Det som kalles et ligningssystem. Ligningssystemer

Materialet i denne artikkelen er ment for det første bekjentskapet med ligningssystemer. Her introduserer vi definisjonen av et ligningssystem og dets løsninger, og vurderer også de vanligste typene ligningssystemer. Som vanlig vil vi gi forklarende eksempler.

Sidenavigering.

Hva er et ligningssystem?

Vi vil gradvis nærme oss definisjonen av ligningssystemet. Først, la oss bare si at det er praktisk å gi det, og peke på to punkter: for det første, typen post, og for det andre betydningen som er innebygd i denne posten. La oss dvele ved dem etter tur, og deretter generalisere resonnementet til definisjonen av ligningssystemer.

La oss ha noen av dem foran oss. La oss for eksempel ta to ligninger 2 x+y=−3 og x=5 . Vi skriver dem under hverandre og forener dem med en krøllete parentes til venstre:

Opptegnelser av denne typen, som er flere ligninger arrangert i en kolonne og forent til venstre med en krøllete parentes, er registreringer av ligningssystemer.

Hva betyr slike poster? De definerer settet av alle slike løsninger av likningene til systemet, som er løsningen til hver likning.

Det skader ikke å beskrive det med andre ord. Anta at noen løsninger til den første ligningen er løsninger på alle andre ligninger i systemet. Og så systemregistrering angir dem også.

Nå er vi klare til å godta definisjonen av et ligningssystem.

Definisjon.

Ligningssystemer kalles poster, som er ligninger plassert under hverandre, forent til venstre av en krøllete parentes, som betegner settet av alle løsninger av ligninger som samtidig er løsninger til hver ligning i systemet.

En lignende definisjon er gitt i læreboken, men der er den ikke gitt for det generelle tilfellet, men for to rasjonelle ligninger med to variabler.

Hovedtyper

Det er tydelig at det finnes uendelig mange forskjellige ligninger. Naturligvis er det også uendelig mange ligningssystemer kompilert ved hjelp av dem. Derfor, for å gjøre det lettere å studere og jobbe med ligningssystemer, er det fornuftig å dele dem inn i grupper i henhold til lignende egenskaper, og deretter fortsette å vurdere ligningssystemer av individuelle typer.

Den første underavdelingen foreslår seg selv ved antall ligninger som er inkludert i systemet. Hvis det er to ligninger, så kan vi si at vi har et system med to ligninger, hvis det er tre, så et system med tre ligninger, osv. Det er klart at det ikke gir mening å snakke om et system med én ligning, siden vi i dette tilfellet faktisk har med selve ligningen å gjøre, og ikke med systemet.

Den neste divisjonen er basert på antall variabler som er involvert i å skrive likningene til systemet. Hvis det er én variabel, så har vi å gjøre med et ligningssystem med én variabel (de sier også med en ukjent), hvis det er to, så med et ligningssystem med to variabler (med to ukjente), osv. For eksempel, er et ligningssystem med to variabler x og y .

Dette refererer til antallet av alle forskjellige variabler som er involvert i posten. De trenger ikke å være inkludert på en gang i posten for hver ligning, det er nok å ha dem i minst én ligning. f.eks. er et ligningssystem med tre variabler x, y og z. I den første ligningen er variabelen x eksplisitt tilstede, mens y og z er implisitt (vi kan anta at disse variablene har null), og i den andre ligningen er x og z til stede, og variabelen y er ikke eksplisitt representert. Med andre ord kan den første ligningen sees på som , og den andre som x+0 y−3 z=0 .

Det tredje punktet der ligningssystemer er forskjellige, er formen til selve ligningene.

På skolen begynner studiet av ligningssystemer med systemer på to lineære ligninger med to variabler. Det vil si at slike systemer utgjør to lineære ligninger. Her er et par eksempler: Og . På dem læres det grunnleggende om å jobbe med ligningssystemer.

Når man løser mer komplekse problemer, kan man også møte systemer med tre lineære ligninger med tre ukjente.

Videre i 9. klasse legges ikke-lineære ligninger til systemene til to ligninger med to variabler, for det meste hele ligninger av andre grad, sjeldnere av høyere grader. Disse systemene kalles systemer med ikke-lineære ligninger; om nødvendig spesifiseres antall ligninger og ukjente. La oss vise eksempler på slike systemer med ikke-lineære ligninger: Og .

Og så i systemene er det også f.eks. De kalles vanligvis ganske enkelt ligningssystemer, uten å spesifisere hvilke ligninger. Her er det verdt å merke seg at de oftest bare sier "likningssystem" om et ligningssystem, og avgrensninger legges bare til hvis nødvendig.

På videregående, når materialet studeres, trenger irrasjonelle, trigonometriske, logaritmiske og eksponentielle ligninger inn i systemene: , , .

Hvis du ser enda mer inn i programmet for de første kursene til universiteter, er hovedvekten på studiet og løsningen av systemer med lineære algebraiske ligninger (SLAE), det vil si ligninger, i de venstre delene av disse er polynomer av første grad, og til høyre - noen tall. Men der, i motsetning til skolen, er ikke to lineære ligninger med to variabler allerede tatt, men et vilkårlig antall ligninger med et vilkårlig antall variabler, ofte ikke sammenfallende med antall ligninger.

Hva er løsningen av et ligningssystem?

Begrepet "løsning av et ligningssystem" refererer direkte til ligningssystemer. Skolen gir en definisjon på å løse et likningssystem med to variabler :

Definisjon.

Løse et ligningssystem med to variabler et par verdier av disse variablene kalles, som gjør hver likning i systemet til den riktige, med andre ord, som er løsningen på hver likning i systemet.

For eksempel er et par variabelverdier x=5 , y=2 (det kan skrives som (5, 2) ) en løsning på et ligningssystem per definisjon, siden systemets ligninger, når x= 5 , y=2 erstattes med dem, blir til sanne numeriske likheter 5+2=7 og 5−2=3 henholdsvis. Men verdiparet x=3, y=0 er ikke en løsning på dette systemet, siden når disse verdiene erstattes i ligningene, vil den første av dem bli til en ukorrekt likhet 3+0=7.

Lignende definisjoner kan formuleres for systemer med én variabel, samt for systemer med tre, fire osv. variabler.

Definisjon.

Løse et ligningssystem med én variabel det vil være en variabelverdi som er roten til alle likninger i systemet, det vil si som gjør alle likninger til sanne numeriske likheter.

