Ang isa sa pinakamahalagang pangunahing konsepto ng probability theory ay ang konsepto ng random variable.

Ang isang random na variable ay isang dami na, bilang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal ng isa o isa pang halaga, at hindi alam nang maaga kung alin.

Mga halimbawa ng mga random na variable:

1) ang bilang ng mga hit na may tatlong shot;

2) ang bilang ng mga tawag na natanggap ng palitan ng telepono bawat araw;

3) hit rate na may 10 shot.

Sa lahat ng tatlong halimbawang ibinigay, ang mga random na variable ay maaaring kumuha ng hiwalay, nakahiwalay na mga halaga, na maaaring mabilang nang maaga.

Kaya, sa halimbawa 1) ang mga halagang ito ay:

sa halimbawa 2):

sa halimbawa 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Ang ganitong mga random na variable, na kumukuha lamang ng mga halaga na hiwalay sa isa't isa, na maaaring mabilang nang maaga, ay tinatawag na discontinuous o discrete random variable.

Mayroong mga random na variable ng isa pang uri, halimbawa:

1) abscissa ng punto ng epekto kapag pinaputok;

2) ang pagkakamali ng pagtimbang ng katawan sa isang analytical na balanse;

3) ang bilis ng sasakyang panghimpapawid sa oras na maabot ang isang ibinigay na altitude;

4) ang bigat ng isang butil ng trigo na kinuha nang random.

Ang mga posibleng halaga ng naturang mga random na variable ay hindi pinaghihiwalay sa bawat isa; patuloy nilang pinupunan ang isang tiyak na puwang, na kung minsan ay may malinaw na tinukoy na mga hangganan, at mas madalas - hindi tiyak, hindi malinaw na mga hangganan.

Ang ganitong mga random na variable, ang mga posibleng halaga na patuloy na pinupuno ang isang tiyak na agwat, ay tinatawag na tuluy-tuloy na random na mga variable.

Ang konsepto ng isang random na variable ay gumaganap ng isang napakahalagang papel sa teorya ng posibilidad. Kung ang "klasikal" na teorya ng probabilidad ay pangunahing gumagana sa mga kaganapan, kung gayon ang modernong teorya ng posibilidad ay mas pinipili, hangga't maaari, na gumana sa mga random na variable.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga paraan ng paglipat mula sa mga kaganapan patungo sa mga random na variable na tipikal para sa teorya ng posibilidad.

Ang isang eksperimento ay isinasagawa, bilang isang resulta kung saan ang ilang kaganapan ay maaaring lumitaw o hindi. Sa halip na isang kaganapan, maaari naming isaalang-alang ang isang random na variable , na katumbas ng 1 kung nangyari ang kaganapan, at katumbas ng 0 kung ang kaganapan ay hindi nangyari. Ang random na variable ay malinaw na hindi nagpapatuloy; mayroon itong dalawang posibleng halaga: 0 at 1. Ang random variable na ito ay tinatawag na characteristic random variable ng kaganapan. Sa pagsasagawa, madalas itong lumalabas na mas maginhawa upang gumana sa kanilang mga katangian na random na mga variable sa halip na mga kaganapan. Halimbawa, kung ang isang serye ng mga eksperimento ay ginanap, sa bawat isa kung saan posible ang paglitaw ng kaganapan, kung gayon ang kabuuang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga katangian na random na variable ng kaganapan sa lahat ng mga eksperimento. Kapag nilulutas ang maraming mga praktikal na problema, ang paggamit ng pamamaraan na ito ay nagiging napaka-maginhawa.

Sa kabilang banda, napakadalas, upang makalkula ang posibilidad ng isang kaganapan, lumalabas na maginhawa upang iugnay ang kaganapang ito sa ilang tuluy-tuloy na random na variable (o isang sistema ng tuluy-tuloy na mga variable).

Hayaan, halimbawa, ang mga coordinate ng ilang bagay O ay sukatin upang makabuo ng isang punto M na naglalarawan sa bagay na ito sa isang panorama (sweep) ng lugar. Kami ay interesado sa kaganapan na binubuo sa katotohanan na ang error R sa posisyon ng punto M ay hindi lalampas sa tinukoy na halaga (Larawan 2.4.1). Tukuyin natin ang mga random na error sa pagsukat ng mga coordinate ng object. Malinaw, ang kaganapan ay katumbas ng pagpindot sa isang random na punto M na may mga coordinate sa loob ng isang bilog na radius na nakasentro sa punto O. Sa madaling salita, para mangyari ang kaganapan, ang mga random na variable at dapat matugunan ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay walang iba kundi ang posibilidad na matupad ang hindi pagkakapantay-pantay (2.4.1). Ang posibilidad na ito ay maaaring matukoy kung ang mga katangian ng mga random na variable ay kilala.

Ang ganitong organikong koneksyon sa pagitan ng mga kaganapan at mga random na variable ay napaka katangian ng modernong teorya ng posibilidad, na, hangga't maaari, ay pumasa mula sa "scheme ng mga kaganapan" hanggang sa "scheme of random variables". Ang huling pamamaraan, kung ihahambing sa una, ay isang mas nababaluktot at unibersal na kagamitan para sa paglutas ng mga problemang nauugnay sa mga random na phenomena.

Random na halaga- ito ay isang dami na, bilang isang resulta ng karanasan, ay tumatagal ng isa sa maraming mga halaga, at ang hitsura ng isa o isa pang halaga ng dami na ito bago ang pagsukat nito ay hindi tumpak na mahulaan.

Pormal kahulugan ng matematika ang mga sumusunod: hayaang maging isang probability space, kung gayon ang isang random na variable ay isang function na nasusukat na may kinalaman sa at ang Borel σ-algebra sa . Ang probabilistikong pag-uugali ng isang hiwalay (nang independyente ng iba) na random na variable ay ganap na inilalarawan ng pamamahagi nito.

Kahulugan [baguhin]

Space ng elementarya na mga kaganapan [baguhin]

Ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan sa kaso ng paghagis ng dice

Kung ang isang die ay itinapon, kung gayon ang tuktok na mukha ay maaaring isa sa anim na mukha na may bilang ng mga tuldok mula isa hanggang anim. Ang pagkawala ng anumang mukha sa kasong ito sa teorya ng posibilidad ay tinatawag na elementarya na kaganapan, iyon ay

Ang set ng lahat ng mukha bumubuo ng puwang ng mga elementarya na kaganapan, ang mga subset nito ay tinatawag na mga random na kaganapan. Sa kaso ng isang solong roll ng isang mamatay, ang mga halimbawa ng mga kaganapan ay

Algebra ng mga kaganapan[baguhin]

Ang isang set ng mga random na kaganapan ay bumubuo ng isang event algebra kung ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

Kung, sa halip na ang pangatlong kundisyon, natutugunan nito ang isa pang kundisyon: ang pagsasama ng isang mabibilang na subfamily ng ay kabilang din sa , kung gayon ang hanay ng mga random na kaganapan ay bumubuo ng isang σ-algebra ng mga kaganapan.

