PYTHAGOREAN PANTS SA LAHAT NG PANIG AY PANTAY

Ang mapanlinlang na pahayag na ito (na may buong pagpapatuloy: upang patunayan ito, kailangan mong alisin at ipakita), na imbento ng isang tao, na tila nabigla sa panloob na nilalaman ng isang mahalagang teorama ng Euclidean geometry, perpektong nagpapakita ng panimulang punto kung saan ang kadena ang ganap na simpleng mga pagmuni-muni ay mabilis na humahantong sa patunay ng teorama, pati na rin sa mas makabuluhang mga resulta. Ang teorama na ito, na iniuugnay sa sinaunang Greek mathematician na si Pythagoras ng Samos (ika-6 na siglo BC), ay kilala sa halos bawat mag-aaral at ganito ang tunog: ang parisukat ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Marahil marami ang sasang-ayon niyan geometric na pigura , na tinatawag na encryption na "Pythagorean pants are equal on all sides", ay tinatawag na square. Well, na may ngiti sa iyong mukha, magdagdag tayo ng isang hindi nakakapinsalang biro para sa kapakanan ng kung ano ang ibig sabihin sa pagpapatuloy ng naka-encrypt na panunuya. Kaya, "para patunayan ito, kailangan mong alisin at ipakita." Malinaw na ang "ito" - ang panghalip na tuwirang nangangahulugang ang teorama, "alisin" - ay upang makakuha ng kamay, kunin ang pinangalanang pigura, "ipakita" - nangangahulugang ang salitang "hawakan", dalhin ang ilang bahagi ng pigura sa contact. Sa pangkalahatan, ang "Pythagorean pants" ay tinawag na isang graphic na konstruksyon na mukhang pantalon, na nakuha sa pagguhit ng Euclid sa panahon ng isang napakahirap na patunay ng Pythagorean theorem. Nang matagpuan ang isang mas simpleng patunay, marahil ay ginawa ng ilang rhymer ang tongue twister-hint na ito upang hindi makalimutan ang simula ng diskarte sa patunay, at kumalat na ito sa buong mundo na parang walang laman na kasabihan. Kaya, kung kukuha ka ng isang parisukat, at maglagay ng isang mas maliit na parisukat sa loob nito upang ang kanilang mga sentro ay nag-tutugma, at paikutin ang mas maliit na parisukat hanggang sa ang mga sulok nito ay hawakan ang mga gilid ng mas malaking parisukat, pagkatapos ay sa mas malaking pigura ay magkakaroon ng 4 na magkaparehong right-angled triangles. na naka-highlight sa mga gilid ng mas maliit na parisukat. Mula rito, mayroon nang isang tuwid na linya na isang paraan upang patunayan ang isang kilalang teorama. Hayaang ang gilid ng mas maliit na parisukat ay ipahiwatig ng c. Ang gilid ng mas malaking parisukat ay a + b, at pagkatapos ay ang lugar nito ay (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2. Ang parehong lugar ay maaaring tukuyin bilang ang kabuuan ng lugar ng \u200b\ u200bang mas maliit na parisukat at ang mga lugar ng 4 na magkaparehong right triangle, iyon ay, bilang 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Naglalagay kami ng pantay na tanda sa pagitan ng dalawang kalkulasyon ng parehong lugar: a 2 +2ab+b 2 = 2ab+c 2. Matapos bawasan ang mga terminong 2ab, nakukuha natin ang konklusyon: ang parisukat ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, iyon ay, isang 2 + b 2 \u003d c 2. Hindi lahat ay agad na mauunawaan kung ano ang gamit ng theorem na ito. Mula sa praktikal na pananaw, ang halaga nito ay nakasalalay sa pagsisilbing batayan para sa maraming geometric na kalkulasyon, tulad ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga punto sa isang coordinate plane. Ang ilang mahahalagang formula ay hinango mula sa theorem, at ang mga generalization nito ay humahantong sa mga bagong theorems na nagtulay sa pagitan ng mga kalkulasyon sa eroplano at mga kalkulasyon sa kalawakan. Ang mga kahihinatnan ng theorem ay tumagos sa teorya ng numero, na nagpapakita ng mga indibidwal na detalye ng istraktura ng isang serye ng mga numero. At marami pang iba, hindi mo mailista lahat. Ang isang view mula sa punto ng view ng idle curiosity ay nagpapakita ng pagtatanghal ng mga nakakaaliw na