Intensitatea câmpului între plăci. Forța de atracție dintre plăcile unui condensator plat

Semestrul 3. Curs4.

Curs 4. Câmp electric al conductoarelor încărcate.

Energia câmpului electrostatic.

Câmp lângă conductor. Capacitatea conductorilor și a condensatoarelor. (Capacitățile condensatoarelor plate, cilindrice și sferice). Energia unui sistem de sarcini fixe. Energia unui conductor încărcat, condensator. Densitatea energiei câmpului electrostatic.

În teoria electrostatică, a fost convenabil să se determine asociatul energie electrică, știi. Să ne gândim la taxele individuale pe rând, chiar și atunci când sistemul nostru era o compilație de mai multe taxe și vom renunța la ideea de „acțiune la distanță”. Din aceleași motive, am dori să definim o variantă de energie potențială electrică pe unitatea de sarcină, astfel încât să ne putem gândi la cantitatea de energie potențială care poate fi câștigată sau pierdută de o singură sarcină prezentă într-un câmp electric.

Potențialul electric este măsurat în jouli coulomb, altfel cunoscut sub numele de volți. De fapt, ne vom referi adesea la potențialul electric ca „tensiune”, cele două fiind sinonime pentru scopurile noastre. Ca și potențialul gravitațional, potențialul electric este o mărime scalară. Este, în esență, o măsură a modificării energiei potențiale electrice pe unitatea de sarcină.

La introducerea unui conductor în exterior câmp electric sarcinile din interiorul conductorului încep să se deplaseze sub acțiunea forțelor din câmpul exterior până la atingerea echilibrului. Aceasta duce la o redistribuire a sarcinii electrice în interiorul conductorului. Regiunile conductorului, anterior neutre din punct de vedere electric, capătă o sarcină electrică necompensată. În consecință, un câmp electric apare (sau, după cum se spune, este indus) în conductor

. Condiția pentru echilibrul sarcinilor electrice:

Acest lucru ne permite să vedem că diferența de potențial are și unități câmp electric pe distanta. Acest lucru are sens într-un anumit fel, deoarece este suficient ca diferența de potențial electric să treacă printr-un câmp electric. Deoarece câmpul electric are unități de newtoni pe pandantiv, putem face următoarea observație.

Dacă eliberați o sarcină pozitivă, care accelerează spontan în zonele cu potențial ridicat spre potențial scăzut - sarcinile pozitive tind spre potențialul electric minim. În schimb, sarcinile negative caută potențialul electric maxim. Lucrul trebuie făcut cu sarcini pozitive pentru a le aduce la un potențial mai mare, munca de făcut cu sarcini negative pentru a le duce în zone cu potențial mai scăzut.

acestea. intensitatea câmpului în interiorul conductorului:

Prin urmare, din egalitate obținem în interiorul conductorului. Prin urmare, această condiție este îndeplinită și la limita conductorului. Acestea. suprafața conductorului este echipotenţială suprafaţă , de aceea liniile de forță ale câmpului electric sunt perpendiculare pe suprafața conductorului în fiecare punct .

Pentru sarcinile punctiforme, câmpul electric este definit prin spațiu, cu excepția părții drepte a sarcinii și funcționează în același mod ca și potențialul său electric. Nu există un loc evident pentru a numi „null”. De asemenea, nu putem conecta firul de împământare la un singur electron. La urma urmei, aproape întotdeauna potențialul unei sarcini punctuale este definit ca zero la o distanță infinită de sarcina însăși. Acest lucru este cu adevărat la îndemână, credeți sau nu, și arată clar că singura modalitate de a scăpa de potențialul datorat unei sarcini punctuale este eliminarea completă a încărcăturii.

conductor încărcat .

Dacă o sarcină electrică externă este transmisă unui conductor solitar, atunci condiția pentru echilibrul sarcinilor duce din nou la condiția:

,în interiorul conductorului.

Rezultă că toate sarcinile externe sunt situate pe suprafața conductorului, deoarece. intensitatea câmpului din interiorul conductorului este zero și, conform teoremei Gauss, pentru orice suprafață închisă din interiorul conductorului (inclusiv suprafața exterioară a conductorului):

Figura 3 prezintă o comparație a câmpului electric cu potențialul electric al unei sarcini punctuale în funcție de distanța de la sarcină. Rețineți: puteți măsura doar diferențele de potențial electric. Un punct rapid pentru a clarifica orice confuzie mai târziu: atunci când vorbim despre sarcini punctuale, cum ar fi electroni în câmpuri electrice sau atomi dintr-un cristal, folosim adesea unitatea mai convenabilă pentru energie, electronvoltul. Pe măsură ce timpul trece, găsim electron-voltul din ce în ce mai des, iar acest lucru se dovedește a fi foarte convenabil atunci când suntem ocupați să calculăm un număr mic de sarcini.

