Intensità di campo tra le piastre. La forza di attrazione tra le piastre di un condensatore piatto

Semestre 3. Lezione4.

Lezione 4. Campo elettrico dei conduttori carichi.

L'energia del campo elettrostatico.

Campo vicino al capotreno. Capacità di conduttori e condensatori. (Capacità di condensatori piatti, cilindrici e sferici). Energia di un sistema di oneri fissi. L'energia di un conduttore carico, condensatore. Densità di energia del campo elettrostatico.

Nella teoria elettrostatica, era conveniente determinare l'associato energia elettrica, sapere. Pensiamo ai singoli addebiti uno alla volta, anche quando il nostro sistema era una raccolta di più addebiti, e tralasceremo l'idea di "azione a distanza". Per gli stessi motivi, vorremmo definire una variante dell'energia potenziale elettrica per unità di carica, quindi possiamo pensare alla quantità di energia potenziale che può essere guadagnata o persa da una singola carica presente in un campo elettrico.

Il potenziale elettrico è misurato in coulomb joule, altrimenti noto come volt. In effetti, ci riferiremo spesso al potenziale elettrico come "tensione", i due sono sinonimi per i nostri scopi. Come il potenziale gravitazionale, il potenziale elettrico è una quantità scalare. È, in sostanza, una misura della variazione dell'energia potenziale elettrica per unità di carica.

Quando si introduce un conduttore nell'esterno campo elettrico le cariche all'interno del conduttore iniziano a muoversi sotto l'azione di forze provenienti dal campo esterno fino al raggiungimento dell'equilibrio. Questo porta ad una ridistribuzione della carica elettrica all'interno del conduttore. Le regioni del conduttore, precedentemente elettricamente neutre, acquisiscono una carica elettrica non compensata. Di conseguenza, un campo elettrico appare (o, come si dice, è indotto) nel conduttore

. La condizione per l'equilibrio delle cariche elettriche:

Questo ci permette di vedere che anche la differenza di potenziale ha unità campo elettrico sulla distanza. Questo ha senso in un certo modo, poiché è sufficiente che la differenza di potenziale elettrico passi attraverso un campo elettrico. Poiché il campo elettrico ha unità di newton per pendente, possiamo fare la seguente osservazione.

Se si rilascia una carica positiva, che accelera spontaneamente in aree da alto potenziale a basso potenziale, le cariche positive tendono al minimo potenziale elettrico. Al contrario, le cariche negative cercano il massimo potenziale elettrico. Il lavoro deve essere svolto con cariche positive per portarli a un potenziale maggiore, il lavoro deve essere svolto con cariche negative per portarli in aree di potenziale inferiore.

quelli. intensità di campo all'interno del conduttore:

Pertanto, dall'uguaglianza otteniamo all'interno del conduttore. Pertanto, questa condizione è soddisfatta anche al confine del conduttore. Quelli. la superficie del conduttore è equipotenziale superficie , Ecco perchè le linee di forza del campo elettrico sono perpendicolari alla superficie del conduttore in ogni punto .

Per i carichi puntuali, il campo elettrico è definito attraverso lo spazio, ad eccezione del lato destro del carico, e funziona allo stesso modo del suo potenziale elettrico. Non c'è un posto ovvio da chiamare "nullo". Inoltre, non possiamo collegare il filo di terra a un singolo elettrone. Del resto, quasi sempre il potenziale di una carica puntiforme è definito zero ad una distanza infinita dalla carica stessa. Questo è davvero utile, che tu ci creda o no, e mostra chiaramente che l'unico modo per sbarazzarsi del potenziale dovuto a un carico puntuale è espellere completamente il carico.

conduttore carico .

Se una carica elettrica esterna viene impartita a un conduttore solitario, la condizione per l'equilibrio delle cariche porta nuovamente alla condizione:

,all'interno del conduttore.

Ne consegue che tutte le cariche esterne si trovano sulla superficie del conduttore, poiché. l'intensità di campo all'interno del conduttore è zero e secondo il teorema di Gauss per qualsiasi superficie chiusa all'interno del conduttore (compresa la superficie esterna del conduttore):

La figura 3 mostra un confronto del campo elettrico con il potenziale elettrico di un carico puntuale in funzione della distanza dal carico. Tieni presente: puoi misurare solo le differenze di potenziale elettrico. Un breve punto per chiarire qualsiasi confusione in seguito: quando si parla di cariche puntiformi, come gli elettroni nei campi elettrici o gli atomi in un cristallo, spesso utilizziamo l'unità più conveniente per l'energia, l'elettronvolt. Col passare del tempo, troviamo sempre più spesso l'elettronvolt, e questo si rivela molto conveniente quando siamo impegnati a calcolare un piccolo numero di cariche.

