พิจารณาตัวแปรที่เป็นไปตามกระบวนการสุ่มของมาร์คอฟ สมมติว่าค่าปัจจุบันของมันคือ 10 และการเปลี่ยนแปลงในระหว่างปีอธิบายโดยฟังก์ชัน 0(0, 1) โดยที่ a) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติด้วยค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ // และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน o การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบใดที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรนี้ในช่วงสองปี
การเปลี่ยนแปลงในตัวแปรหลังจากสองปีอธิบายได้จากผลรวมของการแจกแจงแบบปกติ 2 รายการโดยมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหน่วย เนื่องจากตัวแปรคือ Markovian การแจกแจงเหล่านี้จึงเป็นอิสระจากกัน ด้วยการเพิ่มการแจกแจงปกติอิสระสองตัว เราจะได้การแจกแจงแบบปกติ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ซึ่งเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของแต่ละเทอม และความแปรปรวนคือผลรวมของความแปรปรวน ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรภายใต้การพิจารณาในช่วงสองปีจะเป็นศูนย์ และความแปรปรวนคือ 2.0 ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงค่าของตัวแปรหลังจากสองปีจึงเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็น φ(0, %/2)
พิจารณาการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรถัดไปในช่วงหกเดือน ความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรนี้ในช่วงหนึ่งปีจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ในช่วงหกเดือนแรกและเดือนที่สอง เราถือว่าความแปรปรวนเหล่านี้เหมือนกัน จากนั้นความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรในช่วงหกเดือนคือ 0.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1/0.5 ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรในช่วงหกเดือนคือ φ(0, \DW)
การให้เหตุผลที่คล้ายกันช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรในช่วงสามเดือนมีการแจกแจงเป็น 0(0, ^/0.25) โดยทั่วไปแล้ว การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในช่วงเวลา T อธิบายได้โดยการแจกแจงความน่าจะเป็น φ(0, \[T) )
รากที่สองในนิพจน์เหล่านี้อาจดูแปลก สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าในการวิเคราะห์กระบวนการมาร์คอฟ ความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปร ณ จุดต่อเนื่องของเวลาเพิ่มขึ้น แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ได้เกิดขึ้น ในตัวอย่างของเรา ความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรในช่วงหนึ่งปีคือ 1.0 ดังนั้นความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรนี้เป็นเวลาสองปีคือ 2.0 และหลังจากสามปีจะเป็น 3.0 ในขณะเดียวกันค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรหลังจากสองปีและสามปีคือ \/2 และ \/3 ตามลำดับ พูดอย่างเคร่งครัด เราไม่ควรพูดว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรในหนึ่งปีคือ 1.0 ต่อปี ควรกล่าวว่าเท่ากับ "รากที่สองของความสามัคคีต่อปี" สิ่งนี้อธิบายว่าทำไมจำนวนความไม่แน่นอนมักถูกพิจารณาว่าเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของเวลา
กระบวนการวีเนอร์
กระบวนการที่ตัวแปรที่กล่าวถึงข้างต้นอยู่ภายใต้เรียกว่ากระบวนการ Wiener เป็นกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่มมาร์คอฟ เมื่อความคาดหวังของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรเป็นศูนย์ และความแปรปรวนคือ 1.0 กระบวนการนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่เกี่ยวข้องกับการชนกับโมเลกุลจำนวนมาก (ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน(การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน)).
พูดอย่างเป็นทางการ ตัวแปร z เป็นไปตามกระบวนการ Wiener หากมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
คุณสมบัติ 1. การเปลี่ยนแปลงใน Az ในช่วงเวลาสั้น ๆ At เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน
Az = ey/ที่ (12.1)
โดยที่ e เป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นไปตามการแจกแจงปกติมาตรฐาน φ(0.1)
คุณสมบัติ 2 ค่า Az ในช่วงเวลาเล็ก ๆ สองช่วงเวลาที่เป็นอิสระต่อกัน
จากคุณสมบัติแรกที่ปริมาณ Az มีการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับศูนย์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ VAt และความแปรปรวนเท่ากับ At คุณสมบัติที่สองหมายความว่าปริมาณ 2 เป็นไปตามกระบวนการมาร์คอฟ
พิจารณาการเพิ่มขึ้นของตัวแปร z ในระยะเวลาที่ค่อนข้างนาน T การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถแสดงเป็น z(T) - z(0) มันสามารถแสดงเป็นผลรวมของการเพิ่มขึ้นของตัวแปร r เหนือ N ช่วงเวลาที่ค่อนข้างเล็กของความยาว At ที่นี่
เพราะฉะนั้น,
z(t)z(o) = J2?^t' (12.2)
r=1
โดยที่?r,r = 1,2,...,LG เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็น φ(0,1) จากคุณสมบัติที่สองของกระบวนการ Wiener เป็นไปตามนั้น ปริมาณ?
?; เป็นอิสระจากกัน จากนิพจน์ (12.2) ตัวแปรสุ่ม z(T) - z(0) มีการแจกแจงแบบปกติ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือศูนย์ ความแปรปรวนคือ NAt = T และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ y/T ข้อสรุปเหล่านี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ระบุไว้ข้างต้น ตัวอย่าง 12.1
สมมติว่าค่าของ r ของตัวแปรสุ่มที่เป็นไปตามกระบวนการ Wiener ณ ช่วงเวลาเริ่มต้นคือ 25 และวัดเวลาเป็นปี เมื่อสิ้นสุดปีแรก ค่าของตัวแปรจะถูกกระจายตามปกติด้วยค่าที่คาดไว้คือ 25 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 1.0 เมื่อสิ้นสุดปีที่ 5 ค่าของตัวแปรจะมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 25 ​​และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น n/5 เช่น 2.236. ความไม่แน่นอนของค่าตัวแปร ณ จุดใดจุดหนึ่งในอนาคต ซึ่งวัดจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นจะเพิ่มขึ้นเป็น รากที่สองจากความยาวของช่วงเวลาที่คาดการณ์ไว้ ?
ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การผ่านไปยังขีดจำกัดนั้นถูกใช้อย่างแพร่หลาย เมื่อค่าของการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น เมื่อ At -> 0 ปริมาณ Ax = aAt จะเปลี่ยนเป็นปริมาณ dx = adt ในการวิเคราะห์กระบวนการสุ่มจะใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ At -> 0 กระบวนการ Az ที่อธิบายไว้ข้างต้นมีแนวโน้มที่จะเป็นกระบวนการ Wiener dz
บนมะเดื่อ รูปที่ 12.1 แสดงวิถีการเคลื่อนที่ของตัวแปร z เมื่อ At -> 0 โปรดทราบว่ากราฟนี้มีรอยหยัก นี่เป็นเพราะการเปลี่ยนแปลงในตัวแปร z เมื่อเวลาผ่านไป At เป็นสัดส่วนกับค่าของ v^Af และเมื่อค่าของ At น้อยลง ตัวเลข \/At จะมากกว่า At มาก ด้วยเหตุนี้ กระบวนการ Wiener จึงมีคุณสมบัติที่น่าสนใจสองประการ
1. ความยาววิถีโคจรที่คาดหวังที่ตัวแปร z เดินทางในช่วงเวลาใดๆ นั้นมีค่าเป็นอนันต์
2. จำนวนที่คาดหวังของตัวแปร z ที่ตรงกันกับค่าเฉพาะใดๆ ในช่วงเวลาใดๆ นั้นมีค่าเป็นอนันต์
กระบวนการ Wiener ทั่วไป
อัตราดริฟท์หรือค่าสัมประสิทธิ์การดริฟท์ของกระบวนการสโทแคสติกคือการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในตัวแปรต่อหน่วยเวลา และอัตราแปรปรวนหรือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายคือจำนวนความผันผวนต่อหน่วยเวลา อัตราดริฟต์ของกระบวนการ Wiener หลัก dz ที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นศูนย์และความแปรปรวนคือ 1.0 การเลื่อนลอยเป็นศูนย์หมายความว่าค่าที่คาดหวังของตัวแปร z ณ เวลาใดก็ตามจะเท่ากับค่าปัจจุบัน ความแปรปรวนหน่วยของกระบวนการหมายความว่าความแปรปรวนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปร z ในช่วงเวลา T เท่ากับความยาว
ข้าว. 12.1. การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นในตัวอย่าง
กระบวนการ Wiener ทั่วไปสำหรับ x สามารถกำหนดได้ในรูปของ dz ดังนี้
dx - adt + bdz, (12.3)
โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่
เพื่อให้เข้าใจความหมายของสมการ (12.3) การพิจารณาคำศัพท์สองคำทางด้านขวาแยกจากกันจะเป็นประโยชน์ คำว่า a dt หมายความว่าความเร็วดริฟต์ที่คาดหวังของตัวแปร x คือ 0 หน่วยต่อหน่วยเวลา หากไม่มีเทอมที่สอง สมการ (12.3) จะกลายเป็นสมการ
dx=แอด,
จึงเป็นไปตามนั้น
ดีเอ็กซ์
การรวมสมการนี้เมื่อเวลาผ่านไป เราจะได้
x = xo + ก?,
โดยที่ xo คือค่าของตัวแปร x ที่เวลาเป็นศูนย์ ดังนั้น ในช่วงเวลา T ตัวแปร x จะเพิ่มขึ้นตามค่าของ ee คำว่า b dz อาจหมายถึงสัญญาณรบกวน หรือความแปรปรวนในวิถีการเคลื่อนที่ที่ตัวแปร x เดินทาง ขนาดของสัญญาณรบกวนนี้มีค่ามากกว่าค่าของกระบวนการ Wiener b เท่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกระบวนการ Wiener คือ 1.0 เป็นไปตามที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ b dz เท่ากับ b ในช่วงเวลาสั้นๆ AL การเปลี่ยนแปลงในตัวแปร x ถูกกำหนดโดยสมการ (12.1) และ (12.3)
ขวาน \u003d aAb ​​+ bEY / Ab
โดยที่ e เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ดังนั้น ปริมาณ Ax จะมีการแจกแจงแบบปกติ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์เท่ากับ aAb ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 6n/D7 และความแปรปรวนคือ b2D/ การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงในตัวแปร x ในช่วงเวลาตามอำเภอใจ T มีการแจกแจงแบบปกติด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ c.T, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน bu/T และความแปรปรวน b2T ดังนั้น อัตราดริฟต์ที่คาดไว้ของกระบวนการวีเนอร์แบบทั่วไป (12.3) (เช่น การเปลี่ยนแปลงดริฟท์เฉลี่ยต่อหน่วยเวลา) จะเท่ากับ a และความแปรปรวน (เช่น ความแปรปรวนของตัวแปรต่อหน่วยเวลา) คือ b2 กระบวนการนี้แสดงในรูปที่ 12.2. เรามาอธิบายการดาวน์โหลดด้วยตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 12.2
พิจารณาสถานการณ์ที่ส่วนแบ่งของสินทรัพย์ของบริษัทที่ลงทุนในสถานะเงินสดระยะสั้น (สถานะเงินสด) ที่วัดเป็นหน่วยหลายพันดอลลาร์อยู่ภายใต้กระบวนการ Wiener ทั่วไปที่มีอัตราการลอยตัวที่ 20,000 ดอลลาร์ต่อปีและผลต่าง 900,000 ดอลลาร์ต่อปี ปี. ในช่วงเวลาแรกของเวลา ส่วนแบ่งของสินทรัพย์คือ 50,000 ดอลลาร์ หลังจากผ่านไป 1 ปี ส่วนแบ่งของสินทรัพย์นี้จะมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ 70,000 ดอลลาร์ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ l/900 นั่นคือ $30 หกเดือนต่อมา โดยปกติจะมีการแจกจ่ายโดยคาดหวังไว้ที่ $60,000 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ $30\DC >= $21.21 ความไม่แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับส่วนแบ่งของสินทรัพย์ที่ลงทุนในรายการเทียบเท่าเงินสดระยะสั้นที่วัดโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มขึ้นเมื่อ รากที่สองของความยาวของช่วงเวลาที่ทำนาย โปรดทราบว่าส่วนแบ่งของสินทรัพย์นี้อาจกลายเป็นค่าลบได้ (เมื่อบริษัทยืม) ?
กระบวนการอิโตะ
กระบวนการสโตแคสติกแบบอิโตเป็นกระบวนการแบบ Wiener ทั่วไป ซึ่งพารามิเตอร์ a และ b เป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร x และเวลา t กระบวนการ Ito สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้
dx = ก(x, t)dt + b(x, t)d,z,?
ทั้งอัตราการดริฟท์ที่คาดไว้และความแปรปรวนของกระบวนการนี้เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ในช่วงเวลาสั้น ๆ จาก t ถึง At ตัวแปรจะเปลี่ยนจาก
x ถึง x + อา ที่ไหน
Ax = a(x, t) ที่ + b(x, t)e\fAt
ความสัมพันธ์นี้มีความยืดเยื้อเล็กน้อย มันเกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าเราพิจารณาการเลื่อนลอยและความแปรปรวนของตัวแปร x ค่าคงที่ซึ่งในช่วงเวลาจาก t ถึง At เท่ากับ a(x, t) และ b(x, t)2 ตามลำดับ

