Tenk på en vilkårlig trekant ABC og et punkt D som ikke ligger i denne trekantens plan. Koble dette punktet med segmenter til toppunktene i trekanten ABC. Som et resultat får vi trekanter ADC , CDB , ABD . Overflaten avgrenset av fire trekanter ABC , ADC , CDB og ABD kalles et tetraeder og betegnes DABC .
Trekantene som utgjør et tetraeder kalles dets ansikter.
Sidene til disse trekantene kalles kantene på tetraederet. Og hjørnene deres er hjørnene til et tetraeder

Tetraederet har 4 ansikter, 6 ribber og 4 topper.
To ribber som ikke har felles topp kalles motsatt.
Ofte, for enkelhets skyld, kalles en av ansiktene til tetraederet basis, og de resterende tre flatene er sideflater.

Dermed er tetraederet det enkleste polyederet, hvis overflater er fire trekanter.

Men det er også sant at enhver vilkårlig trekantet pyramide er et tetraeder. Da er det også sant at et tetraeder kalles en pyramide med en trekant ved bunnen.

Høyden på tetraederet kalt et segment som forbinder et toppunkt til et punkt som ligger på motsatt side og vinkelrett på det.
Median av et tetraeder kalt et segment som forbinder toppunktet med skjæringspunktet mellom medianene til den motsatte flaten.
Bimedian tetraeder kalles et segment som forbinder midtpunktene til tetraederets kryssende kanter.

Siden et tetraeder er en pyramide med en trekantet base, kan volumet til et hvilket som helst tetraeder beregnes ved å bruke formelen

• S er området til ethvert ansikt,
• H- høyden senket på dette ansiktet

Vanlig tetraeder - en spesiell type tetraeder

Et tetraeder der alle flater er likesidede trekanter kalles riktig.
Egenskaper til et vanlig tetraeder:

• Alle kanter er like.
• Alle planvinkler til et vanlig tetraeder er 60°
• Siden hvert av toppunktene er toppunktet til tre regulære trekanter, er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 180°
• Ethvert toppunkt av et vanlig tetraeder projiseres til ortosenteret til den motsatte flaten (til skjæringspunktet for høydene til trekanten).

La oss få et vanlig tetraeder ABCD med kanter lik a . DH er høyden.
La oss lage ytterligere konstruksjoner BM - høyden på trekanten ABC og DM - høyden på trekanten ACD .
Høyde BM er lik BM og lik
Tenk på trekant BDM , der DH , som er høyden på tetraederet, også er høyden på denne trekanten.
Høyden på en trekant falt til siden MB kan bli funnet ved å bruke formelen

, hvor
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Bytt inn disse verdiene i høydeformelen. Få


La oss ta ut 1/2a. Få

Bruk formelforskjellen til kvadrater

Etter noen mindre transformasjoner får vi


Volumet til ethvert tetraeder kan beregnes ved hjelp av formelen
,
hvor ,

Ved å erstatte disse verdiene får vi

Dermed er volumformelen for et vanlig tetraeder

hvor en–tetraederkant

Beregner volumet til et tetraeder hvis koordinatene til toppene er kjent

La oss få gitt koordinatene til toppene til tetraederet

Tegn vektorer fra toppunktet , , .
For å finne koordinatene til hver av disse vektorene trekker du den tilsvarende startkoordinaten fra sluttkoordinaten. Få

Fra den grunnleggende formelen for volumet til et tetraeder

hvor S er området til ethvert ansikt, og H- Høyden senket på den, kan du utlede en hel rekke formler som uttrykker volumet i form av forskjellige elementer i tetraederet. Vi gir disse formlene for tetraederet ABCD.

(2) ,

hvor ∠ ( AD,ABC) er vinkelen mellom kanten AD og ansiktsplan ABC;

(3) ,

hvor ∠ ( ABC,ABD) er vinkelen mellom flatene ABC og ABD;

hvor | AB,CD| - avstand mellom motsatte ribber AB og CD, ∠ (AB,CD) er vinkelen mellom disse kantene.

