Dejemos que la función se defina en el dominio.

Definición. Expresión

llamado funcional cerca.

Ejemplo.

Para algunos valores, la serie puede converger, para otros valores puede divergir.

Ejemplo.

Encuentra el área de convergencia de la serie. Esta serie está definida para los valores.

Si entonces , la serie diverge, ya que no se cumple el criterio necesario para la convergencia de la serie; si la serie diverge; si es una progresión geométrica infinitamente decreciente.

La comparación de esta serie con la serie convergente en da la región de convergencia de la serie estudiada.

Con valores de la serie funcional se obtiene una serie numérica

Si para la serie numérica converge, entonces el punto se llama punto de convergencia fila funcional.

El conjunto de todos los puntos de convergencia de una serie forma la región de su convergencia. El área de convergencia suele ser algún intervalo del eje.

Si en cada punto convergen las series numéricas, entonces la serie funcional se llama convergente en la zona .

La suma de la serie funcional es alguna función de la variable definida en la región de convergencia de la serie.

¿Qué propiedades tienen las funciones si las propiedades se conocen como miembros de la serie?

La continuidad de funciones no es suficiente para llegar a una conclusión sobre la continuidad.

La convergencia de una serie de funciones continuas en una función continua está garantizada por una condición adicional que expresa una característica importante de la convergencia de una serie funcional.

Definición. Una serie funcional se llama convergente en el dominio si existe un límite de sumas parciales de esta serie, es decir .

Definición. Una serie funcional se llama uniformemente convergente en la región si para cualquier positivo, existe un número tal que la desigualdad se cumple para todos.

Significado geométrico de la convergencia uniforme.

Si rodeamos la gráfica de la función con una franja, definida por la relación entonces las gráficas todo funciones, comenzando con un valor suficientemente grande, enteramente se encuentran en esta “franja” que rodea la gráfica de la función límite.

Propiedades de una serie uniformemente convergente .

1. La suma de una serie uniformemente convergente en alguna región, compuesta de funciones continuas, es una función continua en esa región.

2. Una serie de este tipo se puede diferenciar término por término.

3. La serie se puede integrar término a término.

Para determinar si una serie funcional es uniformemente convergente, debemos utilizar el criterio de convergencia suficiente de Weierstrass.

Definición. La serie funcional se llama dominado en alguna región de cambio si existe una serie numérica tan convergente con términos positivos que las desigualdades se mantengan para toda esa región.

Signo de Weierstrass(convergencia uniforme de la serie funcional).

Rango funcional converge uniformemente en el dominio de la convergencia si está dominado en este dominio.

En otras palabras, si las funciones en algún área no exceden los números positivos correspondientes en valor absoluto y si la serie numérica converge, entonces la serie funcional converge uniformemente en esta área.

Ejemplo. Demuestre la convergencia uniforme de la serie funcional.

Solución. . Reemplacemos el término común de esta serie por el término común de la serie numérica, pero superando a cada miembro de la serie en valor absoluto. Para ello es necesario determinar en cuál será máximo el término común de la serie.

La serie numérica resultante converge, lo que significa que la serie funcional converge uniformemente según la prueba de Weierstrass.

Ejemplo. Encuentra la suma de la serie.

Para encontrar la suma de una serie utilizamos la conocida fórmula de la suma de una progresión geométrica.

Diferenciando las partes izquierda y derecha de la fórmula (1), obtenemos sucesivamente

En la suma a calcular destacamos los términos proporcionales a la primera y segunda derivada:

Calculemos las derivadas:

Serie de potencia.

Entre las series funcionales existe una clase de potencias y series trigonométricas.

Definición. Serie funcional de la forma.

Se llama poder en potencias. Las expresiones son números constantes.

Si la serie es una serie de potencias en potencias de .

Dominio de convergencia de una serie de potencias. El teorema de Abel.

Teorema. Si una serie de potencias converge en un punto, entonces converge y, además, absolutamente para cualquier valor que sea menor en valor absoluto, es decir, en el intervalo.

Prueba.

Debido a la convergencia del rad, su término común debe tender a cero, por lo que todos los términos de esta serie están uniformemente acotados: existe un número positivo constante , tal que para cualquiera se cumple la desigualdad ., que para todos con centro en el punto

filas funcionales. Serie de potencia.
Rango de convergencia de la serie.

La risa sin motivo es señal de d'Alembert

Así que ha llegado la hora de las peleas funcionales. Para dominar con éxito el tema y, en particular, esta lección, es necesario conocer bien la serie numérica habitual. Debe tener una buena comprensión de qué es una serie y poder aplicar los signos de comparación para estudiar la convergencia de la serie. Por lo tanto, si acaba de comenzar a estudiar el tema o es un experto en matemáticas superiores, necesario trabaje en tres lecciones en secuencia: Filas para teteras,Signo de d'Alembert. Signos de Cauchy Y Filas alternas. Signo de Leibniz. ¡Definitivamente los tres! Si tiene conocimientos y habilidades básicos para resolver problemas con series numéricas, le resultará bastante fácil lidiar con series funcionales, ya que no hay mucho material nuevo.

