Určení vzdálenosti pomocí gps souřadnic. Vzdálenost mezi dvěma body v rovině.Souřadnicové systémy

Výpočet vzdáleností mezi body podle jejich souřadnic v rovině je elementární, na povrchu Země je to trochu složitější: budeme uvažovat měření vzdálenosti a počátečního azimutu mezi body bez promítacích transformací. Nejprve si ujasněme terminologii.

Úvod

Velká délka kruhového oblouku- nejkratší vzdálenost mezi libovolnými dvěma body umístěnými na povrchu koule, měřená podél přímky spojující tyto dva body (takové přímce se říká ortodroma) a procházející po povrchu koule nebo jiné rotační plochy. Sférická geometrie je odlišná od obvyklé euklidovské a rovnice vzdálenosti mají také jinou formu. V euklidovské geometrii je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body přímka. Na kouli nejsou žádné přímé čáry. Tyto čáry na kouli jsou součástí velkých kružnic - kružnic, jejichž středy se shodují se středem koule. Počáteční azimut- azimut, který, když vycházíte z bodu A, sledujte velkou kružnici na nejkratší vzdálenost k bodu B, bude koncovým bodem bod B. Při pohybu z bodu A do bodu B podél čáry velké kružnice se azimut od aktuální poloha ke koncovému bodu B je konstantní se mění. Počáteční azimut je odlišný od konstantního, po kterém se azimut od aktuálního bodu ke konečnému nemění, ale trasa není nejkratší vzdáleností mezi dvěma body.

Prostřednictvím libovolných dvou bodů na povrchu koule, pokud nejsou přímo proti sobě (to znamená, že nejsou antipody), lze nakreslit jedinečný velký kruh. Dva body rozdělují velký kruh na dva oblouky. Délka krátkého oblouku je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body. Mezi dvěma protilehlými body lze nakreslit nekonečné množství velkých kružnic, ale vzdálenost mezi nimi bude stejná na jakékoli kružnici a rovná se polovině obvodu kružnice neboli π*R, kde R je poloměr koule.

V rovině (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou velké kružnice a jejich fragmenty, jak bylo zmíněno výše, oblouky ve všech projekcích, kromě gnómonické, kde jsou velké kružnice rovné čáry. V praxi to znamená, že letadla a jiná letecká doprava vždy pro úsporu paliva používají trasu minimální vzdálenosti mezi body, to znamená, že let probíhá po vzdálenosti velkého kruhu, v letadle to vypadá jako oblouk.

Tvar Země lze popsat jako kouli, takže rovnice vzdálenosti velkého kruhu jsou důležité pro výpočet nejkratší vzdálenosti mezi body na povrchu Země a často se používají při navigaci. Výpočet vzdálenosti touto metodou je efektivnější a v mnoha případech přesnější než její výpočet pro projektované souřadnice (v pravoúhlých souřadnicových systémech), protože za prvé k tomu není nutné převádět zeměpisné souřadnice do pravoúhlého souřadnicového systému (provádět projekci transformace) a za druhé, mnoho projekcí, pokud je nesprávně zvoleno, může vést k významným délkovým zkreslením kvůli povaze zkreslení projekce. Je známo, že ne koule, ale elipsoid popisuje tvar Země přesněji, nicméně tento článek pojednává o výpočtu vzdáleností na kouli, pro výpočty se používá koule o poloměru 6372795 metrů, což může vést k chyba ve výpočtu vzdáleností řádově 0,5 %.

Vzorce

Existují tři způsoby, jak vypočítat sférickou vzdálenost velkého kruhu. 1. Sférická kosinová věta V případě malých vzdáleností a malé bitové hloubky výpočtu (počet desetinných míst) může použití vzorce vést k výrazným chybám zaokrouhlování. φ1, A1; φ2, λ2 - zeměpisná šířka a délka dvou bodů v radiánech Δλ - souřadnicový rozdíl v zeměpisné délce Δδ - úhlový rozdíl Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Chcete-li převést úhlovou vzdálenost na násobek úhlový rozdíl o poloměr Země (6372795 metrů), jednotky konečné vzdálenosti se budou rovnat jednotkám, ve kterých je poloměr vyjádřen (v tomto případě metry). 2. Haversinův vzorec Používá se k zamezení problémů s krátkými vzdálenostmi. 3. Úprava pro antipody Předchozí vzorec také podléhá problému antipodů, pro jeho vyřešení se používá následující modifikace.

