Kahulugan ng isang random na variable. Maraming mga random na kaganapan ang maaaring ma-quantify ng mga random na variable.

Ang random ay isang dami na kumukuha ng mga halaga depende sa kumbinasyon ng mga random na pangyayari.

Ang mga random na variable ay: ang bilang ng mga pasyente sa opisina ng doktor, ang bilang ng mga mag-aaral sa audience, ang bilang ng mga ipinanganak sa lungsod, ang pag-asa sa buhay indibidwal na tao, bilis ng molekular, temperatura ng hangin, error sa pagsukat ng ilang halaga, atbp. Kung binibilang mo ang mga bola sa urn nang humigit-kumulang sa parehong paraan tulad ng ginagawa nila kapag naglalaro ng lotto draw, kung gayon ang di-makatwirang pag-alis ng bola mula sa urn ay magpapakita ng numero na ay isang random na variable.

May mga discrete at tuloy-tuloy na random variable.

Ang isang random na variable ay tinatawag na discrete kung ito ay nangangailangan ng isang mabibilang na hanay ng mga halaga: ang bilang ng mga titik sa isang arbitrary na pahina ng isang libro, ang enerhiya ng isang electron sa isang atom, ang bilang ng mga buhok sa ulo ng isang tao, ang bilang ng mga butil sa mga tainga, ang bilang ng mga molekula sa isang naibigay na dami ng gas, atbp.

Tuloy-tuloy random na halaga tumatagal ng anumang halaga sa loob ng ilang pagitan: temperatura ng katawan, masa ng butil sa tainga ng trigo, ang coordinate ng lugar kung saan tumama ang bala sa target (kinuha namin ang bala bilang isang materyal na punto), atbp.

Pamamahagi ng isang discrete random variable. Ang isang discrete random variable ay itinuturing na ibinigay kung ang mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga katumbas na probabilities ay ipinahiwatig. Tukuyin ang isang discrete random variable x, Kahulugan nito x 1 x 2 ,…., at ang mga probabilidad P(x 1)= p 1, P (x 2)= p 2 atbp. Populasyon X at Ang P ay tinatawag na pamamahagi ng isang discrete random variable(Talahanayan 1).

Talahanayan 1

Ang random variable ay ang bilang ng sport sa larong "Sportlo-10". Ang kabuuang bilang ng mga species ay 49. Ipahiwatig ang pamamahagi ng random variable na ito (Talahanayan 3).

Talahanayan 3

Ibig sabihin 1 = 0 tumutugma sa isang kaso kung saan tatlong beses sa isang hilera ang kaganapan PERO hindi nangyari. Ang posibilidad ng kumplikadong kaganapang ito, ayon sa probability multiplication theorem (2.6), ay katumbas ng
Ibig sabihin ako= Ang 1 ay tumutukoy sa kaso kung saan naganap ang kaganapan A sa isa sa tatlong pagsubok. Sa pamamagitan ng formula (2.6) nakukuha natin

Mula noong l = 1 dalawang iba pang kumplikadong mga kaganapan ang nagaganap din: (A at A at A) at (A at A at A), pagkatapos ay kinakailangan, gamit ang probability addition theorem (2.4), upang makuha ang kabuuang posibilidad para sa l = 1, pagdaragdag ng nakaraang expression ng tatlong beses:

Ibig sabihin ako= 2 ay tumutugma sa kaso kung saan naganap ang kaganapan A sa dalawa sa tatlong pagsubok. Sa pamamagitan ng pangangatwiran na katulad ng nasa itaas, nakukuha natin ang kabuuang posibilidad para sa kasong ito:

Sa 1 = 3 Lumilitaw ang kaganapan A sa lahat ng tatlong pagsubok. Gamit ang probability multiplication theorem, nakita namin

AT pangkalahatang kaso Tinutukoy ng binomial distribution ang posibilidad na mangyari ang event A. l beses sa P mga pagsubok:

Batay sa mga pangmatagalang obserbasyon, ang tawag ng doktor sa isang partikular na bahay ay tinatantya na may posibilidad na 0.5. Hanapin ang posibilidad na sa loob ng anim na araw ay magkakaroon ng apat na tawag sa doktor; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Gumagamit kami ng formula (2.10):

Mga numerical na katangian ng isang discrete random variable. Sa maraming mga kaso, kasama ang pamamahagi ng isang random na variable o sa halip nito, ang impormasyon tungkol sa mga dami na ito ay maaaring ibigay ng mga numerical na parameter na tinatawag na numerical na katangian ng isang random variable. Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwan sa kanila.

Ang mathematical expectation (mean value) ng isang random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng value nito.
sa mga probabilidad ng mga halagang ito:

Hayaan na may malaking bilang ng mga pagsubok P discrete random variable X tumatagal ng mga halaga x v x 2 ,..., x n ayon sa pagkakabanggit m 1, m g,..., t p minsan. Ang ibig sabihin ng halaga ay

Kung ang P ay malaki, pagkatapos ay ang mga kamag-anak na frequency t 1 /p, t 2 /p,... ay may posibilidad sa mga probabilidad, at ang average na halaga - sa matematikal na inaasahan. Iyon ang dahilan kung bakit ang inaasahan sa matematika ay madalas na tinutukoy sa average na halaga.

Hanapin ang mathematical expectation para sa isang discrete random variable, na ibinibigay ng numero sa gilid kapag naghahagis ng dice (tingnan ang Talahanayan 2).

Gumagamit kami ng formula (2.11):

Hanapin ang mathematical na inaasahan para sa isang discrete random variable, na tinutukoy ng sirkulasyon ng "Sportloto" (tingnan ang Talahanayan 3). Ayon sa formula (2.11), makikita natin

Ang mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay nakakalat sa kanyang inaasahan sa matematika, ang ilan sa mga ito ay lumampas M(X), mas kaunti ang bahagi M(X). Paano tantiyahin ang antas ng pagpapakalat ng isang random na variable na may kaugnayan sa ibig sabihin ng halaga nito? Maaaring tila upang malutas ang gayong problema, dapat kalkulahin ng isa ang mga paglihis ng lahat ng mga random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito. X - M(X), at pagkatapos ay hanapin ang mathematical expectation (mean) ng mga deviations na ito: M[X - M(X)]. Kung walang patunay, tandaan namin na ang halagang ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga paglihis ng mga random na variable mula sa inaasahan sa matematika ay may parehong positibo at negatibong mga halaga. Samakatuwid, ipinapayong isaalang-alang ang alinman sa mga ganap na halaga ng mga paglihis M[X - M(X)], o ang kanilang mga parisukat M[X - M(X)] 2 . Ang pangalawang opsyon ay lumalabas na mas kanais-nais, kaya dumating sila sa konsepto ng pagkakaiba-iba ng isang random na variable.

Ang dispersion ng isang random variable ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng isang random variable mula sa mathematical expectation nito:

Nangangahulugan ito na ang pagkakaiba ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mathematical na inaasahan ng parisukat ng random variable X at ang parisukat ng kanyang inaasahan sa matematika.

Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable, na ibinibigay ng numero sa gilid kapag naghahagis ng dice (tingnan ang Talahanayan 2).

Ang inaasahan sa matematika ng distribusyon na ito ay 3.5. Isulat natin ang mga parisukat ng paglihis ng mga random na variable mula sa inaasahan sa matematika: (1 - 3.5) 2 = 6.25; (2 - 3.5) 2 = 2.25; (3 - 3.5) 2 = 0.25; (4 - 3.5) 2 = 0.25; (5 - 3.5) 2 = 2.25; (6 - 3.5) 2 = 6.25. Ayon sa pormula (2.12), isinasaalang-alang ang (2.11), nakita namin ang pagpapakalat:

Tulad ng sumusunod mula sa (2.12), ang pagkakaiba ay may sukat ng parisukat ng dimensyon ng random variable. Upang matantya ang distansya ng isang random na variable sa mga yunit ng parehong dimensyon, ang konsepto ay ipinakilala karaniwang lihis, na ang ibig sabihin Kuwadrado na ugat mula sa pagpapakalat:

Distribusyon at katangian ng tuluy-tuloy na random variable. Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin ng parehong batas sa pamamahagi bilang isang discrete. Sa kasong ito, magpatuloy tulad ng sumusunod.