Deoarece suprafața conductorului în acest caz este și echipotențială, liniile de forță ale câmpului electric sunt direcționate perpendicular pe suprafața conductorului în fiecare dintre punctele sale.

Din teorema lui Gauss rezultă că lângă suprafața conductorului

Mărimea vectorului deplasării electrice este egală cu densitatea suprafeței sarcinilor externe.

Potențialul electric se supune, de asemenea, principiului suprapunerii, la fel ca forța electrică. Potențialul electric total la un moment dat datorat mai multor sarcini punctiforme este doar suma potențialelor electrice datorate sarcinilor punctiforme individuale. Potențialul electric este un scalar, nu trebuie să ne facem griji pentru componente, potențialele electrice sunt doar numărul contribuțiilor lor.

După cum v-ați aștepta de la principiul suprapunerii, potențialul dintre două sarcini este zero și devine foarte mare în apropierea fiecărei sarcini, la fel ca și câmpul electric. Potențial electric într-un plan care conține un dipol electric. Scala de înălțime a potențialului electric. Liniile reprezintă circuite echipotenţiale.

Sarcina de pe suprafața conductorului este distribuită astfel încât potențialul de suprafață să rămână constant. Acest lucru duce la faptul că densitatea de sarcină pe suprafața conductorului nu este aceeași. De exemplu, pe părțile ascuțite ale conductorilor, densitatea de sarcină este mai mare decât în adâncituri. În acest sens, apar diverse fenomene, de exemplu, „scărcarea de încărcare”. Dacă conductorul este în aer, atunci ionizarea aerului are loc în apropierea vârfului, ducând o parte din sarcina electrică - un fenomen numit „vânt electric”.

Astfel, munca asupra sarcinii prin forță electrică este asociată cu o modificare a energiei potențiale electrice a sarcinii. Combinând aceste două fapte, putem lega cu ușurință munca și diferența de potențial. În obiectul teoriei electrostatice, am spus că pentru un conductor aflat în echilibru electrostatic, sarcina netă se află doar pe suprafața conductorului. Pe de altă parte, am spus că câmpul electric din afara suprafeței conductorului este perpendicular pe suprafață și că câmpul din interiorul conductorului este zero.

Aceasta înseamnă, de asemenea, că toate punctele de pe suprafața unui conductor, încărcate în echilibru electrostatic, sunt la același potențial. Un șofer arbitrar care poartă o sarcină pozitivă. Ecuația 23 ne oferă un rezultat foarte general: nu există nicio muncă pentru a muta o sarcină între două puncte care au același potențial electric.

Metoda de imagistică electrică .

Dacă suprafața echipotențială este înlocuită cu una conducătoare și apoi partea din câmp pe care această suprafață o separă este aruncată, atunci modelul câmpului din partea rămasă nu se va schimba. În schimb, dacă imaginea de câmp este completată cu sarcini fictive, astfel încât suprafața conducătoare să poată fi înlocuită cu una echipotențială, atunci imaginea de câmp inițială nu se va modifica.

Deoarece câmpul electric și deplasarea sunt întotdeauna perpendiculare, nu se lucrează atunci când se deplasează pe suprafața unui conductor. Deoarece calea aleasă este complet arbitrară, aceasta înseamnă că este adevărată pentru oricare două puncte de pe suprafață. Potenţiale şi drivere încărcate.

Potențialul electric este constant la suprafață. Potențialul electric este constant în interior și are aceeași valoare cu valoarea de la suprafață. Nu este necesară nicio muncă pentru a muta sarcina din interior spre suprafață sau între două puncte de pe suprafață.

Exemplu.Aflați forța de atracție a unei sarcini punctiforme către un plan conductor infinit . Pentru a face acest lucru, vom completa imaginea cu o altă sarcină de același tip, dar de semn opus, situată simetric față de plan. Apoi planul va coincide cu suprafața echipotențială, astfel încât planul poate fi aruncat și forța de interacțiune între sarcini poate fi găsită: .

Desigur, acest lucru este valabil doar pentru șoferii ideali. Dacă sunt prezente alte forțe disipative, acest lucru nu este adevărat și este nevoie de muncă pentru a deplasa sarcina în prezența unei forțe disipative. Analogul electric al frecării sau al vâscozității este rezistența.

