(mga halimbawa ng paglutas ng problema)

nag-iisang konduktor

Halimbawa 7.1.

Hanapin ang kapasidad ng isang spherical conductor ng radius R 1 na napapalibutan ng isang katabing concentric layer ng dielectric na may permittivity  at outer radius R 2 .

Solusyon.

Paraan 1. Ipaalam natin sa charge conductor at hanapin ang lakas ng electric field sa nakapalibot na espasyo. Ang magnitude ng electric displacement field ay

para sa

, kaya naman:

.

Boltahe ng konduktor kumakatawan sa sumusunod na expression:

Ang halaga ng kapasidad ay nakuha sa pamamagitan ng kahulugan mula sa expression:

.

Paraan 2. Isaalang-alang natin ang isang conducting ball na napapalibutan ng isang dielectric bilang isang sistema ng mga series-connected spherical capacitor (tingnan ang figure). Gamit ang resulta ng Exercise 7.4, para sa mga halaga ng kapasidad na nakukuha namin:,

. Ang kapasidad ng buong sistema ay tinutukoy ng expression

,

na, siyempre, ay tumutugma sa resulta na nakuha sa pamamaraan 1.

Flat na kapasitor

Halimbawa 7.2.

Puwang sa pagitan ng mga plato patag na kapasitor napuno ng isang dielectric na ang permeability ay nakasalalay sa distansya x sa isa sa mga nakaharap ayon sa batas

, kung saan ang  1 ay isang pare-pareho, d - distansya sa pagitan ng mga plato. Ang lugar ng bawat lining S. Hanapin ang kapasidad ng kapasitor.

Solusyon.

Isipin natin ang isang kapasitor na puno ng isang hindi magkakatulad na dielectric bilang isang walang katapusang sistema ng mga elementary capacitor na konektado sa serye, ang kapasidad nito ay katumbas ng

. Ang kapasidad ng buong sistema ay tinutukoy ng expression:

Mula sa kung saan nakukuha namin:

.

Spherical kapasitor

Halimbawa 7.3.

Hanapin ang kapasidad ng isang spherical capacitor, ang radii ng mga plate kung saan a at b, at a < b r sa gitna ng condenser

, saan

.

Solusyon.

Paraan 1.

Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang isang spherical capacitor na may non-uniform ngunit spherically symmetric dielectric distribution ay maaaring katawanin bilang isang sistema ng elementary spherical capacitor na konektado sa serye na may mga capacitance.

at hanapin ang kapasidad ng system bilang

.

Paraan 2.

Ang magnitude ng electric displacement field sa kasong ito ay magiging katumbas ng

, at ang lakas ng patlang na ito ay tinutukoy ng expression Ang halaga ng boltahe, sa kasong ito, ay magiging katumbas ng, at ang halaga ng kapasidad.

Cylindrical na kapasitor

Halimbawa 7.4.

Hanapin ang capacitance ng isang cylindrical capacitor ng haba l, ang radii ng mga lamina nito a at b, at a < b, kung ang puwang sa pagitan ng mga plato ay puno ng isang dielectric, ang pagkamatagusin nito ay depende sa distansya r sa axis ng kapasitor bilang

, saan

.

Solusyon. Isipin ang isang cylindrical capacitor bilang mga elementary capacitor na konektado sa serye na may kapasidad

. Ang halaga ng kapasidad ng buong sistema ng mga elementary capacitor ay matatagpuan mula sa kaugnayan

Mula dito sa wakas ay nakuha natin ang sagot:

.

Halimbawa 7.5.

Ang isang cylindrical capacitor ay may panlabas na diameter ng plato .Ano ang dapat na diameter ng panloob na lining upang sa isang ibinigay na boltahe sa buong kapasitor tensyon electric field sa panloob na lining

ay ang minimum?

Solusyon. Ang laki ng lakas ng patlang ng kuryente sa panloob na lining

hanapin mula sa mga sumusunod na ugnayan. Ang pagpapalit ng capacitance value ng isang cylindrical capacitor (tingnan ang exercise 7.5), ay humahantong sa expression:

.

Upang mahanap ang extremum, makikita natin ang derivative ng denominator (dahil ang numerator ay may nakapirming halaga)

.

Equating ito sa zero, nakita namin

. Na tumutugma ito sa minimum

, maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pagkuha ng pangalawang derivative at pagtukoy sa sign nito sa

.

Koneksyon ng mga capacitor

Halimbawa 7.6.

Apat na capacitor na may mga capacitance

at konektado tulad ng ipinapakita sa figure. Anong ratio ang dapat matugunan ng mga kapasidad ng mga capacitor upang ang potensyal na pagkakaiba sa pagitan ng mga puntos at ay katumbas ng zero?