วัสดุจาก synset

เอกสารเหล่านี้เป็นฉบับย่อของหนังสือ "Stochastic World" แบบอิเล็กทรอนิกส์ หลังจากการแปลงจาก LaTex สิ่งประดิษฐ์ที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ก็ปรากฏขึ้น ซึ่งจะค่อยๆ ถูกกำจัดออกไป เกี่ยวกับข้อผิดพลาดหรือการละเว้นที่พบใน รุ่นล่าสุด คำขออย่างจริงจังรายงาน เช่น ในแท็บ "การสนทนา" ที่ด้านบนของหน้านี้หรือทางไปรษณีย์ทางคณิตศาสตร์ สิ่งนี้จะช่วยคุณอย่างมากในการปรับปรุงหนังสือ ยินดีต้อนรับความคิดเห็นทั่วไป: สิ่งที่คุณชอบและสิ่งที่คุณไม่ชอบ หากต้องการอ่านหนังสือในเว็บเบราว์เซอร์ คุณควรอ่านคำแนะนำเกี่ยวกับการตั้งค่าเบราว์เซอร์ของคุณเพื่อการดูสูตรที่สะดวกสบายยิ่งขึ้น

ขอแสดงความนับถือ Stepanov Sergey Sergeevich

เหตุการณ์สุ่ม

สมการสุ่ม

ค่าเฉลี่ยของกระบวนการสุ่ม

ความน่าจะเป็นของกระบวนการสุ่ม

ปริพันธ์สุ่ม

ระบบสมการ

ธรรมชาติสุ่ม

สังคมสุ่ม

สรุป

เหตุการณ์สุ่ม

ไม่มีเหตุการณ์และกระบวนการที่กำหนดอย่างแน่นอน จักรวาลพูดกับเราในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับมันเป็นอย่างดี ดังนั้นจึงเรียกคืนเฉพาะข้อเท็จจริงที่จำเป็นสำหรับการศึกษาเพิ่มเติมของหัวข้อนี้เท่านั้น

ส่วนแรกเป็นบทนำ ซึ่งนำไปสู่ความต้องการใช้สุ่ม สมการเชิงอนุพันธ์ในการศึกษาระบบต่างๆ จากนั้นจะกล่าวถึงแนวคิดของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณค่าที่สังเกตได้จากค่าเฉลี่ย ความน่าจะเป็นแบบ Gaussian อยู่ภายใต้สัญญาณรบกวนที่ส่งผลต่อไดนามิกเชิงกำหนด การเชื่อมต่อแบบสุ่มระหว่างตัวแปรสุ่มและในทางกลับกัน ความเป็นอิสระมีความสำคัญในการตรวจจับรูปแบบระหว่างวัตถุต่างๆ และลักษณะเฉพาะ ส่วนสำคัญของบทคือ โมเดลเดินเสริม. มันคือการวางรูปแบบทั่วไปของโมเดลง่ายๆ นี้ ซึ่งจะนำเราไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มในบทต่อไป ส่วนสุดท้าย Martingales และชีสฟรีมีคำจำกัดความที่เป็นทางการจำนวนหนึ่ง ซึ่งสามารถละเว้นได้หากต้องการ

สมการสุ่ม

บทนี้เป็นกุญแจสำคัญ แนะนำวัตถุทางคณิตศาสตร์หลักที่เราสนใจ - สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม เราจะใช้วิธีที่ไม่เป็นทางการและใช้งานง่ายที่สุด โดยเชื่อว่าการได้รับผลลัพธ์ทางปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจงนั้นสำคัญกว่าการให้เหตุผลอย่างเข้มงวดทางคณิตศาสตร์

สมการสโทแคสติกแสดงถึงขีดจำกัดเวลาต่อเนื่องตามธรรมชาติของกระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่พิจารณาในบทที่แล้ว แม้ในขณะที่แก้สมการต่อเนื่อง เราจะกลับไปที่สมการที่ไม่ต่อเนื่องอย่างต่อเนื่อง ทั้งเพื่อให้ได้ผลการวิเคราะห์ทั่วไปและสำหรับการจำลองเชิงตัวเลข ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างยิ่งของบทนี้คือบทแทรกของ Ito ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราจะได้เรียนรู้วิธีหาคำตอบของสมการที่ถูกต้องในปัญหาง่ายๆ แต่สำคัญสำหรับการใช้งานจริง จากนั้นจะกล่าวถึงวิธีการคำนวณฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการสุ่มและคุณสมบัติทางสเปกตรัม โดยสรุปเราจะพูดถึงหัวข้อของระบบสมการซึ่งเราจะกลับมาอย่างสม่ำเสมอมากขึ้นในบทที่หก

ค่าเฉลี่ย

สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันสุ่ม x(t) เป็นเพียงหนึ่งในภาษาที่เป็นไปได้สำหรับการอธิบายกระบวนการสโทแคสติก ในสถานการณ์ที่ระบบมีวิวัฒนาการเมื่อเวลาผ่านไป ค่าเฉลี่ยก็เปลี่ยนแปลงและเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ อันที่จริง วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาคือวิธีที่ตรงที่สุดในการได้รับผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์

เราเริ่มบทนี้ด้วยการหาสมการไดนามิกสำหรับค่าเฉลี่ย จะใช้เพื่อให้ได้นิพจน์อย่างง่ายสำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในสถานการณ์ที่ระบบมีระบอบการปกครองแบบคงที่ จากนั้นเราจะวิเคราะห์ปัญหาสุ่มสองรายการโดยละเอียด: สมการเฟลเลอร์และสมการโลจิสติก โดยสรุป เราจะพิจารณาวิธีการขยายค่าเฉลี่ยเป็นอนุกรมกำลังในเวลาและการประมาณกึ่งกำหนด

ความน่าจะเป็น

อีกวิธีในการรับข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมของกระบวนการสโทแคสติกคือการแก้สมการสำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งบทนี้จะกล่าวถึง

บน ตัวอย่างง่ายๆวิธีการแก้สมการดังกล่าวจะแสดงให้เห็น จากนั้นเราจะพิจารณาปัญหาของเงื่อนไขขอบเขตซึ่งพิจารณาโดยธรรมชาติมากที่สุดโดยใช้สมการฟอกเกอร์-พลังค์ เวลาเฉลี่ยที่จะไปถึงขอบเขตจะถูกคำนวณ และวิธีการง่ายๆ ในการแก้สมการฟอกเกอร์-พลังค์เมื่อมีเงื่อนไขของขอบเขตจะถูกสร้างขึ้น เรามักจะเขียนคำตอบของสมการ x(t) โดยใช้ตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียน

ปริพันธ์สุ่ม

เช่นเดียวกับในการวิเคราะห์ทั่วไป หากมีการกำหนดความแตกต่างแบบสุ่ม ก็เป็นเรื่องปกติที่จะแนะนำการรวมสุ่มเช่นกัน เทคนิคที่เกี่ยวข้องจะให้เครื่องมืออื่นแก่เราในการรับความสัมพันธ์สำหรับกระบวนการสุ่มทั่วไปในบางครั้ง นี่เป็นส่วนที่สวยงามมากของคณิตศาสตร์สุ่มซึ่งใช้อย่างแข็งขันในวรรณกรรมเพื่อการศึกษาและวิทยาศาสตร์

มีการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยสองครั้งในสมการเชิงอนุพันธ์ สัดส่วนการดริฟท์กับ dt และความผันผวนของสัญญาณรบกวน ดังนั้น ปริพันธ์สองประเภทจึงเป็นไปได้ ในส่วนแรก เราพิจารณาปริพันธ์สุ่มมากกว่า dt ศึกษาคุณสมบัติหลัก และหาตัวแทนของปริพันธ์บางส่วนในแง่ของตัวแปรสุ่มธรรมดา ส่วนที่สองเกี่ยวข้องกับอินทิกรัล Itô ส่วน นอกจากนี้ จะได้รับเงื่อนไขภายใต้การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่ไม่ซ้ำใคร และจะพิจารณาวิธีการวนซ้ำสำหรับการสร้างวิธีแก้ปัญหานี้