La oss ta et eksempel. Tenk på et ligningssystem med én variabel t av formen . Tallet −2 er løsningen, siden både (−2) 2 =4 og 5·(−2+2)=0 er sanne numeriske likheter. Og t=1 er ikke en løsning på systemet, siden substitusjon av denne verdien vil gi to ukorrekte likheter 1 2 =4 og 5·(1+2)=0 .

Definisjon.

Løsningen av et system med tre, fire osv. variabler kalt en trippel, en firedobbel osv. verdiene til variablene, henholdsvis, som konverterer alle likninger i systemet til sanne likheter.

Så per definisjon er trippelen av verdier til variablene x=1 , y=2 , z=0 løsningen på systemet , siden 2 1=2 , 5 2=10 og 1+2+0=3 er korrekte numeriske likheter. Og (1, 0, 5) er ikke en løsning på dette systemet, siden når disse verdiene av variabler erstattes i likningene til systemet, blir den andre av dem til en ukorrekt likhet 5 0=10 , og den tredje en er også 1+0+5=3.

Merk at likningssystemer kanskje ikke har løsninger, kan ha et begrenset antall løsninger, for eksempel en, to, ..., eller kan ha uendelig mange løsninger. Du vil se dette når du går dypere inn i emnet.

Når vi tar i betraktning definisjonene av et likningssystem og deres løsninger, kan vi konkludere med at løsningen av et likningssystem er skjæringspunktet mellom løsningssettene til alle dets likninger.

For å konkludere, her er noen relaterte definisjoner:

Definisjon.

uforenlig hvis det ikke har noen løsninger, ellers kalles systemet ledd.

Definisjon.

Ligningssystemet kalles usikker hvis den har uendelig mange løsninger, og sikker, hvis den har et begrenset antall løsninger, eller har ingen i det hele tatt.

Disse begrepene introduseres for eksempel i en lærebok, men de brukes sjelden på skolen, oftere kan de høres i høyere utdanningsinstitusjoner.

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 7 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: Klasse 9: lærebok. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14.00 Del 1. En lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovich A.G. Algebra. Karakter 9 Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utgave, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Klokken 2. Del 1. En lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner ( profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 celler. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. utg.- M.: Opplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
A.G. Kurosh. Forløp av høyere algebra.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri: Lærebok: For universiteter. – 5. utg. – M.: Vitenskap. Fizmatlit, 1999. - 224 s. – (Kurs i høyere matematikk og matematisk fysikk). – ISBN 5-02-015234 – X (utgave 3)

I denne leksjonen vil vi vurdere metoder for å løse et system med lineære ligninger. I løpet av høyere matematikk kreves det at systemer med lineære ligninger løses både i form av separate oppgaver, for eksempel "Løs systemet ved hjelp av Cramers formler", og i løpet av å løse andre problemer. Man må forholde seg til systemer av lineære ligninger i nesten alle grener av høyere matematikk.

Først en liten teori. Hva betyr det matematiske ordet "lineær" i dette tilfellet? Dette betyr at i likningene til systemet Alle variabler er inkludert i første grad: ingen fancy ting som osv., som bare deltakere av matematiske olympiader gleder seg over.

I høyere matematikk brukes ikke bare bokstaver kjent fra barndommen til å angi variabler.
Et ganske populært alternativ er variabler med indekser: .
Eller de første bokstavene i det latinske alfabetet, små og store:
Det er ikke så sjeldent å finne greske bokstaver: - velkjent for mange "alfa, beta, gamma". Og også et sett med indekser, si, med bokstaven "mu":

Bruken av et eller annet sett med bokstaver avhenger av grenen av høyere matematikk der vi står overfor et system av lineære ligninger. Så, for eksempel, i systemer med lineære ligninger som oppstår ved løsning av integraler, differensiallikninger tradisjonelt brukt notasjon

Men uansett hvordan variablene er utpekt, endres ikke prinsippene, metodene og metodene for å løse et system av lineære ligninger fra dette. Derfor, hvis du kommer over noe forferdelig som, ikke skynd deg å lukke problemboken i frykt, tross alt, i stedet kan du tegne solen, i stedet - en fugl, og i stedet - et ansikt (av en lærer). Og merkelig nok kan et system med lineære ligninger med disse notasjonene også løses.

Noe jeg har en slik forutanelse om at artikkelen vil vise seg å bli ganske lang, så en liten innholdsfortegnelse. Så den sekvensielle "debriefingen" vil være som følger:

– Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av substitusjonsmetoden ("skolemetoden");
– Løsning av systemet ved hjelp av metode for ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemets ligninger;
– Løsning av systemet ved Cramers formler;
– Løsning av systemet ved hjelp av den inverse matrisen;
– Løsning av systemet ved Gauss-metoden.

Alle er kjent med lineære ligningssystemer fra skolematematikkkurset. Faktisk starter vi med repetisjon.

Løse et system av lineære ligninger ved substitusjonsmetoden

Denne metoden kan også kalles "skolemetoden" eller metoden for å eliminere ukjente. Billedlig talt kan det også kalles «halvferdig Gauss-metoden».

Eksempel 1

Her har vi et system med to likninger med to ukjente. Merk at de frie leddene (nummer 5 og 7) er plassert på venstre side av ligningen. Generelt sett spiller det ingen rolle hvor de er, til venstre eller til høyre, det er bare det at i oppgaver i høyere matematikk er de ofte plassert på den måten. Og en slik post bør ikke være forvirrende, om nødvendig kan systemet alltid skrives "som vanlig":. Ikke glem at når du overfører et begrep fra del til del, må du endre tegnet.

Hva vil det si å løse et system med lineære ligninger? Å løse et ligningssystem betyr å finne settet av dets løsninger. Løsningen til systemet er et sett med verdier av alle variabler som er inkludert i det, som gjør HVER likning i systemet til en ekte likhet. I tillegg kan systemet være uforenlig (har ingen løsninger).Ikke vær sjenert, dette er en generell definisjon =) Vi vil bare ha én verdi av "x" og en verdi av "y", som tilfredsstiller hver ligning med-vi.

Det er en grafisk metode for å løse systemet, som finnes i leksjonen. De enkleste problemene med en rett linje. Der snakket jeg om geometrisk sans systemer av to lineære ligninger med to ukjente. Men nå i gården er algebraens epoke, og tall-tall, handlinger-handlinger.

