. Alternativer en og b kalt akselaksler ellipse.

La a>b, så er brennpunktene F 1 og F 2 på Ox-aksen på avstand
c= fra origo. Forhold c/a = e < 1 называется eksentrisitet ellipse. Avstandene fra punktet M(x, y) til ellipsen til dens foci (fokalradiusvektorer) bestemmes av formlene:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Hvis en< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Hvis a = b, så er ellipsen en sirkel sentrert ved opprinnelsen til radiusen en.

Overdrivelsestedet for punkt kalles, forskjellen mellom avstandene fra to gitte punkter F 1 og F 2 (foci) er lik i absolutt verdi med det gitte tallet 2a.

Kanonisk ligning for en hyperbel

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hyperbelen gitt av ligning (2.11) er symmetrisk med hensyn til koordinataksene. Den skjærer Ox-aksen i punktene A (a,0) og A (-a,0) - toppunktene til hyperbelen og skjærer ikke Oy-aksen. Parameter en kalt ekte halvakse, b -imaginær akse. Parameteren c= er avstanden fra fokus til origo. Forhold c/a = e >1 kalles eksentrisitet overdrivelse. Rette linjer hvis ligninger y =± b/a x kalles asymptoter overdrivelse. Avstandene fra punktet M(x,y) til hyperbelen til dens foci (fokusradiusvektorer) bestemmes av formlene:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

En hyperbel med a = b kalles likesidet, dens ligning x 2 - y 2 \u003d a 2, og ligningen for asymptoter y \u003d± x. Hyperbler x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 og
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 kalles konjugert.

parabeler lokuset til punkter like langt fra et gitt punkt (fokus) og en gitt linje (retningslinje).

Den kanoniske ligningen til en parabel har to former:

1) y 2 \u003d 2px - parablen er symmetrisk om okseaksen.

2) x 2 \u003d 2py - parablen er symmetrisk om Oy-aksen.

I begge tilfeller er p>0 og toppunktet til parabelen, det vil si punktet som ligger på symmetriaksen, plassert ved origo.

En parabel hvis ligning y 2 = 2рx har fokus F(р/2,0) og retningslinje x = - р/2, brennradiusvektor for punktet M(x, y) på den r = x+ р/2.

Parablen hvis likning x 2 =2py har fokus F(0, p/2) og retningslinje y = - p/2; fokalradiusvektoren til punktet M(x, y) til parablen er r = y + p/2.

Ligningen F(x, y) = 0 definerer en linje som deler planet i to eller flere deler. I en av disse delene er ulikheten F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Med andre ord, linjen
F(x, y)=0 skiller delen av planet der F(x, y)>0 fra delen av planet der F(x, y)<0.

Den rette linjen, hvis ligning er Ax+By+C = 0, deler planet i to halvplan. I praksis, for å finne ut i hvilket halvplan vi har Axe + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, bruk brytepunktmetoden. For å gjøre dette, ta et kontrollpunkt (selvfølgelig ikke liggende på en rett linje, hvis ligning er Ax + By + C = 0) og sjekk hvilket tegn uttrykket Ax + By + C har på dette punktet. Det samme tegnet har det indikerte uttrykket i hele halvplanet der kontrollpunktet ligger. I det andre halvplanet har Ax+By+C motsatt fortegn.

Ikke-lineære ulikheter med to ukjente løses på samme måte.

La oss for eksempel løse ulikheten x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Den kan skrives om til (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Ligningen (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definerer en sirkel med sentrum i punktet C(2,-3) og en radius på 5. Sirkelen deler planet i to deler - indre og ytre. For å finne ut i hvilken av dem denne ulikheten finner sted, tar vi et kontrollpunkt i det indre området, for eksempel sentrum C(2,-3) i sirkelen vår. Setter vi inn koordinatene til punkt C i venstre side av ulikheten, får vi et negativt tall -25. Derfor, på alle punkter som ligger innenfor sirkelen, ulikheten
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Eksempel 1.5.Komponer likningene til linjene som går gjennom punktet A(3,1) og skråner til linjen 2x+3y-1 = 0 i en vinkel på 45 o .