O suprafață în care toate punctele sunt la același potențial electric se numește suprafață echipotențială. Diferența de potențial dintre două puncte de pe suprafață este zero, deci nu este necesară nicio muncă pentru a deplasa o sarcină cu o viteză constantă de-a lungul unei suprafețe echipotențiale. Prin urmare, suprafața conductorului este o suprafață echipotențială. Suprafețele echipotențiale au o legătură simplă cu câmpul: câmpul este perpendicular pe suprafața echipotențială în toate punctele.

Energia unui conductor încărcat .

Energia unui conductor solitar încărcat este definită ca energia unui sistem de sarcini: . Pe conductor, deci energia unui conductor solitar:

Pe fig. 10 prezintă suprafețele echipotențiale și liniile de câmp electric pentru o singură sarcină punctuală, un dipol și două sarcini egale. Rețineți că, odată ce ați trasat liniile câmpului electric, desenarea suprafețelor echipotențiale este trivială și inversă.

Liniile de câmp electric sunt linii albastre, iar liniile roșii sunt suprafețe echipotențiale pentru o singură sarcină punctuală, un dipol electric și două sarcini egale. Cum putem schimba cu adevărat potențialul electric - în general, îl vom numi intensitatea - al unui obiect în raport cu altul? Încărcarea prin inducție sau conducere este în două moduri, dar puțin greoaie. Un dispozitiv cunoscut sub numele de sursă de tensiune este un element de circuit cu două terminale în care se aplică o diferență de potențial constantă între cele două terminale.

Pentru un sistem de conductori încărcați: .

În special, pentru doi conductori având sarcini q de aceeași mărime, dar cu semn diferit, energia va fi egală cu: .

cometariu . Mărimea diferenței de potențial numit tensiune între corpuri.

Ceea ce este conectat la borna „negativă” a sursei va avea o tensiune sub borna „pozitivă”. Bateriile sunt un exemplu de sursă de tensiune constantă, iar prizele de perete din casa dvs. sunt un alt exemplu de sursă de tensiune. Sursele ideale de tensiune sunt întotdeauna exprimate în manual, adică oferă o diferență de potențial constantă. Sursele reale de tensiune au întotdeauna limitări, în primul rând cantitatea de energie care poate fi generată.

Sursă comună tensiune constantă. Acum că știm puțin despre tensiune și conductori, ne apropiem de descrierea circuitelor electrice simple. Vom introduce acum primul nostru element de circuit real, condensatorul. Un condensator este o componentă electronică care este folosită pentru a stoca sarcina electrică, este folosit în esență în orice circuit electric. Condensatorii sunt coloana vertebrală a memoriei cu acces aleatoriu și a memoriei flash și sunt esențiale pentru aproape orice sursă de alimentare.

Experiența arată că există o relație liniară între sarcina unui conductor solitar și potențialul acestuia: . Factorul de proporționalitate DIN numit coeficientul electric containere sau capacitate electrică . Unitatea de măsură a capacității electrice este Farad (

).

Este unul dintre pilonii fundamentali ai electronicii. Figura 12 prezintă un design tipic de condensator - două plăci metalice cu o cantitate mică de material special în mijloc. Este greu de crezut că dispozitivele complexe precum computerele se bazează pe un design atât de simplu, dar este adevărat.

Când sunt utilizate într-un circuit, plăcile sunt conectate la bornele pozitive și negative ale unei surse de tensiune, cum ar fi o baterie. Sarcina pe ambele plăci este aceeași, dar are semnul opus. Practic, plasarea a două plăci la potențiale diferite înseamnă că electronii vor să migreze către placa cu cel mai mare potențial și să părăsească placa cu potențialul mai mic. Capacitatea acestei structuri. Mișcarea sarcinii între plăci se oprește atunci când diferența de potențial peste plăci coincide cu diferența de potențial a sursei de tensiune.

Condensator se numește un sistem de doi conductori încărcați cu aceeași mărime, dar diferite ca sarcini de semn. Conductorii sunt numiti plăci de condensator .

Capacitatea unui condensator este determinată de formula.

Condensatorul este desemnat convențional.

Conectarea condensatoarelor

Condensatorul este vândut datorită acestei diferențe de potențial și, prin urmare, stochează electricitatea până la un timp mai târziu, când poate fi revendicat pentru o anumită aplicație. Vă puteți gândi la aceasta ca stocarea energiei în termeni sau întârzierea răspunsului ca un amortizor electric pentru modificarea diferențelor de tensiune.

Capacitatea unui anumit aranjament de doi conductori depinde de geometria și dispunerea relativă a acestora. Structura generală este un condensator cu plăci paralele, așa cum se arată în figură. În obiectul teoriei electrostatice, demonstrăm fără dovezi constanta câmpului electric între două plăci paralele. Dar care este câmpul dintre plăci?

