La retta passante per il punto K(x 0; y 0) e parallela alla retta y = kx + a si trova con la formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Dove k è la pendenza della retta.

Formula alternativa:
La retta passante per il punto M 1 (x 1 ; y 1) e parallela alla retta Ax+By+C=0 è rappresentata dall'equazione

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Esempio 1. Componi l'equazione di una retta passante per il punto M 0 (-2.1) e contemporaneamente:
a) parallela alla retta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicolare alla retta 2x+3y -7 = 0.
Soluzione . Rappresentiamo l'equazione della pendenza come y = kx + a . Per fare ciò, trasferiamo tutti i valori tranne y a lato destro: 3 anni = -2x + 7 . Quindi dividiamo il membro destro per il coefficiente 3 . Otteniamo: y = -2/3x + 7/3
Trova l'equazione NK passante per il punto K(-2;1) parallelo alla retta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Sostituendo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 otteniamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Esempio #2. Scrivi l'equazione di una retta parallela alla retta 2x + 5y = 0 e forma, insieme agli assi coordinati, un triangolo di area 5.
Soluzione . Poiché le linee sono parallele, l'equazione della linea desiderata è 2x + 5y + C = 0. L'area di un triangolo rettangolo, dove aeb sono le sue gambe. Trova i punti di intersezione della linea desiderata con gli assi delle coordinate:
;
.
Quindi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sostituisci nella formula per l'area: . Otteniamo due soluzioni: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .

Esempio #3. Scrivi l'equazione della retta passante per il punto (-2; 5) e la parallela 5x-7y-4=0 .
Soluzione. Questa retta può essere rappresentata dall'equazione y = 5/7 x – 4/7 (qui a = 5/7). L'equazione della retta desiderata è y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), cioè 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Esempio #4. Risolvendo l'esempio 3 (A=5, B=-7) usando la formula (2), troviamo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Esempio numero 5. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto (-2;5) e di una retta parallela 7x+10=0.
Soluzione. Qui A=7, B=0. La formula (2) dà 7(x+2)=0, cioè x+2=0. La formula (1) non è applicabile, poiché questa equazione non può essere risolta rispetto a y (questa retta è parallela all'asse y).

Proprietà di una retta nella geometria euclidea.

Ci sono infinite linee che possono essere tracciate attraverso qualsiasi punto.

Attraverso due punti qualsiasi non coincidenti, c'è solo una linea retta.

Due linee non coincidenti nel piano si intersecano in un unico punto o sono

parallelo (segue dal precedente).

Nello spazio tridimensionale, ci sono tre opzioni per la posizione relativa di due linee:

• le linee si intersecano;

• le rette sono parallele;

• le linee rette si intersecano.

Dritto linea- curva algebrica del primo ordine: nel sistema di coordinate cartesiane, una retta

è data sul piano da un'equazione di primo grado (equazione lineare).

Equazione generale di una retta.

Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

e costante A, B non uguale a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata generale

equazione di linea retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e DA Sono possibili i seguenti casi speciali:

. C = 0, LA ≠ 0, B ≠ 0- la linea passa per l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Di + C = 0)- retta parallela all'asse Oh

. B = 0, LA ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- retta parallela all'asse UO

. B = C = 0, LA ≠ 0- la linea coincide con l'asse UO

. A = C = 0, B ≠ 0- la linea coincide con l'asse Oh

L'equazione di una retta può essere rappresentata in varie forme a seconda di qualsiasi dato

condizioni iniziali.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale.

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B)

perpendicolare alla retta data dall'equazione

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per un punto A(1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Soluzione. Componiamo in A \u003d 3 e B \u003d -1 l'equazione della retta: 3x - y + C \u003d 0. Per trovare il coefficiente C

nell'espressione risultante sostituiamo le coordinate del punto A. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi

C = -1. Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione di una retta passante per due punti.

Siano dati due punti nello spazio M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), poi equazione di linea retta,

passando per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero. Sul

piano, l'equazione di una retta scritta sopra è semplificata:

Se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, Se x 1 = x 2 .

Frazione = k chiamato fattore di pendenza dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula sopra, otteniamo:

Equazione di una retta per un punto e una pendenza.

Se l'equazione generale di una retta Ah + Wu + C = 0 portare al modulo:

e designare , quindi viene chiamata l'equazione risultante

equazione di una retta di pendenza k.

L'equazione di una retta su un punto e un vettore direzionale.

Per analogia con il punto considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, puoi inserire l'attività

una retta passante per un punto e un vettore di direzione di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1 , α 2), i cui componenti soddisfano la condizione

Aα 1 + Bα 2 = 0 chiamato vettore di direzione della retta.

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + di + C = 0. Secondo la definizione,

i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * LA + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x=1, y=2 noi abbiamo C/LA = -3, cioè. equazione desiderata:

x + y - 3 = 0

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora, dividendo per -C, otteniamo:

o dove

Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente a è la coordinata del punto di intersezione

dritto con asse Oh, un b- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse UO.

Esempio. Viene data l'equazione generale di una retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta in segmenti.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ah + Wu + C = 0 dividere per numero , che è chiamato

fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equazione normale di una retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale μ * C< 0.

R- la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla linea,

un φ - l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse Oh.

Esempio. Data l'equazione generale di una retta 12x - 5 anni - 65 = 0. Obbligatorio per scrivere tipi diversi equazioni

questa linea retta.

L'equazione di questa retta in segmenti:

L'equazione di questa retta con la pendenza: (dividi per 5)

Equazione di una retta:

cos φ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette,

parallela agli assi o passante per l'origine.

Angolo tra le linee su un piano.

Definizione. Se vengono fornite due righe y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, quindi l'angolo acuto tra queste linee

sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2. Due linee sono perpendicolari

Se k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Diretto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono paralleli quando i coefficienti sono proporzionali

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se anche С 1 \u003d λС, quindi le linee coincidono. Coordinate del punto di intersezione di due rette

si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

L'equazione di una retta passante per un dato punto è perpendicolare a una data retta.

Definizione. Una retta passante per un punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y = kx + b

rappresentato dall'equazione:

La distanza da un punto a una linea.

Teorema. Se viene assegnato un punto M(x 0, y 0), poi la distanza dalla linea Ah + Wu + C = 0 definito come:

Prova. Lascia il punto M 1 (x 1, y 1)- la base della perpendicolare scesa dal punto M per una data

diretto. Poi la distanza tra i punti M e M1:

(1)

Coordinate x 1 e 1 può essere trovata come soluzione al sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolarmente

riga data. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Equazione di una retta passante per un dato punto in questa direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette

Esempi di problemi con soluzioni

Trova l'equazione di una retta passante per due punti: (-1, 2) e (2, 1).

Soluzione.

Secondo l'equazione

crederci X 1 = -1, y 1 = 2, X 2 = 2, y 2 \u003d 1 (non importa quale punto sia considerato il primo, quale - il secondo), otteniamo

dopo le semplificazioni, otteniamo finalmente l'equazione desiderata nella forma

X + 3y - 5 = 0.

I lati del triangolo sono dati dalle equazioni: (AB ) 2 X + 4 y + 1 = 0, (corrente alternata ) X - y + 2 = 0, (AVANTI CRISTO ) 3 X + 4 y -12 = 0. Trova le coordinate dei vertici del triangolo.

Soluzione.

Coordinate del vertice UN trova risolvendo un sistema composto da equazioni laterali AB e corrente alternata:

sistema di due equazioni lineari con due incognite risolviamo con metodi noti dall'algebra elementare e otteniamo

Vertice UN ha coordinate

Coordinate del vertice B trovare risolvendo un sistema di equazioni dei lati AB e AVANTI CRISTO:

noi abbiamo .

Coordinate del vertice C otteniamo risolvendo il sistema dalle equazioni dei lati AVANTI CRISTO e corrente alternata:

Vertice C ha coordinate.

UN (2, 5) parallela alla linea 3X - 4 y + 15 = 0.

Soluzione.

Dimostriamo che se due rette sono parallele, allora le loro equazioni possono sempre essere rappresentate in modo tale che differiscano solo in termini liberi. Infatti, dalla condizione di parallelismo di due rette ne consegue che .

Indica con t il valore totale di queste relazioni. Quindi

e quindi ne consegue

UN 1 = UN 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Se due righe

UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0 e

UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0

sono parallele, le condizioni (1) sono soddisfatte e, sostituendo nella prima di queste equazioni UN 1 e B 1 dalle formule (1), avremo

UN 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

oppure, dividendo entrambi i membri dell'equazione per , otteniamo

Confrontando l'equazione risultante con l'equazione della seconda riga UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0, notiamo che queste equazioni differiscono solo nel termine libero; quindi, abbiamo dimostrato l'affermazione. Ora iniziamo a risolvere il problema. Scriviamo l'equazione della retta desiderata in modo tale che differisca dall'equazione di questa retta solo per il termine libero: i primi due termini nell'equazione desiderata saranno presi da questa equazione e il suo termine libero sarà essere indicato con C. Quindi l'equazione desiderata può essere scritta nel modulo

3X - 4y + C = 0, (3)

e da determinare C.

Dare nell'equazione (3) al valore C tutti i possibili valori reali, otteniamo un insieme di rette parallele a quella data. Pertanto, l'equazione (3) non è un'equazione di una retta, ma di un'intera famiglia di rette parallele a questa retta 3 X - 4y+ 15 = 0. Da questa famiglia di rette si dovrebbe individuare quella che passa per il punto UN(2, 5).

Se una retta passa per un punto, le coordinate di quel punto devono soddisfare l'equazione della retta. E così definiamo C, se in (3) sostituiamo al posto delle coordinate correnti X e y coordinate del punto UN, cioè. X = 2, y= 5. Otteniamo e C = 14.

Valore trovato C sostituiamo in (3), e l'equazione desiderata sarà scritta come segue:

3X - 4y + 14 = 0.

Lo stesso problema può essere risolto in un altro modo. Poiché le pendenze delle rette parallele sono uguali tra loro, e per una data retta 3 X - 4y+ 15 = 0 pendenza, allora anche la pendenza della linea desiderata è uguale a .

Ora usiamo l'equazione y - y 1 = K(X - X 1) un fascio di rette. Punto UN(2, 5), attraverso la quale passa la retta, ci è nota, e quindi, sostituendo nell'equazione della matita delle rette y - y 1 = K(X - X 1) valori, otteniamo

o dopo semplificazioni 3 X - 4y+ 14 = 0, cioè lo stesso di prima.

Trova le equazioni delle rette passanti per un puntoUN (3, 4) a 60 gradi rispetto alla linea 2X + 3 y + 6 = 0.

Soluzione.

Per risolvere il problema, dobbiamo determinare le pendenze delle linee I e II (vedi figura). Indichiamo questi coefficienti, rispettivamente, con K 1 e K 2 e la pendenza di questa retta passante K. È ovvio che.

Sulla base della definizione dell'angolo tra due rette, quando si determina l'angolo tra una data retta e una retta, seguo il numeratore di una frazione nella formula

sottrarre la pendenza della retta data, poiché deve essere ruotata in senso antiorario attorno al punto C fino a coincidere con la linea I.

Considerato questo, otteniamo

Quando si determina l'angolo tra la retta II e una data retta, si dovrebbe sottrarre la pendenza della retta II al numeratore della stessa frazione, cioè K 2 , poiché la linea II deve essere ruotata in senso antiorario attorno al punto B fino a coincidere con questa riga:

Trova l'equazione di una retta passante per un puntoUN (5, -1) perpendicolare alla retta 3X - 7 y + 14 = 0.

Soluzione.

Se due righe

UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0, UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0

sono perpendicolari, quindi l'uguaglianza

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0,

oppure, che è lo stesso,

UN 1 UN 2 = -B 1 B 2 ,

e quindi ne consegue

Il significato generale di queste espressioni sarà indicato da t.

Quindi, da cui ne consegue

UN 2 = B 1 t, B 2 = -UN 1 t.

Sostituendo questi valori UN 2 e B 2 e l'equazione della seconda retta, otteniamo

B 1 tx - UN 1 ty + C 2 = 0.

o dividendo per t entrambi i lati dell'uguaglianza, avremo

Confrontando l'equazione risultante con l'equazione della prima retta

UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

notare che hanno coefficienti a X e y cambiato posto, e il segno tra il primo e il secondo termine è cambiato al contrario, mentre i termini liberi sono diversi.

Iniziamo ora a risolvere il problema. Volendo scrivere l'equazione di una retta perpendicolare ad una retta 3 X - 7y+ 14 = 0, in base alla conclusione di cui sopra, procediamo come segue: scambiamo i coefficienti a X e y, e il segno meno tra di loro è sostituito da un segno più, il termine libero è indicato dalla lettera C. Prendiamo 7 X + 3y + C= 0. Questa equazione è l'equazione di una famiglia di rette perpendicolari alla retta 3 X - 7y+ 14 = 0. Definisci C dalla condizione che la retta desiderata passi per il punto UN(5, -1). È noto che se una retta passa per un punto, le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione della retta. Sostituendo nell'ultima equazione 5 invece di X e -1 invece y, noi abbiamo

Questo valore C Sostituisci nell'ultima equazione e ottieni

7X + 3y - 32 = 0.

Risolviamo lo stesso problema in un modo diverso, usando l'equazione di una matita di linee

y - y 1 = K(X - X 1).

La pendenza di questa retta 3 X - 7y + 14 = 0

quindi la pendenza della linea perpendicolare ad essa,

Sostituendo nell'equazione di una matita di linee e invece di X 1 e y 1 coordinate del punto dato UN(5, -1), trova o 3 y + 3 = -7X+ 35 e infine 7 X + 3y- 32 = 0, cioè lo stesso di prima.

Equazioni le curve sono abbondanti leggendo la letteratura economica, segnaliamo alcune di queste curve.

curva di indifferenza - una curva che mostra varie combinazioni di due prodotti che hanno lo stesso valore per il consumatore, o utilità, per il consumatore.

Curva del budget dei consumatori è una curva che mostra le diverse combinazioni di quantità di due beni che un consumatore può acquistare a un determinato livello del suo reddito monetario.

Curva di possibilità di produzione - una curva che mostra le varie combinazioni di due beni o servizi che possono essere prodotti a piena occupazione e piena produzione in un'economia con scorte costanti di risorse e tecnologia invariata.

Curva della domanda di investimenti - una curva che mostra la dinamica del tasso di interesse e il volume degli investimenti a diversi tassi di interesse.

curva di Phillips- una curva che mostra l'esistenza di una relazione stabile tra il tasso di disoccupazione e il tasso di inflazione.

Curva di Laffer- una curva che mostra il rapporto tra aliquote fiscali e gettito fiscale, rivelando tale aliquota alla quale le entrate fiscali raggiungono il massimo.

Anche una semplice enumerazione di termini mostra quanto sia importante per gli economisti essere in grado di costruire grafici e analizzare le equazioni delle curve, che sono rette e curve del secondo ordine: un cerchio, un'ellisse, un'iperbole, una parabola. Inoltre, quando si risolvono un'ampia classe di problemi, è necessario selezionare un'area del piano delimitata da alcune curve le cui equazioni sono date, il più delle volte questi problemi sono formulati come segue: trovare il miglior piano di produzione per determinate risorse. L'assegnazione delle risorse assume solitamente la forma di disuguaglianze, le cui equazioni sono fornite. Pertanto, bisogna cercare i valori più grandi o più piccoli presi da qualche funzione nella regione specificata dalle equazioni del sistema delle disuguaglianze.

Nella geometria analitica linea sull'aereoè definito come l'insieme di punti le cui coordinate soddisfano l'equazione F(x,y)=0. In questo caso, le restrizioni devono essere imposte alla funzione F in modo che, da un lato, questa equazione abbia un insieme infinito di soluzioni e, dall'altro, in modo che questo insieme di soluzioni non riempia un "pezzo del piano ”. Una classe importante di rette sono quelle per cui la funzione F(x,y) è un polinomio in due variabili, nel qual caso viene chiamata la retta definita dall'equazione F(x,y)=0 algebrico. Le rette algebriche date dall'equazione di primo grado sono rette. Un'equazione di secondo grado, che ha un numero infinito di soluzioni, definisce un'ellisse, un'iperbole, una parabola o una retta che si divide in due rette.

Sia dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano. Una retta su un piano può essere data da una delle equazioni:

dieci . Equazione generale di una retta

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vettore n(А,В) è ortogonale ad una retta, i numeri A e B non sono contemporaneamente uguali a zero.

venti . Equazione di linea con pendenza

y - y o = k (x - x o), (2.2)

dove k è la pendenza della retta, cioè k = tg a , dove a - il valore dell'angolo formato dalla retta con l'asse Оx, M (x o , y o) - un punto appartenente alla retta.

L'equazione (2.2) assume la forma y = kx + b se M (0, b) è il punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

trenta. Equazione di una retta in segmenti

x/a + y/b = 1, (2.3)

dove a e b sono i valori dei segmenti tagliati da una retta sugli assi delle coordinate.

40. L'equazione di una retta passante per due punti dati è A(x 1 , y 1) e B(x 2 , y 2):

. (2.4)

cinquanta. Equazione di una retta passante per un dato punto A(x 1 , y 1) parallela a un dato vettore un(m, n)

. (2.5)

60. Equazione normale di una retta

rn o - p = 0, (2.6)

dove rè il raggio di un punto arbitrario M(x, y) di questa retta, n o è un vettore unitario ortogonale a questa retta e diretto dall'origine alla retta; p è la distanza dall'origine alla retta.

Normale in forma coordinata ha la forma:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

dove un - il valore dell'angolo formato da una retta con l'asse x.

L'equazione di una matita di rette centrata nel punto A (x 1, y 1) ha la forma:

y-y 1 = l (x-x 1),

dove l è il parametro del raggio. Se la trave è data da due rette che si intersecano A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, allora la sua equazione ha la forma:

l (LA 1 x + B 1 y + C 1) + m (LA 2 x + B 2 y + C 2)=0,

dove l e m sono i parametri del raggio che non passano a 0 contemporaneamente.

L'angolo tra le linee y \u003d kx + b e y \u003d k 1 x + b 1 è dato dalla formula:

tg j = .

L'uguaglianza 1 + k 1 k = 0 è una condizione necessaria e sufficiente affinché le rette siano perpendicolari.

Per fare due equazioni

UN 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

UN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

posta la stessa retta, è necessario e sufficiente che i loro coefficienti siano proporzionali:

LA 1 / LA 2 = LA 1 / LA 2 = LA 1 / LA 2.

Le equazioni (2.7), (2.8) definiscono due diverse rette parallele se A 1 /A 2 = B 1 /B 2 e B 1 /B 2¹ C 1 / C 2; le linee si intersecano se A 1 /A 2¹B1/B2.

La distanza d dal punto M o (x o, y o) alla retta è la lunghezza della perpendicolare tracciata dal punto M o alla retta. Se la retta è data da un'equazione normale, allora d =ê r di n o - rê , dove r o è il vettore raggio del punto M o o, in forma di coordinate, d =ê x o cos a + yo sin a - r ê .

L'equazione generale della curva del secondo ordine ha la forma

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Si assume che tra i coefficienti dell'equazione a 11 , a 12 , a 22 vi siano diversi da zero.

L'equazione di una circonferenza centrata nel punto C(a, b) e con raggio uguale a R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Ellissesi chiama il luogo dei punti, la cui somma delle distanze da due punti dati F 1 e F 2 (fuochi) è un valore costante pari a 2a.

Equazione canonica (più semplice) di un'ellisse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

L'ellisse data dall'equazione (2.10) è simmetrica rispetto agli assi delle coordinate. Opzioni un e b chiamato semiassi ellisse.

Sia a>b, allora i fuochi F 1 e F 2 sono sull'asse Ox a distanza
c= dall'origine. Rapporto c/a = e < 1 называется eccentricità ellisse. Le distanze dal punto M(x, y) dell'ellisse ai suoi fuochi (vettori raggio focale) sono determinate dalle formule:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Se una< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Se a = b, allora l'ellisse è una circonferenza centrata all'origine del raggio un.

Iperbolesi chiama il luogo dei punti, la cui differenza delle distanze da due punti dati F 1 e F 2 (foci) è uguale in valore assoluto al numero dato 2a.

Equazione canonica di un'iperbole

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

L'iperbole data dall'equazione (2.11) è simmetrica rispetto agli assi delle coordinate. Interseca l'asse Ox nei punti A (a,0) e A (-a,0) - i vertici dell'iperbole e non interseca l'asse Oy. Parametro un chiamato semiasse reale, b -asse immaginario. Il parametro c= è la distanza dal fuoco all'origine. Rapporto c/a = e >1 viene chiamato eccentricità iperbole. Rette le cui equazioni y =± b/a x vengono chiamati asintoti iperbole. Le distanze dal punto M(x,y) dell'iperbole ai suoi fuochi (vettori raggio focale) sono determinate dalle formule:

r 1 = ê e X - un ê , r 2 = ê e X + un ê .

Si chiama un'iperbole con a = b equilatero, la sua equazione x 2 - y 2 \u003d a 2 e l'equazione degli asintoti y \u003d± X. Iperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 e
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 vengono chiamati coniugato.

parabolaè il luogo dei punti equidistanti da un dato punto (fuoco) e da una data retta (direttrice).

L'equazione canonica di una parabola ha due forme:

1) y 2 \u003d 2px: la parabola è simmetrica rispetto all'asse Ox.

2) x 2 \u003d 2py: la parabola è simmetrica rispetto all'asse Oy.

In entrambi i casi p>0 e il vertice della parabola, cioè il punto giacente sull'asse di simmetria, si trova all'origine.

Una parabola la cui equazione y 2 = 2рx ha fuoco F(р/2,0) e direttrice x = - р/2, vettore raggio focale del punto M(x, y) su di essa r = x+ р/2.

La parabola la cui equazione x 2 =2py ha fuoco F(0, p/2) e direttrice y = - p/2; il vettore del raggio focale del punto M(x, y) della parabola è r = y + p/2.

L'equazione F(x, y) = 0 definisce una retta che divide il piano in due o più parti. In una di queste parti, la disuguaglianza F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. In altre parole, la linea
F(x, y)=0 separa la parte del piano in cui F(x, y)>0 dalla parte del piano in cui F(x, y)<0.

La retta, la cui equazione è Ax+By+C = 0, divide il piano in due semipiani. In pratica per scoprire in quale semipiano abbiamo Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, applica il metodo del punto di interruzione. Per fare ciò, prendi un punto di controllo (ovviamente, non giacente su una retta, la cui equazione è Ax + By + C = 0) e controlla quale segno ha l'espressione Ax + By + C a questo punto. Lo stesso segno ha l'espressione indicata nell'intero semipiano in cui giace il punto di controllo. Nel secondo semipiano Ax+By+C ha segno opposto.

Le disuguaglianze non lineari con due incognite si risolvono allo stesso modo.

Ad esempio, risolviamo la disuguaglianza x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Può essere riscritta come (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

L'equazione (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definisce un cerchio con centro nel punto C(2,-3) e raggio 5. Il cerchio divide il piano in due parti - interno ed esterno. Per scoprire in quale di esse si verifica questa disuguaglianza, prendiamo un punto di controllo nella regione interna, ad esempio il centro C(2,-3) del nostro cerchio. Sostituendo le coordinate del punto C nel lato sinistro della disuguaglianza, otteniamo un numero negativo -25. Quindi, in tutti i punti che si trovano all'interno del cerchio, la disuguaglianza
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Esempio 1.5.Componi le equazioni delle rette passanti per il punto A(3,1) e inclinate alla retta 2x+3y-1 = 0 di un angolo di 45°.

Soluzione.Cercheremo nella forma y=kx+b. Poiché la retta passa per il punto A, le sue coordinate soddisfano l'equazione della retta, cioè 1=3k+b,Þ b=1-3k. Angolo tra le linee
y= k 1 x+b 1 e y= kx+b è definito dalla formula tg j = . Poiché la pendenza k 1 della retta originale 2x+3y-1=0 è - 2/3 e l'angolo j = 45 o , allora abbiamo un'equazione per determinare k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3 k) = 1 o (2/3 + k)/(1 - 2/3 k) = -1.

Abbiamo due valori di k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Trovando i valori corrispondenti di b con la formula b=1-3k, otteniamo due linee desiderate, le cui equazioni sono: x - 5y + 2 = 0 e
5x + y - 16 = 0.

Esempio 1.6. A quale valore del parametro t rette le cui equazioni 3tx-8y+1 = 0 e (1+t)x-2ty = 0 sono parallele?

Soluzione.Le rette date dalle equazioni generali sono parallele se i coefficienti a X e y proporzionale, cioè 3t/(1+t) = -8/(-2t). Risolvendo l'equazione risultante, troviamo t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Esempio 1.7. Trova l'equazione della corda comune di due cerchi:
x 2 +y 2 =10 e x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Soluzione.Trova i punti di intersezione dei cerchi, per questo risolviamo il sistema di equazioni:

.

Risolvendo la prima equazione, troviamo i valori x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Dalla seconda equazione: i valori corrispondenti y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Ora otteniamo l'equazione di un accordo comune, conoscendo due punti A (3,1) e B (1,3) appartenenti a questa linea: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), oppure y+ x - 4 = 0.

Esempio 1.8. Come si trovano i punti sul piano le cui coordinate soddisfano le condizioni (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >si?

Soluzione.La prima disuguaglianza del sistema definisce l'interno del cerchio, escluso il confine, cioè cerchio di centro nel punto (3,3) e raggio . La seconda disuguaglianza definisce un semipiano definito da una retta la cui equazione è x = y, e, poiché la disuguaglianza è stretta, i punti della retta stessa non appartengono al semipiano e tutti i punti al di sotto di questa retta la linea appartiene al semipiano. Poiché stiamo cercando punti che soddisfino entrambe le disuguaglianze, l'area desiderata è l'interno del semicerchio.

Esempio 1.9.Calcola la lunghezza del lato di un quadrato inscritto in un'ellisse la cui equazione è x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Soluzione.Permettere M(s, s)- il vertice del quadrato, giacente nel primo quarto. Quindi il lato del quadrato sarà 2 Insieme a. Perché punto M appartiene all'ellisse, le sue coordinate soddisfano l'equazione dell'ellisse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, da cui
c = ab/ ; quindi il lato del quadrato è 2ab/ .

Esempio 1.10.Conoscere l'equazione degli asintoti dell'iperbole y =± 0,5 x e uno dei suoi punti M (12, 3), tracciare l'equazione di un'iperbole.

Soluzione.Scriviamo l'equazione canonica dell'iperbole: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Gli asintoti dell'iperbole sono dati dalle equazioni y =± 0,5 x, quindi b/a = 1/2, quindi a=2b. Perché il M- punto dell'iperbole, quindi le sue coordinate soddisfano l'equazione dell'iperbole, cioè 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Dato che a = 2b, troviamo b: b 2 =9Þ b=3 e a=6. Allora l'equazione dell'iperbole è x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Esempio 1.11.Calcola la lunghezza del lato di un triangolo regolare ABC inscritto in una parabola con parametro R, supponendo che il punto A coincida con il vertice della parabola.

Soluzione.L'equazione canonica di una parabola con un parametro R ha la forma y 2 = 2ðx, il suo vertice coincide con l'origine e la parabola è simmetrica rispetto all'asse x. Poiché la retta AB forma un angolo di 30° con l'asse Ox, l'equazione della retta è: y = x. molti grafici

Pertanto, possiamo trovare le coordinate del punto B risolvendo il sistema di equazioni y 2 =2px, y = x, da cui x = 6p, y = 2p. Quindi, la distanza tra i punti A(0,0) e B(6p,2p) è 4p.