Løsning.Vi vil søke i formen y=kx+b. Siden linjen går gjennom punktet A, tilfredsstiller dens koordinater likningen til linjen, dvs. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Vinkel mellom linjene
y= k 1 x+b 1 og y= kx+b er definert av formelen tg j = . Siden helningen k 1 til den opprinnelige linjen 2x+3y-1=0 er - 2/3, og vinkelen j = 45 o , så har vi en ligning for å bestemme k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 eller (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Vi har to verdier av k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Når vi finner de tilsvarende verdiene til b ved formelen b=1-3k, får vi to ønskede linjer, hvis likninger er: x - 5y + 2 = 0 og
5x + y - 16 = 0.

Eksempel 1.6. Ved hvilken verdi av parameteren t linjer hvis ligninger 3tx-8y+1 = 0 og (1+t)x-2ty = 0 er parallelle?

Løsning.Rette linjer gitt av generelle ligninger er parallelle hvis koeffisientene ved x og y proporsjonal, dvs. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Løser vi den resulterende ligningen, finner vi t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Eksempel 1.7. Finn ligningen for fellesakkorden til to sirkler:
x2+y2=10 og x2+y2 -10x-10y+30=0.

Løsning.Finn skjæringspunktene til sirklene, for dette løser vi ligningssystemet:

.

Ved å løse den første ligningen finner vi verdiene x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Fra den andre ligningen - de tilsvarende verdiene y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Nå får vi ligningen til en felles akkord, og kjenner to punkter A (3,1) og B (1,3) som tilhører denne linjen: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), eller y+ x - 4 = 0.

Eksempel 1.8. Hvordan er punktene på planet, hvis koordinater tilfredsstiller betingelsene (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Løsning.Den første ulikheten i systemet definerer det indre av sirkelen, ikke inkludert grensen, dvs. sirkel med sentrum i punktet (3,3) og radius . Den andre ulikheten definerer et halvplan definert av en rett linje hvis ligning er x = y, og siden ulikheten er streng, tilhører ikke selve punktene på den rette linjen halvplanet, og alle punktene under denne rette linje tilhører halvplanet. Siden vi ser etter punkter som tilfredsstiller begge ulikhetene, er det ønskede området det indre av halvsirkelen.

Eksempel 1.9.Beregn lengden på siden til et kvadrat innskrevet i en ellipse hvis ligning er x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Løsning.La M(er, s)- torgets toppunkt, som ligger i første kvartal. Da vil siden av firkanten være 2 Med. Fordi punktum M tilhører ellipsen, dens koordinater tilfredsstiller ellipselikningen c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, hvorav
c = ab/; så siden av firkanten er 2ab/ .

Eksempel 1.10.Kjenne til ligningen for asymptoter til hyperbelen y =± 0,5 x og ett av punktene M (12, 3), tegn opp likningen til en hyperbel.

Løsning.Vi skriver den kanoniske ligningen til hyperbelen: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asymptotene til hyperbelen er gitt av ligningene y =± 0,5 x, så b/a = 1/2, derav a=2b. Fordi det M- punkt på hyperbelen, så tilfredsstiller dens koordinater ligningen til hyperbelen, dvs. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Gitt at a = 2b, finner vi b: b 2 =9Þ b=3 og a=6. Da er ligningen til hyperbelen x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Eksempel 1.11.Beregn sidelengden til en vanlig trekant ABC innskrevet i en parabel med parameter R, forutsatt at punkt A faller sammen med toppunktet til parabelen.

Løsning.Den kanoniske ligningen til en parabel med en parameter R har formen y 2 = 2рx, dens toppunkt sammenfaller med origo, og parabelen er symmetrisk om x-aksen. Siden linjen AB danner en vinkel på 30 o med aksen Ox, er likningen for linjen: y = x. mange diagrammer

Derfor kan vi finne koordinatene til punkt B ved å løse likningssystemet y 2 =2px, y = x, hvorav x = 6p, y = 2p. Derfor er avstanden mellom punktene A(0,0) og B(6p,2p) 4p.