(примери за решаване на проблеми)

самотен проводник

Пример 7.1.

Намерете капацитета на сферичен проводник с радиус Р 1, заобиколен от съседен концентричен слой диелектрик с диелектрична проницаемост  и външен радиус Р 2 .

Решение.

Метод 1. Нека информираме проводника на заряда и намерим силата на електрическото поле в околното пространство. Големината на полето на електрическо изместване е

за

, Ето защо:

.

Напрежение на проводника представляват следния израз:

Стойността на капацитета се получава по дефиниция от израза:

.

Метод 2.Нека разгледаме проводяща топка, заобиколена от диелектрик, като система от последователно свързани сферични кондензатори (виж фигурата). Използвайки резултата от Упражнение 7.4, за стойностите на капацитета получаваме:,

. Капацитетът на цялата система се определя от израза

,

което, разбира се, съвпада с резултата, получен при метод 1.

Плосък кондензатор

Пример 7.2.

Разстояние между плочите плосък кондензаторизпълнен с диелектрик, чиято пропускливост зависи от разстоянието хкъм една от облицовките съгласно закона

, където  1 е константа, д - разстояние между плочите. Площта на всяка облицовка С. Намерете капацитета на кондензатора.

Решение.

Нека си представим кондензатор, пълен с нехомогенен диелектрик, като безкрайна система от последователно свързани елементарни кондензатори, чийто капацитет е равен на

. Капацитетът на цялата система се определя от израза:

От което получаваме:

.

Сферичен кондензатор

Пример 7.3.

Намерете капацитета на сферичен кондензатор, чиито радиуси на плочите аи b, и а < b rкъм центъра на кондензатора

, където

.

Решение.

Метод 1.

Както в предишния пример, сферичен кондензатор с неравномерно, но сферично симетрично диелектрично разпределение може да бъде представен като система от елементарни сферични кондензатори, свързани последователно с капацитети

и намерете капацитета на системата като

.

Метод 2.

Големината на полето на електрическо изместване в този случай ще бъде равна на

, а силата на това поле се определя от израза Стойността на напрежението в този случай ще бъде равна на и стойността на капацитета.

Цилиндричен кондензатор

Пример 7.4.

Намерете капацитета на цилиндричен кондензатор с дължина л, радиусите на чиито плочи аи b, и а < b, ако пространството между плочите е запълнено с диелектрик, чиято пропускливост зависи от разстоянието rкъм оста на кондензатора като

, където

.

Решение. Представете си цилиндричен кондензатор като последователно свързани елементарни кондензатори с капацитет

. Стойността на капацитета на цялата система от елементарни кондензатори може да се намери от връзката

От тук най-накрая получаваме отговора:

.

Пример 7.5.

Цилиндричният кондензатор има външен диаметър на пластината .Какъв да е диаметъра на вътрешната облицовка така че при дадено напрежение на кондензатора напрежение електрическо полена вътрешната подплата

беше минимумът?

Решение. Големината на напрегнатостта на електрическото поле върху вътрешната облицовка

намерете от следните отношения. Заместването на стойността на капацитета на цилиндричен кондензатор (вижте упражнение 7.5) води до израза:

.

За да намерим екстремума, намираме производната на знаменателя (тъй като числителят има фиксирана стойност)

.

Приравнявайки го на нула, намираме

. Че отговаря на минимума

, може да се провери, като се вземе втората производна и се определи нейният знак при

.

Свързване на кондензатори

Пример 7.6.

Четири кондензатора с капацитет

и свързани, както е показано на фигурата. На какво съотношение трябва да отговарят капацитетите на кондензаторите, така че потенциалната разлика между точките и беше равно на нула?

Решение.Тъй като зарядът е еднакъв на последователно свързаните кондензатори 1 и 2, връзката е изпълнена

.

Подобна връзка трябва да има за кондензатори 3 и 4:

.

Между точките и не е имало потенциална разлика, необходимо е равенствата

и

. Разделяйки член по член съотношенията, изразяващи равенството на зарядите и намалявайки с равни потенциални разлики, получаваме

.

Взаимен капацитет

Пример 7.7.

Има два проводника много далеч един от друг. Капацитетът на един ° С 1 , неговият заряд Qедин . Капацитет на втория проводник ° С 2, зареждане Q 2. Първоначално незареден кондензатор ОТсвързани с тънки жици към тези проводници. Намерете заряда ркондензатор ° С.

Р

решение.След свързване на кондензатора и установяване на електростатично равновесие, зарядите и потенциалите на проводниците и пластините на кондензатора ще бъдат както е показано на фигурата. Потенциалите на отдалечените проводници ще бъдат свързани със зарядите върху тях чрез отношенията:

,

. За напрежението на кондензатора записваме връзката:

от който стойността на заряда на кондензатора може да се получи алгебрично и да се представи във формата.