problema sa pamamagitan ng theorem, na kung saan ay formulated sa isang lubhang naiintindihan na paraan, ngunit kung minsan ay matigas mani. Bilang isang halimbawa, sapat na upang banggitin ang pinakasimpleng sa kanila, ang tinatawag na tanong ng mga numero ng Pythagorean, na tinatanong sa pang-araw-araw na mga termino tulad ng sumusunod: posible bang magtayo ng isang silid, ang haba, lapad at dayagonal sa sahig kung saan ay sabay-sabay na susukatin lamang sa buong halaga, sabihin, sa mga hakbang? Ang kaunting pagbabago lamang sa tanong na ito ay maaaring maging lubhang mahirap sa gawain. At ayon dito, may mga nagnanais, dahil lamang sa siglang pang-agham, na subukan ang kanilang sarili sa paghahati sa susunod na palaisipan sa matematika. Isa pang pagbabago sa tanong - at isa pang palaisipan. Kadalasan, sa kurso ng paghahanap ng mga sagot sa naturang mga problema, ang matematika ay nagbabago, nakakakuha ng mga sariwang pananaw sa mga lumang konsepto, nakakakuha ng mga bagong sistematikong diskarte, at iba pa, na nangangahulugan na ang Pythagorean theorem, gayunpaman, tulad ng anumang iba pang kapaki-pakinabang na doktrina, ay hindi mas mababa. kapaki-pakinabang mula sa puntong ito. Ang matematika noong panahon ni Pythagoras ay hindi nakilala ang iba pang mga numero maliban sa mga makatwiran (mga natural na numero o mga fraction na may natural na numerator at denominator). Ang lahat ay sinusukat sa buong halaga o bahagi ng kabuuan. Samakatuwid, ang pagnanais na gumawa ng mga geometric na kalkulasyon, upang malutas ang mga equation nang higit pa at higit pa sa mga natural na numero ay naiintindihan. Ang pagkagumon sa kanila ay nagbubukas ng daan patungo sa hindi kapani-paniwalang mundo ng misteryo ng mga numero, na ang bilang nito ay nasa geometric na interpretasyon unang lumalabas bilang isang tuwid na linya na may walang katapusang bilang ng mga marka. Minsan ang ugnayan sa pagitan ng ilang mga numero sa serye, ang "linear na distansya" sa pagitan nila, ang proporsyon ay agad na nakakakuha ng mata, at kung minsan ang pinaka-kumplikadong mga konstruksyon ng kaisipan ay hindi nagpapahintulot sa amin na magtatag kung anong mga batas ang napapailalim sa pamamahagi ng ilang mga numero. Lumalabas na sa bagong mundo, sa "one-dimensional geometry" na ito, ang mga lumang problema ay nananatiling wasto, tanging ang kanilang pagbabalangkas ay nagbabago. Halimbawa, isang variant ng gawain tungkol sa mga numero ng Pythagorean: "Mula sa bahay, ang ama ay kumukuha ng x na hakbang ng x sentimetro bawat isa, at pagkatapos ay lumalakad sa mga hakbang na y sentimetro. Ang anak na lalaki ay naglalakad sa likuran niya ng z hakbang na z sentimetro bawat isa. Ano ang dapat ang laki ng kanilang mga hakbang upang sa ika-z na hakbang ay tumuntong ang bata sa bakas ng paa ng ama? Para sa kapakanan ng pagiging patas, kinakailangang tandaan ang ilang kahirapan para sa isang baguhan na matematiko ng Pythagorean na paraan ng pag-unlad ng pag-iisip. Ito ay isang espesyal na uri ng istilo ng pag-iisip ng matematika, kailangan mong masanay dito. Ang isang punto ay kawili-wili. Ang mga mathematician ng estado ng Babylonian (bumangon ito nang matagal bago ang kapanganakan ni Pythagoras, halos isa at kalahating libong taon bago siya) ay tila alam din ang ilang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga numero, na kalaunan ay naging kilala bilang mga Pythagorean. Natagpuan ang mga tapyas na cuneiform, kung saan isinulat ng mga pantas ng Babilonya ang mga triplet ng gayong mga bilang na kanilang natukoy. Ang ilang mga triple ay binubuo ng napakaraming bilang, na may kaugnayan sa kung saan ang ating mga kapanahon ay nagsimulang ipalagay na ang mga Babylonians ay may mahusay, at marahil kahit na simple, mga paraan ng pagkalkula sa kanila. Sa kasamaang palad, walang nalalaman tungkol sa mga pamamaraan mismo, o tungkol sa kanilang pag-iral.