En esta lección, consideraremos el concepto de serie funcional (qué es en general), nos familiarizaremos con las series de potencias, que se encuentran en el 90% de las tareas prácticas, y aprenderemos cómo resolver un problema típico común de encontrar la convergencia. radio, intervalo de convergencia y región de convergencia de una serie de potencias. Además, recomiendo considerar el material sobre expansión de funciones en series de potencias, y se proporcionará una ambulancia al principiante. Después de un pequeño descanso, pasamos al siguiente nivel:

También en el apartado de series funcionales se encuentran sus numerosos aplicaciones para aproximar cálculos, y las series de Fourier, a las que, por regla general, se les asigna un capítulo separado en la literatura educativa, están un poco separadas. ¡Solo tengo un artículo, pero es largo y contiene muchos, muchos ejemplos adicionales!

Entonces, los hitos están establecidos, vamos:

El concepto de serie funcional y serie de potencias.

Si se obtiene el infinito en el límite, entonces el algoritmo de solución también termina su trabajo y damos la respuesta final a la tarea: “La serie converge en” (o en cualquiera de los dos). Ver caso #3 del párrafo anterior.

Si en el límite no resulta cero ni infinito, entonces tenemos el caso más común en la práctica número 1: la serie converge en un intervalo determinado.

En este caso el límite es . ¿Cómo encontrar el intervalo de convergencia de una serie? Hacemos una desigualdad:

EN CUALQUIER tarea de este tipo en el lado izquierdo de la desigualdad debería estar resultado del cálculo límite, y en el lado derecho de la desigualdad estrictamente unidad. No explicaré por qué exactamente esta desigualdad y por qué hay una en la derecha. Las lecciones son prácticas y ya es muy bueno que algunos de los teoremas hayan quedado más claros en mis historias, de modo que el profesorado no se ahorcó.

La técnica de trabajar con el módulo y resolver desigualdades dobles se consideró en detalle en el primer año del artículo. Alcance de la función, pero por comodidad intentaré comentar todas las acciones con el mayor detalle posible. Revelamos la desigualdad con el módulo según la regla escolar. . En este caso:

A mitad de camino.

En la segunda etapa, es necesario investigar la convergencia de la serie en los extremos del intervalo encontrado.

Primero, tomamos el extremo izquierdo del intervalo y lo sustituimos en nuestra serie de potencias:

Se ha recibido una serie numérica y debemos examinarla para determinar su convergencia (una tarea que ya conocemos de lecciones anteriores).

1) La serie es de signos alternos.
2) – los términos de la serie disminuyen módulo. Además, cada término siguiente de la serie es menor que el anterior en módulo: , por lo que la disminución es monótona.
Conclusión: la serie converge.

Con la ayuda de una serie compuesta por módulos, descubriremos exactamente cómo:
– converge (serie “de referencia” de la familia de series armónicas generalizadas).

Por tanto, la serie numérica resultante converge absolutamente.

en - converge.

! recuerdo que cualquier serie positiva convergente también es absolutamente convergente.

Por tanto, la serie de potencias converge, y de forma absoluta, en ambos extremos del intervalo encontrado.

Respuesta: región de convergencia de la serie de potencias estudiada:

Tiene derecho a la vida y otro diseño de respuesta: La serie converge si

A veces, en la condición del problema es necesario especificar el radio de convergencia. Es obvio que en el ejemplo considerado .

Ejemplo 2

Encuentra la región de convergencia de una serie de potencias.

Solución: encontramos el intervalo de convergencia de la serie mediante el uso signo de d'Alembert (¡pero no según el atributo! No existe tal atributo para las series funcionales):

La serie converge en

Izquierda tenemos que irnos solo, entonces multiplicamos ambos lados de la desigualdad por 3:

– La serie es de alternancia de signos.
– – los términos de la serie disminuyen módulo. Cada término siguiente de la serie es menor que el anterior en valor absoluto: , por lo que la disminución es monótona.

Conclusión: la serie converge.

Lo examinamos por la naturaleza de la convergencia:

Compare esta serie con la serie divergente.
Usamos el signo límite de comparación:

Se obtiene un número finito distinto de cero, lo que significa que la serie diverge junto con la serie.

Por tanto, la serie converge condicionalmente.

2) cuando – diverge (como se ha demostrado).

Respuesta: El área de convergencia de la serie de potencias estudiada: . Para , la serie converge condicionalmente.

En el ejemplo considerado, el dominio de convergencia de la serie de potencias es un medio intervalo, y en todos los puntos del intervalo la serie de potencias converge absolutamente, y en el punto , como resultó, condicionalmente.

Ejemplo 3

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias e investigue su convergencia en los extremos del intervalo encontrado.

Este es un ejemplo que puede hacer usted mismo.

Consideremos un par de ejemplos que son raros, pero que ocurren.

Ejemplo 4

Encuentra el área de convergencia de la serie:

Solución: utilizando el criterio de d'Alembert, encontramos el intervalo de convergencia de esta serie:

(1) Componga la relación entre el siguiente miembro de la serie y el anterior.

(2) Deshágase de la fracción de cuatro pisos.

(3) Los cubos y, según la regla de las operaciones con potencias, se resumen en un solo grado. En el numerador descomponemos hábilmente el grado, es decir expandir de tal manera que en el siguiente paso reduzcamos la fracción en . Los factoriales se describen en detalle.