Poiché anche la superficie del conduttore in questo caso è equipotenziale, le linee di forza del campo elettrico sono dirette perpendicolarmente alla superficie del conduttore in ciascuno dei suoi punti.

Dal teorema di Gauss segue quello vicino alla superficie del conduttore

L'entità del vettore di spostamento elettrico è uguale alla densità superficiale delle cariche esterne.

Anche il potenziale elettrico obbedisce al principio di sovrapposizione, proprio come la forza elettrica. Il potenziale elettrico totale a un certo punto dovuto a più cariche puntiformi è solo la somma dei potenziali elettrici dovuti alle singole cariche puntiformi. Il potenziale elettrico è uno scalare, non dobbiamo preoccuparci dei componenti, i potenziali elettrici sono solo il numero dei loro contributi.

Come ci si aspetterebbe dal principio di sovrapposizione, il potenziale tra due cariche è zero e diventa molto grande vicino a ciascun carico, così come il campo elettrico. Potenziale elettrico in un piano contenente un dipolo elettrico. Scala dell'altezza del potenziale elettrico. Le linee rappresentano circuiti equipotenziali.

La carica sulla superficie del conduttore è distribuita in modo tale che il potenziale superficiale rimanga costante. Ciò porta al fatto che la densità di carica sulla superficie del conduttore non è la stessa. Ad esempio, sulle parti taglienti dei conduttori, la densità di carica è maggiore che nei recessi. A questo proposito, sorgono vari fenomeni, ad esempio "charge drain". Se il conduttore è nell'aria, la ionizzazione dell'aria avviene vicino alla punta, portando via parte della carica elettrica - un fenomeno chiamato "vento elettrico".

Pertanto, il lavoro sulla carica da parte della forza elettrica è associato a una variazione dell'energia potenziale elettrica della carica. Combinando questi due fatti, possiamo facilmente mettere in relazione lavoro e potenziale differenza. Nell'oggetto della teoria elettrostatica, abbiamo detto che per un conduttore in equilibrio elettrostatico, la carica netta è solo sulla superficie del conduttore. D'altra parte, abbiamo detto che il campo elettrico appena fuori dalla superficie del conduttore è perpendicolare alla superficie e che il campo all'interno del conduttore è zero.

Ciò significa anche che tutti i punti sulla superficie di un conduttore, carichi in equilibrio elettrostatico, hanno lo stesso potenziale. Un driver arbitrario che porta una carica positiva. L'equazione 23 ci dà un risultato molto generale: non c'è lavoro per spostare un carico tra due punti che hanno lo stesso potenziale elettrico.

Metodo di imaging elettrico .

Se la superficie equipotenziale viene sostituita da una conduttrice e quindi la parte del campo che questa superficie separa viene scartata, il modello di campo nella parte rimanente non cambierà. Al contrario, se l'immagine del campo è integrata con cariche fittizie in modo che la superficie conduttrice possa essere sostituita da una equipotenziale, l'immagine del campo iniziale non cambierà.

Poiché il campo elettrico e lo spostamento sono sempre perpendicolari, non viene eseguito alcun lavoro quando ci si sposta sulla superficie di un conduttore. Poiché il percorso scelto è completamente arbitrario, ciò significa che è vero per due punti qualsiasi sulla superficie. Potenziali e driver caricati.

Il potenziale elettrico è costante in superficie. Il potenziale elettrico è costante all'interno e ha lo stesso valore del valore sulla superficie. Non è necessario alcun lavoro per spostare il carico dall'interno alla superficie o tra due punti della superficie.

Esempio.Trova la forza di attrazione di una carica puntiforme su un piano conduttore infinito . Per fare ciò, integreremo l'immagine con un'altra carica dello stesso tipo, ma di segno opposto, situata simmetricamente rispetto al piano. Quindi il piano coinciderà con la superficie equipotenziale, quindi il piano può essere scartato e si può trovare la forza di interazione tra le cariche: .

Naturalmente, questo è vero solo per i conducenti ideali. Se sono presenti altre forze dissipative, ciò non è vero ed è necessario lavorare per spostare il carico in presenza di una forza dissipativa. L'analogo elettrico dell'attrito o della viscosità è la resistenza.

Una superficie in cui tutti i punti hanno lo stesso potenziale elettrico è chiamata superficie equipotenziale. La differenza di potenziale tra due punti sulla superficie è zero, quindi non è necessario alcun lavoro per spostare un carico a velocità costante lungo una superficie equipotenziale. Pertanto, la superficie del conduttore è una superficie equipotenziale. Le superfici equipotenziali hanno una semplice connessione con il campo: il campo è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti.