Luați în considerare o conexiune în serie a doi condensatoare C 1 și C 2. Punctul A dintre condensatori este separat de restul circuitului, astfel încât sarcina sa electrică nu se poate modifica. Deoarece sarcina inițială a oricărui punct a fost egală cu zero, atunci . În consecință, sarcinile plăcilor condensatoarelor adiacente punctului A sunt egale ca mărime, dar semne opuse. Dar, deoarece valoarea încărcăturii plăcilor este egală cu sarcina condensatoarelor, atunci. Sarcina totală a punctului A este zero, așa că dacă aruncăm acest punct împreună cu plăcile, atunci nimic nu se va schimba în circuit. pentru că sarcinile plăcilor extreme sunt, de asemenea, aceleași ca mărime, dar diferite ca semn, atunci condensatorul rezultat va avea aceeași sarcină ca mărime.

În Secțiunea 8, aflăm că câmpul electric de pe o placă conducătoare plană este definit astfel: unde este sarcina pe unitatea de suprafață de pe placă. Acest lucru ne aduce la o expresie mai utilă pentru câmp: Din nou, acest lucru nu este adevărat lângă marginile plăcilor, unde câmpul nu este constant. Combinând acest lucru cu faptele anterioare, putem găsi capacitatea unui condensator cu plăci paralele din ecuația 24. Capacitatea unui condensator cu plăci paralele.

În ecuația 26 putem vedea că condensatoarele pot stoca mai multă sarcină pe măsură ce plăcile devin mai mari. Același lucru se întâmplă și când plăcile se apropie. Când plăcile sunt mai apropiate unele de altele, sarcinile opuse exercită o forță mai puternică una asupra celeilalte, permițând stocarea mai multă masă pe plăci. Din ecuația 24, un condensator cu valoarea C în diferența de potențial stochează o sarcină.

TOTAL . Sarcinile condensatoarelor conectate în serie sunt de aceeași mărime. Sarcina totală a condensatoarelor conectate în serie este egală cu sarcina fiecăruia dintre condensatori.

În acest caz, tensiunea totală este egală cu suma tensiunilor de pe condensatoare: U GENERAL \u003d U 1 + U 2. Sarcinile condensatoarelor sunt aceleași: q 1 \u003d q 2 \u003d q. Apoi . De aceea .

Când condensatoarele sunt conectate în serie, capacitățile lor sunt adăugate conform legii reciprocelor . 

Calculul capacității pentru conectarea în paralel a condensatoarelor.

În acest caz, tensiunile de pe condensatoare sunt aceleași: U 1 \u003d U 2 \u003d U.

Sarcina totală este egală cu suma sarcinilor: q GEN = q 1 + q 2 sau C GEN U=C 1 U+C 2 U.

Atunci C GENERAL =C 1 +C 2 . Când condensatoarele sunt conectate în paralel, capacitățile lor se adună. 

Energia condensatorului :

Sarcina totală a condensatorului este zero. Un condensator stochează energia electrică prin separarea sarcinilor electrice.

Exemple pentru calcularea capacității condensatoarelor .

Condensator plat (aer). reprezintă două plăci paralele, distanţa dintre care este mult mai mică decât dimensiunile plăcilor, astfel încât câmpul dintre plăci poate fi considerat uniform. Există un vid (aer) între plăci, deci  = 1.

În acest caz, atunci când se calculează modelul câmpului, se pot folosi rezultatele obținute pentru câmpul unui plan infinit încărcat. Deoarece sarcinile și ariile plăcilor sunt egale ca mărime, atunci mărimea intensității câmpului creat de fiecare dintre plăci este aceeași: dar direcțiile vectorilor de intensitate sunt diferite (se arată vectorul de intensitate dintr-o placă încărcată negativ). printr-o linie punctată). Între plăci, vectorii de intensitate sunt direcționați în același mod, astfel încât intensitatea totală este egală cu suma intensităților câmpului creat de fiecare dintre plăci:

În afara plăcilor, vectorii intensității câmpului sunt direcționați opus, astfel încât intensitatea câmpului în exterior este zero. În acest fel, într-un condensator, intensitatea câmpului este diferită de zero doar între plăci.

Întrucât câmpul electrostatic este un câmp de forță conservativă, integrala nu depinde de forma traiectoriei G, deci diferența de potențial dintre plăci poate fi găsită de-a lungul perpendicularei care leagă plăcile, a cărei lungime este egală cu d:, Unde d este distanța dintre plăci. Apoi, capacitatea unui condensator plat (aer) în conformitate cu definiția va fi egală cu:

Condensator cilindric (aer). este format din doi cilindri coaxiali

de aceeași lungime, imbricate unele în altele, astfel încât distanța dintre plăci să fie mult mai mică decât dimensiunile plăcilor.

