Calculul distanțelor dintre puncte în funcție de coordonatele lor pe un plan este elementar, pe suprafața Pământului este puțin mai complicat: vom avea în vedere măsurarea distanței și a azimutului inițial dintre puncte fără transformări de proiecție. În primul rând, să înțelegem terminologia.

Introducere

Lungimea arcului de cerc mare- cea mai scurtă distanță dintre oricare două puncte situate pe suprafața sferei, măsurată de-a lungul liniei care leagă aceste două puncte (o astfel de linie se numește ortodrom) și care trece de-a lungul suprafeței sferei sau a altei suprafețe de revoluție. Geometria sferică este diferită de cea euclidiană obișnuită, iar ecuațiile de distanță iau, de asemenea, o formă diferită. În geometria euclidiană, cea mai scurtă distanță dintre două puncte este o linie dreaptă. Pe o sferă, nu există linii drepte. Aceste linii de pe sferă fac parte din cercuri mari - cercuri ale căror centre coincid cu centrul sferei. Azimut inițial- azimutul, care, la pornirea din punctul A, urmând cercul mare pe cea mai scurtă distanță până la punctul B, punctul final va fi punctul B. La trecerea din punctul A în punctul B de-a lungul liniei cercului mare, azimutul de la punctul B. poziția curentă până la punctul final B este constantă se schimbă. Azimutul inițial este diferit de unul constant, în urma căruia azimutul de la punctul curent la cel final nu se modifică, dar traseul nu este distanța cea mai scurtă dintre două puncte.

Prin oricare două puncte de pe suprafața sferei, dacă nu sunt direct opuse unul față de celălalt (adică nu sunt antipozi), se poate trasa un cerc mare unic. Două puncte împart cercul cel mare în două arce. Lungimea unui arc scurt este cea mai scurtă distanță dintre două puncte. Un număr infinit de cercuri mari pot fi desenate între două puncte antipode, dar distanța dintre ele va fi aceeași pe orice cerc și egală cu jumătate din circumferința cercului, sau π*R, unde R este raza sferei.

Pe un plan (într-un sistem de coordonate dreptunghiular), cercurile mari și fragmentele lor, așa cum am menționat mai sus, sunt arce în toate proiecțiile, cu excepția celei gnomonice, unde cercurile mari sunt linii drepte. În practică, aceasta înseamnă că avioanele și alte transporturi aeriene folosesc întotdeauna traseul distanței minime dintre puncte pentru a economisi combustibil, adică zborul se efectuează pe distanța unui cerc mare, în avion arată ca un arc.

Forma Pământului poate fi descrisă ca o sferă, astfel încât ecuațiile distanței cercului mare sunt importante pentru calcularea distanței celei mai scurte dintre punctele de pe suprafața Pământului și sunt adesea folosite în navigație. Calcularea distanței prin această metodă este mai eficientă și în multe cazuri mai precisă decât calcularea acesteia pentru coordonatele proiectate (în sistemele de coordonate dreptunghiulare), deoarece, în primul rând, pentru aceasta nu este necesară traducerea coordonatelor geografice într-un sistem de coordonate dreptunghiulare (efectuați proiecția transformări) și, în al doilea rând, multe proiecții, dacă sunt alese incorect, pot duce la distorsiuni semnificative de lungime datorită naturii distorsiunilor de proiecție. Se știe că nu o sferă, ci un elipsoid descrie forma Pământului mai precis, totuși, acest articol discută despre calculul distanțelor pe o sferă, pentru calcule se folosește o sferă cu o rază de 6372795 de metri, ceea ce poate duce la o eroare în calcularea distanțelor de ordinul a 0,5%.

Formule

Există trei moduri de a calcula distanța sferică a unui cerc mare. 1. Teorema cosinusului sfericÎn cazul distanțelor mici și al adâncimii de biți de calcul mici (număr de zecimale), utilizarea formulei poate duce la erori semnificative de rotunjire. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitudinea și longitudinea a două puncte în radiani Δλ - diferența de coordonate de longitudine Δδ - diferența unghiulară Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Pentru a converti distanța unghiulară în metrică, trebuie să înmulțiți diferența unghiulară după raza Pământului (6372795 metri), unitățile distanței finale vor fi egale cu unitățile în care se exprimă raza (în acest caz, metri). 2. Formula Havesine Folosit pentru a evita problemele la distanțe scurte. 3. Modificare pentru antipode Formula anterioară este, de asemenea, supusă problemei antipodului, pentru a o rezolva, se folosește următoarea modificare.