L'energia di un conduttore carico .

L'energia di un conduttore carico solitario è definita come l'energia di un sistema di cariche: . Sul conduttore, quindi l'energia di un conduttore solitario:

Sulla fig. 10 mostra le superfici equipotenziali e le linee del campo elettrico per una singola carica puntiforme, un dipolo e due cariche uguali. Nota che una volta che hai disegnato le linee del campo elettrico, disegnare superfici equipotenziali è banale e inverso.

Le linee del campo elettrico sono linee blu e le linee rosse sono superfici equipotenziali per una singola carica puntiforme, un dipolo elettrico e due cariche uguali. Come possiamo davvero modificare il potenziale elettrico - generalmente lo chiameremo intensità - di un oggetto rispetto a un altro? La ricarica a induzione o alla guida è in due modi, ma un po' ingombrante. Un dispositivo noto come sorgente di tensione è un elemento circuitale con due terminali in cui viene applicata una differenza di potenziale costante tra questi due terminali.

Per un sistema di conduttori carichi: .

In particolare, per due conduttori aventi cariche q di uguale grandezza ma di segno diverso, l'energia sarà pari a: .

Commento . L'entità della differenza di potenziale chiamato tensione tra corpi.

Ciò che è collegato al terminale "negativo" della sorgente avrà una tensione inferiore al terminale "positivo". Le batterie sono un esempio di una fonte di tensione costante e le prese a muro della tua casa sono un altro esempio di una fonte di tensione. Le sorgenti di tensione ideali sono sempre espresse nel libro di testo, ovvero forniscono una differenza di potenziale costante. Le sorgenti di tensione reale hanno sempre dei limiti, principalmente la quantità di energia che può essere generata.

Fonte comune tensione costante. Ora che sappiamo qualcosa di voltaggio e conduttori, ci stiamo avvicinando alla descrizione di semplici circuiti elettrici. Introdurremo ora il nostro primo vero elemento circuitale, il condensatore. Un condensatore è un componente elettronico che viene utilizzato per immagazzinare la carica elettrica, è utilizzato essenzialmente in qualsiasi circuito elettrico. I condensatori sono la spina dorsale della memoria ad accesso casuale e della memoria flash e sono fondamentali per quasi tutti gli alimentatori.

L'esperienza mostra che esiste una relazione lineare tra la carica di un conduttore solitario e il suo potenziale: . Fattore di proporzionalità DA chiamato coefficiente di elettrico contenitori o capacità elettrica . L'unità di capacità elettrica è Farad (

).

È uno dei pilastri fondamentali dell'elettronica. La Figura 12 mostra un tipico design del condensatore: due piastre metalliche con una piccola quantità di materiale speciale nel mezzo. È difficile credere che dispositivi complessi come i computer siano basati su un design così semplice, ma è vero.

Quando vengono utilizzate in un circuito, le piastre sono collegate ai terminali positivo e negativo di una sorgente di tensione come una batteria. Il carico su entrambe le piastre è lo stesso, ma ha il segno opposto. Fondamentalmente, posizionare due piastre a potenziali diversi significa che gli elettroni vogliono migrare verso la piastra con il potenziale più alto e lasciare la piastra con il potenziale più basso. La capacità di questa struttura. Il movimento di carica tra le piastre si interrompe quando la differenza di potenziale attraverso le piastre coincide con la differenza di potenziale della sorgente di tensione.

Condensatore è chiamato un sistema di due conduttori carichi della stessa magnitudine, ma diversi nelle cariche di segno. Si chiamano i conduttori piastre di condensatori .

La capacità di un condensatore è determinata dalla formula.

Il condensatore è convenzionalmente designato.

Collegamento di condensatori

Il condensatore viene venduto a causa di questa differenza di potenziale e quindi immagazzina elettricità fino a qualche tempo dopo, quando può essere rivendicata per una particolare applicazione. Puoi pensarlo come immagazzinare energia in termini di o ritardare la risposta come un ammortizzatore elettrico per cambiare le differenze di tensione.

La capacità di una particolare disposizione di due conduttori dipende dalla loro geometria e disposizione relativa. Struttura generaleè un condensatore a piastre parallele come mostrato in figura. Nell'oggetto della teoria elettrostatica, dimostriamo senza dimostrazione la costanza del campo elettrico tra due piastre parallele. Ma qual è il campo tra i piatti?

