(esempi di problem solving)

conduttore solitario

Esempio 7.1.

Trova la capacità di un conduttore sferico di raggio R 1 circondato da uno strato concentrico adiacente di dielettrico con permittività  e raggio esterno R 2 .

Soluzione.

Metodo 1. Informiamo il conduttore di carica e troviamo l'intensità del campo elettrico nello spazio circostante. La grandezza del campo di spostamento elettrico è

Per

, Ecco perché:

.

Tensione del conduttore rappresentano la seguente espressione:

Il valore della capacità si ottiene per definizione dall'espressione:

.

Metodo 2. Consideriamo una sfera conduttrice circondata da un dielettrico come un sistema di condensatori sferici collegati in serie (vedi figura). Usando il risultato dell'Esercizio 7.4, per i valori di capacità otteniamo:,

. La capacità dell'intero sistema è determinata dall'espressione

,

che, ovviamente, coincide con il risultato ottenuto nel metodo 1.

Condensatore piatto

Esempio 7.2.

Spazio tra i piatti condensatore piatto riempito con un dielettrico la cui permeabilità dipende dalla distanza X ad uno dei paramenti a norma di legge

, dove  1 è una costante, D - distanza tra le piastre. L'area di ciascun rivestimento S. Trova la capacità del condensatore.

Soluzione.

Immaginiamo un condensatore riempito con un dielettrico disomogeneo come un sistema infinito di condensatori elementari collegati in serie, la cui capacità è pari a

. La capacità dell'intero sistema è determinata dall'espressione:

Da cui otteniamo:

.

Condensatore sferico

Esempio 7.3.

Trova la capacità di un condensatore sferico, i cui raggi delle piastre UN E B, E UN < B R al centro del condensatore

, Dove

.

Soluzione.

Metodo 1.

Come nell'esempio precedente, un condensatore sferico con distribuzione dielettrica non uniforme ma a simmetria sferica può essere rappresentato come un sistema di condensatori sferici elementari collegati in serie con capacità

e trova la capacità del sistema come

.

Metodo 2.

La grandezza del campo di spostamento elettrico in questo caso sarà uguale a

, e l'intensità di questo campo è determinata dall'espressione Il valore della tensione, in questo caso, sarà uguale a, e il valore della capacità.

Condensatore cilindrico

Esempio 7.4.

Trova la capacità di un condensatore cilindrico di lunghezza l, i raggi delle lastre di cui UN E B, E UN < B, se lo spazio tra le piastre è riempito con un dielettrico, la cui permeabilità dipende dalla distanza R all'asse del condensatore come

, Dove

.

Soluzione. Immagina un condensatore cilindrico come condensatori elementari collegati in serie con una capacità

. Il valore della capacità dell'intero sistema di condensatori elementari può essere trovato dalla relazione

Da qui finalmente otteniamo la risposta:

.

Esempio 7.5.

Un condensatore cilindrico ha un diametro esterno della piastra .Quale dovrebbe essere il diametro del rivestimento interno in modo che ad una data tensione ai capi del condensatore tensione campo elettrico sulla fodera interna

era il minimo?

Soluzione. L'entità dell'intensità del campo elettrico sul rivestimento interno

trovare dalle seguenti relazioni. Sostituendo il valore di capacità di un condensatore cilindrico (vedi esercizio 7.5), si ottiene l'espressione:

.

Per trovare l'estremo, troviamo la derivata del denominatore (perché il numeratore ha un valore fisso)

.

Uguagliandolo a zero, troviamo

. Che corrisponde al minimo

, può essere verificato prendendo la derivata seconda e determinandone il segno in

.

Collegamento dei condensatori

Esempio 7.6.

Quattro condensatori con capacità

E collegati come mostrato in figura. Quale rapporto dovrebbero soddisfare le capacità dei condensatori in modo che la potenziale differenza tra i punti E era uguale a zero?

Soluzione. Poiché la carica è la stessa sui condensatori collegati in serie 1 e 2, la relazione è soddisfatta

.

Una relazione simile deve valere per i condensatori 3 e 4:

.

Tra i puntini E non c'era differenza potenziale, è necessario che le uguaglianze

E

. Dividendo termine per termine i rapporti che esprimono l'uguaglianza delle cariche e riducendo per uguali differenze potenziali, otteniamo

.

Capacità reciproca

Esempio 7.7.

Ci sono due conduttori molto distanti. La capacità di uno C 1, la sua carica Q 1 . Capacità del secondo conduttore C 2, carica Q 2. Condensatore inizialmente scarico CON collegati con fili sottili a questi conduttori. Trova la carica Q condensatore C.

R

soluzione. Dopo aver collegato il condensatore e stabilito l'equilibrio elettrostatico, le cariche e i potenziali dei conduttori e delle piastre del condensatore saranno come mostrato nella figura. I potenziali dei conduttori remoti saranno correlati alle cariche su di essi dalle relazioni:

,

. Per la tensione attraverso il condensatore, scriviamo la relazione:

da cui il valore della carica del condensatore può essere ottenuto algebricamente e presentato nella forma.