(4) Debajo del cubo, dividimos el numerador por el denominador término por término, indicando que . En una fracción reducimos todo lo que se puede reducir. El multiplicador se saca del signo de límite, se puede sacar, ya que no hay nada en él que dependa de la variable "dinámica" "en". Tenga en cuenta que el signo del módulo no está dibujado, ya que toma valores no negativos para cualquier "x".

En el límite se obtiene cero, lo que significa que podemos dar la respuesta final:

Respuesta: La serie converge en

Y al principio parecía que esta disputa con el "relleno terrible" sería difícil de solucionar. Cero o infinito en el límite es casi un regalo, ¡porque la solución se reduce notablemente!

Ejemplo 5

Encuentra el área de convergencia de una serie.

Este es un ejemplo que puede hacer usted mismo. Ten cuidado ;-) La solución completa es la respuesta al final de la lección.

Consideremos algunos ejemplos más que contienen un elemento de novedad en términos del uso de técnicas.

Ejemplo 6

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie e investigue su convergencia en los extremos del intervalo encontrado.

Solución: El término común de la serie de potencias incluye el factor , que asegura la alternancia. El algoritmo de solución se conserva por completo, pero al compilar el límite ignoramos (no escribimos) este factor, ya que el módulo destruye todos los "menos".

Encontramos el intervalo de convergencia de la serie mediante la prueba de d'Alembert:

Componemos la desigualdad estándar:
La serie converge en
Izquierda tenemos que irnos solo módulo, entonces multiplicamos ambos lados de la desigualdad por 5:

Ahora ampliamos el módulo de forma familiar:

En medio de la doble desigualdad es necesario dejar solo la "x", para ello resta 2 de cada parte de la desigualdad:

es el intervalo de convergencia de la serie de potencias estudiada.

Investigamos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo encontrado:

1) Sustituir el valor en nuestra serie de potencias. :

Tenga mucho cuidado, el multiplicador no proporciona alternancia, para cualquier "en" natural. Sacamos el menos resultante de la serie y nos olvidamos de él, ya que (como cualquier multiplicador constante) no afecta de ninguna manera la convergencia o divergencia de la serie numérica.

Aviso de nuevo que al sustituir el valor en el término común de la serie de potencias, hemos reducido el factor . Si esto no sucediera, significaría que calculamos incorrectamente el límite o expandimos incorrectamente el módulo.

Por tanto, es necesario investigar la convergencia de la serie numérica. Aquí es más fácil utilizar el criterio de comparación límite y comparar esta serie con una serie armónica divergente. Pero, para ser honesto, estaba terriblemente cansado del signo de comparación definitivo, así que agregaré algo de variedad a la solución.

Entonces la serie converge en

Multiplica ambos lados de la desigualdad por 9:

Extraemos la raíz de ambas partes, recordando el chiste de la vieja escuela:

Ampliando el módulo:

y agregue uno a todas las partes:

es el intervalo de convergencia de la serie de potencias estudiada.

Investigamos la convergencia de la serie de potencias en los extremos del intervalo encontrado:

1) Si , entonces se obtiene la siguiente serie numérica:

El multiplicador desapareció sin dejar rastro, porque para cualquier valor natural de "en" .

Lujov y.p. Resumen de conferencias sobre matemáticas superiores. Conferencia No. 42 5

Conferencia 42

SUJETO: filas funcionales

Plan.

filas funcionales. Área de convergencia.
Convergencia uniforme. Signo de Weierstrass.
Propiedades de las series uniformemente convergentes: continuidad de la suma de una serie, integración y diferenciación término a término.
Serie de potencia. El teorema de Abel. Dominio de convergencia de una serie de potencias. radio de convergencia.
Propiedades básicas de las series de potencias: convergencia uniforme, continuidad y diferenciabilidad infinita de la suma. Integración y diferenciación terminológica de series de potencias.

filas funcionales. Área de convergencia

Definición 40.1. Una suma infinita de características

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

donde u n (x) = f (x, n), se llama rango funcional.

Si establece un valor numérico específico X , la serie (40.1) se convertirá en una serie numérica y, dependiendo de la elección del valor X tal serie puede converger o divergir. Sólo las series convergentes tienen valor práctico, por lo que es importante determinar esos valores X , para lo cual la serie funcional se convierte en una serie numérica convergente.

Definición 40.2. Muchos valores X , sustituyendo cuál en la serie funcional (40.1) se obtiene una serie numérica convergente, se llamaregión de convergenciafila funcional.

Definición 40.3. Función s(x), definido en el rango de convergencia de la serie, que para cada valor X de la región de convergencia es igual a la suma de la serie numérica correspondiente obtenida de (40.1) para un valor dado x se llama la suma de la serie funcional.

Ejemplo. Encontremos la región de convergencia y la suma de la serie funcional.

1 + x + x ² +…+ x n +…

Cuando | X | ≥ 1, por lo que las series numéricas correspondientes divergen. Si

| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Por tanto, el rango de convergencia de la serie es el intervalo (-1, 1), y su suma tiene la forma indicada.

Comentario . Al igual que con las series numéricas, podemos introducir el concepto de suma parcial de una serie funcional:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

y el resto de la serie: r n = s s n .

Convergencia uniforme de una serie funcional.

Primero definamos el concepto de convergencia uniforme de una secuencia numérica.