Vi bestemmer: fra den første ligningen uttrykker vi:
Vi erstatter det resulterende uttrykket i den andre ligningen:

Vi åpner parentesene, gir like termer og finner verdien:

Deretter husker vi hva de danset fra:
Vi vet allerede verdien, det gjenstår å finne:

Svar:

Etter at NOEN likningssystem er løst på NOEN måte, anbefaler jeg på det sterkeste å sjekke (muntlig, på utkast eller kalkulator). Heldigvis gjøres dette raskt og enkelt.

1) Erstatt det funnet svaret i den første ligningen:

- riktig likestilling oppnås.

2) Vi erstatter det funnet svaret i den andre ligningen:

- riktig likestilling oppnås.

Eller, for å si det enklere, "alt kom sammen"

Den vurderte løsningsmetoden er ikke den eneste; fra den første ligningen var det mulig å uttrykke , men ikke .
Du kan omvendt - uttrykke noe fra den andre ligningen og erstatte den med den første ligningen. Merk forresten at den mest ugunstige av de fire måtene er å uttrykke fra den andre ligningen:

Brøker oppnås, men hvorfor er det? Det finnes en mer rasjonell løsning.

Men i noen tilfeller er fraksjoner fortsatt uunnværlige. I denne forbindelse henleder jeg oppmerksomheten på HVORDAN jeg skrev uttrykket. Ikke slik: og på ingen måte slik: .

Hvis du i høyere matematikk har å gjøre med brøktall, prøv å utføre alle beregninger i vanlige uekte brøker.

Nettopp, ikke eller!

Kommaet kan bare brukes av og til, spesielt hvis - dette er det endelige svaret på et problem, og ingen ytterligere handlinger trenger å utføres med dette nummeret.

Mange lesere tenkte nok "hvorfor en så detaljert forklaring, som for en korreksjonsklasse, og alt er klart". Ingenting av det slaget, det ser ut til å være et så enkelt skoleeksempel, men hvor mange VELDIG viktige konklusjoner! Her er en annen:

Enhver oppgave bør etterstrebes å bli utført på den mest rasjonelle måten.. Om ikke annet fordi det sparer tid og nerver, og også reduserer sannsynligheten for å gjøre en feil.

Hvis du i en oppgave i høyere matematikk kommer over et system med to lineære ligninger med to ukjente, så kan du alltid bruke substitusjonsmetoden (med mindre det er indikert at systemet må løses med en annen metode) ".
Dessuten er det i noen tilfeller tilrådelig å bruke substitusjonsmetoden med et større antall variabler.

Eksempel 2

Løs et system med lineære ligninger med tre ukjente

Et lignende ligningssystem oppstår ofte ved bruk av den såkalte metoden for ubestemte koeffisienter, når vi finner integralet til en rasjonell brøkfunksjon. Det aktuelle systemet ble tatt av meg derfra.

Når du finner integralet - målet fort finne verdiene til koeffisientene, og ikke være sofistikert med Cramers formler, metoden invers matrise etc. Derfor, i dette tilfellet, er substitusjonsmetoden passende.

Når et hvilket som helst ligningssystem er gitt, er det først og fremst ønskelig å finne ut, men er det mulig på en eller annen måte å forenkle det UMIDDELBART? Ved å analysere likningene til systemet legger vi merke til at den andre likningen i systemet kan deles på 2, noe vi gjør:

Henvisning: et matematisk symbol betyr "av dette følger dette", det brukes ofte i løpet av problemløsning.

Nå analyserer vi ligningene, vi må uttrykke en eller annen variabel gjennom resten. Hvilken ligning å velge? Du har sikkert allerede gjettet at den enkleste måten for dette formålet er å ta den første ligningen av systemet:

Her spiller det ingen rolle hvilken variabel som skal uttrykkes, man kan like gjerne uttrykke eller .

Deretter erstatter vi uttrykket i den andre og tredje likningen av systemet:

Åpne parentesene og legg til lignende termer:

Vi deler den tredje ligningen på 2:

Fra den andre ligningen uttrykker og erstatter vi inn i den tredje ligningen:

Nesten alt er klart, fra den tredje ligningen finner vi:
Fra den andre ligningen:
Fra den første ligningen:

Sjekk: Bytt ut de funnet verdiene til variablene på venstre side av hver ligning i systemet:

1)
2)
3)

De korresponderende høyresidene av ligningene oppnås, så løsningen blir funnet riktig.

Eksempel 3

Løs et system av lineære ligninger med 4 ukjente

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

Løsning av systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemets ligninger

I løpet av å løse systemer av lineære ligninger, bør man prøve å ikke bruke "skolemetoden", men metoden for termin-for-ledd addisjon (subtraksjon) av likningene til systemet. Hvorfor? Dette sparer tid og forenkler beregninger, men nå blir det tydeligere.

Eksempel 4

Løs systemet med lineære ligninger:

Jeg tok det samme systemet som det første eksemplet.
Ved å analysere ligningssystemet legger vi merke til at koeffisientene til variabelen er identiske i absolutt verdi og motsatte i fortegn (–1 og 1). I denne situasjonen kan ligningene legges til ledd for ledd:

Handlinger sirklet i rødt utføres MENTALT.
Som du kan se, som et resultat av termvis addisjon, har vi mistet variabelen . Dette er faktisk det essensen av metoden er å kvitte seg med en av variablene.

Løs systemet med to ukjente - dette betyr å finne alle par med variabelverdier som tilfredsstiller hver av de gitte ligningene. Hvert slikt par kalles systemløsning.

Eksempel:
Verdiparet $x=3$;$y=-1$ er en løsning på det første systemet, fordi ved å erstatte disse trippel- og minus-en i systemet i stedet for $x$ og \ (y\), begge likningene blir til gyldige likheter $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) $

Men $x=1$; $y=-2$ - er ikke en løsning på det første systemet, fordi etter substitusjon "konvergerer ikke den andre ligningen" $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)$

Merk at slike par ofte skrives kortere: i stedet for "$x=3$; $y=-1$" skriver de slik: $(3;-1)$.

Hvordan løse et system med lineære ligninger?

Det er tre hovedmåter å løse systemer med lineære ligninger:

Substitusjonsmetode.

$\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)$$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

Erstatt det resulterende uttrykket i stedet for denne variabelen med en annen ligning av systemet.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)$

I den andre ligningen er hvert ledd partall, så vi forenkler ligningen ved å dele den med $2$.

