Satunnaismuuttujan määritelmä. Monet satunnaiset tapahtumat voidaan kvantifioida satunnaismuuttujilla.

Satunnainen on määrä, joka saa arvoja satunnaisten olosuhteiden yhdistelmästä riippuen.

Satunnaismuuttujia ovat: potilasmäärä lääkärin vastaanotolla, opiskelijoiden määrä yleisössä, syntyneiden määrä kaupungissa, elinajanodote yksittäinen henkilö, molekyylin nopeus, ilman lämpötila, virhe jonkin arvon mittauksessa jne. Jos numeroitat uurnissa olevat pallot suunnilleen samalla tavalla kuin ne tekevät lotossa, pallon mielivaltainen poistaminen urn näyttää luvun, joka on satunnaismuuttuja.

On olemassa diskreettejä ja jatkuvia satunnaismuuttujia.

Satunnaismuuttujaa kutsutaan diskreetiksi, jos se ottaa laskettavan joukon arvoja: kirjaimien lukumäärä mielivaltaisella kirjan sivulla, elektronin energia atomissa, hiusten lukumäärä ihmisen päässä, jyvien lukumäärä tähkissä, molekyylien määrä tietyssä kaasutilavuudessa jne.

Jatkuva satunnainen arvo ottaa minkä tahansa arvon jollain aikavälillä: ruumiinlämpötila, viljamassa sisään vehnän tähkät, sen paikan koordinaatit, jossa luoti osui kohteeseen (otamme luodin aineellisena pisteenä) jne.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma. Diskreetti satunnaismuuttuja katsotaan annettuna, jos sen mahdolliset arvot ja niitä vastaavat todennäköisyydet on ilmoitettu. Merkitse diskreettiä satunnaismuuttujaa x, sen tarkoitus x 1 x 2,…., ja todennäköisyydet P(x 1)= p 1, P (x 2)= p 2 jne. Väestö X ja P:tä kutsutaan diskreetin satunnaismuuttujan jakaumaksi(Pöytä 1).

pöytä 1

Satunnaismuuttuja on urheilulajin numero pelissä "Sportlo-10". Lajeja on yhteensä 49. Ilmoita tämän satunnaismuuttujan jakauma (taulukko 3).

Taulukko 3

Merkitys 1 = 0 vastaa sellaista tapausta, jossa tapahtuma kolme kertaa peräkkäin MUTTA ei tapahtunut. Tämän monimutkaisen tapahtuman todennäköisyys todennäköisyyksien kertolaskulauseen (2.6) mukaan on yhtä suuri kuin
Merkitys minä = 1 viittaa tapaukseen, jossa tapahtuma A tapahtui yhdessä kolmesta kokeesta. Kaavalla (2.6) saadaan

Klo l = 1 tapahtuu myös kaksi muuta monimutkaista tapahtumaa: (A ja A ja A) ja (A ja A ja A), silloin on tarpeen saada todennäköisyyslisäyslausetta (2.4) käyttäen kokonaistodennäköisyys l = 1, lisää edellinen lauseke kolme kertaa:

Merkitys minä = 2 vastaa tapausta, jossa tapahtuma A tapahtui kahdessa kolmesta kokeesta. Yllä olevan kaltaisella päättelyllä saamme tämän tapauksen kokonaistodennäköisyyden:

klo 1 = 3 tapahtuma A esiintyy kaikissa kolmessa kokeessa. Todennäköisyyskertolaskua käyttämällä löydämme

AT yleinen tapaus Binomijakauma määrittää tapahtuman A toteutumisen todennäköisyyden. l kertaa klo P testit:

Pitkäaikaisten havaintojen perusteella lääkärin kutsu tiettyyn taloon on arvioitu todennäköisyydellä 0,5. Laske todennäköisyys, että kuuden päivän sisällä tulee neljä käyntiä lääkärille; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Käytämme kaavaa (2.10):

Diskreetin satunnaismuuttujan numeeriset ominaisuudet. Monissa tapauksissa satunnaismuuttujan jakauman ohella tai sen sijaan näistä suureista voidaan saada tietoa numeerisilla parametreilla ns. satunnaismuuttujan numeeriset ominaisuudet. Tarkastellaan yleisimpiä niistä.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus (keskiarvo) on sen kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa.
näiden arvojen todennäköisyyksistä:

Let suurella määrällä testejä P diskreetti satunnaismuuttuja X ottaa arvoja x v x 2,..., x n vastaavasti m 1, m g,..., t s yhden kerran. Keskiarvo on

Jos P on suuri, sitten suhteelliset taajuudet t 1 /p, t 2 /p,... on taipumus todennäköisyyksiin, ja keskiarvo - matemaattiseen odotukseen. Tästä syystä matemaattinen odotus tunnistetaan usein keskiarvoon.

Etsi diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus, joka saadaan noppaa heitettäessä reunassa olevasta numerosta (katso taulukko 2).

Käytämme kaavaa (2.11):

Etsi diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus, jonka määrää "Sportloton" levikki (katso taulukko 3). Kaavan (2.11) mukaan löydämme

Diskreetin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat hajallaan sen matemaattisen odotuksen ympärille, osa niistä ylittää M(X), osa on pienempi M(X). Kuinka arvioida satunnaismuuttujan dispersioaste suhteessa sen keskiarvoon? Saattaa vaikuttaa siltä, ​​että tällaisen ongelman ratkaisemiseksi pitäisi laskea kaikkien satunnaismuuttujien poikkeamat sen matemaattisesta odotuksesta X - M(X), ja etsi sitten näiden poikkeamien matemaattinen odotusarvo (keskiarvo): M[X - M(X)]. Ilman todisteita huomaamme, että tämä arvo on yhtä suuri kuin nolla, koska satunnaismuuttujien poikkeamilla matemaattisista odotuksista on sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Siksi on suositeltavaa ottaa huomioon joko poikkeamien absoluuttiset arvot M[X - M(X)] tai niiden neliöt M[X - M(X)]2. Toinen vaihtoehto osoittautuu edullisemmaksi, joten he tulevat käsitteeseen satunnaismuuttujan varianssista.

Satunnaismuuttujan dispersio on matemaattinen odotus satunnaismuuttujan neliöidylle poikkeamalle sen matemaattisesta odotuksesta:

Se tarkoittaa, että varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan neliön matemaattisen odotuksen välinen ero X ja sen matemaattisen odotuksen neliö.

Etsi satunnaismuuttujan varianssi, joka saadaan noppaa heitettäessä reunassa olevasta numerosta (katso taulukko 2).

Tämän jakauman matemaattinen odotusarvo on 3,5. Kirjataan satunnaismuuttujien matemaattisesta odotuksesta poikkeaman neliöt: (1 - 3.5) 2 = 6.25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Kaavan (2.12) mukaan, kun otetaan huomioon (2.11), saadaan dispersio:

Kuten kohdasta (2.12) seuraa, varianssilla on satunnaismuuttujan ulottuvuuden neliön ulottuvuus. Satunnaismuuttujan etäisyyden arvioimiseksi saman ulottuvuuden yksiköissä otetaan käyttöön käsite keskihajonta, jolla tarkoitetaan Neliöjuuri dispersiosta:

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma ja ominaisuudet. Jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voida määritellä samalla jakautumislain mukaan kuin diskreettiä. Toimi tässä tapauksessa seuraavasti.