Fie lungimea condensatorului L, sarcina căptușelii interioare este pozitivă: q > 0. Raze de placare R 1 și R 2, lasă R 1 <R 2. Intensitatea câmpului dintre plăci la distanță r de la căptușeala interioară, adică pentru R 1 <r <R 2, găsim folosind teorema Gauss:

Apoi tensiunea dintre plăci: .

Prin urmare, capacitatea electrică a unui condensator cilindric (aer): .

DIN condensator sferic (aer). reprezintă două sfere concentrice imbricate cu razele plăcilor R 1 și R 2 ,R 1 <R 2. Fie sarcina căptușelii interioare q> 0. Intensitatea câmpului dintre căptușeli la distanță r de la căptușeala interioară ( R 1 <r <R 2) găsim prin teorema lui Gauss:

Tensiune între plăci: .

Prin urmare, capacitatea unui condensator sferic (aer). .

Densitatea energiei volumetrice a câmpului electrostatic.

Luați în considerare un condensator de aer plat. Energia unui condensator încărcat

Cantitatea de spațiu dintre plăcile unui condensator. Deoarece câmpul dintre plăci este considerat a fi omogen, unitatea de volum a acestui câmp are energia . Această valoare este numită densitatea energiei volumetrice .

În cazul în care câmpul nu este uniform, densitatea de energie volumetrică este .

În materie, densitatea de energie volumetrică a câmpului electric .

În cazul unui dielectric izotrop omogen, deci .

pentru că , apoi , Unde

Energia câmpului electric în vid este energia de polarizare a materiei.

Exemplu . Luați în considerare o sferă încărcată cu pereți subțiri cu raza R. Deoarece sarcinile cu același nume se resping reciproc pe sferă, forțele de respingere au tendința de a întinde suprafața sferei. Putem presupune că din interiorul sferei, pereții sunt afectați de presiune suplimentară p, spargerea sferei și cauzată de prezența unei sarcini electrice la suprafață. Sa gasim R.

Intensitatea câmpului în interiorul sferei este zero, deci densitatea de energie în volum a câmpului electric w este diferit de zero doar în afara sferei.

Cu o ușoară creștere a razei sferei cu dR volumul acestuia va crește, în timp ce în acea parte a spațiului înconjurător care a intrat în interiorul sferei, densitatea volumetrică de energie va deveni egală cu zero. Prin urmare, modificarea energiei câmpului exterior va fi egală cu, unde S este suprafata. Dar odată cu extinderea sferei, forțele de presiune din interiorul sferei vor face treaba . De atunci de unde.

Exemplu . Să găsim forțele care acționează asupra plăcilor într-un condensator plat încărcat, deconectat de la sursa de alimentare.

Plăcile sunt încărcate opus, așa că se atrag. Să presupunem că plăcile sunt aproape una de cealaltă cu o cantitate mică. X. Apoi volumul condensatorului este redus cu dV = xS, deci energia condensatorului a scăzut cu dW = wdV. Forțele atractive funcționează  A = fx. Deoarece A= dW, apoi fx = wxS. Prin urmare, mărimea forței este F = wS. Presiunea suplimentară pe care o creează aceste forţe este egală cu.

Exemplele de mai sus arată că corpurile dintr-un câmp electric sunt supuse unor forțe care provoacă o presiune suplimentară egală cu densitatea energiei volumetrice.

Presiunea cauzată de prezența unui câmp electric este egală cu densitatea de energie volumetrică .

Forțe , acționând asupra corpului din partea unui câmp, se numesc pondemotor .

Plăcile de condensator încărcate opus se atrag reciproc.

Forțele mecanice care acționează asupra corpurilor încărcate macroscopice se numescponderomotiv .

Se calculează forțele ponderomotoare care acționează asupra plăcilor unui condensator plat. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

Condensatorul este încărcat și deconectat de la bateria încărcată(în acest caz, numărul de încărcări de pe plăci rămâne constant q = const).

Când o placă a unui condensator este îndepărtată de cealaltă, munca este gata

datorită căruia energia potențială a sistemului crește:

În acest caz, dA = dW . Echivalând părțile drepte ale acestor expresii, obținem

(12.67)

În acest caz, la diferențiere, distanța dintre plăci a fost desemnată x.

Condensator încărcat, dar nu deconectat de la baterie(în acest caz, la mutarea uneia dintre plăcile condensatorului, tensiunea va rămâne constantă ( U = const). În acest caz, atunci când o placă se îndepărtează de cealaltă, energia potențială a câmpului condensatorului scade, deoarece sarcinile „scurg” din plăci, prin urmare

Dar

, apoi

Expresia rezultată coincide cu formula

. Poate fi reprezentat și sub altă formă dacă în locul sarcinii q introducem densitatea suprafeței:

(12.68)

Câmpul este uniform. Intensitatea câmpului condensatorului este

, unde x este distanța dintre plăci. Înlocuind în formulă

U 2 \u003d E 2 x 2, obținem că forța de atracție a plăcilor unui condensator plat

(12.69)

Aceste forțe acționează nu numai asupra plăcilor. Deoarece plăcile, la rândul lor, pun presiune asupra dielectricului plasat între ele și îl deformează, apare presiune în dielectric.

(S este aria fiecărei plăci).

Presiunea care apare în dielectric este

(12.70)

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 12.5. La farfurii plate condensator de aer se aplică o diferență de potențial de 1,5 kV. Suprafata farfurii 150 cm 2 iar distanța dintre ele este de 5 mm. După deconectarea condensatorului de la sursa de tensiune, sticlă a fost introdusă în spațiul dintre plăci (ε 2 =7). Definiți:

1) diferența de potențial dintre plăci după introducerea unui dielectric; 2) capacitatea condensatorului înainte și după introducerea dielectricului; 3) densitatea de sarcină de suprafață pe plăci înainte și după introducerea dielectricului.

Dat: U 1 \u003d 1,5 kV \u003d 1,5 ∙ 10 3 V; S \u003d 150cm 2 \u003d 1,5 ∙ 10 -2 m 2; ε 1 =1; d=5mm=5∙10 -3 m.

Găsiți: 1) U2; 2) C1C2; 3) σ 1 , σ 2

Soluţie . pentru că

(σ este densitatea de sarcină la suprafață pe plăcile condensatorului), apoi înainte de introducerea dielectricului σd=U 1 ε 0 ε 1 și după introducerea dielectricului σd=U 2 ε 0 ε 2, deci

Capacitatea condensatorului înainte și după introducerea unui dielectric

și

Încărcarea plăcilor după deconectarea de la sursa de tensiune nu se modifică, adică. q=const. Prin urmare, densitatea de sarcină de suprafață pe plăci înainte și după introducerea dielectricului

Răspuns: 1) U 2 \u003d 214V; 2) C 1 \u003d 26,5 pF; C 2 \u003d 186pF; 3) σ 1 = σ 2 = 2,65 μC/m 2.

Exemplul 12.7. Intervalul dintre plăcile unui condensator plat este umplut cu un dielectric anizotrop, a cărui permeabilitate ε variază în direcția perpendiculară pe plăci conform legii liniare.ε = α + βх de la ε 1 până la ε 2 , și ε 2 > ε 1 . Zona fiecărei căptușeliS, distanța dintre eled. Aflați capacitatea condensatorului.

Dat:S; d; ε1; ε 2

Găsi: DIN.

Soluţie . Constanta dielectrică ε variază liniar, ε = α + βx, unde x este măsurat de la căptușeală, a cărei permeabilitate este egală cu ε 1 . Considerând că ε (0) = ε 1 , ε (d) = ε 2 , obținem dependența

. Găsiți diferența de potențial dintre plăci:

Capacitatea condensatorului va fi

Răspuns:

Exemplul 12.7. Între plăcile unui condensator plat încărcat la o diferență de potențial U , două straturi de dielectrici sunt așezate paralel cu plăcile sale. Grosimea straturilor și, respectiv, permitivitatea dielectricilor sunt,d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . Determinați puterea câmpurilor electrostatice în straturile dielectrice.

Dat: U; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Găsi: E1, E2.

Soluţie . Tensiunea pe plăcile condensatorului, având în vedere că câmpul din fiecare dintre straturile dielectrice este uniform,

U=E 1 d 1 + E 2 d 2 . (unu)

Deplasarea electrică în ambele straturi dielectrice este aceeași, așa că putem scrie

D=D1=D2= ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 (2)

Din expresiile (1) și (2) găsim cel dorit

(3)

Din formula (2) rezultă că

Răspuns:

;

Exemplul 12.7. Zona farfurii S condensatorul plat este de 100 cm 2 . Spațiul dintre plăci este umplut îndeaproape cu două straturi de dielectrici - o placă de mică (ε 1 =7) gros d 1 =3,5 mm și parafină (ε 2 =2) grosime d 2 =5 mm. Determinați capacitatea acestui condensator.

Dat: S= 100 cm 2 =10 -2 m 2 ; ε 1 =7; d 1 =3,5mm=3,5∙10 -3 m;, ε 1 =2; d 1 =3,5mm=5∙10 -3 m;

Găsi: DIN.

