Jos etsit tältä sivulta vain Simpson-menetelmää, suosittelen, että luet ensin oppitunnin alun ja katsot ainakin ensimmäisen esimerkin. Siitä syystä, että monet ideat ja tekniikat ovat samanlaisia kuin puolisuunnikkaan menetelmä.
Aloitetaan jälleen yleisestä kaavasta
Tarkastellaan tarkkaa integraalia , jossa on segmentillä jatkuva funktio. Jaetaan segmentti jopa määrä yhtä suuri segmenttejä. Parillinen määrä segmenttejä on merkitty .
Käytännössä segmentit voivat olla:
kaksi:
neljä:
kahdeksan:
kymmenen:
kaksikymmentä:
Muita vaihtoehtoja en muista.
Huomio! Numero ymmärretään YKSI NUMERONA. Tuo on, SE ON KIELLETTY vähentää esimerkiksi kahdella, saamalla . Äänite vain tarkoittaa että segmenttien lukumäärä tasaisesti. Eikä leikkauksista ole puhuttavaa.
Joten osiomme näyttää tältä:
Termit ovat samanlaiset kuin puolisuunnikkaan muotoisessa menetelmässä:
Pisteitä kutsutaan solmut.
Simpsonin kaava määrätyn integraalin likimääräistä laskemista varten on seuraava muoto:
missä:
- kunkin pienen segmentin pituus tai askel;
ovat integrandin arvot pisteissä .
Yksityiskohtaisesti tätä kasaamista analysoin kaavaa yksityiskohtaisemmin:
on integrandin ensimmäisen ja viimeisen arvon summa;
on jäsenten summa jopa indeksit kerrottuna kahdella;
on jäsenten summa outo indeksi kerrotaan 4:llä.
Esimerkki 4
Laske likimääräinen integraali Simpsonin kaavalla lähimpään 0,001:een. Jakaminen aloitetaan kahdella segmentillä 
Integraalia, muuten, ei taaskaan oteta.
Ratkaisu: Kiinnitän heti huomion tehtävän tyyppiin - on tarpeen laskea tarkka integraali tietyllä tarkkuudella. Mitä tämä tarkoittaa, on jo kommentoitu artikkelin alussa, samoin kuin edellisen kappaleen konkreettisia esimerkkejä. Mitä tulee puolisuunnikkaan muotoiseen menetelmään, on olemassa kaava, jonka avulla voit välittömästi määrittää tarvittavan määrän segmenttejä ("en"-arvo) vaaditun tarkkuuden takaamiseksi. On totta, että meidän on löydettävä neljäs derivaatta ja ratkaistava äärimmäinen ongelma. Kuka ymmärsi mitä tarkoitan ja arvioi työn määrän, hän hymyili. Tässä ei kuitenkaan ole naurettavaa, tällaisen integrandin neljännen johdannaisen löytäminen ei ole enää megabotaani, vaan kliininen psykopaatti. Siksi käytännössä käytetään lähes aina yksinkertaistettua menetelmää virheen arvioimiseksi.
Alamme päättää. Jos meillä on kaksi osio segmenttiä, solmut ovat yksi vielä: . Ja Simpsonin kaava on erittäin kompakti: 
Lasketaan osion vaihe: 
Täytetään laskentataulukko:
Vielä kerran kommentoin taulukon täyttöä:
Yläriville kirjoitetaan indeksien "laskuri".
Toiselle riville kirjoitamme ensin integroinnin alarajan ja lisäämme sitten peräkkäin vaiheen.
Kolmannelle riville syötetään integrandin arvot. Esimerkiksi jos , niin . Kuinka monta desimaalin tarkkuutta on jätettävä? Itse asiassa ehto taas ei kerro tästä mitään. Periaate on sama kuin puolisuunnikkaan menetelmässä, tarkastelemme vaadittua tarkkuutta: 0,001. Ja lisää vielä 2-3 numeroa. Toisin sanoen sinun on pyöristettävä 5-6 desimaalin tarkkuudella.