Implementarea mea în PHP

// Raza Pământului define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distanța dintre două puncte * $φA, $λA - latitudinea, longitudinea primului punct, * $φB, $λB - latitudinea, longitudinea celui de-al doilea punct * Bazat pe http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ function calculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // convertiți coordonatele în radiani $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $lung1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinus și sinusuri ale diferențelor de latitudini și longitudine $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // calcule lungimea cercului mare $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Exemplu de apel de funcție: $lat1 = 77.1539; $lung1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $lung2 = -139,55; echo calculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . „metri”; // Returnează „17166029 metri”

Rezolvarea problemelor de matematică pentru elevi este adesea însoțită de multe dificultăți. A ajuta studentul să facă față acestor dificultăți, precum și a-l învăța cum să-și aplice cunoștințele teoretice în rezolvarea unor probleme specifice în toate secțiunile cursului disciplinei „Matematică” este scopul principal al site-ului nostru.

Începând să rezolve probleme pe această temă, elevii ar trebui să fie capabili să construiască un punct pe un plan în funcție de coordonatele acestuia, precum și să găsească coordonatele unui punct dat.

Calculul distanței dintre două puncte luate pe planul A (x A; y A) și B (x B; y B) se realizează prin formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), unde d este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe plan.

Dacă unul dintre capetele segmentului coincide cu originea, iar celălalt are coordonatele M (x M; y M), atunci formula de calcul al lui d va lua forma OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Calcularea distanței dintre două puncte având în vedere coordonatele acestor puncte

Exemplul 1.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele A(2; -5) și B(-4; 3) pe planul de coordonate (Fig. 1).

Soluţie.

Este dată starea problemei: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 și y B = 3. Aflați d.

Aplicând formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), obținem:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Calcularea coordonatelor unui punct care este echidistant de trei puncte date

Exemplul 2

Aflați coordonatele punctului O 1, care este echidistant de cele trei puncte A(7; -1) și B(-2; 2) și C(-1; -5).

Soluţie.

Din formularea condiției problemei rezultă că O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Fie punctul dorit O 1 să aibă coordonatele (a; b). Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Compunem un sistem de două ecuații:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

După pătrarea stângii şi părțile potrivite ecuatii scriem:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Simplificand, scriem

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

După ce am rezolvat sistemul, obținem: a = 2; b = -1.

Punctul O 1 (2; -1) este echidistant de cele trei puncte date în condiția care nu se află pe o singură linie dreaptă. Acest punct este centrul unui cerc care trece prin trei puncte date. (Fig. 2).

3. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la o distanță dată de acest punct

Exemplul 3

Distanța de la punctul B(-5; 6) la punctul A situat pe axa x este 10. Găsiți punctul A.

Soluţie.

Din formularea condiției problemei rezultă că ordonata punctului A este zero și AB = 10.

Notând abscisa punctului A prin a, scriem A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Obținem ecuația √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificand-o, avem

a 2 + 10a - 39 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații a 1 = -13; și 2 = 3.

Obținem două puncte A 1 (-13; 0) și A 2 (3; 0).

Examinare:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ambele puncte obținute se potrivesc cu starea problemei (Fig. 3).

4. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la aceeași distanță de două puncte date

Exemplul 4

Găsiți un punct pe axa Oy care se află la aceeași distanță de punctele A (6; 12) și B (-8; 10).

Soluţie.

Fie coordonatele punctului cerut de condiția problemei, situat pe axa Oy, O 1 (0; b) (în punctul situat pe axa Oy, abscisa este egală cu zero). Rezultă din condiția că O 1 A \u003d O 1 V.

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Avem ecuația √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) sau 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

După simplificare, obținem: b - 4 = 0, b = 4.

Solicitat de condiția punctului problemă O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Calcularea coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță de axele de coordonate și de un punct dat

Exemplul 5

Găsiți punctul M situat pe planul de coordonate la aceeași distanță de axele de coordonate și de punctul A (-2; 1).

Soluţie.

