Ang mga vector ay maaaring graphical na kinakatawan ng mga segment ng direksyon ng linya. Ang haba ay pinili sa isang tiyak na sukat upang ipahiwatig ang laki ng vector , at kinakatawan ng direksyon ng segment direksyon ng vector . Halimbawa, kung ipagpalagay natin na ang 1 cm ay kumakatawan sa 5 km/h, ang hanging hilagang-silangan na 15 km/h ay kakatawanin ng isang 3 cm na direksyong linya, tulad ng ipinapakita sa figure.

Vector sa eroplano ito ay isang nakadirekta na segment. Dalawang vector pantay kung mayroon silang pareho halaga at direksyon.

Isaalang-alang ang isang vector na iginuhit mula sa punto A hanggang sa punto B. Ang punto ay tinatawag panimulang punto vector, at ang punto B ay tinatawag punto ng pagtatapos. Ang simbolikong notasyon para sa vector na ito ay (basahin bilang "vector AB"). Ang mga vector ay tinutukoy din ng mga bold na letra, tulad ng U, V, at W. Ang apat na vector sa figure sa kaliwa ay may parehong haba at direksyon. Samakatuwid sila ay kumakatawan pantay hangin; yan ay,

Sa konteksto ng mga vector, ginagamit namin ang = upang tukuyin ang kanilang pagkakapantay-pantay.

haba, o magnitude ipinahayag bilang ||. Upang matukoy kung ang mga vector ay pantay, makikita natin ang kanilang mga magnitude at direksyon.

Halimbawa 1 Ang mga vectors na u, , w ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Patunayan na u = w.

Solusyon Una naming mahanap ang haba ng bawat vector gamit ang formula ng distansya:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Mula rito
|u| = | = |w|.
Ang mga vectors na u, , at w, tulad ng nakikita mo mula sa figure, ay tila may parehong direksyon, ngunit susuriin namin ang kanilang slope. Kung ang mga linya na kanilang kinaroroonan ay may parehong slope, kung gayon ang mga vector ay may parehong direksyon. Kalkulahin ang mga slope:
Dahil ang u, , at w ay may parehong magnitude at parehong direksyon,
u = w.

Tandaan na ang mga pantay na vector ay nangangailangan lamang ng parehong magnitude at parehong direksyon, hindi sa parehong lugar. Ang pinakamataas na pigura ay isang halimbawa ng pagkakapantay-pantay ng mga vector.

Ipagpalagay na ang isang tao ay 4 na hakbang sa silangan at pagkatapos ay 3 hakbang sa hilaga. Ang tao ay magiging 5 hakbang ang layo mula sa panimulang punto sa direksyon na ipinapakita sa kaliwa. Ang vector na 4 na unit ang haba at may tamang direksyon ay kumakatawan sa 4 na hakbang sa silangan at ang isang vector na 3 unit ang haba pataas ay kumakatawan sa 3 hakbang sa hilaga. Sum sa dalawang vector na ito ay isang vector na may 5 hakbang ng magnitude at sa direksyon na ipinapakita. Ang halaga ay tinatawag din nagreresulta dalawang vector.

Sa pangkalahatan, ang dalawang di-zero na vector na u at v ay maaaring idagdag sa geometriko na paraan sa pamamagitan ng pagpoposisyon sa panimulang punto ng vector v sa dulong punto ng vector u, at pagkatapos ay paghahanap ng isang vector na may parehong panimulang punto ng vector u at ang parehong punto ng pagtatapos. bilang vector v tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba.

Ang kabuuan ay isang vector na kinakatawan ng isang nakadirekta na segment mula sa point A ng vector u hanggang sa end point C ng vector v. Kaya, kung u = at v = , kung gayon
u+v=+=

Maaari din nating ilarawan ang pagdaragdag ng vector bilang paglalagay ng mga panimulang punto ng mga vector nang magkasama, pagbuo ng paralelogram, at paghahanap ng dayagonal ng paralelogram. (nakalarawan sa ibaba.) Ang karagdagan na ito ay minsang tinutukoy bilang tuntunin ng paralelogram pagdaragdag ng mga vector. Ang pagdaragdag ng vector ay commutative. Tulad ng ipinapakita sa figure, ang parehong mga vector u + v at v + u ay kinakatawan ng parehong nakadirekta na segment.