Pythagorean pantalon Ang comic na pangalan ng Pythagorean theorem, na lumitaw dahil sa ang katunayan na ang mga parisukat na binuo sa mga gilid ng isang parihaba at diverging sa iba't ibang direksyon ay kahawig ng hiwa ng pantalon. Gustung-gusto ko ang geometry ... at sa pagsusulit sa pasukan sa unibersidad ay nakatanggap pa ako ng papuri mula kay Chumakov, isang propesor ng matematika, para sa pagpapaliwanag ng mga katangian ng magkatulad na linya at pantalon ng Pythagorean na walang pisara, pagguhit gamit ang aking mga kamay sa hangin.(N. Pirogov. Diary ng isang matandang doktor).

Phraseological diksyunaryo ng wikang pampanitikan ng Russia. - M.: Astrel, AST. A. I. Fedorov. 2008 .

Tingnan kung ano ang "Pythagorean pants" sa iba pang mga diksyunaryo:

Pythagorean na pantalon- ... Wikipedia

Pythagorean na pantalon- Zharg. paaralan Shuttle. Ang Pythagorean theorem, na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa hypotenuse at mga binti ng isang right triangle. BTS, 835... Malaking diksyunaryo ng mga kasabihang Ruso

Pythagorean na pantalon- Isang mapaglarong pangalan para sa Pythagorean theorem, na nagtatatag ng ratio sa pagitan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa hypotenuse at mga binti ng isang right-angled na tatsulok, na mukhang hiwa ng pantalon sa mga guhit ... Diksyunaryo ng maraming expression

Pythagorean na pantalon (imbento)- dayuhan: tungkol sa isang taong likas na matalino Cf. Ito ang katiyakan ng pantas. Noong sinaunang panahon, malamang na naimbento niya ang Pythagorean na pantalon ... Saltykov. Mga motley na titik. Pythagorean pants (geom.): sa isang parihaba, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng mga parisukat ng mga binti (nagtuturo ... ... Malaking Explanatory Phraseological Dictionary ni Michelson

Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig- Ang bilang ng mga pindutan ay kilala. Bakit masikip ang titi? (humigit-kumulang) tungkol sa pantalon at sa male sexual organ. Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig. Upang patunayan ito, kinakailangang tanggalin at ipakita ang 1) tungkol sa Pythagorean theorem; 2) tungkol sa malawak na pantalon ... Live na pananalita. Diksyunaryo ng mga kolokyal na ekspresyon

Ang Pythagorean na pantalon ay nag-imbento- Pythagorean pantalon (imbento) dayuhan. tungkol sa isang taong matalino. ikasal Ito ang walang alinlangan na pantas. Noong sinaunang panahon, malamang na naimbento niya ang Pythagorean na pantalon ... Saltykov. Mga motley na titik. Pythagorean pants (geom.): sa isang parihaba, ang parisukat ng hypotenuse ... ... Ang Big Explanatory Phraseological Dictionary ni Michelson (orihinal na spelling)

Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng direksyon- Biro na patunay ng Pythagorean theorem; din sa biro tungkol sa baggy na pantalon ni buddy... Diksyunaryo ng folk phraseology

Adj., bastos...

PYTHAGOREAN PANTS AY PANTAY SA LAHAT NG PANIG (BILANG NG BUTTON ANG ALAM. BAKIT MALAPIT? / PARA PATUNAYAN ITO, KAILANGAN NA TANGGALIN AT IPAKITA)- adj., bastos... Diksyunaryo modernong kolokyal na mga yunit ng parirala at kasabihan

pantalon- pangngalan, pl., gamitin comp. madalas Morpolohiya: pl. Ano? pantalon, (hindi) ano? pantalon para saan? pantalon, (tingnan) ano? pantalon ano? pantalon, ano? tungkol sa pantalon 1. Ang pantalon ay isang piraso ng damit na may dalawang maikli o mahabang binti at nakatakip sa ibaba ... ... Diksyunaryo ng Dmitriev

Mga libro

• Paano Natuklasan ang Daigdig Svyatoslav Vladimirovich Sakharnov. Paano naglakbay ang mga Phoenician? Anong mga barko ang sinakyan ng mga Viking? Sino ang nakatuklas sa America at sino ang unang umikot sa mundo? Sino ang nag-compile ng unang atlas ng Antarctica sa mundo, at sino ang nag-imbento ...

sikat ang Pythagorean theorem - "Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti"- alam ng lahat mula sa bangko ng paaralan.