Definición 40.4. Secuencia de funciones f n (x ) se llama convergente uniformemente a la función f en el conjunto X si y

Observación 1. Denotaremos la convergencia habitual de una secuencia funcional y la convergencia uniforme - .

Observación 2 . Notemos una vez más la diferencia fundamental entre convergencia uniforme y convergencia ordinaria: en el caso de la convergencia ordinaria, para un valor elegido de ε, para cada uno existe tu numero n para cual norte > norte se cumple la siguiente desigualdad:

En este caso, puede resultar que para un ε dado el número general NORTE, asegurar el cumplimiento de esta desigualdad para cualquier X , imposible. En el caso de convergencia uniforme, tal número N, común a todo x, existe.

Definamos ahora la noción de convergencia uniforme de una serie funcional. Dado que cada serie corresponde a una secuencia de sus sumas parciales, la convergencia uniforme de una serie se define en términos de la convergencia uniforme de esta secuencia:

Definición 40.5. La serie funcional se llamauniformemente convergente en el conjunto X, si en X la secuencia de sus sumas parciales converge uniformemente.

Signo de Weierstrass

Teorema 40.1. Si la serie numérica converge para todos y para todos norte = 1, 2,…, entonces la serie converge absoluta y uniformemente en el conjunto X.

Prueba.

Para cualquier ε > 0 c hay tal numero N, por eso

Para los restos r n serie, la estimación

Por tanto, la serie converge uniformemente.

Comentario. El procedimiento para seleccionar una serie numérica que cumpla las condiciones del teorema 40.1 suele denominarse mayorización , y esta serie en sí mayorante para este rango funcional.

Ejemplo. Para la serie funcional, el mayor para cualquier valor. X es una serie positiva convergente. Por tanto, la serie original converge uniformemente en (-∞, +∞).

Propiedades de series uniformemente convergentes.

Teorema 40.2. Si funciones u n (x ) son continuas en y la serie converge uniformemente en X, entonces su suma s (x) también es continua en el punto x0.

Prueba.

Elegimos ε > 0. Entonces, por lo tanto, existe un número n 0 eso

- la suma de un número finito de funciones continuas, por lo quecontinuo en el punto x0. Por lo tanto, existe δ > 0 tal que Entonces obtenemos:

Es decir, la función s (x) es continua para x \u003d x 0.

Teorema 40.3. Sean las funciones u n (x ) son continuos en el segmento [ a, b ] y la serie converge uniformemente en este segmento. Entonces la serie también converge uniformemente en [ a , b ] y (40.2)

(es decir, bajo las condiciones del teorema, la serie se puede integrar término por término).

Prueba.

Según el teorema 40.2, la función s(x) = continua en [a, b ] y, por tanto, es integrable en ella, es decir, existe la integral en el lado izquierdo de la igualdad (40.2). Demostremos que la serie converge uniformemente a la función

Denotar

Entonces para cualquier ε hay un número N , que para n > N

Por tanto, la serie converge uniformemente y su suma es igual a σ ( x ) = .

El teorema ha sido demostrado.

Teorema 40.4. Sean las funciones u n (x ) son continuamente diferenciables en el intervalo [ a, b ] y una serie compuesta por sus derivados:

(40.3)

converge uniformemente en [ a, b ]. Entonces, si la serie converge al menos en un punto, entonces converge uniformemente en todos [ a , b ], su suma s (x )= es una función continuamente diferenciable y

(la serie se puede diferenciar término por término).

Prueba.

Definamos la función σ( X ) Cómo. Según el teorema 40.3, la serie (40.3) se puede integrar término por término:

La serie del lado derecho de esta igualdad converge uniformemente en [ a, b ] por el teorema 40.3. Pero la serie numérica converge según la condición del teorema, por tanto, la serie converge uniformemente. Entonces la Función σ( t ) es la suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas en [ a, b ] y, por tanto, es en sí mismo continuo. Entonces la función es continuamente diferenciable en [ a, b ], y, según sea necesario para probar.

Definición 41.1. poder siguiente se llama serie funcional de la forma

(41.1)

Comentario. Por reemplazo x x 0 = t la serie (41.1) se puede reducir a la forma, por lo que basta demostrar todas las propiedades de las series de potencias para series de la forma

(41.2)

Teorema 41.1 (primer teorema de Abel).Si la serie de potencias (41.2) converge en x \u003d x 0, entonces para cualquier x: | x |< | x 0 | La serie (41.2) converge absolutamente. Si la serie (41.2) diverge en x \u003d x 0, luego diverge para cualquier x : | x | > | x 0 |.

Prueba.

Si la serie converge, entonces hay una constante c > 0:

Por lo tanto, si bien la serie para | x |<| x 0 | converge porque es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Por tanto, la serie para | x |<| x 0 | converge absolutamente.

Si se sabe que la serie (41.2) diverge en x = x 0 , entonces no puede converger para | x | > | x0 | , ya que de lo demostrado anteriormente se seguiría que también converge en el punto x0.

Por lo tanto, si encuentras el mayor de los números x0 > 0 tal que (41.2) converge para x \u003d x 0, entonces la región de convergencia de esta serie, como se desprende del teorema de Abel, será el intervalo (- x0, x0 ), posiblemente incluyendo uno o ambos límites.