Olkoon dP jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyys X ottaa arvot väliltä X ja X+ dx. On selvää, että Irm on enemmän intervalli dx, sitä todennäköisempää dP: dP ~ dx. Lisäksi todennäköisyyden tulee riippua myös itse satunnaisarvosta, jonka lähellä intervalli siis sijaitsee

missä f(x)- todennäköisyystiheys, tai todennäköisyysjakaumafunktio. Se näyttää kuinka intervalliin liittyvä todennäköisyys muuttuu. dx satunnaismuuttuja, riippuen itse tämän muuttujan arvosta:

Integroimalla lausekkeen (2.15) sopiviin rajoihin saadaan todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa jonkin arvon välillä (ab):

Jatkuvan satunnaismuuttujan normalisointiehdolla on muoto

Kuten kohdasta (2.19) voidaan nähdä, tämä funktio on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvoja pienempiä kuin X:

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle matemaattinen odotus ja varianssi kirjoitetaan vastaavasti muodossa

Määritelmä. Satunnaismuuttuja on sellainen muuttuja, joka kokeen tuloksena ottaa minkä tahansa arvon mahdollisista arvoistaan, ja on mahdotonta ennustaa minkä tahansa ennen koetta.

Satunnaismuuttujia ovat esimerkiksi noppaa heitettäessä putoavien pisteiden määrä, apteekin kävijöiden määrä päivän aikana, omenoiden määrä puussa jne.

Satunnaismuuttujia ovat myös potilaan lämpötila johonkin satunnaisesti valittuun vuorokaudenaikaan, satunnaisesti valitun lääkkeen tabletin massa, satunnaisesti valitun opiskelijan pituus jne.

O

Matemaattisesta näkökulmasta katsottuna on kuitenkin perustavanlaatuinen ero sellaisten satunnaismuuttujien, kuten esimerkiksi apteekkivierailujen vuorokauden aikana (merkitsimme tätä satunnaismuuttujaa X 1) ja satunnaisesti valitun opiskelijan kasvun välillä. Tietylle opiskelijaryhmälle (arvo X 2) on perustavanlaatuinen ero, nimittäin: X 1 -arvolle voit luetella kaikki sen mahdolliset arvot​ (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), kun taas X 2 -arvolle tätä ei voida tehdä, koska tämä arvo voi mittauksen tuloksena ottaa minkä tahansa arvon segmentistä , jossa

ja - vastaavasti ryhmän oppilaiden vähimmäis- ja enimmäispituus.

Satunnaismuuttujat merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla - X, Y, Z jne., ja niiden mahdolliset arvot - vastaavilla pienillä kirjaimilla numeroindekseillä. Esimerkiksi satunnaismuuttujan x arvot merkitään seuraavasti: x 1, x 2, x 3 jne.

Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien käsite

Määritelmä. Satunnaismuuttujaa kutsutaan diskreetiksi, jos sen kaikkien mahdollisten arvojen joukko on äärellinen tai ääretön, mutta välttämättä laskettava arvojoukko, eli sellainen joukko, jonka kaikki alkiot voidaan (ainakin teoreettisesti) numeroida ja kirjoittaa ulos sopiva järjestys.

Määritelmä. Satunnaismuuttujaa kutsutaan jatkuvaksi, jos sen mahdollisten arvojen joukko on jokin numeerisen akselin äärellinen tai ääretön väli.

Näiden määritelmien perusteella yllä luetellut satunnaismuuttujat kuten noppaa heittäessä putoavien pisteiden määrä, apteekkivieraiden määrä päivän aikana, omenoiden määrä per. puu, ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, ja kuten potilaan lämpötila tiettyyn aikaan vuorokaudesta, satunnaisesti valitun jonkin lääkkeen tabletin massa, satunnaisesti valitun opiskelijan pituus ovat jatkuvia muuttujia.

Diskreetit satunnaismuuttujat

Katsotaanpa tarkemmin diskreetit satunnaismuuttujat, ja pääsääntöisesti rajoitamme huomiomme sellaisiin satunnaismuuttujiin, joiden mahdollisten arvojen määrä on äärellinen.

Täydellisimmän tiedon diskreetistä satunnaismuuttujasta antaa tämän muuttujan jakautumislaki.

Määritelmä. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on tämän satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien välinen vastaavuus.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki määritetään usein kaksirivisen taulukon muodossa, jonka ensimmäisellä rivillä on lueteltu tämän muuttujan kaikki mahdolliset arvot (yleensä nousevassa järjestyksessä) ja toisella rivillä näitä taulukon 1 arvoja vastaavat todennäköisyydet:

Esimerkki 2 Opiskelijaryhmiä on kymmenen, ja niissä on 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 ja 11 opiskelijaa. Kirjoita jakautumislaki satunnaismuuttujalle X, joka määritellään opiskelijoiden lukumääränä satunnaisesti valitussa ryhmässä.

Ratkaisu. Tarkastelun satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat seuraavat (nousevassa järjestyksessä):

8, 9, 10, 11 ja 12.

Koska satunnaismuuttuja X saa arvon 8, jos satunnaisesti valittu ryhmä on 8 opiskelijan ryhmä (kutsutaanko sitä tapahtumaksi A), todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon
, on yhtä suuri kuin tämän satunnaisen tapahtuman todennäköisyys:
.

Klassisen todennäköisyysmääritelmän mukainen satunnaisen tapahtuman A todennäköisyys on
koska 10 ryhmästä kahdessa on 8 oppilasta.

Siten arvon todennäköisyydelle saamme:

.

Vastaavasti voit löytää satunnaismuuttujan X jäljellä olevien arvojen todennäköisyydet:

jonka avulla voimme laatia halutun jakautumislain (taulukko 2):

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan määrittää myös käyttämällä kaavaa, jonka avulla jokainen tämän muuttujan mahdollinen arvo määrittää vastaavan todennäköisyyden.

Diskreetit ja jatkuvat satunnaismuuttujat

Pääsääntöisesti tuotteiden valmistuksessa sen valmistusprosessiin vaikuttavat monet erilaiset tekijät, minkä seurauksena tuotteiden laatuindikaattoreiden arvot hajoavat. Näin ollen valmistettujen tuotteiden tai palvelujen laatuindikaattoreita tulee pitää satunnaismuuttujina.

Satunnaismuuttuja kutsutaan sellaista arvoa, joka tietyn aikavälin testien tuloksena voi saada erilaisia ​​numeerisia arvoja (STB GOST R 50779.10:n mukaan satunnaismuuttuja on muuttuja, joka voi saada minkä tahansa arvon tietystä arvojoukosta ja johon liittyy todennäköisyysjakauma).

Diskreetit satunnaismuuttujat kutsutaan niitä, jotka testien tuloksena voivat ottaa vain erilliset, eristettyjä arvoja eivätkä voi ottaa arvoja niiden välissä. Esimerkiksi erän huonojen osien määrä voi olla vain positiivinen kokonaisluku 1, 2, 3 jne., mutta ei 1,3; 1.7 jne.

Jatkuva satunnaismuuttuja kutsutaan sellaista arvoa, joka testien tuloksena voi ottaa mitkä tahansa numeeriset arvot niiden mahdollisten arvojen jatkuvasta sarjasta tietyn aikavälin sisällä.

Esimerkiksi koneistettujen osien todelliset mitat ovat jatkuvan tyyppisiä satunnaismuuttujia, koska ne voivat saada minkä tahansa numeerisen arvon tietyissä rajoissa.

Satunnaismuuttujien mahdollisuuksia ottaa tiettyjä numeerisia arvoja testin aikana arvioidaan todennäköisyyksien avulla.

Nousevaan järjestykseen järjestettyjen satunnaismuuttujien arvojen joukko, jossa ilmoitetaan niiden todennäköisyydet kullekin arvolle, on ns. satunnaismuuttujien jakauma (STB:n mukaan GOST R 50779.10-jakauma on funktio, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja saa tietyn arvon tai kuuluu tiettyyn arvojoukkoon).