PROBLEMA 1. Lo spazio tra le armature di un condensatore piatto è riempito senza intercapedine con due strati di dielettrici paralleli alle armature. Il primo strato è di porcellana spessa D 1 = 2 mm, il secondo - ebanite spessa
D 2 = 1,5mm. Determina la capacità C un tale condensatore, se l'area delle piastre S\u003d 100 cm 2.

ANALISI. Per risolvere il problema, rappresentiamo un condensatore con dielettrici come due condensatori collegati in serie. La tensione ai capi del condensatore è U= U 1 +U 2, dove U 1 e U 2 - tensioni su strati dielettrici. Trovare la capacità di un condensatore CON, devi sapere U 1 e U 2. Per fare ciò, si dovrebbe utilizzare la relazione tra la forza e il potenziale e le condizioni all'interfaccia tra due dielettrici, e anche tenere conto del fatto che la componente normale del vettore spostamento non cambia quando si attraversa l'interfaccia.

SOLUZIONE. La capacità del condensatore è C= Q/U= Q/(U 1 +U 2), (2.3.1)

Dove Q- carica della piastra (Fig. 2.3.1).

Il campo all'interno del condensatore è uniforme, quindi la relazione tra la forza e il potenziale dà

U 1 = E 1 D 1 , U 2 = E 2 D 2; Ecco perché .

Il vettore di intensità è correlato al vettore di spostamento elettrico dalla relazione o .

Perché il

Dov'è la densità di carica superficiale, otteniamo

Controlliamo la dimensione: .

Sostituendo i valori otteniamo:

RISPOSTA: CON= 98,3 pF.

PROBLEMA 2. Due condensatori piatti della stessa capacità elettrica ( C 1 = C 2) collegato in una batteria in serie e collegato a una sorgente di corrente con forza elettromotiva. Come cambierà la differenza di potenziale U 1 sulle armature del primo condensatore, se lo spazio tra le armature del secondo condensatore, senza spegnere la sorgente di corrente, è riempito con un dielettrico con permittività e = 7 (Fig. 2.3.2)?

ANALISI. Prima di riempire il secondo condensatore con un dielettrico, la differenza di potenziale sulle armature di entrambi i condensatori era la stessa

Dopo il riempimento, la sorgente di corrente non è stata spenta, quindi la differenza di potenziale totale sul banco di condensatori è rimasta la stessa, è stata solo ridistribuita tra i condensatori. Dato che la capacità del secondo condensatore è aumentata di e volte, puoi trovare una nuova differenza di potenziale ai capi del primo condensatore.

SOLUZIONE. Dopo il riempimento con un dielettrico, le differenze di potenziale tra i condensatori sono diventate uguali

, (2.3.2.)

Dove Qè la carica sulla piastra del condensatore, Q¹ Q 0 , la capacità del primo condensatore non è cambiata, C 1¢ = C 1 = C.

Dal momento che alle connessione seriale la carica dei condensatori su ciascuna piastra e sull'intera batteria è la stessa, quindi dove

poi (2.3.3)

Sostituendo (2.3.3) in (2.3.2), otteniamo

Il rapporto desiderato è

RISPOSTA:

PROBLEMA 3. Il raggio del nucleo centrale di un cavo coassiale è di 1,5 cm, il raggio della guaina è di 3,5 cm.Tra il nucleo centrale e la guaina è applicata una differenza di potenziale di 2300 V. Calcolare l'intensità del campo elettrico a distanza di 2 cm dall'asse del cavo.

ANALISI. Il cavo può essere paragonato a un condensatore cilindrico. Campo elettrico viene creato solo il residenziale centrale. L'intensità di questo campo dovrebbe essere definita come l'intensità del campo di un filamento carico infinito.

SOLUZIONE. L'intensità di campo del cavo è

.(2.3.4)

Il cavo è caricato uniformemente, quindi t= Q/ .

La carica può essere determinata se la capacità del condensatore è nota C, Q= CU 0, allora t= CU 0 / . (2.3.5)

È noto che la capacità di un condensatore cilindrico è determinata dalla formula: (2.3.6)

Usando le espressioni (2.3.5) e (2.3.6) otteniamo . (2.3.7)

Sostituiamo (2.3.7) in uguaglianza (2.3.4):

La correttezza della formula in termini di dimensione è evidente. Sostituendo i valori, otteniamo

PROBLEMA 4. Piatto condensatore ad aria con area del piatto S\u003d 500 cm 2, collegato a una sorgente di corrente, la cui EMF ξ \u003d 300 V. Determina il lavoro UN forze esterne per allontanare le piastre dalla distanza D 1 = 1 cm prima D 2 \u003d 3 cm in due casi: a) le piastre sono scollegate dalla sorgente di corrente prima di allontanarsi; b) le lastre in fase di estensione rimangono ad essa collegate.