Hayaang ang dP ay ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable X tumatagal ng mga halaga sa pagitan X at X+ dx. Halata naman na mas interval si Irm dx, mas malamang dP: dP ~ dx. Bilang karagdagan, ang posibilidad ay dapat ding nakasalalay sa random na Halaga mismo, malapit sa kung saan matatagpuan ang pagitan, samakatuwid

saan f(x)- density ng probabilidad, o function ng pamamahagi ng posibilidad. Ipinapakita nito kung paano nagbabago ang posibilidad na nauugnay sa pagitan. dx random variable, depende sa halaga ng variable na ito mismo:

Ang pagsasama ng expression (2.15) sa loob ng naaangkop na mga limitasyon, nakita namin ang posibilidad na ang random variable ay kumuha ng ilang halaga sa pagitan (ab):

Ang kondisyon ng normalisasyon para sa isang tuluy-tuloy na random na variable ay may anyo

Tulad ng makikita mula sa (2.19), ang function na ito ay katumbas ng posibilidad na ang random variable ay kumukuha ng mga halaga na mas mababa sa X:

Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang mathematical expectation at variance ay nakasulat, ayon sa pagkakabanggit, bilang

Kahulugan. Ang isang random na variable ay isang variable na, bilang isang resulta ng isang eksperimento, ay kumukuha ng anumang isang halaga mula sa hanay ng mga posibleng halaga nito, at imposibleng mahulaan kung alin bago ang eksperimento.

Ang mga random na variable ay, halimbawa, ang bilang ng mga puntos na nahuhulog kapag inihagis ang isang dice, ang bilang ng mga bisita sa parmasya sa araw, ang bilang ng mga mansanas sa isang puno, atbp.

Ang mga random na variable ay din ang temperatura ng pasyente sa ilang random na piniling oras ng araw, ang masa ng isang random na piniling tablet ng ilang gamot, ang taas ng isang random na napiling mag-aaral, atbp.

O

Gayunpaman, mula sa isang matematikal na punto ng view, mayroong isang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga random na variable gaya ng, halimbawa, ang bilang ng mga bisita sa botika sa araw (isaad natin itong random variable X 1) at ang paglaki ng isang random na napiling mag-aaral mula sa isang partikular na grupo ng mga mag-aaral (value X 2), ibig sabihin: para sa X 1 value, maaari mong ilista ang lahat ng posibleng value nito​​(1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), habang para sa ang halaga ng X 2, hindi ito magagawa, dahil ang halagang ito, bilang resulta ng pagsukat, ay maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa segment , kung saan

at - ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamababa at pinakamataas na taas ng mga mag-aaral ng grupo.

Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin - X, Y, Z, atbp., at ang kanilang mga posibleng halaga - sa pamamagitan ng kaukulang mga maliliit na titik na may mga numerical na indeks. Halimbawa, ang mga halaga ng isang random na variable x ay tinutukoy bilang mga sumusunod: x 1, x 2, x 3, atbp.

Ang konsepto ng discrete at tuloy-tuloy na random variable

Kahulugan. Ang isang random na variable ay tinatawag na discrete kung ang hanay ng lahat ng posibleng mga halaga nito ay isang may hangganan o walang katapusan, ngunit kinakailangang mabibilang na hanay ng mga halaga, ibig sabihin, tulad ng isang set, ang lahat ng mga elemento ay maaaring (kahit man lang theoretically) bilang at nakasulat sa ang angkop na pagkakasunod-sunod.

Kahulugan. Ang isang random na variable ay tinatawag na tuloy-tuloy kung ang hanay ng mga posibleng halaga nito ay ilang finite o infinite interval ng numerical axis.

Batay sa mga kahulugang ito, ang mga random na variable na nakalista sa itaas bilang ang bilang ng mga puntos na nahuhulog kapag naghahagis ng dice, ang bilang ng mga bisita sa parmasya sa araw, ang bilang ng mga mansanas bawat. tree, ay mga discrete random variable, at tulad ng temperatura ng pasyente sa isang takdang oras ng araw, ang masa ng random na piniling tablet ng ilang gamot, ang taas ng random na piniling mag-aaral, ay tuluy-tuloy na variable.

Mga discrete na random variable

Tingnan natin nang maigi discrete random variables, at, bilang panuntunan, paghigpitan namin ang aming pagsasaalang-alang sa mga random na variable kung saan ang bilang ng mga posibleng halaga ay may hangganan.

Ang pinakakumpletong impormasyon tungkol sa isang discrete random variable ay ibinibigay ng batas ng pamamahagi ng variable na ito.

Kahulugan. Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang pagsusulatan sa pagitan ng lahat ng posibleng halaga ng random variable na ito at ang kanilang mga katumbas na probabilities.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay madalas na nakatakda sa anyo ng isang dalawang-linya na talahanayan, ang unang hilera kung saan ay naglilista ng lahat ng posibleng mga halaga ng variable na ito (bilang panuntunan, sa pataas na pagkakasunud-sunod), at ang pangalawa. - ang mga probabilidad na naaayon sa mga halagang ito Talahanayan 1:

Halimbawa 2 Mayroong sampung pangkat ng mag-aaral na may 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 at 11 na mag-aaral ayon sa pagkakabanggit. Sumulat ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable X, na tinukoy bilang ang bilang ng mga mag-aaral sa isang random na napiling grupo.

Solusyon. Ang mga posibleng halaga ng itinuturing na random na variable X ay ang mga sumusunod (sa pataas na pagkakasunud-sunod):

8, 9, 10, 11 at 12.

Dahil kinukuha ng random variable X ang halaga na katumbas ng 8, kung sakaling ang random na napiling grupo ay isang grupo ng 8 mag-aaral (tawagin natin itong event A), ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value
, ay katumbas ng posibilidad ng random na kaganapang ito:
.

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan A alinsunod sa klasikal na kahulugan ng posibilidad ay
dahil sa 10 grupo, dalawa ang may tig-8 na estudyante.

Kaya, para sa posibilidad ng isang halaga, nakukuha namin ang:

.

Katulad nito, mahahanap mo ang mga probabilidad ng natitirang mga halaga ng random variable X:

na nagpapahintulot sa amin na bumuo ng nais na batas sa pamamahagi (Talahanayan 2):

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaari ding tukuyin gamit ang isang formula na nagbibigay-daan para sa bawat posibleng halaga ng variable na ito upang matukoy ang katumbas na probabilidad.

Mga discrete at tuloy-tuloy na random variable

Bilang isang patakaran, sa paggawa ng mga produkto, ang proseso ng paggawa nito ay naiimpluwensyahan ng maraming iba't ibang mga kadahilanan, bilang isang resulta kung saan mayroong isang scatter sa mga halaga ng mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng produkto. Kaya, ang mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng mga ginawang produkto o serbisyo ay dapat isaalang-alang bilang mga random na variable.

Random variable ang naturang halaga ay tinatawag, na, bilang resulta ng mga pagsubok sa loob ng isang tiyak na agwat, ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga numerical na halaga (ayon sa STB GOST R 50779.10, ang isang random na variable ay isang variable na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa isang naibigay na hanay ng mga halaga at kung saan ang isang probability distribution ay nauugnay.).

Mga discrete na random variable ay tinatawag na, bilang isang resulta ng mga pagsubok, maaari lamang kumuha ng hiwalay, nakahiwalay na mga halaga at hindi maaaring kumuha ng mga halaga sa pagitan ng mga ito. Halimbawa, ang bilang ng mga hindi magandang bahagi sa isang batch ay maaari lamang maging isang positibong integer 1, 2, 3, atbp., ngunit hindi maaaring maging 1.3; 1.7 atbp.