Satunnaismuuttujan jakauma voidaan esittää taulukkomuodossa, graafisessa muodossa ja tilastollisten arvioiden avulla.

Esitettäessä satunnaismuuttujan jakauma taulukkomuodossa jokainen tutkittavan tuoteyksikön numero (mittausnumero) vastaa tämän tuoteyksikön laatuindikaattorin arvoa (mittaustulos).

Esitettäessä satunnaismuuttujan jakauma graafisessa muodossa, piirretään koordinaatteina jakautumakaavio, satunnaismuuttujan arvo - satunnaismuuttujan arvon todennäköisyys (taajuus, taajuus).

Alla oleva kuva esittää diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien jakauman kaavioita.

Kuva - Diskreetin satunnaismuuttujan jakauman kaavio

Kuva - Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman kaavio

On olemassa teoreettisia ja empiirisiä satunnaismuuttujien jakaumia. Teoreettisissa jakaumissa satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen arviointi suoritetaan todennäköisyyksien avulla ja empiirisessä jakaumassa käyttämällä taajuuksia tai testien tuloksena saatuja taajuuksia.

Näin ollen satunnaismuuttujan empiirinen jakauma on joukko sen kokeellisia arvoja, jotka on järjestetty nousevaan järjestykseen ja osoittavat kunkin arvon taajuudet tai taajuudet (STB:n mukaan GOST R 50779.10 taajuuksien jakaminen on empiirinen suhde ominaisuuden arvojen ja sen taajuuksien tai suhteellisten taajuuksien välillä).

Pöytä. Esimerkki diskreetin satunnaismuuttujan teoreettisen jakauman taulukkoesityksestä

Graafisesti diskreetin satunnaismuuttujan empiirinen jakauma voidaan esittää muodossa pylväsdiagrammi , joka muodostuu joukosta yhtä leveitä sarakkeita, joiden korkeudet ovat verrannollisia satunnaismuuttujan diskreettien arvojen taajuuksiin.

Kuva - Diskreetin satunnaismuuttujan pylväskaavio.

Jos satunnaismuuttuja on jatkuva, sen jakauman esittäminen taulukon tai kaavion muodossa aiheuttaa vaikeuksia. Siksi käytännössä jatkuvan tyyppisiä satunnaismuuttujia tutkittaessa saadut arvot jaetaan yhtä suuriin aikaväleihin siten, että välin arvo on jonkin verran suurempi kuin tutkittavan suuren mittausvirhe. Sitten taajuuksia ei lasketa satunnaismuuttujan todellisten arvojen perusteella, vaan aikavälein. Siksi jatkuvan tyyppisen satunnaismuuttujan empiirisen jakauman taulukolla on seuraava muoto.

Pöytä. Jatkuvan tyyppisen satunnaismuuttujan empiirinen jakauma.

Arvoväli X	Aritmeettinen keskiarvo	Taajuus f i	Taajuus m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f i = 100	m i = 1

Jatkuvan satunnaismuuttujan empiirinen jakauma voidaan esittää graafisesti jakauman histogrammina, taajuuspolygonina tai kumulatiivisena taajuuspolygonina.

Jakauman histogrammi on joukko koskettavia suorakulmioita, joiden kantat ovat yhtä suuret kuin jatkuvan satunnaismuuttujan jakovälit ja alueet ovat verrannollisia taajuuksiin, joilla satunnaismuuttujan arvot osuvat näihin väliin (STB:n mukaan GOST R 50779.10 pylväsdiagrammi (jakauma) on graafinen esitys kvantitatiivisen ominaisuuden taajuusjakaumasta, joka muodostuu vierekkäisistä suorakulmioista, joiden kantat ovat luokkien välit ja alueet ovat verrannollisia näiden luokkien taajuuksiin).

Kuva - Satunnaisen jatkuvan muuttujan jakauman histogrammi.

Taajuus monikulmio on katkoviiva, joka saadaan yhdistämällä pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin jakovälien keskipisteet ja ordinaatit vastaavat vastaavia taajuuksia.

Kuva - Jatkuvan satunnaismuuttujan taajuuksien monikulmio.

Monikulmio kumulatiivinen taajuuksia on katkoviiva, joka saadaan yhdistämällä pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin jakovälien ylärajat ja joiden ordinaatit ovat yhtä suuria kuin kumulatiiviset taajuudet tai kumulatiiviset taajuudet (kumulatiiviset suhteelliset taajuudet).

Kuva - Satunnaisen jatkuvan arvon kumulatiivisten taajuuksien monikulmio.

Jatkuvatyyppisten satunnaismuuttujien teoreettisissa kuvauksissa käytetään jakaumafunktiota. Jatkuvan satunnaismuuttujan teoreettinen jakauma voidaan esittää graafisesti muodossa integraali, käänteisintegraali, differentiaali jakelufunktiot ja toiminnot intensiteetti.

Olkoon X satunnaismuuttuja ja x jokin reaaliluku (ja X< х ). Tapahtuma X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X):tä kutsutaan jakelutoiminto todennäköisyydet satunnaismuuttujan tai integraalijakaumafunktio.

Diskreetille satunnaismuuttujalle integraalijakaumafunktio F(X) on helppo määrittää taulukosta tai kaaviosta.

Näin ollen yllä olevalle esimerkille diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasta (osoitteessa X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X = 2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Diskreetin satunnaismuuttujan integraalijakaumafunktion kuvaaja näyttää askelkäyrältä. Käyrän ordinaatit mille tahansa X:n arvolle edustavat aikaisempien arvojen todennäköisyyksien summaa.

Kuva - Diskreetin satunnaismuuttujan integraalijakaumafunktio

Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja on testauksen aikana kahden annetun arvon x 1 ja x 2 (x 2 > x 1) rajoissa, on yhtä suuri kuin integraalifunktion lisäys tällä alueella, ts.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Jos tarkastellaan yllä olevaa esimerkkiä diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasta, niin x1 = 2 ja x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle integraalijakaumafunktion kuvaaja näyttää monotonisesti kasvavalta käyrältä. Käytännössä teoreettiset jakautumistiheydet määritetään käyttämällä kumulatiivista jakaumafunktiota.

Kuva - Kumulatiivinen jakaumafunktio

jatkuva satunnaismuuttuja

Käänteinen kumulatiivinen jakaumafunktio on yhtä suuri kuin yksikön ja kumulatiivisen jakaumafunktion erotus.

Jakauman tiheys (differentiaalijakaumafunktio) satunnaismuuttujaa kutsutaan integraalijakaumafunktion ensimmäiseksi derivaataksi:

Jatkuvan satunnaismuuttujan analyyttiseen kuvaamiseen luotettavuusteoriassa käytämme intensiteettitoiminto , yhtä suuri kuin differentiaalijakaumafunktion suhde käänteiseen integraalijakaumafunktioon:

Kuva - Jatkuvan satunnaismuuttujan intensiteettifunktio.

Aihe 3.

Satunnaismuuttujat ja jakaumafunktiot

Satunnaismuuttujan käsite.

Satunnaismuuttujan käsite

Satunnaismuuttujan jakaumafunktio, sen ominaisuudet

Diskreetin jakauman satunnaismuuttujat

Diskreetin jakauman omaavan satunnaismuuttujan käsite

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki.

Esimerkkejä diskreeteistä jakaumista

Satunnaismuuttujat ehdottoman jatkuvalla jakautumisella

Satunnaismuuttujan käsite ehdottoman jatkuvalla jakaumalla

Absoluuttisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumislaki. Tiheys, sen ominaisuudet

Esimerkkejä täysin jatkuvista jakaumista

Satunnaisvektorin käsite.