Solusyon. Dahil ang singil ay pareho sa mga serye na konektado sa mga capacitor 1 at 2, ang kaugnayan ay natutupad

.

Ang isang katulad na relasyon ay dapat magkaroon ng mga capacitor 3 at 4:

.

Sa pagitan ng mga tuldok at walang potensyal na pagkakaiba, ito ay kinakailangan na ang pagkakapantay-pantay

at

. Ang paghahati ng termino sa termino ng mga ratios na nagpapahayag ng pagkakapantay-pantay ng mga singil at pagbabawas sa pamamagitan ng pantay na potensyal na pagkakaiba, nakukuha natin

.

Mutual na kapasidad

Halimbawa 7.7.

May dalawang konduktor na napakalayo. Ang kapasidad ng isa C 1, singil nito Q isa. Kapasidad ng pangalawang konduktor C 2 , singilin Q 2. Sa una ay hindi nakakarga ang kapasitor MULA SA konektado sa manipis na mga wire sa mga konduktor na ito. Hanapin ang bayad q kapasitor C.

R

solusyon. Pagkatapos ikonekta ang kapasitor at itatag ang electrostatic equilibrium, ang mga singil at potensyal ng mga conductor at capacitor plate ay magiging tulad ng ipinapakita sa figure. Ang mga potensyal ng malalayong konduktor ay maiuugnay sa mga singil sa kanila ng mga relasyon:

,

. Para sa boltahe sa kapasitor, isinulat namin ang kaugnayan:

mula sa kung saan ang halaga ng singil ng kapasitor ay maaaring makuha sa algebraically at ipinakita sa form.

PROBLEMA 1. Ang puwang sa pagitan ng mga plato ng isang patag na kapasitor ay pinupuno nang walang puwang na may dalawang patong ng dielectrics na kahanay sa mga plato. Ang unang layer ay porselana na makapal d 1 = 2 mm, ang pangalawa - makapal na ebonite
d 2 = 1.5 mm. Tukuyin ang kapasidad C tulad ng isang kapasitor, kung ang lugar ng mga plato S\u003d 100 cm 2.

PAGSUSURI. Upang malutas ang problema, kinakatawan namin ang isang kapasitor na may mga dielectric bilang dalawang capacitor na konektado sa serye. Ang boltahe sa kapasitor ay U= U 1 +U 2, kung saan U 1 at U 2 - mga boltahe sa mga dielectric na layer. Upang mahanap ang kapasidad ng isang kapasitor MULA SA, kailangan mong malaman U 1 at U 2. Upang gawin ito, dapat gamitin ng isa ang relasyon sa pagitan ng lakas at potensyal at ang mga kondisyon sa interface sa pagitan ng dalawang dielectrics, at isaalang-alang din na ang normal na bahagi ng displacement vector ay hindi nagbabago kapag tumatawid sa interface.

SOLUSYON. Ang kapasidad ng kapasitor ay C= q/U= q/(U 1 +U 2), (2.3.1)

saan q- singil sa plato (Larawan 2.3.1).

Ang patlang sa loob ng kapasitor ay pare-pareho, kaya ang ugnayan sa pagitan ng lakas at potensyal ay nagbibigay

U 1 = E 1 d 1 , U 2 = E 2 d 2; kaya lang .

Ang intensity vector ay nauugnay sa electric displacement vector sa pamamagitan ng kaugnayan o .

Dahil ang

Nasaan ang density ng singil sa ibabaw, nakuha namin

Suriin natin ang sukat: .

Ang pagpapalit ng mga halaga, nakukuha namin:

SAGOT: MULA SA= 98.3 pF.

PROBLEMA 2. Dalawang flat capacitor ng parehong kapasidad ng kuryente ( C 1 = C 2) konektado sa isang baterya sa serye at konektado sa isang kasalukuyang pinagmulan na may puwersa ng electromotive. Paano magbabago ang potensyal na pagkakaiba U 1 sa mga plato ng unang kapasitor, kung ang puwang sa pagitan ng mga plato ng pangalawang kapasitor, nang hindi pinapatay ang kasalukuyang pinagmulan, ay puno ng isang dielectric na may permittivity e = 7 (Larawan 2.3.2)?

PAGSUSURI. Bago punan ang pangalawang kapasitor ng isang dielectric, ang potensyal na pagkakaiba sa mga plato ng parehong mga capacitor ay pareho.

Pagkatapos ng pagpuno, ang kasalukuyang mapagkukunan ay hindi naka-off, kaya ang kabuuang potensyal na pagkakaiba sa capacitor bank ay nanatiling pareho, ito ay muling ipinamahagi sa pagitan ng mga capacitor. Dahil ang kapasidad ng pangalawang kapasitor ay tumaas ng e beses, makakahanap ka ng bagong potensyal na pagkakaiba sa unang kapasitor.