Ang algebra ng mga kaganapan ay isang espesyal na kaso ng σ-algebra ng mga set.

Ang pinakamaliit sa lahat ng posibleng -algebras, na ang mga elemento ay lahat ng pagitan sa totoong linya, ay tinatawag na Borel σ-algebra sa hanay ng mga tunay na numero.

Probability [baguhin]

Kung ang bawat elementarya na kaganapan ay bibigyan ng isang numero kung saan ang kundisyon ay natutugunan:

pagkatapos ito ay isinasaalang-alang na ang mga probabilities ng elementarya kaganapan ay ibinigay. Ang posibilidad ng isang kaganapan, bilang isang mabibilang na subset ng espasyo ng mga elementarya na kaganapan, ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga pangunahing kaganapang iyon na kabilang sa kaganapang ito. Ang kinakailangan sa pagbibilang ay mahalaga, dahil kung hindi, ang kabuuan ay hindi matutukoy.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagtukoy sa posibilidad ng iba't ibang mga random na kaganapan. Halimbawa, kung ang isang kaganapan ay isang walang laman na hanay, kung gayon ang posibilidad nito ay zero:

Kung ang kaganapan ay ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan, kung gayon ang posibilidad nito ay katumbas ng isa:

Ang posibilidad ng isang kaganapan (isang subset ng espasyo ng mga elementarya na kaganapan) ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga pangunahing kaganapang iyon na kinabibilangan ng kaganapang isinasaalang-alang.

Kahulugan ng isang random variable [baguhin]

Ang isang random na variable ay isang function na nasusukat na may kinalaman sa at isang Borel σ-algebra sa .

Ang isang random na variable ay maaari ding tukuyin sa isa pang katumbas na paraan. Ang isang function ay tinatawag na isang random variable kung para sa anumang tunay na mga numero at isang set ng mga kaganapan tulad na , nabibilang .

Mga halimbawa [baguhin]

ay katumbas ng arithmetic mean ng lahat ng natanggap na halaga.

.

,

ibig sabihin, hindi tinukoy ang mathematical expectation.

Pag-uuri [baguhin]

Ang mga random na variable ay maaaring kumuha ng mga discrete, tuluy-tuloy at discrete-continuous na mga halaga. Alinsunod dito, ang mga random na variable ay inuri sa discrete, continuous at discrete-continuous (mixed).

Sa test scheme, parehong maaaring tukuyin ang isang hiwalay na random variable (one-dimensional/scalar) at isang buong sistema ng one-dimensional interrelated random variable (multidimensional/vector).

• Ang isang halimbawa ng isang mixed random variable ay ang oras ng paghihintay kapag dumaan daan sa lungsod sa isang unregulated intersection.
• Sa mga infinite scheme (discrete o tuloy-tuloy), maginhawang ilarawan ang quantitatively na simula elementaryong resulta. Halimbawa, bilang ng mga gradasyon ng mga uri ng aksidente sa pagsusuri ng mga aksidente sa kalsada; uptime ng instrumento para sa kontrol sa kalidad, atbp.
• Ang mga numerong halaga na naglalarawan sa mga resulta ng mga eksperimento ay maaaring hindi kinakailangang makilala ang mga indibidwal na resulta ng elementarya sa scheme ng pagsubok, ngunit tumutugma din sa ilang mas kumplikadong mga kaganapan.

Sa isang banda, maraming mga numerong halaga ang maaaring sabay na maiugnay sa isang pamamaraan ng pagsubok at sa mga indibidwal na kaganapan sa loob nito, na dapat na pag-aralan nang magkasama.

• Halimbawa, ang mga coordinate (abscissa, ordinate) ng ilang uri ng pagsabog ng projectile kapag nagpapaputok sa isang target sa lupa; sukatan ng sukat (haba, lapad, atbp.) ng bahagi sa ilalim ng kontrol ng kalidad; ang mga resulta ng isang medikal na pagsusuri (temperatura, presyon, pulso, atbp.) kapag nag-diagnose ng isang pasyente; data ng census (ayon sa edad, kasarian, kayamanan, atbp.).

Dahil ang mga halaga ng mga numerical na katangian ng mga scheme ng pagsubok ay tumutugma sa scheme sa ilang mga random na kaganapan (kasama ang kanilang mga tiyak na posibilidad), kung gayon ang mga halagang ito mismo ay random (na may parehong mga probabilidad). Samakatuwid, ang gayong mga katangiang pang-numero ay karaniwang tinatawag na mga random na variable. Sa kasong ito, ang pamamahagi ng mga probabilidad para sa mga halaga ng isang random na variable ay tinatawag na batas ng pamamahagi ng isang random na variable.

Paraan ng paglalarawan[baguhin]

Posibleng bahagyang magtakda ng random variable, kaya inilalarawan ang lahat ng probabilistic properties nito bilang isang hiwalay na random variable, gamit ang distribution function, probability density at characteristic function, na tinutukoy ang probabilities ng mga posibleng value nito. Ang distribution function na F(x) ay ang posibilidad na ang mga halaga ng random variable ay mas mababa sa tunay na numero x. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang posibilidad na ang halaga ng isang random na variable ay nahuhulog sa pagitan

Ang isang random na variable, sa pangkalahatan, ay maaaring kumuha ng mga halaga sa anumang masusukat na espasyo. Pagkatapos ay madalas itong tinatawag na random vector o random na elemento. Halimbawa,

Tingnan din ang [edit]

• random na proseso
• function ng pamamahagi
• Inaasahang halaga

Mga Tala [baguhin]

1. 1 2 Chernova N. I. Kabanata 1. § 2. Elementarya probability theory // Probability Theory. - Pagtuturo. - Novosibirsk: estado ng Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
2. Chernova N. I. Kabanata 3. § 1. Algebra at sigma-algebra ng mga kaganapan // Probability Theory. - Pagtuturo. - Novosibirsk: estado ng Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
3. Chernova N. I. CHAPTER 1 § 2. Elementary probability theory // Probability Theory. - Pagtuturo. - Novosibirsk: estado ng Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
4. 1 2 Chernova N. I. Kabanata 6. Random Variables at Kanilang Distribusyon § 1. Random Variables // Probability Theory. - Pagtuturo. - Novosibirsk: estado ng Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Panitikan [baguhin]

