ข้อเท็จจริงที่ 1
\(\bullet\) ใช้ตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ \(a\) (เช่น \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากหมายเลข \(a\) เรียกว่าหมายเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]สืบเนื่องมาจากคำนิยามที่ว่า \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่สำคัญสำหรับการมีอยู่ของสแควร์รูทและควรจำไว้!
จำได้ว่าจำนวนใด ๆ เมื่อยกกำลังสองให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) คืออะไร เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราต้องหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (ตั้งแต่ \(25=5^2\) )
การหาค่า \(\sqrt a\) เรียกว่าการถอดรากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ตามคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผล

ข้อเท็จจริงที่ 2
สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็ว จะเป็นประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

ข้อเท็จจริงที่ 3
สแควร์รูททำอะไรได้บ้าง?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น ถ้าคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในขั้นแรก คุณต้องหาค่า \(\sqrt(25)\) และ \(\sqrt (49)\ ) แล้วรวมเข้าด้วยกัน เพราะเหตุนี้, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) นิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและยังคงเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) - นี่คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถ กลับใจในทางใดทางหนึ่งจึงเป็นเช่นนั้น \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). นอกจากนี้ น่าเสียดายที่นิพจน์นี้ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด\(\bullet\) ผลคูณ/ผลคูณของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลคูณ กล่าวคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนมีเหตุผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ เป็นการสะดวกที่จะหารากที่สองของตัวเลขจำนวนมากโดยการแยกตัวประกอบ
ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง. ค้นหา \(\sqrt(44100)\) ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหาร จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9) ลงตัว ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้รับ: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาดูวิธีการป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์โดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (ย่อมาจากนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\) ) ตั้งแต่ \(5=\sqrt(25)\) แล้ว \ สังเกตด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? มาอธิบายด้วยตัวอย่างที่ 1) ตามที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลขได้ \(\sqrt2\) ลองนึกภาพว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขบางตัว \(a\) ดังนั้นนิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) จึงไม่มีอะไรนอกจาก \(a+3a\) (หนึ่งหมายเลข \(a\) บวกตัวเลขเดียวกันอีกสามตัว \(a\) ) และเรารู้ว่านี่เท่ากับสี่ตัวเลขดังกล่าว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)

ข้อเท็จจริงที่ 4
\(\bullet\) มันมักจะพูดว่า "ไม่สามารถแยกราก" เมื่อไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อหาค่าของตัวเลขบางตัว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถรูทตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่การที่จะแยกรากออกจากตัวเลข \(3\) นั่นคือการค้นหา \(\sqrt3\) เป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีตัวเลขดังกล่าวที่จะยกกำลังสอง \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือนิพจน์ที่มีตัวเลขดังกล่าว) ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)เป็นต้น ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวก็คือ \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3,14\) ), \(e\) (หมายเลขนี้เรียกว่าหมายเลขออยเลอร์ ประมาณเท่ากับ \(2 ,7\) ) เป็นต้น
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ และจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมดรวมกันเป็นเซตเรียกว่า ชุดตัวเลขจริง (ของจริง)ชุดนี้เขียนแทนด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดที่เรารู้จักในปัจจุบันเรียกว่าจำนวนจริง

ข้อเท็จจริงที่ 5
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ \(|a|\) เท่ากับระยะทางจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บนจำนวนจริง ไลน์. ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะทางจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เหมือนกันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นตัวเลขที่ไม่ติดลบ \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) \(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\)
ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
พวกเขาบอกว่าสำหรับจำนวนลบโมดูล "กิน" ลบและจำนวนบวกเช่นเดียวกับตัวเลข \(0\) โมดูลจะไม่เปลี่ยนแปลง
แต่กฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากคุณมี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือที่ไม่รู้จักอื่น ๆ ) ภายใต้เครื่องหมายโมดูลเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่ทราบว่าเป็นค่าบวกเท่ากับศูนย์หรือค่าลบ กำจัดโมดูลที่เราไม่สามารถ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเป็นอย่างนั้น: \(|x|\) \(\bullet\) สูตรต่อไปนี้ถือ: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( มีให้ ) a\geqslant 0\]ข้อผิดพลาดต่อไปนี้มักเกิดขึ้น: พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นสิ่งเดียวกัน สิ่งนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ \(a\) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ นี่ไม่เป็นความจริง ก็เพียงพอที่จะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว ลองเอาตัวเลข \(-1\) แทน \(a\) จากนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (เพราะเป็น เป็นไปไม่ได้ภายใต้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบ!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) !ตัวอย่าง: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), เพราะ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) ตั้งแต่ \(\sqrt(a^2)=|a|\) จากนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
กล่าวคือ เมื่อดึงรากออกจากจำนวนที่อยู่ในระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ตั้งค่าโมดูล ปรากฎว่ารูทของตัวเลขเท่ากับ \(-25 \) ; แต่เราจำได้ ซึ่งตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถ: เมื่อทำการแตกรูท เราควรได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลังคู่ไม่เป็นลบ)

ข้อเท็จจริงที่ 6
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร?
\(\bullet\) จริงสำหรับรากที่สอง: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aตัวอย่าง:
1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) อันดับแรก เราแปลงนิพจน์ที่สองเป็น \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ดังนั้น เนื่องจาก \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ระหว่างจำนวนเต็มใด \(\sqrt(50)\) ?
ตั้งแต่ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) เปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0,5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(จัดตำแหน่ง) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((เพิ่มหนึ่งให้ทั้งสองข้าง))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((สี่เหลี่ยมทั้งสองส่วน))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(จัดตำแหน่ง)\]เราเห็นว่าเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิดและ \(\sqrt 2-1<0,5\) .
โปรดทราบว่าการเพิ่มจำนวนหนึ่งลงในอสมการทั้งสองข้างไม่มีผลกับเครื่องหมาย การคูณ/หารอสมการทั้งสองส่วนด้วยจำนวนบวกก็ไม่มีผลกับเครื่องหมายของมันเช่นกัน แต่การคูณ/หารด้วยจำนวนลบจะกลับเครื่องหมายของอสมการ!
สมการ/อสมการทั้งสองข้างสามารถยกกำลังสองได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองข้างไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างในอสมการ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) โปรดทราบว่า \[\begin(จัดตำแหน่ง) &\sqrt 2\ประมาณ 1,4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1,7 \end(จัดตำแหน่ง)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลข! \(\bullet\) ในการแยกรูท (หากแยกออกมา) จากจำนวนมหาศาลที่ไม่ได้อยู่ในตารางกำลังสอง ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาก่อนว่ามันคือ "ร้อย" อันไหน ตามด้วย "หลักสิบ" แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่างกัน
เอา \(\sqrt(28224)\) เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) และอื่นๆ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่าง \(10\,000\) และ \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(100\) และ \(200\)
ทีนี้มาดูว่าตัวเลขของเราเป็น “หลักสิบ” ใด (เช่น ระหว่าง \(120\) และ \(130\) ) เรายังรู้จากตารางสี่เหลี่ยมว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) เป็นต้น แล้ว \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจะเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่าง \(160^2\) และ \(170^2\) ดังนั้นตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้ายกัน จำตัวเลขหลักเดียวเมื่อยกกำลังสองที่ส่วนท้าย \ (4 \) ? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาลองดูกัน ค้นหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ดังนั้น \(\sqrt(28224)=168\) โว้ว!

เพื่อที่จะแก้ข้อสอบในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎี ซึ่งแนะนำทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม และอื่นๆ มากมาย เมื่อมองแวบแรก มันอาจจะดูค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตาม การหาแหล่งที่มีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างง่ายดายและเข้าใจได้ง่ายสำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับ อันที่จริงแล้ว เป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ได้เสมอ และการหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้ในอินเทอร์เน็ต

เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญ ไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่ทำข้อสอบเท่านั้น

1. เพราะมันทำให้โลกของคุณกว้างขึ้น. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับทุกคนที่ต้องการคำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องกับความรู้ของโลก ทุกอย่างในธรรมชาติมีระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างแม่นยำ โดยที่มันเป็นไปได้ที่จะเข้าใจโลก
2. เพราะมันพัฒนาสติปัญญา. การศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลเรียนรู้ที่จะคิดและให้เหตุผลอย่างมีตรรกะเพื่อกำหนดความคิดอย่างถูกต้องและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์สรุปข้อสรุป

เราขอเชิญคุณให้ประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาของเราเป็นการส่วนตัว

นักเรียนมักจะถามเสมอว่า “ทำไมฉันจึงใช้เครื่องคิดเลขในการสอบคณิตศาสตร์ไม่ได้ วิธีการแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข? ลองตอบคำถามนี้กัน

วิธีการแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข?

การกระทำ การสกัดรากที่สองตรงกันข้ามกับการยกกำลังสอง

√81= 9 9 2 =81

ถ้าเราหารากที่สองของจำนวนบวกและยกกำลังสองผลลัพธ์ เราจะได้จำนวนเดียวกัน

จากจำนวนน้อยที่เป็นกำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติ เช่น 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 รากที่สองสามารถแยกออกมาทางวาจาได้ โดยปกติที่โรงเรียนพวกเขาจะสอนตารางกำลังสองของตัวเลขธรรมชาติมากถึงยี่สิบ เมื่อทราบตารางนี้ จะเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 จากตัวเลขที่มากกว่า 400 คุณสามารถแยกโดยใช้วิธีการเลือกโดยใช้เคล็ดลับบางประการ ลองยกตัวอย่างเพื่อพิจารณาวิธีนี้

ตัวอย่าง: แยกรากของหมายเลข676.

เราสังเกตว่า 20 2 \u003d 400 และ 30 2 \u003d 900 ซึ่งหมายถึง 20< √676 < 900.

กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 0; หนึ่ง; สี่; 5; 6; 9.
หมายเลข 6 ถูกกำหนดโดย 4 2 และ 6 2 .
ดังนั้น ถ้ารากมาจาก 676 ก็จะเป็น 24 หรือ 26

ยังคงต้องตรวจสอบ: 24 2 = 576, 26 2 = 676

ตอบ: √676 = 26 .

มากกว่า ตัวอย่าง: √6889 .

ตั้งแต่ 80 2 \u003d 6400 และ 90 2 \u003d 8100 จากนั้น 80< √6889 < 90.
หมายเลข 9 ถูกกำหนดโดย 3 2 และ 7 2 จากนั้น √6889 คือ 83 หรือ 87

ตรวจสอบ: 83 2 = 6889

ตอบ: √6889 = 83 .

หากคุณพบว่ามันยากที่จะแก้ไขโดยวิธีการเลือก คุณสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์รูทได้

ตัวอย่างเช่น, หา √893025.

ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 893025 จำไว้ว่าคุณทำตอนป.หก

เราได้รับ: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945

มากกว่า ตัวอย่าง: √20736. แยกตัวประกอบจำนวน 20736:

เราได้ √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144

แน่นอน แฟคตอริ่งต้องการความรู้เกี่ยวกับเกณฑ์การแบ่งแยกและทักษะแฟคตอริ่ง

และในที่สุดก็มี กฎรากที่สอง. ลองดูกฎนี้พร้อมตัวอย่าง

คำนวณ √279841.

ในการแยกรากของจำนวนเต็มหลายหลัก เราแยกจากขวาไปซ้ายเป็นหน้าที่มีตัวเลข 2 หลัก (อาจมีหนึ่งหลักในหน้าสุดขั้วด้านซ้าย) เขียนแบบนี้ 27'98'41

เพื่อให้ได้ตัวเลขตัวแรกของรูท (5) เราแยกสแควร์รูทของกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในใบหน้าซ้ายแรก (27)
จากนั้นกำลังสองของหลักแรกของราก (25) จะถูกลบออกจากใบหน้าแรกและหน้าถัดไป (98) จะถูกนำมาประกอบ (พังยับเยิน) ไปที่ความแตกต่าง
ทางด้านซ้ายของจำนวนผลลัพธ์ 298 พวกเขาเขียนเลขสองหลักของรูท (10) หารด้วยจำนวนทั้งหมดสิบของจำนวนที่ได้รับก่อนหน้านี้ (29/2 ≈ 2) พบกับผลหาร (102 ∙ 2 = 204 ไม่ควรเกิน 298) และเขียน (2) หลังหลักแรกของรูท
จากนั้นผลหารที่เป็นผลลัพธ์ 204 จะถูกลบออกจาก 298 และด้านถัดไป (41) ถือว่า (ถูกทำลาย) กับผลต่าง (94)
ทางด้านซ้ายของหมายเลขผลลัพธ์ 9441 พวกเขาเขียนผลคูณของตัวเลขของรูท (52 ∙ 2 = 104) หารด้วยผลิตภัณฑ์นี้ด้วยจำนวนสิบของจำนวนทั้งหมด 9441 (944/104 ≈ 9) ประสบการณ์ ผลหาร (1049 ∙ 9 = 9441) ควรเป็น 9441 และจดไว้ (9) หลังหลักที่สองของรูท

เราได้คำตอบ √279841 = 529

ในทำนองเดียวกันแยก รากของทศนิยม. เฉพาะจำนวนรากต้องแบ่งออกเป็นใบหน้าเพื่อให้เครื่องหมายจุลภาคอยู่ระหว่างใบหน้า

ตัวอย่าง. หาค่า √0.00956484.

เพียงจำไว้ว่าหากเศษส่วนทศนิยมมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเป็นเลขคี่ รากที่สองจะไม่ถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน

ตอนนี้คุณได้เห็นสามวิธีในการแยกรูทแล้ว เลือกอันที่เหมาะกับคุณที่สุดและฝึกฝน หากต้องการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหา คุณต้องแก้ปัญหาเหล่านี้ และหากคุณมีคำถามใด ๆ ลงทะเบียนสำหรับบทเรียนของฉัน

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ จากวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นักเรียนและนักเรียนมักจะต้องเผชิญกับความจำเป็นในการแยกรากของระดับที่สอง สาม หรือ nth แน่นอนในศตวรรษ เทคโนโลยีสารสนเทศจะไม่ยากที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวโดยใช้เครื่องคิดเลข อย่างไรก็ตาม มีบางสถานการณ์ที่ไม่สามารถใช้ผู้ช่วยอิเล็กทรอนิกส์ได้

เช่น ห้ามนำอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์เข้าสอบหลายครั้ง นอกจากนี้ เครื่องคิดเลขอาจไม่อยู่ในมือ ในกรณีเช่นนี้ อย่างน้อยควรทราบวิธีการคำนวณรากศัพท์ด้วยตนเองอย่างน้อยก็มีประโยชน์

วิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการคำนวณรูทคือto โดยใช้โต๊ะพิเศษ. มันคืออะไรและใช้อย่างไรให้ถูกต้อง?

เมื่อใช้ตาราง คุณจะพบกำลังสองของตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 99 ในเวลาเดียวกัน แถวของตารางมีค่าสิบค่า และคอลัมน์มีค่าหน่วย เซลล์ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม เลขสองหลัก. ในการคำนวณกำลังสองของ 63 คุณต้องหาแถวที่มีค่า 6 และคอลัมน์ที่มีค่าเป็น 3 ที่ทางแยก เราจะพบเซลล์ที่มีตัวเลข 3969

เนื่องจากการแยกรูทเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลังสอง ในการดำเนินการนี้ คุณต้องทำตรงกันข้าม: ขั้นแรกให้ค้นหาเซลล์ที่มีตัวเลขที่คุณต้องการคำนวณรากศัพท์ จากนั้นจึงกำหนดคำตอบจากค่าคอลัมน์และแถว ตัวอย่างเช่น พิจารณาการคำนวณรากที่สองของ 169

เราพบเซลล์ที่มีตัวเลขนี้ในตาราง ในแนวนอนเรากำหนดหลักสิบ - 1 ในแนวตั้ง เราจะพบหน่วย - 3 คำตอบ: √169 = 13

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณรากของดีกรีลูกบาศก์และ n-th โดยใช้ตารางที่เหมาะสม

ข้อดีของวิธีนี้คือความเรียบง่ายและไม่มีการคำนวณเพิ่มเติม ข้อเสียชัดเจน: วิธีนี้สามารถใช้ได้กับช่วงตัวเลขที่จำกัดเท่านั้น (จำนวนที่พบรากต้องอยู่ระหว่าง 100 ถึง 9801) นอกจากนี้ มันจะไม่ทำงานหากหมายเลขที่ระบุไม่อยู่ในตาราง

ตัวประกอบที่สำคัญ

หากตารางสี่เหลี่ยมไม่อยู่ในมือหรือด้วยความช่วยเหลือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะหารูทคุณสามารถลอง แบ่งจำนวนที่อยู่ใต้รากเป็นปัจจัยเฉพาะ. ปัจจัยเฉพาะคือปัจจัยที่สามารถหารด้วยตัวมันเองหรือหารหนึ่งได้ทั้งหมด (โดยไม่เหลือเศษ) ตัวอย่างจะเป็น 2, 3, 5, 7, 11, 13 เป็นต้น

พิจารณาการคำนวณรูทโดยใช้ตัวอย่าง √576 ลองแยกเป็นปัจจัยง่ายๆ ได้ผลลัพธ์ดังนี้ √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². ใช้คุณสมบัติหลักของราก√a² = a เรากำจัดรากและสี่เหลี่ยมหลังจากนั้นเราคำนวณคำตอบ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24

จะทำอย่างไรถ้าปัจจัยใดไม่มีคู่ของตัวเอง? ตัวอย่างเช่น พิจารณาการคำนวณของ √54 หลังจากแฟคตอริ่ง เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: ส่วนที่ไม่สามารถถอดออกได้สามารถทิ้งไว้ใต้รูทได้ สำหรับปัญหาส่วนใหญ่ในเรขาคณิตและพีชคณิต คำตอบดังกล่าวจะถูกนับเป็นคำตอบสุดท้าย แต่ถ้ามีความจำเป็นต้องคำนวณค่าโดยประมาณ คุณสามารถใช้วิธีการที่จะกล่าวถึงในภายหลัง

วิธีการของนกกระสา

จะทำอย่างไรเมื่อคุณต้องการทราบอย่างน้อยประมาณว่ารูทที่แยกออกมาคืออะไร (ถ้าเป็นไปไม่ได้ที่จะได้ค่าจำนวนเต็ม) ได้ผลลัพธ์ที่รวดเร็วและแม่นยำโดยใช้วิธี Heron. สาระสำคัญอยู่ที่การใช้สูตรโดยประมาณ:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

โดยที่ R คือตัวเลขที่จะคำนวณรูท a คือจำนวนที่ใกล้ที่สุดซึ่งทราบค่ารูท

เรามาดูวิธีการทำงานจริงและประเมินว่าแม่นยำแค่ไหน ลองคำนวณว่า √111 เท่ากับอะไร ตัวเลขที่ใกล้ที่สุดถึง 111 ซึ่งทราบรากคือ 121 ดังนั้น R = 111, a = 121 แทนค่าในสูตร:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

ทีนี้มาดูความถูกต้องของวิธีการกัน:

10.55² = 111.3025.

ข้อผิดพลาดของวิธีการคือประมาณ 0.3 หากจำเป็นต้องปรับปรุงความแม่นยำของวิธีการ คุณสามารถทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณ:

10.536² = 111.0073

หลังจากใช้สูตรซ้ำแล้วซ้ำอีก ข้อผิดพลาดก็ไม่มีนัยสำคัญมากนัก

การคำนวณรูตโดยแบ่งเป็นคอลัมน์

วิธีการหาค่ารากที่สองนี้ซับซ้อนกว่าวิธีก่อนหน้านี้เล็กน้อย อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณแบบอื่นๆ นั้นแม่นยำที่สุดโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข.

สมมุติว่าคุณต้องหารากที่สองที่มีความแม่นยำเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง ลองวิเคราะห์อัลกอริธึมการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างหมายเลข 1308.1912

1. แบ่งกระดาษออกเป็น 2 ส่วนโดยใช้เส้นแนวตั้ง แล้วลากอีกเส้นหนึ่งจากกระดาษไปทางขวา โดยอยู่ใต้ขอบด้านบนเล็กน้อย เราเขียนตัวเลขทางด้านซ้ายหารเป็นกลุ่ม 2 หลักเลื่อนไปทางขวาและซ้ายของจุดทศนิยม หลักแรกสุดทางซ้ายต้องไม่มีคู่ หากเครื่องหมายหายไปทางด้านขวาของตัวเลขก็ควรเพิ่ม 0 ในกรณีของเราเราจะได้ 13 08.19 12
2. ให้เลือกจำนวนที่มากที่สุดซึ่งกำลังสองจะน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขกลุ่มแรก ในกรณีของเรา นี่คือ 3 ลองเขียนมันที่มุมขวาบนกัน 3 คือตัวเลขตัวแรกของผลลัพธ์ ที่ด้านล่างขวา เราระบุ 3 × 3 = 9; สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการคำนวณในภายหลัง ลบ 9 จาก 13 ในคอลัมน์ เราได้เศษ 4
3. มาบวกเลขคู่ถัดไปกับเศษ 4 กัน เราได้ 408
4. คูณตัวเลขทางขวาบนด้วย 2 แล้วเขียนที่มุมขวาล่าง แล้วบวก _ x _ = ลงไป เราได้ 6_ x _ =
5. แทนที่จะใช้ขีดกลาง คุณต้องแทนที่ตัวเลขเดียวกัน น้อยกว่าหรือเท่ากับ 408 เราได้ 66 × 6 \u003d 396 ลองเขียน 6 ที่มุมขวาบนกัน เพราะนี่คือตัวเลขที่สองของผลลัพธ์ ลบ 396 จาก 408 เราได้ 12
6. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3-6 เนื่องจากตัวเลขที่ลากลงมานั้นอยู่ในเศษส่วนของตัวเลข จึงจำเป็นต้องใส่จุดทศนิยมที่มุมขวาบนหลัง 6 ลองเขียนผลคูณสองด้วยขีดกลาง: 72_ x _ = จำนวนที่เหมาะสมคือ 1: 721 × 1 = 721 ลองเขียนเป็นคำตอบกัน ลองลบ 1219 - 721 = 498
7. ลองทำลำดับของการกระทำที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าอีกสามครั้งเพื่อให้ได้จำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ต้องการ หากไม่มีสัญญาณเพียงพอสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม จะต้องเพิ่มศูนย์สองตัวให้กับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

ผลลัพธ์ที่ได้คือ √1308.1912 ≈ 36.1689 หากคุณตรวจสอบการกระทำด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะมั่นใจได้ว่าอักขระทั้งหมดถูกกำหนดอย่างถูกต้อง

การคำนวณระดับบิตของค่ารากที่สอง

วิธีการนี้มีความแม่นยำสูง. นอกจากนี้ยังสามารถเข้าใจได้ง่ายและไม่ต้องการการจดจำสูตรหรืออัลกอริธึมของการกระทำที่ซับซ้อนเนื่องจากสาระสำคัญของวิธีการคือการเลือกผลลัพธ์ที่ถูกต้อง

แยกรูทออกจากหมายเลข 781 พิจารณารายละเอียดลำดับของการกระทำ

1. ค้นหาว่าตัวเลขของค่ารากที่สองใดจะสูงสุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ลองยกกำลังสอง 0, 10, 100, 1,000 และอื่น ๆ และค้นหาว่าหมายเลขรูทอยู่ที่ไหน เราได้10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. ลองหาค่าของหลักสิบ ในการทำเช่นนี้ เราจะผลัดกันยกกำลัง 10, 20, ..., 90 จนกว่าเราจะได้ตัวเลขที่มากกว่า 781 ในกรณีของเรา เราจะได้ 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 ค่าของผลลัพธ์ n จะอยู่ภายใน 20< n <30.
3. เช่นเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้า ค่าของหลักหน่วยจะถูกเลือก เราสลับกันยกกำลังสอง 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784 เราได้ 27< n < 28.
4. ตัวเลขที่ตามมาแต่ละหลัก (หลักสิบ หลักร้อย ฯลฯ) จะถูกคำนวณในลักษณะเดียวกับที่แสดงด้านบน การคำนวณจะดำเนินการจนกว่าจะได้ความแม่นยำตามที่ต้องการ

การแยกรูทออกจากจำนวนมาก เพื่อนรัก!ในบทความนี้เราจะแสดงวิธีการรูทของตัวเลขจำนวนมากโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข นี่เป็นสิ่งจำเป็นไม่เพียงแต่สำหรับการแก้ปัญหา USE บางประเภทเท่านั้น (มีปัญหาดังกล่าวสำหรับการเคลื่อนไหว) แต่ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะรู้เทคนิคการวิเคราะห์นี้สำหรับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ทั่วไป

ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะเรียบง่าย: แยกตัวประกอบและแยกออก ไม่มีปัญหา. ตัวอย่างเช่น หมายเลข 291600 เมื่อขยายออก จะให้ผลิตภัณฑ์:

เราคำนวณ:

มีหนึ่ง แต่! วิธีนี้เป็นวิธีที่ดีหากกำหนดตัวหาร 2, 3, 4 และอื่นๆ ได้ง่าย แต่ถ้าจำนวนที่เราแยกรากเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ? ตัวอย่างเช่น 152881 เป็นผลคูณของตัวเลข 17, 17, 23, 23 ลองหาตัวหารเหล่านี้ทันที

สาระสำคัญของวิธีการที่เรากำลังพิจารณาอยู่- นี่คือการวิเคราะห์ล้วนๆ พบรากที่มีทักษะสะสมอย่างรวดเร็ว หากทักษะไม่ได้ผล แต่วิธีการนั้นเข้าใจได้ง่ายก็จะช้าลงเล็กน้อย แต่ก็ยังมีความมุ่งมั่น

มารูตของ 190969 กัน

อันดับแรก ให้พิจารณาว่าผลลัพธ์ของเราอยู่ที่ตัวเลขใด (หลายร้อย)

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ของรูทของตัวเลขที่กำหนดอยู่ในช่วง 400 ถึง 500เพราะ

400 2 =160000 และ 500 2 =250000

จริงๆ:

ตรงกลางใกล้ถึง 160,000 หรือ 250,000?

หมายเลข 190969 อยู่ตรงกลาง แต่ก็ยังใกล้ถึง 160000 เราสามารถสรุปได้ว่าผลลัพธ์ของการรูทของเราจะน้อยกว่า 450 ลองดูกัน:

อันที่จริงมันน้อยกว่า 450 ตั้งแต่ 190,969< 202 500.

ทีนี้มาดูหมายเลข 440 กัน:

ดังนั้นผลลัพธ์ของเราจึงน้อยกว่า 440 เนื่องจาก 190 969 < 193 600.

ตรวจสอบหมายเลข 430:

เราพบว่าผลลัพธ์ของการรูทนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ 430 ถึง 440

ผลคูณของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 1 หรือ 9 ให้ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 1 เช่น 21 คูณ 21 เท่ากับ 441

ผลคูณของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ให้ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 4 ตัวอย่างเช่น 18 คูณ 18 เท่ากับ 324

ผลคูณของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5 ให้ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5 เช่น 25 คูณ 25 เท่ากับ 625

ผลคูณของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 ให้ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 6 ตัวอย่างเช่น 26 คูณ 26 เท่ากับ 676

ผลคูณของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 3 หรือ 7 ให้ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 9 ตัวอย่างเช่น 17 คูณ 17 เท่ากับ 289

เนื่องจากหมายเลข 190969 ลงท้ายด้วยหมายเลข 9 ดังนั้นผลิตภัณฑ์นี้จึงเป็น 433 หรือ 437

*เมื่อยกกำลังสองแล้วเท่านั้นที่จะให้ 9 ในตอนท้ายได้

เราตรวจสอบ:

ดังนั้นผลลัพธ์ของการรูทจะเป็น 437

นั่นคือเรา "รู้สึก" คำตอบที่ถูกต้อง

อย่างที่คุณเห็น จำนวนสูงสุดที่จำเป็นคือดำเนินการ 5 อย่างในหนึ่งคอลัมน์ บางทีคุณอาจจะไปถึงจุดนั้นทันทีหรือทำแค่สามอย่าง ทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าคุณประมาณการตัวเลขเบื้องต้นได้แม่นยำเพียงใด

แตกรากของคุณเองจาก148996

การเลือกปฏิบัติดังกล่าวได้รับในปัญหา:

เรือยนต์แล่นไปตามแม่น้ำไปยังจุดหมายปลายทาง 336 กม. และหลังจากจอดรถจะกลับสู่จุดเริ่มต้น ค้นหาความเร็วของเรือในน้ำนิ่งหากความเร็วของกระแสน้ำคือ 5 กม. / ชม. ที่จอดรถใช้เวลา 10 ชั่วโมงและเรือจะกลับสู่จุดเริ่มต้น 48 ชั่วโมงหลังจากออกจากเรือ ให้คำตอบเป็นกม./ชม.

ดูโซลูชัน

ผลลัพธ์ของการรูทอยู่ระหว่างตัวเลข 300 ถึง 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

แน่นอน 90000<148996<160000.

สาระสำคัญของการใช้เหตุผลเพิ่มเติมคือการกำหนดว่าหมายเลข 148996 ตั้งอยู่ (ห่างไกล) อย่างไรเมื่อเทียบกับตัวเลขเหล่านี้

คำนวณความแตกต่าง 148996 - 90000=58996 และ 160000 - 148996=11004

ปรากฎว่า 148996 ใกล้ (ใกล้มาก) ถึง 160000 ดังนั้นผลลัพธ์ของการรูทจะมากกว่า 350 และ 360 แน่นอน

เราสามารถสรุปได้ว่าผลลัพธ์ของเรามากกว่า 370 นอกจากนี้ เป็นที่แน่ชัด: เนื่องจาก 148996 ลงท้ายด้วยหมายเลข 6 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องยกกำลังสองตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 *เฉพาะตัวเลขเหล่านี้เมื่อยกกำลังสองแล้ว ให้ จบ 6

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์