Buti naalala mo "Pythagorean na pantalon", alin "pantay sa lahat ng direksyon"- isang guhit na eskematiko na nagpapaliwanag sa teorama ng siyentipikong Griyego.

Dito a at b- binti, at Sa- hypotenuse:

Ngayon sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa isang orihinal na patunay ng teorama na ito, na maaaring hindi mo alam tungkol sa ...

Ngunit una, tingnan natin ang isa lemma- isang napatunayang pahayag na kapaki-pakinabang hindi sa sarili nito, ngunit para sa pagpapatunay ng iba pang mga pahayag (theorems).

Kumuha ng tamang tatsulok na may mga vertex X, Y at Z, saan Z- kanang anggulo at ibaba ang patayo mula sa tamang anggulo Z sa hypotenuse. Dito W- ang punto kung saan ang altitude ay nagsalubong sa hypotenuse.

Ang linyang ito (patayo) ZW hinahati ang tatsulok sa magkatulad na mga kopya ng sarili nito.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang mga tatsulok ay tinatawag na magkatulad, ang mga anggulo nito ay pantay-pantay, at ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa magkatulad na panig ng isa pang tatsulok.

Sa aming halimbawa, ang nabuo na mga tatsulok XWZ at YWZ ay katulad sa isa't isa at katulad din sa orihinal na tatsulok XYZ.

Madaling patunayan ito.

Simula sa tatsulok na XWZ, tandaan na ∠XWZ = 90 at kaya ∠XZW = 180-90-∠X. Ngunit ang 180–90-∠X -  ay eksakto kung ano ang ∠Y, kaya ang tatsulok na XWZ ay dapat na katulad (lahat ng mga anggulo ay pantay) sa tatsulok na XYZ. Ang parehong ehersisyo ay maaaring gawin para sa tatsulok na YWZ.

Lemma napatunayan! Sa isang kanang tatsulok, ang taas (patayo) na bumaba sa hypotenuse ay naghahati sa tatsulok sa dalawang magkatulad, na kung saan ay katulad ng orihinal na tatsulok.

Ngunit, bumalik sa aming "Pythagorean pants" ...

I-drop ang patayo sa hypotenuse c. Bilang resulta, mayroon kaming dalawang kanang tatsulok sa loob ng aming kanang tatsulok. Tukuyin natin ang mga tatsulok na ito (sa larawan sa itaas sa berde) mga titik A at B, at ang orihinal na tatsulok - titik MULA SA.

Siyempre, ang lugar ng tatsulok MULA SA ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok A at B.

Yung. PERO+ B= MULA SA

Ngayon, hatiin natin ang figure sa itaas (“Pythagorean pants”) sa tatlong house figure:

Tulad ng alam na natin mula sa lemma, triangles A, B at C ay magkatulad sa isa't isa, samakatuwid ang mga resultang figure ng bahay ay magkatulad din at mga scaled na bersyon ng bawat isa.

Nangangahulugan ito na ang ratio ng lugar A at a², -  ay kapareho ng ratio ng lugar B at b², pati na rin ang C at c².

Kaya mayroon kami A / a² = B / b² = C / c² .

Ipahiwatig natin ang ratio na ito ng mga lugar ng tatsulok at parisukat sa figure-house sa pamamagitan ng titik k.

Yung. k- ito ay isang tiyak na koepisyent na nagkokonekta sa lugar ng tatsulok (ang bubong ng bahay) sa lugar ng parisukat sa ibaba nito:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Ito ay sumusunod na ang mga lugar ng mga tatsulok ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga lugar ng mga parisukat sa ibaba ng mga ito sa ganitong paraan:
A = ka², B = kb², at C = kc²

Pero naaalala natin iyon A+B=C, ibig sabihin ka² + kb² = kc²

O kaya a² + b² = c²

At ito ay patunay ng Pythagorean theorem!