Tuloksena:
Ensimmäinen tulos on saatu. Nyt kaksinkertainen segmenttien lukumäärä enintään neljä: . Simpsonin kaava tälle osiolle on seuraavanlainen:
Lasketaan osion vaihe: 
Täytetään laskentataulukko: 
Tällä tavalla:
Arvioimme virheen:
Virhe on suurempi kuin vaadittu tarkkuus: 
, joten sinun on kaksinkertaistettava segmenttien määrä uudelleen: .
Simpsonin kaava kasvaa harppauksin:
Lasketaan askel: 
Täytetään taulukko uudelleen:
Tällä tavalla: 
Huomaa, että tässä on toivottavaa kuvata laskelmia yksityiskohtaisemmin, koska Simpsonin kaava on melko hankala, ja jos lyö heti:
, niin tämä viina näyttää hakkerilta. Ja yksityiskohtaisemmalla tallennuksella opettaja saa suotuisan vaikutelman, että olet tunnollisesti pyyhkinyt mikrolaskimen näppäimet reilun tunnin ajan. Yksityiskohtaiset laskelmat "koville" tapauksille ovat läsnä laskimessani.
Arvioimme virheen:
Virhe on pienempi kuin vaadittu tarkkuus: 
. Jää vielä ottaa tarkin likiarvo , pyöristää se kolmen desimaalin tarkkuudella ja kirjoittaa:
Vastaus: 
tarkkuudella 0,001
Esimerkki 5
Laske likimääräinen integraali Simpsonin kaavalla lähimpään 0,0001:een. Jakaminen aloitetaan kahdella segmentillä 
Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Likimääräinen esimerkki ratkaisun lopullisesta "lyhyestä" suunnittelusta ja vastauksesta oppitunnin lopussa.
Oppitunnin viimeisessä osassa tarkastelemme muutamaa yleisempää esimerkkiä.
Esimerkki 6
Laske määrätyn integraalin likimääräinen arvo 
käyttämällä Simpsonin kaavaa jakamalla integrointisegmentin 10 osaan. Laskentatarkkuus 0,001.
Tämä integraali otetaan, mutta aloittelijan ei ole niin helppoa murtaa sitä, vastaavaa ratkaisutapaa tarkastellaan oppitunnin esimerkissä 5 Monimutkaiset integraalit. Likimääräisen laskennan tehtävissä integraalia ei välttämättä tarvitse ottaa pois! Uteliaat opiskelijat voivat laskea sen tarkasti ja arvioida virheen suhteessa likimääräiseen arvoon.
Ratkaisu: Kiinnitä huomiota tehtävän sanamuotoon: "Laskelmien tarkkuus on 0,001." Tämän muotoilun semanttinen vivahde viittaa siihen, että tulokset tarvitsee vain pyöristää kolmanteen desimaaliin, eikä niillä saavuteta tällaista tarkkuutta. Siten, kun sinua pyydetään ratkaisemaan tehtävä puolisuunnikkaan menetelmällä, Simpsonin menetelmällä, aina kiinnitä erityistä huomiota ehtoihin! Kiirettä, kuten tiedät, tarvitaan kirppuja metsästäessä.
Käytämme Simpsonin kaavaa:
Kymmenen jakosegmentin kohdalla askel on 
Täytetään laskentataulukko: 
Pöytä on järkevämpää tehdä kaksikerroksiseksi, jotta ei tarvitse "kutistua" ja kaikki mahtuu luettavasti muistivihkon arkille.
Laskelmat, älä ole laiska, maalaa tarkemmin: 
Vastaus: 
Ja vielä kerran korostan, että tässä ei ole kysymys tarkkuudesta. Itse asiassa vastaus ei ehkä ole, mutta suhteellisesti sanottuna. Tältä osin vastauksessa ei ole tarpeen määrittää automaattisesti "velvollisuus" -päätettä: "tarkkuudella 0,001"
Esimerkki 7
Laske lopullisen integraalin likimääräinen arvo Simpsonin kaavalla jakamalla integrointisegmentti 10 osaan. Kaikki laskelmat on suoritettava kolmannen desimaalin tarkkuudella.
Karkea versio lopullisesta suunnitelmasta ja vastaus päättyneen oppitunnin lopussa.