ระบบสมการ

สมการสุ่มหนึ่งมิติทำให้สามารถอธิบายเฉพาะระบบเปรียบเทียบง่ายๆ แม้แต่สำหรับออสซิลเลเตอร์ทั่วไป ก็จำเป็นต้องแก้ระบบสมการอันดับหนึ่งสองสมการ ความเป็นจริงใน กรณีทั่วไป-- มีหลายมิติ มันทำให้เรามีตัวอย่างมากมายของกระบวนการสุ่มที่ค่อนข้างซับซ้อน แต่น่าสนใจอย่างยิ่ง

ในกรณีหนึ่งมิติ เราจะเริ่มด้วยกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง การทำให้ภาพรวมเป็นกรณีต่อเนื่องจะนำเราไปสู่ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม ในความเป็นจริงบทนี้ซ้ำกับผลลัพธ์ส่วนใหญ่ของบทก่อนหน้า สำหรับผู้ที่มั่นใจในพีชคณิตเมตริกซ์และเมตริกซ์ การวางนัยทั่วไปที่สอดคล้องกันจะใช้เป็นวิธีการทำซ้ำเนื้อหาที่รู้จักแล้วเท่านั้น หลังจากได้รับสมการหลายมิติพื้นฐานแล้ว วิธีแก้ปัญหาบางอย่างจะได้รับการพิจารณา

ธรรมชาติสุ่ม

บทนี้แสดงตัวอย่างระบบธรรมชาติที่อธิบายโดยธรรมชาติโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม ระบบเหล่านี้ครอบคลุมการใช้งานที่หลากหลายตั้งแต่ฟิสิกส์ไปจนถึงชีววิทยา แต่ไม่ต้องการความรู้เชิงลึกในด้านที่เกี่ยวข้อง ส่วนใหญ่ไม่เกี่ยวข้องกันและสามารถอ่านในลำดับใดก็ได้โดยไม่ขึ้นต่อกัน สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มอันแรกเขียนโดย Paul Langevin ในปี 1908 นี่คือจุดเริ่มต้นของบทนี้

สังคมสุ่ม

บทนี้ได้รวบรวมตัวอย่างบางส่วนของการประยุกต์ใช้วิธีการสุ่มกับตลาดการเงินและเศรษฐศาสตร์ ธรรมชาติที่ผันผวนของราคาและตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจนำไปสู่ความจริงที่ว่าไดนามิกของระบบที่สอดคล้องกันนั้นเป็นแบบสุ่ม และคำศัพท์ในสมการ Ito มีบทบาทนำ

อันดับแรก เราจะพูดนอกเรื่องสั้นๆ เกี่ยวกับตลาดการเงินและคุณสมบัติเชิงประจักษ์ของราคาตราสารทางการเงิน จากนั้นพิจารณาทฤษฎีการกระจายความเสี่ยงและค่าสัมประสิทธิ์เบต้า วิธี Stochastic มีประโยชน์มากเมื่อศึกษาเครื่องมือทางการเงินที่ซับซ้อน ตัวอย่างของเครื่องมือดังกล่าวเป็นตัวเลือก เราจะพิจารณาคุณสมบัติหลักและสอง วิธีทางที่แตกต่างเราได้รับสูตร Black-Scholes หลังจากนั้น เราจะพิจารณาแบบจำลองเส้นอัตราผลตอบแทนแบบปัจจัยเดียวอย่างง่าย

การตรวจจับสัญญาณเรดาร์นั้นไม่แน่นอน เนื่องจากมีความผันผวนแบบสุ่มหรือ "สัญญาณรบกวน" ในเวลาเดียวกันด้วย หากเป็นไปได้ที่จะทำนายค่าที่แน่นอนของแรงดันหรือกระแสสัญญาณรบกวน พวกมันสามารถถูกลบออกจากสัญญาณทั้งหมด จากนั้นจึงทำการตัดสินใจที่แน่นอนเกี่ยวกับการมีหรือไม่มีสัญญาณ แต่การทำนายดังกล่าวเป็นไปไม่ได้เนื่องจากแรงดันเสียงปรากฏขึ้นเนื่องจากการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนที่วุ่นวายของไอออน - และอิเล็กตรอนในองค์ประกอบของเครื่องรับและในพื้นที่รอบ ๆ เสาอากาศ สิ่งที่ดีที่สุดที่สามารถทำได้คือการอธิบายความผันผวนของแรงดันไฟฟ้าในเชิงสถิติในแง่ของการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าเหล่านั้น และใช้สถิติเหล่านี้ในการออกแบบเครื่องรับที่สามารถตรวจจับได้สำเร็จในจำนวนสูงสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในการทดลองจำนวนมาก บทนี้ให้คำอธิบายทางสถิติของสัญญาณรบกวน และบทถัดไปจะแนะนำเกณฑ์ต่างๆ สำหรับความสำเร็จและความล้มเหลวในสถานการณ์ทางสถิติ โดยระบุว่าควรคำนึงถึงข้อพิจารณาใดบ้างเมื่อค้นหาการออกแบบตัวรับสัญญาณที่เหมาะสมที่สุด

หากแรงดันไฟฟ้าที่จุดใดจุดหนึ่งในเครื่องรับเรดาร์ เช่น ตารางของท่อขยายสัญญาณหลอดแรก ถูกบันทึกเป็นฟังก์ชันของเวลา การบันทึกนั้นจะไม่แน่นอนโดยสิ้นเชิง และดูเหมือนว่าจะไม่มีทางคำนวณหรือทำนายค่าได้ ​​ของแรงดันไฟฟ้าที่ผันผวนนี้ หากแรงดันไฟฟ้าถูกบันทึกพร้อมกันที่จุดที่สอดคล้องกันของแต่ละชุดเครื่องรับที่เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน

พวกเขาจะแตกต่างกันในรายละเอียดจากผู้รับไปยังผู้รับ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติคร่าวๆ หรือค่าเฉลี่ยของเรกคอร์ดจะเกือบจะเหมือนกัน โดยการศึกษาบันทึกดังกล่าวจำนวนมากและกำหนดความถี่สัมพัทธ์กับปริมาณที่พิจารณา ความหมายต่างๆเป็นไปได้ที่จะอธิบายพฤติกรรมของความเครียดที่ขึ้นๆ ลงๆ ในเชิงสถิติ คำอธิบายดังกล่าวจัดทำขึ้นในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งทำให้สามารถสรุปผลเชิงตรรกะเกี่ยวกับคุณสมบัติของความเครียดที่ผันผวนได้ ภาพรวมโดยย่อของทฤษฎีความน่าจะเป็นมีให้ในภาคผนวก B เพื่อความคุ้นเคยที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ผู้อ่านควรศึกษาหนึ่งในตำราเรียนที่ระบุไว้ในเอกสารประกอบในภาคผนวก B ในบทนี้ ทฤษฎีความน่าจะเป็นจะใช้ในการวิเคราะห์ความผันผวนของสัญญาณรบกวน