ЗАДАЧА 1. Пространството между плочите на плосък кондензатор е запълнено без празнина с два слоя диелектрици, успоредни на плочите. Първият слой е с дебелина на порцелан д 1 = 2 mm, вторият - дебел ебонит
д 2 = 1,5 mm. Определете капацитета ° Стакъв кондензатор, ако площта на плочите С\u003d 100 cm 2.

АНАЛИЗ. За да решим проблема, представяме кондензатор с диелектрици като два кондензатора, свързани последователно. Напрежението върху кондензатора е U= U 1 +U 2, където U 1 и U 2 - напрежения върху диелектрични слоеве. Да се ​​намери капацитетът на кондензатор ОТ, трябва да знаеш U 1 и U 2. За да направите това, трябва да използвате връзката между силата и потенциала и условията на интерфейса между два диелектрика, а също така да вземете предвид, че нормалният компонент на вектора на изместване не се променя при пресичане на интерфейса.

РЕШЕНИЕ. Капацитетът на кондензатора е ° С= р/U= р/(U 1 +U 2), (2.3.1)

където q-заряд на пластината (фиг. 2.3.1).

Полето вътре в кондензатора е равномерно, така че връзката между силата и потенциала дава

U 1 = д 1 д 1 , U 2 = д 2 д 2; Ето защо .

Векторът на интензитета е свързан с вектора на електрическото изместване чрез връзката или .

Тъй като

Къде е повърхностната плътност на заряда, получаваме

Нека проверим измерението: .

Като заместим стойностите, получаваме:

ОТГОВОР: ОТ= 98,3 pF.

ЗАДАЧА 2. Два плоски кондензатора с еднакъв електрически капацитет ( ° С 1 = ° С 2) свързани в батерия последователно и свързани към източник на ток с електродвижеща сила. Как ще се промени потенциалната разлика U 1 върху плочите на първия кондензатор, ако пространството между плочите на втория кондензатор, без да се изключва източникът на ток, е запълнено с диелектрик с диелектрическа проницаемост e = 7 (фиг. 2.3.2)?

АНАЛИЗ. Преди запълването на втория кондензатор с диелектрик, потенциалната разлика на плочите на двата кондензатора беше еднаква

След запълване източникът на ток не беше изключен, така че общата потенциална разлика на кондензаторната банка остана същата, тя беше само преразпределена между кондензаторите. Като се има предвид, че капацитетът на втория кондензатор се е увеличил e пъти, можете да намерите нова потенциална разлика в първия кондензатор.

РЕШЕНИЕ. След запълване с диелектрик потенциалните разлики на кондензаторите се изравняват

, (2.3.2.)

където ре зарядът на плочата на кондензатора, р¹ р 0 , капацитетът на първия кондензатор не се е променил, ° С 1 ¢ = ° С 1 = ° С.

Тъй като при серийна връзкакондензатори таксата на всяка пластина и на цялата батерия е една и съща, тогава къде

тогава (2.3.3)

Замествайки (2.3.3) в (2.3.2), получаваме

Желаното съотношение е

ОТГОВОР:

ЗАДАЧА 3. Радиусът на централното ядро ​​на коаксиален кабел е 1,5 см, радиусът на обвивката е 3,5 см. Между централното ядро ​​и обвивката се прилага потенциална разлика от 2300 V. Изчислете напрегнатостта на електрическото поле на разстояние на 2 см от оста на кабела.

АНАЛИЗ. Кабелът може да се оприличи на цилиндричен кондензатор. Електрическо полесе създава само централната ж.к. Силата на това поле трябва да се дефинира като силата на полето на безкрайно заредена нишка.

РЕШЕНИЕ. Силата на полето на кабела е

.(2.3.4)

Кабелът е равномерно зареден, така че t= р/ .

Зарядът може да се определи, ако е известен капацитетът на кондензатора ° С, р= CU 0, тогава t= CU 0 / . (2.3.5)

Известно е, че капацитетът на цилиндричен кондензатор се определя по формулата: (2.3.6)

Използвайки изразите (2.3.5) и (2.3.6), получаваме . (2.3.7)

Заменяме (2.3.7) в равенството (2.3.4):

Правилността на формулата по отношение на размерността е очевидна. Заменяйки стойностите, получаваме

ЗАДАЧА 4. Плосък въздушен кондензаторс площ на плочата С\u003d 500 cm 2, свързан към източник на ток, EMF на който ξ \u003d 300 V. Определете работата НОвъншни сили за раздалечаване на плочите от разстоянието д 1 = 1 см преди д 2 \u003d 3 cm в два случая: а) плочите са изключени от източника на ток, преди да се раздалечат; б) плочите в процеса на удължаване остават свързани с него.