Myös muita menetelmiä käytetään määrätyn integraalin likimääräiseen laskemiseen. Varsinkin teoria teho sarja vakiotehtävän kanssa Määrätyn integraalin likimääräinen laskenta laajentamalla integrandi sarjaksi. Mutta tämä on toisen kurssin materiaali.
Ja nyt on aika paljastaa integraalilaskennan kauhea salaisuus. Olen luonut jo yli tusina oppituntia integraaleista, ja tämä on niin sanotusti teoria ja aiheen klassikko. Käytännössä erityisesti teknisissä laskelmissa esineiden tuomiseksi lähemmäksi todellista maailmaa lähes mahdotonta tavallisilla matemaattisilla funktioilla. Mahdotonta aivan täydellinen laskea, pinta-ala, tilavuus, tiheys, esimerkiksi asfalttipäällyste. Virhe, olkoon se kymmenestä, olkoon se sadannesta desimaalista - mutta se tulee vielä olemaan. Siksi likimääräisin laskentamenetelmin on kirjoitettu satoja raskaita tiiliä ja likimääräisiin laskelmiin on luotu vakava ohjelmisto. Klassista integraalilaskennan teoriaa käytetään itse asiassa paljon harvemmin. Mutta muuten, ilman sitä - myöskään missään!
Tämä oppitunti ei ole ennätys volyymiltaan, mutta sen luomiseen meni minulta poikkeuksellisen kauan. Korjasin materiaalia ja muokkasin artikkelin rakennetta useita kertoja, koska uusia vivahteita ja hienouksia tuli jatkuvasti esiin. Toivon, että työ ei ollut turhaa, ja se osoittautui varsin loogiselta ja helposti saavutettavaksi.
Kaikki parhaat!
Ratkaisut ja vastaukset:
Esimerkki 3:Ratkaisu:
Jaamme integraatiosegmentin 4 osaan:
Sitten puolisuunnikkaan kaava saa seuraavan muodon:
Lasketaan askel: 
Täytetään laskentataulukko:
Tarkan integraalin löytämiseksi puolisuunnikkaan menetelmällä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala jaetaan myös n suorakaiteen muotoiseen puolisuunnikkaan, joiden korkeus on h ja kanta y 1, y 2, y 3,..y n, missä n on puolisuunnikkaan luku. suorakaiteen muotoinen trapetsi. Integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan pinta-alojen summa (kuva 4).
Riisi. neljä
n - splittien lukumäärä
Puolisuunnikkaan kaavan virhe arvioidaan luvulla
Puolisuunnikkaan kaavan virhe pienenee nopeammin kasvun myötä kuin suorakaidekaavan virhe. Siksi puolisuunnikkaan kaavan avulla voit saada enemmän tarkkuutta kuin suorakaidemenetelmällä.
Simpsonin kaava
Jos jokaiselle segmenttiparille konstruoimme toisen asteen polynomin, integroimme sen segmenttiin ja käytämme integraalin additiivisuusominaisuutta, niin saadaan Simpsonin kaava.
Simpsonin menetelmässä määrätyn integraalin laskemiseksi koko integrointiväli on jaettu osaväleihin yhtä pitkä h=(b-a)/n. Osion segmenttien lukumäärä on parillinen luku. Sitten kussakin vierekkäisten osaintervallien parissa osaintegraalifunktio f(x) korvataan toisen asteen Lagrangen polynomilla (kuva 5).
Riisi. 5 Janan funktio y=f(x) korvataan 2. asteen polynomilla
Harkitse intervallin integrandia. Korvataan tämä integrandi toisen asteen Lagrangen interpolaatiopolynomilla, joka on sama kuin y= pisteissä:
Integroidaan väliin:
Esittelemme muuttujien muutoksen:
Kun otetaan huomioon korvaavat kaavat,
Integroinnin jälkeen saamme Simpsonin kaavan:
Integraalille saatu arvo osuu yhteen kaarevan puolisuunnikkaan alueen kanssa, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja pisteiden läpi kulkeva paraabeli. Janalla Simpsonin kaava näyttää tältä:
Paraabelikaavassa funktion f (x) arvon parittomissa jakopisteissä x 1, x 3, ..., x 2n-1 on kerroin 4, parillisissa pisteissä x 2, x 4, ... , x 2n-2 - kerroin 2 ja kahdessa rajapisteessä x 0 =a, x n =b - kerroin 1.