Kung ang dalawang puwersa F 1 at F 2 ay kumilos sa parehong bagay, nagreresulta Ang puwersa ay ang kabuuan ng F 1 + F 2 ng dalawang magkahiwalay na puwersang ito.

Halimbawa Dalawang puwersa ng 15 newtons at 25 newtons ang kumikilos sa parehong bagay na patayo sa bawat isa. Hanapin ang kanilang kabuuan, o nagreresultang puwersa, at ang anggulo na ginagawa nito sa mas malaking puwersa.

Solusyon Iguhit natin ang kondisyon ng problema, sa kasong ito ay isang parihaba, gamit ang v o upang kumatawan sa resulta. Upang mahanap ang halaga nito, ginagamit namin ang Pythagorean theorem:
|v| 2 = 152 + 252 Dito |v| nagsasaad ng haba o magnitude ng v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29.2.
Upang mahanap ang direksyon, tandaan na dahil ang OAB ay isang tamang anggulo,
tanθ = 15/25 = 0.6.
Gamit ang isang calculator, makikita natin ang θ, ang anggulo na ginagawa ng malaking puwersa gamit ang net force:
θ = tan - 1 (0.6) ≈ 31°
Ang resulta ay may magnitude na 29.2 at isang anggulo na 31° na may mas malaking puwersa.

Maaaring itama ng mga piloto ang direksyon ng kanilang paglipad kung mayroong hangin sa gilid. Ang bilis ng hangin at sasakyang panghimpapawid ay maaaring ilarawan bilang hangin.

Halimbawa 3. Bilis at direksyon ng sasakyang panghimpapawid. Ang sasakyang panghimpapawid ay gumagalaw sa isang azimuth na 100° sa bilis na 190 km/h, habang ang bilis ng hangin ay 48 km/h at ang azimuth nito ay 220°. Hanapin ang ganap na bilis ng sasakyang panghimpapawid at ang direksyon ng paggalaw nito, na isinasaalang-alang ang hangin.

Solusyon Mag drawing muna tayo. Ang hangin ay kinakatawan at ang velocity vector ng sasakyang panghimpapawid ay . Ang resultang velocity vector ay v, ang kabuuan ng dalawang vectors. Ang anggulo θ sa pagitan ng v at ay tinatawag drift angle .


Tandaan na ang COA = 100° - 40° = 60°. Kung gayon ang halaga ng CBA ay katumbas din ng 60° (ang mga magkasalungat na anggulo ng parallelgram ay pantay). Dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng isang paralelogram ay 360° at ang COB at OAB ay magkaparehong magnitude, ang bawat isa ay dapat na 120°. Sa pamamagitan ng panuntunan ng cosine sa OAB, meron kami
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = 218
Pagkatapos |v| katumbas ng 218 km/h. Ayon kay panuntunan ng sine , sa parehong tatsulok,
48 / kasalananθ = 218 /kasalanan 120°,
o
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Pagkatapos, θ = 11°, sa pinakamalapit na anggulo ng integer. Ang ganap na bilis ay 218 km / h, at ang direksyon ng paggalaw nito, na isinasaalang-alang ang hangin: 100 ° - 11 °, o 89 °.

Dahil sa isang vector w, makakahanap tayo ng dalawa pang vector na u at v na ang kabuuan ay w. Ang mga vectors na u at v ay tinatawag mga bahagi w at ang proseso ng paghahanap sa kanila ay tinatawag pagkabulok , o isang representasyon ng isang vector sa pamamagitan ng mga bahagi ng vector nito.

Kapag nabubulok natin ang isang vector, kadalasan ay naghahanap tayo ng mga perpendikular na bahagi. Kadalasan, gayunpaman, ang isang bahagi ay magiging parallel sa x-axis at ang isa ay parallel sa y-axis. Samakatuwid, madalas silang tinatawag pahalang at patayo mga bahagi ng vector. Sa figure sa ibaba, ang vector w = ay nabubulok bilang kabuuan ng u = at v = .

Ang pahalang na bahagi ng w ay u at ang patayong bahagi ay v.

Halimbawa 4 Ang w vector ay may magnitude na 130 at isang slope na 40° na may kaugnayan sa pahalang. I-decompose ang vector sa pahalang at patayong mga bahagi.

Solusyon Una gumuhit kami ng isang larawan na may pahalang at patayong mga vector u at v, na ang kabuuan ay w.