АНАЛИЗ. В първия случай системата от две плочи, заредени и изключени от източника на ток, може да се разглежда като изолирана система, по отношение на която е валиден законът за запазване на енергията. В този случай работата на външните сили е равна на изменението на енергията на системата , където У 2 – енергията на полето на кондензатора в крайното състояние (с разстоянието между плочите д 2), У 1 – енергията на полето на кондензатора в първоначалното състояние ( д= д 1).

Във втория случай плочите остават свързани към източника на ток и системата от две плочи вече не е изолирана (зарядът на плочите, когато се раздалечават, се премества към клемите на батерията). Потенциалната разлика остава непроменена, когато плочите се раздалечат U= ξ. В такъв случай и U= конст,а ° Ссе променя. Капацитет на плосък кондензатор ° С= e 0 С/дще намалее, следователно зарядът на плочите ще намалее, р= CU, и силата на полето на кондензатора д= U/d.

В този случай изчисляваме работата като интеграл , (2.3.8)

където д 1 – силата на полето, създадено от заряда на една плоча.

РЕШЕНИЕ. В първия случай, зарядът q на всяка от плочите, изключени от източника, не се променя, когато те се раздалечат, q = C 1 x .

Енергията на електрическото поле на кондензатора е

Ето защо . (2.3.9)

Електрическите мощности са съответно равни (2.3.10)

Замествайки (2.3.10) в (2.3.9), получаваме

Нека проверим измерението: .

Заменяйки стойностите, получаваме .

Обмисли втори случай.

Да изразим напрежението д 1 поле и заряд рпрез разстоянието хмежду плочите (фиг. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Замествайки изрази (2.3.11) и (2.3.12) във формула (2.3.8), получаваме

Нека проверим измерението: . Заменяйки стойностите, получаваме

ОТГОВОР:

Две плоски пластини, успоредни една на друга и разделени от диелектрик, образуват плосък кондензатор. Това е най-простият представител на кондензаторите, които са предназначени да съхраняват различна енергия. Ако на плочите се даде заряд, равен по големина, но различен по големина, тогава полетата между проводниците ще се удвоят. Съотношението на заряда на един от проводниците към напрежението между плочите на кондензатора се нарича електрически капацитет:

Ако разположението на плочите е непроменено, то може да се счита за константа за всеки заряд на проводниците. В международната система за измерване единицата за електрически капацитет е фарад (F). Плоският кондензатор има сила, равна на сумата от силите, създадени от проводниците (E 1 +E 2 ... + E n). Векторни величини. Стойността на електрическия капацитет е право пропорционална на площта на плочите и обратно пропорционална на разстоянието между тях. Това означава, че за да се увеличи капацитетът на кондензатора, е необходимо да се направи площта на плочите по-голяма, като същевременно се намали разстоянието между тях. В зависимост от използвания диелектрик плоският кондензатор може да бъде:

• Хартия.
• слюда.
• Полистирен.
• Керамика.
• Въздух.

Помислете за принципа на устройството, като използвате примера на хартиен кондензатор. В този случай като диелектрик се използва парафинирана хартия. Между две ленти фолио, които действат като проводници, се поставя диелектрик. Цялата конструкция се навива на руло, в което се вкарват кабели за свързване.Този модел се поставя в керамичен или метален калъф. Плоският въздушен кондензатор и други видове устройства за съхранение на заряд са с подобен дизайн, като диелектрична среда се използват само материалите, на които е кръстен самият кондензатор. Когато решавате задачи, в които е необходимо да намерите необходимите количества, не забравяйте да използвате стойността, която характеризира диелектрика - проницаемостоколен свят.

В радиотехниката се използват течни и сухи течни кондензатори Течни кондензатори са в които е поставена оксидирана алуминиева пластина. Това вещество се намира в метална кутия. Използваният електролит е разтвор на борна киселина и някои други смеси. Сухият изглед на задвижванията е направен чрез сгъване на три ленти, едната от които е алуминиева, другата е метална, а между тях е марлев слой, импрегниран с вискозен електролит. Рулото се поставя в алуминиева кутия и се залива с битум. Плоският кондензатор има широка гама от приложения и ниска цена. За съжаление тези модели няма да заменят батериите за нас, тъй като енергията на плоския кондензатор е много малка и зарядът "изтича" много бързо. Не са подходящи като източници на електричество, но имат едно предимство - при зареждане през нискоомна верига мигновено освобождават натрупаната енергия.