Dezvoltarea unei lecții de algebră în clasa a XI-a profil

Lecția a fost condusă de profesorul de matematică MBOU școala gimnazială Nr.6 Tupitsyna O.V.

Subiectul și numărul lecției din subiect:„Aplicarea mai multor transformări care conduc la o ecuație-consecință”, lecția nr. 7, 8 la tema: „Ecuație-consecință”

Subiect:Algebra și începuturile analizei matematice - clasa a 11-a (formare de profil conform manualului de S.M. Nikolsky)

Tip de lecție: „sistematizarea și generalizarea cunoștințelor și aptitudinilor”

Tip lecție: atelier

Rolul profesorului: să direcționeze activitatea cognitivă a elevilor către dezvoltarea abilităților de a aplica în mod independent cunoștințele într-un complex pentru a selecta metoda sau metodele de transformare dorite, conducând la o ecuație - o consecință și aplicarea metodei în rezolvarea ecuației, în condiții noi.

Echipament tehnic necesar:echipament multimedia, webcam.

Lecția folosită:

1. model de învăţare didactică- crearea unei situații problematice,
2. mijloace pedagogice- fișe care indică modulele de instruire, o selecție de sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor,
3. tipul de activitate a elevilor- grup (grupe se formează în lecțiile - „descoperiri” de noi cunoștințe, lecțiile nr. 1 și 2 de la elevi cu diferite grade de învățare și învățare), rezolvarea comună sau individuală a problemelor,
4. tehnologii educaționale orientate spre personalitate: instruire modulară, învățare bazată pe probleme, metode de căutare și cercetare, dialog colectiv, metodă de activitate, lucru cu un manual și diverse surse,
5. tehnologii de salvare a sănătăţii- pentru ameliorarea stresului, se efectuează educație fizică,
6. competente:

- educațional și cognitiv la nivel de bază- elevii cunosc conceptul de ecuație - o consecință, rădăcina unei ecuații și metodele de transformare care duc la o ecuație - o consecință, sunt capabili să găsească rădăcinile ecuațiilor și să efectueze verificarea acestora la nivel productiv;

- la un nivel avansat- elevii pot rezolva ecuații folosind metode binecunoscute de transformări, pot verifica rădăcinile ecuațiilor folosind aria valorilor neadmisibile ale ecuațiilor; calcula logaritmi folosind proprietăți bazate pe explorare; informativ - elevii caută, extrag și selectează în mod independent informațiile necesare pentru rezolvarea problemelor educaționale în surse de diferite tipuri.

Scopul didactic:

creând condiţii pentru:

Formarea ideilor despre ecuații - consecințe, rădăcini și metode de transformare;

Formarea experienței de creare a sensului pe baza unei consecințe logice a metodelor studiate anterior de transformare a ecuațiilor: ridicarea unei ecuații la o putere pară, potențarea ecuațiilor logaritmice, eliberarea unei ecuații de numitori, aducerea unor termeni asemănători;

Consolidarea abilităților în determinarea alegerii metodei de transformare, rezolvarea în continuare a ecuației și alegerea rădăcinilor ecuației;

Stăpânirea abilităților de stabilire a unei probleme pe baza informațiilor cunoscute și învățate, formând cereri pentru a afla ceea ce nu este încă cunoscut;

Formarea intereselor cognitive, a abilităților intelectuale și creative ale elevilor;

Dezvoltarea gândirii logice, activitatea creativă a elevilor, abilitățile de proiect, capacitatea de a-și exprima gândurile;

Formarea unui sentiment de toleranță, asistență reciprocă atunci când se lucrează în grup;

Trezirea interesului pentru rezolvarea independentă a ecuațiilor;

Sarcini:

Organizați repetarea și sistematizarea cunoștințelor despre modul de transformare a ecuațiilor;

- să asigure stăpânirea metodelor de rezolvare a ecuațiilor și verificarea rădăcinilor acestora;

- să promoveze dezvoltarea gândirii analitice și critice a elevilor; compara și alege metode optime de rezolvare a ecuațiilor;

- crearea condițiilor pentru dezvoltarea abilităților de cercetare, abilități de lucru în grup;

Motivați elevii să folosească materialul studiat pentru a se pregăti pentru examen;

Analizează și evaluează munca ta și munca tovarășilor tăi în îndeplinirea acestei lucrări.

