คืนค่าฟังก์ชันจากส่วนต่างทั้งหมด สมการเชิงอนุพันธ์ในเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด

มีรูปแบบมาตรฐาน $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ ซึ่งด้านซ้ายเป็นผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง $F \left( x,y\right)$ เรียกว่าสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

สมการอนุพันธ์ทั้งหมดสามารถเขียนใหม่เป็น $dF\left(x,y\right)=0$ โดยที่ $F\left(x,y\right)$ เป็นฟังก์ชันที่ $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

เรารวมสมการทั้งสองข้างเข้าด้วยกัน $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; อินทิกรัลของศูนย์ด้านขวามือเท่ากับค่าคงที่ $C$ ทางนี้, การตัดสินใจร่วมกันของสมการนี้ในรูปแบบโดยนัยจะมีรูปแบบ $F\left(x,y\right)=C$

เพื่อให้สมการอนุพันธ์ที่กำหนดให้เป็นสมการในอนุพันธ์ทั้งหมด จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไข $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ จะพอใจ . หากเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ แสดงว่ามีฟังก์ชัน $F\left(x,y\right)$ ซึ่งเราสามารถเขียนได้: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, ดังนั้นเราจึงได้รับสองความสัมพันธ์: $\ frac(\ บางส่วน F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ and $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

เรารวมความสัมพันธ์แรก $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ over $x$ และรับ $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ โดยที่ $U\left(y\right)$ -- ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจจาก $y$

ให้เราเลือกมันเพื่อให้ความสัมพันธ์ที่สอง $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ เป็นที่น่าพอใจ ในการทำเช่นนี้ เราแยกความแตกต่างของความสัมพันธ์ที่เป็นผลลัพธ์สำหรับ $F\left(x,y\right)$ เทียบกับ $y$ และให้ผลลัพธ์เท่ากับ $Q\left(x,y\right)$ เราได้รับ: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\right)$.

ทางออกต่อไปคือ:

จากความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย เราจะพบ $U"\left(y\right)$;
รวม $U"\left(y\right)$ และหา $U\left(y\right)$;
แทนที่ $U\left(y\right)$ เป็น $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ และ ในที่สุดเราก็ได้ฟังก์ชัน $F\left(x,y\right)$

เราพบความแตกต่าง:

เรารวม $U"\left(y\right)$ ไว้เหนือ $y$ และหา $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$

ค้นหาผลลัพธ์: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็น $F\left(x,y\right)=C$ คือ:

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$ โดยที่ $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

โซลูชันเฉพาะมีรูปแบบ: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$

ฟังก์ชั่นบางอย่าง หากเราคืนค่าฟังก์ชันจากส่วนต่างทั้งหมด เราจะพบอินทิกรัลทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์. ด้านล่างเราจะพูดถึง วิธีการกู้คืนฟังก์ชันจากส่วนต่างทั้งหมด.

ด้านซ้ายของสมการอนุพันธ์คือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง U(x, y) = 0ถ้าตรงตามเงื่อนไข

เพราะ ค่าส่วนต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน U(x, y) = 0นี่คือ ซึ่งหมายความว่าภายใต้เงื่อนไขที่พวกเขากล่าวว่า

แล้ว, .

จากสมการแรกของระบบ จะได้ . เราพบฟังก์ชันโดยใช้สมการที่สองของระบบ:

ดังนั้นเราจะพบฟังก์ชันที่ต้องการ U(x, y) = 0.

ตัวอย่าง.

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของDE .

วิธีการแก้.

ในตัวอย่างของเรา ตรงตามเงื่อนไขเพราะ:

จากนั้น ด้านซ้ายของ DE เริ่มต้นคือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง U(x, y) = 0. เราต้องหาฟังก์ชันนี้

เพราะ คือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน U(x, y) = 0, วิธี:

บูรณาการมากกว่า xสมการที่ 1 ของระบบและอนุพันธ์เทียบกับ yผลลัพธ์:

จากสมการที่ 2 ของระบบ เราได้รับ . วิธี:

ที่ไหน จากเป็นค่าคงที่โดยพลการ

ดังนั้น และอินทิกรัลทั่วไปของสมการที่กำหนดจะเป็น .

