ระบบสมการเรียกว่าอะไร? ระบบสมการ-ข้อมูลพื้นฐาน

เนื้อหาในบทความนี้มีไว้สำหรับการทำความคุ้นเคยกับระบบสมการเป็นครั้งแรก ในที่นี้เราจะแนะนำคำจำกัดความของระบบสมการและการแก้โจทย์ของระบบสมการ และยังพิจารณาระบบสมการประเภทที่พบบ่อยที่สุดด้วย ตามปกติเราจะยกตัวอย่างที่อธิบาย

การนำทางหน้า

ระบบสมการคืออะไร?

เราจะเข้าใกล้นิยามของระบบสมการทีละน้อย ประการแรก สมมติว่าสะดวกที่จะให้โดยระบุสองประเด็น ประการแรก ประเภทของการบันทึก และประการที่สอง ความหมายที่ฝังอยู่ในบันทึกนี้ มาดูกันตามลำดับ แล้วสรุปเหตุผลให้เป็นคำจำกัดความของระบบสมการ

ให้มีหลายคนอยู่ตรงหน้าเรา ตัวอย่างเช่น ลองหาสมการสองสมการ 2 x+y=−3 และ x=5 มาเขียนไว้ด้านล่างกันและรวมไว้ทางด้านซ้ายด้วยเครื่องหมายปีกกา:

บันทึกประเภทนี้ซึ่งเป็นสมการต่างๆ ที่จัดเรียงอยู่ในคอลัมน์และรวมกันทางด้านซ้ายด้วยเครื่องหมายปีกกา ถือเป็นบันทึกของระบบสมการ

รายการดังกล่าวหมายถึงอะไร? พวกเขากำหนดเซตของคำตอบดังกล่าวทั้งหมดให้กับสมการของระบบที่เป็นคำตอบของแต่ละสมการ

มันไม่เจ็บที่จะอธิบายด้วยคำอื่น สมมติว่าคำตอบของสมการแรกคือคำตอบของสมการอื่นๆ ทั้งหมดของระบบ ดังนั้นบันทึกของระบบจึงหมายถึงพวกเขา

ตอนนี้เราพร้อมที่จะยอมรับคำนิยามของระบบสมการอย่างเพียงพอแล้ว

คำนิยาม.

ระบบสมการบันทึกการโทรที่เป็นสมการที่อยู่ด้านล่างอีกสมการหนึ่ง รวมกันทางด้านซ้ายด้วยเครื่องหมายปีกกา ซึ่งแสดงถึงชุดของคำตอบทั้งหมดของสมการที่เป็นคำตอบของสมการแต่ละสมการของระบบด้วย

ในตำราเรียนให้คำจำกัดความที่คล้ายกัน แต่ไม่ได้ให้ไว้สำหรับกรณีทั่วไป แต่สำหรับสมการตรรกยะสองตัวที่มีตัวแปรสองตัว

ประเภทหลัก

เห็นได้ชัดว่ามีสมการต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วน โดยปกติแล้ว ยังมีระบบสมการที่รวบรวมโดยใช้ระบบสมการเหล่านี้จำนวนอนันต์อีกด้วย ดังนั้นเพื่อความสะดวกในการศึกษาและทำงานกับระบบสมการ จึงควรแบ่งพวกมันออกเป็นกลุ่มตามลักษณะที่คล้ายคลึงกัน จากนั้นจึงพิจารณาระบบสมการแต่ละประเภทต่อไป

การหารแรกแนะนำตัวเองตามจำนวนสมการที่รวมอยู่ในระบบ หากมีสมการสองสมการ เราก็บอกได้ว่าเรามีระบบสองสมการ ถ้ามีสามสมการ เราก็มีระบบสมการสามสมการ เป็นต้น เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึงระบบของสมการเดียว เนื่องจากในกรณีนี้ โดยพื้นฐานแล้ว เรากำลังเผชิญกับสมการนั้นเอง ไม่ใช่กับระบบ

การหารครั้งต่อไปขึ้นอยู่กับจำนวนตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับการเขียนสมการของระบบ หากมีตัวแปรหนึ่งตัว เรากำลังจัดการกับระบบสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว (พวกเขาบอกว่ามีตัวแปรหนึ่งตัวที่ไม่รู้จัก) หากมีสองตัว ก็ด้วยระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว (โดยไม่ทราบสองตัว) เป็นต้น ตัวอย่างเช่น, เป็นระบบสมการที่มีตัวแปร x และ y สองตัว

นี่หมายถึงจำนวนของตัวแปรต่างๆ ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการบันทึก ไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในบันทึกของแต่ละสมการในคราวเดียว การมีอยู่ของสมการอย่างน้อย 1 สมการก็เพียงพอแล้ว เช่น, เป็นระบบสมการที่มีตัวแปร 3 ตัว ได้แก่ x, y และ z ในสมการแรก ตัวแปร x ปรากฏอย่างชัดเจน และ y และ z เป็นแบบนัย (เราสามารถสรุปได้ว่าตัวแปรเหล่านี้มีศูนย์) และในสมการที่สองคือ x และ z แต่ตัวแปร y ไม่ได้แสดงอย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการแรกสามารถมองได้เป็น และอันที่สอง – เมื่อ x+0·y−3·z=0

จุดที่สามซึ่งระบบสมการแตกต่างกันคือประเภทของสมการเอง

ที่โรงเรียน การศึกษาระบบสมการเริ่มต้นด้วย ระบบของทั้งสอง สมการเชิงเส้นด้วยสองตัวแปร. นั่นคือระบบดังกล่าวประกอบด้วยสมการเชิงเส้นสองสมการ นี่คือตัวอย่างบางส่วน: และ . พวกเขาเรียนรู้พื้นฐานของการทำงานกับระบบสมการ

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น คุณอาจพบระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่าด้วย

นอกจากนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สมการไม่เชิงเส้นจะถูกเพิ่มเข้าไปในระบบของสมการสองตัวที่มีตัวแปรสองตัว ซึ่งส่วนใหญ่เป็นสมการทั้งหมดของระดับที่สอง ซึ่งมักจะน้อยกว่า - องศาที่สูงกว่า ระบบเหล่านี้เรียกว่าระบบสมการไม่เชิงเส้น หากจำเป็น จะมีการระบุจำนวนสมการและค่าที่ไม่ทราบ ให้เราแสดงตัวอย่างระบบสมการไม่เชิงเส้นดังกล่าว: และ .