Definición 41.2. El número R ≥ 0 se llama radio de convergenciaserie de potencias (41.2) si esta serie converge pero diverge. Intervalo (- R, R) se llama intervalo de convergencia serie (41.2).

Ejemplos.

Para estudiar la convergencia absoluta de la serie utilizamos la prueba de d'Alembert: . Por lo tanto, la serie converge sólo cuando X = 0, y el radio de su convergencia es 0: R = 0.
Usando la misma prueba de d'Alembert, se puede demostrar que la serie converge para cualquier x eso es
Para una serie basada en la prueba de d'Alembert, obtenemos:

Por lo tanto, para 1< X < 1 ряд сходится, при

X< -1 и x > 1 diverge. En X = 1 obtenemos una serie armónica que, como sabes, diverge, y cuando X = -1 la serie converge condicionalmente según el criterio de Leibniz. Por tanto, el radio de convergencia de la serie considerada. R = 1, y el intervalo de convergencia es [-1, 1).

Fórmulas para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias.

Fórmula de d'Alembert.

Considere una serie de potencias y aplíquele la prueba de d'Alembert: para la convergencia de la serie, es necesario que, si existe, entonces el área de convergencia está determinada por la desigualdad, es decir

- (41.3)

La fórmula de d'Alembert.para calcular el radio de convergencia.

Fórmula de Cauchy-Hadamard.

Utilizando el criterio radical de Cauchy y razonando de manera similar, obtenemos que es posible establecer el área de convergencia de una serie de potencias como un conjunto de soluciones a la desigualdad, siempre que exista este límite y, en consecuencia, encontrar Una fórmula más para el radio de convergencia:

(41.4)

Fórmula de Cauchy-Hadamard.

Propiedades de las series de potencias.

Teorema 41.2 (segundo teorema de Abel). Si R el radio de convergencia de la serie (41.2) y esta serie converge en x = R , entonces converge uniformemente en el intervalo (- R, R).

Prueba.

La serie de signo positivo converge según el teorema 41.1. Por tanto, la serie (41.2) converge uniformemente en el intervalo [-ρ, ρ] según el teorema 40.1. De la elección de ρ se deduce que el intervalo de convergencia uniforme (- r, r ), lo cual estaba por demostrar.

Corolario 1 . En cualquier segmento que se encuentre completamente dentro del intervalo de convergencia, la suma de la serie (41.2) es una función continua.

Prueba.

Los términos de la serie (41.2) son funciones continuas y la serie converge uniformemente en el intervalo considerado. Entonces la continuidad de su suma se desprende del teorema 40.2.

Consecuencia 2. Si los límites de integración α, β se encuentran dentro del intervalo de convergencia de la serie de potencias, entonces la integral de la suma de la serie es igual a la suma de las integrales de los términos de la serie:

(41.5)

La prueba de esta afirmación se desprende del teorema 40.3.

Teorema 41.3. Si la serie (41.2) tiene un intervalo de convergencia (- R , R ), entonces la serie

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

obtenido por diferenciación término por término de la serie (41.2), tiene el mismo intervalo de convergencia (- R, R). Donde

φ΄ (х) = s΄ (x) para | x |< R , (41.7)

es decir, dentro del intervalo de convergencia, la derivada de la suma de una serie de potencias es igual a la suma de la serie obtenida por su diferenciación término por término.

Prueba.

Elegimos ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Entonces la serie converge, por lo tanto, es decir, si| x | ≤ ρ, entonces

Donde Así, los términos de la serie (41.6) son menores en valor absoluto que los términos de la serie de signo positivo, que converge según la prueba de d'Alembert:

es decir, es la mayorante de la serie (41.6) en Por tanto, la serie (41.6) converge uniformemente en [-ρ, ρ]. Por tanto, según el teorema 40.4, la igualdad (41.7) es verdadera. De la elección de ρ se deduce que la serie (41.6) converge en cualquier punto interior del intervalo (- R, R).

Demostremos que la serie (41.6) diverge fuera de este intervalo. De hecho, si convergiera en x1 > R , luego, integrándolo término por término en el intervalo (0, x 2 ), R< x 2 < x 1 , obtendríamos que la serie (41.2) converge en el punto x2 , lo que contradice la condición del teorema. Por tanto, el teorema queda completamente demostrado.

Comentario . La serie (41.6), a su vez, se puede diferenciar término a término y esta operación se puede realizar tantas veces como se desee.

Conclusión: si la serie de potencias converge en el intervalo (- r, r ), entonces su suma es una función que tiene derivadas de cualquier orden dentro del intervalo de convergencia, cada una de las cuales es la suma de una serie obtenida del original usando diferenciación término por término el número correspondiente de veces; mientras que el intervalo de convergencia para una serie de derivadas de cualquier orden es (- R, R).

Departamento de Informática y Matemáticas Superiores, KSPU

Tema 2. Series funcionales. Serie de potencia

2.1. Filas funcionales

Hasta ahora hemos considerado series cuyos miembros eran números. Pasemos ahora al estudio de series cuyos miembros son funciones.

Rango funcional se llama fila

cuyos miembros son funciones del mismo argumento definido en el mismo conjunto E.

Por ejemplo,

1.
;

2.
;

Si damos un argumento X algún valor numérico
,
, entonces obtenemos una serie numérica

que pueden converger (convergir absolutamente) o divergir.

