(exemple de rezolvare a problemelor)

dirijor solitar

Exemplul 7.1.

Aflați capacitatea unui conductor sferic de rază R 1 înconjurat de un strat concentric adiacent de dielectric cu permitivitate  și rază exterioară R 2 .

Soluţie.

Metoda 1. Să informăm conductorul de sarcină și să găsim puterea câmpului electric în spațiul înconjurător. Mărimea câmpului electric de deplasare este

pentru

, de aceea:

.

Tensiunea conductorului reprezintă următoarea expresie:

Valoarea capacității se obține prin definiție din expresia:

.

Metoda 2. Să considerăm o bilă conducătoare înconjurată de un dielectric ca un sistem de condensatoare sferice conectate în serie (vezi figura). Folosind rezultatul exercițiului 7.4, pentru valorile capacității obținem:,

. Capacitatea întregului sistem este determinată de expresie

,

care, desigur, coincide cu rezultatul obținut în metoda 1.

Condensator plat

Exemplul 7.2.

Spațiul dintre plăci condensator plat umplut cu un dielectric a cărui permeabilitate depinde de distanță X la unul din paramentele conform legii

, unde  1 este o constantă, d - distanta dintre placi. Zona fiecărei căptușeli S. Aflați capacitatea condensatorului.

Soluţie.

Să ne imaginăm un condensator plin cu un dielectric neomogen ca un sistem infinit de condensatoare elementare conectate în serie, a căror capacitate este egală cu

. Capacitatea întregului sistem este determinată de expresia:

Din care obținem:

.

Condensator sferic

Exemplul 7.3.

Aflați capacitatea unui condensator sferic, ale cărui raze ale plăcilor Ași b, și A < b r spre centrul condensatorului

, Unde

.

Soluţie.

Metoda 1.

Ca și în exemplul anterior, un condensator sferic cu o distribuție dielectrică neuniformă, dar simetrică sferic poate fi reprezentat ca un sistem de condensatoare sferice elementare conectate în serie cu capacități.

și găsiți capacitatea sistemului ca

.

Metoda 2.

Mărimea câmpului electric de deplasare în acest caz va fi egală cu

, iar puterea acestui câmp este determinată de expresia Valoarea tensiunii, în acest caz, va fi egală cu și valoarea capacității.

Condensator cilindric

Exemplul 7.4.

Aflați capacitatea unui condensator cilindric de lungime l, ale căror razele plăcilor Ași b, și A < b, dacă spațiul dintre plăci este umplut cu un dielectric, a cărui permeabilitate depinde de distanță r la axa condensatorului ca

, Unde

.

Soluţie. Imaginați-vă un condensator cilindric ca condensatori elementari conectați în serie cu o capacitate

. Valoarea capacității întregului sistem de condensatoare elementare poate fi găsită din relație

De aici obținem în sfârșit răspunsul:

.

Exemplul 7.5.

Un condensator cilindric are un diametru exterior al plăcii .Care ar trebui să fie diametrul căptușelii interioare astfel încât la o tensiune dată pe condensator tensiune câmp electric pe căptușeala interioară

a fost minimul?

Soluţie. Mărimea intensității câmpului electric pe căptușeala interioară

afla din urmatoarele relatii. Înlocuirea capacității unui condensator cilindric (vezi exercițiul 7.5), duce la expresia:

.

Pentru a găsi extremul, găsim derivata numitorului (deoarece numărătorul are o valoare fixă)

.

Echivalând-o cu zero, găsim

. Că corespunde minimului

, poate fi verificată luând derivata a doua și determinându-i semnul la

.

Conectarea condensatoarelor

Exemplul 7.6.

Patru condensatoare cu capacități

și conectat așa cum se arată în figură. Ce raport ar trebui să satisfacă capacitățile condensatoarelor astfel încât diferența de potențial dintre puncte și a fost egal cu zero?

Soluţie. Deoarece sarcina este aceeași pe condensatoarele conectate în serie 1 și 2, relația este îndeplinită

.

O relație similară trebuie să fie valabilă pentru condensatoarele 3 și 4:

.

Între puncte și nu a existat nici o diferență de potențial, este necesar ca egalitățile

și

. Împărțind termen cu termen rapoartele care exprimă egalitatea sarcinilor și reducând cu diferențele de potențial egale, obținem

.

Capacitate reciprocă

Exemplul 7.7.

Sunt doi conductori foarte îndepărtați unul de celălalt. Capacitatea unuia C 1, taxa sa Q unu . Capacitatea celui de-al doilea conductor C 2, taxa Q 2. Condensator neîncărcat inițial DIN conectate cu fire subțiri la acești conductori. Găsiți taxa q condensator C.

R

soluţie. După conectarea condensatorului și stabilirea echilibrului electrostatic, sarcinile și potențialele conductorilor și plăcilor condensatorului vor fi așa cum se arată în figură. Potențialele conductoarelor de la distanță vor fi legate de sarcinile de pe aceștia prin relațiile:

,

. Pentru tensiunea pe condensator, scriem relația:

din care se poate obţine algebric valoarea sarcinii condensatorului şi se poate prezenta sub forma.