ฟังก์ชันของเวลา เช่น การบันทึกแรงดันไฟฟ้าผันผวนที่กล่าวถึงข้างต้นเรียกว่าลำดับเวลา และชุดของลำดับเวลาเช่นนั้นที่ได้รับจากเครื่องรับจำนวนมากภายใต้เงื่อนไขเดียวกันเรียกว่าชุด ฟังก์ชันสุ่มที่มีค่าอธิบายโดยระบบการแจกแจงความน่าจะเป็นเท่านั้น ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง มักเรียกว่ากระบวนการสโทแคสติก หากมีการวัดอย่างต่อเนื่องในเวลา กระบวนการสโทแคสติกต่อเนื่องจะเกิดขึ้น ในหลายกรณี ปริมาณจะถูกวัดที่จุดต่อเนื่องกันของเวลาเท่านั้น ซึ่งส่งผลให้เกิดกระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างหลังคือการสังเกตอุณหภูมิรายชั่วโมงหรือรายวันที่สถานีอุตุนิยมวิทยา เราจะจัดการกับกระบวนการต่อเนื่องเป็นส่วนใหญ่ แต่แนวคิดหลายอย่างสามารถนำไปใช้ในระดับเดียวกันเพื่อแยกกระบวนการ สมาชิกแต่ละคนของวงดนตรีเรียกว่าการตระหนักถึงกระบวนการสุ่ม

ถ้าสมาชิกของชุดลำดับเวลาถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่ค่า x ของมัน ณ เวลาใด ๆ อยู่ระหว่างนั้นเท่ากับ

โดยที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปร x โดยสิ่งนี้เราหมายถึงความสัมพันธ์กับข้างต้น

ตัวอย่างต่อไปนี้ หากวัดแรงดันไฟฟ้าที่จุดเดียวกันในเครื่องรับที่เหมือนกันจำนวนมาก จำนวนค่าที่อยู่ในช่วงเวลาดังกล่าวจะเท่ากับความยาวของช่วงเวลาคูณด้วยความยาวของช่วงเวลาเพียงเล็กน้อย) ในหลายกรณีจะไม่ขึ้นอยู่กับเวลาที่ทำการวัด ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นพื้นฐานของคำอธิบายทางสถิติของกระบวนการสโตแคสติก แต่ในตัวมันเองยังไม่เพียงพอ เนื่องจากไม่ได้บอกว่าค่าของ x ที่วัด ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเกี่ยวข้องกับค่าที่วัดได้อย่างไร จุดอื่น ๆ ในเวลา

ให้เราแสดงค่าของลำดับเวลาที่วัดในช่วงเวลาต่อเนื่องกันผ่านฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม

ถูกกำหนดโดยคำสั่งที่ว่าความน่าจะเป็นของการเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน

เท่ากับ เพื่อให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของกระบวนการสโทแคสติกต่อเนื่องจำเป็นต้องระบุฟังก์ชันการกระจายสำหรับตัวเลือกจุดเวลาที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ฟังก์ชันทั้งหมดเหล่านี้ถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ความสัมพันธ์

ตามนิยามของความน่าจะเป็น นอกจากนี้ พวกเขาต้องสอดคล้องกันเพื่อให้สามารถรับฟังก์ชันการกระจายลำดับที่ต่ำกว่าได้โดยการรวมเข้าด้วยกัน

ช่วงเวลาของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร "พิเศษ" ตัวอย่างเช่น,

ตัวแปรใด ๆ ที่มีความเท่าเทียมกัน

เรียกว่าเป็นอิสระทางสถิติ

ฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่นของข้อต่อถูกกำหนดโดยการปฏิบัติงานโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดขึ้นของชุดค่าผสมต่างๆ สำหรับและจุดเวลาที่พิจารณา แต่เห็นได้ชัดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดระบบที่สมบูรณ์ของฟังก์ชั่นการกระจายด้วยวิธีนี้ เพื่อให้ได้การแจกแจงเชิงสมมุติฐาน ทฤษฎีของกระบวนการถูกสร้างขึ้นโดยใช้กฎของฟิสิกส์กับสถานการณ์ที่เกิดขึ้นในสาขาวิทยาศาสตร์ เช่น กลศาสตร์สถิติหรืออุณหพลศาสตร์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีของกระบวนการสโตแคสติก ค่าเฉลี่ยบางค่าจะถูกคำนวณซึ่งสามารถสังเกตได้ และค่าที่คำนวณได้จะถูกเปรียบเทียบกับค่าที่พบจากประสบการณ์ เมื่อสถานการณ์ซับซ้อนเกินไปสำหรับการวิเคราะห์ เช่น ในเศรษฐศาสตร์และอาจแม้แต่ในอุตุนิยมวิทยา จะมีการเสนอ "แบบจำลอง" ทางสถิติอย่างง่ายสำหรับกระบวนการสโทแคสติก โมเดลนี้ให้ฟังก์ชันการแจกจ่ายที่มีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักหลายตัวซึ่งมีค่าประมาณตามข้อมูลที่มีอยู่ จากนั้นจะมีการสรุปผลเชิงตรรกะและหากเป็นไปได้จะทำการเปรียบเทียบกับผลการสังเกตเพิ่มเติม โชคดีที่มีฐานทางทฤษฎีขนาดใหญ่ที่ช่วยให้เราสามารถพิจารณากระบวนการสัญญาณรบกวนทางไฟฟ้าที่พบในปัญหาการตรวจจับสัญญาณ พื้นฐานทางกายภาพบางอย่างจะระบุไว้ด้านล่างใน Sec. 3. แต่ก่อนอื่นเราต้องหารือเกี่ยวกับแนวคิดบางอย่างที่จะนำไปใช้ในการวิเคราะห์กระบวนการสุ่ม

ตราบใดที่เครื่องรับเรดาร์ถูกรักษาไว้ที่อุณหภูมิคงที่และเชื่อมต่อกับเสาอากาศคงที่

ซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากสัญญาณ คำอธิบายทางสถิติของสัญญาณรบกวนที่เครื่องรับจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเวลาอ้างอิง ซึ่งหมายความว่าความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของข้อต่อขึ้นอยู่กับช่วงเวลาระหว่างการวัดเท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดเวลา กระบวนการสุ่มดังกล่าวเรียกว่านิ่ง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น เราจะถือว่าลำดับเวลาที่ศึกษามีคุณสมบัติของความแปรปรวนของเวลาหรือการหยุดนิ่งนี้

เร็กคอร์ดแบบยาวของการนำลำดับเวลาแบบอยู่กับที่มาใช้เพียงครั้งเดียวสำหรับเวลาส่วนใหญ่มีคุณสมบัติเหมือนกัน เห็นได้ชัดว่า กลุ่มจำนวนมากที่นำมาจากสมาชิกคนหนึ่งของวงดนตรีจะสร้างวงดนตรีที่มีคุณสมบัติทางสถิติเดียวกันกับวงดนตรีหลัก หากตัวแปรที่วัดได้เกี่ยวข้องกับ ระบบเครื่องกลเช่น แก๊สหรือไฟฟ้า เช่น วงจร และหากเมื่อเวลาผ่านไประบบผ่านทุกสถานะที่เข้ากันได้กับสภาวะภายนอกที่ผู้ทดลองสร้างขึ้น สมมติฐานข้างต้นถือว่าถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าเฉลี่ยที่พบในกลุ่มตัวอย่างขนาดยาวในการปรับใช้กระบวนการหนึ่งๆ จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของสมาชิกทุกคนในวงในบางช่วงเวลา กระบวนการสุ่มที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าตามหลักสรีรศาสตร์