Karaniwang iniuugnay ang potensyal para sa pagkamalikhain humanities, natural na pang-agham na umaalis sa pagsusuri, praktikal na diskarte at tuyong wika ng mga formula at figure. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga clichés at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Ang ganitong mga pagtuklas ay kinabibilangan ng isa na kilala natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging masaya. At ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay matagal nang pinag-aralan bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhet I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise na Sulva Sutra at ang sinaunang Chinese work na Zhou. -bi suan jin.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon ang nagsisilbing kumpirmasyon. Walang ibang theorem ang makakalaban dito sa bagay na ito. Kabilang sa mga kilalang may-akda ng ebidensya si Leonardo da Vinci at ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng matinding kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o, sa isang paraan o iba pa, konektado dito.

Mga patunay ng Pythagorean theorem

AT mga aklat-aralin sa paaralan pangunahing nagbibigay ng algebraic proofs. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya't una sa lahat, isaalang-alang natin ang mga patunay ng sikat na teorama na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa right triangle, kailangan mong itakda perpektong kondisyon: hayaan ang tatsulok ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ito ay isang tatsulok na orihinal na isinasaalang-alang ng mga sinaunang mathematician.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC na binuo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon, tulad ng sa figure 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat sa parehong mga tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, dalawang parisukat ang nakuha: isa na may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na katulad na tatsulok na itinayo ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right-angled triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Ibinaba ang lahat ng ito, mayroon tayong: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gawin ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Kasabay nito, ang lugar ng inscribed sa Fig.3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na formula S=c2. Yung. a2+b2=c2 Napatunayan mo ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at kapangyarihan ng pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Tingnan mo!".

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na right-angled triangles gaya ng ipinahiwatig sa drawing. Ang gilid ng malaking parisukat, na kung saan ay din ang hypotenuse, ay denoted Sa. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok a at b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang square area formula S=c2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang lugar ng bola ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian upang kalkulahin ang lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makukuha mo ang formula ng Pythagorean theorem c2=a2+b2. Ang teorama ay napatunayan.

Patunay 4

Ang kakaibang katibayan ng sinaunang Tsino na ito ay tinawag na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng upuan na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng right-angled na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ikabit ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "upuan ng nobya. ” (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga konstruksyon na ito ay nagbigay-daan sa mga sinaunang Chinese mathematician at sa amin na sumusunod sa kanila na magkaroon ng konklusyon na c2=a2+b2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem batay sa geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Lower Perpendicular AD segment ng linya ED. Mga segment ED at AC ay pantay-pantay. ikonekta ang mga tuldok E at AT, pati na rin ang E at MULA SA at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na nasubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang pigura sa dalawang paraan at tinutumbasan ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED at BC=CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC at CD.

Isulat natin ang parehong paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure sa pamamagitan ng paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na alam na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin kanang bahagi mga tala: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. At ngayon binuksan namin ang mga bracket at binabago ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Matapos ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, malayong kumpleto ang listahan ng ebidensyang ito. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, atbp. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinubuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, posible na patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at mayroon pinakamahalaga sa geometry. Ang Pythagorean triple ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Tinatawag na natural na mga numero, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• non-primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay i-multiply sa parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triplet ng Pythagorean: sa mga gawain ay itinuturing nilang isang right-angled triangle na may mga gilid na 3.4 at 5 na mga yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay bilang default na parihaba.

Mga halimbawa ng Pythagorean triples: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya, at maging sa panitikan.

Una tungkol sa konstruksiyon: ang Pythagorean theorem ay matatagpuan dito malawak na aplikasyon sa mga gawain ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng malaking kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng b: r=b/4. Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang paa ay isang radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hatiin namin ang lahat ng mga termino sa b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng rafter para sa bubong ng gable. Tukuyin kung gaano kataas ang isang mobile tower na kailangan para maabot ng signal ang isang tiyak na settlement. At kahit na patuloy na mag-install ng Christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa abot ng panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito ngayon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay naging inspirasyon niya na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi magiging sanhi ng pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Ang pagbabalik na regalo ng masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever aroused ang toro tribo
pangyayaring binanggit dito.