Satunnaisvektorin käsite

Riippumattomat satunnaismuuttujat

Satunnaismuuttujien yhteisjakauma

Satunnaismuuttujan käsite.

Todennäköisyysteorian ilmaantumisen jälkeen sen päätehtävänä on ollut tutkia ei satunnaistuloksilla tehtyjen kokeiden todennäköisyysominaisuuksia, vaan näihin kokeisiin liittyviä numeerisia suureita, joita on luonnollista kutsua. satunnaismuuttujia. Emme esimerkiksi saa olla kiinnostuneita nopan yläsivuilla olevista lukupareista, vaan niiden summasta; onnistumisten tai epäonnistumisten määrä ennen ensimmäistä menestystä Bernoulli-järjestelmässä.

Usein kirjallisuudessa voit löytää muunnelmia seuraavan määritelmän teemasta: Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka testin tuloksesta riippuen saa arvot, jotka riippuvat tapauksesta.

Satunnaismuuttuja on siis numeerinen arvo, jonka arvo riippuu siitä, millainen (alkeis)tulos sattui satunnaistuloksella tehdyn kokeen tuloksena. Kutsutaan kaikkien arvojen joukko, jotka satunnaismuuttuja voi saada tämän satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko.

Annamme tarkemman määritelmän, koska satunnaismuuttujan käsite on yksi niistä keskeisistä käsitteistä, jotka yhdistävät todennäköisyysteorian matemaattiseen analyysiin ja muodostavat matemaattisten tilastojen käsitteellisen perustan.

Määritelmä. Satunnaismuuttuja on funktio X = X(ω), joka on määritetty alkeistapahtumien Ω avaruuteen, jolle tapahtuma (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Kunto (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из MUTTA. Lisäksi tapahtumien kautta (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Kommentti. Satunnaismuuttuja on siis funktio, jonka määritelmäalue on alkeistapahtumien avaruus Ω ja arvojoukko on numeerinen joukko, mahdollisesti koko reaalilukujoukko R.

Tapahtumien A σ-algebra on todennäköisyyden määritelmäalue, jos sitä tarkastellaan funktiona.

Kommentti . "Termi "satunnainen muuttuja" on hieman epätarkka, termi "satunnaisfunktio" olisi sopivampi, riippumaton muuttuja on piste alkeistapahtumien avaruudessa, ts. kokeen tai tapauksen tulos. (W. Feller "Johdatus todennäköisyysteoriaan", luku. IX)

Satunnaismuuttujat merkitään kreikkalaisten aakkosten kirjaimilla:  (xi),  (tämä),  tai latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla X, Y, ... Kirjoitamme satunnaismuuttujan arvot äärellinen tai ääretön sekvenssi x 1 ,x 2,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Kommentti . Aiemmin olemme ottaneet käyttöön todennäköisyyden käsitteen suhteessa joihinkin tapahtumiin. Siirrymme nyt puhumaan funktioista. Ilmeisin tapahtuma, joka voidaan yhdistää funktion käsitteeseen, on jonkin arvon (spesifinen tai väliin kuuluva) omaksuminen.

Satunnaismuuttujan todennäköisyysominaisuuksien tutkimiseksi on tiedettävä sääntö, jonka avulla voit löytää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja ottaa arvon arvojensa osajoukosta. Jokaista tällaista sääntöä kutsutaan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman tai (todennäköisyyksien) jakauman laki.(sana "todennäköisyys" jätetään yleensä pois)

Kaikkiin satunnaismuuttujiin kuuluva yleinen jakautumislaki on jakelutoiminto.

Määritelmä. Koko joukko todennäköisyyksiä P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает satunnaismuuttujan X jakautumislaki yleisesti. Usein lyhyyden vuoksi satunnaismuuttujan jakautumislakia kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan jakaumaksi.

Määritelmä. Funktio F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется satunnaismuuttujan X jakaumafunktio.

Jakaumafunktion arvo pisteessä x on yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Yleensä sanotaan, että jakaumafunktion arvo pisteessä x on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x.

Geometrisesti tämä tarkoittaa seuraavaa: F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon, jota edustaa pisteen x vasemmalla puolella oleva lukuviivan piste.

Kommentti . Jakaumafunktiota kutsutaan myös integraalifunktio tai satunnaismuuttujan X jakauman integraalilaki

Jakelufunktiolla on seuraava ominaisuuksia:

0≤ F(x)≤1 (koska määritelmän mukaan jakaumafunktio on todennäköisyys)

F(x 1) ≤ F(x 2) x 1:lle< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 x → - ∞ , lim F(x) = 1 x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) on vasen jatkuva funktio, ts. F(x) = F(x - 0), jossa F(x - 0) = lim F(y) kuten y → x - 0 (vasen raja)

Kommentti . Korostaakseen, mihin satunnaismuuttujaan jakaumafunktio F(x) kuuluu, tälle funktiolle annetaan joskus alaindeksi, joka ilmaisee tiettyä satunnaismuuttujaa. Esimerkiksi F X (x) = P (X< х}

Kommentti. Joissakin julkaisuissa jakaumafunktio on määritelty F(x) = P(X ≤ x). Tällainen määritelmä ei muuta mitään jakaumafunktion käsitteen olemuksessa, vain viimeinen, viides ominaisuus muuttuu. Toiminto osoittautuu tässä tapauksessa oikea-jatkuvaksi.

Poikkeama: "Mikä on funktio?"

Olkoon meille annettu kaksi joukkoa X ja Y, ja Y on lukujoukko. Ja annetaan sääntö f, jonka mukaan joukon X jokainen alkio (piste) liittyy (yhteen ja vain yhteen) joukon Y alkioon (numeroon). Sääntö f yhdessä joukkojen X ja Y kanssa määrittelee toiminto f. Merkintä y=f(x) tarkoittaa, että sääntöä f sovellettiin johonkin joukon X pisteeseen x ja tuloksena saatiin piste y joukosta Y. X:tä kutsutaan argumentiksi (itsenäinen muuttuja) ja y on funktion f arvo (riippuvainen muuttuja) pisteessä X. Joukkoa X kutsutaan funktion määritelmäalueeksi (asetusalueeksi), sanotaan, että funktio annetaan tässä joukossa, joukkoa Y kutsutaan funktion arvojoukoksi. Joukko X ei välttämättä ole lukujoukko. Näin ollen satunnaismuuttuja on funktio, joka on määritelty alkeistapahtumien ei-numeeriseen avaruuteen.

SATUNNAISET ARVOT

Satunnaisarvo on suure, joka testin tuloksena saa yhden ja vain yhden mahdollisen arvon, jota ei tiedetä etukäteen.

Diskreetti on satunnaismuuttuja, joka ottaa erilliset, eristetyt mahdolliset arvot tietyin todennäköisyksin.

Jatkuva muuttuja on satunnaismuuttuja, joka voi ottaa kaikki arvot jostakin äärellisestä tai äärettömästä intervallista.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välinen vastaavuus. Tämä laki annetaan taulukon, kaavan tai kaavion muodossa.

Diskreettien satunnaismuuttujien kohdalla yksi yleisimmistä on ns. binomiaalijakaumalaki, johon Bernoullin testien toistokaavio johtaa. Kaava (8) on tämän lain analyyttinen ilmaus.

Esimerkki 11.

Viesti lähetetään viestintäkanavalla kahdesta merkistä koostuvalla koodilla. Ensimmäisen ilmestymisen todennäköisyys on 2/3. Kolme merkkiä meni ohi. Etsi jakautumislaki ensimmäisen merkin esiintymille.

Ratkaisu.