Considera una connessione in serie di due condensatori C 1 e C 2. Il punto A tra i condensatori è separato dal resto del circuito, quindi la sua carica elettrica non può cambiare. Poiché la carica iniziale di qualsiasi punto era uguale a zero, quindi . Di conseguenza, le cariche delle piastre del condensatore adiacenti al punto A sono uguali in grandezza, ma di segno opposto. Ma poiché il valore della carica delle piastre è uguale alla carica dei condensatori, allora. La carica totale del punto A è zero, quindi se scartiamo questo punto insieme alle piastre, non cambierà nulla nel circuito. Perché anche le cariche delle piastre estreme sono le stesse in grandezza, ma di segno diverso, quindi il condensatore risultante avrà la stessa carica in grandezza.

Nella Sezione 8, troviamo che il campo elettrico su una piastra conduttrice piatta è definito come: dove è la carica per unità di area sulla piastra. Questo ci porta a un'espressione più utile per il campo: di nuovo, questo non è vero vicino ai bordi delle lastre, dove il campo non è costante. Combinando questo con i fatti precedenti, possiamo trovare la capacità di un condensatore a piastre parallele dell'equazione 24. Capacità di un condensatore a piastre parallele.

Nell'equazione 26 possiamo vedere che i condensatori possono immagazzinare più carica man mano che le piastre diventano più grandi. La stessa cosa accade quando i piatti si avvicinano. Quando le piastre sono più vicine tra loro, le cariche opposte esercitano una forza più forte l'una sull'altra, consentendo di immagazzinare più massa sulle piastre. Dall'equazione 24, un condensatore di valore C nella differenza di potenziale immagazzina una carica.

TOTALE . Le cariche dei condensatori collegati in serie hanno la stessa intensità. La carica totale dei condensatori collegati in serie è uguale alla carica di ciascuno dei condensatori.

In questo caso, la tensione totale è uguale alla somma delle tensioni sui condensatori: U GENERALE \u003d U 1 + U 2. Le cariche dei condensatori sono le stesse: q 1 \u003d q 2 \u003d q. Quindi . Ecco perchè .

Quando i condensatori sono collegati in serie, le loro capacità vengono sommate secondo la legge dei reciproci . 

Calcolo della capacità per il collegamento in parallelo di condensatori.

In questo caso, le tensioni sui condensatori sono le stesse: U 1 \u003d U 2 \u003d U.

La carica totale è uguale alla somma delle cariche: q GEN = q 1 + q 2 o C GEN U=C 1 U+C 2 U.

Allora C GENERALE =C 1 +C 2 . Quando i condensatori sono collegati in parallelo, le loro capacità si sommano. 

Energia del condensatore :

La carica totale del condensatore è zero. Un condensatore immagazzina energia elettrica separando le cariche elettriche.

Esempi per calcolare la capacità dei condensatori .

Condensatore piatto (ad aria). rappresenta due lastre parallele, la cui distanza è molto inferiore alle dimensioni delle lastre, per cui il campo tra le lastre può considerarsi uniforme. C'è un vuoto (aria) tra le piastre, quindi  = 1.

In questo caso, quando si calcola il pattern di campo, è possibile utilizzare i risultati ottenuti per il campo di un piano a carica infinita. Poiché le cariche e le aree delle piastre sono uguali in grandezza, l'intensità dell'intensità di campo creata da ciascuna delle piastre è la stessa: ma le direzioni dei vettori di intensità sono diverse (il vettore di intensità di una piastra caricata negativamente è mostrato da una linea tratteggiata). Tra le piastre, i vettori di intensità sono diretti allo stesso modo, quindi l'intensità totale è uguale alla somma delle intensità di campo create da ciascuna delle piastre:

All'esterno delle piastre, i vettori di intensità di campo sono diretti in modo opposto, quindi l'intensità di campo all'esterno è zero. In questo modo, in un condensatore, l'intensità del campo è diversa da zero solo tra le piastre.

Poiché il campo elettrostatico è un campo di forza conservativa, l'integrale non dipende dalla forma della traiettoria G, quindi la differenza di potenziale tra le piastre può essere trovata lungo la perpendicolare che collega le piastre, la cui lunghezza è pari a d:, dove dè la distanza tra i piatti. Quindi la capacità di un condensatore piatto (ad aria) secondo la definizione sarà uguale a:

Condensatore cilindrico (ad aria). è costituito da due cilindri coassiali

della stessa lunghezza, annidati l'uno nell'altro in modo che la distanza tra le piastre sia molto inferiore alle dimensioni delle piastre.

Sia la lunghezza del condensatore l, la carica del rivestimento interno è positiva: q > 0. Raggi di placcatura R 1 e R 2, lascia R 1 <R 2. Intensità di campo tra le piastre a distanza r dal rivestimento interno, cioè per R 1 <r <R 2 , troviamo usando il teorema di Gauss:

Quindi la tensione tra le piastre: .