แล้วในระบบก็ยังมีเช่น . โดยทั่วไปจะเรียกง่ายๆ ว่าระบบสมการ โดยไม่ได้ระบุว่าสมการใด เป็นที่น่าสังเกตว่าส่วนใหญ่ระบบสมการมักเรียกง่ายๆ ว่า "ระบบสมการ" และจะมีการเพิ่มเติมคำชี้แจงในกรณีที่จำเป็นเท่านั้น

ในโรงเรียนมัธยม เนื่องจากมีการศึกษาเนื้อหา สมการไม่ลงตัว ตรีโกณมิติ ลอการิทึม และเอกซ์โปเนนเชียลจะเจาะเข้าไปในระบบ: , , .

หากเราพิจารณาเพิ่มเติมในหลักสูตรมหาวิทยาลัยปีแรก จุดเน้นหลักคือการศึกษาและการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ซึ่งก็คือสมการที่ด้านซ้ายมือมีพหุนามในระดับที่ 1 และด้านขวามือมีตัวเลขจำนวนหนึ่ง แต่ที่นั่นไม่เหมือนที่โรงเรียนพวกเขาไม่ได้ใช้สมการเชิงเส้นสองตัวที่มีตัวแปรสองตัวอีกต่อไป แต่เป็นสมการจำนวนตามอำเภอใจพร้อมตัวแปรจำนวนตามอำเภอใจซึ่งมักจะไม่ตรงกับจำนวนสมการ

ข้อใดคือคำตอบของระบบสมการ?

คำว่า “การแก้ระบบสมการ” หมายถึงระบบสมการโดยตรง ที่โรงเรียน ให้คำจำกัดความของการแก้ระบบสมการด้วยตัวแปรสองตัว :

คำนิยาม.

การแก้ระบบสมการด้วยตัวแปรสองตัวเรียกว่าคู่ของค่าของตัวแปรเหล่านี้ที่จะเปลี่ยนแต่ละสมการของระบบให้เป็นค่าที่ถูกต้อง กล่าวคือ เป็นการแก้สมการแต่ละสมการของระบบ

ตัวอย่างเช่น คู่ของค่าตัวแปร x=5, y=2 (เขียนเป็น (5, 2)) เป็นวิธีแก้ระบบสมการตามคำนิยาม เนื่องจากสมการของระบบเมื่อ x= 5, y=2 ถูกแทนที่ด้วยพวกมัน กลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 5+2=7 และ 5−2=3 ตามลำดับ แต่คู่ของค่า x=3, y=0 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้ เนื่องจากเมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการ ค่าแรกจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง 3+0=7

คำจำกัดความที่คล้ายกันสามารถกำหนดได้สำหรับระบบที่มีตัวแปรเดียว เช่นเดียวกับระบบที่มีสาม, สี่ ฯลฯ ตัวแปร

คำนิยาม.

การแก้ระบบสมการด้วยตัวแปรตัวเดียวจะมีค่าของตัวแปรที่เป็นรากของสมการทั้งหมดของระบบคือเปลี่ยนสมการทั้งหมดให้เป็นค่าเท่ากันที่ถูกต้อง

ลองมาตัวอย่าง. พิจารณาระบบสมการที่มีตัวแปร t ตัวเดียวอยู่ในรูปแบบ . จำนวน −2 คือคำตอบ เนื่องจากทั้ง (−2) 2 =4 และ 5·(−2+2)=0 ต่างก็มีความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง และ t=1 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของระบบ เนื่องจากการแทนที่ค่านี้จะทำให้เกิดค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง 2 ค่า คือ 1 2 =4 และ 5·(1+2)=0

คำนิยาม.

การแก้ระบบด้วยสาม สี่ ฯลฯ ตัวแปรเรียกว่าสาม สี่ ฯลฯ ค่าของตัวแปรตามลำดับทำให้สมการของระบบทั้งหมดมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

ดังนั้นตามคำจำกัดความ ค่าสามเท่าของตัวแปร x=1, y=2, z=0 จึงเป็นคำตอบของระบบ เนื่องจาก 2·1=2, 5·2=10 และ 1+2+0=3 เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง และ (1, 0, 5) ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้ เนื่องจากเมื่อแทนค่าของตัวแปรเหล่านี้ลงในสมการของระบบ ค่าที่สองจะกลายเป็นค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง 5·0=10 และค่าที่สาม เช่นกัน 1+0+5=3

โปรดทราบว่าระบบสมการอาจไม่มีคำตอบ อาจมีจำนวนคำตอบที่จำกัด เช่น หนึ่ง สอง ... หรืออาจมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน คุณจะเห็นสิ่งนี้เมื่อคุณเจาะลึกเข้าไปในหัวข้อนี้

เมื่อคำนึงถึงคำจำกัดความของระบบสมการและการแก้โจทย์แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าการแก้ระบบสมการคือจุดตัดของเซตคำตอบของสมการทั้งหมด

โดยสรุป ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องบางประการ:

คำนิยาม.