Ehdon mukaan n=4, R=2/3, q=1/3. Ensimmäisen merkin esiintymismäärän mahdolliset arvot: 0, 1, 2 ja 3. Selvitä niiden todennäköisyydet kaavalla (8):

Tämä laki voidaan esittää taulukon muodossa

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Jakaumafunktio on funktio, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X testin tuloksena saa arvon, joka on pienempi kuin X, tuo on

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että satunnaismuuttuja, jolla on todennäköisyys R ottaa arvon, jota vasemmalla oleva piste edustaa numeerisella akselilla X.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle jakaumafunktio on jatkuva paloittain differentioituva funktio. Tärkeimmät ominaisuudet on johdettu määritelmästä:

1. Jakaumafunktion arvot kuuluvat segmenttiin ts.

2. F(x) on ei-laskeva funktio, eli jos

3. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka sisältyy väliin [ a,b[, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion lisäys tällä välillä

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle todennäköisyys hyväksyä yksittäinen arvo on nolla. Siksi jatkuville satunnaismuuttujille

Esimerkki 12.

Satunnainen arvo X jakautumisfunktion antama

Etsi todennäköisyys, että testin tuloksena X ottaa segmenttiin kuuluvan arvon [-1; 0,5].

Ratkaisu.

Ehdosta seuraa, että X on jatkuva satunnaismuuttuja, joka voi saada arvon 0 - 1.

Todennäköisyystiheys jatkuva Satunnaismuuttuja X kutsua jakaumafunktion ensimmäistä derivaatta

jakelutoiminto F(x) on yksi jakelutiheyden antiderivaatteista. Perustuu määritelmään tiheys tai erilaista lakia jakauma ja sen suhde jakelufunktioon, on helppo näyttää seuraavat ominaisuudet:

1. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumistiheys on ei-negatiivinen funktio

2. Satunnaismuuttujan osumisen todennäköisyys X välissä on yhtä suuri kuin

(16)

3. Ominaisuudesta 2 saadaan lauseke jakaumafunktiolle

(17)

4. Normalisointitila

(18)

Esimerkki 13 diskreetti arvo X annettu taulukon mukaan

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Etsi jakaumafunktio ja rakenna sen kaavio.

Ratkaisu.

1. Jos , niin , koska X ei voi olla pienempi kuin 2.

Tässä tapauksessa välissä (-¥, X) satunnaismuuttujalla on vain yksi arvo X (X=2). Siksi

Kaikille argumentin arvoille X toimintoja F(x), tyydyttää tämä epäyhtälö väliin (-¥, X) osuu kahteen satunnaismuuttujan arvoon ( X=2 ja X=3). Koska tapahtumat X hyväksyy annetut arvot ovat epäjohdonmukaisia ​​(tai X= 2 tai X=3), sitten

4. Samoin jos

Siksi jakelufunktio näyttää tältä

Rakennamme jakaumafunktiosta kuvaajan

Riisi. 1 - Jakaumafunktion kaavio

diskreetti satunnaismuuttuja

Esimerkki 14. Mittausvirheen jakautumistiheys

Satunnaismuuttuja on muuttuja, jonka arvo saadaan uudelleenlaskennan tai mittausten tuloksena ja jota ei voida yksiselitteisesti määrittää sen esiintymisolosuhteiden mukaan.

Toisin sanoen satunnaismuuttuja edustaa numeerisia satunnaisia ​​tapahtumia.

Satunnaismuuttujat jaetaan kahteen luokkaan:

Diskreetit satunnaismuuttujat - näiden määrien arvot ovat luonnollisia lukuja, joille yksittäisinä tapahtumina on määritetty taajuudet ja todennäköisyydet.

Jatkuvat satunnaismuuttujat - voivat ottaa minkä tahansa arvon tietystä intervallista (intervalli). Ottaen huomioon, että välillä X1 - X2 on ääretön määrä numeerisia arvoja, todennäköisyys, että satunnaismuuttuja XiЄ(X1,X2) ottaa tietyn arvon, on äärettömän pieni. Koska on mahdotonta luetella kaikkia jatkuvan satunnaismuuttujan arvoja, käytännössä käytetään välin (X1,X2) keskiarvoa.

Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa funktiota y \u003d P (x) kutsutaan satunnaismuuttujan jakaumafunktioksi ja sillä on kaavio - sitä kutsutaan jakautumispolygoniksi.

Seuraavat numeeristen ominaisuuksien ryhmät erotetaan: sijaintiominaisuudet (matemaattinen odotus, moodi, mediaani, kvantiili jne.), dispersio (varianssi, keskihajonta jne.), jakauman tiheyden muodon ominaisuudet (vinollisuus, kurtoosi jne.) .

Matemaattinen odotus (keskiarvo jakauman mukaan) on reaaliluku, joka määritetään SV X:n tyypistä riippuen kaavalla:

Matemaattinen odotus on olemassa, jos kaavan oikealla puolella oleva sarja (vastaavasti integraali) konvergoi absoluuttisesti. Jos mX = 0, niin CV X:ää kutsutaan keskitetyksi (merkitty merkillä ).

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet:

jossa C on vakio;

M = C × M[X];

M = M[X]+M[Y],

mille tahansa CB X:lle ja Y:lle;

M = M[X] × M[Y] + KXY,

jossa KXY = M on X:n ja Y:n CV:n kovarianssi.

SV X:n jakauman k:nnen kertaluvun alkumomentti (k = 0, 1, 2, ...) on reaaliluku, joka määräytyy kaavalla:

nk=M=

SV X:n jakauman k:nnen kertaluvun keskushetki on kaavalla määritetty luku:

mk = M[(X-mX)k]=

Erityisesti momenttien määritelmistä seuraa, että: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

SWNT-moodi on reaaliluku Mo(X) = x*, joka määritellään PR f(x:n) maksimipisteeksi. Tilalla voi olla yksi arvo (unimodaalinen jakauma) tai useita arvoja (multimodaalinen jakauma).

SWNT:n mediaani on reaaliluku Me(X) = x0, joka täyttää ehdon: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

P-tason kvantiili on reaaliluku tp, joka täyttää yhtälön: F(tp) = p. Erityisesti mediaanin määritelmästä seuraa, että x0 = t0,5.

SV X:n varianssi on ei-negatiivinen luku D[X] = DX, joka määritellään kaavalla:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Dispersio on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella oleva sarja (vastaavasti integraali) suppenee. Dispersioominaisuudet:

D[C] = 0, jossa C on vakio;

D = C2 × D[X];

varianssi ei ilmeisesti muutu CB X -biasin kanssa;

D = D[X] + D[Y] + 2 × KXY,

jossa KXY = M - CB X:n ja Y:n kovarianssi;

Ei-negatiivista lukua sХ = kutsutaan RV X:n keskihajonnaksi. Sillä on RV X:n mitta ja se määrittää jonkin standardin rms-dispersiovälin, joka on symmetrinen matemaattisen odotuksen suhteen. (SX:n arvoa kutsutaan joskus keskihajonnaksi.) CV X:ää kutsutaan standardoiduksi, jos mX = 0 ja sX = 1. Jos arvo X = const (eli X ei ole satunnainen), niin D[X] = 0.

PR:n epäsymmetrian indikaattori on jakauman epäsymmetriakerroin ("vinollisuus"): A = m3/s3X. PR:n kurtoosin indikaattori on jakauman kurtoosikerroin ("pisteisyys"): E = (m4/s4X)-3. Erityisesti normaalijakaumassa E = 0.

Järjestättyä n satunnaismuuttujan (CV) X1, X2, ..., Xn sarjaa, joita tässä kokeessa tarkastellaan yhdessä, kutsutaan n-ulotteiseksi CV:ksi tai satunnaisvektoriksi ja merkitään = (X1, X2, ..., Xn).