Rezultate planificate:

*personal:

Abilități de stabilire a unei sarcini pe baza informațiilor cunoscute și învățate, generarea de solicitări pentru a afla ceea ce nu este încă cunoscut;

Capacitatea de a alege sursele de informații necesare pentru rezolvarea problemei; dezvoltarea intereselor cognitive, a abilităților intelectuale și creative ale elevilor;

Dezvoltarea gândirii logice, a activității creative, a capacității de a-și exprima gândurile, capacitatea de a construi argumente;

Autoevaluarea rezultatelor performanței;

Abilitați de lucru în echipă;

*metasubiect:

Abilitatea de a evidenția principalul lucru, de a compara, de a generaliza, de a trage o analogie, de a aplica metode inductive de raționament, de a formula ipoteze la rezolvarea ecuațiilor,

Abilitatea de a interpreta și aplica cunoștințele dobândite în pregătirea pentru examen;

*subiect:

Cunoașterea modului de transformare a ecuațiilor,

Capacitatea de a stabili un model asociat cu diferite tipuri de ecuații și de a-l utiliza în rezolvarea și selectarea rădăcinilor,

Integrarea obiectivelor lecției:

1. (pentru profesor) Formarea la elevi a unei viziuni holistice a modalităţilor de transformare a ecuaţiilor şi a metodelor de rezolvare a acestora;
2. (pentru elevi) Dezvoltarea capacității de a observa, compara, generaliza, analiza situații matematice asociate unor tipuri de ecuații care conțin diverse funcții. Pregătirea pentru examen.

Etapa I a lecției:

Actualizarea cunoștințelor pentru creșterea motivației în domeniul aplicării diverselor metode de transformare a ecuațiilor (diagnosticare de intrare)

Etapa de actualizare a cunoștințelorefectuat sub forma unui lucru de testare cu autotest. Sunt propuse sarcini de dezvoltare, bazate pe cunoștințele dobândite la lecțiile anterioare, care necesită activitate mentală activă din partea elevilor și necesare realizării sarcinii din această lecție.

Lucrare de verificare

1. Alegeți ecuații care necesită limitarea necunoscutelor pe mulțimea tuturor numerelor reale:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Specificați intervalul de valori valide ale fiecărei ecuații, unde există restricții.

(3) Alegeți un exemplu de astfel de ecuație, în care transformarea poate provoca pierderea rădăcinii (utilizați materialele lecțiilor anterioare pe această temă).

Toată lumea verifică răspunsurile în mod independent în funcție de cele gata făcute evidențiate pe ecran. Sunt analizate cele mai dificile sarcini, iar elevii acordă o atenție deosebită exemplelor a, c, g, h, unde există restricții.

Se concluzionează că la rezolvarea ecuațiilor este necesar să se determine intervalul de valori permis de ecuație sau să se verifice rădăcinile pentru a evita valorile străine. Se repetă metodele studiate anterior de transformare a ecuațiilor care conduc la o ecuație - o consecință. Adică, elevii sunt astfel motivați să găsească modalitatea potrivită de a rezolva ecuația propusă de ei în lucrările ulterioare.

Etapa a II-a a lecției:

Aplicarea practică a cunoștințelor, abilităților și abilităților lor în rezolvarea ecuațiilor.

Grupurilor li se oferă fișe cu un modul compilat pe problemele acestui subiect. Modulul include cinci elemente de învățare, fiecare dintre acestea având ca scop îndeplinirea anumitor sarcini. Elevii cu diferite grade de învățare și de învățare determină în mod independent domeniul de aplicare al activităților lor în lecție, dar din moment ce toată lumea lucrează în grup, există un proces continuu de ajustare a cunoștințelor și abilităților, trăgându-i pe cei care rămân în urmă la obligatoriu, pe alții la nivel avansat și avansat. niveluri creative.

La mijlocul lecției se ține un minut fizic obligatoriu.