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยหรือ "ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์" ของลำดับเวลาที่อยู่กับที่ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

โดยที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการสังเกตครั้งเดียว ค่าเฉลี่ยของ x นี้ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ในทางกลับกัน เวลาเฉลี่ย x สามารถกำหนดได้ด้วยสูตร

เนื่องจากสภาวะหยุดนิ่ง เวลาเฉลี่ยนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดที่ค่าเฉลี่ยเริ่มต้น นอกจากนี้ หากกระบวนการสโทแคสติกเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์ เช่นเดียวกันสำหรับความคาดหวังของฟังก์ชันอื่นๆ ของอาร์กิวเมนต์ x

เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการถึงกระบวนการที่ไม่เป็นไปตามสรีรศาสตร์ เช่น ค่าของ x ค่อยๆ เคลื่อนเข้าสู่บริเวณที่ไม่สามารถออกไปได้ หรือหากมีบริเวณที่ "จับต้องได้" ดังกล่าวจำนวนหนึ่ง แต่ในหนังสือเล่มนี้จะสันนิษฐานว่ากระบวนการผันผวนทั้งหมดภายใต้การศึกษาเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์ ความถูกต้องของสมมติฐานดังกล่าวต้องขึ้นอยู่กับความสำเร็จของทฤษฎีที่ได้รับการยอมรับ เนื่องจากแม้ว่าสมมติฐานนี้จะได้รับการยืนยันโดยสัญชาตญาณ เป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบด้วยการทดลอง สมมติฐานการยศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับปัญหาใด ๆ ที่ต้องประเมินพารามิเตอร์ทางสถิติบนพื้นฐานของการดำเนินการทดลองเพียงครั้งเดียวของกระบวนการ

การพัฒนาใดๆ ของกระบวนการตามเวลา (ไม่ว่าจะเป็นปัจจัยกำหนดหรือความน่าจะเป็น) เมื่อวิเคราะห์ในแง่ของความน่าจะเป็นจะเป็นกระบวนการสุ่ม (กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการทั้งหมดที่พัฒนาตามเวลา จากมุมมองของทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นแบบสุ่ม)

ความสุ่มในวิชาคณิตศาสตร์

การใช้คำว่า ความสุ่มในวิชาคณิตศาสตร์เกิดจากผลงานของ Vladislav Bortskevich ซึ่งใช้ในความหมาย สมมติฐานซึ่งในที่สุดก็อ้างถึงนักปรัชญากรีกโบราณรวมถึงงานของ J. Bernoulli Ars Conjectandi (lat. ศิลปะแห่งการเดา)

สาขาการวิจัยแบบสุ่มในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นมีบทบาทอย่างมาก

การใช้วิธีมอนติคาร์โลต้องใช้จำนวนมาก ตัวแปรสุ่มซึ่งนำไปสู่การพัฒนาตัวสร้างตัวเลขสุ่มหลอก ซึ่งเร็วกว่าวิธีสร้างตารางที่ใช้ก่อนหน้านี้มากสำหรับการสุ่มตัวอย่างทางสถิติ

หนึ่งในโปรแกรมที่ใช้วิธีการของมอนติคาร์โลคือ MCNP

ชีววิทยา

ใน ระบบชีวภาพแนวคิดของ "เสียงสโตแคสติก" ถูกนำมาใช้ ซึ่งช่วยขยายสัญญาณป้อนกลับภายใน ใช้ในการควบคุมการเผาผลาญอาหารของผู้ป่วยโรคเบาหวาน นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่อง "ความสุ่มของสัญญาณเสียงพูด"

ยา

มะเร็งเป็นตัวอย่างของผลกระทบสุ่มดังกล่าว

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "Stochasticity"

หมายเหตุ

ลิงค์

• จากที่ปรึกษากองทุนดัชนี
• เพลงทางการ: ความคิดและคณิตศาสตร์ในองค์ประกอบโดย Iannis Xenakis, ISBN 1-57647-079-2
• ความถี่และการเกิดขึ้นของโครงสร้างทางภาษาโดย Joan Bybee และ Paul Hopper (บรรณาธิการ), ISBN 1-58811-028-1 /ISBN 90-272-2948-1 (Eur.)

ข้อความที่ตัดตอนมาลักษณะ Stochasticity

“ไม่ เธอพูดถูก” เจ้าหญิงชราคิด ความเชื่อมั่นทั้งหมดถูกทำลายก่อนที่องค์ชายจะปรากฏตัว - เธอพูดถูก แต่ทำไมในวัยเยาว์ที่แก้ไขไม่ได้ของเราเราไม่รู้เรื่องนี้? และมันก็ง่ายมาก” เจ้าหญิงชราคิดขณะเข้าไปในรถม้า

เมื่อต้นเดือนสิงหาคม คดีของเฮเลนได้รับการตัดสินโดยสมบูรณ์ และเธอได้เขียนจดหมายถึงสามีของเธอ (ซึ่งเธอคิดว่ารักเธอมาก) ซึ่งเธอได้แจ้งให้เขาทราบถึงความตั้งใจที่จะแต่งงานกับ NN และเธอได้เข้าสู่ความจริง ศาสนาและขอให้เขาปฏิบัติตามพิธีการทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการหย่าร้างซึ่งผู้ถือจดหมายฉบับนี้จะสื่อถึงเขา
“Sur ce je prie Dieu, mon ami, de vous avoir sous sa Sainte et puissante garde. Votre amie Helene.
[“ถ้าเช่นนั้น ข้าพเจ้าขอวิงวอนต่อพระเจ้าขอให้ท่านผู้เป็นสหายอยู่ภายใต้การกำบังที่แข็งแกร่งอันบริสุทธิ์ของพระองค์ เพื่อนของคุณเอเลน่า"]
จดหมายฉบับนี้ถูกนำไปที่บ้านของปิแอร์ในขณะที่เขาอยู่ในทุ่งโบโรดิโน