N-ulotteisen satunnaisvektorin jakaumafunktio (DF) on n todellisen muuttujan x1, x2, ..., xn funktio, joka määritellään n epäyhtälön yhteistäyttymisen todennäköisyydeksi: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) - sen argumenttien ei-pienevä funktio;

4.

Ominaisuutta 4 kutsutaan yleisesti yhtenäisyyden ehdoksi. Se tarkoittaa, että satunnaisvektorin yksittäisten komponenttien DF:t voidaan löytää siirtymällä rajalle näiden komponenttien yhteisjakaumafunktiosta. Todennäköisyys, että tason (X, Y) satunnainen piste putoaa suorakulmioon, jonka sivut ovat samansuuntaiset koordinaattiakselien kanssa, voidaan laskea DF:llä kaavalla:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Kaksiulotteista satunnaisvektoria (X,Y) kutsutaan diskreetin tyypin satunnaisvektoriksi (RDV), jos sen mahdollisten arvojen joukko G(x,y) on enintään laskettavissa. Sen jakautumislaki voidaan määrittää kaksiulotteisella taulukolla komponenttiparien mahdollisten arvojen luettelosta ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) ja joka vastaa jokaista tällaista paria todennäköisyyksistä pij = P(X = xi, Y = yj ), jotka täyttävät ehdon

Kaksiulotteista satunnaisvektoria (X, Y) kutsutaan jatkuvan tyyppiseksi satunnaisvektoriksi (CBNT), jos on olemassa sellainen ei-negatiivinen funktio f(x, y), jota kutsutaan satunnaisvektorin todennäköisyysjakauman tiheydeksi (DP), :

f(x, y) = , sitten F(x, y) = .

Todennäköisyyksien PR:lla on seuraavat ominaisuudet:

f(x, y)3 0, (x, y) н R2;

on normalisointiehto.

Satunnaisvektorin yksittäisten komponenttien todennäköisyyksien PR ilmaistaan ​​niveltiheyden integraaleina:

f(x) = f(y) = .

Todennäköisyys, että satunnainen piste putoaa mielivaltaiselle neliöintialueelle S tasossa, määritetään kaavalla

P((X, Y) О S)= .

Satunnaiskomponentin X ehdollinen todennäköisyysjakauman tiheys, mikäli komponentti Y on ottanut tietyn arvon y, on reaalimuuttujan x О R funktio f(x/y): f(x/y) = f(x) , y)/f(y) . Vastaavasti määritetään satunnaiskomponentin Y ehdollinen todennäköisyystiheys edellyttäen, että komponentti X on ottanut tietyn arvon x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). RV:itä X1, X2, ..., Xn kutsutaan riippumattomiksi (yhteensä), jos tapahtumille (Xi н Bi) i = 1, 2, ..., n, missä B1, B2, ... Bn ovat osajoukkoja numeerisesta suorasta pätee seuraava yhtälö: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1) × P(X2 Î B2) × ... × P (Xn) Î Bn).

Lause: XV X1, X2, .... Xn ovat riippumattomia, jos ja vain jos missä tahansa kohdassa x = (x1, x2, ..., xn) seuraava yhtälö pätee: F(x1, x2, ..., xn) ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (tai f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

Kaksiulotteiselle satunnaisvektorille (X, Y) otetaan käyttöön seuraavat numeeriset ominaisuudet.

Satunnaisvektorin (X, Y) kertaluvun r + s alkuhetki on reaaliluku nr,s, joka määritellään kaavalla:

nr,s = M =

Alkumomentti nr,s on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella oleva integraali (vastaavasti sarja) konvergoi absoluuttisesti. Erityisesti nr,0 = M ovat X-komponentin vastaavat alkumomentit. Vektoria, jolla on ei-satunnaiset koordinaatit (mX, mY) = (n1,0, n0,1) kutsutaan satunnaisvektorin (X) odotukseksi. , Y) tai dispersiokeskus.

Satunnaisvektorin (X, Y) kertaluvun r + s keskimomentti on kaavalla määritelty reaaliluku mr,s

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Keskeinen momentti mr,s on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella oleva integraali (vastaavasti sarja) konvergoi absoluuttisesti. Vektoria, jonka koordinaatit eivät ole satunnaisia ​​(DX, DY) = (m2,0, m0,2), kutsutaan satunnaisvektorin varianssiksi.

Keskimomenttia m1,1 kutsutaan korrelaatiomomentiksi (kovarianssiksi): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Satunnaisvektorin kahden satunnaisen X- ja Y-komponentin korrelaatiokerroin on normalisoitu kovarianssi

rXY = KXY/(sXsY).

Kovarianssin (ja korrelaatiokertoimen) ominaisuudet.

Satunnaismuuttujan käsite. Diskreetit ja jatkuvat satunnaismuuttujat. Todennäköisyysjakaumafunktio ja sen ominaisuudet. Todennäköisyysjakauman tiheys ja sen ominaisuudet. Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet: matemaattinen odotus, dispersio ja niiden ominaisuudet, keskihajonta, moodi ja mediaani; alku- ja keskimomentit, epäsymmetria ja kurtoosi. N riippumattoman satunnaismuuttujan aritmeettisen keskiarvon numeeriset ominaisuudet.

Satunnaismuuttujan käsite

Satunnainen kutsutaan suureksi, joka testien tuloksena ottaa yhden tai toisen (mutta vain yhden) mahdollisen etukäteen tuntemattoman arvon, joka muuttuu kokeesta toiseen ja satunnaisista olosuhteista riippuen. Toisin kuin satunnainen tapahtuma, joka on satunnaisen testituloksen kvalitatiivinen ominaisuus, satunnaismuuttuja luonnehtii testitulosta kvantitatiivisesti. Esimerkkejä satunnaismuuttujasta ovat työkappaleen koko, tuotteen tai ympäristön minkä tahansa parametrin mittaustuloksen virhe. Käytännössä kohdatuista satunnaismuuttujista voidaan erottaa kaksi päätyyppiä: diskreetti ja jatkuva.

Diskreetti on satunnaismuuttuja, joka saa äärellisen tai äärettömän laskettavan joukon arvoja. Esimerkiksi: osumien tiheys kolmella laukauksella; viallisten tuotteiden määrä n kappaleen erässä; puhelinkeskukseen päivän aikana saapuneiden puheluiden määrä; laiteelementtien vikojen määrä tietyn ajanjakson aikana testattaessa sen luotettavuutta; laukausten määrä ennen ensimmäistä osumaa maaliin jne.

jatkuva kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka voi saada minkä tahansa arvon jostakin äärellisestä tai äärettömästä intervallista. On selvää, että jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön. Esimerkiksi: virhe tutkan kantaman mittauksessa; sirun käyttöaika; osien valmistusvirhe; suolapitoisuus merivedessä jne.

Satunnaismuuttujat merkitään yleensä kirjaimilla X, Y jne., ja niiden mahdolliset arvot ovat x, y jne. Satunnaismuuttujan määrittämiseksi ei riitä, että luetellaan kaikki sen mahdolliset arvot. On myös tiedettävä, kuinka usein yksi tai toinen sen arvoista voi ilmaantua samoissa olosuhteissa suoritettujen testien tuloksena, eli niiden esiintymistodennäköisyydet on asetettava. Satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen joukko ja niitä vastaavat todennäköisyydet muodostavat satunnaismuuttujan jakauman.