$\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)$

Dette systemet kan løses på alle måtene, men det ser ut til at substitusjonsmetoden er den mest praktiske her. La oss uttrykke y fra den andre ligningen.

$\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)$

Bytt inn $6x-13$ for $y$ i den første ligningen.

$\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)$

Den første ligningen er blitt normal. Vi løser det.

La oss åpne parentesene først.

$\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)$

La oss flytte $117$ til høyre og gi like vilkår.

$\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)$

Del begge sider av den første ligningen med $67$.

$\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)$

Hurra, vi fant $x$! Bytt inn verdien i den andre ligningen og finn $y$.

$\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)$$\Leftrightarrow$$\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )$

La oss skrive ned svaret.

Med denne videoen begynner jeg en serie leksjoner om ligningssystemer. I dag skal vi snakke om å løse systemer av lineære ligninger tilleggsmetode- er en av de mest enkle måter men også en av de mest effektive.

Tilleggsmetoden består av tre enkle trinn:

Se på systemet og velg en variabel som har de samme (eller motsatte) koeffisientene i hver ligning;
Utfør algebraisk subtraksjon (for motsatte tall - addisjon) av ligninger fra hverandre, og ta deretter like termer;
Løs den nye ligningen oppnådd etter det andre trinnet.

Hvis alt er gjort riktig, vil vi ved utgangen få en enkelt ligning med én variabel- Det blir ikke vanskelig å løse. Da gjenstår det bare å erstatte den funnet roten i det opprinnelige systemet og få det endelige svaret.

Men i praksis er det ikke så enkelt. Det er flere grunner til dette:

Å løse likninger ved addisjon innebærer at alle rader må inneholde variabler med samme/motsatte koeffisienter. Hva om dette kravet ikke er oppfylt?
Ikke alltid, etter å legge til / subtrahere ligninger på denne måten, vil vi få en vakker konstruksjon som er lett å løse. Er det mulig på en eller annen måte å forenkle beregningene og fremskynde beregningene?

For å få svar på disse spørsmålene, og samtidig håndtere noen ekstra finesser som mange studenter "faller over", se videoopplæringen min:

Med denne leksjonen begynner vi en serie forelesninger om likningssystemer. Og vi starter med den enkleste av dem, nemlig de som inneholder to likninger og to variabler. Hver av dem vil være lineær.

Systemer er et 7.klassemateriale, men denne leksjonen vil også være nyttig for videregående elever som ønsker å friske opp kunnskapen sin om dette emnet.

Generelt er det to metoder for å løse slike systemer:

Tilsetningsmetode;
En metode for å uttrykke en variabel i form av en annen.

I dag skal vi behandle den første metoden - vi vil bruke metoden for subtraksjon og addisjon. Men for dette må du forstå følgende faktum: når du har to eller flere ligninger, kan du ta to av dem og legge dem sammen. De legges til termin for termin, dvs. "Xs" legges til "Xs" og lignende er gitt;

Resultatene av slike maskineri vil være en ny ligning, som, hvis den har røtter, absolutt vil være blant røttene til den opprinnelige ligningen. Så vår oppgave er å gjøre subtraksjonen eller addisjonen på en slik måte at enten $x$ eller $y$ forsvinner.

Hvordan oppnå dette og hvilket verktøy du skal bruke for dette - vi skal snakke om dette nå.

Løse enkle problemer ved hjelp av tilleggsmetoden

Så vi lærer å bruke addisjonsmetoden ved å bruke eksemplet med to enkle uttrykk.

Oppgave 1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Merk at $y$ har en koeffisient på $-4$ i den første ligningen, og $+4$ i den andre. De er gjensidig motsatte, så det er logisk å anta at hvis vi legger dem sammen, vil "spillene" gjensidig utslette i den resulterende mengden. Vi legger til og får:

Vi løser den enkleste konstruksjonen:

Flott, vi fant X. Hva skal man gjøre med ham nå? Vi kan erstatte det i hvilken som helst av ligningene. La oss legge det inn i den første:

\[-4y=12\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

Svar: $\left(2;-3\right)$.

Oppgave #2

\[\venstre\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Her er situasjonen helt lik, bare med X-ene. La oss sette dem sammen:

Vi har den enkleste lineære ligningen, la oss løse den:

La oss nå finne $x$:

Svar: $\left(-3;3\right)$.

Viktige poeng

Så vi har nettopp løst to enkle systemer med lineære ligninger ved å bruke addisjonsmetoden. Nok en gang hovedpunktene:

Hvis det er motsatte koeffisienter for en av variablene, er det nødvendig å legge til alle variablene i ligningen. I dette tilfellet vil en av dem bli ødelagt.
Vi erstatter den funnet variabelen i en av likningene i systemet for å finne den andre.
Den endelige registreringen av svaret kan presenteres på forskjellige måter. For eksempel, som dette - $x=...,y=...$, eller i form av koordinater av punkter - $\left(...;... \right)$. Det andre alternativet er å foretrekke. Det viktigste å huske er at den første koordinaten er $x$, og den andre er $y$.
Regelen om å skrive svaret i form av punktkoordinater er ikke alltid aktuelt. For eksempel kan den ikke brukes når rollen til variabler ikke er $x$ og $y$, men for eksempel $a$ og $b$.

I de følgende oppgavene vil vi vurdere subtraksjonsteknikken når koeffisientene ikke er motsatte.

Løse enkle problemer ved hjelp av subtraksjonsmetoden

Oppgave 1

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Merk at det ikke er noen motsatte koeffisienter her, men det er identiske. Derfor trekker vi den andre likningen fra den første likningen:

Nå erstatter vi verdien av $x$ i hvilken som helst av likningene til systemet. La oss gå først:

Svar: $\left(2;5\right)$.

Oppgave #2

\[\venstre\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vi ser igjen den samme koeffisienten $5$ for $x$ i den første og andre ligningen. Derfor er det logisk å anta at du må trekke den andre fra den første ligningen:

Vi har beregnet én variabel. La oss nå finne den andre, for eksempel ved å erstatte verdien av $y$ i den andre konstruksjonen:

Svar: $\left(-3;-2 \right)$.

Nyanser av løsningen

Så hva ser vi? I hovedsak er ordningen ikke forskjellig fra løsningen til tidligere systemer. Den eneste forskjellen er at vi ikke legger til ligninger, men trekker dem fra. Vi gjør algebraisk subtraksjon.