Nr element educativ	Element educativ cu sarcini	Ghid pentru elaborarea materialului educațional
UE-1	Scop: Determinarea și justificarea principalelor metode de rezolvare a ecuațiilor pe baza proprietăților funcțiilor. Exercițiu: Precizați metoda de transformare pentru rezolvarea următoarelor ecuații: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sinx. 2) Sarcina: Rezolvați cel puțin două dintre ecuațiile propuse. Descrieți ce metode au fost utilizate în ecuațiile rezolvate.	Clauza 7.3 p.212 Clauza 7.4 p.214 Clauza 7.5 p.217 Clauza 7.2 p. 210
UE-2	Scop: Să stăpânească tehnici și metode raționale de rezolvare Exercițiu: Dați exemple din ecuațiile de mai sus sau auto-selectate (utilizați materiale din lecțiile anterioare) care pot fi rezolvate folosind metode raționale de rezolvare, care sunt acestea? (accent pe modul de verificare a rădăcinilor ecuației)
UE-3	Scop: Utilizarea cunoștințelor dobândite în rezolvarea ecuațiilor de un nivel ridicat de complexitate Exercițiu: = ( sau ( = (	Clauza 7.5
UE-4	Stabiliți nivelul de stăpânire a subiectului: scăzut - soluție a nu mai mult de 2 ecuații; Mediu - soluție a nu mai mult de 4 ecuații; ridicat - soluție a nu mai mult de 5 ecuații
UE-5	Control ieșire: Alcătuiește un tabel în care să prezinți toate modalitățile pe care le folosești pentru a transforma ecuații și pentru fiecare mod notează exemple de ecuații pe care le-ai rezolvat, începând de la lecția 1 a subiectului: „Ecuații - consecințe”	Rezumate în caiete

Etapa a III-a a lecției:

Lucrarea de diagnosticare a rezultatelor, reprezentând reflecția studenților, care va arăta disponibilitatea nu numai pentru a scrie un test, ci și pregătirea pentru examen din această secțiune.

La sfârșitul lecției, toți elevii, fără excepție, se autoevaluează, apoi vine și evaluarea profesorului. Dacă între profesor și elev apar neînțelegeri, profesorul poate oferi elevului o sarcină suplimentară pentru a o putea evalua în mod obiectiv. Teme pentru acasăcare vizează revizuirea materialului înaintea lucrării de control.

Această prezentare poate fi folosită la desfășurarea unei lecții de algebră și la începerea analizei în clasa a 11-a la studierea temei „Ecuații - consecințe” conform materialelor didactice ale autorilor S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

Vizualizați conținutul documentului
„Ecuații ale consecințelor. Alte transformări care conduc la corolarul ecuației”

ECUAȚII – CONSECINȚE

LUCRARE ORALĂ

• Ce ecuații se numesc ecuații corolare?
• Ceea ce se numește trecerea la ecuația consecințelor
• Ce transformări conduc la ecuația corolară?

LUCRARE ORALĂ

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Fara solutii

Fara solutii

LUCRARE ORALĂ

Fara solutii

Transformări care conduc la ecuația corolară

transformare

Influența asupra rădăcinilor ecuației

Ridicarea unei ecuații la o putere PAR

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Potentarea ecuatiilor logaritmice, i.e. înlocuire:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g(X)

Poate duce la rădăcini străine

Eliberarea ecuației de la numitori:

Poate duce la apariția rădăcinilor străine, de ex. acele numere x i pentru care sau

Înlocuirea diferenței f(x)-f(x) cu zero, adică. reducerea termenilor similari

Poate duce la apariția rădăcinilor străine, de ex. acele numere pentru fiecare dintre care funcția f(x) nu este definită.

Dacă, la rezolvarea acestei ecuații, se face o tranziție la ecuația consecințelor, atunci este necesar să se verifice dacă toate rădăcinile ecuației consecințelor sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Verificarea rădăcinilor obținute este o parte obligatorie a rezolvării ecuației.

№ 8.2 2 (A) Rezolvați ecuația :

2) nr. 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) Rezolvați ecuația :

№ 8.25 (a, c) Rezolvați ecuația :

№ 8.28 (a, c) Rezolvați ecuația :

№ 8.29 (a, c) Rezolvați ecuația :

TEME PENTRU ACASĂ

• Run nr. 8.24 (b, d), p. 236
• Nr. 8.25(b, d)
• 8.28 (b, d)
• 8.29 (b, d)

Clasă: 11

Durată: 2 lecții.

Scopul lecției:

• (pentru profesor) formarea unei viziuni holistice a metodelor de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale în rândul elevilor.
• (pentru studenti) Dezvoltarea capacității de a observa, compara, generaliza, analiza situații matematice (diapozitivul 2). Pregătirea pentru examen.

Primul plan de lecție(diapozitivul 3)

1. Actualizare de cunoștințe
2. Analiza teoriei: Ridicarea unei ecuații la o putere pară
3. Atelier de rezolvare a ecuațiilor

Planul celei de-a doua lecții

1. Lucru independent diferențiat pe grupe „Ecuații iraționale la examen”
2. Rezumatul lecțiilor
3. Teme pentru acasă

Cursul de lecții

I. Actualizarea cunoștințelor

Ţintă: repetă conceptele necesare desfășurării cu succes a temei lecției.

sondaj frontal.