Punctul necesar M, ca și punctul A (-2; 1), este situat în al doilea colț de coordonate, deoarece este echidistant de punctele A, P 1 și P 2 (Fig. 5). Distanțele punctului M față de axele de coordonate sunt aceleași, prin urmare, coordonatele sale vor fi (-a; a), unde a > 0.

Din condiţiile problemei rezultă că MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

acestea. |-a| = a.

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Să facem o ecuație:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

După pătrare și simplificare, avem: a 2 - 6a + 5 = 0. Rezolvăm ecuația, găsim a 1 = 1; și 2 = 5.

Obținem două puncte M 1 (-1; 1) și M 2 (-5; 5), satisfăcând condiția problemei.

6. Calculul coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță specificată față de axa absciselor (ordonate) și din acest punct

Exemplul 6

Găsiți un punct M astfel încât distanța sa de la axa y și de la punctul A (8; 6) să fie egală cu 5.

Soluţie.

Din condiția problemei rezultă că MA = 5 și abscisa punctului M este egală cu 5. Fie ordonata punctului M egală cu b, apoi M(5; b) (Fig. 6).

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) avem:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Să facem o ecuație:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Simplificand-o, se obtine: b 2 - 12b + 20 = 0. Radacinile acestei ecuatii sunt b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Prin urmare, există două puncte care satisfac condiția problemei: M 1 (5; 2) și M 2 (5; 10).

Se știe că mulți studenți, atunci când rezolvă singuri probleme, au nevoie de consultații constante asupra tehnicilor și metodelor de rezolvare a acestora. Adesea, un elev nu poate găsi o modalitate de a rezolva o problemă fără ajutorul unui profesor. Studentul poate obține sfaturile necesare pentru rezolvarea problemelor pe site-ul nostru.

Aveti vreo intrebare? Nu sunteți sigur cum să găsiți distanța dintre două puncte dintr-un avion?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

În acest articol, vom lua în considerare modalități de a determina distanța de la un punct la un punct teoretic și pe exemplul unor sarcini specifice. Să începem cu câteva definiții.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

Distanța dintre puncte- aceasta este lungimea segmentului care le leaga, la scara existenta. Este necesar să setați scara pentru a avea o unitate de lungime pentru măsură. Prin urmare, practic problema găsirii distanței dintre puncte se rezolvă folosind coordonatele acestora pe linia de coordonate, în planul de coordonate sau spațiul tridimensional.

Date inițiale: dreapta de coordonate O x și un punct arbitrar A aflat pe ea. Un număr real este inerent în orice punct al dreptei: să fie acesta un anumit număr pentru punctul A xA, este coordonata punctului A.

În general, putem spune că estimarea lungimii unui anumit segment are loc în comparație cu segmentul luat ca unitate de lungime pe o scară dată.

Dacă punctului A corespunde unui număr real întreg, având deoparte succesiv de la punctul O la un punct de-a lungul unei linii drepte O A segmente - unități de lungime, putem determina lungimea segmentului O A prin numărul total de segmente unitare în așteptare.

De exemplu, punctul A corespunde cu numărul 3 - pentru a ajunge la el din punctul O, va fi necesar să puneți deoparte trei segmente unitare. Dacă punctul A are o coordonată de -4, segmentele individuale sunt reprezentate într-un mod similar, dar într-o direcție diferită, negativă. Astfel, în primul caz, distanța O A este 3; în al doilea caz, O A \u003d 4.

Dacă punctul A are un număr rațional ca coordonată, atunci de la origine (punctul O) lăsăm deoparte un număr întreg de segmente de unitate și apoi partea necesară. Dar din punct de vedere geometric nu este întotdeauna posibil să se facă o măsurătoare. De exemplu, pare dificil să lași deoparte fracția directă de coordonate 4 111 .

În modul de mai sus, este complet imposibil să amâni un număr irațional pe o linie dreaptă. De exemplu, când coordonata punctului A este 11 . În acest caz, este posibil să se îndrepte spre abstractizare: dacă coordonata dată a punctului A este mai mare decât zero, atunci O A \u003d x A (numărul este luat ca distanță); dacă coordonata este mai mică decât zero, atunci O A = - x A . În general, aceste afirmații sunt adevărate pentru orice număr real x A .

Rezumat: distanța de la origine la punct, care corespunde unui număr real pe linia de coordonate, este egală cu:

• 0 dacă punctul este același cu originea;

• x A dacă x A > 0 ;

• - x A dacă x A< 0 .