• Gnedenko B.V. Kurso sa teorya ng probabilidad. - ika-8 ed. idagdag. at tama. - M.: Editoryal URSS, 2005. - 448 p.
• Matematika encyclopedic Dictionary/ Ch. ed. Prokhorov Yu. V. - 2nd ed. - M.: "Soviet Encyclopedia", 1998. - 847 p.
• Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Statistical analysis at synthesis ng mga radio engineering device at system. - Textbook para sa mga unibersidad. - M.: Radyo at komunikasyon, 1991. - 608 p. - ISBN 5-256-00789-0
• Chernova N. I. Teorya ng Probability. - Pagtuturo. - Novosibirsk: estado ng Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Kahulugan. Ang isang random na variable ay tulad ng isang variable na, bilang resulta ng isang eksperimento, kumukuha ng anumang isang halaga mula sa hanay ng mga posibleng halaga nito, at imposibleng mahulaan kung alin bago ang eksperimento.

Ang mga random na variable ay, halimbawa, ang bilang ng mga puntos na nahuhulog kapag inihagis ang isang dice, ang bilang ng mga bisita sa parmasya sa araw, ang bilang ng mga mansanas sa isang puno, atbp.

Ang mga random na variable ay ang temperatura ng pasyente sa ilang random na piniling oras ng araw, ang masa ng isang random na piniling tablet ng ilang gamot, ang taas ng isang random na napiling mag-aaral, atbp.

TUNGKOL SA

Gayunpaman, mula sa isang matematikal na punto ng view, mayroong isang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga random na variable gaya ng, halimbawa, ang bilang ng mga bisita sa botika sa araw (sabihin natin itong random variable X 1) at ang paglaki ng isang random na napiling mag-aaral mula sa isang ilang grupo ng mga mag-aaral (value X 2), mayroong isang pangunahing pagkakaiba, ibig sabihin: para sa halaga ng X 1, maaari mong ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), habang para sa halaga ng X 2, hindi ito magagawa, dahil ang halagang ito, bilang resulta ng pagsukat, ay maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa segment , Kung saan

at - ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamababa at pinakamataas na taas ng mga mag-aaral ng grupo.

Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin - X, Y, Z, atbp., at ang kanilang mga posibleng halaga - sa pamamagitan ng kaukulang mga maliliit na titik na may mga numerical na indeks. Halimbawa, ang mga halaga ng isang random na variable x ay tinutukoy bilang mga sumusunod: x 1, x 2, x 3, atbp.

Ang konsepto ng discrete at tuloy-tuloy na random variable

Kahulugan. Ang isang random na variable ay tinatawag na discrete kung ang hanay ng lahat ng posibleng mga halaga nito ay isang may hangganan o walang hanggan, ngunit kinakailangang mabibilang na hanay ng mga halaga, ibig sabihin, tulad ng isang set, ang lahat ng mga elemento ay maaaring (kahit man lang theoretically) bilang at nakasulat sa ang angkop na pagkakasunod-sunod.

Kahulugan. Ang isang random na variable ay tinatawag na tuloy-tuloy kung ang hanay ng mga posibleng halaga nito ay ilang may hangganan o walang katapusang pagitan ng numerical axis.

Batay sa mga kahulugang ito, ang mga random na variable na nakalista sa itaas bilang ang bilang ng mga puntos na nahuhulog kapag naghahagis ng dice, ang bilang ng mga bisita sa parmasya sa araw, ang bilang ng mga mansanas bawat. tree, ay mga discrete random variable, at tulad ng temperatura ng pasyente sa isang takdang oras ng araw, ang masa ng random na piniling tablet ng ilang gamot, ang taas ng random na piniling mag-aaral, ay tuluy-tuloy na variable.

Mga discrete na random variable

Tingnan natin nang maigi discrete random variables, at, bilang panuntunan, paghigpitan namin ang aming pagsasaalang-alang sa mga random na variable kung saan ang bilang ng mga posibleng halaga ay may hangganan.

Ang pinakakumpletong impormasyon tungkol sa isang discrete random variable ay ibinibigay ng batas ng pamamahagi ng variable na ito.

Kahulugan. Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang pagsusulatan sa pagitan ng lahat ng posibleng halaga ng random variable na ito at ang kanilang mga katumbas na probabilities.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay madalas na nakatakda sa anyo ng isang dalawang-linya na talahanayan, ang unang linya ay naglilista ng lahat ng posibleng mga halaga ng variable na ito (bilang panuntunan, sa pataas na pagkakasunud-sunod), at ang pangalawa. - ang mga probabilidad na naaayon sa mga halagang ito\u200b\u200bTalahanayan 1:

Halimbawa 2 Mayroong sampung pangkat ng mag-aaral na may 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 at 11 na mag-aaral ayon sa pagkakabanggit. Sumulat ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable X, na tinukoy bilang ang bilang ng mga mag-aaral sa isang random na napiling grupo.

Solusyon. Ang mga posibleng halaga ng itinuturing na random na variable X ay ang mga sumusunod (sa pataas na pagkakasunud-sunod):

8, 9, 10, 11 at 12.

Dahil ang random variable X ay kumukuha ng value na 8, kung ang random na napiling grupo ay isang grupo ng 8 estudyante (tawagin natin itong event A), ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value.
, ay katumbas ng posibilidad ng random na kaganapang ito:
.

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan A alinsunod sa klasikal na kahulugan ng posibilidad ay
dahil sa 10 grupo, dalawa ang may tig-8 na estudyante.

Kaya, para sa posibilidad ng isang halaga, nakukuha namin ang:

.

Katulad nito, mahahanap mo ang mga probabilidad ng natitirang mga halaga ng random variable X:

na nagpapahintulot sa amin na bumuo ng nais na batas sa pamamahagi (Talahanayan 2):

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaari ding tukuyin gamit ang isang formula na nagbibigay-daan para sa bawat posibleng halaga ng variable na ito upang matukoy ang katumbas na probabilidad.

Mga discrete at tuluy-tuloy na random variable

Bilang isang patakaran, sa paggawa ng mga produkto, ang proseso ng paggawa nito ay naiimpluwensyahan ng maraming iba't ibang mga kadahilanan, bilang isang resulta kung saan mayroong isang scatter sa mga halaga ng mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng produkto. Kaya, ang mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng mga ginawang produkto o serbisyo ay dapat isaalang-alang bilang mga random na variable.