Mula sa ABC, nakita namin ang |u| at |v| gamit ang mga kahulugan ng cosine at sine:
cos40° = |u|/130, o |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, o |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Pagkatapos, ang horizontal w component ay 100 sa kanan at ang vertical w component ay 84 pataas.

"Geometry "Lugar ng trapezoid"" - Mag-isip. Ang lugar ng trapezoid. AH=. 1. AD = 4 cm Base. Hanapin ang lugar ng trapezoid ABCD. Hanapin ang lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid. Geometry. Ulitin ang patunay ng teorama. Hatiin ang polygon sa mga tatsulok. Problema sa isang solusyon.

"Pagpapasiya ng axial symmetry" - Bumuo ng mga puntos A "at B". Axial symmetry. Pigura. Nawawalang mga coordinate. Pagbuo ng isang segment. Segment ng linya. Axis ng simetrya. Symmetry sa tula. Konstruksyon ng isang tatsulok. Mga puntong nakahiga sa parehong patayo. Pagbuo ng isang punto. Simetrya. Mga tatsulok. Bumuo ng mga tatsulok. Gumuhit ng punto. Plot points. Mga figure na may isang axis ng symmetry. Diretso. Mga figure na may dalawang axes ng symmetry. Symmetry sa kalikasan.

"Quadangles, ang kanilang mga palatandaan at katangian" - Mga Pagsusuri. Mga sulok ng rhombus. Isang parihaba na pantay ang lahat ng panig. Mga uri ng quadrilaterals. Alamin ang tungkol sa mga uri ng quadrilaterals. Isang quadrilateral na ang mga vertex ay nasa gitnang mga punto ng mga gilid. Quadrangles. Quadrilaterals, ang kanilang mga palatandaan at katangian. Trapeze. Paralelogram. Mga katangian ng paralelogram. Mga dayagonal. Anong dalawang pantay na tatsulok ang maaaring bumuo ng isang parisukat? Parihaba. Square. Mga uri ng trapezoid.

"Theorem of the inscribed angle" - Ang pag-aaral ng bagong materyal. Magsalubong ang mga bilog. Sagot. Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral. Suriin ang iyong sarili. Radius ng bilog. Tamang sagot. Ang radius ng bilog ay 4 cm. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal. Matalim na sulok. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga chord. Tatsulok. Inscribed angle theorem. Ang konsepto ng isang inscribed na anggulo. Hanapin ang anggulo sa pagitan nila. Ano ang pangalan ng anggulo na may vertex sa gitna ng bilog? Solusyon. Pag-update ng kaalaman.

"Paggawa ng isang padaplis sa isang bilog" - Circle. Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang bilog. Bilog at linya. diameter. Mga karaniwang puntos. Chord. Solusyon. May isa ang bilog at linya pangkaraniwang punto. Tangent sa isang bilog. Pag-uulit. Tangent segment theorem.

"Geometry "Similar Triangles"" - Dalawang tatsulok ang tinatawag na magkatulad. Mga halaga ng sine, cosine at tangent para sa 30°, 45°, 60° anggulo. Hanapin ang lugar ng isosceles right triangle. Theorem sa ratio ng mga lugar ng magkatulad na triangles. Katulad na mga tatsulok. Ang pangalawang tanda ng pagkakatulad ng mga tatsulok. Pagpapatuloy ng mga panig. Mga halaga ng sine, cosine at tangent. proporsyonal na pagbawas. Ang dalawang gilid ng tatsulok ay konektado sa pamamagitan ng isang segment na hindi parallel sa pangatlo.

Ang kabanatang ito ay nakatuon sa pagbuo ng vector apparatus ng geometry. Gamit ang mga vector, maaari mong patunayan ang mga theorems at malutas mga problemang geometriko. Ang mga halimbawa ng paggamit na ito ng mga vector ay ibinigay sa kabanatang ito. Ngunit ang pag-aaral ng mga vector ay kapaki-pakinabang din dahil malawak itong ginagamit sa pisika upang ilarawan ang iba't ibang mga pisikal na dami, tulad ng, halimbawa, bilis, acceleration, puwersa.

marami pisikal na dami, halimbawa, puwersa, pag-aalis ng isang materyal na punto, bilis, ay nailalarawan hindi lamang sa pamamagitan ng kanilang numerical na halaga, kundi pati na rin sa kanilang direksyon sa espasyo. Ang mga pisikal na dami ay tinatawag dami ng vector(o maikli mga vector).