Despre ce două ecuații se spune că sunt echivalente?

Ce transformări ale ecuației se numesc echivalente?

- Înlocuiți această ecuație cu una echivalentă cu o explicație a transformării aplicate: (diapozitivul 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Ce ecuație se numește ecuație-consecință a ecuației originale?

– Ecuația consecinței poate avea o rădăcină care nu este rădăcina ecuației originale? Cum se numesc aceste rădăcini?

– Ce transformări ale ecuației duc la ecuația-consecințe?

Ce este o rădăcină pătrată aritmetică?

Să ne oprim astăzi mai detaliat asupra transformării „Ridicarea unei ecuații la o putere uniformă”.

II. Analiza teoriei: Ridicarea unei ecuații la o putere pară

Explicație din partea profesorului cu participarea activă a elevilor:

Fie 2m(mN) este un număr natural par fix. Apoi consecința ecuațieif(x) =g(x) este ecuația (f(x)) = (g(X)).

Foarte des această afirmație este folosită în rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Definiție. O ecuație care conține necunoscutul sub semnul rădăcinii se numește irațională.

La rezolvarea ecuațiilor iraționale se folosesc următoarele metode: (diapozitivul 5)

Atenţie! Metodele 2 și 3 necesită obligatoriu verificări.

ODZ nu ajută întotdeauna la eliminarea rădăcinilor străine.

Concluzie: la rezolvarea ecuațiilor iraționale, este important să parcurgem trei etape: tehnică, analiza soluției, verificare (diapozitivul 6).

III. Atelier de rezolvare a ecuațiilor

Rezolvați ecuația:

După ce ați discutat despre cum să rezolvați ecuația prin pătrat, rezolvați prin trecerea la un sistem echivalent.

Concluzie: rezolvarea celor mai simple ecuații cu rădăcini întregi poate fi realizată prin orice metodă familiară.

b) \u003d x - 2

Rezolvând prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere, elevii obțin rădăcinile x = 0, x = 3 -, x = 3 +, care sunt dificil și consumatoare de timp de verificat prin înlocuire. (Diapozitivul 7). Trecerea la un sistem echivalent

vă permite să scăpați rapid de rădăcinile străine. Condiția x ≥ 2 este îndeplinită numai de x.

Răspuns: 3+

Concluzie: Este mai bine să verificați rădăcinile iraționale trecând la un sistem echivalent.

c) \u003d x - 3

În procesul de rezolvare a acestei ecuații, obținem două rădăcini: 1 și 4. Ambele rădăcini satisfac partea stângă a ecuației, dar pentru x \u003d 1, definiția rădăcinii pătrate aritmetice este încălcată. Ecuația ODZ nu ajută la eliminarea rădăcinilor străine. Trecerea la un sistem echivalent oferă răspunsul corect.

Concluzie:o bună cunoaștere și înțelegere a tuturor condițiilor de determinare a rădăcinii pătrate aritmetice ajută la trecerea laefectuând transformări echivalente.

Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, obținem ecuația

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, separând radicalul în partea dreaptă, obținem

26 - x + x \u003d 8. Aplicând pași suplimentari pentru a pătra ambele părți ale ecuației, va duce la o ecuație de gradul 4. Tranziția la ecuația ODZ dă un rezultat bun:

găsiți ecuația ODZ:

x = 3.

Verificați: - 4 = , 0 = 0 este corect.

Concluzie:uneori este posibil să se efectueze o soluție folosind definiția ecuației ODZ, dar asigurați-vă că verificați.

Rezolvare: ecuația ODZ: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Pentru x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Prin urmare, partea stângă a ecuației este negativă, iar partea dreaptă este nenegativă; deci ecuația originală nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

Concluzie:după ce a făcut raționamentul corect asupra restricției în starea ecuației, puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației sau puteți stabili că acestea nu există.

Folosind exemplul de rezolvare a acestei ecuații, arătați dubla pătrat a ecuației, explicați sensul expresiei „solitudinea radicalilor” și necesitatea de a verifica rădăcinile găsite.

h) + = 1.

Rezolvarea acestor ecuații se realizează prin metoda modificării variabilei până la revenirea la variabila inițială. Terminați decizia de a oferi celor care vor face față sarcinilor etapei următoare mai devreme.

