Feltstyrke mellom platene. Tiltrekningskraften mellom platene til en flat kondensator

Semester 3. Forelesning4.

Forelesning 4. Elektrisk felt av ladede ledere.

Energien til det elektrostatiske feltet.

Felt nær konduktøren. Kapasitans til ledere og kondensatorer. (Kapasiteter til flate, sylindriske og sfæriske kondensatorer). Energi til et system med faste ladninger. Energien til en ladet leder, kondensator. Elektrostatisk feltenergitetthet.

I elektrostatisk teori var det praktisk å bestemme den tilknyttede elektrisk energi, vet. La oss tenke på individuelle ladninger en om gangen, selv når systemet vårt var en samling av flere ladninger, og vi dropper ideen om "handling på avstand". Av samme grunner ønsker vi å definere en variant av elektrisk potensiell energi per ladningsenhet, slik at vi kan tenke på mengden potensiell energi som kan oppnås eller tapes av en enkelt ladning i et elektrisk felt.

Elektrisk potensial måles i coulomb joule, ellers kjent som volt. Faktisk vil vi ofte referere til elektrisk potensial som "spenning", de to er synonyme for våre formål. I likhet med gravitasjonspotensialet er det elektriske potensialet en skalar størrelse. Det er i hovedsak et mål på endringen i elektrisk potensiell energi per ladningsenhet.

Ved innføring av en leder inn i den ytre elektrisk felt ladningene inne i lederen begynner å bevege seg under påvirkning av krefter fra det ytre feltet til likevekt er nådd. Dette fører til en omfordeling av den elektriske ladningen inne i lederen. Regioner av lederen, tidligere elektrisk nøytrale, får en ukompensert elektrisk ladning. Følgelig oppstår et elektrisk felt (eller, som de sier, induseres) i lederen

. Betingelsen for likevekt av elektriske ladninger:

Dette lar oss se at potensialforskjellen også har enheter elektrisk felt på avstand. Dette gir mening på en viss måte, siden det er nok til at forskjellen i elektrisk potensial passerer gjennom et elektrisk felt. Siden det elektriske feltet har enheter av newton per anheng, kan vi gjøre følgende observasjon.

Hvis du slipper en positiv ladning, som spontant akselererer i områder med høyt potensial til lavt potensial - har positive ladninger en tendens til minimum elektrisk potensial. Derimot søker negative ladninger det maksimale elektriske potensialet. Arbeid må gjøres med positive ladninger for å bringe dem til større potensial, arbeid som må gjøres med negative ladninger for å ta dem til områder med lavere potensial.

de. feltstyrke inne i lederen:

Derfor, fra likhet får vi inne i konduktøren. Derfor er denne betingelsen også oppfylt ved grensen til lederen. De. lederflaten er ekvipotensial flate , derfor kraftlinjene til det elektriske feltet er vinkelrett på overflaten av lederen i hvert punkt .

For punktlaster er det elektriske feltet definert gjennom rommet, bortsett fra høyre side av lasten, og fungerer på samme måte som dets elektriske potensial. Det er ikke noe åpenbart sted å kalle "null". Vi kan heller ikke koble jordledningen til et enkelt elektron. Tross alt er nesten alltid potensialet til en punktladning definert som null i en uendelig avstand fra selve ladningen. Dette er veldig praktisk, tro det eller ei, og viser tydelig at den eneste måten å kvitte seg med potensialet på grunn av en punktbelastning er å fullstendig utvise lasten.

ladet konduktør .

Hvis en ekstern elektrisk ladning blir gitt til en enslig leder, fører betingelsen for likevekt av ladninger igjen til tilstanden:

,inne i konduktøren.

Det følger at alle eksterne ladninger er plassert på overflaten av lederen, siden. feltstyrken inne i lederen er null, og i henhold til Gauss-teoremet for enhver lukket overflate inne i lederen (inkludert den ytre overflaten av lederen):

Figur 3 viser en sammenligning av det elektriske feltet med det elektriske potensialet til en punktlast som funksjon av avstand fra lasten. Husk: du kan bare måle forskjeller i elektrisk potensial. Et raskt poeng for å rydde opp i enhver forvirring senere: når vi snakker om punktladninger som elektroner i elektriske felt eller atomer i en krystall, bruker vi ofte den mer praktiske enheten for energi, elektronvolt. Etter hvert som tiden går finner vi elektronvolten oftere og oftere, og dette viser seg å være veldig praktisk når vi er opptatt med å beregne et lite antall ladninger.