Simpsonin kaavan geometrinen merkitys: kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala funktion f(x) kaavion alla segmentillä korvataan likimäärin paraabelien alla olevien kuvioiden pinta-alojen summalla.
Jos funktiolla f(x) on neljännen kertaluvun jatkuva derivaatta, niin Simpsonin kaavan virheen itseisarvo on enintään
missä M- korkein arvo segmentillä. Koska n 4 kasvaa nopeammin kuin n 2, Simpsonin kaavan virhe pienenee n:n kasvaessa paljon nopeammin kuin puolisuunnikkaan kaavan virhe.
Laskemme integraalin
Tämä integraali on helppo laskea:
Otetaan n yhtä kuin 10, h=0,1, lasketaan integrandin arvot osiopisteissä sekä puolikokonaislukupisteet.
Keskimmäisten suorakulmioiden kaavan mukaan saadaan I suora = 0,785606 (virhe on 0,027%), puolisuunnikkaan kaavan I trap = 0,784981 (virhe on noin 0,054. Oikean ja vasemman suorakulmion menetelmää käytettäessä virhe on yli 3 %.
Vertaaksemme likimääräisten kaavojen tarkkuutta, laskemme jälleen integraalin
mutta nyt Simpsonin kaavalla n=4. Jaamme segmentin neljään yhtä suureen osaan pisteillä x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 ja laskemme suunnilleen arvot funktiosta f (x) \u003d 1 / (1+x) näissä pisteissä: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.
Simpsonin kaavalla saamme
Arvioidaan saadun tuloksen virhe. Integrandille f(x)=1/(1+x) meillä on: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , josta seuraa, että segmentillä . Voimme siis ottaa M=24, ja tuloksen virhe ei ylitä arvoa 24/(2880 4 4)=0,0004. Vertaamalla likimääräistä arvoa tarkkaan, päätämme, että Simpsonin kaavalla saadun tuloksen absoluuttinen virhe on pienempi kuin 0,00011. Tämä on yllä annetun virhearvion mukainen ja osoittaa lisäksi, että Simpsonin kaava on paljon tarkempi kuin puolisuunnikkaan kaava. Siksi Simpsonin kaavaa määrällisten integraalien likimääräiseen laskemiseen käytetään useammin kuin puolisuunnikkaan kaavaa.
Tässä menetelmässä ehdotetaan integrandin likiarvoa osittaisvälillä pisteiden läpi kulkevalla paraabelilla.
(x j , f(xj)), missä j = i-1; i-0.5; i eli approksimoimme integrandin toisen asteen Lagrangen interpolaatiopolynomilla:
(10.14)
Integroinnin jälkeen saamme:
(10.15)
Sitä se on simpsonin kaava
tai paraabelien kaava. Segmentillä
[a, b] Simpsonin kaava saa muodon
(10.16)
Graafinen esitys Simpsonin menetelmästä on esitetty kuvassa. 2.4.
Riisi. 10.4 Simpsonin menetelmä
Päätetään eroon lausekkeen (2.16) murto-osuuksista nimeämällä muuttujat uudelleen:
(10.17)
Sitten Simpsonin kaava saa muodon
(10.18)
Kaavan (2.18) virhe estimoidaan seuraavalla lausekkeella:
, (10.19)
missä h n = b-a, 
. Siten Simpsonin kaavan virhe on verrannollinen
O(h 4).
Kommentti. On huomattava, että Simpsonin kaavassa integrointisegmentti on välttämättä jaettu jopa intervallien määrä.
10.5. Määrällisten integraalien laskenta menetelmillä
Monte Carlo
Aiemmin käsitellyt menetelmät ovat ns deterministinen , eli vailla sattuman elementtiä.