ANALISI. Nel primo caso, il sistema di due piastre cariche e disconnesse dalla sorgente di corrente può essere considerato come un sistema isolato, rispetto al quale vale la legge di conservazione dell'energia. In questo caso, il lavoro delle forze esterne è uguale alla variazione dell'energia del sistema , Dove W 2 – l'energia del campo del condensatore nello stato finale (con la distanza tra le armature D 2), W 1 – l'energia del campo del condensatore nello stato iniziale ( D= D 1).

Nel secondo caso, le piastre rimangono collegate alla sorgente di corrente e il sistema di due piastre non è più isolato (la carica delle piastre, quando vengono allontanate, si sposta ai terminali della batteria). La differenza di potenziale rimane invariata quando le piastre vengono allontanate U= ξ. In questo caso E U= cost,UN C sta cambiando. Capacità del condensatore piatto C= e0 S/D diminuirà, quindi, la carica sulle piastre diminuirà, Q= CU, e l'intensità di campo del condensatore E= U/d.

In questo caso calcoliamo il lavoro come integrale , (2.3.8)

Dove E 1 – la forza del campo creato dalla carica di una piastra.

SOLUZIONE. Nel primo caso, la carica q di ciascuna delle piastre disconnesse dalla sorgente non cambia quando vengono allontanate, q = C 1 x .

L'energia del campo elettrico del condensatore è

Ecco perché . (2.3.9)

Le capacità elettriche sono rispettivamente uguali (2.3.10)

Sostituendo (2.3.10) in (2.3.9), otteniamo

Controlliamo la dimensione: .

Sostituendo i valori, otteniamo .

Prendere in considerazione secondo caso.

Esprimiamo la tensione E 1 campo e carica Q attraverso la distanza X tra le piastre (Fig. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Sostituendo le espressioni (2.3.11) e (2.3.12) nella formula (2.3.8), otteniamo

Controlliamo la dimensione: . Sostituendo i valori, otteniamo

RISPOSTA:

Due piastre piatte parallele tra loro e separate da un dielettrico costituiscono un condensatore piatto. Questo è il rappresentante più semplice dei condensatori, progettati per immagazzinare energia diversa. Se alle piastre viene data una carica uguale in grandezza, ma diversa in grandezza, allora i campi tra i conduttori raddoppieranno. Il rapporto tra la carica di uno dei conduttori e la tensione tra le armature del condensatore è chiamato capacità elettrica:

Se la disposizione delle piastre è invariata, allora può essere considerata una costante per qualsiasi carica dei conduttori. Nel sistema internazionale di misure, l'unità di capacità elettrica è Farad (F). Un condensatore piatto ha una resistenza pari alla somma delle resistenze create dai conduttori (E 1 +E 2 ... + E n ). Quantità vettoriali. Il valore della capacità elettrica è direttamente proporzionale all'area delle piastre e inversamente proporzionale alla distanza tra loro. Ciò significa che per aumentare la capacità del condensatore, è necessario aumentare l'area delle piastre, riducendo la distanza tra loro. A seconda del dielettrico utilizzato, un condensatore piatto può essere:

• Carta.
• Mica.
• Polistirolo.
• Ceramica.
• Aria.

Considera il principio del dispositivo usando l'esempio di un condensatore di carta. La carta trattata con paraffina viene utilizzata in questo caso come dielettrico. Un dielettrico è posto tra due strisce di lamina, che fungono da conduttori. L'intera struttura è arrotolata in un rotolo, in cui sono inseriti i cavi per il collegamento, questo modello è posto in una custodia di ceramica o metallo. Un condensatore ad aria piatto e altri tipi di dispositivi di accumulo di carica hanno un design simile, solo i materiali da cui prende il nome il condensatore stesso sono usati come mezzo dielettrico. Quando si risolvono problemi in cui è necessario trovare le quantità richieste, non dimenticare di utilizzare il valore che caratterizza il dielettrico - permittività ambiente.

I condensatori liquidi e asciutti sono utilizzati nell'ingegneria radiofonica, i condensatori liquidi sono in cui è posizionata una piastra di alluminio ossidato. Questa sostanza si trova in una custodia di metallo. L'elettrolita utilizzato è una soluzione di acido borico e alcune altre miscele. La vista a secco delle unità è realizzata piegando tre nastri, uno dei quali è in alluminio, l'altro è in metallo, e tra loro c'è uno strato di garza impregnato di un elettrolita viscoso. Il rotolo viene posto in una cassa di alluminio e riempito di bitume. Il condensatore piatto ha una vasta gamma di applicazioni e basso costo. Sfortunatamente, questi modelli non sostituiranno le batterie per noi, perché l'energia di un condensatore piatto è molto piccola e la carica "perde" molto rapidamente. Non sono adatti come fonti di elettricità, ma hanno un vantaggio: quando si caricano attraverso un circuito a bassa resistenza, rilasciano istantaneamente l'energia accumulata.