SOLUSYON. Matapos punan ang isang dielectric, ang mga potensyal na pagkakaiba sa mga capacitor ay naging pantay

, (2.3.2.)

saan q ay ang singil sa capacitor plate, q¹ q 0 , ang kapasidad ng unang kapasitor ay hindi nagbago, C 1 ¢ = C 1 = C.

Mula noong serial connection capacitors charge sa bawat plate at sa buong baterya ay pareho, pagkatapos ay kung saan

pagkatapos (2.3.3)

Ang pagpapalit ng (2.3.3) sa (2.3.2), nakuha namin

Ang nais na ratio ay

SAGOT:

PROBLEMA 3. Ang radius ng gitnang core ng isang coaxial cable ay 1.5 cm, ang radius ng sheath ay 3.5 cm. Ang potensyal na pagkakaiba ng 2300 V ay inilapat sa pagitan ng gitnang core at ang sheath. Kalkulahin ang lakas ng electric field sa layo ng 2 cm mula sa cable axis.

PAGSUSURI. Ang cable ay maihahalintulad sa isang cylindrical capacitor. Electric field ang central residential lang ang ginawa. Ang lakas ng field na ito ay dapat tukuyin bilang ang lakas ng field ng isang infinite charged filament.

SOLUSYON. Ang lakas ng field ng cable ay

.(2.3.4)

Ang cable ay pantay na nakakarga, kaya t= q/ .

Ang singil ay maaaring matukoy kung ang kapasidad ng kapasitor ay kilala C, q= CU 0, pagkatapos ay t= CU 0 / . (2.3.5)

Ito ay kilala na ang kapasidad ng isang cylindrical capacitor ay tinutukoy ng formula: (2.3.6)

Gamit ang mga expression (2.3.5) at (2.3.6) makuha namin . (2.3.7)

Pinapalitan namin ang (2.3.7) sa pagkakapantay-pantay (2.3.4):

Ang kawastuhan ng formula sa mga tuntunin ng sukat ay halata. Ang pagpapalit ng mga halaga, nakukuha namin

SULIRANIN 4. Patag air condenser may plate area S\u003d 500 cm 2, konektado sa isang kasalukuyang mapagkukunan, ang EMF kung saan ξ \u003d 300 V. Tukuyin ang trabaho PERO panlabas na pwersa upang itulak ang mga plato hiwalay sa malayo d 1 = 1 cm bago d 2 \u003d 3 cm sa dalawang kaso: a) ang mga plato ay naka-disconnect mula sa kasalukuyang pinagmulan bago maghiwalay; b) ang mga plato sa proseso ng extension ay nananatiling konektado dito.

PAGSUSURI. Sa unang kaso, ang sistema ng dalawang plate na sinisingil at nadiskonekta mula sa kasalukuyang pinagmulan ay maaaring ituring bilang isang nakahiwalay na sistema, na may kaugnayan kung saan ang batas ng konserbasyon ng enerhiya ay wasto. Sa kasong ito, ang gawain ng mga panlabas na puwersa ay katumbas ng pagbabago sa enerhiya ng system , saan W 2 – ang enerhiya ng capacitor field sa huling estado (na may distansya sa pagitan ng mga plato d 2), W 1 – ang enerhiya ng patlang ng kapasitor sa paunang estado ( d= d 1).

Sa pangalawang kaso, ang mga plato ay nananatiling konektado sa kasalukuyang pinagmulan, at ang sistema ng dalawang plato ay hindi na nakahiwalay (ang singil ng mga plato, kapag sila ay inilipat, ay lumilipat sa mga terminal ng baterya). Ang potensyal na pagkakaiba ay nananatiling hindi nagbabago kapag ang mga plato ay pinaghiwalay U= ξ. Sa kasong ito at U= const,a C ay nagbabago. Flat na kapasidad ng kapasitor C= e 0 S/d ay bababa, samakatuwid, ang singil sa mga plato ay bababa, q= CU, at ang lakas ng field ng kapasitor E= U/d.

Sa kasong ito, kinakalkula namin ang gawain bilang isang integral , (2.3.8)

saan E 1 – ang lakas ng patlang na nilikha ng singil ng isang plato.

SOLUSYON. Sa una kaso, ang singil q ng bawat isa sa mga plate na nadiskonekta mula sa pinagmulan ay hindi nagbabago kapag ang mga ito ay pinaghiwalay, q = C 1 x .