întrebări de testare

• Cum se rezolvă cele mai simple ecuații iraționale?
• Ce trebuie reținut atunci când ridicați o ecuație la o putere pară? ( pot apărea rădăcini străine)
• Care este cel mai bun mod de a verifica rădăcinile iraționale? ( folosind ODZ și condițiile pentru coincidența semnelor ambelor părți ale ecuației)
• De ce este necesar să putem analiza situații matematice atunci când rezolvăm ecuații iraționale? ( Pentru alegerea corectă și rapidă a unei metode de rezolvare a unei ecuații).

IV. Lucru independent diferențiat pe grupe „Ecuații iraționale la examen”

Clasa este împărțită în grupuri (2-3 persoane fiecare) în funcție de nivelurile de pregătire, fiecare grupă alege o opțiune cu o sarcină, discută și rezolvă sarcinile selectate. Când este necesar, contactați profesorul pentru sfaturi. După finalizarea tuturor sarcinilor din versiunea lor și verificarea răspunsurilor de către profesor, membrii grupei completează individual soluția ecuațiilor g) și h) din etapa anterioară a lecției. Pentru opțiunile 4 și 5 (după verificarea răspunsurilor și a deciziei profesorului), pe tablă sunt scrise sarcini suplimentare, care se execută individual.

Toate soluțiile individuale la sfârșitul lecțiilor sunt predate profesorului pentru verificare.

Opțiunea 1

Rezolvați ecuațiile:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Opțiunea 5

1. Rezolvați ecuația:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Rezolvați sistemul de ecuații:

Sarcini suplimentare:

v. Rezumatul lecțiilor

Ce dificultăți ați întâmpinat în finalizarea sarcinilor de examen? Ce este necesar pentru a depăși aceste dificultăți?

VI. Teme pentru acasă

Repetați teoria rezolvării ecuațiilor iraționale, citiți paragraful 8.2 din manual (atenție la exemplul 3).

Rezolvați nr. 8.8 (a, c), nr. 8.9 (a, c), nr. 8.10 (a).

Literatură:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra și începutul analizei matematice , manual pentru clasa a XI-a instituțiilor de învățământ, M .: Educație, 2009.
2. Mordkovich A.G. Pe unele aspecte metodologice legate de rezolvarea ecuaţiilor. Matematica la scoala. -2006. -Numărul 3.
3. M. Shabunin. Ecuații. Prelegeri pentru liceeni și participanți. Moscova, „Chistye Prudy”, 2005. (biblioteca „Primul septembrie”)
4. E.N. Balayan. Atelier de rezolvare a problemelor. Ecuații, inegalități și sisteme iraționale. Rostov-pe-Don, „Phoenix”, 2006.
5. Matematica. Pregatire pentru examen-2011. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Legiunea Kulabukhov-M, Rostov-pe-Don, 2010.

Unele transformări ne permit să trecem de la ecuația care se rezolvă la ecuații echivalente, precum și la ecuații de consecință, ceea ce simplifică soluția ecuației inițiale. În acest material, vă vom spune care sunt aceste ecuații, vom formula principalele definiții, le vom ilustra cu exemple ilustrative și vă vom explica exact cum sunt calculate rădăcinile ecuației originale din rădăcinile ecuației consecințelor sau o ecuație echivalentă.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de ecuații echivalente

Definiția 1

Echivalent numite astfel de ecuații care au aceleași rădăcini, sau cele în care nu există rădăcini.

Definițiile de acest tip se găsesc adesea în diverse manuale. Să dăm câteva exemple.

Definiția 2

Ecuația f (x) = g (x) este considerată echivalentă cu ecuația r (x) = s (x) dacă au aceleași rădăcini sau ambele nu au rădăcini.

Definiția 3

Ecuațiile cu aceleași rădăcini sunt considerate echivalente. De asemenea, sunt considerate două ecuații care în mod egal nu au rădăcini.

Definiția 4

Dacă ecuația f (x) \u003d g (x) are același set de rădăcini ca și ecuația p (x) \u003d h (x), atunci acestea sunt considerate echivalente unul față de celălalt.

Când vorbim despre un set coincident de rădăcini, ne referim la faptul că, dacă un anumit număr este rădăcina unei ecuații, atunci se va potrivi ca soluție pentru o altă ecuație. Niciuna dintre ecuațiile care sunt echivalente nu poate avea o rădăcină care nu este potrivită pentru cealaltă.

Dăm câteva exemple de astfel de ecuații.