În acest caz, este evident că lungimea segmentului în sine nu poate fi negativă, prin urmare, folosind semnul modulului, scriem distanța de la punctul O la punctul A cu coordonatele x A: O A = x A

Afirmația corectă ar fi: distanța de la un punct la altul va fi egală cu modulul diferenței de coordonate. Acestea. pentru punctele A și B situate pe aceeași linie de coordonate în orice locație și având, respectiv, coordonatele x Ași x B: A B = x B - x A .

Date inițiale: punctele A și B situate pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu coordonatele date: A (x A , y A) și B (x B , y B) .

Să desenăm perpendiculare pe axele de coordonate O x și O y prin punctele A și B și să obținem ca rezultat punctele de proiecție: A x , A y , B x , B y . Pe baza locației punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni:

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero;

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O x (axa absciselor), atunci punctele și coincid și | A B | = | A y B y | . Deoarece distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, atunci A y B y = y B - y A , și, prin urmare, A B = A y B y = y B - y A .

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O y (axa y) - prin analogie cu paragraful anterior: A B = A x B x = x B - x A

Dacă punctele A și B nu se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, găsim distanța dintre ele derivând formula de calcul:

Vedem că triunghiul A B C este dreptunghic prin construcție. În acest caz, A C = A x B x și B C = A y B y . Folosind teorema lui Pitagora, compunem egalitatea: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , iar apoi o transformam: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Să facem o concluzie din rezultatul obținut: distanța de la punctul A la punctul B din plan este determinată prin calcul folosind formula folosind coordonatele acestor puncte

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula rezultată confirmă și afirmațiile formate anterior pentru cazurile de coincidență a punctelor sau situațiile în care punctele se află pe drepte perpendiculare pe axe. Deci, pentru cazul coincidenței punctelor A și B, egalitatea va fi adevărată: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pentru situația în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pentru cazul în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Date inițiale: sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z cu puncte arbitrare situate pe el cu coordonatele date A (x A , y A , z A) și B (x B , y B , z B) . Este necesar să se determine distanța dintre aceste puncte.

Considera caz general, când punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Desenați prin punctele A și B plane perpendiculare pe axele de coordonate și obțineți punctele de proiecție corespunzătoare: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanța dintre punctele A și B este diagonala casetei rezultate. Conform construcției măsurătorii acestei casete: A x B x , A y B y și A z B z

Din cursul geometriei se știe că pătratul diagonalei unui paralelipiped este egal cu suma pătratelor dimensiunilor sale. Pe baza acestei afirmații, obținem egalitatea: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Folosind concluziile obținute mai devreme, scriem următoarele:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Să transformăm expresia:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula pentru determinarea distantei dintre punctele din spatiu va arata asa:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula rezultată este valabilă și pentru cazurile în care:

Punctele se potrivesc;

Ele se află pe aceeași axă de coordonate sau pe o linie dreaptă paralelă cu una dintre axele de coordonate.

Exemple de rezolvare a problemelor pentru găsirea distanței dintre puncte

Exemplul 1

Date inițiale: sunt date o linie de coordonate și puncte care se află pe ea cu coordonatele date A (1 - 2) și B (11 + 2). Este necesar să se găsească distanța de la punctul de referință O la punctul A și între punctele A și B.

Soluţie

1. Distanța de la punctul de referință la punct este egală cu modulul coordonatei acestui punct, respectiv O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Distanța dintre punctele A și B este definită ca modulul diferenței dintre coordonatele acestor puncte: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Răspuns: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemplul 2

Date inițiale: dat un sistem de coordonate dreptunghiular și două puncte situate pe acesta A (1 , - 1) și B (λ + 1 , 3) ​​​​. λ este un număr real. Este necesar să găsiți toate valorile acestui număr pentru care distanța A B va fi egală cu 5.

Soluţie

Pentru a afla distanța dintre punctele A și B, trebuie să utilizați formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Înlocuind valorile reale ale coordonatelor, obținem: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Și, de asemenea, folosim condiția existentă ca A B = 5 și atunci egalitatea va fi adevărată:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Răspuns: A B \u003d 5 dacă λ \u003d ± 3.