Ang enerhiya ng electric field ng kapasitor ay

kaya lang . (2.3.9)

Ang mga de-koryenteng kapasidad ay pantay ayon sa pagkakabanggit (2.3.10)

Ang pagpapalit ng (2.3.10) sa (2.3.9), nakuha namin

Suriin natin ang sukat: .

Ang pagpapalit ng mga halaga, nakukuha namin .

Isipin mo pangalawang kaso.

Ipahayag natin ang tensyon E 1 field at charge q sa malayo X sa pagitan ng mga plato (Larawan 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Ang pagpapalit ng mga expression (2.3.11) at (2.3.12) sa formula (2.3.8), nakukuha namin

Suriin natin ang sukat: . Ang pagpapalit ng mga halaga, nakukuha namin

SAGOT:

Dalawang flat plate na parallel sa isa't isa at pinaghihiwalay ng dielectric ang bumubuo ng flat capacitor. Ito ang pinakasimpleng kinatawan ng mga capacitor, na idinisenyo upang mag-imbak ng hindi magkatulad na enerhiya. Kung ang mga plato ay binibigyan ng singil na katumbas ng magnitude, ngunit naiiba sa magnitude, kung gayon ang mga patlang sa pagitan ng mga konduktor ay doble. Ang ratio ng singil ng isa sa mga konduktor sa boltahe sa pagitan ng mga plato ng kapasitor ay tinatawag na kapasidad ng kuryente:

Kung ang pag-aayos ng mga plato ay hindi nagbabago, kung gayon maaari itong ituring na pare-pareho para sa anumang singil ng mga konduktor. Sa internasyonal na sistema ng mga sukat, ang yunit ng kapasidad ng kuryente ay Farad (F). Ang isang flat capacitor ay may lakas na katumbas ng kabuuan ng mga lakas na nilikha ng mga konduktor (E 1 +E 2 ... + E n ). Mga halaga ng vector. Ang halaga ng kapasidad ng kuryente ay direktang proporsyonal sa lugar ng mga plato at inversely proporsyonal sa distansya sa pagitan nila. Nangangahulugan ito na upang madagdagan ang kapasidad ng kapasitor, kinakailangan na gawing mas malaki ang lugar ng mga plato, habang binabawasan ang distansya sa pagitan nila. Depende sa dielectric na ginamit, ang isang flat capacitor ay maaaring:

• Papel.
• Mica.
• Polisterin.
• Ceramic.
• Hangin.

Isaalang-alang ang prinsipyo ng aparato gamit ang halimbawa ng isang kapasitor ng papel. Ang paraffin-treated na papel ay ginagamit sa kasong ito bilang isang dielectric. Ang isang dielectric ay inilalagay sa pagitan ng dalawang piraso ng foil, na nagsisilbing conductor. Ang buong istraktura ay pinagsama sa isang roll, kung saan ang mga lead ay ipinasok upang kumonekta. Ang modelong ito ay inilalagay sa isang ceramic o metal na case. Ang isang flat air capacitor at iba pang mga uri ng mga charge storage device ay may katulad na disenyo, tanging ang mga materyales pagkatapos kung saan ang kapasitor mismo ay pinangalanan ay ginagamit bilang isang dielectric medium. Kapag nilutas ang mga problema kung saan kinakailangan upang mahanap ang kinakailangang dami, huwag kalimutang gamitin ang halaga na nagpapakilala sa dielectric - pagpapahintulot kapaligiran.

Ginagamit ang mga liquid at dry liquid capacitor sa radio engineering. Ang mga liquid capacitor ay kung saan inilalagay ang isang oxidized aluminum plate. Ang sangkap na ito ay matatagpuan sa isang metal case. Ang electrolyte na ginamit ay isang solusyon ng boric acid at ilang iba pang mixtures. Ang dry view ng mga drive ay ginawa sa pamamagitan ng natitiklop na tatlong mga teyp, ang isa ay aluminyo, ang isa ay metal, at sa pagitan ng mga ito ay isang gauze layer na pinapagbinhi ng isang malapot na electrolyte. Ang roll ay inilalagay sa isang aluminum case at puno ng bitumen. Ang flat capacitor ay may malawak na hanay ng mga aplikasyon at mababang gastos. Sa kasamaang palad, ang mga modelong ito ay hindi papalitan ang mga baterya para sa amin, dahil ang enerhiya ng isang flat capacitor ay napakaliit, at ang singil ay "tumagas" nang napakabilis. Ang mga ito ay hindi angkop bilang mga mapagkukunan ng kuryente, ngunit mayroon silang isang kalamangan - kapag nagcha-charge sa pamamagitan ng isang low-resistance circuit, agad nilang inilalabas ang naipon na enerhiya.