Random variable ang naturang halaga ay tinatawag, na, bilang resulta ng mga pagsubok sa loob ng isang tiyak na agwat, ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga numerical na halaga (ayon sa STB GOST R 50779.10, ang isang random na variable ay isang variable na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa isang naibigay na hanay ng mga halaga at kung saan ang isang probability distribution ay nauugnay.).

Mga discrete na random variable ay tinatawag na, bilang isang resulta ng mga pagsubok, maaari lamang kumuha ng hiwalay, nakahiwalay na mga halaga at hindi maaaring kumuha ng mga halaga sa pagitan ng mga ito. Halimbawa, ang bilang ng mga hindi magandang bahagi sa isang batch ay maaari lamang maging isang positibong integer 1, 2, 3, atbp., ngunit hindi maaaring maging 1.3; 1.7 atbp.

Patuloy na random variable ang naturang halaga ay tinatawag, na, bilang isang resulta ng mga pagsubok, ay maaaring kumuha ng anumang mga numerong halaga mula sa isang tuluy-tuloy na serye ng kanilang mga posibleng halaga sa loob ng isang tiyak na agwat.

Halimbawa, ang mga aktwal na dimensyon ng mga makinang bahagi ay mga random na variable ng tuluy-tuloy na uri, dahil maaari silang kumuha ng anumang numerical na halaga sa loob ng ilang partikular na limitasyon.

Ang mga posibilidad ng mga random na variable na kumuha ng ilang mga numerong halaga sa panahon ng mga pagsubok ay sinusuri gamit ang mga probabilidad.

Ang hanay ng mga halaga ng mga random na variable na nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod na may indikasyon ng kanilang mga probabilidad para sa bawat isa sa mga halaga ay tinatawag pamamahagi ng mga random na variable (ayon sa STB GOST R Ang pamamahagi ng 50779.10 ay isang function na tumutukoy sa posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha sa isang naibigay na halaga o mapapabilang sa isang ibinigay na hanay ng mga halaga).

Ang pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring ipakita sa tabular, graphical na anyo at sa tulong ng mga istatistikal na pagtatantya.

Kapag ipinakita ang distribusyon ng isang random na variable sa tabular form, ang bawat numero ng unit ng produkto na pinag-aaralan (numero ng pagsukat) ay tumutugma sa halaga ng indicator ng kalidad para sa unit ng produktong ito (resulta ng pagsukat).

Kapag ipinakita ang pamamahagi ng isang random na variable sa isang graphical na anyo, ang isang distribution graph ay naka-plot sa mga coordinate, ang halaga ng random variable - ang probabilidad (frequency, frequency) ng halaga ng random variable.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng distribusyon ng discrete at tuloy-tuloy na random variable.

Figure - Graph ng distribusyon ng isang discrete random variable

Figure - Graph ng distribusyon ng tuluy-tuloy na random variable

May mga teoretikal at empirikal na distribusyon ng mga random na variable. Sa mga teoretikal na pamamahagi, ang pagsusuri ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay isinasagawa gamit ang mga probabilities, at sa mga empirical distribution, gamit ang mga frequency o frequency na nakuha bilang resulta ng mga pagsubok.

Kaya naman, empirical distribution ng isang random variable ay isang hanay ng mga pang-eksperimentong halaga nito, na nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod, na nagsasaad ng mga frequency o frequency para sa bawat isa sa mga halaga (ayon sa STB GOST R 50779.10 pamamahagi ng dalas ay ang empirikal na ugnayan sa pagitan ng mga halaga ng isang tampok at ang mga frequency nito o ang mga relatibong frequency nito).

mesa. Isang halimbawa ng isang tabular na representasyon ng teoretikal na pamamahagi ng isang discrete random variable

Sa graphically, ang empirical distribution ng isang discrete random variable ay maaaring katawanin bilang bar chart , na nabuo sa pamamagitan ng isang hanay ng mga haligi ng pantay na lapad, na ang mga taas ay proporsyonal sa mga frequency ng mga discrete na halaga ng isang random na variable.

Figure - Bar chart ng isang discrete random variable.

Kung ang random na variable ay tuluy-tuloy, pagkatapos ay may ilang mga paghihirap na lumitaw sa pagtatanghal ng pamamahagi nito sa anyo ng isang talahanayan o graph. Samakatuwid, sa pagsasagawa, kapag nag-aaral ng mga random na variable ng isang tuluy-tuloy na uri, ang nakuha na mga halaga ay nahahati sa pantay na mga agwat upang ang halaga ng agwat ay medyo mas malaki kaysa sa error sa pagsukat ng dami sa ilalim ng pag-aaral. Pagkatapos ang mga frequency ay kinakalkula hindi sa pamamagitan ng aktwal na mga halaga ng random variable, ngunit sa pamamagitan ng mga agwat. Samakatuwid, ang talahanayan ng empirical distribution ng isang random na variable ng tuluy-tuloy na uri ay magkakaroon ng sumusunod na anyo.

mesa. Empirical na pamamahagi ng isang random na variable ng tuluy-tuloy na uri.

Halaga ng pagitan X	Ang ibig sabihin ng aritmetika	Dalas f i	Dalas m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f i = 100	m i = 1

Ang empirical distribution ng random na tuluy-tuloy na variable ay maaaring graphical na kinakatawan bilang distribution histogram, frequency polygon, o cumulative frequency polygon.

Histogram ng pamamahagi ay isang hanay ng mga nakakaantig na parihaba, ang mga base nito ay katumbas ng mga pagitan ng paghahati ng tuluy-tuloy na random variable, at ang mga lugar ay proporsyonal sa mga frequency kung saan ang mga halaga ng random variable ay nahuhulog sa mga pagitan na ito (ayon sa STB GOST R 50779.10 bar chart (distribusyon) ay isang graphical na representasyon ng frequency distribution para sa isang quantitative na katangian, na nabuo sa pamamagitan ng magkadikit na mga parihaba, ang mga base nito ay ang mga pagitan ng mga klase, at ang mga lugar ay proporsyonal sa mga frequency ng mga klase na ito).

Figure - Histogram ng distribusyon ng isang random na tuluy-tuloy na variable.

Polygon ng dalas ay isang putol na linya na nakuha sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto na ang abscissas ay katumbas ng mga midpoint ng mga pagitan ng partitioning, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga frequency.