ไม่ใช่ข้อต่อหากไม่มีวิธีแก้ไขมิฉะนั้นระบบจะถูกเรียก ข้อต่อ.

คำนิยาม.

เรียกว่าระบบสมการ ไม่แน่นอนถ้ามันมีวิธีแก้มากมายไม่สิ้นสุด และ แน่ใจถ้ามีคำตอบจำนวนจำกัดหรือไม่มีเลย

ตัวอย่างเช่น คำศัพท์เหล่านี้ถูกนำมาใช้ในตำราเรียน แต่ไม่ค่อยมีการใช้ที่โรงเรียน และมักได้ยินในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษามากกว่า

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 17 เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2013. - 175 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-02432-3.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถานศึกษาทั่วไป ( ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
เอ.จี. คูรอช. หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง
Ilyin V. A. , Poznyak E. G. เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์:ตำราเรียน: สำหรับมหาวิทยาลัย. – ฉบับที่ 5 – ม.: วิทยาศาสตร์. ฟิซแมทลิต, 1999. – 224 น. – (หลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูงและฟิสิกส์คณิตศาสตร์) – ISBN 5-02-015234 – X (ฉบับที่ 3)

ในบทนี้ เราจะดูวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับสูง ระบบสมการเชิงเส้นจำเป็นต้องแก้ทั้งในรูปแบบของงานแยกกัน เช่น "แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์" และในหลักสูตรแก้ปัญหาอื่นๆ ระบบสมการเชิงเส้นจะต้องได้รับการจัดการในคณิตศาสตร์ชั้นสูงเกือบทุกสาขา

ก่อนอื่นมีทฤษฎีเล็กน้อย คำทางคณิตศาสตร์ "เชิงเส้น" ในกรณีนี้หมายถึงอะไร? ซึ่งหมายความว่าสมการของระบบ ทั้งหมดรวมตัวแปรด้วย ในระดับแรก: ไม่มีของหรูหราอะไรแบบนั้น ฯลฯ ซึ่งมีเพียงผู้เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกเท่านั้นที่พึงพอใจ

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่เพียงแต่ใช้ตัวอักษรที่คุ้นเคยตั้งแต่วัยเด็กเพื่อแสดงถึงตัวแปรเท่านั้น
ตัวเลือกที่ได้รับความนิยมพอสมควรคือตัวแปรที่มีดัชนี: .
หรืออักษรเริ่มต้นของอักษรละตินทั้งเล็กและใหญ่:
ตัวอักษรกรีกไม่ได้หายากนัก: – หลายคนรู้จักกันในชื่อ “อัลฟา เบต้า แกมมา” และยังเป็นชุดที่มีดัชนี เช่น ตัวอักษร "mu":

การใช้ตัวอักษรชุดใดชุดหนึ่งขึ้นอยู่กับส่วนของคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่เราต้องเผชิญกับระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ในระบบสมการเชิงเส้นที่พบเมื่อแก้ปริพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์เป็นแบบดั้งเดิมที่จะใช้สัญกรณ์

แต่ไม่ว่าตัวแปรจะถูกกำหนดอย่างไร หลักการ วิธีการ และวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นก็ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นหากคุณเจอเรื่องที่น่ากลัว เช่น อย่ารีบปิดหนังสือปัญหาด้วยความกลัว เพราะคุณสามารถวาดดวงอาทิตย์แทน นกแทน และใบหน้า (ครู) แทนได้ และที่น่าตลกก็คือ ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสัญลักษณ์เหล่านี้ก็สามารถแก้ไขได้เช่นกัน

รู้สึกว่าบทความจะยาวหน่อยนะคะ เลยมีสารบัญเล็กๆ น้อยๆ ค่ะ ดังนั้น "การซักถาม" ตามลำดับจะเป็นดังนี้:

– การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีทดแทน (“วิธีโรงเรียน”);
– การแก้ระบบด้วยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม;
– การแก้ปัญหาระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์;
– การแก้ปัญหาระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน;
– การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์เซียน.

ทุกคนคุ้นเคยกับระบบสมการเชิงเส้นจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน โดยพื้นฐานแล้ว เราเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีทดแทน

วิธีการนี้อาจเรียกได้ว่าเป็น "วิธีการของโรงเรียน" หรือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ก็ได้ หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง อาจเรียกได้ว่าเป็น "วิธีเกาส์เซียนที่ยังไม่เสร็จ"

ตัวอย่างที่ 1

ที่นี่เราได้รับระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว โปรดทราบว่าคำศัพท์อิสระ (หมายเลข 5 และ 7) จะอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ โดยทั่วไปแล้ว ไม่สำคัญว่าพวกเขาอยู่ที่ไหน ด้านซ้ายหรือด้านขวา เพียงแต่ว่าในโจทย์คณิตศาสตร์ระดับสูงมักจะอยู่ในแนวทางนั้น และการบันทึกดังกล่าวไม่ควรทำให้เกิดความสับสน หากจำเป็น ระบบสามารถเขียนได้ "ตามปกติ" เสมอ: . อย่าลืมว่าเมื่อย้ายคำจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นหมายความว่าอย่างไร? การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาคำตอบมากมาย คำตอบของระบบคือชุดของค่าของตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น ซึ่งเปลี่ยนทุกสมการของระบบให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง นอกจากนี้ระบบยังสามารถ ไม่ใช่ข้อต่อ (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)อย่าอาย นี่คือคำจำกัดความทั่วไป =) เราจะมีค่า "x" เพียงค่าเดียวและค่า "y" หนึ่งค่า ซึ่งเป็นไปตามสมการ c-we แต่ละค่า

มีวิธีการแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกซึ่งคุณสามารถทำความคุ้นเคยในชั้นเรียนได้ ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้น. ที่นั่นฉันพูดถึง ความรู้สึกทางเรขาคณิตระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว แต่ตอนนี้เป็นยุคของพีชคณิต ตัวเลข-ตัวเลข การกระทำ-การกระทำ

มาตัดสินใจกัน: จากสมการแรกที่เราแสดง:
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการที่สอง:

เราเปิดวงเล็บ เพิ่มคำที่คล้ายกัน และค้นหาค่า:

ต่อไปเราจำสิ่งที่เราเต้นเพื่อ:
เรารู้ถึงคุณค่าแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหา:

คำตอบ:

หลังจากที่ระบบสมการใดๆ ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีใดก็ตามแล้ว ฉันขอแนะนำให้ตรวจสอบอย่างยิ่ง (วาจา บนร่าง หรือบนเครื่องคิดเลข). โชคดีที่สามารถทำได้ง่ายและรวดเร็ว

1) แทนคำตอบที่พบลงในสมการแรก:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

2) แทนคำตอบที่พบลงในสมการที่สอง:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

หรือพูดง่ายๆ ก็คือ “ทุกสิ่งทุกอย่างมารวมกัน”

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณาไม่ได้เป็นเพียงวิธีเดียว จากสมการแรก มันเป็นไปได้ที่จะแสดง และไม่ใช่ .
คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ โดยแสดงบางสิ่งจากสมการที่สองแล้วแทนที่มันลงในสมการแรก โปรดทราบว่าวิธีที่เสียเปรียบที่สุดในสี่วิธีคือการแสดงจากสมการที่สอง:

ผลลัพธ์ก็คือเศษส่วน แต่ทำไม? มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้น

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี คุณยังขาดเศษส่วนไม่ได้ ในเรื่องนี้ ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ว่าฉันเขียนสำนวนนี้อย่างไร ไม่ใช่เช่นนี้: และไม่ว่าในกรณีเช่นนี้: .

หากในทางคณิตศาสตร์ที่สูงกว่าคุณกำลังเผชิญกับเศษส่วนให้ลองคำนวณทั้งหมดเป็นเศษส่วนเกินธรรมดา

อย่างแน่นอนและไม่หรือ!

สามารถใช้เครื่องหมายจุลภาคได้ในบางครั้งเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเป็นคำตอบสุดท้ายสำหรับปัญหาบางอย่าง และไม่จำเป็นต้องดำเนินการใดๆ เพิ่มเติมกับตัวเลขนี้

ผู้อ่านหลายคนอาจคิดว่า “เหตุใดการอธิบายอย่างละเอียดสำหรับชั้นเรียนการแก้ไขจึงชัดเจน” ไม่มีอะไรเลย ดูเหมือนเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของโรงเรียน แต่มีข้อสรุปที่สำคัญมากมากมาย! นี่เป็นอีกอันหนึ่ง:

คุณควรพยายามทำงานให้สำเร็จอย่างมีเหตุผลที่สุด. หากเพียงเพราะมันช่วยประหยัดเวลาและความกังวลใจและยังช่วยลดโอกาสที่จะทำผิดพลาดอีกด้วย

หากมีปัญหาในคณิตศาสตร์ชั้นสูงคุณเจอระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวคุณสามารถใช้วิธีการทดแทนได้ตลอดเวลา (เว้นแต่จะระบุว่าระบบจำเป็นต้องแก้ไขด้วยวิธีอื่น) ไม่ใช่ครูคนเดียวที่จะ คิดว่าคุณมันห่วยและจะลดเกรดการใช้ “วิธีเรียน” ลง”
นอกจากนี้ ในบางกรณี ขอแนะนำให้ใช้วิธีการทดแทนที่มีตัวแปรจำนวนมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยค่าไม่ทราบสามค่า

ระบบสมการที่คล้ายกันมักเกิดขึ้นเมื่อใช้วิธีการที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เมื่อเราค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน ฉันนำระบบที่เป็นปัญหาไปจากที่นั่น

เมื่อค้นหาอินทิกรัลเป้าหมายก็คือ เร็วค้นหาค่าของสัมประสิทธิ์และไม่หันไปใช้สูตรของแครมเมอร์ เมทริกซ์ผกผันฯลฯ ดังนั้นในกรณีนี้วิธีการทดแทนจึงมีความเหมาะสม

เมื่อให้ระบบสมการใด ๆ ก่อนอื่นควรค้นหาว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำให้มันง่ายขึ้นทันที? เมื่อวิเคราะห์สมการของระบบ เราสังเกตเห็นว่าสมการที่สองของระบบสามารถหารด้วย 2 ได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำ:

อ้างอิง:เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์หมายถึง "จากสิ่งนี้ตามนั้น" และมักใช้ในการแก้ปัญหา

ตอนนี้เรามาวิเคราะห์สมการกัน เราต้องแสดงตัวแปรบางตัวในรูปของตัวแปรอื่นๆ ฉันควรเลือกสมการใด คุณคงเดาได้แล้วว่าวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับจุดประสงค์นี้คือการใช้สมการแรกของระบบ:

ในที่นี้ ไม่ว่าจะแสดงตัวแปรใด ก็สามารถแสดง หรือ ได้อย่างง่ายดายพอๆ กัน

ต่อไป เราจะแทนที่นิพจน์ลงในสมการที่สองและสามของระบบ:

เราเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

หารสมการที่สามด้วย 2:

จากสมการที่สองเราแสดงและแทนที่เป็นสมการที่สาม:

เกือบทุกอย่างพร้อมแล้วจากสมการที่สามที่เราพบ:
จากสมการที่สอง:
จากสมการแรก:

ตรวจสอบ: แทนที่ค่าที่พบของตัวแปรทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:

1)
2)
3)

จะได้ด้านขวามือของสมการที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงหาคำตอบได้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยค่าไม่ทราบค่า 4 ค่า

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

การแก้ระบบโดยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น คุณควรพยายามใช้ไม่ใช่ "วิธีโรงเรียน" แต่ควรใช้วิธีบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม ทำไม ซึ่งช่วยประหยัดเวลาและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น แต่ตอนนี้ทุกอย่างจะชัดเจนขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ฉันใช้ระบบเดียวกันกับในตัวอย่างแรก
จากการวิเคราะห์ระบบสมการ เราสังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม (–1 และ 1) ในสถานการณ์เช่นนี้ สมการสามารถเพิ่มทีละเทอมได้:

การกระทำที่วงกลมสีแดงนั้นดำเนินการด้วยจิตใจ
อย่างที่คุณเห็น ผลของการบวกทีละเทอม เราสูญเสียตัวแปรไป อันที่จริงนี่คือสิ่งที่ สาระสำคัญของวิธีนี้คือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง.

แก้ระบบด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้จัก - นี่หมายถึงการค้นหาคู่ของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ตรงกับแต่ละสมการที่กำหนด แต่ละคู่ดังกล่าวเรียกว่า โซลูชันระบบ.

ตัวอย่าง:
คู่ของค่า $x=3$;$y=-1$ เป็นคำตอบของระบบแรก เพราะเมื่อแทนค่าทั้งสามและลบเหล่านี้เข้าสู่ระบบแทน $x$ และ \ (y\) สมการทั้งสองจะกลายเป็นค่าเท่ากันที่ถูกต้อง $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( กรณี)$

แต่ $x=1$; $y=-2$ - ไม่ใช่คำตอบของระบบแรก เพราะหลังจากการแทนที่สมการที่สอง “ไม่มาบรรจบกัน” $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(กรณี)$

โปรดทราบว่าคู่ดังกล่าวมักจะเขียนสั้นกว่า: แทนที่จะเป็น "$x=3$; $y=-1$" จะเขียนดังนี้: $(3;-1)$

จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

มีสามวิธีหลักในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น:

วิธีการทดแทน

$\begin(กรณี)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(กรณี)$$\ลูกศรซ้าย$ $\begin(กรณี)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(กรณี)$$\ลูกศรซ้าย$

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทนตัวแปรนี้ไปเป็นสมการอื่นของระบบ

$\ลูกศรซ้าย$ $\begin(กรณี)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(กรณี)$$\ลูกศรซ้าย$

$\begin(กรณี)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(กรณี)$

ในสมการที่สอง แต่ละเทอมเป็นเลขคู่ ดังนั้นเราจึงจัดสมการให้ง่ายขึ้นโดยการหารด้วย $2$

$\begin(กรณี)13x+9y=17\\6x-y=13\end(กรณี)$

ระบบนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าวิธีการทดแทนจะสะดวกที่สุดที่นี่ ลองเขียน y จากสมการที่สองกัน

$\begin(กรณี)13x+9y=17\\y=6x-13\end(กรณี)$

ลองแทน $6x-13$ แทน $y$ ลงในสมการแรก

$\begin(กรณี)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(กรณี)$

สมการแรกกลายเป็นสมการธรรมดา มาแก้กันเถอะ

ก่อนอื่นเรามาเปิดวงเล็บกันก่อน

$\begin(กรณี)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(กรณี)$

ลองย้าย $117$ ไปทางขวาแล้วนำเสนอพจน์ที่คล้ายกัน

$\begin(กรณี)67x=134\\y=6x-13\end(กรณี)$

ลองหารทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย $67$

$\begin(กรณี)x=2\\y=6x-13\end(กรณี)$

ไชโย เราเจอแล้ว $x$! ลองแทนค่าของมันลงในสมการที่สองแล้วหา $y$

$\begin(กรณี)x=2\\y=12-13\end(กรณี)$$\ลูกศรซ้าย$$\begin(กรณี)x=2\\y=-1\end(กรณี )$

มาเขียนคำตอบกัน

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มชุดบทเรียนเกี่ยวกับระบบสมการโดยเฉพาะ วันนี้เราจะมาพูดถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการบวก- นี่คือหนึ่งในมากที่สุด วิธีง่ายๆแต่ในขณะเดียวกันก็มีประสิทธิภาพมากที่สุดอย่างหนึ่ง

วิธีการบวกประกอบด้วยสามขั้นตอนง่ายๆ:

ดูที่ระบบและเลือกตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหมือนกัน (หรือตรงกันข้าม) ในแต่ละสมการ
ดำเนินการลบพีชคณิต (สำหรับจำนวนตรงข้าม - การบวก) ของสมการจากกัน จากนั้นนำพจน์ที่คล้ายกันมา
แก้สมการใหม่ที่ได้รับหลังจากขั้นตอนที่สอง

หากทุกอย่างถูกต้องเราจะได้สมการเดียวที่เอาต์พุต ด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง— การแก้ไขมันไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่รูทที่พบลงในระบบดั้งเดิมและรับคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติทุกอย่างไม่ง่ายนัก มีหลายสาเหตุนี้:

การแก้สมการโดยใช้วิธีการบวกหมายความว่าทุกบรรทัดต้องมีตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันหรือตรงกันข้าม จะทำอย่างไรหากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้?
ไม่เสมอไป หลังจากบวก/ลบสมการตามวิธีที่ระบุ เราจะได้โครงสร้างที่สวยงามซึ่งสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย เป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ?