มีวินาที วิธีการคำนวณฟังก์ชันจากส่วนต่างทั้งหมด. ประกอบด้วยการหาอินทิกรัลโค้งของจุดคงที่ (x0, y0)ถึงจุดที่มีพิกัดตัวแปร (x, y): . ในกรณีนี้ ค่าของอินทิกรัลไม่ขึ้นกับเส้นทางของการรวม สะดวกในการใช้เป็นเส้นทางการรวมเป็นเส้นที่ขาดซึ่งลิงก์ขนานกับแกนพิกัด

ตัวอย่าง.

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของDE .

วิธีการแก้.

เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข:

ดังนั้น ด้านซ้ายของ DE คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง U(x, y) = 0. เราพบฟังก์ชันนี้โดยการคำนวณอินทิกรัลโค้งของจุด (1; 1) ก่อน (x, y). เราใช้เส้นหลายเส้นเป็นเส้นทางบูรณาการ: เราจะผ่านส่วนแรกของเส้นเส้นตรงเป็นเส้นตรง y=1จากจุด (1, 1) ก่อน (x, 1)เนื่องจากส่วนที่สองของเส้นทางเราใช้ส่วนของเส้นตรงจากจุด (x, 1)ก่อน (x, y):

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ DE จึงเป็นดังนี้: .

ตัวอย่าง.

ให้เรากำหนดวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ DE

วิธีการแก้.

เพราะ หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ด้านซ้ายของ DE จะไม่เป็นค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชัน และคุณจำเป็นต้องใช้วิธีการแก้ปัญหาที่สอง (สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแบบแยกได้)

แสดงวิธีรับรู้สมการอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด วิธีการแก้ปัญหาจะได้รับ ตัวอย่างของการแก้สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดสองวิธี

เนื้อหา

บทนำ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งในอนุพันธ์ทั้งหมดคือสมการของรูปแบบ:
(1) ,
โดยที่ด้านซ้ายของสมการคือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน U (x, y)บนตัวแปร x, y :
.
โดยที่

ถ้าฟังก์ชันดังกล่าว U (x, y)จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
ตู่ (x, y) = 0.
อินทิกรัลทั่วไป:
ยู (x, y) = C,
โดยที่ C เป็นค่าคงที่

หากสมการอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเขียนในรูปของอนุพันธ์:
,
ก็ง่ายต่อการนำไปขึ้นรูป (1) . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการด้วย dx แล้ว . เป็นผลให้เราได้รับสมการที่แสดงในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล:
(1) .

คุณสมบัติของสมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

เพื่อให้ได้สมการ (1) เป็นสมการในผลต่างทั้งหมดมีความจำเป็นและเพียงพอที่ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะบรรลุผล:
(2) .

การพิสูจน์

นอกจากนี้ เราคิดว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่ใช้ในการพิสูจน์ได้รับการกำหนดและมีอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันในช่วง x และ y บางช่วง จุด x 0 , y0ยังเป็นของพื้นที่นี้

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข (2).
ให้ด้านซ้ายของสมการ (1) คือผลต่างของฟังก์ชันบางอย่าง U (x, y):
.
แล้ว
;
.
เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่าง ดังนั้น
;
.
จึงเป็นไปตามนั้น. เงื่อนไขความจำเป็น (2) พิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ความเพียงพอของเงื่อนไข (2).
ให้เงื่อนไข (2) :
(2) .
ให้เราแสดงว่าสามารถหาฟังก์ชันดังกล่าวได้ U (x, y)ว่าส่วนต่างของมันคือ:
.
ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันดังกล่าว U (x, y)ซึ่งตรงกับสมการ:
(3) ;
(4) .
ลองหาฟังก์ชั่นดังกล่าว เรารวมสมการ (3) โดย x จาก x 0 ถึง x สมมติว่า y เป็นค่าคงที่:
;
;
(5) .
แยกความแตกต่างเทียบกับ y โดยสมมติว่า x เป็นค่าคงที่และนำไปใช้ (2) :