Exemplul 1

De exemplu, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 și x \u003d 2 vor fi echivalente, deoarece fiecare dintre ele are o singură rădăcină - două. De asemenea, x · 0 = 0 și 2 + x = x + 2 vor fi echivalente, deoarece rădăcinile lor pot fi orice numere, adică mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași. Ecuațiile x = x + 5 și x 4 = − 1 vor fi, de asemenea, echivalente, fiecare dintre acestea neavând soluție.

Pentru claritate, luați în considerare câteva exemple de ecuații neechivalente.

Exemplul 2

De exemplu, x = 2 și x 2 = 4 vor fi, deoarece rădăcinile lor sunt diferite. Același lucru este valabil și pentru ecuațiile x x \u003d 1 și x 2 + 5 x 2 + 5, deoarece în a doua soluția poate fi orice număr, iar în a doua rădăcina nu poate fi 0.

Definițiile date mai sus sunt potrivite și pentru ecuațiile cu mai multe variabile, totuși, în cazul în care vorbim de două, trei sau mai multe rădăcini, expresia „soluție a ecuației” este mai potrivită. Astfel, pentru a rezuma: ecuațiile echivalente sunt acele ecuații care au aceleași soluții sau nu au deloc.

Să luăm exemple de ecuații care conțin mai multe variabile și sunt echivalente între ele. Deci, x 2 + y 2 + z 2 = 0 și 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 includ trei variabile fiecare și au o singură soluție egală cu 0 în toate cele trei cazuri. Și perechea de ecuații x + y = 5 și x y = 1 nu va fi echivalentă între ele, deoarece, de exemplu, valorile 5 și 3 sunt potrivite pentru prima, dar nu vor fi o soluție pentru a doua: când le înlocuim în prima ecuație, obținem egalitatea corectă, iar în a doua - falsă.

Conceptul de ecuații corolare

Să cităm câteva exemple de definiții ale ecuațiilor corolare luate din manuale.

Definiția 5

Consecința ecuației f (x) = g (x) va fi ecuația p (x) = h (x), cu condiția ca fiecare rădăcină a primei ecuații să fie în același timp rădăcina celei de-a doua.

Definiția 6

Dacă prima ecuație are aceleași rădăcini ca a doua, atunci a doua va fi o consecință a primei.

Să luăm câteva exemple de astfel de ecuații.

Exemplul 3

Deci, x 2 = 32 va fi o consecință a lui x - 3 = 0, deoarece prima are o singură rădăcină egală cu trei și va fi și rădăcina celei de-a doua ecuații, deci, în contextul acestei definiții, o ecuație va fi o consecință a altuia. Un alt exemplu: ecuația (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 va fi o consecință a x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 deoarece a doua ecuație are două rădăcini, egale cu 2 și 3, care în același timp vor fi rădăcinile primului.

Din definiția de mai sus, putem concluziona că orice ecuație care nu are rădăcini va fi, de asemenea, o consecință a oricărei ecuații. Iată câteva alte consecințe ale tuturor regulilor formulate în acest articol:

Definiția 7

1. Dacă o ecuație este echivalentă cu alta, atunci fiecare dintre ele va fi o consecință a celeilalte.
2. Dacă a două ecuații fiecare este o consecință a celeilalte, atunci aceste ecuații vor fi echivalente una cu cealaltă.
3. Ecuațiile vor fi echivalente una față de cealaltă numai dacă fiecare dintre ele este o consecință a celeilalte.

Cum să găsiți rădăcinile unei ecuații din rădăcinile unei ecuații de consecință sau a unei ecuații echivalente

Pe baza a ceea ce am scris în definiții, apoi în cazul în care cunoaștem rădăcinile unei ecuații, atunci cunoaștem și rădăcinile celor echivalente, deoarece acestea vor coincide.

Dacă cunoaștem toate rădăcinile ecuației consecințelor, atunci putem determina rădăcinile celei de-a doua ecuații, din care aceasta este o consecință. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să îndepărtați rădăcinile străine. Am scris un articol separat despre cum se face acest lucru. Vă sfătuim să o citiți.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Pentru a studia subiectul de astăzi, trebuie să repetăm ​​ce ecuație se numește ecuația consecințelor, care teoreme sunt „neliniștite” și în ce pași constă soluția oricărei ecuații.

Definiție. Dacă fiecare rădăcină a ecuației ef din x este egală cu x (o notăm cu numărul unu) este în același timp rădăcina ecuației pe din x, egală cu cenușa din x (o notăm cu numărul doi) , atunci ecuația a doua se numește o consecință a ecuației unu.