PROBLEMA 1. Spațiul dintre plăcile unui condensator plat este umplut fără gol cu ​​două straturi de dielectrici paralele cu plăcile. Primul strat este gros de porțelan d 1 = 2 mm, al doilea - ebonită groasă
d 2 = 1,5 mm. Determinați capacitatea C un astfel de condensator, dacă zona plăcilor S\u003d 100 cm 2.

ANALIZĂ. Pentru a rezolva problema, reprezentăm un condensator cu dielectrici ca doi condensatori conectați în serie. Tensiunea pe condensator este U= U 1 +U 2, unde U 1 și U 2 - tensiuni pe straturi dielectrice. Pentru a afla capacitatea unui condensator DIN, trebuie să știți U 1 și U 2. Pentru a face acest lucru, ar trebui să folosiți relația dintre rezistență și potențial și condițiile de la interfața dintre doi dielectrici și, de asemenea, să țineți cont de faptul că componenta normală a vectorului de deplasare nu se modifică la traversarea interfeței.

SOLUŢIE. Capacitatea condensatorului este C= q/U= q/(U 1 +U 2), (2.3.1)

Unde q- sarcina plăcii (Fig. 2.3.1).

Câmpul din interiorul condensatorului este uniform, deci relația dintre putere și potențial dă

U 1 = E 1 d 1 , U 2 = E 2 d 2; de aceea .

Vectorul intensitate este legat de vectorul deplasare electrică prin relația sau .

Pentru că

Unde este densitatea de sarcină la suprafață, obținem

Să verificăm dimensiunea: .

Înlocuind valorile, obținem:

RĂSPUNS: DIN= 98,3 pF.

PROBLEMA 2. Două condensatoare plate de aceeași capacitate electrică ( C 1 = C 2) conectat într-o baterie în serie și conectat la o sursă de curent cu forta electromotoare. Cum se va schimba diferența de potențial U 1 pe plăcile primului condensator, dacă spațiul dintre plăcile celui de-al doilea condensator, fără a opri sursa de curent, este umplut cu un dielectric cu o permitivitate e = 7 (Fig. 2.3.2)?

ANALIZĂ. Înainte de a umple al doilea condensator cu un dielectric, diferența de potențial de pe plăcile ambelor condensatoare a fost aceeași

După umplere, sursa de curent nu a fost oprită, astfel încât diferența totală de potențial pe banca de condensatoare a rămas aceeași, a fost doar redistribuită între condensatori. Având în vedere că capacitatea celui de-al doilea condensator a crescut de e ori, puteți găsi o nouă diferență de potențial la primul condensator.

SOLUŢIE. După umplerea cu un dielectric, diferențele de potențial între condensatori au devenit egale

, (2.3.2.)

Unde q este sarcina de pe placa condensatorului, q¹ q 0 , capacitatea primului condensator nu s-a schimbat, C 1 ¢ = C 1 = C.

De la ora conexiune serialăÎncărcarea condensatoarelor pe fiecare placă și pe întreaga baterie este aceeași, atunci unde

apoi (2.3.3)

Înlocuind (2.3.3) în (2.3.2), obținem

Raportul dorit este

RĂSPUNS:

PROBLEMA 3. Raza miezului central al unui cablu coaxial este de 1,5 cm, raza mantalei este de 3,5 cm.Intre miezul central si manta se aplica o diferenta de potential de 2300 V. Calculati puterea campului electric la distanta de 2 cm de axa cablului.

ANALIZĂ. Cablul poate fi asemănat cu un condensator cilindric. Câmp electric se creează doar rezidențialul central. Puterea acestui câmp ar trebui definită ca puterea câmpului unui filament încărcat infinit.

SOLUŢIE. Intensitatea câmpului cablului este

.(2.3.4)

Cablul este încărcat uniform, deci t= q/ .

Sarcina poate fi determinată dacă este cunoscută capacitatea condensatorului C, q= CU 0, atunci t= CU 0 / . (2.3.5)

Se știe că capacitatea unui condensator cilindric este determinată de formula: (2.3.6)

Folosind expresiile (2.3.5) și (2.3.6) obținem . (2.3.7)

Inlocuim (2.3.7) in egalitate (2.3.4):

Corectitudinea formulei din punct de vedere al dimensiunii este evidentă. Înlocuind valorile, obținem

PROBLEMA 4. Plat condensator de aer cu zona de placă S\u003d 500 cm 2, conectat la o sursă de curent, al cărui EMF ξ \u003d 300 V. Determinați lucrul DAR forțe externe pentru a împinge plăcile de la distanță d 1 = 1 cm înainte d 2 \u003d 3 cm în două cazuri: a) plăcile sunt deconectate de la sursa de curent înainte de a se depărta; b) plăcile în proces de extindere rămân conectate la acesta.