ครั้งที่สองเมื่อสิ้นสุดการต่อสู้ที่ Borodino หลังจากหลบหนีจากแบตเตอรี่ Raevsky ปิแอร์พร้อมทหารจำนวนมากมุ่งหน้าไปตามหุบเขาไปยัง Knyazkov ไปถึงสถานีแต่งตัวและเห็นเลือดและได้ยินเสียงกรีดร้องและเสียงครวญครางก็รีบเดินต่อไป การปะปนกันในหมู่ทหาร
สิ่งหนึ่งที่ปิแอร์ต้องการตอนนี้ด้วยความแข็งแกร่งของจิตวิญญาณของเขาคือการออกจากความประทับใจอันเลวร้ายที่เขาใช้ชีวิตในวันนั้นโดยเร็วที่สุดกลับสู่สภาพปกติของชีวิตและหลับไปอย่างสงบในห้องบนเตียงของเขา ภายใต้สภาวะปกติของชีวิตเท่านั้นที่เขารู้สึกว่าเขาจะสามารถเข้าใจตัวเองและทุกสิ่งที่เขาได้เห็นและประสบ แต่ไม่พบเงื่อนไขธรรมดาของชีวิตเหล่านี้
แม้ว่าลูกบอลและกระสุนจะไม่ได้ส่งเสียงหวีดหวิวไปตามถนนที่เขาเดิน แต่จากทุกทิศทุกทางก็เหมือนกันกับที่นั่นในสนามรบ มีความทุกข์ทรมานเหมือนกัน ทรมานและบางครั้งก็เฉยเมยแปลกๆ เลือดเดียวกัน เสื้อคลุมของทหารคนเดียวกัน เสียงกราดยิงแบบเดียวกัน แม้จะอยู่ห่างไกลแต่ก็ยังน่าสะพรึงกลัว นอกจากนี้ยังมีความอบอ้าวและฝุ่นละออง
หลังจากเดินไปตามถนน Mozhaisk สูงประมาณสามโค้งปิแอร์ก็นั่งลงที่ขอบถนน
สนธยาลงมาบนพื้นโลกและเสียงปืนดังสนั่นหวั่นไหว ปิแอร์พิงแขนของเขานอนลงและนอนเป็นเวลานานมองไปที่เงาที่เคลื่อนผ่านเขาไปในความมืด สำหรับเขาดูเหมือนว่าลูกกระสุนปืนใหญ่จะบินมาที่เขาด้วยเสียงนกหวีดที่น่ากลัวอย่างไม่หยุดหย่อน เขาสะดุ้งและลุกขึ้น เขาจำไม่ได้ว่าเขาอยู่ที่นี่มานานแค่ไหนแล้ว กลางดึกทหารสามนายลากกิ่งไม้มาวางข้างๆเขาและเริ่มก่อไฟ
ทหารมองไปด้านข้างที่ปิแอร์ จุดไฟ สวมหมวกกะลา แครกเกอร์ที่ร่วนแล้วใส่น้ำมันหมู กลิ่นหอมของอาหารที่กินแล้วเลี่ยนผสานกับกลิ่นควันไฟ ปิแอร์ลุกขึ้นและถอนหายใจ ทหาร (มีสามคน) กินโดยไม่สนใจปิแอร์และพูดคุยกัน
- ใช่ คุณจะเป็นใคร? ทันใดนั้นทหารคนหนึ่งก็หันไปหาปิแอร์เห็นได้ชัดว่าคำถามนี้หมายถึงสิ่งที่ปิแอร์คิดคือ: ถ้าคุณอยากกินเราจะให้แค่บอกฉันว่าคุณเป็นคนซื่อสัตย์หรือไม่?
- ฉัน? ฉันเหรอ .. - ปิแอร์พูดโดยรู้สึกว่าจำเป็นต้องดูแคลนตำแหน่งทางสังคมของเขาให้มากที่สุดเพื่อที่จะได้ใกล้ชิดและเข้าใจทหารมากขึ้น - ฉันเป็นเจ้าหน้าที่อาสาสมัครจริง ๆ มีเพียงทีมของฉันเท่านั้นที่ไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันมาที่การต่อสู้และแพ้ของฉัน
- คุณเห็น! ทหารคนหนึ่งกล่าวว่า
ทหารอีกคนส่ายหัว
- กินถ้าคุณต้องการ kavardachka! - พูดคนแรกและให้ปิแอร์เลียช้อนไม้
ปิแอร์นั่งลงข้างกองไฟและเริ่มกินคาวาร์ดาโชค อาหารที่อยู่ในหม้อและดูเหมือนว่าจะอร่อยที่สุดในบรรดาอาหารทั้งหมดที่เขาเคยกิน ในขณะที่เขาตะกละตะกราม ก้มลงเหนือหม้อต้ม หยิบช้อนขนาดใหญ่ออกมา เคี้ยวทีละคำ แล้วใบหน้าของเขาก็ปรากฏให้เห็นในแสงไฟ ทหารมองดูเขาอย่างเงียบ ๆ
- คุณต้องการมันที่ไหน? คุณพูด! หนึ่งในนั้นถามอีกครั้ง
- ฉันอยู่ใน Mozhaisk
- คุณกลายเป็นครับ?
- ใช่.
- คุณชื่ออะไร?
- ปีเตอร์ คิริลโลวิช
- เอาล่ะ Pyotr Kirillovich ไปกันเถอะเราจะพาคุณไป ในความมืดมิดทหารพร้อมกับปิแอร์ไปที่ Mozhaisk
ไก่ขันแล้วเมื่อพวกเขาไปถึง Mozhaisk และเริ่มปีนขึ้นไปบนภูเขาสูงชันของเมือง ปิแอร์เดินไปกับทหารโดยลืมไปเสียสนิทว่าโรงเตี๊ยมของเขาอยู่ด้านล่างภูเขาและเขาได้ผ่านมันไปแล้ว เขาคงจะจำเรื่องนี้ไม่ได้ (เขาอยู่ในอาการงุนงงขนาดนั้น) ถ้าผู้สูญเสียของเขาไม่ได้วิ่งเข้ามาหาเขาที่ครึ่งหนึ่งของภูเขา ซึ่งไปหาเขารอบเมืองและกลับมาที่โรงเตี๊ยมของเขา เจ้าของบ้านจำปิแอร์ได้จากหมวกของเขา ซึ่งส่องแสงสีขาวในความมืด
“ฯพณฯ ของคุณ” เขาพูด “เราหมดหวังแล้ว คุณกำลังเดินอะไร คุณอยู่ที่ไหนโปรด!
“โอ้ใช่” ปิแอร์พูด
ทหารหยุดชั่วคราว
คุณพบของคุณหรือไม่ หนึ่งในนั้นกล่าวว่า
- ลาก่อน! ดูเหมือนว่า Pyotr Kirillovich? ลาก่อน ปีเตอร์ คิริลโลวิช! เสียงอื่น ๆ กล่าว
“ลาก่อน” ปิแอร์กล่าวและไปกับผู้เสียสละของเขาที่โรงเตี๊ยม
"เราต้องให้พวกเขา!" ปิแอร์คิดพลางเอื้อมมือไปหยิบกระเป๋า “ไม่ อย่า” เสียงหนึ่งบอกเขา
ไม่มีที่ว่างในห้องชั้นบนของโรงแรม ทุกคนไม่ว่าง ปิแอร์เข้าไปในสนามและคลุมศีรษะนอนลงในรถม้า