Moje implementace v PHP

// Poloměr Země define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Vzdálenost mezi dvěma body * $φA, $λA - zeměpisná šířka, délka 1. bodu, * $φB, $λB - zeměpisná šířka, délka 2. bodu * Na základě http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Michail Kobzarev * */ funkce vypočítatVzdálenost ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // převod souřadnic na radiány $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // kosinus a sinus rozdílů zeměpisných šířek a délek $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // výpočty délka velkého kruhu $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Příklad volání funkce: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo vypočítejVzdálenost($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metry"; // Vrátí "17166029 metrů"

Řešení úloh v matematice pro žáky často provází mnoho obtíží. Hlavním účelem našich stránek je pomoci studentovi vyrovnat se s těmito obtížemi a zároveň ho naučit aplikovat své teoretické znalosti při řešení konkrétních problémů ve všech částech kurzu předmětu "Matematika".

Po zahájení řešení úloh na dané téma by studenti měli být schopni postavit bod na rovině podle jeho souřadnic a také najít souřadnice daného bodu.

Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body odebranými v rovině A (x A; y A) a B (x B; y B) se provádí vzorcem d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), kde d je délka segmentu, který spojuje tyto body v rovině.

Pokud se jeden z konců úsečky shoduje s počátkem a druhý má souřadnice M (x M; y M), pak vzorec pro výpočet d bude mít tvar OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body danými souřadnicemi těchto bodů

Příklad 1.

Najděte délku úsečky, která spojuje body A(2; -5) a B(-4; 3) v souřadnicové rovině (obr. 1).

Řešení.

Podmínka problému je dána: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 a y B = 3. Najděte d.

Použitím vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) dostaneme:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Výpočet souřadnic bodu, který je stejně vzdálený od tří daných bodů

Příklad 2

Najděte souřadnice bodu O 1, který je stejně vzdálený od tří bodů A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Řešení.

Z formulace podmínky úlohy vyplývá, že O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Nechť požadovaný bod O 1 má souřadnice (a; b). Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) zjistíme:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sestavíme soustavu dvou rovnic:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po kvadraturu vlevo a pravé části rovnice píšeme:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Zjednodušení, píšeme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Po vyřešení soustavy dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je stejně vzdálený od tří bodů uvedených v podmínce, které neleží na jedné přímce. Tento bod je středem kružnice procházející třemi danými body. (obr. 2).

3. Výpočet úsečky (ordináty) bodu, který leží na ose úsečky (ordináta) a je v dané vzdálenosti od tohoto bodu

Příklad 3

Vzdálenost od bodu B(-5; 6) k bodu A ležícímu na ose x je 10. Najděte bod A.

Řešení.

Z formulace podmínky úlohy vyplývá, že pořadnice bodu A je nulová a AB = 10.

Značíme-li úsečku bodu A až a, píšeme A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnici √((a + 5) 2 + 36) = 10. Když to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a - 39 = 0.

Kořeny této rovnice a 1 = -13; a 2 = 3.

Získáme dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Zkouška:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Oba získané body odpovídají podmínce problému (obr. 3).

4. Výpočet úsečky bodu, který leží na ose úsečky a je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů

Příklad 4

Najděte bod na ose Oy, který je ve stejné vzdálenosti od bodů A (6; 12) a B (-8; 10).

Řešení.

Nechť souřadnice bodu požadované podmínkou úlohy, ležícího na ose Oy, jsou O 1 (0; b) (v bodě ležícím na ose Oy je úsečka rovna nule). Vyplývá to z podmínky, že O 1 A \u003d O 1 B.

Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) zjistíme:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Máme rovnici √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) nebo 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Po zjednodušení dostaneme: b - 4 = 0, b = 4.

Vyžaduje stav problémového bodu O 1 (0; 4) (obr. 4).

5. Výpočet souřadnic bodu, který je ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a nějakého daného bodu

Příklad 5

Najděte bod M umístěný na souřadnicové rovině ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a od bodu A (-2; 1).

Řešení.

Požadovaný bod M se stejně jako bod A (-2; 1) nachází v druhém souřadnicovém rohu, protože je stejně vzdálený od bodů A, P 1 a P 2 (obr. 5). Vzdálenosti bodu M od souřadnicových os jsou stejné, proto jeho souřadnice budou (-a; a), kde a > 0.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

těch. |-a| = a.

Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) zjistíme:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Udělejme rovnici:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Po umocnění a zjednodušení máme: a 2 - 6a + 5 = 0. Řešíme rovnici, najdeme a 1 = 1; a 2 = 5.

Získáme dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), splňující podmínku úlohy.

6. Výpočet souřadnic bodu, který je ve stejné zadané vzdálenosti od osy úsečky (ordináta) a od tohoto bodu

Příklad 6

Najděte bod M takový, že jeho vzdálenost od osy y a od bodu A (8; 6) bude rovna 5.

Řešení.

Z podmínky úlohy vyplývá, že MA = 5 a úsečka bodu M je rovna 5. Pořadnice bodu M nechť je rovna b, pak M(5; b) (obr. 6).

Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) máme:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Udělejme rovnici:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Když to zjednodušíme, dostaneme: b 2 - 12b + 20 = 0. Kořeny této rovnice jsou b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Existují tedy dva body, které splňují podmínku problému: M 1 (5; 2) a M 2 (5; 10).

Je známo, že mnoho studentů při samostatném řešení problémů potřebuje neustálé konzultace o technikách a metodách jejich řešení. Žák často nemůže najít způsob, jak vyřešit problém bez pomoci učitele. Potřebné rady k řešení problémů může student získat na našich webových stránkách.

Máte nějaké dotazy? Nejste si jisti, jak zjistit vzdálenost mezi dvěma body v rovině?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!

blog.site, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.

V tomto článku zvážíme způsoby, jak teoreticky a na příkladu konkrétních úloh určit vzdálenost od bodu k bodu. Začněme několika definicemi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definice 1

Vzdálenost mezi body- toto je délka segmentu, který je spojuje, ve stávajícím měřítku. Je nutné nastavit měřítko, abyste měli jednotku délky pro měření. Proto je v zásadě problém zjištění vzdálenosti mezi body vyřešen použitím jejich souřadnic na souřadnicové čáře, v souřadnicové rovině nebo trojrozměrném prostoru.

Počáteční data: souřadnicová přímka O x a na ní leží libovolný bod A. Každému bodu přímky je vlastní jedno reálné číslo: nechť je to určité číslo pro bod A xA, je to souřadnice bodu A.

Obecně lze říci, že k odhadu délky určitého segmentu dochází ve srovnání s segmentem braným jako jednotka délky v daném měřítku.

Pokud bod A odpovídá celočíselnému reálnému číslu, po vyčlenění postupně z bodu O do bodu podél přímky O A segmenty - jednotky délky, můžeme určit délku segmentu O A celkovým počtem čekajících jednotkových segmentů.

Například bod A odpovídá číslu 3 - abychom se do něj dostali z bodu O, bude nutné vyčlenit tři jednotkové segmenty. Pokud má bod A souřadnici -4, jednotlivé segmenty se vykreslují podobným způsobem, ale v jiném záporném směru. V prvním případě je tedy vzdálenost O A 3; ve druhém případě O A \u003d 4.

Pokud má bod A racionální číslo jako souřadnici, pak z počátku (bodu O) vyčleníme celý počet jednotkových segmentů a pak jeho nezbytnou část. Ale geometricky není vždy možné provést měření. Například se zdá obtížné odložit souřadnicový přímý zlomek 4 111 .