Monte Carlon menetelmät(MMK) ovat numeerisia menetelmiä matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi simulaatiolla satunnaismuuttujia. MCM mahdollistaa todennäköisyysprosessien aiheuttamien matemaattisten ongelmien ratkaisemisen onnistuneesti. Lisäksi kun ratkaistaan ongelmia, jotka eivät liity mihinkään todennäköisyyksiin, voidaan keinotekoisesti keksiä todennäköisyysmalli (ja jopa useampi kuin yksi), joka mahdollistaa näiden ongelmien ratkaisemisen. Harkitse kiinteän integraalin laskentaa
(10.20)
Kun tätä integraalia lasketaan suorakulmioiden kaavalla, väli [ a, b] jakaa N identtiset välit, joiden keskellä laskettiin integrandin arvot. Laskemalla funktioarvot satunnaisissa solmuissa saat tarkemman tuloksen:
(10.21)
(10.22)
Tässä γ i on satunnaisluku, joka on jakautunut tasaisesti väliin
. Virhe MMK-integraalin ~ laskennassa, joka on paljon suurempi kuin aiemmin tutkituilla deterministisilla menetelmillä.
Kuvassa Kuva 2.5 esittää graafisen toteutuksen Monte Carlo -menetelmästä yhden integraalin laskemiseksi satunnaisten solmujen (2.21) ja (2.22) kanssa.
(2.23)
Riisi. 10.6. Monte Carlon integrointi (2. tapaus)
Kuten kuvasta näkyy. 2.6, integraalikäyrä on yksikköneliössä, ja jos saamme satunnaislukupareja tasaisesti jakautuneina väliin, niin saadut arvot (γ 1, γ 2) voidaan tulkita pisteen koordinaatteiksi. yksikköneliö. Sitten, jos näitä lukupareja on tarpeeksi, voimme suunnilleen olettaa sen
. Tässä S on käyrän alle jäävien pisteparien lukumäärä ja N on lukuparien kokonaismäärä.
Esimerkki 2.1. Laske seuraava integraali:
Tehtävä ratkesi erilaisia menetelmiä. Saadut tulokset on koottu taulukkoon. 2.1.
Taulukko 2.1
Kommentti. Taulukkointegraalin valinta antoi meille mahdollisuuden verrata kunkin menetelmän virhettä ja selvittää osioiden lukumäärän vaikutus laskelmien tarkkuuteen.
11 LIIKENNE EI-LINEAARISEN RATKAISUEHDOTUS
JA TRANSENDENTISET YHTÄLÖT
Integraalien laskeminen suorakulmioiden, puolisuunnikkaan kaavojen ja Simpsonin kaavan avulla. Virheiden arviointi.
Ohjeet aiheeseen 4.1:
Integraalien laskeminen suorakulmioiden kaavoilla. Virhearvio:
Monien teknisten ongelmien ratkaisu rajoittuu tiettyjen integraalien laskemiseen, joiden tarkka ilmaiseminen on vaikeaa, vaatii pitkiä laskelmia ja ei aina ole käytännössä perusteltua. Täällä niiden likimääräinen arvo on melko riittävä. Esimerkiksi sinun on laskettava alue, jota rajoittaa viiva, jonka yhtälö on tuntematon, akseli X ja kaksi ordinaattaa. Tässä tapauksessa voit korvata tämän rivin yksinkertaisemmalla, jonka yhtälö tunnetaan. Näin saadun kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala otetaan halutun integraalin likimääräiseksi arvoksi. Geometrisesti ajatuksena suorakulmioiden kaavaa käyttävän määrätyn integraalin laskentamenetelmän takana on, että kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala A 1 ABB 1 korvataan samanpintaisen suorakulmion pinta-alalla A 1 A 2 B 1 B 2, joka on keskiarvolauseen mukaan yhtä suuri kuin
Missä f(c) --- korkeus suorakulmio A 1 A 2 B 1 B 2, joka on integrandin arvo jossain välipisteessä c(a< c
Tällaista arvoa on käytännössä vaikea löytää Kanssa, jossa (b-a)f (c) olisi täsmälleen yhtä suuri kuin . Tarkemman arvon saamiseksi kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala jaetaan n suorakulmiot, joiden korkeus on yhtä suuri y 0, y 1, y 2, …,y n -1 ja säätiöt.
Jos teemme yhteenvedon suorakulmioiden alueista, jotka peittävät kaarevan puolisuunnikkaan alueen haitalla, funktio ei ole pienenevä, niin kaavan sijasta käytetään kaavaa
Jos liikaa, niin
Arvot löytyvät tasa-arvoista. Näitä kaavoja kutsutaan suorakaidekaavat ja antaa likimääräisen tuloksen. Lisäyksen kanssa n tuloksesta tulee tarkempi.