Siden overflaten til lederen i dette tilfellet også er ekvipotensial, er kraftlinjene til det elektriske feltet rettet vinkelrett på overflaten av lederen på hvert av punktene.

Fra Gauss-teoremet følger det at nær overflaten av lederen

Størrelsen på den elektriske forskyvningsvektoren er lik overflatetettheten til ytre ladninger.

Det elektriske potensialet følger også superposisjonsprinsippet, akkurat som den elektriske kraften. Det totale elektriske potensialet på et tidspunkt på grunn av flere punktladninger er bare summen av de elektriske potensialene på grunn av de individuelle punktladningene. Elektrisk potensial er en skalar, vi trenger ikke å bekymre oss for komponentene, elektriske potensialer er bare antall bidrag.

Som du forventer av superposisjonsprinsippet, er potensialet mellom to ladninger null, og det blir veldig stort nær hver belastning, det samme gjør det elektriske feltet. Elektrisk potensial i et plan som inneholder en elektrisk dipol. Elektrisk potensialhøydeskala. Linjene representerer ekvipotensialkretser.

Ladningen på overflaten av lederen er fordelt på en slik måte at overflatepotensialet forblir konstant. Dette fører til det faktum at ladningstettheten på overflaten av lederen ikke er den samme. For eksempel, på de skarpe delene av lederne, er ladningstettheten større enn i utsparingene. I denne forbindelse oppstår det forskjellige fenomener, for eksempel "ladningsavløp". Hvis lederen er i luften, skjer ionisering av luften nær spissen, og bærer bort en del av den elektriske ladningen - et fenomen som kalles "elektrisk vind".

Dermed er arbeid på ladningen med elektrisk kraft assosiert med en endring i ladningens elektriske potensielle energi. Ved å kombinere disse to fakta, kan vi enkelt relatere arbeid og potensiell forskjell. I objektet for elektrostatisk teori sa vi at for en leder i elektrostatisk likevekt er nettoladningen bare på overflaten av lederen. På den annen side sa vi at det elektriske feltet like utenfor overflaten av lederen er vinkelrett på overflaten og at feltet inne i lederen er null.

Dette betyr også at alle punkter på overflaten av en leder, ladet i elektrostatisk likevekt, har samme potensial. En vilkårlig sjåfør som har en positiv ladning. Ligning 23 gir oss et veldig generelt resultat: det er ikke noe arbeid for å flytte en last mellom to punkter som har samme elektriske potensial.

Metode for elektrisk bildebehandling .

Hvis ekvipotensialflaten erstattes av en ledende, og deretter den delen av feltet som denne flaten skiller forkastes, vil ikke feltmønsteret i den gjenværende delen endres. Omvendt, hvis feltbildet er supplert med fiktive ladninger slik at den ledende overflaten kan erstattes med en ekvipotensial, vil ikke det innledende feltbildet endres.

Fordi det elektriske feltet og forskyvningen alltid er vinkelrett, blir det ikke gjort noe arbeid når man beveger seg over overflaten til en leder. Siden den valgte banen er helt vilkårlig, betyr dette at den er sann for alle to punkter på overflaten. Potensialer og drivere lastet.

Det elektriske potensialet er konstant ved overflaten. Det elektriske potensialet er konstant i det indre og har samme verdi som verdien på overflaten. Det kreves ikke noe arbeid for å flytte lasten fra innsiden til overflaten eller mellom to punkter på overflaten.

Eksempel.Finn tiltrekningskraften til en punktladning til et uendelig ledende plan . For å gjøre dette vil vi supplere bildet med en annen ladning av samme type, men av motsatt tegn, plassert symmetrisk i forhold til planet. Da vil flyet falle sammen med ekvipotensialoverflaten, slik at flyet kan forkastes og samspillskraften mellom ladninger kan bli funnet: .

Dette gjelder selvfølgelig bare for ideelle sjåfører. Hvis andre dissipative krefter er tilstede, er dette ikke sant, og det kreves arbeid for å flytte lasten i nærvær av en dissiperende kraft. Den elektriske analogen til friksjon eller viskositet er motstand.

En overflate der alle punktene har samme elektriske potensial kalles en ekvipotensialflate. Potensialforskjellen mellom to punkter på overflaten er null, så det kreves ikke noe arbeid for å flytte en last med konstant hastighet langs en ekvipotensialflate. Derfor er lederoverflaten en ekvipotensialflate. Ekvipotensialflater har en enkel forbindelse med feltet: Feltet er vinkelrett på ekvipotensialflaten i alle punkter.