Sa tingin nila, oras na
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(isinalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics" ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At kalahati ng isang kabanata ng kuwento tungkol sa dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging ang relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaintindi sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics", ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratara, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang bumubuo ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming magkakaibang mga patunay. Nakakatulong itong lumampas sa karaniwan, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-claim ng mas matataas na marka sa mga klase sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kawili-wili ang matematika. Upang makumbinsi ng mga tiyak na halimbawa na palaging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyo na gawin ang iyong sariling pananaliksik at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakatulong ba ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Ipaalam sa amin kung ano ang iniisip mo tungkol sa Pythagorean theorem at sa artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Isang mapaglarong patunay ng Pythagorean theorem; din sa biro tungkol sa baggy pantalon ng isang kaibigan.

• - triplets ng positive integers x, y, z satisfying the equation x2+y 2=z2...

  Mathematical Encyclopedia

• - triple ng mga natural na numero na ang isang tatsulok, ang haba ng mga gilid ay proporsyonal sa mga numerong ito, ay hugis-parihaba, halimbawa. triple ng mga numero: 3, 4, 5...

  Likas na agham. encyclopedic Dictionary

• - tingnan ang Rescue rocket ...

  Bokabularyo ng dagat

• - triple ng mga natural na numero na ang isang tatsulok na ang haba ng gilid ay proporsyonal sa mga numerong ito ay right-angled...

  Great Soviet Encyclopedia

• - mil. Walang pagbabago Isang ekspresyong ginagamit kapag naglilista o nagsasalungat ng dalawang katotohanan, pangyayari, pangyayari...

  Pang-edukasyon na Diksyunaryo ng Parirala

• - Mula sa dystopian novel na "Animal Farm" ng Ingles na manunulat na si George Orwell...
• - Sa kauna-unahang pagkakataon ay matatagpuan ito sa satire na "The Diary of a Liberal in St. Petersburg" ni Mikhail Evgrafovich Saltykov-Shchedrin, na malinaw na inilarawan ang ambivalent, duwag na posisyon ng mga liberal na Ruso - kanilang sarili ...

  Diksyunaryo mga salitang may pakpak at mga ekspresyon

• - Sinasabi sa kaso kung kailan sinubukan ng interlocutor na makipag-usap ng isang bagay sa loob ng mahabang panahon at hindi malinaw, na pinuputol ang pangunahing ideya sa mga maliliit na detalye ...

  Diksyunaryo ng folk phraseology

• - Ang bilang ng mga pindutan ay kilala. Bakit masikip ang titi? - tungkol sa pantalon at ang male genital organ. . Upang patunayan ito, kinakailangang tanggalin at ipakita ang 1) tungkol sa Pythagorean theorem; 2) tungkol sa malawak na pantalon...

  Live na pananalita. Diksyunaryo ng mga kolokyal na ekspresyon

• - Ikasal. Walang kawalang-kamatayan ang kaluluwa, kaya walang birtud, "ibig sabihin, lahat ay pinahihintulutan" ... Isang mapang-akit na teorya para sa mga manloloko ... Isang mayabang, ngunit ang kakanyahan ay ang buong bagay: sa isang banda, hindi maaaring ngunit ipagtapat, at sa kabilang banda, ang isa ay hindi maaaring magtapat ...

  Explanatory-phraseological dictionary ng Michelson

• - Pythagorean pantalon dayuhan. tungkol sa isang taong matalino. ikasal Ito ang walang alinlangan na pantas. Noong sinaunang panahon, malamang na naimbento niya ang Pythagorean na pantalon ... Saltykov. Mga motley na titik...
• - Mula sa isang panig - mula sa kabilang panig. ikasal Walang kawalang-kamatayan ang kaluluwa, kaya walang birtud, "ang ibig sabihin nito ay pinapayagan ang lahat" ... Isang mapang-akit na teorya para sa mga bastos .....

  Michelson Explanatory Phraseological Dictionary (orihinal na orph.)

• - Ang komiks na pangalan ng Pythagorean theorem, na lumitaw dahil sa ang katunayan na ang mga parisukat na itinayo sa mga gilid ng isang parihaba at diverging sa iba't ibang direksyon ay kahawig ng hiwa ng pantalon ...
• - SA ISANG KAMAY SA kabilang banda. Mag-book...

  Phraseological diksyunaryo ng wikang pampanitikan ng Russia

• - Tingnan ang RANKS -...

  SA AT. Dal. Mga Kawikaan ng mga taong Ruso

• - Zharg. paaralan Shuttle. Pythagoras. ...

  Malaking diksyunaryo ng mga kasabihang Ruso

"Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng direksyon" sa mga aklat

11. Pythagorean na pantalon