Patuloy na random variable ang naturang halaga ay tinatawag, na, bilang isang resulta ng mga pagsubok, ay maaaring kumuha ng anumang mga numerong halaga mula sa isang tuluy-tuloy na serye ng kanilang mga posibleng halaga sa loob ng isang tiyak na agwat.

Halimbawa, ang mga aktwal na dimensyon ng mga makinang bahagi ay mga random na variable ng tuluy-tuloy na uri, dahil maaari silang kumuha ng anumang numerical na halaga sa loob ng ilang partikular na limitasyon.

Ang mga posibilidad ng mga random na variable na kumuha ng ilang mga numerong halaga sa panahon ng mga pagsubok ay sinusuri gamit ang mga probabilidad.

Ang hanay ng mga halaga ng mga random na variable na nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod na may indikasyon ng kanilang mga probabilidad para sa bawat isa sa mga halaga ay tinatawag pamamahagi ng mga random na variable (ayon sa STB GOST R Ang pamamahagi ng 50779.10 ay isang function na tumutukoy sa posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha sa isang naibigay na halaga o mapapabilang sa isang ibinigay na hanay ng mga halaga).

Ang pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring ipakita sa tabular, graphical na anyo at sa tulong ng mga istatistikal na pagtatantya.

Kapag ipinakita ang pamamahagi ng isang random na variable sa isang tabular form, ang bawat numero ng pinag-aralan na yunit ng produksyon (numero ng pagsukat) ay tumutugma sa halaga ng tagapagpahiwatig ng kalidad para sa yunit ng produksyon na ito (resulta ng pagsukat).

Kapag ipinakita ang pamamahagi ng isang random na variable sa isang graphical na anyo, ang isang distribution graph ay naka-plot sa mga coordinate, ang halaga ng random variable - ang probabilidad (frequency, frequency) ng halaga ng random variable.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng distribusyon ng discrete at tuloy-tuloy na random variable.

Figure - Graph ng distribusyon ng isang discrete random variable

Figure - Graph ng distribusyon ng tuluy-tuloy na random variable

May mga teoretikal at empirikal na distribusyon ng mga random na variable. Sa mga teoretikal na pamamahagi, ang pagsusuri ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay isinasagawa gamit ang mga probabilities, at sa mga empirical distribution, gamit ang mga frequency o frequency na nakuha bilang resulta ng mga pagsubok.

Dahil dito, empirical distribution ng isang random variable ay isang hanay ng mga pang-eksperimentong halaga nito, na nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod, na nagsasaad ng mga frequency o frequency para sa bawat isa sa mga halaga (ayon sa STB GOST R 50779.10 pamamahagi ng dalas ay ang empirikal na ugnayan sa pagitan ng mga halaga ng isang tampok at ang mga frequency nito o ang mga relatibong frequency nito).

mesa. Isang halimbawa ng isang tabular na representasyon ng teoretikal na pamamahagi ng isang discrete random variable

Sa graphically, ang empirical distribution ng isang discrete random variable ay maaaring katawanin bilang bar chart , na nabuo sa pamamagitan ng isang hanay ng mga haligi ng pantay na lapad, na ang mga taas ay proporsyonal sa mga frequency ng mga discrete na halaga ng isang random na variable.

Figure - Bar chart ng isang discrete random variable.

Kung ang random na variable ay tuluy-tuloy, pagkatapos ay may ilang mga paghihirap na lumitaw sa pagtatanghal ng pamamahagi nito sa anyo ng isang talahanayan o graph. Samakatuwid, sa pagsasagawa, kapag nag-aaral ng mga random na variable ng isang tuluy-tuloy na uri, ang nakuha na mga halaga ay nahahati sa pantay na mga agwat upang ang halaga ng agwat ay medyo mas malaki kaysa sa error sa pagsukat ng pinag-aralan na dami. Pagkatapos ang mga frequency ay kinakalkula hindi sa pamamagitan ng aktwal na mga halaga ng random variable, ngunit sa pamamagitan ng mga agwat. Samakatuwid, ang talahanayan ng empirical distribution ng isang random na variable ng tuluy-tuloy na uri ay magkakaroon ng sumusunod na anyo.

mesa. Empirical na pamamahagi ng isang random na variable ng tuluy-tuloy na uri.

Halaga ng pagitan X	Ang ibig sabihin ng aritmetika	Dalas f i	Dalas m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f i = 100	m i = 1

Ang empirical distribution ng random na tuluy-tuloy na variable ay maaaring graphical na kinakatawan bilang distribution histogram, frequency polygon, o cumulative frequency polygon.

Histogram ng pamamahagi ay isang hanay ng mga nakakaantig na parihaba, ang mga base nito ay katumbas ng mga pagitan ng paghahati ng tuluy-tuloy na random variable, at ang mga lugar ay proporsyonal sa mga frequency kung saan ang mga halaga ng random variable ay nahuhulog sa mga pagitan na ito (ayon sa STB GOST R 50779.10 bar chart (distribusyon) ay isang graphical na representasyon ng frequency distribution para sa isang quantitative na katangian, na nabuo sa pamamagitan ng magkadikit na mga parihaba, ang mga base nito ay ang mga pagitan ng mga klase, at ang mga lugar ay proporsyonal sa mga frequency ng mga klase na ito).

Figure - Histogram ng distribusyon ng isang random na tuluy-tuloy na variable.

Polygon ng dalas ay isang putol na linya na nakuha sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto na ang abscissas ay katumbas ng mga midpoint ng mga pagitan ng partitioning, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga frequency.

Figure - Polygon ng mga frequency ng isang random na tuluy-tuloy na variable.

pinagsama-samang polygon mga frequency ay isang putol na linya na nakuha sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto na ang mga abscissas ay katumbas ng itaas na mga hangganan ng mga pagitan ng partitioning, at ang mga ordinate ay katumbas ng alinman sa pinagsama-samang mga frequency o pinagsama-samang mga frequency (cumulative relative frequency).

Figure - Polygon ng pinagsama-samang mga frequency ng isang random na tuloy-tuloy na halaga.

Sa teoretikal na paglalarawan ng mga random na variable ng tuluy-tuloy na uri, ginagamit ang distribution function. Ang teoretikal na pamamahagi ng isang random na tuluy-tuloy na variable ay maaaring graphical na kinakatawan bilang integral, inverse integral, differential mga function at function ng pamamahagi intensity.

Hayaang ang X ay isang random na variable, at ang x ay isang tunay na numero (na may X< х ). Kaganapan X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) ay tinatawag function ng pamamahagi mga probabilidad random variable o integral distribution function.

Para sa isang discrete random variable, ang integral distribution function na F(X) ay madaling matukoy mula sa isang table o graph.

Kaya, para sa halimbawa sa itaas ng pamamahagi ng isang discrete random variable (sa X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Ang graph ng integral distribution function ng isang discrete random variable ay magmumukhang isang step curve. Ang mga ordinate ng curve para sa anumang halaga ng X ay kumakatawan sa kabuuan ng mga probabilidad ng mga nakaraang halaga.

Figure - Integral distribution function ng isang discrete random variable

Ang posibilidad na ang isang random na variable sa panahon ng pagsubok ay nasa loob ng mga hangganan ng dalawang ibinigay na mga halaga x 1 at x 2 (x 2 > x 1) ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa lugar na ito, i.e.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Kung bumaling tayo sa halimbawa sa itaas ng pamamahagi ng isang discrete random variable, pagkatapos ay para sa x1 = 2 at x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Para sa tuluy-tuloy na random na variable, ang graph ng integral distribution function ay magmumukhang monotonically increases curve. Sa pagsasagawa, ang teoretikal na mga frequency ng pamamahagi ay tinutukoy gamit ang pinagsama-samang function ng pamamahagi.

Figure - Cumulative distribution function

tuluy-tuloy na random variable

Ang inverse cumulative distribution function ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng unity at cumulative distribution function.

Densidad ng pamamahagi (differential distribution function) Ang random variable ay tinatawag na unang derivative ng integral distribution function:

Para sa isang analytical na paglalarawan ng isang tuluy-tuloy na random na variable sa teorya ng pagiging maaasahan, ginagamit namin pag-andar ng intensity , katumbas ng ratio ng differential distribution function sa inverse integral distribution function:

Figure - Ang intensity function ng isang tuluy-tuloy na random variable.