Výše uvedeným způsobem je zcela nemožné odložit iracionální číslo na přímce. Například, když je souřadnice bodu A 11 . V tomto případě je možné přejít k abstrakci: pokud je daná souřadnice bodu A větší než nula, pak O A \u003d x A (číslo se bere jako vzdálenost); pokud je souřadnice menší než nula, pak O A = - x A . Obecně platí, že tato tvrzení platí pro jakékoli reálné číslo x A .

Shrnutí: vzdálenost od počátku k bodu, který odpovídá reálnému číslu na souřadnicové čáře, se rovná:

0, pokud je bod stejný jako počátek;

x A pokud x A > 0;

- x A, pokud x A< 0 .

V tomto případě je zřejmé, že délka samotného segmentu nemůže být záporná, proto pomocí znaménka modulu zapíšeme vzdálenost z bodu O do bodu A se souřadnicí x A: O A = x A

Správné tvrzení by bylo: vzdálenost od jednoho bodu k druhému bude rovna modulu rozdílu souřadnic. Tito. pro body A a B ležící na stejné souřadnicové čáře v libovolném místě a mající příslušné souřadnice x A A x B: A B = x B - x A.

Počáteční údaje: body A a B ležící v rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y s danými souřadnicemi: A (x A , y A) a B (x B , y B) .

Prokresleme kolmice k souřadnicovým osám O x a O y body A a B a získáme promítací body jako výsledek: A x , A y , B x , B y . Na základě umístění bodů A a B jsou dále možné následující možnosti:

Pokud se body A a B shodují, pak je vzdálenost mezi nimi nulová;

Leží-li body A a B na přímce kolmé k ose O x (osa úsečky), pak se body shodují a | A B | = | A y B y | . Protože vzdálenost mezi body je rovna modulu rozdílu mezi jejich souřadnicemi, pak A y B y = y B - y A , a tedy A B = A y B y = y B - y A .

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O y (osa y) - analogicky s předchozím odstavcem: A B = A x B x = x B - x A

Pokud body A a B neleží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os, zjistíme vzdálenost mezi nimi odvozením vzorce pro výpočet:

Vidíme, že trojúhelník A B C je konstrukcí pravoúhlý. V tomto případě AC = A x B x a B C = A y By. Pomocí Pythagorovy věty složíme rovnost: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a poté ji transformujeme: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Udělejme závěr ze získaného výsledku: vzdálenost z bodu A do bodu B v rovině je určena výpočtem pomocí vzorce pomocí souřadnic těchto bodů

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec také potvrzuje dříve vytvořená tvrzení pro případy shody bodů nebo situace, kdy body leží na přímkách kolmých k osám. Takže pro případ shody bodů A a B bude platit rovnost: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pro situaci, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pro případ, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Počáteční údaje: pravoúhlý souřadnicový systém O x y z s libovolnými body na něm ležícími s danými souřadnicemi A (x A , y A , z A) a B (x B , y B , z B) . Je nutné určit vzdálenost mezi těmito body.

Zvážit obecný případ, kdy body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Protáhněte body A a B rovinami kolmými k souřadnicovým osám a získejte odpovídající promítací body: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka výsledného rámečku. Podle konstrukce měření tohoto boxu: A x B x , A y B y a A z B z

Z průběhu geometrie je známo, že druhá mocnina úhlopříčky kvádru je rovna součtu čtverců jeho rozměrů. Na základě tohoto tvrzení získáme rovnost: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základě dříve získaných závěrů píšeme následující:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Převedeme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finále vzorec pro určení vzdálenosti mezi body v prostoru bude vypadat takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí také pro případy, kdy:

Tečky se shodují;

Leží na stejné souřadnicové ose nebo na přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os.

Příklady řešení úloh pro zjištění vzdálenosti mezi body

Příklad 1

Počáteční údaje: je uvedena souřadnicová čára a na ní ležící body s danými souřadnicemi A (1 - 2) a B (11 + 2). Je nutné najít vzdálenost od referenčního bodu O k bodu A a mezi body A a B.