Esimerkki 1 . Laske suorakulmioiden kaavasta
Jaamme integrointivälin 5 osaan. Sitten . Laskimen tai taulukon avulla löydämme integrandin arvot (4 desimaalin tarkkuudella):
Suorakulmioiden kaavan mukaan (haittapuolena)
Toisaalta Newton-Leibnizin kaavan mukaan
Etsitään suhteellinen laskentavirhe suorakulmioiden kaavalla:
Integraalien laskeminen puolisuunnikkaan kaavoilla. Virhearvio:
Seuraavan menetelmän geometrinen merkitys integraalien likimääräiseen laskemiseen on, että löydetään suunnilleen samankokoisen "suoraviivaisen" puolisuunnikkaan pinta-ala.
Olkoon tarpeen laskea pinta-ala A 1 AmBB 1 kaareva puolisuunnikkaan muotoinen kaava .
Vaihdetaan kaari AmB sointu AB ja kaarevan puolisuunnikkaan alueen sijaan A 1 AmBB 1 laske puolisuunnikkaan pinta-ala A 1 ABB 1: 
, missä AA 1 ja BB 1 - puolisuunnikkaan pohja ja A 1 V 1 on sen korkeus.
Merkitse f(a)=A1A,f(b)=B1B. puolisuunnikkaan korkeus A 1 B 1 \u003d b-a, neliö- 
. Näin ollen 
tai
Tämä ns pieni puolisuunnikkaan muotoinen kaava.
Ongelma syntyy määrätyn integraalin numeerisessa laskennassa, joka ratkaistaan kvadratuuriksi kutsuttujen kaavojen avulla.
Muista yksinkertaisimmat numeerisen integroinnin kaavat.
Lasketaan likimääräinen numeerinen arvo. Jaamme integrointivälin [а, b] n yhtä suureen osaan jakopisteillä 
, joita kutsutaan kvadratuurikaavan solmuiksi. Olkoon solmujen arvot tiedossa 
:
Arvo 
kutsutaan integrointiväliksi tai askeleeksi. Huomaa, että -laskutoimituksissa luku i valitaan pieneksi, yleensä se ei ole suurempi kuin 10-20. Osittaisella aikavälillä 
integrandi korvataan interpolointipolynomilla
joka edustaa likimäärin funktiota f(x) tarkasteltavalla aikavälillä.
a) Säilytä sitten vain yksi ensimmäinen termi interpolointipolynomissa
Tuloksena oleva neliökaava
kutsutaan suorakulmioiden kaavaksi.
b) Säilytä sitten kaksi ensimmäistä termiä interpolointipolynomissa
(2)
Kaavaa (2) kutsutaan puolisuunnikkaan kaavaksi.
c) Integrointiväli 
jaamme parilliseen määrään 2n yhtä suureen osaan, kun taas integrointiaskel h on yhtä suuri 
. Välillä 
jonka pituus on 2h, korvaamme integrandin toisen asteen interpolaatiopolynomilla, eli pidämme polynomin kolme ensimmäistä termiä:
Tuloksena olevaa kvadratuurikaavaa kutsutaan Simpsonin kaavaksi
(3)
Kaavoilla (1), (2) ja (3) on yksinkertainen geometrinen merkitys. Suorakulmioiden kaavassa välin integrandi f(x). 
korvataan suoralla janalla y \u003d uk, yhdensuuntainen x-akselin kanssa, ja puolisuunnikkaan kaavassa - suoralla janalla 
ja lasketaan suorakulmion ja suorakulmaisen puolisuunnikkaan pinta-ala, vastaavasti, jotka sitten lasketaan yhteen. Simpsonin kaavassa välin funktio f(x). 
pituus 2h korvataan neliötrinomilla - paraabelilla 
kaarevan parabolisen puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan, sitten pinta-alat lasketaan yhteen.