Paksa 3.

Mga random na variable at mga function ng pamamahagi

Ang konsepto ng isang random variable.

Ang konsepto ng isang random variable

Pamamahagi ng function ng isang random na variable, ang mga katangian nito

Mga random na variable na may discrete distribution

Ang konsepto ng isang random variable na may discrete distribution

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable.

Mga halimbawa ng discrete distribution

Random na mga variable na may ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi

Ang konsepto ng isang random na variable na may ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi

Batas sa pamamahagi ng isang ganap na tuluy-tuloy na random variable. Densidad, mga katangian nito

Mga halimbawa ng ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi

Ang konsepto ng isang random na vector.

Ang konsepto ng isang random na vector

Mga independiyenteng random na variable

Pinagsamang pamamahagi ng mga random na variable

Ang konsepto ng isang random variable.

Mula nang lumitaw ang teorya ng posibilidad, ang pangunahing gawain nito ay ang pag-aralan hindi ang mga probabilistikong katangian ng mga eksperimento na may mga random na kinalabasan, ngunit ang mga numerical na dami na nauugnay sa mga eksperimentong ito, na natural na tawagan mga random na variable. Halimbawa, maaaring hindi tayo interesado sa mga pares ng mga numero sa itaas na mga mukha ng mga dice, ngunit sa kanilang kabuuan; ang bilang ng mga tagumpay o pagkabigo bago ang unang tagumpay sa Bernoulli scheme.

Kadalasan sa panitikan maaari kang makakita ng mga pagkakaiba-iba sa tema ng sumusunod na kahulugan: Random variable tinatawag na variable na, depende sa kinalabasan ng pagsusulit, ay tumatagal sa mga halaga na nakasalalay sa kaso.

Kaya, ang isang random na variable ay isang numerical value, ang halaga nito ay depende sa kung anong uri ng (elementarya) na kinalabasan ang naganap bilang isang resulta ng isang eksperimento na may random na kinalabasan. Ang hanay ng lahat ng mga halaga na maaaring kunin ng isang random na variable ay tinatawag hanay ng mga posibleng halaga ng random variable na ito.

Magbibigay kami ng mas mahigpit na kahulugan, dahil ang konsepto ng isang random na variable ay isa sa mga pangunahing konsepto na nag-uugnay sa probability theory sa mathematical analysis at bumubuo ng konseptwal na batayan ng matematikal na istatistika.

Kahulugan. Random variable ay isang function na X = X(ω) na tinukoy sa espasyo ng elementarya na mga kaganapan Ω kung saan ang kaganapan (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Kondisyon (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из PERO. Bilang karagdagan, sa pamamagitan ng mga kaganapan (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Magkomento. Kaya, ang isang random na variable ay isang function na ang domain ng kahulugan ay ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan Ω, at ang hanay ng mga halaga ay isang numerical set, marahil ang buong hanay ng mga tunay na numero. R.

Ang σ-algebra ng mga kaganapan A ay ang domain ng kahulugan ng probabilidad, kung isasaalang-alang natin ito bilang isang function.

Magkomento . "Ang terminong "random variable" ay medyo hindi tumpak, ang terminong "Chance function" ay magiging mas angkop, ang independent variable ay isang punto sa espasyo ng elementarya na mga kaganapan, i.e. ang kinalabasan ng isang eksperimento o isang kaso. (W. Feller "Introduction to Probability Theory", ch. IX)

Ang mga random na variable ay tinutukoy ng mga titik ng Greek alphabet:  (xi),  (ito),  o malalaking titik ng Latin alphabet X, Y, ... Isusulat namin ang mga halaga ng isang random variable bilang isang may hangganan o walang katapusang pagkakasunod-sunod x 1 ,x 2 ,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Magkomento . Nauna naming ipinakilala ang konsepto ng posibilidad na may kaugnayan sa ilang mga kaganapan. Ngayon lumipat kami sa pag-uusap tungkol sa mga pag-andar. Ang pinaka-halatang kaganapan na maaaring maiugnay sa konsepto ng isang function ay ang pag-ampon nito ng ilang halaga (tiyak o kabilang sa pagitan)

Upang pag-aralan ang mga probabilistikong katangian ng isang random na variable, kinakailangang malaman ang panuntunan na nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa isang subset ng mga halaga nito. Ang anumang naturang tuntunin ay tinatawag ang batas ng probability distribution o distribution (of probabilities) ng isang random variable.(ang salitang "probability" ay karaniwang tinanggal)

Ang pangkalahatang batas sa pamamahagi na likas sa lahat ng mga random na variable ay function ng pamamahagi.

Kahulugan. Ang buong hanay ng mga probabilidad na P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает batas ng pamamahagi ng random variable X sa pangkalahatan. Kadalasan, para sa kaiklian, ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay tinatawag na pamamahagi ng isang random variable.

Kahulugan. Function F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется ang distribution function ng random variable X.

Ang halaga ng function ng pamamahagi sa punto x ay katumbas ng posibilidad ng kaganapan (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Karaniwang sinasabi na ang halaga ng distribution function sa puntong x ay katumbas ng posibilidad na ang random variable na X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x.

Sa geometriko, ang ibig sabihin nito ay ang sumusunod: Ang F(x) ay ang posibilidad na ang random variable na X ay kukuha sa halagang kinakatawan ng punto sa linya ng numero na matatagpuan sa kaliwa ng puntong x.

Magkomento . Tinatawag din ang distribution function integral function, o integral law ng distribution ng random variable X

Ang distribution function ay may mga sumusunod ari-arian:

0≤ F(x)≤1 (dahil sa kahulugan, ang distribution function ay isang probabilidad)

F(x 1) ≤ F(x 2) para sa x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 bilang x → - ∞ , lim F(x) = 1 bilang x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

Ang F(x) ay isang left continuous function, i.e. F(x) = F(x - 0), kung saan F(x - 0) = lim F(y) bilang y → x - 0 (kaliwang limitasyon)

Magkomento . Upang bigyang-diin kung saang random na variable kabilang ang distribution function na F(x), minsan ang function na ito ay itinatalaga ng isang subscript na nagsasaad ng isang partikular na random variable. Halimbawa, F X (x) = P (X< х}

Magkomento. Sa ilang publikasyon, ang distribution function ay tinukoy bilang F(x) = P(X ≤ x). Ang gayong kahulugan ay hindi nagbabago ng anuman sa kakanyahan ng konsepto ng pagpapaandar ng pamamahagi, tanging ang huli, ikalimang ari-arian ang nagbabago. Ang function sa kasong ito ay lumalabas na right-continuous.

Digression: "Ano ang isang function?"

Bigyan tayo ng dalawang set X at Y, at ang Y ay isang set ng numero. At hayaang maibigay ang panuntunan f, ayon sa kung saan ang bawat elemento (punto) ng set X ay nauugnay sa (isa at isa lamang) elemento (numero) ng set Y. Ang panuntunan f kasama ang set X at Y ay tumutukoy sa tungkulin f. Ang notasyong y=f(x) ay nangangahulugan na ang panuntunang f ay inilapat sa ilang puntong x ng set X, at bilang resulta ay nakakuha kami ng puntong y mula sa set na Y. Ang X ay tinatawag na argumento (independent variable), at y ay ang halaga (dependent variable) ng function f sa puntong X. Ang set X ay tinatawag na domain ng kahulugan (setting area) ng function, sinasabi nila na ang function ay ibinigay sa set na ito, ang set Y ay tinatawag na set ng mga halaga ng function. Ang set X ay hindi kinakailangang isang set ng numero. Kaya, ang isang random na variable ay isang function na tinukoy sa isang non-numeric na espasyo ng elementarya na mga kaganapan.

RANDOM NA MGA HALAGA

Ang random na halaga ay isang dami na, bilang resulta ng pagsubok, ay kukuha sa isa at isa lamang na posibleng halaga, at kung alin ang hindi alam nang maaga.