Řešení

Vzdálenost od referenčního bodu k bodu se rovná modulu souřadnic tohoto bodu, respektive O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
Vzdálenost mezi body A a B je definována jako modul rozdílu mezi souřadnicemi těchto bodů: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpověď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Příklad 2

Počáteční data: je dán pravoúhlý souřadnicový systém a dva body na něm ležící A (1 , - 1) a B (λ + 1 , 3) . λ je nějaké reálné číslo. Je nutné najít všechny hodnoty tohoto čísla, pro které bude vzdálenost A B rovna 5.

Řešení

Chcete-li zjistit vzdálenost mezi body A a B, musíte použít vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Dosazením skutečných hodnot souřadnic dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A také použijeme existující podmínku, že A B = 5 a pak bude rovnost pravdivá:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpověď: A B \u003d 5, pokud λ \u003d ± 3.

Příklad 3

Počáteční data: jsou dány trojrozměrný prostor v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y z a v něm ležící body A (1 , 2 , 3) a B - 7 , - 2 , 4.

Řešení

K vyřešení úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosazením reálných hodnot dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpověď: | A B | = 9

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině.
Souřadnicové systémy

Každý bod A roviny je charakterizován svými souřadnicemi (x, y). Shodují se se souřadnicemi vektoru 0А , vycházejícího z bodu 0 - počátku.

Nechť A a B jsou libovolné body roviny se souřadnicemi (x 1 y 1) a (x 2, y 2).

Pak má vektor AB samozřejmě souřadnice (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Je známo, že druhá mocnina délky vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnic. Z podmínky se tedy určí vzdálenost d mezi body A a B, nebo, co je shodné, délka vektoru AB

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Výsledný vzorec umožňuje najít vzdálenost mezi libovolnými dvěma body roviny, pokud jsou známy pouze souřadnice těchto bodů

Pokaždé, když mluvíme o souřadnicích jednoho nebo druhého bodu roviny, máme na mysli dobře definovaný souřadnicový systém x0y. Obecně lze souřadný systém v rovině volit různými způsoby. Místo souřadnicového systému x0y tedy můžeme uvažovat souřadnicový systém x"0y", který získáme rotací starých souřadnicových os kolem počátečního bodu 0 proti směru hodinových ručičekšipky na rohu α .

Pokud některý bod roviny v souřadnicovém systému x0y měl souřadnice (x, y), pak v novém souřadném systému x"0y" bude mít jiné souřadnice (x", y").

Jako příklad uvažujme bod M, umístěný na ose 0x" a vzdálený od bodu 0 ve vzdálenosti rovné 1.

Je zřejmé, že v systému souřadnic x0y má tento bod souřadnice (cos α , hřích α ), a v souřadnicovém systému x"0y" jsou souřadnice (1,0).

Souřadnice libovolných dvou bodů roviny A a B závisí na tom, jak je v této rovině nastaven souřadnicový systém. Ale vzdálenost mezi těmito body nezávisí na tom, jak je zadán souřadnicový systém. Tuto důležitou okolnost zásadně využijeme v další části.

Cvičení

I. Najděte vzdálenosti mezi body roviny se souřadnicemi:

1) (3,5) a (3,4); 3) (0,5) a (5, 0); 5) (-3,4) a (9, -17);

2) (2, 1) a (-5, 1); 4) (0,7) a (3,3); 6) (8, 21) a (1, -3).

II. Najděte obvod trojúhelníku, jehož strany jsou dány rovnicemi:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 a y = 1.

III. V souřadnicovém systému x0y mají body M a N souřadnice (1, 0) a (0,1). Najděte souřadnice těchto bodů v novém souřadnicovém systému, který se také získá otočením starých os kolem výchozího bodu o úhel 30° proti směru hodinových ručiček.

IV. V souřadnicovém systému x0y mají body M a N souřadnice (2, 0) a (\ / 3/2, - 1/2). Najděte souřadnice těchto bodů v novém souřadnicovém systému, který se získá otočením starých os kolem počátečního bodu o úhel 30° ve směru hodinových ručiček.