Energien til en ladet leder .

Energien til en enslig ladet leder er definert som energien til et ladningssystem: . På lederen, så energien til en enslig leder:

På fig. 10 viser ekvipotensialflatene og elektriske feltlinjer for en enkeltpunktladning, en dipol og to like ladninger. Merk at når du har tegnet de elektriske feltlinjene, er tegning av ekvipotensialflater trivielt og inverst.

Elektriske feltlinjer er blå linjer og røde linjer er ekvipotensialflater for en enkeltpunktladning, en elektrisk dipol og to like ladninger. Hvordan kan vi virkelig endre det elektriske potensialet - generelt vil vi kalle det intensiteten - til ett objekt i forhold til et annet? Lading ved induksjon eller kjøring er to måter, men litt tungvint. En enhet kjent som en spenningskilde er et kretselement med to terminaler der en konstant potensialforskjell påføres mellom de to terminalene.

For et system med ladede ledere: .

Spesielt for to ledere som har ladninger q av samme størrelse, men forskjellige i fortegn, vil energien være lik: .

Kommentar . Størrelsen på potensialforskjellen kalt Spenninger mellom kropper.

Det som er koblet til den "negative" terminalen til kilden vil ha en spenning under den "positive" terminalen. Batterier er et eksempel på en konstant spenningskilde, og vegguttak i hjemmet ditt er et annet eksempel på en spenningskilde. Ideelle spenningskilder er alltid uttrykt i læreboken, det vil si at de gir en konstant potensialforskjell. Reelle spenningskilder har alltid begrensninger, først og fremst mengden energi som kan genereres.

Felles kilde konstant spenning. Nå som vi vet litt om spenning og ledere, kommer vi nærmere å beskrive enkle elektriske kretser. Vi vil nå introdusere vårt første virkelige kretselement, kondensatoren. En kondensator er en elektronisk komponent som brukes til å lagre elektrisk ladning, den brukes i stort sett alle elektrisk krets. Kondensatorer er ryggraden i tilfeldig tilgangsminne og flashminne, og er avgjørende for nesten enhver strømforsyning.

Erfaring viser at det er en lineær sammenheng mellom ladningen til en enslig leder og dens potensial: . Proporsjonalitetsfaktor FRA kalt koeffisient av elektrisk beholdere eller elektrisk kapasitet . Enheten for elektrisk kapasitet er Farad (

).

Det er en av de grunnleggende pilarene innen elektronikk. Figur 12 viser en typisk kondensatordesign - to metallplater med en liten mengde spesialmateriale i midten. Det er vanskelig å tro at komplekse enheter som datamaskiner er basert på en så enkel design, men det er sant.

Når de brukes i en krets, er platene koblet til de positive og negative terminalene til en spenningskilde som et batteri. Belastningen på begge platene er lik, men har motsatt fortegn. I utgangspunktet betyr å plassere to plater ved forskjellige potensialer at elektronene ønsker å migrere til platen med høyest potensial og forlate platen med det lavere potensialet. Kapasiteten til denne strukturen. Bevegelsen av ladning mellom platene stopper når potensialforskjellen over platene faller sammen med potensialforskjellen til spenningskilden.

Kondensator kalles et system av to ledere ladet med samme styrke, men forskjellige i tegnladninger. Konduktørene kalles kondensatorplater .

Kapasitansen til en kondensator bestemmes av formelen.

Kondensatoren er konvensjonelt utpekt.

Tilkobling av kondensatorer

Kondensatoren selges på grunn av denne potensielle forskjellen og lagrer derfor elektrisitet til en tid senere, når den kan kreves for en bestemt applikasjon. Du kan tenke på det som å lagre energi i form av, eller forsinke responsen som en elektrisk støtdemper for å endre spenningsforskjeller.

Kapasitansen til et bestemt arrangement av to ledere avhenger av deres geometri og relative arrangement. Generell struktur er en parallell platekondensator som vist på figuren. I objektet for elektrostatisk teori beviser vi konstanten til det elektriske feltet mellom to parallelle plater uten bevis. Men hva er feltet mellom platene?