Med andre ord, så snart du ser et system som består av to ligninger med to ukjente, er det første du må se på koeffisientene. Hvis de er like hvor som helst, trekkes likningene fra, og hvis de er motsatte, brukes addisjonsmetoden. Dette gjøres alltid slik at en av dem forsvinner, og i den endelige ligningen som gjenstår etter subtraksjon, ville bare én variabel stå igjen.

Det er selvfølgelig ikke alt. Nå skal vi vurdere systemer der likningene generelt er inkonsistente. De. det er ingen slike variabler i dem som enten vil være like eller motsatte. I dette tilfellet, for å løse slike systemer, brukes en ekstra teknikk, nemlig multiplikasjonen av hver av ligningene med en spesiell koeffisient. Hvordan finne det og hvordan løse slike systemer generelt, nå skal vi snakke om dette.

Løse problemer ved å multiplisere med en koeffisient

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vi ser at hverken for $x$ eller for $y$ er koeffisientene ikke bare innbyrdes motsatte, men generelt sett korrelerer de ikke på noen måte med en annen ligning. Disse koeffisientene vil ikke forsvinne på noen måte, selv om vi legger til eller trekker fra likningene fra hverandre. Derfor er det nødvendig å bruke multiplikasjon. La oss prøve å bli kvitt $y$-variabelen. For å gjøre dette multipliserer vi den første likningen med koeffisienten $y$ fra den andre likningen, og den andre likningen med koeffisienten $y$ fra den første likningen, uten å endre fortegnet. Vi multipliserer og får et nytt system:

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

La oss se på det: for $y$, motsatte koeffisienter. I en slik situasjon er det nødvendig å bruke addisjonsmetoden. La oss legge til:

Nå må vi finne $y$. For å gjøre dette, erstatte $x$ i det første uttrykket:

\[-9y=18\venstre| :\left(-9 \right) \right.\]

Svar: $\left(4;-2\right)$.

Eksempel #2

\[\venstre\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Igjen er koeffisientene for ingen av variablene konsistente. La oss multiplisere med koeffisientene ved $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\venstre\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Vårt nye system er ekvivalent med det forrige, men koeffisientene til $y$ er innbyrdes motsatte, og derfor er det enkelt å bruke addisjonsmetoden her:

Finn nå $y$ ved å erstatte $x$ i den første ligningen:

Svar: $\left(-2;1\right)$.

Nyanser av løsningen

Nøkkelregelen her er følgende: multipliser alltid bare med positive tall - dette vil spare deg for dumme og støtende feil knyttet til å skifte tegn. Generelt er løsningsskjemaet ganske enkelt:

Vi ser på systemet og analyserer hver ligning.
Hvis vi ser at verken for $y$ eller for $x$ er koeffisientene konsistente, dvs. de er verken like eller motsatte, da gjør vi følgende: velg variabelen du vil bli kvitt, og se så på koeffisientene i disse ligningene. Hvis vi multipliserer den første ligningen med koeffisienten fra den andre, og multipliserer den andre tilsvarende med koeffisienten fra den første, så får vi til slutt et system som er helt ekvivalent med den forrige, og koeffisientene ved $y $ vil være konsekvent. Alle våre handlinger eller transformasjoner er kun rettet mot å få én variabel i én ligning.
Vi finner én variabel.
Vi erstatter den funnet variabelen i en av de to likningene i systemet og finner den andre.
Vi skriver svaret i form av koordinater av poeng, hvis vi har variabler $x$ og $y$.

Men selv en så enkel algoritme har sine egne finesser, for eksempel kan koeffisientene til $x$ eller $y$ være brøker og andre "stygge" tall. Vi vil nå vurdere disse tilfellene separat, fordi du i dem kan handle på en litt annen måte enn i henhold til standardalgoritmen.

Løse problemer med brøktall

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Først, merk at den andre ligningen inneholder brøker. Men merk at du kan dele $4$ med $0,8$. Vi får $5$. La oss multiplisere den andre ligningen med $5$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vi trekker likningene fra hverandre:

$n$ vi fant, nå beregner vi $m$:

Svar: $n=-4;m=5$

Eksempel #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Ikke sant.\]

Her, som i det forrige systemet, er det brøkkoeffisienter, men for ingen av variablene passer ikke koeffisientene inn i hverandre et helt antall ganger. Derfor bruker vi standardalgoritmen. Bli kvitt $p$:

\[\venstre\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

La oss bruke subtraksjonsmetoden:

La oss finne $p$ ved å erstatte $k$ i den andre konstruksjonen:

Svar: $p=-4;k=-2$.

Nyanser av løsningen

Det er alt optimalisering. I den første ligningen multipliserte vi ikke med noe i det hele tatt, og den andre ligningen ble multiplisert med $5$. Som et resultat har vi fått en konsistent og jevn samme ligning for den første variabelen. I det andre systemet handlet vi i henhold til standardalgoritmen.

Men hvordan finner du tallene du trenger for å multiplisere ligningene? Tross alt, hvis vi multipliserer med brøktall, får vi nye brøker. Derfor må brøkene multipliseres med et tall som vil gi et nytt heltall, og deretter skal variablene multipliseres med koeffisienter, etter standardalgoritmen.

Avslutningsvis vil jeg gjøre deg oppmerksom på formatet på svarposten. Som jeg allerede har sagt, siden vi ikke har $x$ og $y$ her, men andre verdier, bruker vi en ikke-standard notasjon av formen:

Løse komplekse ligningssystemer

Som en siste touch til dagens videoopplæring, la oss se på et par veldig komplekse systemer. Deres kompleksitet vil bestå i at de vil inneholde variabler både til venstre og høyre. Derfor, for å løse dem, må vi bruke forbehandling.

System #1

\[\venstre\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Hver ligning har en viss kompleksitet. Derfor, med hvert uttrykk, la oss gjøre som med en normal lineær konstruksjon.

Totalt får vi det endelige systemet, som tilsvarer det originale:

\[\venstre\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

La oss se på koeffisientene til $y$: $3$ passer inn i $6$ to ganger, så vi multipliserer den første ligningen med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koeffisientene til $y$ er nå like, så vi trekker den andre fra den første ligningen: $$

La oss nå finne $y$:

Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\venstre(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

La oss transformere det første uttrykket:

La oss ta for oss det andre:

\[-3\venstre(b-2a \høyre)-12=2\venstre(a-5 \høyre)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Totalt sett vil vårt første system ha følgende form:

\[\venstre\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Når vi ser på koeffisientene til $a$, ser vi at den første ligningen må multipliseres med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Vi trekker den andre fra den første konstruksjonen:

Finn nå $a$:

Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Det er alt. Jeg håper denne videoopplæringen vil hjelpe deg å forstå dette vanskelige emnet, nemlig å løse systemer med enkle lineære ligninger. Det vil være mange flere leksjoner om dette emnet videre: vi vil analysere mer komplekse eksempler, der det vil være flere variabler, og selve ligningene vil allerede være ikke-lineære. Til vi møtes igjen!