Po zahájení řešení úloh na dané téma by studenti měli být schopni postavit bod na rovině podle jeho souřadnic a také najít souřadnice daného bodu.

Pokud se jeden z konců úsečky shoduje s počátkem a druhý má souřadnice M (x M; y M), pak vzorec pro výpočet d bude mít tvar OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body danými souřadnicemi těchto bodů

Příklad 1.

Najděte délku úsečky, která spojuje body A(2; -5) a B(-4; 3) v souřadnicové rovině (obr. 1).

Řešení.

Podmínka problému je dána: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 a y B = 3. Najděte d.

Použitím vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) dostaneme:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Výpočet souřadnic bodu, který je stejně vzdálený od tří daných bodů

Příklad 2

Najděte souřadnice bodu O 1, který je stejně vzdálený od tří bodů A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Řešení.

Z formulace podmínky úlohy vyplývá, že O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Nechť požadovaný bod O 1 má souřadnice (a; b). Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) zjistíme:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sestavíme soustavu dvou rovnic:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po umocnění levé a pravé strany rovnic zapíšeme:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Zjednodušení, píšeme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Po vyřešení soustavy dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je stejně vzdálený od tří bodů uvedených v podmínce, které neleží na jedné přímce. Tento bod je středem kružnice procházející třemi danými body. (obr. 2).

3. Výpočet úsečky (ordináty) bodu, který leží na ose úsečky (ordináta) a je v dané vzdálenosti od tohoto bodu

Příklad 3

Vzdálenost od bodu B(-5; 6) k bodu A ležícímu na ose x je 10. Najděte bod A.

Řešení.

Z formulace podmínky úlohy vyplývá, že pořadnice bodu A je nulová a AB = 10.

Značíme-li úsečku bodu A až a, píšeme A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnici √((a + 5) 2 + 36) = 10. Když to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a - 39 = 0.

Kořeny této rovnice a 1 = -13; a 2 = 3.

Získáme dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Zkouška:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Oba získané body odpovídají podmínce problému (obr. 3).

4. Výpočet úsečky bodu, který leží na ose úsečky a je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů

Příklad 4

Najděte bod na ose Oy, který je ve stejné vzdálenosti od bodů A (6; 12) a B (-8; 10).

Řešení.

Nechť souřadnice bodu požadované podmínkou úlohy, ležícího na ose Oy, jsou O 1 (0; b) (v bodě ležícím na ose Oy je úsečka rovna nule). Vyplývá to z podmínky, že O 1 A \u003d O 1 B.

Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) zjistíme:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Máme rovnici √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) nebo 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Po zjednodušení dostaneme: b - 4 = 0, b = 4.

Vyžaduje stav problémového bodu O 1 (0; 4) (obr. 4).

5. Výpočet souřadnic bodu, který je ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a nějakého daného bodu

Příklad 5

Najděte bod M umístěný na souřadnicové rovině ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a od bodu A (-2; 1).

Řešení.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

těch. |-a| = a.

Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) zjistíme:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Udělejme rovnici:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Po umocnění a zjednodušení máme: a 2 - 6a + 5 = 0. Řešíme rovnici, najdeme a 1 = 1; a 2 = 5.

Získáme dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), splňující podmínku úlohy.

6. Výpočet souřadnic bodu, který je ve stejné zadané vzdálenosti od osy úsečky (ordináta) a od tohoto bodu

Příklad 6

Najděte bod M takový, že jeho vzdálenost od osy y a od bodu A (8; 6) bude rovna 5.

Řešení.

Z podmínky úlohy vyplývá, že MA = 5 a úsečka bodu M je rovna 5. Pořadnice bodu M nechť je rovna b, pak M(5; b) (obr. 6).

Podle vzorce d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) máme:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Udělejme rovnici:

Máte nějaké dotazy? Nejste si jisti, jak zjistit vzdálenost mezi dvěma body v rovině?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.