ANALIZĂ. În primul caz, sistemul de două plăci încărcate și deconectate de la sursa de curent poate fi considerat ca un sistem izolat, în raport cu care este valabilă legea conservării energiei. În acest caz, munca forțelor externe este egală cu schimbarea energiei sistemului , Unde W 2 – energia câmpului condensatorului în starea finală (cu distanța dintre plăci d 2), W 1 – energia câmpului condensatorului în starea inițială ( d= d 1).

În al doilea caz, plăcile rămân conectate la sursa de curent, iar sistemul de două plăci nu mai este izolat (încărcarea plăcilor, atunci când sunt depărtate, se deplasează la bornele bateriei). Diferența de potențial rămâne neschimbată atunci când plăcile sunt depărtate U= ξ. În acest caz și U= const,A C se schimba. Capacitatea condensatorului plat C= e 0 S/d va scădea, prin urmare, sarcina de pe plăci va scădea, q= CU, și puterea câmpului condensatorului E= U/d.

În acest caz, calculăm munca ca integrală , (2.3.8)

Unde E 1 – puterea câmpului creat de sarcina unei plăci.

SOLUŢIE. In primul caz, sarcina q a fiecăreia dintre plăcile deconectate de la sursă nu se modifică atunci când sunt depărtate, q = C 1 x .

Energia câmpului electric al condensatorului este

de aceea . (2.3.9)

Capacitățile electrice sunt, respectiv, egale (2.3.10)

Înlocuind (2.3.10) în (2.3.9), obținem

Să verificăm dimensiunea: .

Înlocuind valorile, obținem .

Considera al doilea caz.

Să exprimăm tensiunea E 1 câmp și încărcare q prin depărtare Xîntre plăci (Fig. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Înlocuind expresiile (2.3.11) și (2.3.12) în formula (2.3.8), obținem

Să verificăm dimensiunea: . Înlocuind valorile, obținem

RĂSPUNS:

Două plăci plate paralele între ele și separate de un dielectric alcătuiesc un condensator plat. Acesta este cel mai simplu reprezentant al condensatoarelor, care sunt concepute pentru a stoca energie diferită. Dacă plăcilor li se dă o sarcină egală ca mărime, dar diferită ca mărime, atunci câmpurile dintre conductori se vor dubla. Raportul dintre sarcina unuia dintre conductori și tensiunea dintre plăcile condensatorului se numește capacitatea electrică:

Dacă dispunerea plăcilor este neschimbată, atunci poate fi considerată o constantă pentru orice sarcină a conductorilor. În sistemul internațional de măsurători, unitatea de măsură a capacității electrice este Farad (F). Un condensator plat are o putere egală cu suma rezistențelor create de conductori (E 1 +E 2 ... + E n ). Valori vectoriale. Valoarea capacității electrice este direct proporțională cu aria plăcilor și invers proporțională cu distanța dintre ele. Aceasta înseamnă că, pentru a crește capacitatea condensatorului, este necesar să măriți suprafața plăcilor, reducând în același timp distanța dintre ele. În funcție de dielectricul utilizat, un condensator plat poate fi:

• Hârtie.
• Mica.
• Polistiren.
• ceramică.
• Aer.

Luați în considerare principiul dispozitivului folosind exemplul unui condensator de hârtie. Hârtia tratată cu parafină este utilizată în acest caz ca dielectric. Un dielectric este așezat între două benzi de folie, care acționează ca conductori. Întreaga structură este rulată într-o rolă, în care sunt introduse cabluri pentru a se conecta. Acest model este plasat într-o carcasă ceramică sau metalică. Un condensator cu aer plat și alte tipuri de dispozitive de stocare a încărcăturii au un design similar, doar materialele după care este numit condensatorul însuși sunt folosite ca mediu dielectric. Când rezolvați probleme în care este necesar să găsiți cantitățile necesare, nu uitați să utilizați valoarea care caracterizează dielectricul - permisivitatea mediu inconjurator.

Condensatoarele lichide și lichide uscate sunt utilizate în inginerie radio.Condensatoarele lichide sunt în care este plasată o placă de aluminiu oxidat. Această substanță se află într-o carcasă metalică. Electrolitul folosit este o soluție de acid boric și alte amestecuri. Vederea uscată a unităților se realizează prin plierea a trei benzi, dintre care una din aluminiu, cealaltă este metalică, iar între ele se află un strat de tifon impregnat cu un electrolit vâscos. Rola este plasată într-o carcasă de aluminiu și umplută cu bitum. Condensatorul plat are o gamă largă de aplicații și un cost redus. Din păcate, aceste modele nu vor înlocui bateriile pentru noi, deoarece energia unui condensator plat este foarte mică, iar încărcarea „se scurge” foarte repede. Nu sunt potrivite ca surse de energie electrică, dar au un avantaj - atunci când se încarcă printr-un circuit cu rezistență scăzută, eliberează instantaneu energia acumulată.