Soluţie . Capacitatea condensatorului

unde = - sarcina pe placile condensatorului (- densitatea sarcinii la suprafata pe placi); \u003d - diferența de potențial a plăcilor, egală cu suma tensiunilor de pe straturile dielectrice: U \u003d U 1 +U 2. Apoi

(1)

Tensiunile U 1 și U 2 se găsesc prin formule

;

(2)

unde E 1 și E 2 - intensitatea câmpului electrostatic în primul și al doilea strat al dielectricului; D este deplasarea electrică în dielectrici (la fel în ambele cazuri). Ținând cont de faptul că

Și având formula (2), din expresia (1) găsim capacitatea dorită a condensatorului

Răspuns: C \u003d 29,5pF.

Exemplul 12.7. O baterie cu trei condensatoare conectate în seria C 1 \u003d 1 μF; DIN 2 \u003d 2uF și C 3 \u003d 4 μF sunt conectate la o sursă EMF. Încărcarea bateriei condensatorului q \u003d 40 μC. Determinați: 1) tensiunea U 1 , U 2 și U 3 pe fiecare condensator; 2) sursa EMF; 3) capacitatea bancului de condensatori.

Dat : C 1 \u003d 1 μF \u003d 1 ∙ 10 -6 F; C 2 \u003d 2 μF \u003d 2 ∙ 10 -6 F și C 3 \u003d 4 μF \u003d 4 ∙ 10 -6 F; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F .

Găsiți: 1) U1, U2, U3 ; 2) ξ; 3) C.

Soluţie . Atunci când condensatoarele sunt conectate în serie, sarcinile tuturor plăcilor sunt egale în valoare absolută, prin urmare

q 1 \u003d q 2 \u003d q 3 \u003d q.

Tensiunea condensatorului

EMF-ul sursei este egal cu suma tensiunilor fiecăruia dintre condensatoarele conectate în serie:

ξ \u003d U 1 + U 2 + U 3

Când sunt conectate în serie, inversele capacităților fiecăruia dintre condensatori sunt însumate:

Unde este capacitatea dorită a băncii de condensatoare

Raspunsul 1) U 1 \u003d 40V; U 2 \u003d 20V, U 3 = 10V; 2) Ɛ= 70V; 3) C \u003d 0,571 μF.

Exemplul 12.7. Două condensatoare de aer plat de aceeași capacitate sunt conectate în serie și conectate la o sursă EMF. De câte ori și de câte ori se va schimba sarcina condensatoarelor dacă unul dintre ei este scufundat în ulei cu o constantă dielectrică ε=2,2.

Dat: C 1 \u003d C 2 \u003d C; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Găsi: .

Soluţie . Când condensatoarele sunt conectate în serie, încărcările ambelor condensatoare sunt egale ca mărime. Înainte de scufundare într-un dielectric (în ulei), încărcarea fiecărui condensator

unde ξ \u003d U 1 + U 2 (când condensatoarele sunt conectate în serie, EMF-ul sursei este egal cu suma tensiunilor fiecăruia dintre condensatori).

După ce unul dintre condensatori este scufundat într-un dielectric, sarcinile condensatoarelor sunt din nou aceleași și, în consecință, pe primul și al doilea condensator sunt egale.

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(ținând cont că ε 1 =1), de unde, dacă ținem cont că ξ = U 1 + U 2 , aflăm

(2)

Împărțind (2) la (1), găsim raportul dorit

Răspuns:

, adică sarcina condensatoarelor crește cu un factor de 1,37.

Exemplul 12.7. Condensatoarele cu capacități C fiecare sunt conectate așa cum se arată în fig.a. determina capacitatea uzual această conexiune a condensatoarelor. .

Soluţie . Dacă deconectați condensatorul C 4 de la circuit, obțineți o conexiune a condensatoarelor, care este ușor de calculat. Deoarece capacitățile tuturor condensatoarelor sunt aceleași (C 2 \u003d C 3 și C 5 \u003d C 6), ambele ramuri paralele sunt simetrice, prin urmare potențialele punctelor A și B, situate egal în ramuri, trebuie să fie egale. Condensatorul C4 este astfel conectat la puncte cu diferență de potențial zero. Prin urmare, condensatorul C4 nu este încărcat, adică. poate fi exclusă iar schema prezentată în starea problemei poate fi simplificată (fig. b).

Acest circuit este format din trei ramuri paralele, dintre care două conțin doi condensatori în serie.

Răspuns: C total = 2C.

Exemplul 12.7. Condensator de aer plat cu capacitate C 1 \u003d 4pF încărcat la o diferență de potențialU 1 =100V. După deconectarea condensatorului de la sursa de tensiune, distanța dintre plăcile condensatorului a fost dublată. Determinați: 1) diferența de potențialU 2 pe plăcile condensatorului după separarea lor; 2) munca forțelor externe pentru a împinge plăcile în afară.