Pertanto, la capacità elettrica di un condensatore cilindrico (ad aria): .

DA condensatore sferico (ad aria). rappresenta due sfere concentriche annidate con i raggi delle piastre R 1 e R 2 ,R 1 <R 2. Sia la carica del rivestimento interno q> 0. L'intensità del campo tra i rivestimenti a distanza r dal rivestimento interno ( R 1 <r <R 2) troviamo per il teorema di Gauss:

Tensione tra le piastre: .

Pertanto, la capacità di un condensatore sferico (ad aria). .

Densità di energia volumetrica del campo elettrostatico.

Considera un condensatore ad aria piatto. Energia di un condensatore carico

La quantità di spazio tra le piastre di un condensatore. Poiché il campo tra le piastre è considerato omogeneo, il volume unitario di questo campo ha l'energia . Questo valore viene chiamato densità di energia volumetrica .

Nel caso in cui il campo non sia uniforme, la densità di energia volumetrica è .

Nella materia, la densità di energia volumetrica del campo elettrico .

Nel caso di un dielettrico isotropo omogeneo, quindi .

Perché , poi , dove

L'energia del campo elettrico nel vuoto è l'energia della polarizzazione della materia.

Esempio . Si consideri una sfera carica con pareti sottili di raggio R. Poiché le cariche con lo stesso nome si respingono sulla sfera, le forze repulsive tendono ad allungare la superficie della sfera. Possiamo supporre che dall'interno della sfera, le pareti siano interessate pressione aggiuntiva p, facendo scoppiare la sfera e causato dalla presenza di una carica elettrica sulla superficie. Cerchiamo R.

L'intensità del campo all'interno della sfera è zero, quindi la densità di energia del volume del campo elettrico wè diverso da zero solo al di fuori della sfera.

Con un leggero aumento del raggio della sfera di dR il suo volume aumenterà, mentre in quella parte dello spazio circostante che è entrata all'interno della sfera, la densità di energia volumetrica diventerà pari a zero. Pertanto, la variazione dell'energia del campo esterno sarà uguale a, dove Sè la superficie. Ma con l'espansione della sfera, le forze di pressione all'interno della sfera faranno il lavoro . Da allora da dove.

Esempio . Troviamo le forze che agiscono sulle piastre in un condensatore piatto carico, scollegato dalla fonte di alimentazione.

Le piastre sono caricate in modo opposto, quindi si attraggono. Supponiamo che i piatti siano vicini l'uno all'altro di una piccola quantità. X. Quindi il volume del condensatore viene ridotto di dV = xS, quindi l'energia del condensatore è diminuita di dW = wdV. Le forze attrattive funzionano  UN = fx. Poiché A= dW, poi fx = wxS. Pertanto, l'entità della forza è F = wS. La pressione aggiuntiva che queste forze creano è uguale a.

Gli esempi precedenti mostrano che i corpi in un campo elettrico sono soggetti a forze che causano una pressione aggiuntiva pari alla densità di energia volumetrica.

La pressione causata dalla presenza di un campo elettrico è uguale alla densità di energia volumetrica .

Forze , agendo sul corpo dal lato di qualche campo, sono chiamati podemotor .

Le piastre del condensatore con carica opposta si attraggono.

Si chiamano forze meccaniche agenti su corpi carichi macroscopiciponderomotivo .

Calcoliamo le forze ponderomotrici agenti sulle piastre di un condensatore piatto. In questo caso sono possibili due opzioni:

Il condensatore viene caricato e scollegato dalla batteria carica(in questo caso il numero di cariche sulle piastre rimane costante q = cost).

Quando una piastra di un condensatore viene rimossa dall'altra, il lavoro è terminato

per cui l'energia potenziale del sistema aumenta:

In questo caso, dA = dW . Uguagliando i lati destri di queste espressioni, otteniamo

(12.67)

In questo caso, durante la differenziazione, la distanza tra le piastre è stata designata x.

Condensatore carico ma non scollegato dalla batteria(in questo caso, spostando una delle piastre del condensatore, la tensione rimarrà costante ( u = cost). In questo caso, quando una piastra si allontana dall'altra, l'energia potenziale del campo del condensatore diminuisce, poiché le cariche "perdono" dalle piastre, quindi

Ma

, poi

L'espressione risultante coincide con la formula

. Può anche essere rappresentato in un'altra forma se al posto della carica q introduciamo la densità superficiale:

(12.68)

Il campo è uniforme. L'intensità di campo del condensatore è

, dove x è la distanza tra le piastre. Sostituendo nella formula

U 2 \u003d E 2 x 2, otteniamo che la forza di attrazione delle piastre di un condensatore piatto

(12.69)

Queste forze agiscono non solo sulle piastre. Poiché le piastre, a loro volta, esercitano pressione sul dielettrico interposto tra loro e lo deformano, si crea pressione nel dielettrico

(S è l'area di ogni piatto).