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hayaang kumilos ang isang puwersa ng 8 N sa katawan. Sa figure, ang puwersa ay kinakatawan ng isang segment na may isang arrow (Larawan 240). Ang arrow ay nagpapahiwatig ng direksyon ng puwersa, at ang haba ng segment ay tumutugma sa numerical na halaga ng puwersa sa napiling sukat. Kaya, sa figure 240, ang isang puwersa ng 1 N ay ipinapakita bilang isang segment na 0.6 cm ang haba, samakatuwid ang isang puwersa ng 8 N ay inilalarawan bilang isang segment na 4.8 cm ang haba.

kanin. 240

Pag-abstract mula sa mga partikular na katangian ng mga pisikal na dami ng vector, dumating tayo sa geometric na konsepto ng isang vector.

Isaalang-alang ang isang arbitrary na segment. Tinatawag din ang mga dulo nito mga boundary point ng segment.

Dalawang direksyon ang maaaring tukuyin sa isang segment: mula sa isang hangganan patungo sa isa pa at vice versa.

Para pumili ng isa sa mga direksyong ito, tinatawagan namin ang isang boundary point ng segment simula ng segment, at ang iba pa - dulo ng segment at ipagpalagay natin na ang segment ay nakadirekta mula sa simula hanggang sa wakas.

Kahulugan

Sa mga figure, ang isang vector ay inilalarawan bilang isang segment na may isang arrow na nagpapakita ng direksyon ng vector. Ang mga vector ay tinutukoy ng dalawang malalaking titik na Latin na may arrow sa itaas ng mga ito, halimbawa . Ang unang titik ay nagpapahiwatig ng simula ng vector, ang pangalawa - ang dulo (Larawan 242).

kanin. 242

Ang Figure 243, a ay nagpapakita ng mga vectors Ang mga puntong A, C, E ay ang mga simula ng mga vector na ito, at B, D, F ang kanilang mga dulo. Ang mga vector ay madalas na tinutukoy ng isang maliit na titik na Latin na may isang arrow sa itaas nito: (Larawan 243, b).

kanin. 243

Para sa mga sumusunod, nararapat na sumang-ayon na ang anumang punto ng eroplano ay isa ring vector. Sa kasong ito, ang vector ay tinatawag sero. Ang simula ng zero vector ay kasabay ng pagtatapos nito. Sa figure, ang naturang vector ay kinakatawan ng isang solong punto. Kung, halimbawa, ang puntong kumakatawan sa zero vector ay tinutukoy ng titik M, ang zero vector na ito ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: (Larawan 243, a). Ang zero vector ay tinutukoy din ng simbolo Sa Figure 243 vectors ay hindi zero, at ang vector ay zero.

Ang haba o modulus ng isang di-zero na vector ay ang haba ng segment na AB. Ang haba ng isang vector (vector ) ay tinutukoy bilang mga sumusunod: . Ang haba ng null vector ay itinuturing na zero:

Ang mga haba ng mga vector na ipinapakita sa mga figure 243, a at 243, 6 ay ang mga sumusunod:

(bawat cell sa figure 243 ay may gilid na katumbas ng yunit ng pagsukat ng mga segment).

Pagkakapantay-pantay ng vector

Bago tukuyin ang pantay na mga vector, tingnan natin ang isang halimbawa. Isaalang-alang ang paggalaw ng isang katawan kung saan ang lahat ng mga punto nito ay gumagalaw sa parehong bilis at sa parehong direksyon.

Ang bilis ng bawat punto M ng katawan ay isang dami ng vector, kaya maaari itong katawanin ng isang nakadirekta na segment, ang simula nito ay tumutugma sa punto M (Larawan 244). Dahil ang lahat ng mga punto ng katawan ay gumagalaw na may parehong bilis, lahat ng mga nakadirekta na mga segment na kumakatawan sa mga bilis ng mga puntong ito ay may parehong direksyon at ang kanilang mga haba ay pantay.

kanin. 244

Ang halimbawang ito ay nagsasabi sa amin kung paano matukoy ang pagkakapantay-pantay ng mga vector.

Ipakilala muna natin ang konsepto ng collinear vectors.

Ang mga di-zero na vector ay tinatawag collinear, kung sila ay nakahiga alinman sa parehong linya o sa parallel na linya; ang zero vector ay itinuturing na collinear sa anumang vector.

