(eksempler på problemløsning)

enslig dirigent

Eksempel 7.1.

Finn kapasitansen til en sfærisk leder med radius R 1 omgitt av et tilstøtende konsentrisk lag av dielektrikum med permittivitet  og ytre radius R 2 .

Løsning.

Metode 1. La oss informere ladningslederen og finne den elektriske feltstyrken i det omkringliggende rommet. Størrelsen på det elektriske forskyvningsfeltet er

til

, derfor:

.

Lederspenning representere følgende uttrykk:

Verdien av kapasitansen oppnås per definisjon fra uttrykket:

.

Metode 2. La oss vurdere en ledende kule omgitt av et dielektrikum som et system av seriekoblede sfæriske kondensatorer (se figur). Ved å bruke resultatet av øvelse 7.4, for kapasitansverdiene får vi:,

. Kapasiteten til hele systemet bestemmes av uttrykket

,

som selvfølgelig sammenfaller med resultatet oppnådd i metode 1.

Flat kondensator

Eksempel 7.2.

Avstand mellom platene flat kondensator fylt med et dielektrikum hvis permeabilitet avhenger av avstanden x til en av frontene i følge loven

, hvor  1 er en konstant, d - avstand mellom platene. Området til hver foring S. Finn kapasitansen til kondensatoren.

Løsning.

La oss forestille oss en kondensator fylt med et inhomogent dielektrikum som et uendelig system av elementære kondensatorer koblet i serie, hvis kapasitans er lik

. Kapasiteten til hele systemet bestemmes av uttrykket:

Som vi får:

.

Sfærisk kondensator

Eksempel 7.3.

Finn kapasitansen til en sfærisk kondensator, radiene til platene en og b, og en < b r til midten av kondensatoren

, hvor

.

Løsning.

Metode 1.

Som i forrige eksempel kan en sfærisk kondensator med en ujevn, men sfærisk symmetrisk dielektrisk fordeling representeres som et system av elementære sfæriske kondensatorer koblet i serie med kapasitanser

og finne systemkapasitet som

.

Metode 2.

Størrelsen på det elektriske forskyvningsfeltet vil i dette tilfellet være lik

, og styrken til dette feltet bestemmes av uttrykket Spenningsverdien, i dette tilfellet, vil være lik, og kapasitansverdien.

Sylindrisk kondensator

Eksempel 7.4.

Finn kapasitansen til en sylindrisk kondensator med lengde l, hvis radier av platene en og b, og en < b, hvis rommet mellom platene er fylt med et dielektrikum, hvis permeabilitet avhenger av avstanden r til kondensatorens akse as

, hvor

.

Løsning. Se for deg en sylindrisk kondensator som seriekoblede elementære kondensatorer med en kapasitans

. Verdien av kapasitansen til hele systemet med elementære kondensatorer kan finnes fra forholdet

Herfra får vi endelig svaret:

.

Eksempel 7.5.

En sylindrisk kondensator har en ytre platediameter .Hva skal diameteren på innerforet være slik at ved en gitt spenning over kondensatoren Spenninger elektrisk felt på innerforet

var minimum?

Løsning. Størrelsen på den elektriske feltstyrken på den indre foringen

finne fra følgende relasjoner. Å erstatte kapasitansverdien til en sylindrisk kondensator (se øvelse 7.5), fører til uttrykket:

.

For å finne ekstremumet finner vi den deriverte av nevneren (fordi telleren har en fast verdi)

.

Å likestille det med null, finner vi

. At det tilsvarer minimum

, kan verifiseres ved å ta den andre deriverte og bestemme fortegnet ved

.

Tilkobling av kondensatorer

Eksempel 7.6.

Fire kondensatorer med kapasitanser

og koblet til som vist på figuren. Hvilket forhold skal kapasitansene til kondensatorene tilfredsstille slik at potensialforskjellen mellom punktene og var lik null?

Løsning. Siden ladningen er den samme på seriekoblede kondensatorer 1 og 2, er forholdet oppfylt

.

Et lignende forhold må gjelde for kondensator 3 og 4:

.

Til mellom prikkene og det var ingen potensiell forskjell, det er nødvendig at likhetene

og

. Ved å dele begrep på ledd forholdene som uttrykker likheten mellom ladninger og redusere med like potensielle forskjeller, får vi

.

Gjensidig kapasitans

Eksempel 7.7.

Det er to ledere veldig langt fra hverandre. Kapasiteten til en C 1, dens ladning Q en . Kapasitans til den andre lederen C 2, ladning Q 2. Opprinnelig uladet kondensator FRA koblet med tynne ledninger til disse lederne. Finn ladningen q kondensator C.