.
สมการ (4) จะถูกดำเนินการถ้า
.
การรวมส่วน y จาก y 0 ถึง y :
;
;
.
ทดแทนใน (5) :
(6) .
เราจึงพบฟังก์ชันที่ค่าดิฟเฟอเรนเชียลคือ
.
ความพอเพียงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในสูตร (6) , ยู (x0, y0)เป็นค่าคงที่ - ค่าของฟังก์ชันU (x, y)ณ จุด x 0 , y0. สามารถกำหนดมูลค่าใดๆ

วิธีรับรู้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์:
(1) .
ในการตัดสินว่าสมการนี้อยู่ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดหรือไม่ คุณต้องตรวจสอบเงื่อนไข (2) :
(2) .
ถ้ามันคงอยู่ แสดงว่านี่คือสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ถ้าไม่ใช่ แสดงว่านี่ไม่ใช่สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ตัวอย่าง

ตรวจสอบว่าสมการอยู่ในส่วนต่างทั้งหมดหรือไม่:
.

ที่นี่
, .
แยกความแตกต่างเทียบกับ y โดยสมมติว่า x เป็นค่าคงที่:

.
สร้างความแตกต่าง

.
เพราะว่า:
,
จากนั้นสมการที่กำหนดจะอยู่ในส่วนต่างทั้งหมด

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

วิธีการแยกความแตกต่างตามลำดับ

ที่สุด วิธีง่ายๆการแก้สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดเป็นวิธีการแยกดิฟเฟอเรนเชียลแบบต่อเนื่อง ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรการสร้างความแตกต่างที่เขียนในรูปแบบส่วนต่าง:
ดู ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (ยูวี);
;
.
ในสูตรเหล่านี้ u และ v เป็นนิพจน์ทั่วไปที่ประกอบด้วยตัวแปรใดๆ รวมกัน

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ:
.

ก่อนหน้านี้เราพบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างทั้งหมด มาแปลงร่างกันเถอะ:
(P1) .
เราแก้สมการโดยเน้นส่วนต่างตามลำดับ
;
;
;
;

.
ทดแทนใน (P1):
;
.

วิธีการรวมตามลำดับ

ในวิธีนี้ เรากำลังมองหาฟังก์ชัน U (x, y), เป็นไปตามสมการ:
(3) ;
(4) .

เรารวมสมการ (3) ใน x สมมติว่า y เป็นค่าคงที่:
.
ที่นี่ φ (ญ)เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจของ y ที่จะกำหนด เป็นความต่อเนื่องของการบูรณาการ เราแทนลงในสมการ (4) :
.
จากที่นี่:
.
ในการบูรณาการ เราพบว่า φ (ญ)และด้วยเหตุนี้ U (x, y).

ตัวอย่าง 2

แก้สมการในส่วนต่างทั้งหมด:
.

ก่อนหน้านี้เราพบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างทั้งหมด ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
, .
กำลังมองหาฟังก์ชั่น U (x, y)ซึ่งดิฟเฟอเรนเชียลอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ:
.
แล้ว:
(3) ;
(4) .
เรารวมสมการ (3) ใน x สมมติว่า y เป็นค่าคงที่:
(ป2)
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ y :

.
ทดแทนใน (4) :
;
.
เรารวม:
.
ทดแทนใน (ป2):

.
อินทิกรัลทั่วไปของสมการ:
ยู (x, y) = const.
เรารวมสองค่าคงที่เป็นหนึ่งเดียว

วิธีบูรณาการตามแนวโค้ง

ฟังก์ชัน U กำหนดโดยความสัมพันธ์:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
หาได้โดยการรวมสมการนี้เข้ากับเส้นโค้งที่เชื่อมจุดต่างๆ (x0, y0)และ (x, y):
(7) .
เพราะว่า
(8) ,
จากนั้นอินทิกรัลก็ขึ้นอยู่กับพิกัดของค่าเริ่มต้น .เท่านั้น (x0, y0)และสุดท้าย (x, y)และไม่ขึ้นกับรูปร่างของส่วนโค้ง จาก (7) และ (8) เราพบ:
(9) .
ที่นี่ x 0 และ y 0 - ถาวร. ดังนั้นคุณ (x0, y0)ยังคงที่

ตัวอย่างของคำจำกัดความของ U ได้รับในการพิสูจน์:
(6) .
ที่นี่ การรวมจะดำเนินการก่อนตามส่วนที่ขนานกับแกน y จากจุด (x 0, y 0)ตรงประเด็น (x0, y). จากนั้นทำการรวมเข้าด้วยกันในส่วนที่ขนานกับแกน x จากจุด (x0, y)ตรงประเด็น (x, y) .