Estoy gordo
la serie numérica resultante converge, entonces el punto
llamadopunto de convergencia fila funcional. El conjunto de todos los puntos de convergencia se llamaregión de convergencia fila funcional. Denotamos el área de convergencia. X, obviamente,
.

Si para series numéricas positivas se plantea la pregunta: "¿La serie converge o diverge?", para series de signo-variable, la pregunta es: "¿Converge como - condicional o absolutamente, - o diverge?", Entonces para la funcional serie la pregunta principal es: “Converge (converge absolutamente) en qué X?».

Rango funcional
establece una ley según la cual cada valor del argumento
,
, se le asigna un número igual a la suma de la serie numérica
. Así, en el plató X la función está dada
, Lo que es llamado la suma de la serie funcional.

Ejemplo 16

Encuentra el área de convergencia de una serie funcional.

Solución.

Dejar X es un número fijo, entonces esta serie puede considerarse como una serie numérica con signo positivo para
y alternando en
.

Hagamos una serie de valores absolutos de los miembros de esta serie:

es decir, por cualquier valor X este límite es menor que uno, lo que significa que esta serie converge, y absolutamente (ya que estudiamos una serie de valores absolutos de los términos de la serie) en todo el eje real.

Por tanto, la región de convergencia absoluta es el conjunto
.

Ejemplo 17.

Encuentra el área de convergencia de una serie funcional.
.

Solución.

Dejar X es un numero fijo
, entonces esta serie puede considerarse como una serie numérica con signo positivo para
y alternando en
.

Considere una serie de valores absolutos de los miembros de esta serie:

y aplicarle la prueba de DAlembert.

Según la prueba de DAlembert, la serie converge si el valor límite es menor que uno, es decir esta serie convergerá si
.

Resolviendo esta desigualdad, obtenemos:


.

Así, en , la serie compuesta por los valores absolutos de los términos de esta serie converge, lo que significa que la serie original converge absolutamente, y en
esta serie diverge.

En
la serie puede converger o divergir, ya que para estos valores X el valor límite es igual a uno. Por tanto, estudiamos adicionalmente la convergencia de la serie de puntos.
Y
.

Sustituyendo en esta fila
, obtenemos una serie numérica
, de la cual se sabe que es una serie armónica divergente, entonces el punto
es el punto de divergencia de la serie dada.

En
se obtiene una serie de números alternos

que se sabe que converge condicionalmente (ver Ejemplo 15), por lo que el punto
es el punto de convergencia condicional de la serie.

Por tanto, la región de convergencia de esta serie es y la serie converge absolutamente en .

Rango funcional

llamadodominado en algún rango de x, si existe una serie positiva convergente

que para toda x del área dada la condición
en
. Fila
llamadomayorante.

En otras palabras, una serie está dominada si cada uno de sus términos no es mayor en valor absoluto que el término correspondiente de alguna serie convergente de signo positivo.

Por ejemplo, una fila

está dominado por cualquier X, porque para todos X la relación

en
,

y una fila se sabe que es convergente.

TeoremaWeierstrass

Una serie dominada en algún dominio converge absolutamente en ese dominio.

Consideremos, por ejemplo, la serie funcional
. Esta serie está dominada por
, porque en
los términos de la serie no exceden los miembros correspondientes de la serie positiva . Por tanto, según el teorema de Weierstrass, la serie funcional considerada converge absolutamente para
.

2.2. Serie de potencia. El teorema de Abel. Dominio de convergencia de una serie de potencias.

Entre la variedad de series funcionales, las más importantes desde el punto de vista de la aplicación práctica son las series de potencia y trigonométricas. Echemos un vistazo más de cerca a estas filas.

poder siguiente por grados
se llama serie funcional de la forma

Dónde es un numero fijo
son números llamados coeficientes de la serie.

En
obtenemos una serie de potencias en potencias X, que parece

Por simplicidad, consideraremos series de potencias en potencias. X, ya que de tal serie es fácil obtener una serie en potencias
, sustituyendo en su lugar X expresión
.

La simplicidad e importancia de la clase de series de potencias se debe principalmente al hecho de que la suma parcial de una serie de potencias

es un polinomio, una función cuyas propiedades están bien estudiadas y cuyos valores se calculan fácilmente utilizando únicamente operaciones aritméticas.

Dado que las series de potencias son un caso especial de series funcionales, también es necesario que encuentren el área de convergencia. A diferencia de la región de convergencia de una serie funcional arbitraria, que puede ser un conjunto de forma arbitraria, la región de convergencia de una serie de potencias tiene una forma bien definida. Esto es lo que dice el siguiente teorema.

TeoremaAbel.

Si la serie de potencias
converge en algún valor
, entonces converge, y absolutamente, para todos los valores de x que satisfacen la condición
. Si la serie de potencias diverge en algún valor
, entonces también diverge para valores que satisfacen la condición
.

Del teorema de Abel se deduce que Todo puntos de convergencia de una serie de potencias en potencias X ubicado desde el origen de coordenadas más allá de cualquiera de los puntos de divergencia. Es obvio que los puntos de convergencia llenan un cierto vacío centrado en el origen. el teorema sobre la región de convergencia de una serie de potencias es válido.

Teorema.