Sa Figure 245, ang mga vectors (vector zero) ay collinear, at ang mga vector at hindi rin collinear.

kanin. 245

Kung ang dalawang di-zero na vector at ay collinear, maaari silang idirekta sa parehong paraan o sa kabaligtaran. Sa unang kaso, ang mga vectors at tinatawag co-directional, at sa pangalawa magkasalungat na direksyon 1 .

Ang co-direction ng mga vectors at ay denoted bilang mga sumusunod: Kung ang mga vectors at oppositely directed, ito ay denoted bilang mga sumusunod: Figure 245 ay nagpapakita ng parehong co-directed at oppositely directed vectors:

Ang simula ng zero vector ay kasabay ng pagtatapos nito, kaya ang zero vector ay walang partikular na direksyon. Sa madaling salita, ang anumang direksyon ay maaaring ituring na direksyon ng zero vector. Sumasang-ayon kaming ipagpalagay na ang zero vector ay codirectional sa anumang vector. Kaya, sa figure 245, atbp.

Ang mga non-zero collinear vectors ay may mga katangian na inilalarawan sa Figure 246, a - c.




kanin. 246

Ibinibigay namin ngayon ang kahulugan ng pantay na mga vector.

Kahulugan

Kaya, ang mga vectors at ay pantay-pantay kung . Ang pagkakapantay-pantay ng mga vectors at tinutukoy bilang mga sumusunod:

Pagpapaliban ng isang vector mula sa isang naibigay na punto

Kung ang punto A ay ang simula ng vector, pagkatapos ay sinasabi nila iyon ang vector ay ipinagpaliban mula sa punto A(Larawan 247). Patunayan natin ang sumusunod na pahayag:

mula sa anumang punto M, maaari mong ipagpaliban ang isang vector na katumbas ng isang naibigay na vector, at higit pa rito, isa lamang.




kanin. 247

Sa katunayan, kung isang null vector, kung gayon ang kinakailangang vector ay ang vector . Ipagpalagay natin na ang vector ay hindi zero, at ang mga puntos na A at B ay ang simula at pagtatapos nito. Gumuhit tayo ng linyang p parallel sa AB sa pamamagitan ng puntong M (Larawan 248; kung ang M ay isang punto ng linyang AB, kunin natin ang linyang AB mismo bilang linya p). Sa linya p, isinantabi namin ang mga segment na MN at MN", katumbas ng segment na AB, at pumili mula sa mga vectors isa na co-directed sa vector (sa Figure 248 vector). Ang vector na ito ay ang gustong vector, katumbas ng vector . Ito ay sumusunod mula sa konstruksiyon na mayroon lamang isang tulad na vector.




kanin. 248

Magkomento

Ang mga pantay na vector na naka-plot mula sa iba't ibang mga punto ay madalas na tinutukoy ng parehong titik. Ito ay kung paano, halimbawa, ang pantay na bilis ng mga vector ng iba't ibang mga punto ay ipinahiwatig sa Figure 244. Minsan ang mga naturang vector ay sinasabing parehong vector, ngunit naka-plot mula sa iba't ibang mga punto.

Mga praktikal na gawain

738. Markahan ang mga puntong A, B at C na hindi nakalagay sa isang tuwid na linya. Iguhit ang lahat ng di-zero na vector na ang simula at wakas ay tumutugma sa alinman sa dalawa sa mga puntong ito. Isulat ang lahat ng mga resultang vector at ipahiwatig ang simula at dulo ng bawat vector.

739. Matapos pumili ng angkop na sukat, gumuhit ng mga vector na naglalarawan sa paglipad ng isang eroplano, una 300 km sa timog mula sa lungsod A hanggang B, at pagkatapos ay 500 km sa silangan mula sa lungsod B hanggang C. Pagkatapos ay gumuhit ng isang vector na naglalarawan ng paggalaw mula sa punto ng pagsisimula hanggang sa dulong punto.

740. Gumuhit ng mga vector upang:

741. Gumuhit ng dalawang non-collinear vectors at . Gumuhit ng ilang vectors: a) co-directional with the vector ; b) co-directional sa vector ; c) kabaligtaran na nakadirekta sa vector ; d) kabaligtaran na nakadirekta sa vector .

742. Gumuhit ng dalawang vectors: a) pagkakaroon pantay na haba at non-colinear; b) pagkakaroon ng pantay na haba at co-directional; c) pagkakaroon ng pantay na haba at magkasalungat na direksyon. Sa anong kaso ang mga nagresultang vector ay pantay?

Sagot Kung sakaling b).