La pressione che si forma nel dielettrico è

(12.70)

Esempi di problem solving

Esempio 12.5. Ai piatti piani condensatore ad aria viene applicata una differenza di potenziale di 1,5 kV. Superficie del piatto 150 cm 2 e la distanza tra loro è di 5 mm. Dopo aver scollegato il condensatore dalla sorgente di tensione, il vetro è stato inserito nello spazio tra le piastre (ε 2 =7) Definire:

1) differenza di potenziale tra le piastre dopo l'introduzione di un dielettrico; 2) la capacità del condensatore prima e dopo l'introduzione del dielettrico; 3) la densità di carica superficiale sulle piastre prima e dopo l'introduzione del dielettrico.

Dato: U 1 \u003d 1,5 kV \u003d 1,5 ∙ 10 3 V; S \u003d 150 cm 2 \u003d 1,5 ∙ 10 -2 m 2; ε 1 = 1; d=5mm=5∙10 -3 m.

Trova: 1) U2; 2) C 1 C 2; 3) σ 1 , σ 2

Soluzione . Perché

(σ è la densità di carica superficiale sulle piastre del condensatore), quindi prima dell'introduzione del dielettrico σd=U 1 ε 0 ε 1 e dopo l'introduzione del dielettrico σd=U 2 ε 0 ε 2, quindi

La capacità del condensatore prima e dopo l'introduzione di un dielettrico

La carica delle piastre dopo la disconnessione dalla fonte di tensione non cambia, ad es. q=cost. Pertanto, la densità di carica superficiale sulle piastre prima e dopo l'introduzione del dielettrico

Risposta: 1) U 2 \u003d 214V; 2) C 1 \u003d 26,5 pF; C 2 \u003d 186pF; 3) σ 1 = σ 2 = 2,65 μC/m 2.

Esempio 12.7. Lo spazio tra le piastre di un condensatore piatto è riempito con un dielettrico anisotropo, la cui permeabilità ε varia nella direzione perpendicolare alle piastre secondo la legge lineareε = α + βх da ε 1 fino a ε 2 , e ε 2 > ε 1 . L'area di ogni rivestimentoS, la distanza tra lorod. Trova la capacità del condensatore.

Dato:S; d; ε 1 ; ε 2

Trova: DA.

Soluzione . La costante dielettrica ε varia linearmente, ε = α + βx, dove x è misurata dal rivestimento, la cui permeabilità è pari a ε 1 . Considerando che ε (0) = ε 1 , ε (d) = ε 2 , otteniamo la dipendenza

. Trova la differenza di potenziale tra le piastre:

La capacità del condensatore sarà

Risposta:

Esempio 12.7. Tra le piastre di un condensatore piatto carico di una differenza di potenziale u , due strati di dielettrico sono posti parallelamente alle sue piastre. Lo spessore degli strati e la permittività dei dielettrici sono rispettivamented 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . Determinare l'intensità dei campi elettrostatici negli strati dielettrici.

Dato: u; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Trova: E1, E2.

Soluzione . La tensione attraverso le piastre del condensatore, dato che il campo all'interno di ciascuno degli strati dielettrici è uniforme,

U=MI 1 g 1 + MI 2 g 2 . (uno)

Lo spostamento elettrico in entrambi gli strati dielettrici è lo stesso, quindi possiamo scrivere

D=D1=D2= ε 0 ε 1 E1 = ε 0 ε 2 E 2 (2)

Dalle espressioni (1) e (2) troviamo il desiderato

(3)

Dalla formula (2) segue che

Risposta:

;

Esempio 12.7. Zona del piatto S il condensatore piatto è di 100 cm 2 . Lo spazio tra le piastre è riempito strettamente con due strati di dielettrico: una piastra di mica (ε 1 =7) spesso d 1 =3,5 mm e paraffina (ε 2 =2) spessore d 2 = 5 mm. Determina la capacità di questo condensatore.

Dato: S= 100 cm 2 =10 -2 m 2 ; ε 1 =7; d 1 =3,5 mm=3,5∙10 -3 m;, ε 1 =2; d 1 =3,5mm=5∙10 -3 m;

Trova: DA.