Para cualquier serie de potencias
hay un numeroR (R>0)tal que para todo x que se encuentre dentro del intervalo
, la serie converge absolutamente y para todo x que se encuentra fuera del intervalo
, la serie diverge.

NúmeroRllamadoradio de convergencia series de potencias y el intervalo
– intervalo de convergencia Serie de potencias en potencias de x.

Tenga en cuenta que el teorema no dice nada sobre la convergencia de la serie en los extremos del intervalo de convergencia, es decir en puntos
. En estos puntos, diferentes series de potencias se comportan de manera diferente: la serie puede converger (absolutamente o condicionalmente) o puede divergir. Por tanto, la convergencia de la serie en estos puntos debe comprobarse directamente por definición.

En casos particulares, el radio de convergencia de la serie puede ser igual a cero o infinito. Si
, entonces la serie de potencias en potencias X converge en un solo punto
; si
, entonces la serie de potencias converge en todo el eje real.

Nuevamente, observe que la serie de potencias
por grados
se puede reducir a una serie de potencias
por reemplazo
. si la fila
converge en
, es decir. Para
, luego después de la sustitución inversa obtenemos

 o
.

Por tanto, el intervalo de convergencia de la serie de potencias
tiene la forma
. Punto llamado centro de convergencia. Para mayor claridad, se acostumbra representar el intervalo de convergencia en el eje numérico (Figura 1)

Por tanto, la región de convergencia consiste en el intervalo de convergencia, al que se pueden agregar puntos
si la serie converge en estos puntos. El intervalo de convergencia se puede encontrar aplicando directamente la prueba de DAlembert o la prueba radical de Cauchy a una serie compuesta por los valores absolutos de los miembros de esta serie.

Ejemplo 18.

Encuentra el área de convergencia de una serie.
.

Solución.

Esta serie es una serie de potencias en potencias. X, es decir.
. Considere una serie compuesta por los valores absolutos de los miembros de esta serie y utilice la prueba de dAlembert.

La serie convergerá si el valor límite es menor que 1, es decir

, dónde
.

Por tanto, el intervalo de convergencia de esta serie
, radio de convergencia
.

Estudiamos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo, en los puntos
. Sustituyendo en esta serie el valor
, obtenemos la serie

La serie resultante es una serie armónica divergente, por lo tanto, en el punto
la serie diverge, entonces el punto
no está incluido en la región de convergencia.

En
obtenemos una serie alterna

que es condicionalmente convergente (Ejemplo 15), de ahí el punto
– punto de convergencia (condicional).

Por tanto, la región de convergencia de la serie.
, y en el punto
la serie converge condicionalmente y en otros puntos, absolutamente.

Al razonamiento utilizado para resolver el ejemplo se le puede dar un carácter general.

Considere la serie de potencias

Hagamos una serie de valores absolutos de los miembros de la serie y apliquémosle el signo de D "Alembert.

Si hay un límite (finito o infinito), entonces, según la condición de convergencia de la prueba de d'Alembert, la serie convergerá si

De aquí, de la definición del intervalo y radio de convergencia, tenemos

Aplicando el criterio radical de Cauchy y razonando de manera similar, se puede obtener otra fórmula para encontrar el radio de convergencia.

Ejemplo 19

Solución.

La serie es una serie de potencias en potencias. X. Para encontrar el intervalo de convergencia, calculamos el radio de convergencia usando la fórmula anterior. Para una serie dada, la fórmula del coeficiente numérico tiene la forma

, Entonces

Por eso,

Porque R = , entonces la serie converge (absolutamente) para todos los valores X, aquellos. región de convergencia X (–; +).

Tenga en cuenta que sería posible encontrar el área de convergencia sin utilizar fórmulas, sino aplicando directamente el signo D "Alembert:

Dado que el valor del límite no depende de X y menor que 1, entonces la serie converge para todos los valores X, aquellos. en X(-;+).

Ejemplo 20

Encuentra el área de convergencia de una serie.

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + PAG!(X + 5) PAG +...

Solución .

x + 5), aquellos. centro de convergencia X 0 = - 5. Coeficiente numérico de la serie. A PAG = norte!.

Encuentra el radio de convergencia de la serie.

Por tanto, el intervalo de convergencia consta de un punto: el centro del intervalo de convergencia. x = - 5.

Ejemplo 21

Encuentra el área de convergencia de una serie.
.

Solución.

Esta serie es una serie de potencias en potencias ( X–2), aquellos.

centro de convergencia X 0 = 2. Tenga en cuenta que la serie tiene signo positivo para cualquier valor fijo. X, porque la expresión ( X- 2) elevado a la potencia de 2 PAG. Apliquemos el criterio radical de Cauchy a la serie.

La serie convergerá si el valor límite es menor que 1, es decir

,
,
,

entonces el radio de convergencia
, entonces la integral de convergencia

,
.

Por tanto, la serie converge absolutamente para X
. Tenga en cuenta que la integral de convergencia es simétrica con respecto al centro de convergencia. X oh = 2.

Estudiemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.

Asumiendo
, obtenemos una serie numérica de signo positivo

Utilizamos el criterio de convergencia necesario:

por lo tanto, la serie numérica diverge y el punto
es el punto de divergencia. Tenga en cuenta que el segundo límite notable se utilizó en el cálculo del límite.

Asumiendo
, obtenemos la misma serie numérica (¡compruébalo tú mismo!), así que el punto
tampoco está incluido en el intervalo de convergencia.