Ang discrete ay isang random na variable na kumukuha ng hiwalay, hiwalay na posibleng mga halaga na may ilang mga probabilidad.

Ang tuluy-tuloy na variable ay isang random na variable na maaaring tumagal sa lahat ng mga halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random variable at ang kanilang mga probabilities. Ang batas na ito ay ibinigay sa anyo ng isang talahanayan, formula o graph.

Para sa mga discrete random variable, isa sa pinakakaraniwan ay ang tinatawag na binomial distribution law, kung saan ang Bernoulli scheme ng pag-uulit ng mga pagsubok ay humahantong. Ang Formula (8) ay ang analytical expression ng batas na ito.

Halimbawa 11.

Ang isang mensahe ay ipinapadala sa channel ng komunikasyon gamit ang isang code na binubuo ng dalawang character. Ang posibilidad ng paglitaw ng una ay 2/3. Lumipas ang tatlong senyales. Hanapin ang batas sa pamamahagi para sa mga paglitaw ng unang tanda.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng kondisyon n=4, R=2/3, q=1/3. Mga posibleng halaga ng bilang ng mga paglitaw ng unang tanda: 0, 1, 2 at 3. Hanapin ang kanilang mga probabilidad gamit ang formula (8):

Ang batas na ito ay maaaring iharap sa anyo ng isang talahanayan

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Ang distribution function ay isang function na tumutukoy sa posibilidad na magkaroon ng random variable X bilang resulta ng pagsubok ay kukuha ng halagang mas mababa sa X, yan ay

Sa geometriko, nangangahulugan ito na ang isang random na variable na may posibilidad R ay kukuha sa halaga na kinakatawan sa numerical axis sa pamamagitan ng punto sa kaliwa X.

Para sa isang tuluy-tuloy na random variable, ang distribution function ay isang tuluy-tuloy na piecewise differentiable function. Ang mga pangunahing katangian ay nagmula sa kahulugan:

1. Ang mga halaga ng function ng pamamahagi ay nabibilang sa segment , i.e.

2. F(x) ay isang hindi bumababa na function, iyon ay, kung

3. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kumuha ng isang halaga na nasa pagitan [ a,b[, ay katumbas ng pagtaas ng function ng pamamahagi sa pagitan na ito

Para sa isang tuluy-tuloy na random variable, ang posibilidad ng pagtanggap ng isang solong halaga ay zero. Samakatuwid, para sa tuluy-tuloy na random variable

Halimbawa 12.

Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X kukunin ang halaga na kabilang sa segment [-1; 0.5].

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na X ay isang tuluy-tuloy na random na variable na maaaring tumagal ng isang halaga mula 0 hanggang 1.

Densidad ng probabilidad tuloy-tuloy random variable X tawagan ang unang derivative ng distribution function

function ng pamamahagi F(x) ay isa sa mga antiderivatives para sa density ng pamamahagi. Batay sa kahulugan ng density o kaugalian ng batas distribution at ang kaugnayan nito sa distribution function, madaling ipakita ang mga sumusunod na katangian:

1. Ang density ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay isang hindi-negatibong function

2. Probability ng pagpindot sa isang random variable X sa pagitan ay katumbas ng

(16)

3. Mula sa ari-arian 2 nakakakuha tayo ng expression para sa distribution function

(17)

4. Kondisyon ng normalisasyon

(18)

Halimbawa 13 discrete na halaga X ibinigay ng talahanayan

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Hanapin ang distribution function at buuin ang graph nito.

Solusyon.

1. Kung , pagkatapos , dahil X hindi maaaring mas mababa sa 2.

Sa kasong ito, sa pagitan (-¥, X) mayroon lamang isang halaga ng random variable X (X=2). kaya lang

Para sa anumang halaga ng argumento X mga function F(x), nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa pagitan (-¥, X) ay tumama sa dalawang halaga ng isang random na variable ( X=2 at X=3). Dahil ang mga pangyayari na X ay tatanggap ng mga ibinigay na halaga ay hindi pare-pareho (o X=2 o X=3), pagkatapos

4. Katulad nito, kung

Samakatuwid, magiging hitsura ang function ng pamamahagi

Bumubuo kami ng isang graph ng function ng pamamahagi

kanin. 1 - Graph ng function ng pamamahagi

discrete random variable

Halimbawa 14. Densidad ng pamamahagi ng error sa pagsukat

Ang isang random na variable ay isang variable na ang halaga ay nakuha bilang isang resulta ng muling pagkalkula o mga sukat at hindi maaaring malinaw na tinutukoy ng mga kondisyon ng paglitaw nito.

Iyon ay, ang isang random na variable ay kumakatawan sa mga numerical na random na kaganapan.

Ang mga random na variable ay nahahati sa dalawang klase:

Mga discrete random variable - ang mga halaga ng mga dami na ito ay mga natural na numero, na, bilang mga indibidwal na kaganapan, ay itinalaga ng mga frequency at probabilities.

Continuous random variable - maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa isang tiyak na pagitan (interval). Dahil mayroong walang katapusang bilang ng mga numerical na halaga sa pagitan mula X1 hanggang X2, ang posibilidad na ang random variable na XiЄ(X1,X2) ay kukuha ng isang tiyak na halaga ay napakaliit. Isinasaalang-alang na imposibleng ilista ang lahat ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable, sa pagsasanay ang average na halaga ng pagitan (X1,X2) ay ginagamit.

Para sa mga discrete random variable, ang function na y \u003d P (x) ay tinatawag na distribution function ng random variable at may graph - ito ay tinatawag na distribution polygon.

Ang mga sumusunod na grupo ng mga numerical na katangian ay nakikilala: ang mga katangian ng posisyon (matematika na inaasahan, mode, median, quantile, atbp.), Dispersion (dispersion, standard deviation, atbp.), Mga katangian ng hugis ng density ng pamamahagi (skewness, kurtosis, atbp.) .

Ang inaasahan sa matematika (average na halaga ayon sa pamamahagi) ay isang tunay na numero, na tinutukoy depende sa uri ng SV X ng formula:

Umiiral ang mathematical expectation kung ang serye (ayon sa pagkakabanggit, ang integral) sa kanang bahagi ng formula ay ganap na nagtatagpo. Kung mX = 0, ang CV X ay tinatawag na nakasentro (na tinutukoy ng ).

Mga katangian ng inaasahan sa matematika:

kung saan ang C ay isang pare-pareho;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

para sa anumang CB X at Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

kung saan ang KXY = M ay ang covariance ng mga CV ng X at Y.

Ang unang sandali ng kth order (k = 0, 1, 2, ...) ng pamamahagi ng SV X ay isang tunay na numero na tinutukoy ng formula:

nk=M=

Ang gitnang sandali ng k-th order ng pamamahagi ng SV X ay ang bilang na tinutukoy ng formula:

mk = M[(X-mX)k]=

Mula sa mga kahulugan ng mga sandali, sa partikular, ito ay sumusunod na: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

Ang SWNT mode ay ang tunay na numerong Mo(X) = x*, na tinukoy bilang ang pinakamataas na punto ng PR f(x). Ang isang mode ay maaaring magkaroon ng isang halaga (unimodal distribution) o maramihang mga value (multimodal distribution).

Ang median ng SWNT ay isang tunay na numero Me(X) = x0 na tumutugon sa kundisyon: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Ang p-level quantile ay isang tunay na numero tp na nakakatugon sa equation: F(tp) = p. Sa partikular, ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng median na x0 = t0.5.

Ang variance ng SV X ay isang non-negative na numero D[X] = DX, na tinukoy ng formula:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Ang dispersion ay umiiral kung ang serye (ayon sa pagkakabanggit, ang integral) sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagtatagpo. Mga katangian ng pagpapakalat:

D[C] = 0, kung saan ang C ay pare-pareho;

D = C2×D[X];

ang pagkakaiba ay malinaw na hindi nagbabago sa CB X bias;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

kung saan KXY = M - covariance ng CB X at Y;

Ang isang di-negatibong numero sХ = ay tinatawag na standard deviation ng RV X. Ito ay may sukat na RV X at tumutukoy sa isang tiyak na standard rms dispersion interval, simetriko na may kinalaman sa mathematical expectation. (Ang halaga ng sX ay kung minsan ay tinatawag na standard deviation.) Ang CV X ay tinatawag na standardized kung mX = 0 at sX = 1. Kung ang value X = const (i.e. X ay hindi random), kung gayon ang D[X] = 0.