Satunnaismuuttujan jakauman lait

jakelulaki Satunnaismuuttuja on satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien välinen vastaavuus. Satunnaismuuttujan sanotaan noudattavan annettua jakautumislakia. Kutsutaan kahta satunnaismuuttujaa riippumaton, jos yhden niistä jakautumislaki ei riipu siitä, mitä mahdollisia arvoja toinen arvo on ottanut. Muuten kutsutaan satunnaismuuttujia riippuvainen. Useita satunnaismuuttujia kutsutaan toisistaan ​​riippumaton, jos minkä tahansa määrän jakautumislait eivät riipu siitä, mitä mahdollisia arvoja muut suureet ovat saaneet.

Satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan antaa taulukon, jakaumafunktion tai jakautumistiheyden muodossa. Taulukko, joka sisältää satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja vastaavat todennäköisyydet, on yksinkertaisin tapa määrittää satunnaismuuttujan jakautumislaki.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1) )&p_n\\\hline\end(array)

Jakaumalain taulukkomäärittelyä voidaan käyttää vain diskreetille satunnaismuuttujalle, jolla on äärellinen määrä mahdollisia arvoja. Satunnaismuuttujan lain määrittämisen taulukkomuotoa kutsutaan myös jakaumasarjaksi.

Selvyyden vuoksi jakelusarja on esitetty graafisesti. Graafisessa esityksessä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot piirretään pitkin abskissa-akselia ja vastaavat todennäköisyydet piirretään pitkin ordinaatta-akselia. Kutsutaan pisteitä (x_i,p_i), jotka on yhdistetty suorilla janoilla jakelupolygoni(Kuva 5). On muistettava, että pisteiden (x_i,p_i) yhdistäminen tehdään vain selvyyden vuoksi, koska välissä x_1 ja x_2 , x_2 ja x_3 jne. ei ole arvoja, joita satunnaismuuttuja X voisi ota, joten sen esiintymistodennäköisyys näillä aikaväleillä on nolla.

Jakaumapolygoni, kuten jakaumasarja, on yksi diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislain määrittelymuodoista. Niillä voi olla eri muotoja, mutta niillä kaikilla on sama yhteistä omaisuutta: Jakaumapolygonin kärkien ordinaattien summa, joka on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen todennäköisyyksien summa, on aina yhtä suuri kuin yksi. Tämä ominaisuus johtuu siitä, että kaikki satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot muodostavat täydellisen ryhmän yhteensopimattomia tapahtumia, joiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri.

Todennäköisyysjakaumafunktio ja sen ominaisuudet

Jakaumafunktio on yleisin muoto jakautumislain asettamiseen. Sitä käytetään sekä diskreettien että jatkuvien satunnaismuuttujien määrittämiseen. Sitä merkitään yleensä F(x) . jakelutoiminto määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvoja pienempiä kuin kiinteä reaaliluku x, eli F(x)=P\(X integraalinen jakelufunktio.

Jakaumafunktion geometrinen tulkinta on hyvin yksinkertainen. Jos satunnaismuuttujaa pidetään Ox-akselin satunnaispisteenä X (kuva 6), joka testin tuloksena voi ottaa yhden tai toisen aseman akselilla, niin jakaumafunktio F(x) on todennäköisyys, että satunnaispiste X putoaa testin tuloksena vasempaan pisteisiin x .

Diskreetille satunnaismuuttujalle X, joka voi ottaa arvot, jakautumisfunktiolla on muoto

F(x)=\sum\limits_(x_i
missä epäyhtälö x_i

Jatkuvalla satunnaismuuttujalla on jatkuva jakautumisfunktio, tämän funktion kuvaaja on tasaisen käyrän muotoinen (kuva 8).

Harkitse jakaumafunktioiden yleisiä ominaisuuksia.

Ominaisuus 1. Jakaumafunktio on ei-negatiivinen, nollan ja yhden välissä oleva funktio:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Tämän ominaisuuden pätevyys seuraa siitä tosiasiasta, että jakaumafunktio F(x) on määritelty satunnaisen tapahtuman todennäköisyydeksi, että X

Ominaisuus 2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja putoaa väliin [\alpha;\beta) on yhtä suuri kuin jakaumafunktion arvojen erotus tämän intervallin päissä, ts.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Tästä seuraa, että jatkuvan satunnaismuuttujan minkä tahansa yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla.

Ominaisuus 3. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on ei-pienevä funktio, ts. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Ominaisuus 4. Miinus äärettömyydessä jakaumafunktio on yhtä suuri kuin nolla ja plus äärettömyydessä yhtä, ts. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 ja \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Esimerkki 1. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio saadaan lausekkeella

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(tapaukset).

Etsi kerroin a ja piirrä F(x) . Määritä todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa kokeen tuloksena arvon väliltä .

Ratkaisu. Koska jatkuvan satunnaismuuttujan X jakaumafunktio on jatkuva, niin x=3:lle saadaan a(3-1)^2=1 . Tästä syystä a=\frac(1)(4) . Funktion F(x) käyrä on esitetty kuvassa. 9.

Jakaumafunktion toisen ominaisuuden perusteella meillä on

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Todennäköisyystiheysjakauma ja sen ominaisuudet

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on sen todennäköisyysominaisuus. Mutta sillä on haittapuoli, joka koostuu siitä, että on vaikea arvioida satunnaismuuttujan jakauman luonnetta numeerisen akselin yhden tai toisen pisteen pienessä ympäristössä. Visuaalisemman esityksen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman luonteesta antaa funktio, jota kutsutaan todennäköisyysjakauman tiheydeksi tai satunnaismuuttujan differentiaalijakaumafunktioksi.

Jakauman tiheys f(x) on yhtä suuri kuin jakaumafunktion F(x) derivaatta, ts.

F(x)=F"(x).

Jakaumatiheyden f(x) merkitys on, että se ilmaisee kuinka usein satunnaismuuttuja X esiintyy jossain pisteen x ympäristössä, kun kokeita toistetaan. Kutsutaan käyrää, joka kuvaa satunnaismuuttujan jakautumistiheyttä f(x). jakautumiskäyrä.

Harkitse jakautumistiheysominaisuudet.

Ominaisuus 1. Jakaumatiheys on ei-negatiivinen, ts.

F(x)\geqslant0.

Ominaisuus 2. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on yhtä suuri kuin tiheyden integraali välillä -\infty - x, ts.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Ominaisuus 3. Todennäköisyys sille, että jatkuva satunnaismuuttuja X osuu segmenttiin (\alpha;\beta), on yhtä suuri kuin tämän segmentin jakautumistiheyden integraali, ts.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Ominaisuus 4. Jakaumatiheyden äärettömien rajojen integraali on yhtä suuri kuin yksi:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Esimerkki 2. Satunnaismuuttuja X on tiheyden jakauman lain alainen

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(tapaukset)

Määritä kerroin a; rakentaa kaavio jakautumistiheydestä; etsi todennäköisyys osua satunnaismuuttujaan alueella 0 - \frac(\pi)(2) määritä jakautumisfunktio ja muodosta sen graafi.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Ottaen huomioon jakautumistiheyden ominaisuus 4 saadaan a=\frac(1)(2) . Siksi jakautumistiheys voidaan ilmaista seuraavasti:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(tapaukset).

Jakautumistiheyden käyrä kuvassa. 10. Ominaisuuden 3 mukaan meillä on

P\!\vasen\(0

Jakaumafunktion määrittämiseksi käytämme ominaisuutta 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Näin ollen meillä on

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(tapaukset).

Jakaumafunktiokaavio on esitetty kuvassa. yksitoista

Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet

Jakaumalaki luonnehtii täysin satunnaismuuttujaa todennäköisyyden kannalta. Mutta kun ratkaistaan ​​useita käytännön ongelmia, ei tarvitse tietää satunnaismuuttujan kaikkia mahdollisia arvoja ja vastaavia todennäköisyyksiä, vaan on helpompi käyttää joitain kvantitatiivisia indikaattoreita. Tällaisia ​​indikaattoreita kutsutaan numeroiksi. satunnaismuuttujan ominaisuudet. Tärkeimmät ovat matemaattinen odotusarvo, varianssi, eri kertaluvun momentit, moodi ja mediaani.