Dat: C 1 \u003d 4pF \u003d 4 ∙ 10 -12 F; U 1 \u003d 100V; d 2 \u003d 2d 1.

Găsi: 1) U2;2)A.

Soluţie . Încărcarea plăcilor condensatorului după deconectarea de la sursa de tensiune nu se modifică, adică. Q=const. De aceea

C 1 U 1 \u003d C 2 U 2, (1)

unde C 2 și U 2 sunt, respectiv, capacitatea și diferența de potențial de pe plăcile condensatorului după ce acestea sunt îndepărtate.

Având în vedere că capacitatea unui condensator plat

, din formula (1) obținem diferența de potențial dorită

(2)

După ce condensatorul este deconectat de la sursa de tensiune, sistemul a două plăci încărcate poate fi considerat ca unul închis, pentru care este îndeplinită legea conservării energiei: lucrul A al forțelor externe este egal cu modificarea energiei lui. sistemul

A \u003d W 2 - W 1 (3)

unde W 1 și W 2 sunt energia câmpului condensatorului în starea inițială și, respectiv, finală.

Dat fiind

și

(q – const), din formula (3) se obține munca dorită a forțelor exterioare

[ținând cont de faptul că q=C 1 U 1 și formula (2)].

Răspuns : 1) U 2 \u003d 200V; 2) A \u003d 40nJ.

Exemplul 12.7. O bilă solidă de dielectric cu o razăR=5cm încărcat uniform cu densitatea în vrac ρ=5nC/m 3 . Determinați energia câmpului electrostatic conținut în spațiul din jurul mingii.

Dat: R=5cm=5∙10 -2 m; ρ=5nC/m 3 = 5∙10 -9 C/m 3.

Găsi: W.

Soluţie . Câmpul unei bile încărcate este simetric sferic, astfel încât densitatea de sarcină volumetrică este aceeași în toate punctele situate la distanțe egale de centrul bilei.

E energie într-un strat sferic elementar (este ales în afara dielectricului, unde ar trebui determinată energia) cu un volum de dV (vezi figura)

unde dV=4πr 2 dr (r este raza unui strat sferic elementar; dr este grosimea acestuia);

(ε=1 – câmp în vid; E – intensitatea câmpului electrostatic).

Vom găsi intensitatea E după teorema lui Gauss pentru un câmp în vid și vom alege mental o sferă cu raza r ca suprafață închisă (vezi figura). În acest caz, întreaga încărcătură a mingii, care creează câmpul luat în considerare, ajunge în interiorul suprafeței și, conform teoremei lui Gauss,

Unde

Înlocuind expresiile găsite în formula (1), obținem

Energia conținută în spațiul din jurul mingii,

Răspuns: W=6,16∙10-13 J.

Exemplul 12.7. Condensator plan cu zona plăcilorSiar distanța dintre ele ℓ se raportează încărcareaq, după care condensatorul este deconectat de la sursa de tensiune. Determinați forța de atracțieFîntre plăcile condensatorului, dacă constanta dielectrică a mediului dintre plăci este egală cu ε.

Dat : S; ℓ; q; ε .

Găsi: F.

Soluţie . Încărcarea plăcilor condensatorului după deconectarea de la sursa de tensiune nu se modifică, adică. q=const. Să presupunem că sub acțiunea forței de atracție F, distanța dintre plăcile condensatorului s-a modificat cu d ℓ . Atunci forța F funcționează

Conform legii conservării energiei, această muncă este egală cu pierderea de energie a condensatorului, adică.

. (3)

Înlocuind în formula energia unui condensator încărcat

expresie pentru capacitatea unui condensator plat

, primim

(4)

Răspuns:

Exemplul 12.7. Condensator platSiar distanța dintre ele ℓ conectate la o sursă de tensiune constantăU. Determinați forța de atracțieFîntre plăcile condensatorului, dacă constanta dielectrică a mediului dintre plăci este egală cu ε.

Dat : S; ℓ; U; ε .

Găsi: F.

Soluţie . În funcție de starea problemei, pe plăcile condensatorului se menține o tensiune constantă, adică. U=const. Să presupunem că sub acțiunea forței de atracție F, distanța dintre plăcile condensatorului s-a modificat cu dℓ. Atunci forța F funcționează

Conform legii conservării energiei, această lucrare în acest caz duce la creșterea energiei condensatorului (comparați cu sarcina anterioară), adică.

de unde, pe baza expresiilor (1) și (2), obținem

(3)