Ang isang tagapagpahiwatig ng kawalaan ng simetrya ng PR ay ang koepisyent ng kawalaan ng simetrya ("skewness") ng pamamahagi: A = m3/s3X. Ang tagapagpahiwatig ng kurtosis ng PR ay ang koepisyent ng kurtosis ("pointiness") ng pamamahagi: E = (m4/s4X)-3. Sa partikular, para sa isang normal na distribusyon, E = 0.

Ang isang nakaayos na hanay ng n random variable (CV) X1, X2, ..., Xn, na isinasaalang-alang nang magkasama sa eksperimentong ito, ay tinatawag na n-dimensional CV o isang random na vector at tinutukoy ay = (X1, X2, ..., Xn).

Ang distribution function (DF) ng isang n-dimensional random vector ay isang function ng n real variables x1, x2, ..., xn, na tinukoy bilang ang posibilidad ng magkasanib na katuparan ng n inequalities: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) - hindi bumababa na function ng mga argumento nito;

4.

Ang Property 4 ay karaniwang tinutukoy bilang kondisyon ng pagkakapare-pareho. Nangangahulugan ito na ang mga DF ng mga indibidwal na bahagi ng isang random na vector ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpasa sa limitasyon mula sa magkasanib na function ng pamamahagi ng mga bahaging ito. Ang posibilidad ng isang random na punto sa eroplano (X, Y) na bumagsak sa isang rektanggulo na may mga gilid na kahanay sa mga coordinate axes ay maaaring kalkulahin gamit ang DF gamit ang formula:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Ang isang dalawang-dimensional na random na vector (X, Y) ay tinatawag na isang random na vector ng discrete type (RDV) kung ang hanay ng mga posibleng halaga nito ay G(x, y) ay halos mabibilang. Ang batas ng pamamahagi nito ay maaaring tukuyin ng isang two-dimensional na talahanayan mula sa listahan ng mga posibleng halaga ng mga pares ng mga bahagi ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) at naaayon sa bawat naturang pares ng mga probabilities pij = P(X = xi, Y = yj ) na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon

Ang isang dalawang-dimensional na random na vector (X, Y) ay tinatawag na isang random na vector ng tuluy-tuloy na uri (CBNT) kung mayroong ganoong non-negatibong function na f(x, y) na tinatawag na probability distribution density (DP) ng random vector na :

f(x, y) = , pagkatapos F(x, y) = .

Ang PR ng mga probabilidad ay may mga sumusunod na katangian:

f(x, y) ³ 0, (x, y) н R2;

ay ang kondisyon ng normalisasyon.

Ang PR ng mga probabilidad ng mga indibidwal na bahagi ng isang random na vector ay ipinahayag bilang mga integral ng joint density:

f(x) = f(y) = .

Ang posibilidad ng isang random na punto na bumagsak sa isang arbitrary squaring area S sa eroplano ay tinutukoy ng formula

P((X, Y) О S)= .

Ang conditional probability distribution density ng random component X, sa kondisyon na ang component Y ay kumuha ng isang tiyak na value y, ay ang function na f(x/y) ng real variable x О R: f(x/y) = f(x , y)/f(y) . Katulad nito, tinutukoy ang conditional probability density ng random component Y, sa kondisyon na ang component X ay nakakuha ng isang tiyak na halaga x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). Ang mga RV X1, X2, ..., Xn ay tinatawag na independyente (sa pinagsama-samang) kung para sa mga kaganapan (Xi н Bi), i = 1, 2, ..., n, kung saan ang B1, B2, ... Bn ay mga subset ng numerical straight line, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay may hawak na: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn).

Theorem: XV X1, X2, .... Xn ay independiyente kung at kung sa anumang punto x = (x1, x2, ..., xn) ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (o f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

Para sa isang dalawang-dimensional na random na vector (X, Y), ang mga sumusunod na katangiang numero ay ipinakilala.

Ang unang sandali ng pagkakasunud-sunod r + s ng isang random na vector (X, Y) ay isang tunay na numero nr,s, na tinukoy ng formula:

nr,s = M =

Ang paunang sandali nr,s ay umiiral kung ang integral (ayon sa pagkakabanggit, ang serye) sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo. Sa partikular, ang nr,0 = M ay ang kaukulang mga paunang sandali ng bahaging X. Ang vector na may di-random na mga coordinate (mX, mY) = (n1,0, n0,1) ay tinatawag na inaasahan ng random na vector (X , Y) o ang dispersion center.

Ang gitnang sandali ng pagkakasunud-sunod r + s ng isang random na vector (X, Y) ay ang tunay na bilang na mr,s na tinukoy ng formula

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Ang gitnang sandali mr,s ay umiiral kung ang integral (ayon sa pagkakabanggit, ang serye) sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo. Ang isang vector na may di-random na mga coordinate (DX, DY) = (m2,0, m0,2) ay tinatawag na variance ng isang random na vector.

Ang gitnang sandali m1,1 ay tinatawag na sandali ng ugnayan (covariance): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Ang koepisyent ng ugnayan ng dalawang random na X at Y na bahagi ng isang random na vector ay ang normalized covariance

rXY = KXY/(sXsY).

Mga katangian ng covariance (at correlation coefficient).

Ang konsepto ng isang random variable. Mga discrete at tuluy-tuloy na random variable. Probability distribution function at mga katangian nito. Densidad ng pamamahagi ng probabilidad at mga katangian nito. Mga numerical na katangian ng mga random na variable: mathematical expectation, dispersion at kanilang mga katangian, standard deviation, mode at median; paunang at gitnang sandali, kawalaan ng simetrya at kurtosis. Mga numerical na katangian ng arithmetic mean ng n independent random variables.

Ang konsepto ng isang random variable

Random tinatawag ang isang dami, na, bilang resulta ng mga pagsubok, ay tumatagal ng isa o isa pa (ngunit isa lamang) posibleng halaga, hindi alam nang maaga, nagbabago mula sa pagsubok patungo sa pagsubok at depende sa mga random na pangyayari. Hindi tulad ng isang random na kaganapan, na isang qualitative na katangian ng isang random na resulta ng pagsubok, ang isang random na variable ay nagpapakilala sa resulta ng pagsubok sa dami. Ang mga halimbawa ng isang random na variable ay ang laki ng isang workpiece, ang error sa resulta ng pagsukat ng anumang parameter ng isang produkto o kapaligiran. Kabilang sa mga random na variable na nakatagpo sa pagsasanay, dalawang pangunahing uri ang maaaring makilala: discrete at tuloy-tuloy.

discrete ay isang random na variable na tumatagal sa isang may hangganan o walang katapusan na mabibilang na hanay ng mga halaga. Halimbawa: ang dalas ng mga hit na may tatlong shot; ang bilang ng mga may sira na produkto sa isang batch ng n piraso; ang bilang ng mga tawag na dumarating sa palitan ng telepono sa araw; ang bilang ng mga pagkabigo ng mga elemento ng aparato para sa isang tiyak na tagal ng panahon kapag sinusubukan ito para sa pagiging maaasahan; ang bilang ng mga putok bago ang unang tama sa target, atbp.

tuloy-tuloy ay tinatawag na isang random na variable na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan. Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan. Halimbawa: isang error sa pagsukat ng hanay ng radar; chip uptime; error sa pagmamanupaktura ng mga bahagi; konsentrasyon ng asin sa tubig dagat, atbp.

Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng mga titik X, Y, atbp., at ang kanilang mga posibleng halaga ay x, y, atbp. Upang tukuyin ang isang random na variable, hindi sapat na ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito. Kinakailangan din na malaman kung gaano kadalas ang isa o isa pa sa mga halaga nito ay maaaring lumitaw bilang isang resulta ng mga pagsubok sa ilalim ng parehong mga kondisyon, ibig sabihin, kinakailangan upang itakda ang mga probabilidad ng kanilang paglitaw. Ang hanay ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities ay bumubuo sa pamamahagi ng isang random variable.

Mga batas ng pamamahagi ng isang random na variable

batas sa pamamahagi Ang isang random na variable ay isang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities. Ang isang random na variable ay sinasabing sumusunod sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi. Dalawang random na variable ang tinatawag malaya, kung ang batas sa pamamahagi ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong mga posibleng halaga ang nakuha ng ibang halaga. Kung hindi, ang mga random na variable ay tinatawag umaasa. Maraming mga random na variable ang tinatawag kapwa nagsasarili, kung ang mga batas sa pamamahagi ng anumang bilang ng mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong posibleng mga halaga ang kinuha ng iba pang mga dami.

Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring ibigay sa anyo ng isang talahanayan, isang function ng pamamahagi o isang density ng pamamahagi. Ang isang talahanayan na naglalaman ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kaukulang probabilities ay ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy ng batas ng pamamahagi ng isang random variable.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1) )&p_n\\\hline\end(array)

Ang tabular na detalye ng batas sa pamamahagi ay maaari lamang gamitin para sa isang discrete random variable na may finite number of possible values. Ang tabular na anyo ng pagtukoy ng batas ng isang random na variable ay tinatawag ding isang serye ng pamamahagi.

Para sa kalinawan, ang serye ng pamamahagi ay ipinakita nang grapiko. Sa isang graphical na representasyon sa isang rectangular coordinate system, ang lahat ng posibleng value ng isang random variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga kaukulang probabilities ay naka-plot kasama ang ordinate axis. Tinatawag ang mga puntos (x_i,p_i) na konektado ng mga tuwid na bahagi ng linya polygon ng pamamahagi(Larawan 5). Dapat alalahanin na ang koneksyon ng mga puntos (x_i,p_i) ay ginagawa lamang para sa layunin ng kalinawan, dahil sa mga pagitan sa pagitan ng x_1 at x_2 , x_2 at x_3 , atbp. walang mga halaga na magagawa ng random variable X kunin, kaya ang mga probabilidad ng paglitaw nito sa mga pagitan na ito ay zero.

Ang polygon ng pamamahagi, tulad ng serye ng pamamahagi, ay isa sa mga anyo ng pagtukoy sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Maaaring magkaiba sila ng mga hugis, ngunit pareho silang lahat karaniwang ari-arian: ang kabuuan ng mga ordinate ng vertices ng distribution polygon, na siyang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng halaga ng isang random variable, ay palaging katumbas ng isa. Ang pag-aari na ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang lahat ng posibleng mga halaga ng random variable X ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan, ang kabuuan ng mga probabilidad na katumbas ng isa.

Probability distribution function at mga katangian nito

Ang function ng pamamahagi ay ang pinaka-pangkalahatang anyo ng pagtatakda ng batas sa pamamahagi. Ito ay ginagamit upang tukuyin ang parehong discrete at tuloy-tuloy na random variable. Ito ay karaniwang tinutukoy na F(x) . function ng pamamahagi tinutukoy ang posibilidad na ang isang random na variable X ay kumukuha ng mga halaga na mas mababa sa isang nakapirming tunay na numero x , ibig sabihin, F(x)=P\(X integral distribution function.

Ang geometric na interpretasyon ng function ng pamamahagi ay napaka-simple. Kung ang isang random na variable ay itinuturing bilang isang random na punto X ng Ox axis (Fig. 6), na, bilang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal ng isa o ibang posisyon sa axis, kung gayon ang distribution function na F(x) ay ang posibilidad na ang random na puntong X, bilang resulta ng pagsubok, ay mahuhulog sa kaliwang puntos x .

Para sa isang discrete random variable X na maaaring tumagal sa mga halaga, ang distribution function ay may form

F(x)=\sum\limits_(x_i
kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay x_i

Ang tuluy-tuloy na random variable ay may tuluy-tuloy na distribution function, ang graph ng function na ito ay may anyo ng isang makinis na curve (Fig. 8).

Isaalang-alang ang mga pangkalahatang katangian ng mga function ng pamamahagi.

Property 1. Ang distribution function ay non-negative, isang function na nakapaloob sa pagitan ng zero at one:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Ang bisa ng property na ito ay sumusunod sa katotohanan na ang distribution function na F(x) ay tinukoy bilang ang posibilidad ng isang random na kaganapan na X

Pag-aari 2. Ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa pagitan [\alpha;\beta) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function ng pamamahagi sa mga dulo ng agwat na ito, i.e.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Ito ay sumusunod na ang posibilidad ng anumang solong halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable ay zero.

Property 3. Ang distribution function ng isang random variable ay isang non-decreasing function, i.e. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Property 4. Sa minus infinity, ang distribution function ay katumbas ng zero, at sa plus infinity, ito ay katumbas ng isa, i.e. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 at \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Halimbawa 1. Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ibinibigay ng expression

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(mga kaso).

Hanapin ang coefficient a at plot F(x) . Tukuyin ang posibilidad na ang random variable na X bilang resulta ng eksperimento ay magkakaroon ng halaga sa pagitan.

Solusyon. Dahil ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X ay tuloy-tuloy, kung gayon para sa x=3 makakakuha tayo ng a(3-1)^2=1 . Kaya a=\frac(1)(4) . Ang graph ng function na F(x) ay ipinapakita sa fig. 9.

Batay sa pangalawang pag-aari ng function ng pamamahagi, mayroon kami

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Probability density distribution at mga katangian nito

Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ang probabilistic na katangian nito. Ngunit mayroon itong isang disbentaha, na binubuo sa katotohanan na mahirap hatulan ang likas na katangian ng pamamahagi ng isang random na variable sa isang maliit na kapitbahayan ng isa o ibang punto ng numerical axis. Ang isang mas visual na representasyon ng katangian ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ibinibigay ng isang function na tinatawag na probability distribution density, o ang differential distribution function ng isang random variable.

Densidad ng pamamahagi f(x) ay katumbas ng derivative ng distribution function F(x) , i.e.

F(x)=F"(x).

Ang kahulugan ng density ng pamamahagi na f(x) ay ipinapahiwatig nito kung gaano kadalas lumilitaw ang random variable na X sa ilang kapitbahayan ng puntong x kapag inuulit ang mga eksperimento. Ang kurba na naglalarawan sa density ng pamamahagi f(x) ng isang random na variable ay tinatawag kurba ng pamamahagi.

Pag-isipan mga katangian ng density ng pamamahagi.

Property 1. Ang density ng pamamahagi ay hindi negatibo, ibig sabihin.

F(x)\geqslant0.

Property 2. Ang distribution function ng isang random variable ay katumbas ng integral ng density sa pagitan mula -\infty hanggang x, i.e.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Property 3. Ang posibilidad ng tuluy-tuloy na random variable X na tumama sa segment (\alpha;\beta) ay katumbas ng integral ng distribution density na kinuha sa segment na ito, i.e.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Property 4. Ang integral sa mga walang katapusang limitasyon ng density ng pamamahagi ay katumbas ng isa:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Halimbawa 2. Ang random na variable X ay napapailalim sa batas ng pamamahagi na may density

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(cases)

Tukuyin ang koepisyent a; bumuo ng isang graph ng density ng pamamahagi; hanapin ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable sa lugar mula 0 hanggang \frac(\pi)(2) tukuyin ang distribution function at buuin ang graph nito.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Isinasaalang-alang ang ari-arian 4 ng density ng pamamahagi, nakita namin ang a=\frac(1)(2) . Samakatuwid, ang density ng pamamahagi ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(mga kaso).

Ang balangkas ng density ng pamamahagi sa fig. 10. Sa pamamagitan ng ari-arian 3, mayroon kami

P\!\kaliwa\(0

Upang matukoy ang function ng pamamahagi, ginagamit namin ang property 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Kaya, mayroon kami

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(mga kaso).