Figure - Polygon ng mga frequency ng isang random na tuluy-tuloy na variable.

pinagsama-samang polygon mga frequency ay isang putol na linya na nakuha sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto na ang mga abscissas ay katumbas ng itaas na mga hangganan ng mga pagitan ng partisyon, at ang mga ordinate ay katumbas ng alinman sa pinagsama-samang mga frequency o pinagsama-samang mga frequency (cumulative relative frequency).

Figure - Polygon ng pinagsama-samang mga frequency ng isang random na tuloy-tuloy na halaga.

Sa teoretikal na paglalarawan ng mga random na variable ng tuluy-tuloy na uri, ginagamit ang distribution function. Ang teoretikal na pamamahagi ng isang random na tuluy-tuloy na variable ay maaaring graphical na kinakatawan bilang integral, inverse integral, differential mga function at function ng pamamahagi intensity.

Hayaang ang X ay isang random na variable, at ang x ay isang tunay na numero (na may X< х ). Kaganapan X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) ay tinatawag function ng pamamahagi mga probabilidad random variable o integral distribution function.

Para sa isang discrete random variable, ang integral distribution function na F(X) ay madaling matukoy mula sa isang table o graph.

Kaya, para sa halimbawa sa itaas ng pamamahagi ng isang discrete random variable (sa X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Ang graph ng integral distribution function ng isang discrete random variable ay magmumukhang isang step curve. Ang mga ordinate ng curve para sa anumang halaga ng X ay kumakatawan sa kabuuan ng mga probabilidad ng mga nakaraang halaga.

Figure - Integral distribution function ng isang discrete random variable

Ang posibilidad na ang isang random na variable sa panahon ng pagsubok ay nasa loob ng mga hangganan ng dalawang ibinigay na mga halaga x 1 at x 2 (x 2 > x 1) ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa lugar na ito, i.e.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Kung bumaling tayo sa halimbawa sa itaas ng pamamahagi ng isang discrete random variable, pagkatapos ay para sa x1 = 2 at x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Para sa tuluy-tuloy na random na variable, ang graph ng integral distribution function ay magmumukhang monotonically increases curve. Sa pagsasagawa, ang teoretikal na mga frequency ng pamamahagi ay tinutukoy gamit ang pinagsama-samang function ng pamamahagi.

Figure - Cumulative distribution function

tuluy-tuloy na random variable

Ang inverse cumulative distribution function ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng unity at cumulative distribution function.

Densidad ng pamamahagi (differential distribution function) Ang random variable ay tinatawag na unang derivative ng integral distribution function:

Para sa isang analytical na paglalarawan ng isang tuluy-tuloy na random na variable sa teorya ng pagiging maaasahan, ginagamit namin pag-andar ng intensity , katumbas ng ratio ng differential distribution function sa inverse integral distribution function:

Figure - Ang intensity function ng isang tuluy-tuloy na random variable.

Paksa 3.

Mga random na variable at mga function ng pamamahagi

Ang konsepto ng isang random variable.

Ang konsepto ng isang random variable

Pamamahagi ng function ng isang random na variable, ang mga katangian nito

Mga random na variable na may discrete distribution

Ang konsepto ng isang random variable na may discrete distribution

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable.

Mga halimbawa ng discrete distribution

Random na mga variable na may ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi

Ang konsepto ng isang random na variable na may ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi

Batas sa pamamahagi ng isang ganap na tuluy-tuloy na random variable. Densidad, mga katangian nito

Mga halimbawa ng ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi

Ang konsepto ng isang random na vector.

Ang konsepto ng isang random na vector

Mga independiyenteng random na variable

Pinagsamang pamamahagi ng mga random na variable

Ang konsepto ng isang random variable.

Mula nang lumitaw ang teorya ng posibilidad, ang pangunahing gawain nito ay ang pag-aralan hindi ang mga probabilistikong katangian ng mga eksperimento na may mga random na kinalabasan, ngunit ang mga numerical na dami na nauugnay sa mga eksperimentong ito, na natural na tawagan mga random na variable. Halimbawa, maaaring hindi tayo interesado sa mga pares ng mga numero sa itaas na mga mukha ng mga dice, ngunit sa kanilang kabuuan; ang bilang ng mga tagumpay o pagkabigo bago ang unang tagumpay sa Bernoulli scheme.

Kadalasan sa panitikan maaari kang makakita ng mga pagkakaiba-iba sa tema ng sumusunod na kahulugan: Random variable tinatawag na variable na, depende sa kinalabasan ng pagsusulit, ay tumatagal sa mga halaga na nakasalalay sa kaso.

Kaya, ang isang random na variable ay isang numerical value, ang halaga nito ay depende sa kung anong uri ng (elementarya) na kinalabasan ang naganap bilang isang resulta ng isang eksperimento na may random na kinalabasan. Ang hanay ng lahat ng mga halaga na maaaring kunin ng isang random na variable ay tinatawag hanay ng mga posibleng halaga ng random variable na ito.

Magbibigay kami ng mas mahigpit na kahulugan, dahil ang konsepto ng isang random na variable ay isa sa mga pangunahing konsepto na nag-uugnay sa probability theory sa mathematical analysis at bumubuo ng konseptwal na batayan ng matematikal na istatistika.

Kahulugan. Random variable ay isang function na X = X(ω) na tinukoy sa espasyo ng elementarya na mga kaganapan Ω kung saan ang kaganapan (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Kondisyon (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из A. Bilang karagdagan, sa pamamagitan ng mga kaganapan (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Magkomento. Kaya, ang isang random na variable ay isang function na ang domain ng kahulugan ay ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan Ω, at ang hanay ng mga halaga ay isang numerical set, marahil ang buong hanay ng mga tunay na numero. R.

Ang σ-algebra ng mga kaganapan A ay ang domain ng kahulugan ng probabilidad, kung isasaalang-alang natin ito bilang isang function.