Løsning av lineære systemer algebraiske ligninger(SLAE) er utvilsomt det viktigste temaet i det lineære algebrakurset. Et stort antall problemer fra alle grener av matematikken er redusert til å løse systemer med lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til å lage denne artikkelen. Materialet til artikkelen er valgt og strukturert slik at du med dens hjelp kan

velg den optimale metoden for å løse systemet med lineære algebraiske ligninger,
studere teorien om den valgte metoden,
løse systemet med lineære ligninger, etter å ha vurdert i detalj løsningene av typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse av materialet i artikkelen.

Først gir vi alle nødvendige definisjoner, konsepter og introduserer noen notasjon.

Deretter vurderer vi metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en unik løsning. Først, la oss fokusere på Cramer-metoden, for det andre vil vi vise matrisemetoden for å løse slike ligningssystemer, og for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden for suksessiv eliminering av ukjente variabler). For å konsolidere teorien vil vi definitivt løse flere SLAE-er på forskjellige måter.

Etter det går vi over til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av en generell form, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen til systemet er degenerert. Vi formulerer Kronecker-Capelli-teoremet, som lar oss etablere kompatibiliteten til SLAE-er. La oss analysere løsningen av systemer (i tilfelle av deres kompatibilitet) ved å bruke konseptet med basis-minor av en matrise. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene til eksemplene.

Sørg for å dvele ved strukturen til den generelle løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. La oss gi konseptet med et grunnleggende system av løsninger og vise hvordan man skriver felles vedtak SLAE ved hjelp av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet. For en bedre forståelse, la oss se på noen få eksempler.

Avslutningsvis tar vi for oss ligningssystemer som er redusert til lineære, så vel som ulike problemer, i løsningen av hvilke SLAE-er oppstår.

Sidenavigering.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Vi vil vurdere systemer med p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler (p kan være lik n ) av formen

Ukjente variabler, - koeffisienter (noen reelle eller komplekse tall), - frie medlemmer (også reelle eller komplekse tall).

Denne formen for SLAE kalles koordinere.

I matriseform dette ligningssystemet har formen ,
Hvor - hovedmatrisen til systemet, - matrisekolonnen med ukjente variabler, - matrisekolonnen av frie medlemmer.

Legger vi til matrisen A som (n + 1)-te kolonne matrisekolonnen av frie ledd, så får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er den utvidede matrisen merket med bokstaven T, og kolonnen med frie medlemmer er atskilt med en vertikal linje fra resten av kolonnene, det vil si,

Ved å løse et system med lineære algebraiske ligninger kalt et sett med verdier av ukjente variabler, som gjør alle likningene i systemet til identiteter. Matriseligningen for de gitte verdiene til de ukjente variablene blir også til en identitet.

Hvis et ligningssystem har minst én løsning, kalles det ledd.

Hvis ligningssystemet ikke har noen løsninger, kalles det uforenlig.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker; hvis det er mer enn én løsning, så - usikker.

Hvis de frie leddene til alle likningene i systemet er lik null , så kalles systemet homogen, ellers - heterogen.

Løsning av elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antall systemligninger er lik antallet ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null, vil vi kalle slike SLAE-er elementær. Slike ligningssystemer har en unik løsning, og ved et homogent system er alle ukjente variabler lik null.

Vi begynte å studere slike SLAE-er i videregående skole. Når vi løste dem, tok vi en likning, uttrykte en ukjent variabel i form av andre og erstattet den i de resterende likningene, tok deretter den neste likningen, uttrykte den neste ukjente variabelen og erstattet den i andre likninger, og så videre. Eller de brukte addisjonsmetoden, det vil si at de la til to eller flere ligninger for å eliminere noen ukjente variabler. Vi vil ikke dvele ved disse metodene i detalj, siden de i hovedsak er modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er Cramer-metoden, matrisemetoden og Gauss-metoden. La oss sortere dem.

Løse systemer av lineære ligninger ved Cramers metode.

La oss løse et system med lineære algebraiske ligninger

hvor antall ligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, det vil si .

La være determinanten for hovedmatrisen til systemet, og er determinanter for matriser som er hentet fra A ved å erstatte 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med slik notasjon beregnes de ukjente variablene ved formlene til Cramers metode som . Slik finner man løsningen av et system med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden.

Eksempel.

Cramer metode .

Løsning.

Hovedmatrisen til systemet har formen . Beregn dens determinant (om nødvendig, se artikkelen):

Siden determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, har systemet en unik løsning som kan finnes ved Cramers metode.

Komponer og beregn de nødvendige determinantene (determinanten oppnås ved å erstatte den første kolonnen i matrise A med en kolonne med frie medlemmer, determinanten - ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne av frie medlemmer, - ved å erstatte den tredje kolonnen i matrise A med en kolonne med frie medlemmer ):

Finne ukjente variabler ved hjelp av formler :

Svar:

Den største ulempen med Cramers metode (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten ved å beregne determinantene når antallet systemligninger er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke den inverse matrisen).

La systemet med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform , hvor matrisen A har dimensjon n ved n og dens determinant er ikke null.

Siden , så er matrisen A inverterbar, det vil si at det er en invers matrise . Hvis vi multipliserer begge deler av likheten med til venstre, får vi en formel for å finne kolonnematrisen med ukjente variabler. Så vi fikk løsningen av systemet med lineære algebraiske ligninger ved matrisemetoden.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger matrisemetode.

Løsning.

Vi omskriver ligningssystemet i matriseform:

Fordi

da kan SLAE løses med matrisemetoden. Ved å bruke den inverse matrisen kan løsningen på dette systemet finnes som .