หากต้องการทราบคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ และในขณะเดียวกันก็เข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมบางประการที่นักเรียนหลายคนล้มเหลว โปรดดูบทเรียนวิดีโอของฉัน:

ในบทเรียนนี้ เราจะเริ่มการบรรยายเกี่ยวกับระบบสมการ และเราจะเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด ได้แก่ สมการที่มีสองสมการและตัวแปรสองตัว แต่ละตัวจะเป็นเส้นตรง

ระบบเป็นเนื้อหาเกรด 7 แต่บทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายที่ต้องการทบทวนความรู้ในหัวข้อนี้ด้วย

โดยทั่วไปมีสองวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว:

วิธีการบวก
วิธีการแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง

วันนี้เราจะมาจัดการกับวิธีแรก - เราจะใช้วิธีการลบและการบวก แต่เพื่อทำสิ่งนี้ คุณต้องเข้าใจข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เมื่อคุณมีสมการสองสมการขึ้นไปแล้ว คุณสามารถนำสมการสองสมการมาบวกกัน พวกเขาจะถูกเพิ่มสมาชิกโดยสมาชิกเช่น มีการเพิ่ม "X's" ใน "X's" และให้สิ่งที่คล้ายกัน "Y's" กับ "Y's" จะคล้ายกันอีกครั้ง และสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็จะถูกเพิ่มซึ่งกันและกันด้วย และให้สิ่งที่คล้ายกันที่นั่นด้วย .

ผลลัพธ์ของการใช้เครื่องจักรดังกล่าวจะเป็นสมการใหม่ ซึ่งหากมีราก ก็จะอยู่ในหมู่รากของสมการดั้งเดิมอย่างแน่นอน ดังนั้น งานของเราคือลบหรือบวกในลักษณะที่ $x$ หรือ $y$ หายไป

วิธีบรรลุเป้าหมายนี้และเครื่องมือใดที่จะใช้สำหรับสิ่งนี้ - เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้การบวก

ดังนั้นเราจึงเรียนรู้ที่จะใช้วิธีการบวกโดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ง่ายๆ สองนิพจน์

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่า $y$ มีค่าสัมประสิทธิ์ $-4$ ในสมการแรก และ $+4$ ในสมการที่สอง พวกมันตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าหากเรารวมมันเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ "เกม" จะถูกทำลายร่วมกัน เพิ่มและรับ:

มาแก้การก่อสร้างที่ง่ายที่สุด:

เยี่ยมเลย เราเจอ "x" แล้ว เราควรทำอย่างไรกับมันตอนนี้? เรามีสิทธิ์แทนที่มันลงในสมการใดๆ ได้ มาแทนที่ในอันแรก:

\[-4y=12\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(2;-3 \right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

สถานการณ์ที่นี่คล้ายกันมาก เฉพาะกับ "X's" เท่านั้น มาเพิ่มกัน:

เรามีสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด มาแก้กัน:

ตอนนี้เรามาหา $x$:

คำตอบ: $\left(-3;3 \right)$.

จุดสำคัญ

ดังนั้นเราจึงเพิ่งแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่ายสองระบบโดยใช้วิธีการบวก ประเด็นสำคัญอีกครั้ง:

หากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม จำเป็นต้องบวกตัวแปรทั้งหมดในสมการ ในกรณีนี้หนึ่งในนั้นจะถูกทำลาย
เราแทนตัวแปรที่พบลงในสมการของระบบใดๆ เพื่อหาค่าที่สอง
บันทึกสุดท้ายของคำตอบสามารถนำเสนอได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น - $x=...,y=...$ หรือในรูปแบบของพิกัดจุด - $\left(...;... \right)$ ตัวเลือกที่สองจะดีกว่า สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือพิกัดแรกคือ $x$ และพิกัดที่สองคือ $y$
กฎการเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดจุดนั้นใช้ไม่ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถใช้เมื่อตัวแปรไม่ใช่ $x$ และ $y$ แต่ ตัวอย่างเช่น $a$ และ $b$

ในปัญหาต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเทคนิคการลบเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ไม่ตรงกันข้าม

การแก้ปัญหาง่าย ๆ โดยใช้วิธีลบ

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่าไม่มีสัมประสิทธิ์ที่ตรงกันข้ามตรงนี้ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงลบอันที่สองออกจากสมการแรก:

ตอนนี้เราแทนค่า $x$ ลงในสมการของระบบใดๆ ไปก่อน:

คำตอบ: $\left(2;5\right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันอีกครั้งที่ $5$ สำหรับ $x$ ในสมการที่หนึ่งและที่สอง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะถือว่าคุณต้องลบตัวที่สองออกจากสมการแรก:

เราได้คำนวณตัวแปรหนึ่งตัวแล้ว ทีนี้ เรามาค้นหาอันที่สองกันดีกว่า โดยการแทนที่ค่า $y$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $\left(-3;-2 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

แล้วเราเห็นอะไร? โดยพื้นฐานแล้ว โครงการนี้ไม่แตกต่างจากโซลูชันของระบบก่อนหน้านี้ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราไม่ได้เพิ่มสมการ แต่ลบออก เรากำลังลบพีชคณิต.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทันทีที่คุณเห็นระบบที่ประกอบด้วยสมการสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว สิ่งแรกที่คุณต้องดูคือค่าสัมประสิทธิ์ หากเท่ากันทุกจุด สมการจะถูกลบออก และหากอยู่ตรงข้ามกัน จะใช้วิธีบวก สิ่งนี้จะทำเสมอเพื่อให้หนึ่งในนั้นหายไป และในสมการสุดท้ายซึ่งยังคงอยู่หลังจากการลบ จะเหลือเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น