Magkomento . "Ang terminong "random variable" ay medyo hindi tumpak, ang terminong "Chance function" ay magiging mas angkop, ang independent variable ay isang punto sa espasyo ng elementarya na mga kaganapan, i.e. ang kinalabasan ng isang eksperimento o isang kaso. (W. Feller "Introduction to Probability Theory", ch. IX)

Ang mga random na variable ay tinutukoy ng mga titik ng Greek alphabet:  (xi),  (ito),  o malalaking titik ng Latin alphabet X, Y, ... Isusulat namin ang mga halaga ng isang random variable bilang isang may hangganan o walang katapusang pagkakasunod-sunod x 1 ,x 2 ,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Magkomento . Nauna naming ipinakilala ang konsepto ng posibilidad na may kaugnayan sa ilang mga kaganapan. Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pakikipag-usap tungkol sa mga pag-andar. Ang pinaka-halatang kaganapan na maaaring maiugnay sa konsepto ng isang function ay ang pag-ampon nito ng ilang halaga (tiyak o kabilang sa pagitan)

Upang pag-aralan ang mga probabilistikong katangian ng isang random na variable, kinakailangang malaman ang panuntunan na nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa isang subset ng mga halaga nito. Ang anumang naturang tuntunin ay tinatawag ang batas ng probability distribution o distribution (ng probabilities) ng isang random variable.(ang salitang "probability" ay karaniwang tinanggal)

Ang pangkalahatang batas sa pamamahagi na likas sa lahat ng mga random na variable ay function ng pamamahagi.

Kahulugan. Ang buong hanay ng mga probabilidad na P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает batas ng pamamahagi ng random variable X V pangkalahatang kaso. Kadalasan, para sa kaiklian, ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay tinatawag na pamamahagi ng isang random variable.

Kahulugan. Function F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется ang distribution function ng random variable X.

Ang halaga ng function ng pamamahagi sa puntong x ay katumbas ng posibilidad ng kaganapan (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Karaniwang sinasabi na ang halaga ng distribution function sa puntong x ay katumbas ng posibilidad na ang random variable na X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x.

Sa geometriko, nangangahulugan ito ng sumusunod: Ang F(x) ay ang posibilidad na ang random na variable na X ay kukuha sa halagang kinakatawan ng punto sa linya ng numero na matatagpuan sa kaliwa ng puntong x.

Magkomento . Tinatawag din ang distribution function integral function, o integral na batas distribusyon ng random variable X

Ang distribution function ay may mga sumusunod ari-arian:

0≤ F(x)≤1 (dahil sa kahulugan, ang distribution function ay isang probabilidad)

F(x 1) ≤ F(x 2) para sa x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 bilang x → - ∞ , lim F(x) = 1 bilang x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

Ang F(x) ay isang left continuous function, i.e. F(x) = F(x - 0), kung saan F(x - 0) = lim F(y) bilang y → x - 0 (kaliwang limitasyon)

Magkomento . Upang bigyang-diin kung saang random na variable kabilang ang distribution function na F(x), minsan ang function na ito ay itinatalaga ng isang subscript na nagsasaad ng isang partikular na random variable. Halimbawa, F X (x) = P (X< х}

Magkomento. Sa ilang publikasyon, ang distribution function ay tinukoy bilang F(x) = P(X ≤ x). Ang gayong kahulugan ay hindi nagbabago ng anuman sa kakanyahan ng konsepto ng pagpapaandar ng pamamahagi, tanging ang huli, ikalimang ari-arian ang nagbabago. Ang function sa kasong ito ay lumalabas na right-continuous.

Digression: "Ano ang isang function?"

Bigyan tayo ng dalawang set X at Y, at ang Y ay isang set ng numero. At hayaang ibigay ang panuntunan f, ayon sa kung saan ang bawat elemento (punto) ng set X ay nauugnay sa (isa at isa lamang) elemento (numero) ng set Y. Ang panuntunan f kasama ng mga set X at Y ay tumutukoy sa tungkulin f. Ang notasyong y=f(x) ay nangangahulugan na ang panuntunang f ay inilapat sa ilang puntong x ng set X, at bilang resulta ay nakakuha kami ng puntong y mula sa set na Y. Ang X ay tinatawag na argumento (independent variable), at y ay ang halaga (dependent variable) ng function f sa puntong X. Ang set X ay tinatawag na domain ng kahulugan (setting area) ng function, sinasabi nila na ang function ay ibinigay sa set na ito, ang set Y ay tinatawag na set ng mga halaga ng function. Ang set X ay hindi kinakailangang isang set ng numero. Kaya, ang isang random na variable ay isang function na tinukoy sa isang non-numeric na espasyo ng elementarya na mga kaganapan.

RANDOM NA MGA HALAGA

Ang random na halaga ay isang dami na, bilang resulta ng pagsubok, ay kukuha sa isa at isa lamang na posibleng halaga, at kung alin ang hindi alam nang maaga.

Ang discrete ay isang random na variable na kumukuha ng hiwalay, hiwalay na posibleng mga halaga na may ilang mga probabilidad.

Ang tuluy-tuloy na variable ay isang random na variable na maaaring tumagal sa lahat ng mga halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random variable at ang kanilang mga probabilities. Ang batas na ito ay ibinigay sa anyo ng isang talahanayan, formula o graph.

Para sa mga discrete random variable, isa sa pinakakaraniwan ay ang tinatawag na binomial distribution law, kung saan ang Bernoulli scheme ng pag-uulit ng mga pagsubok ay humahantong. Ang Formula (8) ay ang analytical expression ng batas na ito.

Halimbawa 11.

Ang isang mensahe ay ipinapadala sa channel ng komunikasyon gamit ang isang code na binubuo ng dalawang character. Ang posibilidad ng paglitaw ng una ay 2/3. Lumipas ang tatlong senyales. Hanapin ang batas sa pamamahagi para sa mga paglitaw ng unang tanda.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng kondisyon n=4, R=2/3, q=1/3. Mga posibleng halaga ng bilang ng mga paglitaw ng unang tanda: 0, 1, 2 at 3. Hanapin ang kanilang mga probabilidad gamit ang formula (8):

Ang batas na ito ay maaaring iharap sa anyo ng isang talahanayan

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Ang distribution function ay isang function na tumutukoy sa posibilidad na magkaroon ng random variable X bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha ng halagang mas mababa kaysa X, yan ay

Sa geometriko, nangangahulugan ito na ang isang random na variable na may posibilidad R ay kukuha sa halaga na kinakatawan sa numerical axis sa pamamagitan ng punto sa kaliwa X.

Para sa isang tuluy-tuloy na random variable, ang distribution function ay isang tuluy-tuloy na piecewise differentiable function. Ang mga pangunahing katangian ay nagmula sa kahulugan:

1. Ang mga halaga ng function ng pamamahagi ay nabibilang sa segment , i.e.

2. F(x) ay isang hindi bumababa na function, iyon ay, kung

3. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kumuha ng isang halaga na nasa pagitan [ a,b[, ay katumbas ng pagtaas ng function ng pamamahagi sa pagitan na ito

Para sa isang tuluy-tuloy na random variable, ang posibilidad ng pagtanggap ng isang solong halaga ay zero. Samakatuwid, para sa tuluy-tuloy na random variable

Halimbawa 12.

Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X kukunin ang halaga na kabilang sa segment [-1; 0.5].

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na X ay isang tuluy-tuloy na random na variable na maaaring tumagal ng isang halaga mula 0 hanggang 1.

Densidad ng probabilidad tuloy-tuloy random variable X tawagan ang unang derivative ng distribution function

function ng pamamahagi F(x) ay isa sa mga antiderivatives para sa density ng pamamahagi. Batay sa depinisyon ng density o ang differential distribution law at ang koneksyon nito sa distribution function, madaling ipakita ang mga sumusunod na katangian:

1. Ang density ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na random na variable ay isang non-negative na function

2. Probability ng pagpindot sa isang random variable X sa pagitan ay katumbas ng

(16)

3. Mula sa property 2 ay nakakakuha tayo ng expression para sa distribution function

(17)

4. Kondisyon ng normalisasyon

(18)

Halimbawa 13 discrete na halaga X ibinigay ng talahanayan

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Hanapin ang distribution function at buuin ang graph nito.

Solusyon.

1. Kung , pagkatapos , dahil X hindi maaaring mas mababa sa 2.

Sa kasong ito, sa pagitan (-¥, X) mayroon lamang isang halaga ng random variable X (X=2). kaya lang

Para sa anumang halaga ng argumento X mga function F(x), nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa pagitan (-¥, X) ay tumama sa dalawang halaga ng isang random na variable ( X=2 at X=3). Dahil ang mga pangyayari na X ay tatanggap ng mga ibinigay na halaga ay hindi pare-pareho (o X=2 o X=3), pagkatapos

4. Katulad nito, kung

Samakatuwid, magiging hitsura ang function ng pamamahagi

Bumubuo kami ng isang graph ng function ng pamamahagi

kanin. 1 - Graph ng function ng pamamahagi

discrete random variable

Halimbawa 14. Densidad ng pamamahagi ng error sa pagsukat

BATAS NG DISTRIBUSI AT MGA KATANGIAN

RANDOM NA MGA HALAGA

Random na mga variable, ang kanilang pag-uuri at mga pamamaraan ng paglalarawan.

Ang random na halaga ay isang dami na, bilang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal sa isa o ibang halaga, ngunit kung alin ang hindi alam nang maaga. Para sa isang random na variable, samakatuwid, ang mga halaga lamang ang maaaring tukuyin, kung saan ang isa ay kinakailangan bilang isang resulta ng eksperimento. Ang mga halagang ito ay tatawagin bilang posibleng mga halaga ng random variable. Dahil ang isang random variable ay quantitatively quantitatives ang random na resulta ng isang eksperimento, maaari itong ituring bilang isang quantitative na katangian ng isang random na kaganapan.

Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin, halimbawa, X..Y..Z, at ang kanilang mga posibleng halaga sa pamamagitan ng kaukulang maliliit na titik.

Mayroong tatlong uri ng mga random na variable:

discrete; Tuloy-tuloy; Magkakahalo.

discrete tinatawag ang gayong random na variable, ang bilang ng mga posibleng halaga na bumubuo ng isang mabibilang na hanay. Sa turn, ang countable set ay isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin. Ang salitang "discrete" ay nagmula sa Latin na discretus, na nangangahulugang "discontinuous, na binubuo ng magkakahiwalay na bahagi."

Halimbawa 1. Ang isang discrete random variable ay ang bilang ng mga may sira na bahagi X sa isang batch ng nfl. Sa katunayan, ang mga posibleng halaga ng random variable na ito ay isang serye ng mga integer mula 0 hanggang n.

Halimbawa 2. Ang isang discrete random variable ay ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target. Dito, tulad ng sa Halimbawa 1, ang mga posibleng halaga ay maaaring bilangin, kahit na sa limitadong kaso ang posibleng halaga ay isang walang katapusang malaking numero.

tuloy-tuloy ay tinatawag na isang random na variable, ang mga posibleng halaga na patuloy na pinupuno ang isang tiyak na agwat ng numerical axis, kung minsan ay tinatawag na agwat ng pagkakaroon ng random na variable na ito. Kaya, sa anumang may hangganang pagitan ng pag-iral, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan na malaki.

Halimbawa 3. Ang tuluy-tuloy na random variable ay ang pagkonsumo ng kuryente sa negosyo sa loob ng isang buwan.

Halimbawa 4. Ang tuluy-tuloy na random variable ay ang error sa pagsukat ng taas gamit ang isang altimeter. Ipaalam ito mula sa prinsipyo ng pagpapatakbo ng altimeter na ang error ay nasa saklaw mula 0 hanggang 2 m. Samakatuwid, ang pagitan ng pagkakaroon ng random variable na ito ay ang pagitan mula 0 hanggang 2 m.

Batas ng pamamahagi ng mga random na variable.

Ang isang random na variable ay itinuturing na ganap na tinukoy kung ang mga posibleng halaga nito ay ipinahiwatig sa numerical axis at ang batas ng pamamahagi ay itinatag.

Ang batas ng pamamahagi ng isang random variable ay tinatawag na isang relasyon na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kaukulang probabilities.

Ang isang random na variable ay sinasabing ibinahagi ayon sa isang ibinigay na batas, o napapailalim sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi. Ang isang bilang ng mga probabilidad, isang function ng pamamahagi, isang density ng posibilidad, isang katangian ng function ay ginagamit bilang mga batas sa pamamahagi.

Ang batas sa pamamahagi ay nagbibigay ng kumpletong posibleng paglalarawan ng isang random na variable. Ayon sa batas ng pamamahagi, posibleng hatulan bago maranasan kung aling mga posibleng halaga ng isang random na variable ang lilitaw nang mas madalas, at kung alin ang mas madalas.

Para sa isang discrete random variable, ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay sa anyo ng isang talahanayan, analytically (sa anyo ng isang formula) at graphically.

Ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang table (matrix), na naglilista sa pataas na pagkakasunud-sunod ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities, i.e.

Ang nasabing talahanayan ay tinatawag na isang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable. 1

Ang mga kaganapan X 1 , X 2 ,..., X n , na binubuo sa katotohanan na, bilang resulta ng pagsubok, ang random variable X ay kukuha ng mga halaga x 1 , x 2 ,... x n, ayon sa pagkakabanggit , ay hindi pare-pareho at ang tanging posible (dahil ang talahanayan ay naglilista ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable), i.e. bumuo ng isang kumpletong grupo. Samakatuwid, ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng 1. Kaya, para sa anumang discrete random variable

(Ang yunit na ito ay kahit papaano ay ipinamamahagi sa mga halaga ng random variable, kaya ang terminong "distribusyon").