La oss bygge en invers matrise ved å bruke en matrise av algebraiske komplementer til elementene i matrise A (om nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne - matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen på matrisekolonnen med gratis medlemmer (om nødvendig, se artikkelen):

Svar:

eller i en annen notasjon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet med å finne løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser av orden høyere enn den tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på et system med n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består i suksessiv ekskludering av ukjente variabler: først ekskluderes x 1 fra alle likninger i systemet, starter fra den andre, deretter ekskluderes x 2 fra alle ligninger, starter fra den tredje, og så videre, inntil bare den ukjente variabelen x n forblir i den siste ligningen. En slik prosess med å transformere likningene til systemet for suksessiv eliminering av ukjente variabler kalles direkte Gauss-metoden. Etter fullføringen av foroverkjøringen av Gauss-metoden, blir x n funnet fra den siste ligningen, x n-1 beregnes fra den nest siste ligningen ved å bruke denne verdien, og så videre, x 1 blir funnet fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles omvendt Gauss-metode.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å omorganisere likningene til systemet. Vi ekskluderer den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre. For å gjøre dette, legg til den første likningen multiplisert med til den andre likningen i systemet, legg den første multiplisert med til den tredje likningen, og så videre, legg den første multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en .

Vi ville komme til samme resultat hvis vi uttrykte x 1 i form av andre ukjente variabler i den første ligningen i systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre ligninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter handler vi på samme måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er merket på figuren

For å gjøre dette, legg til den andre multiplisert med til den tredje likningen i systemet, legg den andre multiplisert med til den fjerde likningen, og så videre, legg den andre multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi til eliminering av den ukjente x 3, mens vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter det direkte forløpet til Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det omvendte forløpet til Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som , ved å bruke den oppnådde verdien x n finner vi x n-1 fra den nest siste ligningen, og så videre, vi finner x 1 fra den første ligning.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gaussisk metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje ligningen i systemet. For å gjøre dette, til begge deler av den andre og tredje ligningen, legger vi til de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med og med henholdsvis:

Nå eliminerer vi x 2 fra den tredje ligningen ved å legge til venstre og riktige deler venstre og høyre side av den andre ligningen, multiplisert med:

På dette er fremforløpet til Gauss-metoden fullført, vi begynner bakoverkurset.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og denne fullfører det omvendte forløpet til Gauss-metoden.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

I generell sak antall systemligninger p samsvarer ikke med antall ukjente variabler n:

Slike SLAE-er har kanskje ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendelig mange løsninger. Denne uttalelsen gjelder også for ligningssystemer hvis hovedmatrise er kvadratisk og degenerert.

Kronecker-Capelli teorem.

Før du finner en løsning på et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere kompatibiliteten. Svaret på spørsmålet når SLAE er kompatibelt, og når det er inkompatibelt, gir Kronecker-Capelli-teorem:
for at et likningssystem med n ukjente (p kan være lik n ) skal være kompatibelt, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til hovedmatrisen til systemet er lik rangeringen til den utvidede matrisen, det vil si Rang( A)=Rank(T) .

La oss vurdere anvendelsen av Kronecker-Cappelli-teoremet for å bestemme kompatibiliteten til et system med lineære ligninger som et eksempel.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. La oss bruke metoden for å grense mindreårige. Mindre av andre orden forskjellig fra null. La oss gå over de mindreårige av tredje orden rundt det:

Siden alle grensende tredje-ordens mindreårige er lik null, er rangeringen av hovedmatrisen to.

I sin tur, rangeringen av den utvidede matrisen er lik tre, siden moll av tredje orden

forskjellig fra null.

Dermed, Rang(A) , derfor, ifølge Kronecker-Capelli-teoremet, kan vi konkludere med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er inkonsekvent.

Svar:

Det finnes ikke noe løsningssystem.

Så vi har lært å etablere inkonsistensen til systemet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.

Men hvordan finne løsningen til SLAE hvis kompatibiliteten er etablert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med basismoll av en matrise og teoremet om rangeringen av en matrise.

Den høyeste ordens moll av matrisen A, annet enn null, kalles grunnleggende.

Det følger av definisjonen av basisminoren at dens rekkefølge er lik rangeringen av matrisen. For en matrise A som ikke er null, kan det være flere grunnleggende mindreårige; det er alltid en grunnleggende biroll.

Tenk for eksempel på matrisen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden elementene i den tredje raden i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i den første og andre raden.

Følgende mindreårige av andre orden er grunnleggende, siden de ikke er null

Mindreårige er ikke grunnleggende, siden de er lik null.

Matriserangeringsteorem.

Hvis rangeringen av en matrise av orden p ved n er r, blir alle elementene i radene (og kolonnene) i matrisen som ikke utgjør den valgte basis-moll lineært uttrykt i form av de tilsvarende elementene i radene (og kolonnene) ) som danner grunnlaget mindre.

Hva gir matriserangeringssetningen oss?

Hvis vi ved hjelp av Kronecker-Capelli-teoremet har etablert kompatibiliteten til systemet, velger vi en hvilken som helst grunnleggende moll av hovedmatrisen til systemet (rekkefølgen er lik r), og ekskluderer fra systemet alle ligninger som ikke gjør det danne det valgte grunnfaget. SLAE oppnådd på denne måten vil være ekvivalent med den opprinnelige, siden de forkastede ligningene fortsatt er overflødige (ifølge matriserangsetningen er de en lineær kombinasjon av de gjenværende ligningene).

Som et resultat, etter å ha forkastet de overdrevne ligningene til systemet, er to tilfeller mulige.

Hvis antall ligninger r i det resulterende systemet er lik antallet ukjente variabler, vil det være definitivt og den eneste løsningen kan finnes ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

Løsning.

Rangering av hovedmatrisen til systemet er lik to, siden moll av andre orden forskjellig fra null. Utvidet matriserangering er også lik to, siden den eneste moll av tredje orden er lik null

og den moll av den andre ordenen vurdert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på Kronecker-Capelli-teoremet kan man hevde kompatibiliteten til det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden Rank(A)=Rank(T)=2 .

Som basis mindre tar vi . Den er dannet av koeffisientene til den første og andre ligningen:

Den tredje ligningen til systemet deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende minor, så vi ekskluderer den fra systemet basert på matriserangsetningen:

Dermed har vi fått et elementært system av lineære algebraiske ligninger. La oss løse det ved Cramers metode:

Svar:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Hvis antall ligninger r i den resulterende SLAE er mindre enn antall ukjente variabler n, lar vi begrepene som danner den grunnleggende minor i de venstre delene av likningene, og overfører de resterende leddene til de høyre delene av likningene av systemet med motsatt fortegn.