Matemaattista odotusta kutsutaan joskus satunnaismuuttujan keskiarvoksi. Tarkastellaan diskreettiä satunnaismuuttujaa X, joka ottaa arvot x_1,x_2,\ldots,x_n vastaavasti todennäköisyyksien kanssa p_1,p_2,\ldots,p_n Määritetään satunnaismuuttujan arvojen aritmeettinen keskiarvo, painotettuna niiden esiintymistodennäköisyydillä. Laskemme siis satunnaismuuttujan keskiarvon tai sen matemaattisen odotuksen M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Olettaen että \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 saamme

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Niin, matemaattinen odotus Diskreetti satunnaismuuttuja on kaikkien sen mahdollisten arvojen ja vastaavien todennäköisyyksien tulojen summa.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle matemaattinen odotus

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X , jonka mahdolliset arvot kuuluvat segmenttiin ,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Käyttämällä todennäköisyysjakaumafunktiota F(x) satunnaismuuttujan matemaattinen odotus voidaan ilmaista seuraavasti:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Odotusominaisuudet

Ominaisuus 1. Kahden satunnaismuuttujan summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Ominaisuus 2. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo:

M(XY) = M(X)M(Y).

Ominaisuus 3. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio:

M(c) = c.

Ominaisuus 4. Satunnaismuuttujan vakiokerroin voidaan ottaa pois odotusmerkistä:

M(cX) = cM(X).

Ominaisuus 5. Matemaattinen odotus satunnaismuuttujan poikkeamasta sen matemaattisesta odotuksesta on nolla:

M(X-M(X)) = 0.

Esimerkki 3. Etsi viallisten tuotteiden lukumäärän matemaattinen odotus viiden tuotteen otoksesta, jos satunnaismuuttuja X (viallisten tuotteiden määrä) on annettu jakauman sarjalla.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array)

Ratkaisu. Kaavan (4.1) avulla löydämme

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Diskreetin satunnaismuuttujan moodi M_0 sen todennäköisin arvo on ns.

Jatkuvan satunnaismuuttujan moodi M_0 kutsutaan sen arvoa, joka vastaa jakautumistiheyden suurinta arvoa. Geometrisesti moodi tulkitaan jakautumiskäyrän globaalin maksimin pisteen abskissaksi (kuva 12).

Satunnaismuuttujan mediaani M_e sen arvoa kutsutaan, jolle tasa-arvo

P\(X Minä\).

Geometrialta katsottuna mediaani on sen pisteen abskissa, jossa todennäköisyysjakaumakäyrän ja abskissa-akselin rajaama kuvion alue on jaettu puoliksi (kuva 12). Koska koko jakautumiskäyrän ja x-akselin rajaama alue on yhtä suuri, jakaumafunktio mediaania vastaavassa pisteessä on 0,5, ts.

F(M_e)=P\(X

Varianssin ja keskihajonnan avulla voidaan arvioida satunnaismuuttujan hajontaa matemaattisen odotuksen ympärillä. Satunnaismuuttujan hajontamittana käytetään satunnaismuuttujan matemaattisen poikkeaman matemaattista odotusta sen matemaattisesta odotuksesta, jota ns. satunnaismuuttujan varianssi X ja merkitse D[X]:

D[X] = M((X-M(X))^2).

Diskreetille satunnaismuuttujalle varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan arvojen neliöityjen poikkeamien tulojen summa sen matemaattisesta odotuksesta vastaavilla todennäköisyyksillä:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle, jonka jakautumislaki on annettu todennäköisyysjakauman tiheydellä f(x) , varianssi

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Varianssin ulottuvuus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan ulottuvuuden neliö, joten sitä ei voida tulkita geometrisesti. Näistä puutteista ei ole otettu satunnaismuuttujan keskihajontaa, joka lasketaan kaavalla

\sigma=\sqrt(D[X]).

Satunnaismuuttujien dispersion ominaisuudet

Ominaisuus 1. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin näiden muuttujien varianssien summa:

D=D[X]+D[Y].

Ominaisuus 2. Satunnaismuuttujan varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan X neliön matemaattisen odotuksen ja sen matemaattisen odotuksen neliön välinen ero:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~~(4,3).

Ominaisuus 3. Vakioarvon hajonta on nolla:

D[c]=0.

Ominaisuus 4. Satunnaismuuttujan vakiotekijä voidaan ottaa pois varianssimerkistä neliöimällä se ensin:

D=c^2D[X].

Ominaisuus 5. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan X ja Y tulon varianssi määritetään kaavalla

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Esimerkki 4. Laske viallisten tuotteiden lukumäärän varianssi esimerkin 3 jakaumaan.

Ratkaisu. Varianssin määritelmän mukaan

Satunnaismuuttujan numeeristen perusominaisuuksien yleistys on satunnaismuuttujan momenttien käsite.

Q:nnen järjestyksen alkuhetki satunnaismuuttujaa kutsutaan arvon X^q matemaattiseksi odotukseksi:

Ensimmäisen kertaluvun alkumomentti on matemaattinen odotus ja toisen kertaluvun keskeinen hetki on satunnaismuuttujan varianssi.

Kolmannen kertaluvun normalisoitu keskimomentti toimii jakauman vinouden tai epäsymmetrian ominaisuutena ( epäsymmetriatekijä):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Neljännen kertaluvun normalisoitu keskusmomentti toimii huippu- tai tasapääjakauman ominaisuutena ( ylimääräinen):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Esimerkki 5. Satunnaismuuttuja X saadaan todennäköisyystiheysjakauman avulla

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(tapaukset).

Etsi kerroin a , matemaattinen odotus, varianssi, vinous ja kurtoosi.

Ratkaisu. Jakaumakäyrän rajoittama alue on numeerisesti yhtä suuri kuin

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^ 3)(3))\oikea|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Ottaen huomioon, että tämän alueen pitäisi olla yhtä suuri kuin yksi, löydämme a=\frac(3)(8) . Kaavan (4.2) avulla löydämme matemaattisen odotuksen:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Dispersio määritetään kaavalla (4.3). Tätä varten löydämme ensin satunnaismuuttujan neliön matemaattisen odotuksen:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Tällä tavalla,

\begin(tasattu)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\noin0,\!3873.\end(tasattu)

Alkumomenttien avulla laskemme kolmannen ja neljännen järjestyksen keskeiset momentit:

\begin(tasattu)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\noin6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(tasattu)

N riippumattoman satunnaismuuttujan aritmeettisen keskiarvon numeeriset ominaisuudet

Päästää x_1,x_2,\ldots,x_n- satunnaismuuttujan X arvot, jotka on saatu n riippumattomasta tutkimuksesta. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin M(X) , ja sen varianssi on D[X] . Näitä arvoja voidaan pitää itsenäisinä satunnaismuuttujina X_1,X_2,\ldots,X_n samoilla matemaattisilla odotuksilla ja varianssilla:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Näiden satunnaismuuttujien aritmeettinen keskiarvo

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Käyttämällä matemaattisen odotuksen ja satunnaismuuttujan dispersion ominaisuuksia voimme kirjoittaa:

\begin(tasattu)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(tasattu)

Siirry seuraavaan osioon
Monimuuttujat satunnaismuuttujat Javascript on poistettu käytöstä selaimessasi.
ActiveX-komponentit on otettava käyttöön, jotta voit tehdä laskelmia!