PÄÄTELMÄ
Lopuksi haluaisin huomata useita edellä käsiteltyjen menetelmien soveltamisen piirteitä. Jokaisella menetelmällä määrätyn integraalin likimääräiseen ratkaisuun on hyvät ja huonot puolensa, kulloisestakin tehtävästä riippuen tulisi käyttää erityisiä menetelmiä.
Muuttujan korvausmenetelmä on yksi tärkeimmistä määrittämättömien integraalien laskentamenetelmistä. Vaikka integroimme jollain muulla menetelmällä, joudumme usein turvautumaan muuttujien muutokseen välilaskennoissa. Integroinnin onnistuminen riippuu pitkälti siitä, löytyykö niin hyvä muuttujien muutos, joka yksinkertaistaisi annettua integraalia.
Pohjimmiltaan integrointimenetelmien tutkiminen rajoittuu siihen, että selvitetään, millainen muuttujan muutos tulisi tehdä integrandin jollekin muodolle.
Tällä tavalla, jokaisen rationaalisen murto-osan integrointi pelkistyy integroimaan polynomin ja muutaman yksinkertaisen murtoluvun.
Minkä tahansa rationaalisen funktion integraali voidaan ilmaista alkeisfunktioilla lopullisessa muodossa, nimittäin:
logaritmien kautta - tyypin 1 yksinkertaisimpien murtolukujen tapauksessa;
rationaalisten funktioiden kautta - tyypin 2 yksinkertaisten murtolukujen tapauksessa
logaritmien ja arktangenttien kautta - tyypin 3 yksinkertaisten murtolukujen tapauksessa
rationaalisten funktioiden ja arktangenttien kautta - tyypin 4 yksinkertaisimpien murtolukujen tapauksessa. Universaali trigonometrinen substituutio rationalisoi aina integrandin, mutta usein se johtaa hyvin hankalia rationaalisiin murtolukuihin, joille erityisesti nimittäjän juuria on käytännössä mahdotonta löytää. Siksi, jos mahdollista, käytetään osittaisia substituutioita, jotka myös rationalisoivat integrandin ja johtavat vähemmän monimutkaisiin fraktioihin.
Newton-Leibnizin kaava on yleinen lähestymistapa määrällisten integraalien löytämiseen.
Mitä tulee määrällisten integraalien laskentamenetelmiin, ne eivät käytännössä eroa kaikista noista menetelmistä ja menetelmistä.
Sama pätee korvausmenetelmiä(muuttujan muutos), osien integrointimenetelmä, samat menetelmät antiderivaatien löytämiseksi trigonometrisille, irrationaalisille ja transsendenttisille funktioille. Ainoa erikoisuus on, että näitä tekniikoita sovellettaessa on välttämätöntä laajentaa muunnos ei vain osaintegraalifunktioon, vaan myös integroinnin rajoihin. Kun muutat integrointimuuttujaa, muista muuttaa integrointirajoja vastaavasti.
Asianmukaisesti lauseesta funktion jatkuvuusehto on riittävä ehto toiminnon integroitavuudelle. Mutta tämä ei tarkoita, että määrätty integraali olisi olemassa vain jatkuville funktioille. Integroitavien toimintojen luokka on paljon laajempi. Joten esimerkiksi on olemassa tietty funktioiden integraali, jolla on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä.
Jatkuvan funktion määrätyn integraalin laskenta Newton-Leibnizin kaavalla rajoittuu antiderivaatan löytämiseen, joka on aina olemassa, mutta ei aina ole alkeisfunktio tai funktio, jolle laaditaan taulukoita, jotka mahdollistavat arvon saamisen. integraalista. Useissa sovelluksissa integroitava funktio on annettu taulukossa, eikä Newton-Leibnizin kaava ole suoraan sovellettavissa.
Jos haluat tarkimman tuloksen, ihanteellinen simpsonin menetelmä.
Edellä tutkitusta voidaan tehdä seuraava johtopäätös, että integraalia käytetään sellaisissa tieteissä kuin fysiikka, geometria, matematiikka ja muut tieteet. Integraalin avulla lasketaan voiman työ, löydetään massakeskipisteen koordinaatit, materiaalipisteen kulkema reitti. Geometriassa sitä käytetään kappaleen tilavuuden laskemiseen, käyrän kaaren pituuden löytämiseen jne.
