Да разгледаме произволен триъгълник ABC и точка D, която не лежи в равнината на този триъгълник. Свържете тази точка с отсечки с върховете на триъгълника ABC. В резултат на това получаваме триъгълници ADC , CDB , ABD . Повърхнината, ограничена от четири триъгълника ABC, ADC, CDB и ABD, се нарича тетраедър и се означава DABC.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат ​​негови лица.
Страните на тези триъгълници се наричат ​​ръбове на тетраедъра. И техните върхове са върховете на тетраедър

Тетраедърът има 4 лица, 6 ребраи 4 върха.
Две ребра, които нямат общ връхсе наричат ​​противоположни.
Често за удобство се нарича едно от лицата на тетраедъра база, а останалите три лица са странични лица.

По този начин тетраедърът е най-простият многостен, чиито лица са четири триъгълника.

Но също така е вярно, че всяка произволна триъгълна пирамида е тетраедър. Тогава също е вярно, че се нарича тетраедър пирамида с триъгълник в основата си.

Височината на тетраедъранарича сегмент, който свързва връх с точка, разположена на противоположното лице и перпендикулярна на него.
Медиана на тетраедърнарича сегмент, който свързва върха с пресечната точка на медианите на противоположното лице.
Бимедиен тетраедърсе нарича сегмент, който свързва средните точки на пресичащите се ръбове на тетраедъра.

Тъй като тетраедърът е пирамида с триъгълна основа, обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата

• Се площта на всяко лице,
• з- височината, спусната на това лице

Правилен тетраедър - специален вид тетраедър

Нарича се тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници правилно.
Свойства на правилния тетраедър:

• Всички ръбове са равни.
• Всички равнинни ъгли на правилния тетраедър са 60°
• Тъй като всеки негов връх е връх на три правилни триъгълника, сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°
• Всеки връх на правилен тетраедър се проектира към ортоцентъра на срещуположното лице (към пресечната точка на височините на триъгълника).

Нека ни е даден правилен тетраедър ABCD с ръбове, равни на a . DH е неговата височина.
Да направим допълнителни постройки BM - височината на триъгълника ABC и DM - височината на триъгълника ACD .
Височината BM е равна на BM и е равна
Да разгледаме триъгълник BDM, където DH, което е височината на тетраедъра, е и височината на този триъгълник.
Височината на триъгълник, паднала на страната MB, може да се намери с помощта на формулата

, където
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Заменете тези стойности във формулата за височина. Вземете


Нека извадим 1/2a. Вземете

Приложете формулата разлика на квадратите

След някои малки трансформации получаваме


Обемът на всеки тетраедър може да се изчисли с помощта на формулата
,
където ,

Замествайки тези стойности, получаваме

Така формулата за обем за правилен тетраедър е

където а– ръб на тетраедър

Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

Нека са ни дадени координатите на върховете на тетраедъра

Начертайте вектори от върха , , .
За да намерите координатите на всеки от тези вектори, извадете съответната начална координата от крайната координата. Вземете

От основната формула за обема на тетраедър

където Се областта на всяко лице и з- височината, спусната върху него, можете да извлечете цяла поредица от формули, изразяващи обема по отношение на различни елементи на тетраедъра. Даваме тези формули за тетраедъра ABCD.

(2) ,

където ∠ ( AD,ABC) е ъгълът между ръба ADи лицева равнина ABC;

(3) ,

където ∠ ( ABC,ABD) е ъгълът между лицата ABCи ABD;

където | AB,CD| - разстояние между срещуположните ребра ABи CD, ∠ (AB,CD) е ъгълът между тези ръбове.

Формули (2)–(4) могат да се използват за намиране на ъглите между прави и равнини; формула (4) е особено полезна, с която можете да намерите разстоянието между косите линии ABи CD.

Формули (2) и (3) са подобни на формулата С = (1/2)абгрях ° Сза площта на триъгълник. Формула С = rpподобна формула

където rе радиусът на вписаната сфера на тетраедъра, Σ е неговата обща повърхност (сумата от площите на всички лица). Има и красива формула, която свързва обема на тетраедър с радиуса Рнеговият описан обхват ( Формула на Крел):

където Δ е площта на триъгълник, чиито страни са числено равни на продуктите на противоположните ръбове ( AB× CD, AC× BD,AD× пр.н.е). От формула (2) и косинусовата теорема за тристенни ъгли (виж Сферична тригонометрия) може да се изведе формула, подобна на формулата на Херон за триъгълници.

Дефиниция на тетраедър

Тетраедър- най-простото многостенно тяло, чиито лица и основа са триъгълници.

Онлайн калкулатор

Тетраедърът има четири лица, всяко от които е образувано от три страни. Тетраедърът има четири върха, всеки с три ръба.

Това тяло е разделено на няколко типа. По-долу е тяхната класификация.

1. Изоедърен тетраедър- всичките му лица са еднакви триъгълници;
2. Ортоцентричен тетраедър- всички височини, изтеглени от всеки връх до противоположното лице, са еднакви по дължина;
3. Правоъгълен тетраедър- ръбовете, излизащи от един връх, образуват ъгъл от 90 градуса един с друг;
4. кадър;
5. Пропорционално;
6. нецентричен.

Формули за обем на тетраедър

Обемът на дадено тяло може да се намери по няколко начина. Нека ги анализираме по-подробно.

Чрез смесеното произведение на вектори

Ако тетраедърът е изграден от три вектора с координати:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)а= (а х​ , а г​ , а z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b х​ , b г​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)° С= (° С х​ , ° С г​ , ° С z​ ) ,

тогава обемът на този тетраедър е смесеното произведение на тези вектори, тоест такава детерминанта:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix) )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ b х​ ° С х​ ​ а г​ b г​ ° С г​ ​ а z​ b z​ ° С z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Координатите на четирите върха на октаедъра са известни. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Намерете неговия обем.

Решение

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Първата стъпка е да се определят координатите на векторите, върху които е построено даденото тяло.
За да направите това, трябва да намерите всяка координата на вектора, като извадите съответните координати на две точки. Например векторни координати A B → \стрелка надясно(AB) А Б, тоест вектор, насочен от точка А А Акъм основния въпрос Б Б б, това са разликите на съответните координати на точките Б Б би А А А:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \стрелка надясно(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \стрелка надясно(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \стрелка надясно(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -осем)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Сега нека намерим смесения продукт на тези вектори, за това съставяме детерминанта от трети ред, като приемаме, че A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)А Б= а, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= ° С.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ b х​ ° Сх​ ​ аг​ bг​ ° Сг​ ​ аz​ bz​ ° Сz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Тоест, обемът на тетраедър е:

$V=61\cdot |$

Отговор

$44.8\text{см3 .}$

Формулата за обема на равностен тетраедър по неговата страна

Тази формула е валидна само за изчисляване на обема на изоедърен тетраедър, т.е. тетраедър, в който всички лица са еднакви правилни триъгълници.

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

а аае дължината на ръба на тетраедъра.

Намерете обема на тетраедър, ако страната му е дадена равна на $11\text{см.}$

Решение

$а=11$

Заместител а аавъв формулата за обема на тетраедър:

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{см3}}}}}$

Отговор

$156.8\text{см3 .}$