Tenk på en seriekobling av to kondensatorer C 1 og C 2. Punkt A mellom kondensatorene er atskilt fra resten av kretsen, så dens elektriske ladning kan ikke endres. Siden den opprinnelige ladningen til et hvilket som helst punkt var lik null, da . Følgelig er ladningene til kondensatorplatene ved siden av punkt A like store, men motsatt i fortegn. Men siden verdien av ladningen til platene er lik ladningen til kondensatorene, da. Den totale ladningen til punkt A er null, så hvis vi forkaster dette punktet sammen med platene, vil ingenting endre seg i kretsen. Fordi ladningene til de ekstreme platene er også de samme i størrelse, men forskjellige i fortegn, da vil den resulterende kondensatoren ha samme ladning i størrelse.

I avsnitt 8 finner vi at det elektriske feltet over en flat ledende plate er definert som: hvor er ladningen per arealenhet på platen. Dette bringer oss til et mer nyttig uttrykk for feltet: Igjen, dette er ikke sant nær kantene på platene, der feltet ikke er konstant. Ved å kombinere dette med de tidligere fakta, kan vi finne kapasitansen til en parallellplatekondensator i ligning 24. Kapasitansen til en parallellplatekondensator.

I ligning 26 kan vi se at kondensatorene kan lagre mer ladning ettersom platene blir større. Det samme skjer når platene kommer nærmere. Når platene er tettere sammen, utøver de motsatte ladningene en sterkere kraft på hverandre, slik at mer masse kan lagres på platene. Fra ligning 24 lagrer en kondensator med verdi C i potensialforskjell en ladning.

TOTAL . Ladningene til kondensatorer koblet i serie er de samme i størrelsesorden. Den totale ladningen til kondensatorene koblet i serie er lik ladningen til hver av kondensatorene.

For dette tilfellet er den totale spenningen lik summen av spenningene på kondensatorene: U GENERELT \u003d U 1 + U 2. Ladningene til kondensatorene er de samme: q 1 \u003d q 2 \u003d q. Deretter . Derfor .

Når kondensatorer er koblet i serie, blir deres kapasitans lagt til i henhold til loven om gjensidighet . 

Kapasitansberegning for parallellkobling av kondensatorer.

For dette tilfellet er spenningene på kondensatorene de samme: U 1 \u003d U 2 \u003d U.

Den totale ladningen er lik summen av ladningene: q GEN = q 1 + q 2 eller C GEN U=C 1 U+C 2 U.

Så C GENERELT =C 1 + C 2 . Når kondensatorer er koblet parallelt, summeres kapasitansene deres. 

Kondensator energi :

Den totale ladningen til kondensatoren er null. En kondensator lagrer elektrisk energi ved å separere elektriske ladninger.

Eksempler for beregning av kapasitans til kondensatorer .

Flat (luft) kondensator representerer to parallelle plater, hvor avstanden mellom disse er mye mindre enn dimensjonene til platene, slik at feltet mellom platene kan anses som ensartet. Det er et vakuum (luft) mellom platene, derfor  = 1.

I dette tilfellet, når man beregner feltmønsteret, kan man bruke resultatene oppnådd for feltet til et uendelig ladet plan. Siden ladningene og arealene til platene er like i størrelse, er størrelsen på feltstyrken skapt av hver av platene den samme: men retningene til intensitetsvektorene er forskjellige (intensitetsvektoren fra en negativt ladet plate vises med en stiplet linje). Mellom platene er intensitetsvektorene rettet på samme måte, så den totale intensiteten er lik summen av feltstyrkene skapt av hver av platene:

Utenfor platene er feltstyrkevektorene rettet motsatt, så feltstyrken utenfor er null. På denne måten, i en kondensator er feltstyrken ikke null bare mellom platene.

Siden det elektrostatiske feltet er et felt med konservativ kraft, er integralet er ikke avhengig av formen på banen G, så potensialforskjellen mellom platene kan finnes langs perpendikulæren som forbinder platene, hvis lengde er lik d:, hvor d er avstanden mellom platene. Da vil kapasitansen til en flat (luft) kondensator i samsvar med definisjonen være lik:

Sylindrisk (luft) kondensator består av to koaksiale sylindre

av samme lengde, nestet i hverandre slik at avstanden mellom platene er mye mindre enn dimensjonene til platene.

La lengden på kondensatoren L, ladningen til den indre foringen er positiv: q > 0. Pletteringsradier R 1 og R 2, la R 1 <R 2. Feltstyrke mellom platene på avstand r fra innerforet, dvs. til R 1 <r <R 2 finner vi ved å bruke Gauss-teoremet:

Deretter spenningen mellom platene: .