R

løsning. Etter å ha koblet til kondensatoren og etablere elektrostatisk likevekt, vil ladningene og potensialene til lederne og kondensatorplatene være som vist på figuren. Potensialene til fjernledere vil være relatert til ladningene på dem av relasjonene:

,

. For spenningen over kondensatoren skriver vi forholdet:

hvorfra verdien av ladningen til kondensatoren kan hentes algebraisk og presenteres i skjemaet.

PROBLEM 1. Rommet mellom platene til en flat kondensator fylles uten et gap med to lag med dielektrikum parallelt med platene. Det første laget er porselenstykt d 1 = 2 mm, den andre - tykk ebonitt
d 2 = 1,5 mm. Bestem kapasitet C en slik kondensator, hvis arealet av platene S\u003d 100 cm 2.

ANALYSE. For å løse problemet representerer vi en kondensator med dielektrikum som to kondensatorer koblet i serie. Spenningen over kondensatoren er U= U 1 +U 2, hvor U 1 og U 2 - spenninger på dielektriske lag. For å finne kapasitansen til en kondensator FRA, du må vite U 1 og U 2. For å gjøre dette bør man bruke forholdet mellom styrken og potensialet og forholdene ved grensesnittet mellom to dielektrikum, og også ta hensyn til at normalkomponenten til forskyvningsvektoren ikke endres når man krysser grensesnittet.

LØSNING. Kapasitansen til kondensatoren er C= q/U= q/(U 1 +U 2), (2.3.1)

hvor q- platelading (Fig. 2.3.1).

Feltet inne i kondensatoren er ensartet, så forholdet mellom styrken og potensialet gir

U 1 = E 1 d 1 , U 2 = E 2 d 2; derfor .

Intensitetsvektoren er relatert til den elektriske forskyvningsvektoren ved relasjonen eller .

Fordi det

Hvor er overflateladningstettheten, får vi

La oss sjekke dimensjonen: .

Ved å erstatte verdiene får vi:

SVAR: FRA= 98,3 pF.

PROBLEM 2. To flate kondensatorer med samme elektriske kapasitet ( C 1 = C 2) koblet i et batteri i serie og koblet til en strømkilde med elektromotorisk kraft. Hvordan vil den potensielle forskjellen endre seg U 1 på platene til den første kondensatoren, hvis rommet mellom platene til den andre kondensatoren, uten å slå av strømkilden, er fylt med et dielektrikum med en permittivitet e = 7 (fig. 2.3.2)?

ANALYSE. Før du fylte den andre kondensatoren med et dielektrikum, var potensialforskjellen på platene til begge kondensatorene den samme

Etter fylling ble strømkilden ikke slått av, så den totale potensialforskjellen på kondensatorbanken forble den samme, den ble bare omfordelt mellom kondensatorene. Gitt at kapasitansen til den andre kondensatoren har økt e ganger, kan du finne en ny potensiell forskjell over den første kondensatoren.

LØSNING. Etter fylling med et dielektrikum ble potensialforskjellene over kondensatorene like

, (2.3.2.)

hvor q er ladningen på kondensatorplaten, q¹ q 0 , kapasitansen til den første kondensatoren har ikke endret seg, C 1 ¢ = C 1 = C.

Siden kl seriell tilkobling kondensatorer lades på hver plate og på hele batteriet er det samme, så hvor

deretter (2.3.3)

Ved å erstatte (2.3.3) med (2.3.2), får vi

Ønsket forhold er

SVAR:

OPPGAVE 3. Radiusen til den sentrale kjernen i en koaksialkabel er 1,5 cm, radiusen til kappen er 3,5 cm. En potensialforskjell på 2300 V påføres mellom den sentrale kjernen og kappen. Beregn den elektriske feltstyrken på avstand 2 cm fra kabelaksen.

ANALYSE. Kabelen kan sammenlignes med en sylindrisk kondensator. Elektrisk felt kun den sentrale boligen opprettes. Styrken til dette feltet bør defineres som styrken til feltet til en uendelig ladet filament.

LØSNING. Feltstyrken til kabelen er

.(2.3.4)

Kabelen er jevnt ladet, så t= q/ .

Ladningen kan bestemmes hvis kapasitansen til kondensatoren er kjent C, q= CU 0, deretter t= CU 0 / . (2.3.5)

Det er kjent at kapasitansen til en sylindrisk kondensator bestemmes av formelen: (2.3.6)

Ved å bruke uttrykk (2.3.5) og (2.3.6) får vi . (2.3.7)

Vi erstatter (2.3.7) med likhet (2.3.4):

Riktigheten av formelen når det gjelder dimensjon er åpenbar. Å erstatte verdiene, får vi

OPPGAVE 4. Flat luftkondensator med plateareal S\u003d 500 cm 2, koblet til en strømkilde, hvis EMF ξ \u003d 300 V. Bestem arbeidet MEN ytre krefter for å skyve platene fra avstanden d 1 = 1 cm før d 2 \u003d 3 cm i to tilfeller: a) platene kobles fra strømkilden før de flyttes fra hverandre; b) platene i prosessen med utvidelse forblir koblet til den.