ทันทีที่ปิแอร์วางหัวลงบนหมอน เขาก็รู้สึกว่าเขาหลับไป แต่ทันใดด้วยความชัดเจนเกือบเป็นจริงก็ได้ยินเสียงปืนตูม ตูม ตูม เสียงครวญคราง เสียงกรีดร้อง เสียงกระสุนตบ มีกลิ่นเลือด กลิ่นดินปืน มีความรู้สึกสยดสยองกลัวตาย จับเขา เขาลืมตาขึ้นด้วยความกลัวและเงยศีรษะขึ้นจากใต้เสื้อคลุม ข้างนอกทุกอย่างเงียบสงบ เฉพาะที่ประตู พูดคุยกับภารโรงและตบโคลน เป็นระเบียบบางอย่าง เหนือศีรษะของปิแอร์ ใต้หลังคาไม้กระดานอันมืดมิด มีนกพิราบกระพือปีกจากการเคลื่อนไหวที่เขาทำขณะลุกขึ้น ปิแอร์ในขณะนั้นสงบและสนุกสนานมีกลิ่นแรงของโรงแรมกลิ่นหญ้าแห้งมูลสัตว์และน้ำมันดินฟุ้งไปทั่วลาน ระหว่างกันสาดสีดำทั้งสองสามารถมองเห็นท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาวได้อย่างชัดเจน
“ขอบคุณพระเจ้าที่ไม่มีอีกแล้ว” ปิแอร์คิดและหลับตาลงอีกครั้ง “โอ้ ความกลัวช่างน่ากลัวเหลือเกิน และฉันยอมแพ้ต่อมันอย่างน่าละอายเพียงใด! และพวกเขา…พวกเขามั่นคง สงบตลอดเวลา จนถึงที่สุด…” เขาคิด ในความเข้าใจของปิแอร์ พวกเขาเป็นทหาร - ผู้ที่อยู่ในแบตเตอรี่ ผู้ให้อาหารเขา และผู้ที่สวดอ้อนวอนต่อไอคอน พวกเขา - แปลกประหลาดเหล่านี้ไม่รู้จักเขามาจนบัดนี้พวกเขาแยกออกจากคนอื่นอย่างชัดเจนและชัดเจนในความคิดของเขา

ไม่สามารถระบุได้จากสถานะเริ่มต้นของระบบ

ในวิชาคณิตศาสตร์ เมทริกซ์สโตแคสติกคือเมทริกซ์ที่คอลัมน์และ/หรือแถวทั้งหมดเป็นชุดของจำนวนจริงที่ไม่ติดลบซึ่งบวกกัน

ในวิชาฟิสิกส์ เสียงสะท้อนสุ่มเป็นการรวมตัวกันของผลกระทบของสัญญาณเป็นระยะตามเกณฑ์ย่อย เนื่องจากการเพิ่มเอฟเฟกต์สุ่ม (สัญญาณรบกวน) ซึ่งมีแอมพลิจูดที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งการสำแดงนั้นแข็งแกร่งที่สุด

ในเพลง เพลงสโตแคสติก - ตามฮิลเลอร์ - เป็นชื่อของเทคนิคการแต่งเพลงประเภทนี้ซึ่งกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นกำหนดข้อเท็จจริงของการปรากฏตัวขององค์ประกอบบางอย่างขององค์ประกอบภายใต้สถานที่ทางการทั่วไปที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ในปี 1956 Janis Xenakis ได้บัญญัติคำว่า "stochastic music" เพื่ออธิบายดนตรีตามกฎของความน่าจะเป็นและกฎของจำนวนมาก

ระบบสโตแคสติกเป็นระบบที่การเปลี่ยนแปลงเป็นแบบสุ่ม ด้วยผลกระทบแบบสุ่ม ข้อมูลเกี่ยวกับสถานะของระบบไม่เพียงพอที่จะคาดการณ์ในเวลาต่อไป

Stochastic: คำจำกัดความของกระบวนการที่กำหนดโดยชุดของการสังเกต

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

คำพ้องความหมาย:

ดูว่า "Stochastic" คืออะไรในพจนานุกรมอื่นๆ:

- [ก. stochastikos ที่รู้วิธีเดา] สุ่ม, น่าจะเป็น, ไร้ระเบียบ, คาดเดาไม่ได้ พจนานุกรมคำต่างประเทศ Komlev N.G., 2006. stochastic (gr. stochasis Guess) สุ่มหรือน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่น p. กระบวนการ กระบวนการ ตัวละคร ... ... พจนานุกรมคำต่างประเทศของภาษารัสเซีย

ความน่าจะเป็น สุ่ม; คาดการณ์ไม่ได้. มด. ธรรมชาติ พจนานุกรมบังคับของคำพ้องความหมายรัสเซีย stochastic adj. จำนวนคำเหมือน: 4 สุ่ม (44) ... พจนานุกรมคำพ้อง

พจนานุกรมสารานุกรมเล่มใหญ่

ควบคุมโดยกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็น สุ่ม พจนานุกรมธรณีวิทยา: ใน 2 เล่ม M .: เนดรา แก้ไขโดย K. N. Paffengolts et al. 1978 ... สารานุกรมธรณีวิทยา

ภาษาอังกฤษ สุ่ม; ภาษาเยอรมัน สุ่ม ในสถิติ สุ่มหรือน่าจะเป็น; เช่น S. process เป็นกระบวนการ ไม่สามารถทำนายธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงตามเวลาได้อย่างแม่นยำ อันตินาซี. สารานุกรมสังคมวิทยา พ.ศ. 2552 ... สารานุกรมสังคมวิทยา

สุ่ม- โอ้โอ้. สุ่ม, เยอรมัน สโตแคสติช gr. การคาดเดาสุ่ม เสื่อ. สุ่ม เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ค.กระบวนการ. Stochasticity และดี Krysin 1998. Lex. TSB 2: สุ่ม/เชสกี้… พจนานุกรมประวัติศาสตร์ของ Gallicisms ของภาษารัสเซีย

สุ่ม- สถานะ tikimybinis T sritis automatika atitikmenys: engl. vok สุ่ม สโตแคสติชรัส สุ่มสุ่ม สุ่มตัวอย่าง: sinonimas – stochastinis … Automatikos terminų žodynas

อายะ, โอ้ [กรีก. สุ่มเดา] หนังสือ สุ่ม, น่าจะเป็น, เป็นไปได้. C เช่น การเปลี่ยนแปลงในระบบเศรษฐกิจ. ค. กระบวนการวิวัฒนาการของธรรมชาติ. * * * สุ่ม (จากภาษากรีก stochastikós รู้วิธีเดา), สุ่ม, ความน่าจะเป็น ... พจนานุกรมสารานุกรม

สโตแคสติก- นั่นคือสุ่มโดยไม่มีเหตุผลปกติที่ชัดเจน ... มานุษยวิทยากายภาพ. ภาพประกอบพจนานุกรมอธิบาย

สโตแคสติก- (จาก stochastikos กรีกที่รู้วิธีเดา) สุ่ม, ความน่าจะเป็น ... จุดเริ่มต้นของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่

หนังสือ

• , เอฟ. เอส. นาซีรอฟ. หนังสือเล่มนี้อุทิศให้กับการประยุกต์ใช้วิธีการของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงและทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ในการวิเคราะห์สุ่ม ครอบคลุมวัสดุ ทฤษฎีทั่วไปเวลาท้องถิ่นสำหรับ...
• เวลาท้องถิ่น ปริพันธ์สมมาตรและการวิเคราะห์สุ่ม Nasyrov F.S. หนังสือเล่มนี้อุทิศให้กับการประยุกต์ใช้วิธีการของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงและทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ในการวิเคราะห์สุ่ม เนื้อหาครอบคลุมทฤษฎีทั่วไปของเวลาท้องถิ่นสำหรับ...