Ang isang serye ng pamamahagi ay maaaring ipakita nang graphical kung ang mga halaga ng isang random na variable ay naka-plot sa kahabaan ng abscissa axis, at ang kanilang mga katumbas na probabilities kasama ang ordinate axis. Ang koneksyon ng mga nakuhang puntos ay bumubuo ng isang putol na linya, na tinatawag na polygon o polygon ng probability distribution (Fig. 1).

Halimbawa Ang lottery ay nilalaro: isang kotse na nagkakahalaga ng 5000 den. mga unit, 4 na TV na nagkakahalaga ng 250 den. unit, 5 VCR na nagkakahalaga ng 200 den. mga yunit Sa kabuuan, 1000 tiket ang naibenta para sa 7 den. mga yunit Bumuo ng batas ng pamamahagi ng mga netong panalo na natanggap ng kalahok sa lottery na bumili ng isang tiket.

Solusyon. Ang mga posibleng halaga ng random variable X - netong panalo sa bawat tiket - ay 0-7 = -7 den. mga yunit (kung hindi nanalo ang ticket), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. mga yunit (kung nanalo ang tiket sa VCR, TV o kotse, ayon sa pagkakabanggit). Dahil sa 1000 na mga tiket ang bilang ng mga hindi nanalo ay 990, at ang ipinahiwatig na mga panalo ay 5, 4 at 1, ayon sa pagkakabanggit, at gamit ang klasikal na kahulugan ng posibilidad, nakukuha natin.

Ang isang extension ng konsepto ng mga random na kaganapan, na binubuo sa hitsura ng ilang mga numerical na halaga bilang isang resulta ng isang eksperimento, ay random na halaga X.

Kahulugan. Random tinatawag nila ang isang dami na, bilang resulta ng eksperimento, ay kumukuha lamang ng isang halaga mula sa ilan sa kanilang kabuuan at na hindi alam nang maaga kung alin.

Random na halaga, halimbawa, ay isang makatwirang modelo para sa paglalarawan ng geological data, na isinasaalang-alang ang impluwensya ng iba't ibang salik sa pisikal na larangan .

Pati na rin ang resulta ng isang hiwalay na eksperimento, ang eksaktong halaga ng isang random na variable ay hindi mahulaan; ang isa ay maaari lamang magtatag ng mga istatistikal na pattern nito, i.e. matukoy ang mga posibilidad ng mga halaga ng isang random na variable. Halimbawa, mga sukat pisikal na katangian mga bato ay mga obserbasyon ng kaukulang random variable.

Kabilang sa mga random na variable na kailangang harapin ng isang geologist, dalawang pangunahing uri ang maaaring makilala: discrete at dami tuloy-tuloy.

Kahulugan. discrete Ang isang random na variable ay isa na maaaring tumagal sa isang may hangganan o walang katapusan na mabibilang na hanay ng mga halaga.

Bilang karaniwang mga halimbawa ng isang discrete random variable, maaaring mayroong lahat ng resulta ng field work, lahat ng resulta ng mga eksperimento, mga sample na dinala mula sa field, atbp.

Ang lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, i.e. , kung saan ay may hangganan o walang katapusan. Samakatuwid, masasabi ng isa iyan random na halaga ginagawang pangkalahatan ang konsepto ng isang random na kaganapan.

Hayaang makuha ang sumusunod na serye ng data sa quantitative composition ng isang partikular na lahi bilang resulta ng pananaliksik: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Isang kabuuang 20 pagsusulit ang isinagawa. Upang gawing maginhawang magtrabaho kasama ang data, binago sila: ang mga nakuha na halaga ay inayos sa pataas na pagkakasunud-sunod at ang bilang ng mga paglitaw ng bawat isa sa mga halaga ay kinakalkula. Bilang resulta, nakuha namin (Talahanayan 7.1):

Kahulugan. Ang pataas na distribusyon ng data ay tinatawag pagraranggo.

Kahulugan. Ang naobserbahang halaga ng ilang tanda ng isang random na variable ay tinatawag na variant.

Kahulugan. Ang isang serye na binubuo ng isang variant ay tinatawag serye ng pagkakaiba-iba.

Kahulugan. Ang isang pagbabago sa ilang tanda ng isang random na variable ay tinatawag iba-iba.

Kahulugan. Ang bilang na nagpapakita kung gaano karaming beses nag-iiba-iba ang isang naibigay na variant ay tinatawag na dalas at tinutukoy ng .

Kahulugan. Probability ang hitsura ng pagpipiliang ito ay katumbas ng ratio ng dalas sa kabuuang halaga ng serye ng variation

(1)

Isinasaalang-alang ang mga ipinakilalang kahulugan, muling isusulat namin ang Talahanayan 7.1.

Talahanayan 7.2. nakararanggo na hilera

Pagpipilian	1	2	3	4	5	6
Dalas	3	4	3	3	6	1
Probability	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

Sa istatistikal na pagsusuri Pang-eksperimentong data ang pangunahing ginagamit mga discrete na dami. Ipinapakita ng Talahanayan 7.3 ang mga pangunahing numerical na katangian ng mga dami na ito, na may malaking praktikal na kahalagahan sa pagproseso ng pang-eksperimentong data.

Talahanayan 7.3. Mga de-numerong katangian ng mga random na variable

N p / p	Katangian (parameter) ng isang random na variable at ang pagtatalaga nito	Formula para sa paghahanap ng mga katangian ng isang random na variable	Tandaan
1	Inaasahang halaga	(2)	Nailalarawan ang posisyon ng isang random na variable sa axis ng numero
2	Average na halaga	(3)	Kung ang random variable ay independyente, kung gayon
3	Fashion	Ito ang halaga kung saan ang pinakamalaki	Katumbas ng pinakamadalas na nagaganap na halaga . Kung mayroong maraming mga naturang halaga sa serye ng pagkakaiba-iba, kung gayon hindi ito tinutukoy.
4	Median	Kung kahit na, pagkatapos Kung kakaiba, kung gayon	Ito ang value na nasa gitna ng ranggo na serye.
5	Pagpapakalat		Nailalarawan ang aktwal na pagpapakalat ng isang random na variable sa paligid ng mean na halaga.
7	Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba	(6)	Kasama ng pagpapakalat ay nailalarawan ang pagkakaiba-iba ng isang random na variable
8	Nakasentro sa normalized deviation