Teorema patru. Dacă ambele părți ale ecuației ef din x sunt egale cu aceeași din x, înmulțiți cu aceeași expresie ash din x, care este:

În primul rând, are sens peste tot în domeniul definiției (în intervalul de valori admisibile) a ecuației eff de la x, care este egală cu de la x.

În al doilea rând, nicăieri în această regiune nu dispare, atunci obținem ecuația ef din x, înmulțit cu cenușa din x este egal cu x, înmulțit cu cenușa din x, echivalent cu data din ODZ.

Consecinţă teorema patru este o altă afirmație „calmă”: dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se obține o ecuație care este echivalentă cu cea dată.

Teorema cinci. Dacă ambele părți ale ecuației

ef din x este egal cu x este nenegativ în ecuația ODZ, apoi după ridicarea ambelor părți la aceeași putere pare n, obținem ecuația eff de la x la puterea lui x este egală cu x la puterea lui x, echivalent cu această ecuație în o de ze.

Teorema șase. Fie a mai mare decât zero și nu egal cu unu și eff de la x mai mare decât zero,

zhe de la x este mai mare decât zero, ecuația tolologaritmică este logaritmul lui ef de la x la baza a, egal cu logaritmul lui zhe de la x la baza a,

este echivalentă cu ecuația ef din x este aceeași ca din x .

După cum am spus deja, rezolvarea oricăror ecuații are loc în trei etape:

Prima etapă este tehnică. Cu ajutorul unui lanț de transformări din ecuația inițială, ajungem la o ecuație destul de simplă, pe care o rezolvăm și găsim rădăcinile.

A doua etapă este analiza soluției. Analizăm transformările pe care le-am efectuat și aflăm dacă sunt echivalente.

A treia etapă este verificarea. Verificarea tuturor rădăcinilor găsite prin substituirea lor în ecuația originală este obligatorie atunci când se efectuează transformări care pot duce la o ecuație de consecință.

În această lecție, vom afla, atunci când aplicăm ce transformări intră această ecuație într-o ecuație de consecință? Luați în considerare următoarele sarcini.

Exercitiul 1

Care ecuație este o consecință a ecuației x minus trei egal doi?

Soluţie

Ecuația x minus trei egal doi are o singură rădăcină - x este egal cu cinci. Înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații cu expresia x minus șase, adăugați termeni similari și obțineți ecuația pătratică x pătrat minus unsprezece x plus treizeci egal zero. Să-i calculăm rădăcinile: x prima este egală cu cinci; x secundă este egală cu șase. Conține deja două rădăcini. Ecuația x pătrat minus unsprezece x plus treizeci este egal cu zero conține o singură rădăcină - x este egal cu cinci; a ecuației x minus trei este egal cu doi, deci x pătrat minus unsprezece x plus treizeci este o consecință a ecuației x minus trei este egal cu doi.

Sarcina 2

Ce altă ecuație este o consecință a ecuației x-3=2?

Soluţie

În ecuația x minus trei este egal cu doi, pătratăm ambele părți ale acesteia, aplicăm formula pentru pătratul diferenței, adăugăm termeni similari, obținem ecuația pătratică x la pătrat minus șase, x plus cinci este egal cu zero.

Să-i calculăm rădăcinile: x prima este egală cu cinci, x a doua este egală cu unu.

Rădăcina x egal cu unu este străină ecuației x minus trei egal doi. Acest lucru s-a întâmplat deoarece ambele părți ale ecuației originale au fost la pătrat (o putere pară). Dar, în același timp, partea stângă - x minus trei - poate fi negativă (condiții teorema cinci). Deci, ecuația x pătrat minus șase x plus cinci egal zero este o consecință a ecuației x minus trei egal doi.

Sarcina 3

Găsiți corolarul ecuației pentru ecuație

logaritmul lui x plus unu la baza trei plus logaritmul lui x plus trei la baza trei este egal cu unu.

Soluţie

Reprezentăm unitatea ca logaritmul lui trei la baza lui trei, potențam ecuația logaritmică, efectuăm înmulțirea, adunăm termeni similari și obținem ecuația pătratică x la pătrat plus patru x egal cu zero. Să-i calculăm rădăcinile: x prima este egală cu zero, x a doua este egală cu minus patru. Rădăcina x este egală cu minus patru este străină pentru ecuația logaritmică, deoarece atunci când este substituită în ecuația logaritmică, expresiile x plus unu și x plus trei iau valori negative - condițiile sunt încălcate teorema șase.

Deci ecuația x pătrat plus patru x egal cu zero este o consecință a acestei ecuații.