Derfor er den elektriske kapasiteten til en sylindrisk (luft) kondensator: .

FRA sfærisk (luft) kondensator representerer to nestede konsentriske kuler med radiene til platene R 1 og R 2 ,R 1 <R 2. La ladningen til den indre foringen q> 0. Feltstyrken mellom foringene på avstand r fra den indre foringen ( R 1 <r <R 2) vi finner ved Gauss-teoremet:

Spenning mellom plater:.

Derfor er kapasitansen til en sfærisk (luft) kondensator .

Volumetrisk energitetthet av det elektrostatiske feltet.

Vurder en flat luftkondensator. Energi til en ladet kondensator

Mengden plass mellom platene til en kondensator. Siden feltet mellom platene anses å være homogent, har enhetsvolumet til dette feltet energien . Denne verdien kalles volumetrisk energitetthet .

I tilfellet når feltet ikke er jevnt, er den volumetriske energitettheten .

I materie, den volumetriske energitettheten til det elektriske feltet .

I tilfelle av et homogent isotropisk dielektrisk, derfor .

Fordi , deretter , hvor

Energien til det elektriske feltet i vakuum er energien til polarisasjonen av materie.

Eksempel . Tenk på en ladet tynnvegget kule med radius R. Siden ladninger med samme navn frastøter hverandre på sfæren, har frastøtende krefter en tendens til å strekke overflaten av sfæren. Vi kan anta at fra innsiden av kulen påvirkes veggene av tilleggstrykk s, sprengning av kulen og forårsaket av tilstedeværelsen av en elektrisk ladning på overflaten. La oss finne R.

Feltstyrken inne i sfæren er null, så volumenergitettheten til det elektriske feltet w er forskjellig fra null bare utenfor sfæren.

Med en liten økning i kulens radius med dR volumet vil øke, mens i den delen av det omkringliggende rommet som kom inn i kulen, vil den volumetriske energitettheten bli lik null. Derfor vil endringen i energien til feltet utenfor være lik, hvor S er overflatearealet. Men med utvidelsen av sfæren vil trykkkreftene inne i sfæren gjøre jobben . Siden da hvorfra.

Eksempel . La oss finne kreftene som virker på platene i en ladet flat kondensator, koblet fra strømkilden.

Platene er motsatt ladet, så de tiltrekker seg. Anta at platene er en liten mengde nær hverandre. x. Deretter reduseres volumet av kondensatoren med dV = xS, så energien til kondensatoren har redusert med dW = wdV. Attraktive krefter virker  EN = f.eks. Siden A= dW, deretter f.eks = wxS. Derfor er størrelsen på kraften F = wS. Ekstratrykket som disse kreftene skaper er lik.

Eksemplene ovenfor viser at legemer i et elektrisk felt er utsatt for krefter som forårsaker ytterligere trykk lik den volumetriske energitettheten.

Trykket forårsaket av tilstedeværelsen av et elektrisk felt er lik den volumetriske energitettheten .

Krefter , som virker på kroppen fra siden av et felt, kalles pondemotor .

De motsatt ladede kondensatorplatene tiltrekker hverandre.

Mekaniske krefter som virker på makroskopiske ladede legemer kallestankevekkende .

Vi beregner de ponderomotive kreftene som virker på platene til en flat kondensator. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

Kondensatoren lades og kobles fra det ladede batteriet(i dette tilfellet forblir antall ladninger på platene konstant q = konst).

Når en plate av en kondensator fjernes fra den andre, er arbeidet gjort

på grunn av hvilken den potensielle energien til systemet øker:

I dette tilfellet er dA = dW . Ved å likestille høyresidene av disse uttrykkene får vi

(12.67)

I dette tilfellet, ved differensiering, ble avstanden mellom platene betegnet x.

Kondensator ladet, men ikke koblet fra batteriet(i dette tilfellet, når du flytter en av kondensatorplatene, vil spenningen forbli konstant ( U = konst). I dette tilfellet, når en plate beveger seg bort fra den andre, reduseres den potensielle energien til kondensatorfeltet, siden ladninger "lekker" fra platene, derfor

Men

, deretter

Det resulterende uttrykket faller sammen med formelen

. Det kan også representeres i en annen form hvis vi i stedet for ladningen q introduserer overflatetettheten:

(12.68)

Feltet er enhetlig. Feltstyrken til kondensatoren er

, hvor x er avstanden mellom platene. Bytter inn i formelen

U 2 \u003d E 2 x 2, får vi at tiltrekningskraften til platene til en flat kondensator

(12.69)

Disse kreftene virker ikke bare på platene. Siden platene på sin side legger press på dielektrikumet plassert mellom dem og deformerer det, oppstår det trykk i dielektrikumet

(S er arealet av hver plate).