มากขึ้น กรณีทั่วไป, คุณต้องแสดงสมการของเส้นโค้งที่เชื่อมจุดต่างๆ (x 0, y 0)และ (x, y)ในรูปแบบพารามิเตอร์:
x 1 = s(t1); y 1 = ร(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = ร(t0);
x = ส (ท); y=r (ท);
และบูรณาการผ่าน t 1 จาก t 0 ถึงที

การรวมที่ง่ายที่สุดคือส่วนที่เชื่อมต่อจุด (x 0, y 0)และ (x, y). ในกรณีนี้:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) เสื้อ 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) เสื้อ 1;
t 0 = 0 ; เสื้อ = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
หลังจากการแทนที่ เราได้อินทิกรัลส่วน t ของ 0 ก่อน 1 .
วิธีนี้อย่างไรก็ตาม นำไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก

ข้อมูลอ้างอิง:
วี.วี. Stepanov, หลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์, LKI, 2015.

คำจำกัดความ 8.4สมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ

ที่ไหน
เรียกว่าสมการอนุพันธ์ทั้งหมด

สังเกตว่าด้านซ้ายของสมการนั้นคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง
.

ในกรณีทั่วไป สมการ (8.4) สามารถแสดงเป็น

แทนที่จะเป็นสมการ (8.5) เราสามารถพิจารณาสมการได้

ซึ่งคำตอบคืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (8.4) ดังนั้น ในการแก้สมการ (8.4) จำเป็นต้องหาฟังก์ชัน
. ตามนิยามของสมการ (8.4) เรามี

(8.6)

การทำงาน
เราจะมองหาว่าเป็นฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง (8.6):

ที่ไหน เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจที่ไม่ขึ้นกับ .

การทำงาน
ถูกกำหนดเพื่อให้เงื่อนไขที่สองของการแสดงออก (8.6) เป็นที่น่าพอใจ

(8.7)

จากนิพจน์ (8.7) ฟังก์ชันจะถูกกำหนด
. แทนที่มันเป็นนิพจน์สำหรับ
และรับอินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม

ปัญหา 8.3สมการบูรณาการ

ที่นี่
.

ดังนั้น สมการนี้จึงเป็นประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด การทำงาน
เราจะค้นหาในแบบฟอร์ม

ในทางกลับกัน,

ในบางกรณีเงื่อนไข
ไม่อาจดำเนินการได้

จากนั้นสมการดังกล่าวจะลดลงเป็นประเภทที่พิจารณาโดยการคูณด้วยปัจจัยที่เรียกว่าการบูรณาการซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นฟังก์ชันของ หรือ .

ถ้าสมการบางสมการมีปัจจัยการบูรณาการที่ขึ้นอยู่กับ .เท่านั้น แล้วมันถูกกำหนดโดยสูตร

อัตราส่วนอยู่ที่ไหน ควรเป็นเพียงฟังก์ชัน .

ในทำนองเดียวกันปัจจัยการบูรณาการขึ้นอยู่กับ .เท่านั้น ถูกกำหนดโดยสูตร

อัตราส่วนอยู่ที่ไหน
ควรเป็นเพียงฟังก์ชัน .

กรณีแรกขาดในอัตราส่วนข้างต้นของตัวแปร และในวินาที - ตัวแปร เป็นสัญญาณของการมีอยู่ของปัจจัยการบูรณาการสำหรับสมการที่กำหนด

ปัญหา 8.4นำสมการนี้ไปเป็นสมการในส่วนอนุพันธ์ทั้งหมด

พิจารณาความสัมพันธ์:

หัวข้อ 8.2. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

คำจำกัดความ 8.5. สมการเชิงอนุพันธ์
เรียกว่าเชิงเส้นถ้าเป็นเชิงเส้นตามฟังก์ชันที่ต้องการ , อนุพันธ์ของมัน และไม่มีผลคูณของฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมัน

รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแสดงโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

(8.8)

ถ้าสัมพันธ์กัน (8.8) ด้านขวา
สมการดังกล่าวจึงเรียกว่าเส้นเนื้อเดียวกัน กรณีที่ทางขวามือ
สมการดังกล่าวจึงเรียกว่าเชิงเส้นไม่เท่ากัน

ให้เราแสดงให้เห็นว่าสมการ (8.8) สามารถรวมกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้

ในระยะแรก เราพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

สมการดังกล่าวเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ จริงๆ,

;

ความสัมพันธ์สุดท้ายกำหนดคำตอบทั่วไปของเส้นตรง สมการเอกพันธ์.

ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ใช้วิธีการแปรผันของอนุพันธ์ของค่าคงที่ แนวคิดของวิธีนี้คือ คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบเดียวกับคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม ค่าคงที่โดยพลการ แทนที่ด้วยฟังก์ชันบางอย่าง
ที่จะกำหนด ดังนั้นเราจึงมี:

(8.9)

แทนค่าความสัมพันธ์ (8.8) นิพจน์ที่สอดคล้องกับ
และ
, เราได้รับ

แทนที่นิพจน์สุดท้ายเป็นความสัมพันธ์ (8.9) เราได้รับอินทิกรัลทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันจึงถูกกำหนดโดยการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมสองอัน: คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นและคำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น

ปัญหา 8.5สมการบูรณาการ

ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงอยู่ในประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้น

ในระยะแรก เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

;

ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ซึ่งหาได้ในรูป

ที่ไหน
เป็นหน้าที่ที่จะกำหนด

ดังนั้นเราจึงมี:

แทนที่อัตราส่วนสำหรับ และ ในสมการเอกพันธ์เชิงเส้นดั้งเดิมที่เราได้รับ:

;

คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะมีลักษณะดังนี้:

ดิฟเฟอเรนเชียล เรียกว่า สมการของรูป

พี(x,y)dx + คิว(x,y)dy = 0 ,

โดยที่ด้านซ้ายคือค่าดิฟเฟอเรนเชียลรวมของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว

ให้เราแสดงฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรสองตัว (เป็นสิ่งที่เราต้องค้นหาเมื่อแก้สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด) ผ่าน Fและเราจะกลับไปแก้ไขในเร็วๆ นี้

สิ่งแรกที่ต้องใส่ใจคือต้องมีศูนย์ทางด้านขวาของสมการ และเครื่องหมายที่เชื่อมพจน์สองพจน์ทางด้านซ้ายต้องเป็นเครื่องหมายบวก

ประการที่สอง ต้องสังเกตความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นการยืนยันว่าสมการอนุพันธ์ที่ให้มานั้นเป็นสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด การตรวจสอบนี้เป็นส่วนบังคับของอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการในส่วนต่างทั้งหมด (อยู่ในย่อหน้าที่สองของบทเรียนนี้) ดังนั้นกระบวนการในการค้นหาฟังก์ชัน Fค่อนข้างใช้เวลานานและเป็นสิ่งสำคัญในระยะเริ่มแรกเพื่อให้แน่ใจว่าเราจะไม่เสียเวลาเปล่า ๆ

ดังนั้น ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักที่จะพบจึงแทนด้วย F. ผลรวมของดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วนเหนือตัวแปรอิสระทั้งหมดจะให้ผลรวมทั้งหมด ดังนั้น หากสมการเป็นสมการในอนุพันธ์ทั้งหมด ด้านซ้ายของสมการคือผลรวมของดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วน แล้วตามคำนิยาม

dF = พี(x,y)dx + คิว(x,y)dy .

เราจำสูตรการคำนวณผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

การแก้สมการสองอันสุดท้าย เราสามารถเขียนได้

ความเท่าเทียมกันแรกนั้นแยกความแตกต่างได้เมื่อเทียบกับตัวแปร "y" ส่วนที่สอง - เทียบกับตัวแปร "x":

ซึ่งเป็นเงื่อนไขว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่ให้มานั้นเป็นสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการนั้นเป็นสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด เพื่อที่จะแสดงออก คือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง F(x, y) มีความจำเป็นและเพียงพอว่า กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ xและอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ yอีกเทอมหนึ่ง และถ้าอนุพันธ์เหล่านี้เท่ากัน สมการก็คือสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 2เขียนระบบสมการอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่ประกอบเป็นฟังก์ชัน F:

ขั้นตอนที่ 3รวมสมการแรกของระบบ - over x (y F:

,
y.