Ang graph ng distribution function ay ipinapakita sa fig. labing-isa

Mga de-numerong katangian ng mga random na variable

Ang batas sa pamamahagi ay ganap na naglalarawan ng isang random na variable mula sa isang probabilistikong punto ng view. Ngunit kapag nilutas ang isang bilang ng mga praktikal na problema, hindi na kailangang malaman ang lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities, ngunit mas maginhawang gumamit ng ilang mga quantitative indicator. Ang ganitong mga tagapagpahiwatig ay tinatawag na mga numero. katangian ng isang random variable. Ang mga pangunahing ay ang matematikal na inaasahan, pagkakaiba-iba, mga sandali ng iba't ibang mga order, mode at median.

Ang mathematical expectation ay minsan tinatawag na mean value ng isang random variable. Isaalang-alang ang isang discrete random variable X na kumukuha ng mga halaga x_1,x_2,\ldots,x_n na may mga probabilidad ayon sa pagkakabanggit p_1,p_2,\ldots,p_n Tukuyin natin ang arithmetic mean ng mga halaga ng isang random na variable, na natimbang ng mga probabilidad ng kanilang paglitaw. Kaya, kinakalkula namin ang average na halaga ng isang random na variable, o ang mathematical na inaasahan nito M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Kung ganoon \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 nakukuha namin

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Kaya, inaasahan sa matematika Ang isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kaukulang mga probabilidad.

Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang mathematical na inaasahan

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable X , ang mga posibleng halaga na nabibilang sa segment ,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Gamit ang probability distribution function F(x) , ang mathematical expectation ng isang random variable ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Mga Katangian ng Inaasahan

Property 1. Ang mathematical expectation ng kabuuan ng dalawang random variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mathematical expectations:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Property 2. Ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations:

M(XY)=M(X)M(Y).

Property 3. Ang mathematical expectation ng isang constant value ay katumbas ng constant mismo:

M(c)=c.

Property 4. Ang isang pare-parehong multiplier ng isang random na variable ay maaaring alisin sa expectation sign:

M(cX)=cM(X).

Property 5. Ang mathematical expectation ng deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito ay zero:

M(X-M(X))=0.

Halimbawa 3. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga may sira na item sa isang sample ng limang item, kung ang random variable X (ang bilang ng mga may sira na item) ay ibinigay ng isang serye ng pamamahagi.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array)

Solusyon. Sa pamamagitan ng formula (4.1) makikita natin

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Mode M_0 ng isang discrete random variable ang pinakamalamang na halaga nito ay tinatawag.

Mode M_0 ng tuluy-tuloy na random na variable ang halaga nito ay tinatawag, na tumutugma sa pinakamalaking halaga ng density ng pamamahagi. Sa geometrically, ang mode ay binibigyang kahulugan bilang abscissa ng punto ng global na maximum ng curve ng pamamahagi (Larawan 12).

Median M_e ng random variable ang halaga nito ay tinatawag na kung saan ang pagkakapantay-pantay

P\(X M_e\).

Mula sa isang geometric na punto ng view, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar ng figure na nalilimitahan ng probability distribution curve at ang abscissa axis ay nahahati sa kalahati (Fig. 12). Dahil ang buong lugar na nalilimitahan ng curve ng pamamahagi at ang x-axis ay katumbas ng isa, ang function ng pamamahagi sa puntong naaayon sa median ay 0.5, i.e.

F(M_e)=P\(X

Sa tulong ng pagkakaiba-iba at karaniwang paglihis, maaaring hatulan ng isa ang pagpapakalat ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan sa matematika. Bilang isang sukatan ng pagpapakalat ng isang random na variable, ang matematikal na inaasahan ng squared deviation ng isang random na variable mula sa mathematical na inaasahan ay ginagamit, na tinatawag na random variable na pagkakaiba-iba X at ipahiwatig ang D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Para sa isang discrete random variable, ang variance ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng squared deviations ng mga value ng random variable mula sa mathematical expectation nito sa pamamagitan ng kaukulang probabilities:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Para sa isang tuluy-tuloy na random variable na ang batas sa pamamahagi ay ibinibigay ng probability distribution density f(x) , ang variance

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Ang dimensyon ng pagkakaiba ay katumbas ng parisukat ng dimensyon ng random na variable at samakatuwid ay hindi ito maaaring bigyang-kahulugan sa geometriko. Ang mga pagkukulang na ito ay pinagkaitan ng karaniwang paglihis ng isang random na variable, na kinakalkula ng formula

\sigma=\sqrt(D[X]).

Mga katangian ng pagpapakalat ng mga random na variable

Property 1. Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba-iba ng mga variable na ito:

D=D[X]+D[Y].

Property 2. Ang variance ng random variable ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mathematical expectation ng square ng random variable X at ng square ng mathematical expectation nito:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Property 3. Ang dispersion ng isang constant value ay zero:

D[c]=0.

Property 4. Ang isang pare-parehong salik ng isang random na variable ay maaaring alisin sa variance sign sa pamamagitan ng unang pag-square nito:

D=c^2D[X].

Property 5. Ang pagkakaiba ng produkto ng dalawang independiyenteng random na variable na X at Y ay tinutukoy ng formula

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Halimbawa 4. Kalkulahin ang pagkakaiba ng bilang ng mga may sira na produkto para sa pamamahagi ng halimbawa 3.

Solusyon. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba

Ang paglalahat ng mga pangunahing katangian ng numero ng isang random na variable ay ang konsepto ng mga sandali ng isang random na variable.

Ang unang sandali ng qth order Ang random variable ay tinatawag na mathematical expectation ng value X^q:

Ang paunang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay ang inaasahan sa matematika, at ang gitnang sandali ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay ang pagkakaiba ng random variable.

Ang normalized na sentral na sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay nagsisilbing isang katangian ng skewness o kawalaan ng simetrya ng pamamahagi ( kadahilanan ng kawalaan ng simetrya):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Ang na-normalize na gitnang sandali ng ikaapat na pagkakasunud-sunod ay nagsisilbing katangian ng peaked o flat-topped distribution ( sobra):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Halimbawa 5. Ang random na variable X ay ibinibigay ng probability density distribution

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(cases).

Maghanap ng coefficient a , mathematical expectation, variance, skewness at kurtosis.

Solusyon. Ang lugar na nililimitahan ng kurba ng pamamahagi ay katumbas ng bilang sa

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^ 3)(3))\kanan|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Dahil ang lugar na ito ay dapat na katumbas ng isa, nakita namin ang a=\frac(3)(8) . Gamit ang formula (4.2), nakita natin ang inaasahan sa matematika:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \kaliwa.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\kanan|_(0)^(2)=1,\!5.

Ang pagpapakalat ay tinutukoy ng formula (4.3). Upang gawin ito, hanapin muna natin ang mathematical na inaasahan ng parisukat ng isang random na variable:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Sa ganitong paraan,

\begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(aligned)

Gamit ang mga paunang sandali, kinakalkula namin ang mga gitnang sandali ng ikatlo at ikaapat na pagkakasunud-sunod:

\begin(aligned)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\kanan|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\kanan|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(aligned)

Mga numerical na katangian ng arithmetic mean ng n independent random variables

Hayaan x_1,x_2,\ldots,x_n- mga halaga ng random variable X na nakuha mula sa n independiyenteng pagsubok. Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay katumbas ng M(X) , at ang variance nito ay D[X] . Ang mga halagang ito ay maaaring ituring bilang mga independiyenteng random na variable X_1, X_2,\ldots,X_n na may parehong mga inaasahan at pagkakaiba sa matematika:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Ang arithmetic mean ng mga random variable na ito

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Gamit ang mga katangian ng pag-asa sa matematika at pagpapakalat ng isang random na variable, maaari nating isulat:

\begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aligned)

Lumaktaw sa susunod na seksyon
Multivariate random variable Naka-disable ang Javascript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!