Trykket som oppstår i dielektrikumet er

(12.70)

Eksempler på problemløsning

Eksempel 12.5. Til flate plater luftkondensator en potensialforskjell på 1,5 kV påføres. Plateareal 150 cm 2 og avstanden mellom dem er 5 mm. Etter å ha koblet kondensatoren fra spenningskilden, ble glass satt inn i rommet mellom platene (ε 2 =7). Definer:

1) potensialforskjell mellom platene etter introduksjonen av et dielektrikum; 2) kapasitansen til kondensatoren før og etter introduksjonen av dielektrikumet; 3) overflateladningstettheten på platene før og etter introduksjonen av dielektrikumet.

Gitt: U 1 \u003d 1,5 kV \u003d 1,5 ∙ 10 3 V; S \u003d 150cm 2 \u003d 1,5 ∙ 10 -2 m 2; e 1 = 1; d=5mm=5∙10 -3 m.

Finn: 1) U 2 ; 2) C1C2; 3) σ 1 , σ 2

Løsning . Fordi

(σ er overflateladningstettheten på kondensatorplatene), så før introduksjonen av dielektrikumet σd=U 1 ε 0 ε 1 og etter introduksjonen av dielektrikumet σd=U 2 ε 0 ε 2, derfor

Kapasitansen til kondensatoren før og etter introduksjonen av et dielektrikum

Ladingen av platene etter frakobling fra spenningskilden endres ikke, d.v.s. q=konst. Derfor er overflateladningstettheten på platene før og etter introduksjonen av dielektrikumet

Svar: 1) U 2 \u003d 214V; 2) C 1 \u003d 26,5 pF; C 2 \u003d 186pF; 3) σ 1 = σ 2 = 2,65 μC/m 2.

Eksempel 12.7. Gapet mellom platene til en flat kondensator er fylt med et anisotropisk dielektrikum, hvis permeabilitet ε varierer i retningen vinkelrett på platene i henhold til den lineære lovenε = α + βх fra ε 1 opp til ε 2 og e 2 > ε 1 . Området til hver foringS, avstanden mellom demd. Finn kapasitansen til kondensatoren.

Gitt:S; d; e 1; ε 2

Finne: FRA.

Løsning . Den dielektriske konstanten ε varierer lineært, ε = α + βx, hvor x måles fra foringen, hvis permeabilitet er lik ε 1 . Tatt i betraktning at ε (0) = ε 1 , ε (d) = ε 2 , får vi avhengigheten

. Finn potensialforskjellen mellom platene:

Kapasitansen til kondensatoren vil være

Svar:

Eksempel 12.7. Mellom platene til en flat kondensator ladet til en potensiell forskjell U , er to lag med dielektrikum plassert parallelt med platene. Tykkelsen på lagene og permittiviteten til dielektrikum er hhv.d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . Bestem styrken til elektrostatiske felt i dielektriske lag.

Gitt: U; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Finne: E1, E2.

Løsning . Spenningen over kondensatorplatene, gitt at feltet innenfor hvert av de dielektriske lagene er ensartet,

U=E1d1+E2d2. (en)

Den elektriske forskyvningen i begge dielektriske lagene er den samme, så vi kan skrive

D=D1=D2= ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 (2)

Fra uttrykk (1) og (2) finner vi ønsket

(3)

Av formel (2) følger det at

Svar:

;

Eksempel 12.7. Plateområde S flat kondensator er 100cm 2 . Rommet mellom platene er tett fylt med to lag med dielektrikum - en glimmerplate (ε 1 =7) tykk d 1 =3,5 mm og parafin (ε 2 =2) tykkelse d 2 =5 mm. Bestem kapasitansen til denne kondensatoren.

Gitt: S= 100 cm 2 =10 -2 m 2 ; ε 1 =7; d 1 =3,5 mm=3,5∙10 -3 m;, e 1 =2; d 1 =3,5 mm=5∙10 -3 m;

Finne: FRA.