Soluzione . Capacità del condensatore

dove = - carica sulle piastre del condensatore (- densità di carica superficiale sulle piastre); \u003d - differenza di potenziale delle piastre, uguale alla somma delle tensioni sugli strati dielettrici: U \u003d U 1 +U 2. Quindi

(1)

Le tensioni U 1 e U 2 si trovano dalle formule

;

(2)

dove E 1 ed E 2 - l'intensità del campo elettrostatico nel primo e nel secondo strato del dielettrico; D è lo spostamento elettrico nei dielettrici (lo stesso in entrambi i casi). Tenendo conto che

E data la formula (2), dall'espressione (1) troviamo la capacità desiderata del condensatore

Risposta: C \u003d 29,5 pF.

Esempio 12.7. Una batteria di tre condensatori collegati in serie C 1 \u003d 1 μF; DA 2 \u003d 2uF e C 3 \u003d 4 μF sono collegati a una sorgente EMF. Carica della batteria del condensatore q \u003d 40 μC. Determina: 1) tensione u 1 , u 2 e u 3 su ciascun condensatore; 2) sorgente EMF; 3) la capacità del banco di condensatori.

Dato : C 1 \u003d 1 μF \u003d 1 ∙ 10 -6 F; C 2 \u003d 2 μF \u003d 2 ∙ 10 -6 F e C 3 \u003d 4 μF \u003d 4 ∙ 10 -6 F; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F .

Trova: 1) U1, U2, U3 ; 2) ξ; 3) C.

Soluzione . Quando i condensatori sono collegati in serie, le cariche di tutte le piastre sono quindi uguali in valore assoluto

q 1 \u003d q 2 \u003d q 3 \u003d q.

Tensione del condensatore

L'EMF della sorgente è uguale alla somma delle tensioni di ciascuno dei condensatori collegati in serie:

ξ \u003d U 1 + U 2 + U 3

Quando sono collegati in serie, si sommano i reciproci delle capacità di ciascuno dei condensatori:

Dov'è la capacità desiderata del banco di condensatori

Risposta 1) U 1 \u003d 40 V; U 2 \u003d 20 V, U 3 = 10V; 2) Ɛ= 70V; 3) C \u003d 0,571 μF.

Esempio 12.7. Due condensatori ad aria piatta della stessa capacità sono collegati in serie e collegati a una sorgente EMF. Come e quante volte cambierà la carica dei condensatori se uno di essi è immerso in olio con costante dielettrica ε=2,2.

Dato: C 1 \u003d C 2 \u003d C; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Trova: .

Soluzione . Quando i condensatori sono collegati in serie, le cariche di entrambi i condensatori sono uguali in grandezza. Prima dell'immersione in un dielettrico (in olio), la carica di ogni condensatore

dove ξ \u003d U 1 + U 2 (quando i condensatori sono collegati in serie, l'EMF della sorgente è uguale alla somma delle tensioni di ciascuno dei condensatori).

Dopo che uno dei condensatori è stato immerso in un dielettrico, le cariche dei condensatori sono di nuovo le stesse e, di conseguenza, sul primo e sul secondo condensatore sono uguali

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(tenendo conto che ε 1 =1), per cui, se teniamo conto che ξ = U 1 + U 2 , troviamo

(2)

Dividendo (2) per (1), troviamo il rapporto desiderato

Risposta:

, cioè. la carica dei condensatori aumenta di un fattore 1,37.

Esempio 12.7. I condensatori con capacità C ciascuno sono collegati come mostrato in fig.a. determinare la capacità Comune questo collegamento di condensatori. .

Soluzione . Se si scollega il condensatore C 4 dal circuito, si ottiene una connessione di condensatori, che è facilmente calcolabile. Poiché le capacità di tutti i condensatori sono le stesse (C 2 \u003d C 3 e C 5 \u003d C 6), entrambi i rami paralleli sono simmetrici, quindi i potenziali dei punti A e B, ugualmente situati nei rami, devono essere uguali. Il condensatore C 4 è quindi collegato a punti con differenza di potenziale nulla. Pertanto, il condensatore C 4 non è carico, ad es. può essere escluso e lo schema presentato nella condizione del problema può essere semplificato (Fig. b).

Questo circuito è costituito da tre rami paralleli, due dei quali contengono due condensatori in serie.

Risposta: C totale = 2 C.

Esempio 12.7. Condensatore ad aria piana con capacità C 1 \u003d 4pF addebitato a una differenza potenzialeu 1 = 100 V. Dopo aver scollegato il condensatore dalla sorgente di tensione, la distanza tra le piastre del condensatore è stata raddoppiata. Determina: 1) differenza di potenzialeu 2 sulle piastre dei condensatori dopo la loro separazione; 2) il lavoro di forze esterne per allontanare le piastre.

Dato: C 1 \u003d 4pF \u003d 4 ∙ 10 -12 F; U 1 \u003d 100 V; d 2 \u003d 2d 1.

Trova: 1) U2 ;2)A.