Exemplul 3

Date inițiale: un spațiu tridimensional într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z și punctele A (1 , 2 , 3) ​​​​și B - 7 , - 2 , 4 care se află în el.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Înlocuind valorile reale, obținem: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Raspuns: | A B | = 9

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Distanța dintre două puncte dintr-un plan.
Sisteme de coordonate

Fiecare punct A al planului este caracterizat de coordonatele sale (x, y). Ele coincid cu coordonatele vectorului 0А , care iese din punctul 0 - originea.

Fie A și B puncte arbitrare ale planului cu coordonatele (x 1 y 1) și respectiv (x 2, y 2).

Atunci vectorul AB are în mod evident coordonatele (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se știe că pătratul lungimii unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor acestuia. Prin urmare, distanța d dintre punctele A și B, sau, ceea ce este același, lungimea vectorului AB, este determinată din condiția

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Formula rezultată vă permite să găsiți distanța dintre oricare două puncte ale planului, dacă numai coordonatele acestor puncte sunt cunoscute

De fiecare dată, vorbind despre coordonatele unuia sau altui punct al planului, avem în vedere un sistem de coordonate bine definit x0y. În general, sistemul de coordonate din plan poate fi ales în diferite moduri. Deci, în loc de sistemul de coordonate x0y, putem lua în considerare sistemul de coordonate x"0y", care se obține prin rotirea vechilor axe de coordonate în jurul punctului de plecare 0 în sens invers acelor de ceasornic săgeți pe colț α .

Dacă un punct al planului din sistemul de coordonate x0y avea coordonate (x, y), atunci în noul sistem de coordonate x"0y" va avea alte coordonate (x", y").

Ca exemplu, luați în considerare punctul M, situat pe axa 0x" și distanțat de punctul 0 la o distanță egală cu 1.

Evident, în sistemul de coordonate x0y, acest punct are coordonate (cos α , păcat α ), iar în sistemul de coordonate x"0y" coordonatele sunt (1,0).

Coordonatele oricăror două puncte ale planului A și B depind de modul în care sistemul de coordonate este stabilit în acest plan. Dar distanța dintre aceste puncte nu depinde de modul în care este specificat sistemul de coordonate. Vom folosi în mod esențial această circumstanță importantă în secțiunea următoare.

Exerciții

I. Găsiți distanțe între punctele planului cu coordonate:

1) (3,5) și (3,4); 3) (0,5) și (5, 0); 5) (-3,4) și (9, -17);

2) (2, 1) și (- 5, 1); 4) (0,7) și (3,3); 6) (8, 21) și (1, -3).

II. Aflați perimetrul unui triunghi ale cărui laturi sunt date de ecuațiile:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 și y = 1.

III. În sistemul de coordonate x0y, punctele M și N au coordonatele (1, 0) și respectiv (0,1). Găsiți coordonatele acestor puncte în noul sistem de coordonate, care se obține și prin rotirea axelor vechi în jurul punctului de plecare cu un unghi de 30° în sens invers acelor de ceasornic.

IV. În sistemul de coordonate x0y, punctele M și N au coordonatele (2, 0) și (\ / 3/2, respectiv - 1/2). Găsiți coordonatele acestor puncte în noul sistem de coordonate, care se obține prin rotirea axelor vechi în jurul punctului de plecare cu un unghi de 30° în sensul acelor de ceasornic.

Rezolvarea problemelor de matematică pentru elevi este adesea însoțită de multe dificultăți. A ajuta studentul să facă față acestor dificultăți, precum și a-l învăța cum să-și aplice cunoștințele teoretice în rezolvarea unor probleme specifice în toate secțiunile cursului disciplinei „Matematică” este scopul principal al site-ului nostru.

Începând să rezolve probleme pe această temă, elevii ar trebui să fie capabili să construiască un punct pe un plan în funcție de coordonatele acestuia, precum și să găsească coordonatele unui punct dat.

Calculul distanței dintre două puncte luate pe planul A (x A; y A) și B (x B; y B) se realizează prin formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), unde d este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe plan.

Dacă unul dintre capetele segmentului coincide cu originea, iar celălalt are coordonatele M (x M; y M), atunci formula de calcul al lui d va lua forma OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Calcularea distanței dintre două puncte având în vedere coordonatele acestor puncte

Exemplul 1.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele A(2; -5) și B(-4; 3) pe planul de coordonate (Fig. 1).