Pe baza soluției acestor exemple, putem face concluzie:ecuația consecinței se obține din ecuația dată prin extinderea domeniului ecuației. Și acest lucru este posibil atunci când se efectuează astfel de transformări ca

1) scăparea de numitori care conțin o variabilă;

2) ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară;

3) scutirea de semne de logaritmi.

Amintiți-vă! Dacă în procesul de rezolvare a ecuației domeniul de definire a ecuației s-a extins, atunci este necesar să verificați toate rădăcinile găsite.

Sarcina 4

Rezolvați ecuația x minus trei împărțit la x minus cinci plus unu împărțit la x este egal cu x plus cinci împărțit la x ori x minus cinci.

Soluţie

Prima etapă este tehnică.

Să efectuăm un lanț de transformări, să obținem cea mai simplă ecuație și să o rezolvăm. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuației cu un numitor comun al fracțiilor, adică cu expresia x înmulțită cu xminus cinci.

Obținem ecuația pătratică x pătrat minus trei x minus zece este egal cu zero. Să calculăm rădăcinile: x prima este egală cu cinci, x a doua este egală cu minus doi.

A doua etapă este analiza soluției.

Când rezolvăm ecuația, am înmulțit ambele părți ale acesteia cu o expresie care conține o variabilă. Aceasta înseamnă că domeniul de definire al ecuației s-a extins. Prin urmare, este necesară verificarea rădăcinilor.

A treia etapă este verificarea.

Când x este egal cu minus doi, numitorul comun nu dispare. Deci x este egal cu minus doi este rădăcina acestei ecuații.

Când x este egal cu cinci, numitorul comun ajunge la zero. Prin urmare, x este egal cu cinci - o rădăcină străină.

Răspuns: minus doi.

Sarcina 5

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x minus șase este egală cu rădăcina pătrată a lui patru minus x.

Soluţie

Prima etapă este tehnică .

Pentru a obține o ecuație simplă și a o rezolva, efectuăm un lanț de transformări.

Să pătram (o putere pară) ambele părți ale acestei ecuații, să mutăm x-urile în partea stângă, iar numerele în partea dreaptă a ecuației, dăm termeni similari, obținem: doi x sunt zece. X este egal cu cinci.

A doua etapă este analiza soluției.

Să verificăm transformările efectuate pentru echivalență.

Când rezolvăm o ecuație, am pătrat ambele părți ale acesteia. Aceasta înseamnă că domeniul de definire al ecuației s-a extins. Prin urmare, este necesară verificarea rădăcinilor.

A treia etapă este verificarea.

Înlocuim rădăcinile găsite în ecuația originală.

Dacă x este egal cu cinci, expresia rădăcină pătrată a patru minus x este nedefinită, deci x egal cu cinci este o rădăcină străină. Deci această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns: Ecuația nu are rădăcini.

Sarcina 6

Rezolvați ecuația Logaritmul natural al lui x pătrat plus doi x minus șapte este egal cu logaritmul natural al lui x minus unu.

Soluţie

Prima etapă este tehnică .

Să efectuăm un lanț de transformări, să obținem cea mai simplă ecuație și să o rezolvăm. Pentru a face acest lucru, potențam

ecuație, transferăm toți termenii în partea stângă a ecuației, aducem termeni similari, obținem o ecuație pătratică x pătrat plus x minus șase este egal cu zero. Să calculăm rădăcinile: x prima este egală cu doi, x a doua este egală cu minus trei.

A doua etapă este analiza soluției.

Să verificăm transformările efectuate pentru echivalență.

În procesul de rezolvare a acestei ecuații, am scăpat de semnele logaritmilor. Aceasta înseamnă că domeniul de definire al ecuației s-a extins. Prin urmare, este necesară verificarea rădăcinilor.

A treia etapă este verificarea.

Înlocuim rădăcinile găsite în ecuația originală.

Dacă x este egal cu doi, atunci obținem logaritmul natural al unității este egal cu logaritmul natural al unității -

egalitate corectă.

Prin urmare, x egal cu doi este rădăcina acestei ecuații.

Dacă x este minus trei, atunci logaritmul natural al lui x pătrat plus doi x minus șapte și logaritmul natural al lui x minus unu sunt nedefinite. Deci x egal cu minus trei este o rădăcină străină.

Răspuns: doi.

Este întotdeauna necesar să distingem trei etape la rezolvarea unei ecuații? Cum altfel poți verifica?

Vom primi răspunsuri la aceste întrebări în lecția următoare.