ANALYSE. I det første tilfellet kan systemet med to plater ladet og koblet fra strømkilden betraktes som et isolert system, i forhold til hvilket loven om bevaring av energi er gyldig. I dette tilfellet er arbeidet til eksterne krefter lik endringen i systemets energi , hvor W 2 – energien til kondensatorfeltet i den endelige tilstanden (med avstanden mellom platene d 2), W 1 – energien til feltet til kondensatoren i starttilstanden ( d= d 1).

I det andre tilfellet forblir platene koblet til strømkilden, og systemet med to plater er ikke lenger isolert (ladningen til platene, når de flyttes fra hverandre, flyttes til batteriterminalene). Potensialforskjellen forblir uendret når platene flyttes fra hverandre U= ξ. I dette tilfellet og U= konst,en C endrer seg. Flat kondensatorkapasitans C= e 0 S/d vil avta, derfor vil ladningen på platene reduseres, q= CU, og feltstyrken til kondensatoren E= U/d.

I dette tilfellet beregner vi arbeidet som en integral , (2.3.8)

hvor E 1 – styrken til feltet skapt av ladningen av én plate.

LØSNING. I det første I tilfellet endres ikke ladningen q til hver av platene som er koblet fra kilden når de flyttes fra hverandre, q = C 1 x .

Energien til det elektriske feltet til kondensatoren er

derfor . (2.3.9)

De elektriske kapasitetene er lik hhv (2.3.10)

Ved å erstatte (2.3.10) med (2.3.9), får vi

La oss sjekke dimensjonen: .

Å erstatte verdiene, får vi .

Ta i betraktning andre tilfelle.

La oss uttrykke spenningen E 1 felt og ladning q gjennom avstanden X mellom platene (fig. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Ved å erstatte uttrykk (2.3.11) og (2.3.12) med formel (2.3.8), får vi

La oss sjekke dimensjonen: . Å erstatte verdiene, får vi

SVAR:

To flate plater parallelle med hverandre og atskilt av et dielektrikum utgjør en flat kondensator. Dette er den enkleste representanten for kondensatorer, som er designet for å lagre ulik energi. Hvis platene får en ladning som er lik i størrelse, men forskjellig i størrelse, vil feltene mellom lederne dobles. Forholdet mellom ladningen til en av lederne og spenningen mellom kondensatorplatene kalles den elektriske kapasiteten:

Hvis arrangementet av platene er uendret, kan det betraktes som en konstant for enhver ladning av lederne. I det internasjonale målesystemet er enheten for elektrisk kapasitet Farad (F). En flat kondensator har en styrke som er lik summen av styrkene skapt av lederne (E 1 +E 2 ... + E n ). Vektormengder. Verdien av elektrisk kapasitet er direkte proporsjonal med arealet av platene og omvendt proporsjonal med avstanden mellom dem. Dette betyr at for å øke kapasitansen til kondensatoren, er det nødvendig å gjøre arealet til platene større, samtidig som avstanden mellom dem reduseres. Avhengig av dielektrikumet som brukes, kan en flat kondensator være:

• Papir.
• Glimmer.
• Polystyren.
• Keramikk.
• Luft.

Tenk på prinsippet til enheten ved å bruke eksemplet på en papirkondensator. Parafinbehandlet papir brukes i dette tilfellet som et dielektrikum. Et dielektrikum legges mellom to foliestrimler, som fungerer som ledere. Hele strukturen er rullet sammen til en rull, som ledninger settes inn i. Denne modellen er plassert i en keramikk- eller metallkasse. En flat luftkondensator og andre typer ladelagringsenheter er av lignende design, bare materialene som selve kondensatoren er oppkalt etter blir brukt som et dielektrisk medium. Når du løser problemer der det er nødvendig å finne de nødvendige mengdene, ikke glem å bruke verdien som kjennetegner dielektrikumet - permittivitet miljø.

Væske- og tørrvæskekondensatorer brukes i radioteknikk.Væskekondensatorer er der en oksidert aluminiumsplate er plassert. Dette stoffet er plassert i et metallhus. Elektrolytten som brukes er en løsning av borsyre og noen andre blandinger. Den tørre visningen av stasjonene er laget ved å brette tre bånd, hvorav den ene er aluminium, den andre er metall, og mellom dem er det et gasbindlag impregnert med en viskøs elektrolytt. Rullen legges i en aluminiumskoffert og fylles med bitumen. Den flate kondensatoren har et bredt spekter av bruksområder og lav pris. Dessverre vil disse modellene ikke erstatte batterier for oss, fordi energien til en flat kondensator er veldig liten, og ladningen "lekker" veldig raskt. De er ikke egnet som strømkilder, men de har en fordel - når de lader gjennom en lavmotstandskrets, frigjør de øyeblikkelig den akkumulerte energien.