Formler (2)–(4) kan brukes til å finne vinklene mellom linjer og plan; formel (4) er spesielt nyttig, som du kan finne avstanden mellom skjeve linjer med AB og CD.

Formlene (2) og (3) ligner på formelen S = (1/2)ab synd C for arealet av en trekant. Formel S = rp lignende formel

hvor r er radiusen til den innskrevne sfæren til tetraederet, Σ er dens totale overflate (summen av arealene til alle flater). Det er også en vakker formel som forbinder volumet til et tetraeder med en radius R dets beskrevne omfang ( Crelle formel):

hvor Δ er arealet av en trekant hvis sider er numerisk lik produktene til motsatte kanter ( AB× CD, AC× BD,AD× f.Kr). Fra formel (2) og cosinussetningen for triedriske vinkler (se Sfærisk trigonometri) kan man utlede en formel som ligner Herons formel for trekanter.

Definisjon av et tetraeder

Tetraeder- den enkleste polyedriske kroppen, hvis overflater og bunn er trekanter.

Online kalkulator

Et tetraeder har fire flater, som hver er dannet av tre sider. Tetraederet har fire hjørner, hver med tre kanter.

Denne kroppen er delt inn i flere typer. Nedenfor er deres klassifisering.

1. Isoedrisk tetraeder- alle ansiktene er de samme trekantene;
2. Ortosentrisk tetraeder- alle høyder trukket fra hvert toppunkt til motsatt side er like lange;
3. Rektangulært tetraeder- kanter som kommer fra ett toppunkt danner en vinkel på 90 grader med hverandre;
4. ramme;
5. Forholdsmessig;
6. insentrisk.

Tetraedervolumformler

Volumet til en gitt kropp kan finnes på flere måter. La oss analysere dem mer detaljert.

Gjennom det blandede produktet av vektorer

Hvis tetraederet er bygget på tre vektorer med koordinater:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)en= (en x​ , en y​ , en z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

da er volumet til dette tetraederet det blandede produktet av disse vektorene, det vil si en slik determinant:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & \end )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ en x​ b x​ c x​ ​ en y​ b y​ c y​ ​ en z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Koordinatene til de fire toppunktene til oktaederet er kjent. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1). Finn volumet.

Løsning

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1)

Det første trinnet er å bestemme koordinatene til vektorene som den gitte kroppen er bygget på.
For å gjøre dette må du finne hver koordinat til vektoren ved å trekke fra de tilsvarende koordinatene til to punkter. For eksempel vektorkoordinater A B → \overhøyrepil(AB) A B, det vil si en vektor rettet fra et punkt A A EN til punktet B B B, dette er forskjellene til de tilsvarende koordinatene til punktene B B B og A A EN:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overhøyrepil(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -åtte)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

La oss nå finne det blandede produktet av disse vektorene, for dette komponerer vi en tredjeordens determinant, mens vi antar at A B → = a ⃗ \overhøyrepil(AB)=\vec(a)A B= en, A C → = b ⃗ \overhøyrepil(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) − 1 ⋅ (− 6) − 1 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ en x​ b x​ cx​ ​ eny​ by​ cy​ ​ enz​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Det vil si at volumet til et tetraeder er:

$V=61\cdot |$

Svar

$44.8\text{cm3 .}$

Formelen for volumet til et isoedrisk tetraeder langs siden

Denne formelen er bare gyldig for å beregne volumet til et isoedrisk tetraeder, det vil si et tetraeder der alle flater er identiske vanlige trekanter.

$V=12\sqrt{2\cdot {en}^3}$

en aen er lengden på kanten av tetraederet.

Finn volumet til et tetraeder hvis siden er gitt lik $11\text{cm.}$

Løsning

$en=11$

Erstatning en aen inn i formelen for volumet til et tetraeder:

$V=12\sqrt{2\cdot {en}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Svar

$156.8\text{cm3 .}$