Entonces, la región de convergencia absoluta de esta serie X
.

2.3. Propiedades de las series de potencias convergentes.

Sabemos que una suma finita de funciones continuas es continua; la suma de funciones diferenciables es diferenciable y la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas; la suma final se puede integrar término por término.

Resulta que para "sumas infinitas" de funciones, series funcionales, en el caso general, las propiedades no tienen lugar.

Por ejemplo, considere la serie funcional

Obviamente, todos los miembros de la serie son funciones continuas. Encontremos la región de convergencia de esta serie y su suma. Para ello encontramos las sumas parciales de la serie.

entonces la suma de la serie

Entonces la suma S(X) de esta serie, como límite de una secuencia de sumas parciales, existe y es finita para X (-1;1), por tanto, este intervalo es la región de convergencia de la serie. Además, su suma es una función discontinua, ya que

Entonces, este ejemplo muestra que, en el caso general, las propiedades de las sumas finitas no tienen análogos para las sumas infinitas: las series. Sin embargo, para un caso especial de series funcionales (series de potencias), las propiedades de la suma son similares a las propiedades de las sumas finitas.

Rango funcional se llama expresión escrita formalmente

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu norte ( X) + ... , (1)

Dónde tu1 (X), tu 2 (X), tu 3 (X), ..., tu norte ( X), ... - secuencia de funciones de una variable independiente X.

Una notación abreviada de una serie funcional con sigma:.

Ejemplos de series funcionales son :

(2)

(3)

Dando la variable independiente X algún valor X0 y sustituyéndolo en la serie funcional (1), obtenemos una serie numérica

tu1 (X 0 ) + tu 2 (X 0 ) + tu 3 (X 0 ) + ... + tu norte ( X 0 ) + ...

Si la serie numérica obtenida converge, entonces se dice que la serie funcional (1) converge para X = X0 ; si diverge, lo que se dice que la serie (1) diverge en X = X0 .

Ejemplo 1. Investigar la convergencia de una serie funcional.(2) para valores X= 1 y X = - 1 .
Solución. En X= 1 obtenemos una serie numérica

que converge según la prueba de Leibniz. En X= - 1 obtenemos una serie numérica

que diverge como producto de una serie armónica divergente por – 1. Por lo tanto, la serie (2) converge en X= 1 y diverge en X = - 1 .

Si tal prueba de convergencia de la serie funcional (1) se lleva a cabo con respecto a todos los valores de la variable independiente del dominio de definición de sus miembros, entonces los puntos de este dominio se dividirán en dos conjuntos: con valores X tomada en uno de ellos, la serie (1) converge y en el otro diverge.

El conjunto de valores de una variable independiente para el cual converge la serie funcional se llama su región de convergencia .

Ejemplo 2. Encuentra el área de convergencia de una serie funcional.

Solución. Los miembros de la serie se definen en toda la recta numérica y forman una progresión geométrica con un denominador. q= pecado X. Entonces la serie converge si

y diverge si

(los valores no son posibles). Pero por valores y por otros valores X. Por lo tanto, la serie converge para todos los valores. X, excepto . La región de su convergencia es la recta numérica completa, a excepción de estos puntos.

Ejemplo 3. Encuentra la región de convergencia de una serie funcional.

Solución. Los términos de la serie forman una progresión geométrica con denominador. q=ln X. Por tanto, la serie converge si , o , de donde . Esta es la región de convergencia de esta serie.

Ejemplo 4. Investigar la convergencia de una serie funcional.

Solución. Tomemos un valor arbitrario. Con este valor obtenemos una serie numérica.

(*)

Encuentra el límite de su término común.

En consecuencia, la serie (*) diverge para un elegido arbitrariamente, es decir. por cualquier valor X. El dominio de su convergencia es el conjunto vacío.

Convergencia uniforme de una serie funcional y sus propiedades.

Pasemos al concepto. convergencia uniforme de la serie funcional . Dejar s(X) es la suma de esta serie, y snorte ( X) - suma norte los primeros miembros de esta serie. Rango funcional tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu norte ( X) + ... se llama uniformemente convergente en el intervalo [ a, b] , si por cualquier número arbitrariamente pequeño ε > 0 existe tal número norte, que para todos norte ≥ norte la desigualdad será satisfecha

|s(X) − s norte ( X)| < ε

para cualquiera X del segmento [ a, b] .

La propiedad anterior se puede ilustrar geométricamente de la siguiente manera.

Considere la gráfica de la función. y = s(X) . Construimos una franja de ancho 2 alrededor de esta curva. ε norte, es decir, construimos curvas y = s(X) + ε norte Y y = s(X) − ε norte(son verdes en la imagen de abajo).

Entonces para cualquier ε norte gráfico de funciones snorte ( X) recaerá enteramente en la banda considerada. La misma banda contendrá gráficos de todas las sumas parciales posteriores.

Cualquier serie funcional convergente que no tenga la característica descrita anteriormente no es uniformemente convergente.

Considere una propiedad más de las series funcionales uniformemente convergentes:

la suma de una serie de funciones continuas que converge uniformemente en algún intervalo [ a, b] , hay una función que es continua en este segmento.

Ejemplo 5 Determinar si la suma de una serie funcional es continua.