แน่นอนว่านั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตอนนี้เราจะพิจารณาระบบที่สมการโดยทั่วไปไม่สอดคล้องกัน เหล่านั้น. ไม่มีตัวแปรในตัวแปรที่เหมือนหรือตรงกันข้าม ในกรณีนี้ มีการใช้เทคนิคเพิ่มเติมในการแก้ระบบดังกล่าว กล่าวคือ การคูณแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์พิเศษ วิธีค้นหาและวิธีแก้ไขระบบดังกล่าวโดยทั่วไป เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาด้วยการคูณด้วยสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นว่าทั้ง $x$ และ $y$ สัมประสิทธิ์ไม่เพียงแต่ตรงกันข้ามกันเท่านั้น แต่ยังไม่มีความสัมพันธ์กับสมการอื่นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะไม่หายไป แต่อย่างใดแม้ว่าเราจะบวกหรือลบสมการออกจากกันก็ตาม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การคูณ ลองกำจัดตัวแปร $y$ ออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$ จากสมการที่สอง และสมการที่สองด้วยสัมประสิทธิ์ $y$ จากสมการแรก โดยไม่ต้องแตะเครื่องหมาย เราคูณและรับระบบใหม่:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ลองดูที่: ที่ $y$ ค่าสัมประสิทธิ์อยู่ตรงข้าม ในสถานการณ์เช่นนี้จำเป็นต้องใช้วิธีบวก มาเพิ่ม:

ตอนนี้เราต้องค้นหา $y$ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ $x$ ในนิพจน์แรก:

\[-9y=18\ซ้าย| :\left(-9 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(4;-2 \right)$.

ตัวอย่าง #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ขอย้ำอีกครั้งว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดไม่สอดคล้องกัน ลองคูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่ $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

ระบบใหม่ของเราเทียบเท่ากับระบบก่อนหน้า แต่ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ นั้นตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะใช้วิธีการบวกที่นี่:

ตอนนี้หา $y$ โดยการแทนที่ $x$ ลงในสมการแรก:

คำตอบ: $\left(-2;1 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

กฎสำคัญมีดังนี้: เราคูณด้วยจำนวนบวกเท่านั้นซึ่งจะช่วยคุณจากข้อผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนสัญญาณ โดยทั่วไป รูปแบบการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย:

เราดูที่ระบบและวิเคราะห์แต่ละสมการ
หากเราเห็นว่าทั้ง $y$ และ $x$ สัมประสิทธิ์ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่เท่ากันหรือตรงกันข้าม จากนั้นเราจะทำดังต่อไปนี้: เราเลือกตัวแปรที่ต้องการกำจัดออก จากนั้นจึงดูค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเหล่านี้ หากเราคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการที่สองและสมการที่สองคูณด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการแรกตามลำดับในที่สุดเราจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์และค่าสัมประสิทธิ์ $ y$ จะสอดคล้องกัน การกระทำหรือการแปลงทั้งหมดของเรามุ่งเป้าไปที่การรับตัวแปรเพียงตัวเดียวในสมการเดียวเท่านั้น
เราพบตัวแปรหนึ่งตัว
เราแทนที่ตัวแปรที่พบเป็นสมการหนึ่งในสองสมการของระบบและค้นหาสมการที่สอง
เราเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดจุด หากเรามีตัวแปร $x$ และ $y$

แต่แม้แต่อัลกอริธึมง่ายๆ ก็ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยของตัวเอง เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ หรือ $y$ อาจเป็นเศษส่วนและตัวเลขที่ "น่าเกลียด" อื่นๆ ได้ ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกันเนื่องจากในกรณีเหล่านี้คุณสามารถดำเนินการแตกต่างไปจากอัลกอริทึมมาตรฐานได้เล็กน้อย

การแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วน

ตัวอย่าง #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ขั้นแรก สังเกตว่าสมการที่สองมีเศษส่วน แต่โปรดทราบว่าคุณสามารถหาร $4$ ด้วย $0.8$ ได้ เราจะได้รับ $5$. ลองคูณสมการที่สองด้วย $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

เราลบสมการออกจากกัน:

เราพบ $n$ แล้ว ทีนี้มานับ $m$ กัน:

คำตอบ: $n=-4;m=5$

ตัวอย่าง #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ขวา.\]

เช่นเดียวกับในระบบก่อนหน้านี้ มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน แต่ไม่มีตัวแปรใดเลยที่ค่าสัมประสิทธิ์จะเข้ากันเป็นจำนวนเต็มครั้ง ดังนั้นเราจึงใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน กำจัด $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

เราใช้วิธีลบ:

มาหา $p$ โดยการแทนที่ $k$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $p=-4;k=-2$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นั่นคือการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งหมด ในสมการแรก เราไม่ได้คูณสิ่งใดเลย แต่คูณสมการที่สองด้วย $5$ เป็นผลให้เราได้รับสมการที่สม่ำเสมอและเหมือนกันสำหรับตัวแปรแรก ในระบบที่สอง เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมมาตรฐาน

แต่คุณจะพบตัวเลขที่ใช้คูณสมการได้อย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเราคูณเศษส่วน เราก็จะได้เศษส่วนใหม่ ดังนั้นเศษส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่จะให้จำนวนเต็มใหม่ และหลังจากนั้นตัวแปรจะต้องคูณด้วยสัมประสิทธิ์ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน

โดยสรุปฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่รูปแบบการบันทึกการตอบกลับ อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เนื่องจากที่นี่เราไม่มี $x$ และ $y$ แต่มีค่าอื่นๆ เราจึงใช้รูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐาน:

การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

เพื่อเป็นบันทึกสุดท้ายของวิดีโอสอนวันนี้ เรามาดูระบบที่ซับซ้อนจริงๆ สองสามระบบกัน ความซับซ้อนจะประกอบด้วยความจริงที่ว่าพวกมันจะมีตัวแปรทั้งซ้ายและขวา ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้เราจะต้องใช้การประมวลผลล่วงหน้า

ระบบหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

แต่ละสมการมีความซับซ้อนบางอย่าง ดังนั้น เราจะถือว่าแต่ละนิพจน์เหมือนกับการสร้างเชิงเส้นปกติ

โดยรวมแล้วเราได้ระบบสุดท้ายซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ลองดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$: $3$ พอดีกับ $6$ สองครั้ง ดังนั้นลองคูณสมการแรกด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากัน ดังนั้นเราจึงลบค่าที่สองออกจากสมการแรก: $$

ตอนนี้เรามาหา $y$:

คำตอบ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

ระบบหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

มาแปลงนิพจน์แรกกัน:

มาจัดการกับอันที่สองกันดีกว่า:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

โดยรวมแล้ว ระบบเริ่มต้นของเราจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

เมื่อดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $a$ เราจะเห็นว่าสมการแรกต้องคูณด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

ลบวินาทีจากการก่อสร้างครั้งแรก:

ตอนนี้เรามาหา $a$:

คำตอบ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

นั่นคือทั้งหมดที่ ฉันหวังว่าวิดีโอบทช่วยสอนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อยากๆ นี้ ซึ่งก็คือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นอย่างง่าย ในอนาคตจะมีบทเรียนอีกมากมายในหัวข้อนี้: เราจะดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีตัวแปรมากกว่านี้ และสมการเองก็จะไม่เชิงเส้น แล้วพบกันใหม่!

คำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต(SLAE) ถือเป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย ปัญหาจำนวนมากจากคณิตศาสตร์ทุกแขนงมาถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ

เลือกวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ

ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความ แนวคิด และการแนะนำสัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมด

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีของแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว และประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน

หลังจากนี้เราจะเข้าสู่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป ซึ่งจำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก หรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เราจะอาศัยโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน ให้เราให้แนวคิดของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและแสดงวิธีการเขียน การตัดสินใจร่วมกัน SLAE โดยใช้เวกเตอร์ของระบบการแก้ปัญหาพื้นฐาน เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างกัน

โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.

ใน รูปแบบเมทริกซ์การเขียนระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน

หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ; หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา. ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว และในกรณีของระบบเอกพันธ์ ตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวใน มัธยม. เมื่อทำการแก้โจทย์ เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้มาจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น . นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีการของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ . มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน (เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : :

การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

คำตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก เมทริกซ์ A กลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์:

เพราะ

ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ การใช้เมทริกซ์ผกผันสามารถหาคำตอบของระบบนี้ได้ดังนี้ .

มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ):

ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

คำตอบ:

หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับสูงกว่าอันดับสาม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการแยกตามลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จัก อันดับแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากวินาที จากนั้น x 2 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากสมการที่สาม และต่อๆ ไป จนถึงเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n ยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง. หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปเป็นสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ . ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่เราทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไป เราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกไปทางซ้ายของสมการและ ด้านขวาด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย:

เป็นการจบจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์ และเราจะเริ่มจังหวะย้อนกลับ

จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์

คำตอบ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

ใน กรณีทั่วไปจำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเอกพจน์ด้วย

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย นั่นคือ , อันดับ(A)=อันดับ(T)

ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อกำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

สารละลาย.

. เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ:

เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง

ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้

ในการทำสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์

เรียกว่าค่ารองของลำดับสูงสุดของเมทริกซ์ A ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีตัวรองที่เป็นฐานได้หลายตัว และจะมีตัวรองเป็นฐานเดียวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับที่สามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้นองค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา

ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี

ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและสามารถหาคำตอบได้เพียงวิธีเดียวโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์

และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2

เราใช้พื้นฐานรอง . มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง:

สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์:

นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:

คำตอบ:

x 1 = 1, x 2 = 2

หากจำนวนสมการ r ใน SLAE ผลลัพธ์น้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ดังนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะปล่อยเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของ สมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss

ลองมาตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

สารละลาย.

ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นตัวรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้:

นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:

ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง:

เราทิ้งคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการระบบ และโอนส่วนที่เหลือที่มีเครื่องหมายตรงข้ามไปทางด้านขวา:

ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ , ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ

ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:

เพราะฉะนั้น, .

ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

คำตอบ:

ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน

สรุป.

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก

ถ้าลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีการใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก

หากลำดับของพื้นฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราค้นหาตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ ก็ได้ โดยไม่ต้องทดสอบความสอดคล้องของระบบก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า

ดูมัน คำอธิบายโดยละเอียดและวิเคราะห์ตัวอย่างในบทความเรื่องวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมกันซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์

ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

หากเราแสดงว่าคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) เป็นคอลัมน์ เมทริกซ์ของมิติ n คูณ 1) จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์นี้จะแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ..., C (n-r) นั้น เป็น, .

คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ออโรสเลา) หมายถึงอะไร

ความหมายนั้นง่าย: สูตรระบุวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ SLAE ดั้งเดิมหรืออีกนัยหนึ่งคือรับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ... , C (n-r) โดยใช้สูตรที่เราจะ รับหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น

ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบและโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ลองให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรีเป็น 1,0,0,...,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลักโดยการแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้นในทางใดทางหนึ่ง เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน หากเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีแก่ค่า 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,…,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . ด้วยวิธีนี้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกสร้างขึ้น และสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับจากการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ 0,0,…,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า:

พบลำดับรองรองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้:

เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานจะเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ
.