อีกทางเลือกหนึ่ง (ถ้าหาอินทิกรัลได้ง่ายกว่าด้วยวิธีนี้) คือการรวมสมการที่สองของระบบ - by y (xคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงถูกเรียกคืนด้วย F:

,
ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักอยู่ที่ไหน X.

ขั้นตอนที่ 4ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) แตกต่างด้วย y(หรือโดย x) และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

และอีกทางหนึ่งกับสมการแรกของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์ เรากำหนด (ในเวอร์ชันทางเลือก)

ขั้นตอนที่ 5ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 ถูกรวมและพบ (หรือ find )

ขั้นตอนที่ 6แทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - ลงในฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน F. ค่าคงที่โดยพลการ คเขียนบ่อยขึ้นหลังเครื่องหมายเท่ากับ - ทางด้านขวาของสมการ ดังนั้นเราจึงได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ดังที่ได้กล่าวมาแล้วมีรูปแบบ F(x, y) = ค.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ตัวอย่าง 1

ขั้นตอนที่ 1. สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด xหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ yอีกวาระหนึ่ง
สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด .

ขั้นตอนที่ 2 F:

ขั้นตอนที่ 3บน x (yคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน F:

ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักอยู่ที่ไหน y.

ขั้นตอนที่ 4 y

ขั้นตอนที่ 5

ขั้นตอนที่ 6 F. ค่าคงที่โดยพลการ ค :
.

ข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดที่นี่คืออะไร ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการนำอินทิกรัลบางส่วนมาทับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งสำหรับอินทิกรัลปกติของผลคูณของฟังก์ชันและพยายามรวมโดยชิ้นส่วนหรือตัวแปรทดแทน และนำอนุพันธ์ย่อยของสองปัจจัยมาเป็นอนุพันธ์ของ ผลคูณของฟังก์ชันและหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรที่เหมาะสม

สิ่งนี้ต้องจำไว้: เมื่อคำนวณอินทิกรัลบางส่วนเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง อีกตัวหนึ่งเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ และเมื่อคำนวณอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง อีกตัวหนึ่งก็เช่นกัน ค่าคงที่และอนุพันธ์ของนิพจน์พบได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของตัวแปร "acting" คูณด้วยค่าคงที่

ท่ามกลาง สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ไม่ใช่เรื่องแปลก - ตัวอย่างที่มีเลขชี้กำลัง นี่คือตัวอย่างต่อไป นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีการใช้ตัวเลือกทางเลือกในการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 2แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการคือ สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด . ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับ xหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ yอีกวาระหนึ่ง
. อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นสมการคือ สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด .

ขั้นตอนที่ 2เราเขียนระบบสมการอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบเป็นฟังก์ชัน F:

ขั้นตอนที่ 3เรารวมสมการที่สองของระบบ - over y (xคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน F:

ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักอยู่ที่ไหน X.

ขั้นตอนที่ 4ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (พบอินทิกรัลทั่วไป) สามารถหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับ X

และเท่ากับสมการแรกของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:
.

ขั้นตอนที่ 6เราแทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - เป็นฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน F. ค่าคงที่โดยพลการ คเขียนหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้ทั่วไป คำตอบของสมการอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด :
.

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เรากลับจากทางเลือกอื่นไปเป็นตัวหลัก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการคือ สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด . ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับ yหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ xอีกวาระหนึ่ง
. อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นสมการคือ สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด .

ขั้นตอนที่ 2เราเขียนระบบสมการอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบเป็นฟังก์ชัน F:

ขั้นตอนที่ 3เรารวมสมการแรกของระบบ - บน x (yคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน F:

ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักอยู่ที่ไหน y.

ขั้นตอนที่ 4ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (พบอินทิกรัลทั่วไป) สามารถหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับ y

และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการคือ สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด . ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับ yหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ xอีกวาระหนึ่ง
. อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 2เราเขียนระบบสมการอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบเป็นฟังก์ชัน F: