Utvikling av en algebratime i 11. profilklasse

Undervisningen ble ledet av lærer i matematikk MBOU ungdomsskole nr. 6 Tupitsyna O.V.

Emne og leksjonsnummer i emnet:"Anvendelse av flere transformasjoner som fører til en likningskonsekvens", leksjon nr. 7, 8 i emnet: "Likningskonsekvens"

Emne:Algebra og begynnelsen av matematisk analyse - klasse 11 (profiltrening i henhold til læreboken av S.M. Nikolsky)

Type leksjon: "systematisering og generalisering av kunnskap og ferdigheter"

Leksjonstype: verksted

Lærerens rolle: å lede den kognitive aktiviteten til studentene til utvikling av ferdigheter til å selvstendig anvende kunnskap i et kompleks for å velge ønsket metode eller metoder for transformasjon, som fører til en ligning - en konsekvens og anvendelse av metoden for å løse ligningen, under nye forhold.

Nødvendig teknisk utstyr:multimedieutstyr, webkamera.

Leksjonen som ble brukt:

1. didaktisk læringsmodell- skape en problematisk situasjon,
2. pedagogiske virkemidler- ark som indikerer treningsmoduler, et utvalg oppgaver for å løse ligninger,
3. type studentaktivitet- gruppe (det dannes grupper i timene - "oppdagelser" av ny kunnskap, leksjon nr. 1 og 2 fra elever med ulik grad av læring og læring), felles eller individuell problemløsning,
4. personlighetsorienterte pedagogiske teknologier: modulbasert opplæring, problembasert læring, søke- og forskningsmetoder, kollektiv dialog, aktivitetsmetode, arbeid med lærebok og ulike kilder,
5. helsebesparende teknologier- for å lindre stress, utføres kroppsøving,
6. kompetanse:

- pedagogisk og kognitiv på grunnleggende nivå- studentene kjenner begrepet en ligning - en konsekvens, roten til en ligning og metodene for transformasjon som fører til en ligning - en konsekvens, de er i stand til å finne røttene til ligninger og utføre sin verifisering på et produktivt nivå;

- på et avansert nivå- studenter kan løse ligninger ved å bruke kjente transformasjonsmetoder, sjekke røttene til ligninger ved å bruke arealet av ugyldige verdier av ligninger; beregne logaritmer ved å bruke letebaserte egenskaper; informativ - studenter selvstendig søker, trekker ut og velger informasjonen som er nødvendig for å løse pedagogiske problemer i kilder av ulike typer.

Didaktisk mål:

skape forutsetninger for:

Dannelse av ideer om ligninger - konsekvenser, røtter og transformasjonsmetoder;

Dannelse av opplevelsen av meningsskaping på grunnlag av en logisk konsekvens av de tidligere studerte metodene for å transformere likninger: heve en likning til en jevn potens, potensere logaritmiske likninger, frigjøre en likning fra nevnere, bringe like termer;

Konsolidering av ferdigheter i å bestemme valget av transformasjonsmetoden, videre løse ligningen og velge røttene til ligningen;

Mestre ferdighetene til å sette et problem basert på kjent og lært informasjon, danne forespørsler for å finne ut hva som ennå ikke er kjent;

Dannelse av kognitive interesser, intellektuelle og kreative evner til studenter;

Utvikling av logisk tenkning, kreativ aktivitet av studenter, prosjektferdigheter, evnen til å uttrykke tankene sine;

Dannelse av en følelse av toleranse, gjensidig hjelp når du arbeider i en gruppe;

Å vekke interesse for uavhengig løsning av ligninger;

Oppgaver:

Organisere repetisjon og systematisering av kunnskap om hvordan man kan transformere ligninger;

- å sikre mestring av metoder for å løse ligninger og sjekke deres røtter;

- å fremme utviklingen av analytisk og kritisk tenkning hos studenter; sammenligne og velge optimale metoder for å løse ligninger;

- skape forutsetninger for utvikling av forskningsferdigheter, gruppearbeidsferdigheter;

Motivere studentene til å bruke det studerte materialet til å forberede seg til eksamen;

Analyser og evaluer arbeidet ditt og arbeidet til kameratene dine i utførelsen av dette arbeidet.

Planlagte resultater:

*personlig:

Ferdigheter til å sette en oppgave basert på kjent og lært informasjon, generere forespørsler for å finne ut hva som ennå ikke er kjent;

Evnen til å velge informasjonskildene som er nødvendige for å løse problemet; utvikling av kognitive interesser, intellektuelle og kreative evner til studenter;

Utvikling av logisk tenkning, kreativ aktivitet, evnen til å uttrykke sine tanker, evnen til å bygge argumenter;

Egenvurdering av prestasjonsresultater;

Samarbeidsevner;

*metaemne:

Evnen til å fremheve det viktigste, sammenligne, generalisere, tegne en analogi, anvende induktive resonnementmetoder, sette frem hypoteser når du løser ligninger,

Evne til å tolke og anvende tilegnet kunnskap som forberedelse til eksamen;

*Emne:

Kunnskap om hvordan man transformerer ligninger,

Evnen til å etablere et mønster knyttet til ulike typer ligninger og bruke det til å løse og velge røtter,

Integrering av leksjonsmål:

1. (for læreren) Dannelse hos elever av et helhetlig syn på måter å transformere likninger og metoder for å løse dem på;
2. (for studenter) Utvikling av evnen til å observere, sammenligne, generalisere, analysere matematiske situasjoner knyttet til typer ligninger som inneholder ulike funksjoner. Forberedelse til eksamen.

Trinn I av leksjonen:

Oppdatering av kunnskap for å øke motivasjonen innen anvendelse av ulike metoder for å transformere ligninger (input diagnostikk)

Stadiet for å oppdatere kunnskapgjennomføres i form av et prøvearbeid med selvtest. Det foreslås utviklingsoppgaver, basert på kunnskap tilegnet i tidligere leksjoner, som krever aktiv mental aktivitet fra elevene og nødvendig for å fullføre oppgaven i denne leksjonen.

Verifikasjonsarbeid

1. Velg ligninger som krever begrensning av ukjente på settet av alle reelle tall:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) = 1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 = 5;

g) =; h) = .

(2) Spesifiser rekkevidden av gyldige verdier for hver ligning, der det er begrensninger.

(3) Velg et eksempel på en slik ligning, der transformasjonen kan forårsake tap av roten (bruk materialene fra de forrige leksjonene om dette emnet).

Alle sjekker svarene uavhengig i henhold til de ferdige uthevede på skjermen. De vanskeligste oppgavene analyseres og elevene legger spesielt vekt på eksemplene a, c, g, h, der det finnes begrensninger.

Det konkluderes med at når man løser ligninger, er det nødvendig å bestemme verdiområdet som er tillatt av ligningen eller å sjekke røttene for å unngå uvedkommende verdier. De tidligere studerte metodene for å transformere ligninger som fører til en ligning - en konsekvens gjentas. Det vil si at elevene dermed motiveres til å finne den rette måten å løse ligningen foreslått av dem i videre arbeid.

II trinn av leksjonen:

Praktisk anvendelse av deres kunnskaper, ferdigheter og evner i å løse ligninger.

Gruppene får utdelt ark med en modul satt sammen om problemstillinger rundt dette emnet. Modulen inneholder fem læringselementer, som hver er rettet mot å utføre bestemte oppgaver. Elever med ulik grad av læring og læring bestemmer selv omfanget av aktivitetene sine i timen, men siden alle jobber i grupper, er det en kontinuerlig prosess med å justere kunnskap og ferdigheter, som trekker de som henger etter til obligatoriske, andre til avanserte og kreative nivåer.

Midt i timen avholdes et obligatorisk fysisk minutt.

Antall utdanningselement	Pedagogisk element med oppgaver	Veiledning for utvikling av undervisningsmateriell
UE-1	Formål: Å bestemme og begrunne hovedmetodene for å løse likninger basert på egenskapene til funksjoner. Trening: Spesifiser transformasjonsmetoden for å løse følgende ligninger: A)) = -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) =; f) = sin x. 2) Oppgave: Løs minst to av de foreslåtte ligningene. Beskriv hvilke metoder som ble brukt i de løste ligningene.	Klausul 7.3 s.212 Klausul 7.4 s.214 Klausul 7.5 s.217 Klausul 7.2 s. 210
UE-2	Formål: Å beherske rasjonelle teknikker og metoder for løsning Trening: Gi eksempler fra ovenstående eller selvvalgte (bruk materialer fra tidligere leksjoner) ligninger som kan løses ved hjelp av rasjonelle løsningsmetoder, hva er de? (vekt på måten å sjekke røttene til ligningen)
UE-3	Formål: Bruke tilegnet kunnskap til å løse likninger med høy kompleksitet Trening: = (eller ( = (	Klausul 7.5
UE-4	Angi mestringsnivået for emnet: lav - løsning av ikke mer enn 2 ligninger; Medium - løsning av ikke mer enn 4 ligninger; høy - løsning av ikke mer enn 5 ligninger
UE-5	Utgangskontroll: Lag en tabell der du kan presentere alle måtene du bruker for å transformere likninger og for hver måte skrive ned eksempler på likningene du løste, med utgangspunkt i leksjon 1 i emnet: "Likninger - konsekvenser"	Abstrakter i notatbøker

III trinn i leksjonen:

Utgang diagnostisk arbeid, som representerer refleksjon av studenter, som vil vise beredskap ikke bare til å skrive en test, men også beredskap for eksamen i denne delen.

På slutten av timen evaluerer alle elever uten unntak seg selv, så kommer lærerens vurdering. Dersom det oppstår uenigheter mellom lærer og elev, kan lærer tilby en tilleggsoppgave til eleven for å objektivt kunne vurdere den. Hjemmelekserrettet mot gjennomgang av materialet før kontrollarbeidet.

Denne presentasjonen kan brukes når du gjennomfører en algebratime og starter analyse i klasse 11 når du studerer emnet "Likninger - konsekvenser" i henhold til læremateriellet til forfatterne S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

Se dokumentinnhold
«Konsekvenslikninger. Andre transformasjoner som fører til ligningen følger"

LIGNINGER - KONSEKVENSER

MUNTLIG ARBEID

• Hvilke ligninger kalles korollære ligninger?
• Det som kalles overgangen til konsekvensligningen
• Hvilke transformasjoner fører til følgeligningen?

MUNTLIG ARBEID

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Ingen løsninger

Ingen løsninger

MUNTLIG ARBEID

Ingen løsninger

Transformasjoner som fører til følgeligningen

transformasjon

Påvirkning på røttene til ligningen

Å heve en ligning til en JØVN potens

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Potensering av logaritmiske ligninger, dvs. erstatning:

log a f(x)=logg a g(x) f(x)= g(x)

Kan føre til fremmede røtter

Frigjør ligningen fra nevnere:

Kan føre til utseende av fremmede røtter, dvs. de tallene x i som eller

Å erstatte forskjellen f(x)-f(x) med null, dvs. reduksjon av tilsvarende medlemmer

Kan føre til utseende av fremmede røtter, dvs. de tallene for hver av funksjonen f(x) ikke er definert.

Hvis det ved løsning av denne ligningen gjøres en overgang til konsekvensligningen, er det nødvendig å sjekke om alle røttene til konsekvensligningen er røttene til den opprinnelige ligningen.

Kontroll av de oppnådde røttene er en obligatorisk del av å løse ligningen.

№ 8.2 2 (en) Løs ligningen :

2) nr. 8.23(a)

№ 8,24 (a, c) Løs ligningen :

№ 8,25 (a, c) Løs ligningen :

№ 8,28 (a, c) Løs ligningen :

№ 8,29 (a, c) Løs ligningen :

HJEMMELEKSER

• Løp nr. 8.24 (b, d), s. 236
• nr. 8.25(b, d)
• 8,28 (b, d)
• 8,29 (b, d)

Klasse: 11

Varighet: 2 leksjoner.

Hensikten med leksjonen:

• (for lærer) dannelsen av et helhetlig syn på metodene for å løse irrasjonelle ligninger blant elever.
• (for studenter) Utvikling av evnen til å observere, sammenligne, generalisere, analysere matematiske situasjoner (lysbilde 2). Forberedelse til eksamen.

Første timeplan(lysbilde 3)

1. Kunnskapsoppdatering
2. Analyse av teorien: Heve en ligning til en jevn potens
3. Workshop om å løse ligninger

Plan for den andre leksjonen

1. Differensiert selvstendig arbeid med grupper "Irrasjonelle ligninger på eksamen"
2. Oppsummering av leksjoner
3. Hjemmelekser

Leksjonsforløp

I. Oppdatering av kunnskap

Mål: gjenta konseptene som er nødvendige for vellykket utvikling av emnet i leksjonen.

frontavstemning.

Hvilke to ligninger sies å være likeverdige?

Hvilke transformasjoner av ligningen kalles ekvivalente?

- Erstatt denne ligningen med en ekvivalent med en forklaring av den anvendte transformasjonen: (lysbilde 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Hvilken likning kalles likningskonsekvensen av den opprinnelige likningen?

– Kan konsekvensligningen ha en rot som ikke er roten til den opprinnelige ligningen? Hva kalles disse røttene?

– Hvilke transformasjoner av ligningen fører til ligningskonsekvensene?

Hva er en aritmetisk kvadratrot?

La oss i dag dvele mer detaljert ved transformasjonen "Å heve en ligning til en jevn potens".

II. Analyse av teorien: Heve en ligning til en jevn potens

Forklaring av læreren med aktiv deltakelse fra elevene:

La 2m(mN) er et fast partall naturlig tall. Så konsekvensen av ligningenf(x) =g(x) er ligningen (f(x)) = (g(x)).

Svært ofte brukes denne uttalelsen til å løse irrasjonelle ligninger.

Definisjon. En ligning som inneholder det ukjente under rotens tegn kalles irrasjonell.

Når du løser irrasjonelle ligninger, brukes følgende metoder: (lysbilde 5)

Merk følgende! Metode 2 og 3 krever påbudt, bindende sjekker.

ODZ hjelper ikke alltid med å eliminere fremmede røtter.

Konklusjon: når man løser irrasjonelle ligninger, er det viktig å gå gjennom tre stadier: teknisk, løsningsanalyse, verifikasjon (lysbilde 6).

III. Workshop om å løse ligninger

Løs ligningen:

Etter å ha diskutert hvordan du løser ligningen ved å kvadrere, løser du ved å gå videre til et ekvivalent system.

Konklusjon: Løsningen av de enkleste ligningene med heltallsrøtter kan utføres med en hvilken som helst kjent metode.

b) \u003d x - 2

Løser man ved å heve begge deler av ligningen til samme potens, får elevene røttene x = 0, x = 3 -, x = 3 +, som er vanskelige og tidkrevende å kontrollere ved substitusjon. (lysbilde 7). Overgang til et tilsvarende system

lar deg raskt kvitte seg med fremmede røtter. Betingelsen x ≥ 2 er bare oppfylt av x.

Svar: 3+

Konklusjon: Det er bedre å sjekke irrasjonelle røtter ved å gå over til et tilsvarende system.

c) \u003d x - 3

I prosessen med å løse denne ligningen får vi to røtter: 1 og 4. Begge røttene tilfredsstiller venstre side av ligningen, men for x \u003d 1 blir definisjonen av den aritmetiske kvadratroten brutt. ODZ-ligningen hjelper ikke med å eliminere fremmede røtter. Overgangen til et ekvivalent system gir riktig svar.

Konklusjon:god kjennskap til og forståelse av alle betingelsene for å bestemme den aritmetiske kvadratroten bidrar til å gå videre tilutføre tilsvarende transformasjoner.

Ved å kvadrere begge sider av ligningen får vi ligningen

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, som skiller radikalen til høyre side, får vi

26 - x + x \u003d 8. Bruk av ytterligere trinn for å kvadrere begge deler av ligningen, vil føre til en ligning av 4. grad. Overgangen til ODZ-ligningen gir et godt resultat:

finn ODZ-ligningen:

x = 3.

Sjekk: - 4 = , 0 = 0 er riktig.

Konklusjon:noen ganger er det mulig å utføre en løsning ved å bruke definisjonen av ODZ-ligningen, men sørg for å sjekke.

Løsning: ODZ-ligning: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

For x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Derfor er venstre side av ligningen negativ, og høyre side er ikke-negativ; så den opprinnelige ligningen har ingen røtter.

Svar: ingen røtter.

Konklusjon:etter å ha gjort riktig resonnement om begrensningen i tilstanden til ligningen, kan du enkelt finne røttene til ligningen, eller fastslå at de ikke eksisterer.

Ved å bruke eksempelet på å løse denne ligningen, vis den doble kvadreringen av ligningen, forklar betydningen av uttrykket "radikalers ensomhet" og behovet for å sjekke de funnet røttene.

h) + = 1.

Løsningen av disse ligningene utføres ved hjelp av metoden for å endre variabelen til returen til den opprinnelige variabelen. Fullfør beslutningen om å tilby de som skal takle oppgavene til neste trinn tidligere.

test spørsmål

• Hvordan løse de enkleste irrasjonelle ligningene?
• Hva bør huskes når man hever en ligning til en jevn potens? ( fremmede røtter kan dukke opp)
• Hva er den beste måten å sjekke irrasjonelle røtter? ( ved å bruke ODZ og betingelsene for sammenfall av tegnene til begge deler av ligningen)
• Hvorfor er det nødvendig å kunne analysere matematiske situasjoner når man løser irrasjonelle ligninger? ( For riktig og raskt valg av metode for å løse en ligning).

IV. Differensiert selvstendig arbeid med grupper "Irrasjonelle ligninger på eksamen"

Klassen er delt inn i grupper (2-3 personer hver) etter treningsnivåene, hver gruppe velger et alternativ med en oppgave, diskuterer og løser de valgte oppgavene. Ved behov, kontakt lærer for råd. Etter å ha fullført alle oppgavene i versjonen deres og kontrollert svarene av læreren, fullfører gruppemedlemmene individuelt løsningen av ligningene g) og h) fra forrige trinn i leksjonen. For alternativ 4 og 5 (etter kontroll av svarene og lærerens avgjørelse) skrives tilleggsoppgaver på tavlen, som utføres individuelt.

Alle individuelle løsninger på slutten av timene overleveres til lærer for verifisering.

valg 1

Løs ligningene:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Alternativ 5

1. Løs ligningen:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Løs ligningssystemet:

Ytterligere oppgaver:

v. Oppsummering av leksjoner

Hvilke vanskeligheter opplevde du med å gjennomføre eksamensoppgavene? Hva er nødvendig for å overvinne disse vanskelighetene?

VI. Hjemmelekser

Gjenta teorien om å løse irrasjonelle ligninger, les avsnitt 8.2 i læreboken (vær oppmerksom på eksempel 3).

Løs nr. 8.8 (a, c), nr. 8.9 (a, c), nr. 8.10 (a).

Litteratur:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse , lærebok for 11. klasse ved utdanningsinstitusjoner, M .: Education, 2009.
2. Mordkovich A.G. Om noen metodiske spørsmål knyttet til løsning av ligninger. Matematikk på skolen. -2006. - Nummer 3.
3. M. Shabunin. Ligninger. Forelesninger for videregående elever og påmeldte. Moskva, "Chistye Prudy", 2005. (biblioteket "First of September")
4. E.N. Balayan. Workshop om problemløsning. Irrasjonelle ligninger, ulikheter og systemer. Rostov-ved-Don, "Phoenix", 2006.
5. Matte. Forberedelse til eksamen-2011. Redigert av F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov ved Don, 2010.

Noen transformasjoner lar oss gå fra ligningen som løses til ekvivalente ligninger, samt til konsekvenslikninger, noe som forenkler løsningen av den opprinnelige ligningen. I dette materialet vil vi fortelle deg hva disse ligningene er, formulere hoveddefinisjonene, illustrere dem med illustrerende eksempler og forklare nøyaktig hvordan røttene til den opprinnelige ligningen beregnes fra røttene til konsekvensligningen eller en ekvivalent ligning.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konseptet med ekvivalente ligninger

Definisjon 1

Tilsvarende kalt slike ligninger som har samme røtter, eller de der det ikke er røtter.

Definisjoner av denne typen finnes ofte i ulike lærebøker. La oss gi noen eksempler.

Definisjon 2

Ligningen f (x) = g (x) anses som ekvivalent med ligningen r (x) = s (x) hvis de har samme røtter eller begge har ingen røtter.

Definisjon 3

Ligninger med samme røtter regnes som likeverdige. Dessuten betraktes de som to ligninger som like mye ikke har røtter.

Definisjon 4

Hvis ligningen f (x) \u003d g (x) har samme sett med røtter som ligningen p (x) \u003d h (x), så anses de som likeverdige med hensyn til hverandre.

Når vi snakker om et sammenfallende sett med røtter, mener vi at hvis et visst tall er roten til en likning, så vil det passe som en løsning på en annen likning. Ingen av ligningene som er ekvivalente kan ha en rot som ikke er egnet for den andre.

Vi gir flere eksempler på slike ligninger.

Eksempel 1

For eksempel vil 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 og x \u003d 2 være ekvivalente, siden hver av dem bare har en rot - to. Dessuten vil x · 0 = 0 og 2 + x = x + 2 være ekvivalente, siden røttene deres kan være alle tall, det vil si at mengdene av løsningene deres er de samme. Ligningene x = x + 5 og x 4 = − 1 vil også være ekvivalente, som hver ikke har noen løsning.

For klarhet, vurder flere eksempler på ikke-ekvivalente ligninger.

Eksempel 2

For eksempel vil x = 2 og x 2 = 4 være, fordi røttene deres er forskjellige. Det samme gjelder for ligningene x x \u003d 1 og x 2 + 5 x 2 + 5, fordi i den andre kan løsningen være et hvilket som helst tall, og i den andre kan ikke roten være 0.

Definisjonene gitt ovenfor er også egnet for ligninger med flere variabler, men i tilfellet når vi snakker om to, tre eller flere røtter, er uttrykket "løsning av ligningen" mer passende. For å oppsummere: ekvivalente ligninger er de ligningene som har de samme løsningene eller ingen i det hele tatt.

La oss ta eksempler på ligninger som inneholder flere variabler og er likeverdige med hverandre. Så, x 2 + y 2 + z 2 = 0 og 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 inkluderer tre variabler hver og har bare én løsning lik 0 i alle tre tilfellene. Og ligningsparet x + y = 5 og x y = 1 vil ikke være ekvivalente med hverandre, siden for eksempel verdiene 5 og 3 passer for den første, men vil ikke være en løsning på den andre: når vi erstatter dem i den første ligningen, får vi riktig likhet, og i den andre - usann.

Konseptet med følgeligninger

La oss sitere flere eksempler på definisjoner av følgeligninger hentet fra lærebøker.

Definisjon 5

Konsekvensen av ligningen f (x) = g (x) vil være ligningen p (x) = h (x), forutsatt at hver rot av den første ligningen samtidig er roten til den andre.

Definisjon 6

Hvis den første ligningen har samme røtter som den andre, vil den andre være en konsekvens av den første.

La oss ta noen eksempler på slike ligninger.

Eksempel 3

Så, x 2 = 32 vil være en konsekvens av x - 3 = 0, siden den første har bare én rot lik tre, og den vil også være roten til den andre ligningen, så i sammenheng med denne definisjonen, én ligning vil være en konsekvens av en annen. Et annet eksempel: likningen (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 vil være en konsekvens av x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 fordi den andre likningen har to røtter, lik 2 og 3, som samtidig vil være røttene til den første.

Fra definisjonen ovenfor kan vi konkludere med at enhver ligning som ikke har røtter også vil være en konsekvens av enhver ligning. Her er noen andre konsekvenser av alle reglene formulert i denne artikkelen:

Definisjon 7

1. Hvis en ligning er ekvivalent med en annen, vil hver av dem være en konsekvens av den andre.
2. Hvis av to ligninger hver er en konsekvens av den andre, vil disse ligningene være ekvivalente med hverandre.
3. Ligninger vil være ekvivalente med hensyn til hverandre bare hvis hver av dem er en konsekvens av den andre.

Hvordan finne røttene til en ligning fra røttene til en konsekvensligning eller en ekvivalent ligning

Basert på det vi skrev i definisjonene, så i tilfellet når vi kjenner røttene til en ligning, så kjenner vi også røttene til likeverdige, siden de vil falle sammen.

Hvis vi kjenner alle røttene til konsekvensligningen, så kan vi bestemme røttene til den andre ligningen, som den er en konsekvens av. For å gjøre dette trenger du bare å luke ut fremmede røtter. Vi skrev en egen artikkel om hvordan dette gjøres. Vi anbefaler deg å lese den.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

For å studere dagens tema, må vi gjenta hvilken ligning som kalles konsekvensligningen, hvilke teoremer som er «rastløse» og hvilke trinn løsningen av enhver ligning består av.

Definisjon. Hvis hver rot av ligningen ef fra x er lik x (vi betegner den med tallet én) er samtidig roten av ligningen pe fra x, lik aske fra x (vi betegner den med tallet to) , så kalles ligning to en konsekvens av ligning en.

Teorem fire. Hvis begge sider av ligningen ef fra x er lik det samme fra x, multipliser med det samme uttrykket aske fra x, som er:

For det første gir det mening overalt i definisjonsdomenet (i området av tillatte verdier) av ligningen eff fra x, som er lik fra x.

For det andre, ingen steder i denne regionen forsvinner den, da får vi ligningen ef fra x, multiplisert med aske fra x er lik x, multiplisert med aske fra x, ekvivalent med det gitte i dens ODZ.

Konsekvens teorem fire er et annet "rolig" utsagn: hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får man en ligning som tilsvarer den gitte.

Teorem fem. Hvis begge sider av ligningen

ef fra x er lik x er ikke-negativ i ODZ-ligningen, så etter å ha hevet begge delene til samme jevne potens n, får vi ligningen eff fra x til potensen av x er lik x i potensen av x, ekvivalent med denne ligningen i sin o de ze.

Teorem seks. La a være større enn null, og ikke lik én, og eff fra x større enn null,

zhe fra x er større enn null, den tolologaritmiske ligningen er logaritmen til ef fra x til grunntallet a, lik logaritmen til zhe fra x til grunntallet a,

er ekvivalent med ligningen ef fra x er den samme som fra x .

Som vi allerede har sagt, skjer løsningen av alle ligninger i tre stadier:

Det første trinnet er teknisk. Ved hjelp av en kjede av transformasjoner fra den opprinnelige likningen kommer vi til en ganske enkel likning, som vi løser og finner røttene.

Det andre trinnet er analyse av løsningen. Vi analyserer transformasjonene vi har utført og finner ut om de er likeverdige.

Den tredje fasen er verifisering. Å sjekke alle røttene som er funnet ved å erstatte dem i den opprinnelige ligningen er obligatorisk når du utfører transformasjoner som kan føre til en konsekvensligning.

I denne leksjonen vil vi finne ut, når vi anvender hvilke transformasjoner går denne ligningen inn i en konsekvensligning? Vurder følgende oppgaver.

Øvelse 1

Hvilken likning er en konsekvens av likningen x minus tre er lik to?

Løsning

Ligningen x minus tre er lik to har en enkelt rot - x er lik fem. Multipliser begge sider av denne ligningen med uttrykket x minus seks, legg til like ledd og få den kvadratiske ligningen x kvadrat minus elleve x pluss tretti er lik null. La oss beregne røttene: x den første er lik fem; x sekund er lik seks. Den inneholder allerede to røtter. Ligningen x kvadrat minus elleve x pluss tretti lik null inneholder en enkelt rot - x er lik fem; av ligningen x minus tre er lik to, så x kvadrat minus elleve x pluss tretti er en konsekvens av ligningen x minus tre er lik to.

Oppgave 2

Hvilken annen likning er en konsekvens av likningen x-3=2?

Løsning

I ligningen er x minus tre lik to, vi kvadrerer begge deler av den, bruker formelen for kvadratet av forskjellen, legg til like ledd, vi får kvadratisk ligning x kvadrat minus seks, x pluss fem er lik null.

La oss beregne røttene: x den første er lik fem, x den andre er lik en.

Roten x er lik en er utenfor ligningen x minus tre er lik to. Dette skjedde fordi begge sider av den opprinnelige ligningen var kvadratisk (en jevn potens). Men samtidig kan venstre side - x minus tre - være negativ (betingelser teorem fem). Så ligningen x kvadrat minus seks x pluss fem er lik null er en konsekvens av ligningen x minus tre er lik to.

Oppgave 3

Finn ligningens konsekvens for ligningen

logaritmen av x pluss én til grunntall tre pluss logaritmen til x pluss tre til grunntall tre er lik én.

Løsning

Vi representerer enhet som logaritmen av tre til basen av tre, potenserer den logaritmiske ligningen, utfører multiplikasjon, legger til like ledd og får den kvadratiske ligningen x i andre pluss fire x er lik null. La oss beregne røttene: x den første er lik null, x den andre er lik minus fire. Roten x er lik minus fire er fremmed for den logaritmiske ligningen, siden når den erstattes i den logaritmiske ligningen, får uttrykkene x pluss en og x pluss tre negative verdier - betingelsene brytes teorem seks.

Så ligningen x kvadrat pluss fire x er lik null er en konsekvens av denne ligningen.

Basert på løsningen av disse eksemplene kan vi gjøre konklusjon:konsekvensligningen er hentet fra den gitte ligningen ved å utvide domenet til ligningen. Og dette er mulig når du utfører slike transformasjoner som

1) bli kvitt nevnere som inneholder en variabel;

2) heve begge deler av ligningen til samme jevne styrke;

3) fritak fra tegn på logaritmer.

Husk!Hvis definisjonsdomenet til ligningen har utvidet seg i prosessen med å løse ligningen, er det nødvendig å sjekke alle røttene som er funnet.

Oppgave 4

Løs likningen x minus tre delt på x minus fem pluss én delt på x er lik x pluss fem delt på x ganger x minus fem.

Løsning

Det første trinnet er teknisk.

La oss utføre en kjede av transformasjoner, få den enkleste ligningen og løse den. For å gjøre dette multipliserer vi begge deler av ligningen med en fellesnevner av brøker, det vil si med uttrykket x multiplisert med xminus fem.

Vi får andregradsligningen x kvadrat minus tre x minus ti er lik null. La oss beregne røttene: x den første er lik fem, x den andre er lik minus to.

Det andre trinnet er analyse av løsningen.

Når vi løste ligningen, multipliserte vi begge deler av den med et uttrykk som inneholder en variabel. Dette betyr at definisjonsdomenet til ligningen har utvidet seg. Derfor er det nødvendig å sjekke røttene.

Den tredje fasen er verifisering.

Når x er lik minus to, forsvinner ikke fellesnevneren. Så x er lik minus to er roten til denne ligningen.

Når x er lik fem, går fellesnevneren til null. Derfor er x lik fem - en fremmed rot.

Svar: minus to.

Oppgave 5

Løs ligningen kvadratroten av x minus seks er lik kvadratroten av fire minus x.

Løsning

Det første trinnet er teknisk .

For å få en enkel ligning og løse den, utfører vi en kjede av transformasjoner.

La oss kvadrere (en jevn potens) begge delene av denne ligningen, flytte x-ene til venstre side, og tallene til høyre side av ligningen, gi like ledd, vi får: to x er lik ti. X er lik fem.

Det andre trinnet er analyse av løsningen.

La oss sjekke de utførte transformasjonene for ekvivalens.

Når vi løste en likning, kvadrerte vi begge sider av den. Dette betyr at definisjonsdomenet til ligningen har utvidet seg. Derfor er det nødvendig å sjekke røttene.

Den tredje fasen er verifisering.

Vi erstatter de funnet røttene i den opprinnelige ligningen.

Hvis x er lik fem, er uttrykket kvadratroten av fire minus x udefinert, så x lik fem er en uvedkommende rot. Så denne ligningen har ingen røtter.

Svar: Ligningen har ingen røtter.

Oppgave 6

Løs ligningen Den naturlige logaritmen av x i andre pluss to x minus syv er lik den naturlige logaritmen til x minus en.

Løsning

Det første trinnet er teknisk .

La oss utføre en kjede av transformasjoner, få den enkleste ligningen og løse den. For å gjøre dette, potenserer vi

ligning, vi overfører alle leddene til venstre side av ligningen, vi bringer lignende ledd, vi får en andregradsligning x kvadrat pluss x minus seks er lik null. La oss beregne røttene: x den første er lik to, x den andre er lik minus tre.

Det andre trinnet er analyse av løsningen.

La oss sjekke de utførte transformasjonene for ekvivalens.

I prosessen med å løse denne ligningen, ble vi kvitt tegnene til logaritmer. Dette betyr at definisjonsdomenet til ligningen har utvidet seg. Derfor er det nødvendig å sjekke røttene.

Den tredje fasen er verifisering.

Vi erstatter de funnet røttene i den opprinnelige ligningen.

Hvis x er lik to, får vi den naturlige logaritmen av enhet er lik den naturlige logaritmen av enhet -

riktig likestilling.

Derfor er x lik to roten til denne ligningen.

Hvis x er minus tre, så er den naturlige logaritmen til x kvadrat pluss to x minus syv og den naturlige logaritmen til x minus én udefinert. Så x lik minus tre er en fremmed rot.

Svar: to.

Er det alltid nødvendig å skille mellom tre stadier når man løser en ligning? Hvordan kan du ellers sjekke?

Vi vil få svar på disse spørsmålene i neste leksjon.