Soluţie.

Este dată starea problemei: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 și y B = 3. Aflați d.

Aplicând formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), obținem:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Calcularea coordonatelor unui punct care este echidistant de trei puncte date

Exemplul 2

Aflați coordonatele punctului O 1, care este echidistant de cele trei puncte A(7; -1) și B(-2; 2) și C(-1; -5).

Soluţie.

Din formularea condiției problemei rezultă că O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Fie punctul dorit O 1 să aibă coordonatele (a; b). Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Compunem un sistem de două ecuații:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

După ce punem la pătrat părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor, scriem:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Simplificand, scriem

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

După ce am rezolvat sistemul, obținem: a = 2; b = -1.

Punctul O 1 (2; -1) este echidistant de cele trei puncte date în condiția care nu se află pe o singură linie dreaptă. Acest punct este centrul unui cerc care trece prin trei puncte date. (Fig. 2).

3. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la o distanță dată de acest punct

Exemplul 3

Distanța de la punctul B(-5; 6) la punctul A situat pe axa x este 10. Găsiți punctul A.

Soluţie.

Din formularea condiției problemei rezultă că ordonata punctului A este zero și AB = 10.

Notând abscisa punctului A prin a, scriem A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Obținem ecuația √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificand-o, avem

a 2 + 10a - 39 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații a 1 = -13; și 2 = 3.

Obținem două puncte A 1 (-13; 0) și A 2 (3; 0).

Examinare:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ambele puncte obținute se potrivesc cu starea problemei (Fig. 3).

4. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la aceeași distanță de două puncte date

Exemplul 4

Găsiți un punct pe axa Oy care se află la aceeași distanță de punctele A (6; 12) și B (-8; 10).

Soluţie.

Fie coordonatele punctului cerut de condiția problemei, situat pe axa Oy, O 1 (0; b) (în punctul situat pe axa Oy, abscisa este egală cu zero). Rezultă din condiția că O 1 A \u003d O 1 V.

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Avem ecuația √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) sau 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

După simplificare, obținem: b - 4 = 0, b = 4.

Solicitat de condiția punctului problemă O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Calcularea coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță de axele de coordonate și de un punct dat

Exemplul 5

Găsiți punctul M situat pe planul de coordonate la aceeași distanță de axele de coordonate și de punctul A (-2; 1).

Soluţie.

Punctul necesar M, ca și punctul A (-2; 1), este situat în al doilea colț de coordonate, deoarece este echidistant de punctele A, P 1 și P 2 (Fig. 5). Distanțele punctului M față de axele de coordonate sunt aceleași, prin urmare, coordonatele sale vor fi (-a; a), unde a > 0.

Din condiţiile problemei rezultă că MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

acestea. |-a| = a.

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Să facem o ecuație:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

După pătrare și simplificare, avem: a 2 - 6a + 5 = 0. Rezolvăm ecuația, găsim a 1 = 1; și 2 = 5.

Obținem două puncte M 1 (-1; 1) și M 2 (-5; 5), satisfăcând condiția problemei.

6. Calculul coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță specificată față de axa absciselor (ordonate) și din acest punct

Exemplul 6

Găsiți un punct M astfel încât distanța sa de la axa y și de la punctul A (8; 6) să fie egală cu 5.

Soluţie.

Din condiția problemei rezultă că MA = 5 și abscisa punctului M este egală cu 5. Fie ordonata punctului M egală cu b, apoi M(5; b) (Fig. 6).

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) avem:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Să facem o ecuație:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Simplificand-o, se obtine: b 2 - 12b + 20 = 0. Radacinile acestei ecuatii sunt b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Prin urmare, există două puncte care satisfac condiția problemei: M 1 (5; 2) și M 2 (5; 10).

Se știe că mulți studenți, atunci când rezolvă singuri probleme, au nevoie de consultații constante asupra tehnicilor și metodelor de rezolvare a acestora. Adesea, un elev nu poate găsi o modalitate de a rezolva o problemă fără ajutorul unui profesor. Studentul poate obține sfaturile necesare pentru rezolvarea problemelor pe site-ul nostru.

Aveti vreo intrebare? Nu sunteți sigur cum să găsiți distanța dintre două puncte dintr-un avion?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.