Soluzione . La carica delle piastre del condensatore dopo la disconnessione dalla sorgente di tensione non cambia, ad es. Q=cost. Ecco perchè

C 1 U 1 \u003d C 2 U 2, (1)

dove C 2 e U 2 sono, rispettivamente, la capacità e la differenza di potenziale sulle piastre dei condensatori dopo che si sono allontanate.

Dato che la capacità di un condensatore piatto

, dalla formula (1) otteniamo la differenza di potenziale desiderata

(2)

Dopo aver scollegato il condensatore dalla sorgente di tensione, il sistema di due piastre cariche può essere considerato chiuso, per il quale è soddisfatta la legge di conservazione dell'energia: il lavoro A delle forze esterne è uguale alla variazione dell'energia del sistema

A \u003d V 2 - V 1 (3)

dove W 1 e W 2 sono l'energia del campo del condensatore rispettivamente nello stato iniziale e finale.

Dato che

e

(q – const), dalla formula (3) otteniamo il lavoro desiderato delle forze esterne

[tenuto conto che q=C 1 U 1 e formula (2)].

Risposta : 1) U 2 \u003d 200 V; 2) A \u003d 40nJ.

Esempio 12.7. Una sfera solida di dielettrico con un raggioR=5cm caricati uniformemente con densità apparente ρ=5nC/m 3 . Determina l'energia del campo elettrostatico contenuto nello spazio che circonda la palla.

Dato: R=5cm=5∙10 -2 m; ρ=5nC/m 3 = 5∙10 -9 C / m 3.

Trova: w.

Soluzione . Il campo di una palla carica è sfericamente simmetrico, quindi la densità di carica volumetrica è la stessa in tutti i punti situati a distanze uguali dal centro della palla.

e energia in uno strato sferico elementare (viene scelto al di fuori del dielettrico, dove deve essere determinata l'energia) con un volume di dV (vedi figura)

dove dV=4πr 2 dr (r è il raggio di uno strato sferico elementare; dr è il suo spessore);

(ε=1 – campo nel vuoto; E – intensità del campo elettrostatico).

Troveremo l'intensità E dal teorema di Gauss per un campo nel vuoto e sceglieremo mentalmente una sfera di raggio r come superficie chiusa (vedi figura). In questo caso, l'intera carica della palla, che crea il campo in esame, penetra all'interno della superficie e, secondo il teorema di Gauss,

Dove

Sostituendo le espressioni trovate nella formula (1), otteniamo

L'energia contenuta nello spazio che circonda la palla,

Risposta: L=6.16∙10 -13 J.

Esempio 12.7. Condensatore planare con l'area delle piastreSe la distanza tra loro ℓ viene riportata la caricaq, dopodiché il condensatore viene scollegato dalla sorgente di tensione. Determina la forza di attrazioneFtra le piastre del condensatore, se la costante dielettrica del mezzo tra le piastre è uguale a ε.

Dato : S; ℓ; q; ε .

Trova: F.

Soluzione . La carica delle piastre del condensatore dopo la disconnessione dalla sorgente di tensione non cambia, ad es. q=cost. Supponiamo che sotto l'azione della forza di attrazione F, la distanza tra le piastre del condensatore sia cambiata di d ℓ . Allora la forza F funziona

Secondo la legge di conservazione dell'energia, questo lavoro è uguale alla perdita di energia del condensatore, ad es.

. (3)

Sostituendo nella formula l'energia di un condensatore carico

espressione per la capacità di un condensatore piatto

, noi abbiamo

(4)

Risposta:

Esempio 12.7. Condensatore piattoSe la distanza tra loro ℓ collegati a una sorgente di tensione costanteu. Determina la forza di attrazioneFtra le piastre del condensatore, se la costante dielettrica del mezzo tra le piastre è uguale a ε.

Dato : S; ℓ; u; ε .

Trova: F.

Soluzione . A seconda della condizione del problema, viene mantenuta una tensione costante sulle piastre del condensatore, ad es. U=cost. Supponiamo che sotto l'azione della forza di attrazione F, la distanza tra le piastre del condensatore sia cambiata di dℓ. Allora la forza F funziona

Secondo la legge di conservazione dell'energia, questo lavoro in questo caso va ad aumentare l'energia del condensatore (confronta con il compito precedente), ad es.

da cui, in base alle espressioni (1) e (2), otteniamo

(3)

Sostituendo nella formula l'energia del condensatore

espressione per la capacità di un condensatore piatto

, noi abbiamo

(4)

Sostituendo il valore di energia (4) nella formula (3) ed effettuando la differenziazione, troviamo la forza di attrazione desiderata tra le piastre del condensatore