Løsning . Kondensatorkapasitet

hvor = - ladning på kondensatorplatene (- overflateladningstetthet på platene); \u003d - potensialforskjellen til platene, lik summen av spenningene på de dielektriske lagene: U \u003d U 1 +U 2. Deretter

(1)

Spenningene U 1 og U 2 finnes ved formlene

;

(2)

hvor E 1 og E 2 - styrken til det elektrostatiske feltet i det første og andre laget av dielektrikumet; D er den elektriske forskyvningen i dielektrikum (det samme i begge tilfeller). Med tanke på det

Og gitt formel (2), fra uttrykk (1) finner vi ønsket kapasitans til kondensatoren

Svar: C \u003d 29,5pF.

Eksempel 12.7. Et batteri med tre kondensatorer koblet i serie C 1 \u003d 1 μF; FRA 2 \u003d 2uF og C 3 \u003d 4 μF er koblet til en EMF-kilde. Lading av kondensatorbatteri q \u003d 40 μC. Bestem: 1) spenning U 1 , U 2 og U 3 på hver kondensator; 2) EMF-kilde; 3) kapasiteten til kondensatorbanken.

Gitt : C 1 \u003d 1 μF \u003d 1 ∙ 10 -6 F; C 2 \u003d 2 μF \u003d 2 ∙ 10 -6 F og C 3 \u003d 4 μF \u003d 4 ∙ 10 -6 F; q \u003d 40 μC \u003d 40 - ∙ F .

Finn: 1) U 1 , U 2 , U 3 ; 2) ξ; 3) C.

Løsning . Når kondensatorer er koblet i serie, er ladningene til alle plater like i absolutt verdi, derfor

q 1 \u003d q 2 \u003d q 3 \u003d q.

Kondensatorspenning

Kildens EMF er lik summen av spenningene til hver av de seriekoblede kondensatorene:

ξ \u003d U 1 + U 2 + U 3

Når de er koblet i serie, summeres resiproka til kapasitansene til hver av kondensatorene:

Hvor er ønsket kapasitet til kondensatorbanken

Svar: 1) U 1 \u003d 40V; U 2 \u003d 20V, U 3 = 10V; 2) Ɛ= 70V; 3) C \u003d 0,571 μF.

Eksempel 12.7. To flate luftkondensatorer med samme kapasitet er koblet i serie og koblet til en EMF-kilde. Hvordan og hvor mange ganger vil ladningen til kondensatorer endres hvis en av dem er nedsenket i olje med en dielektrisk konstant ε=2,2.

Gitt: C 1 \u003d C 2 \u003d C; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Finne: .

Løsning . Når kondensatorer er koblet i serie, er ladningene til begge kondensatorene like store. Før nedsenking i et dielektrikum (i olje), ladningen til hver kondensator

hvor ξ \u003d U 1 + U 2 (når kondensatorer er koblet i serie, er EMF til kilden lik summen av spenningene til hver av kondensatorene).

Etter at en av kondensatorene er nedsenket i et dielektrikum, er ladningene til kondensatorene igjen de samme, og følgelig er den første og andre kondensatoren like

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(tar i betraktning at ε 1 =1), hvorav, hvis vi tar i betraktning at ξ = U 1 + U 2, finner vi

(2)

Ved å dele (2) med (1), finner vi ønsket forhold

Svar:

, dvs. ladningen til kondensatorene øker med en faktor på 1,37.

Eksempel 12.7. Kondensatorer med hver kapasitans C kobles til som vist i fig.a. bestemme kapasitansen vanlig denne tilkoblingen av kondensatorer. .

Løsning . Kobler du kondensator C 4 fra kretsen får du en tilkobling av kondensatorer, som enkelt beregnes. Siden kapasiteten til alle kondensatorene er de samme (C 2 \u003d C 3 og C 5 \u003d C 6), er begge parallelle grener symmetriske, derfor må potensialene til punktene A og B, like plassert i grenene, være like. Kondensator C 4 er dermed koblet til punkter med null potensialforskjell. Derfor er kondensatoren C 4 ikke ladet, dvs. det kan utelukkes og ordningen presentert i tilstanden til problemet kan forenkles (fig. b).

Denne kretsen består av tre parallelle grener, hvorav to inneholder to kondensatorer i serie.

Svar: C totalt = 2C.

Eksempel 12.7. Flat luftkondensator med kapasitet C 1 \u003d 4pF ladet til en potensiell forskjellU 1 =100V. Etter å ha koblet kondensatoren fra spenningskilden, ble avstanden mellom kondensatorplatene doblet. Bestem: 1) potensialforskjellU 2 på kondensatorplatene etter at de er separert; 2) arbeidet med ytre krefter for å skyve platene fra hverandre.