De ukjente variablene (det er r av dem) som er igjen på venstre side av ligningene kalles hoved-.

Ukjente variabler (det finnes n - r av dem) som havnet på høyre side kalles gratis.

Nå antar vi at de frie ukjente variablene kan ta vilkårlige verdier, mens de r viktigste ukjente variablene vil bli uttrykt i form av de frie ukjente variablene på en unik måte. Uttrykket deres kan bli funnet ved å løse den resulterende SLAE ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

La oss ta et eksempel.

Eksempel.

Løs system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Finn rangeringen av hovedmatrisen til systemet etter metoden for grensende mindreårige. La oss ta en 1 1 = 1 som en førsteordens moll som ikke er null. La oss begynne å søke etter en annenordens moll som ikke er null rundt dette bifaget:

Så vi fant en moll som ikke er null av andre orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av tredje orden:

Dermed er rangeringen av hovedmatrisen tre. Rangeringen til den utvidede matrisen er også lik tre, det vil si at systemet er konsistent.

Den funnet ikke-null moll av tredje orden vil bli tatt som den grunnleggende.

For klarhets skyld viser vi elementene som danner basisminor:

Vi lar begrepene som deltar i den grunnleggende minor på venstre side av likningene til systemet, og overfører resten med motsatte fortegn til høyre side:

Vi gir gratis ukjente variabler x 2 og x 5 vilkårlige verdier, det vil si at vi tar , hvor er vilkårlige tall. I dette tilfellet tar SLAE formen

Vi løser det oppnådde elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden:

Derfor,.

I svaret, ikke glem å angi gratis ukjente variabler.

Svar:

Hvor er vilkårlige tall.

Oppsummer.

For å løse et system med lineære algebraiske ligninger av en generell form, finner vi først ut dets kompatibilitet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Hvis rangeringen til hovedmatrisen ikke er lik rangeringen til den utvidede matrisen, konkluderer vi med at systemet er inkonsekvent.

Hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen, velger vi den grunnleggende minoren og forkaster likningene til systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte grunnleggende minor.

Hvis rekkefølgen på basisminoren er lik antall ukjente variabler, har SLAE en unik løsning, som kan finnes med en hvilken som helst metode kjent for oss.

Hvis rekkefølgen på basis-minor er mindre enn antall ukjente variabler, lar vi leddene med de viktigste ukjente variablene stå på venstre side av likningene til systemet, overfører de resterende leddene til høyresiden og tildeler vilkårlige verdier til de frie ukjente variablene. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente variablene ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Ved å bruke Gauss-metoden kan man løse systemer med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten deres foreløpige undersøkelse for kompatibilitet. Prosessen med suksessiv eliminering av ukjente variabler gjør det mulig å trekke en konklusjon om både kompatibiliteten og inkonsistensen til SLAE, og hvis en løsning eksisterer, gjør den det mulig å finne den.

Fra et beregningsmessig arbeid er Gauss-metoden å foretrekke.

Se det Detaljert beskrivelse og analyserte eksempler i artikkelen Gauss metode for løsning av systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Registrering av den generelle løsningen av homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet.

I denne delen vil vi fokusere på felles homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger som har et uendelig antall løsninger.

La oss først ta for oss homogene systemer.

Grunnleggende beslutningssystem Et homogent system av p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler er et sett med (n – r) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, der r er rekkefølgen til basis-moll av hovedmatrisen til systemet.

Hvis vi betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen SLAE som X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) er matriser kolonner med dimensjon n med 1 ), så er den generelle løsningen til dette homogene systemet representert som en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet med vilkårlige konstante koeffisienter С 1 , С 2 , …, С (n-r), det vil si .

Hva betyr begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formelen spesifiserer alle mulige løsninger på den opprinnelige SLAE, med andre ord, tar ethvert sett med verdier av vilkårlige konstanter C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , i henhold til formelen vi vil få en av løsningene til den originale homogene SLAE.

Derfor, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, kan vi sette alle løsninger av denne homogene SLAE som .

La oss vise prosessen med å konstruere et grunnleggende system av løsninger for en homogen SLAE.

Vi velger grunnmoll i det opprinnelige systemet med lineære ligninger, ekskluderer alle andre ligninger fra systemet, og overfører til høyre side av systemets ligninger med motsatte fortegn alle ledd som inneholder frie ukjente variabler. La oss gi de frie ukjente variablene verdiene 1,0,0,...,0 og beregne de viktigste ukjente ved å løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på noen måte, for eksempel ved Cramer-metoden. Dermed vil X (1) bli oppnådd - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis vi gir de frie ukjente verdiene 0,1,0,0,...,0 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi gir de frie ukjente variablene verdiene 0,0,...,0,1 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (n-r) . Dette er hvordan det grunnleggende løsningssystemet til den homogene SLAE vil bli konstruert og dens generelle løsning kan skrives i formen.

For inhomogene systemer med lineære algebraiske ligninger er den generelle løsningen representert som

La oss se på eksempler.

Eksempel.

Finn det grunnleggende løsningssystemet og den generelle løsningen av et homogent system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen av hovedmatrisen til homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangeringen til den utvidede matrisen. La oss finne rangeringen til hovedmatrisen ved hjelp av metoden for å frynse mindreårige. Som ulik null-moll av første orden tar vi elementet a 1 1 = 9 av hovedmatrisen til systemet. Finn den avgrensende moll som ikke er null av andre orden:

En moll av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss gå gjennom de mindreårige av tredje orden som grenser til den på leting etter en som ikke er null:

Alle grensende mindreårige av tredje orden er lik null, derfor er rangeringen til hovedmatrisen og den utvidede matrisen to. La oss ta det grunnleggende bifaget. For klarhetens skyld noterer vi oss elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen til den opprinnelige SLAE deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende mindreårige, derfor kan den ekskluderes:

Vi lar begrepene som inneholder de viktigste ukjente stå på høyresiden av ligningene, og overfører begrepene med frie ukjente til høyresiden:

La oss konstruere et grunnleggende system av løsninger til det opprinnelige homogene systemet med lineære ligninger. Det grunnleggende løsningssystemet til denne SLAE består av to løsninger, siden den opprinnelige SLAE inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen på dens grunnleggende mindre er to. For å finne X (1), gir vi de frie ukjente variablene verdiene x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, så finner vi de viktigste ukjente fra ligningssystemet
.