Gitt: C 1 \u003d 4pF \u003d 4 ∙ 10 -12 F; U 1 \u003d 100V; d 2 \u003d 2d 1.

Finne: 1) U 2 ;2)A.

Løsning . Ladningen av kondensatorplatene etter frakobling fra spenningskilden endres ikke, dvs. Q=konst. Derfor

C 1 U 1 \u003d C 2 U 2, (1)

hvor C 2 og U 2 er henholdsvis kapasitansen og potensialforskjellen på kondensatorplatene etter at de er flyttet fra hverandre.

Gitt at kapasitansen til en flat kondensator

, fra formel (1) får vi den ønskede potensialforskjellen

(2)

Etter at kondensatoren er koblet fra spenningskilden, kan systemet med to ladede plater betraktes som en lukket, for hvilken loven om bevaring av energi er oppfylt: arbeidet A med ytre krefter er lik endringen i energien til systemet

A \u003d W 2 - W 1 (3)

hvor W 1 og W 2 er energien til kondensatorfeltet i henholdsvis start- og slutttilstand.

Gitt at

og

(q – const), fra formel (3) får vi ønsket arbeid av ytre krefter

[tatt i betraktning at q=C 1 U 1 og formel (2)].

Svar : 1) U 2 \u003d 200V; 2) A \u003d 40nJ.

Eksempel 12.7. En solid kule av dielektrikum med en radiusR=5 cm ladet jevnt med bulktetthet ρ=5nC/m 3 . Bestem energien til det elektrostatiske feltet i rommet rundt ballen.

Gitt R=5cm=5∙10-2m; ρ=5nC/m 3 = 5∙10 -9 C / m 3.

Finne: W.

Løsning . Feltet til en ladet ball er sfærisk symmetrisk, så den volumetriske ladningstettheten er den samme på alle punkter som ligger i like avstander fra midten av ballen.

E energi i et elementært sfærisk lag (det velges utenfor dielektrikumet, hvor energien skal bestemmes) med et volum på dV (se figur)

hvor dV=4πr 2 dr (r er radien til et elementært sfærisk lag; dr er dets tykkelse);

(ε=1 – felt i vakuum; E – elektrostatisk feltstyrke).

Vi vil finne intensiteten E ved Gauss-teoremet for et felt i vakuum, og mentalt velge en kule med radius r som lukket flate (se figur). I dette tilfellet kommer hele ladningen til ballen, som skaper feltet under vurdering, inn i overflaten, og ifølge Gauss-teoremet,

Hvor

Ved å erstatte de funnet uttrykkene med formel (1), får vi

Energien som finnes i rommet rundt ballen,

Svar: B=6,16∙10 -13 J.

Eksempel 12.7. Plan kondensator med arealet til plateneSog avstanden mellom dem ℓ ladningen rapporteresq, hvoretter kondensatoren kobles fra spenningskilden. Bestem tiltrekningskraftenFmellom kondensatorplatene, dersom dielektrisitetskonstanten til mediet mellom platene er lik ε.

Gitt : S; ℓ; q; ε .

Finne: F.

Løsning . Ladningen av kondensatorplatene etter frakobling fra spenningskilden endres ikke, dvs. q=konst. Anta at under påvirkning av tiltrekningskraften F, har avstanden mellom kondensatorplatene endret seg med d ℓ . Da virker kraften F

I henhold til loven om bevaring av energi er dette arbeidet lik energitapet til kondensatoren, dvs.

. (3)

Bytter inn i formelen for energien til en ladet kondensator

uttrykk for kapasitansen til en flat kondensator

, vi får

(4)

Svar:

Eksempel 12.7. Flat plate kondensatorSog avstanden mellom dem ℓ koblet til en konstant spenningskildeU. Bestem tiltrekningskraftenFmellom kondensatorplatene, dersom dielektrisitetskonstanten til mediet mellom platene er lik ε.

Gitt : S; ℓ; U; ε .

Finne: F.

Løsning . I henhold til problemets tilstand opprettholdes en konstant spenning på kondensatorplatene, dvs. U=konst. Anta at under påvirkning av tiltrekningskraften F, har avstanden mellom kondensatorplatene endret seg med dℓ. Da virker kraften F

I henhold til loven om bevaring av energi går dette arbeidet i dette tilfellet til å øke energien til kondensatoren (sammenlign med forrige oppgave), dvs.

hvorfra, basert på uttrykk (1) og (2), får vi

(3)