Eniten ekv. Käytännössä on käytettävä aritmeettista keskiarvoa, joka voidaan laskea yksinkertaisena ja painotettuna aritmeettisena keskiarvona.

Aritmeettinen keskiarvo (CA)-n yleisin mediatyyppi. Sitä käytetään tapauksissa, joissa muuttujan määritteen määrä koko populaatiolle on sen yksittäisten yksiköiden attribuuttien arvojen summa. Yhteiskunnallisille ilmiöille on ominaista vaihtelevan attribuutin volyymien additiivisuus (summaus), joka määrittää SA:n laajuuden ja selittää sen yleisyyden yleistävänä indikaattorina, esimerkiksi: yleinen palkkarahasto on kaikkien työntekijöiden palkkojen summa.

SA:n laskemiseksi sinun on jaettava kaikkien ominaisuuden arvojen summa niiden lukumäärällä. SA:ta käytetään kahdessa muodossa.

Harkitse ensin yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa.

1-CA yksinkertainen (alkuperäinen, määrittävä muoto) on yhtä suuri kuin keskiarvotetun ominaisuuden yksittäisten arvojen yksinkertainen summa jaettuna näiden arvojen kokonaismäärällä (käytetään, kun ominaisuudella on ryhmittämättömiä indeksiarvoja):

Tehdyt laskelmat voidaan tiivistää seuraavaan kaavaan:

(1)

Missä - muuttujan attribuutin keskiarvo, eli yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo;

tarkoittaa summausta, eli yksittäisten piirteiden lisäämistä;

x- muuttujan attribuutin yksittäiset arvot, joita kutsutaan varianteiksi;

n - väestöyksiköiden lukumäärä

Esimerkki1, vaaditaan yhden työntekijän (lukkosepän) keskimääräinen tuotos, jos tiedetään kuinka monta osaa kukin 15 työntekijästä tuotti, ts. annettu luku ind. ominaisuusarvot, kpl: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA simple lasketaan kaavalla (1), kpl:

Esimerkki2. Lasketaan SA ehdollisten tietojen perusteella 20 kauppayhtiöön kuuluvalle liikkeelle (taulukko 1). pöytä 1

Kauppayhtiö "Vesna" myymälöiden jakautuminen kauppa-alueittain, neliö M

myymälän numero		myymälän numero

Keskimääräisen kaupan pinta-alan laskemiseksi ( ) on tarpeen laskea yhteen kaikkien myymälöiden pinta-alat ja jakaa tulos myymälöiden lukumäärällä:

Tämän kaupan yritysryhmän keskimääräinen myymäläpinta-ala on siis 71 neliömetriä.

Siksi SA:n yksinkertaisuuden määrittämiseksi on tarpeen jakaa tietyn attribuutin kaikkien arvojen summa niiden yksiköiden lukumäärällä, joilla on tämä attribuutti.

2

Missä f 1 , f 2 , … ,f n – paino (samojen piirteiden toistotiheys);

on piirteiden suuruuden ja niiden taajuuksien tulojen summa;

on väestöyksiköiden kokonaismäärä.

- SA painotettu - Kanssa vaihtoehtojen keskikohta, jotka toistetaan eri monta kertaa tai joiden sanotaan olevan eri painoisia. Painot ovat yksiköiden lukumäärää eri ryhmiä aggregaatit (samat vaihtoehdot yhdistetään ryhmään). SA painotettu – ryhmiteltyjen arvojen keskiarvo x 1 , x 2 , .., x n – laskettu: (2)

Missä X- vaihtoehdot;

f- taajuus (paino).

SA painotettu on muunnelmien tulojen ja niitä vastaavien taajuuksien summan jakaminen kaikkien taajuuksien summalla. Taajuudet ( f SA-kaavassa esiintyviä ) kutsutaan yleensä vaa'at, jonka seurauksena painot huomioiden laskettua SA:ta kutsutaan painotetuksi SA:ksi.

Havainnollistetaan painotetun SA:n laskentatekniikkaa käyttämällä yllä olevaa esimerkkiä 1. Tätä varten ryhmitämme lähtötiedot ja sijoitamme ne taulukkoon.

Ryhmiteltyjen tietojen keskiarvo määritetään seuraavasti: ensin variantit kerrotaan taajuuksilla, sitten tulot lasketaan yhteen ja saatu summa jaetaan taajuuksien summalla.

Kaavan (2) mukaan painotettu SA on, kpl:

Työntekijöiden jakelu osien kehittämiseen

P

edellisessä esimerkissä 2 annetut tiedot voidaan yhdistää homogeenisiin ryhmiin, jotka on esitetty taulukossa. Pöytä

Vesna-myymälöiden jakautuminen liiketilojen mukaan, neliö m

Tulos on siis sama. Tämä on kuitenkin jo aritmeettinen painotettu keskiarvo.

Edellisessä esimerkissä laskettiin aritmeettinen keskiarvo, mikäli absoluuttiset taajuudet (myymälöiden lukumäärä) tunnetaan. Joissakin tapauksissa ei kuitenkaan ole olemassa absoluuttisia taajuuksia, vaan suhteelliset taajuudet tunnetaan, tai kuten niitä yleisesti kutsutaan taajuudet, jotka osoittavat osuuden tai taajuuksien osuus koko väestöstä.

Laskettaessa SA-painotettua käyttöä taajuuksia mahdollistaa laskelmien yksinkertaistamisen, kun taajuus ilmaistaan ​​suurilla moninumeroisilla luvuilla. Laskenta tehdään samalla tavalla, mutta koska keskiarvo kasvaa 100 kertaa, tulos tulee jakaa 100:lla.

Sitten aritmeettisen painotetun keskiarvon kaava näyttää tältä:

Missä d– taajuus, eli kunkin taajuuden osuus kaikkien taajuuksien kokonaissummasta.

(3)

Esimerkissämme 2 määritämme ensin myymälöiden osuuden ryhmittäin yrityksen "Kevät" myymälöiden kokonaismäärästä. Joten ensimmäisen ryhmän ominaispaino vastaa 10 %
. Saamme seuraavat tiedot Taulukko 3

Valmistautuaksesi osan 3 tehtävän 19 onnistuneeseen suorittamiseen, sinun on tunnettava joitain Excelin toimintoja. Yksi näistä toiminnoista on KESKIVERTO. Tarkastellaanpa sitä tarkemmin.

excel voit löytää argumenttien aritmeettisen keskiarvon. Tämän funktion syntaksi on:

KESKIARVO(numero1, [numero2],…)

Älä unohda, että kaavan syöttäminen soluun alkaa "="-merkillä.

Suluissa voimme luetella luvut, joiden keskiarvon haluamme löytää. Esimerkiksi jos kirjoitamme soluun =KESKIARVO(1, 2, -7, 10, 7, 5, 9), niin saamme 3,857142857. Tämä on helppo tarkistaa - jos lisäämme kaikki suluissa olevat luvut (1 + 2 + (-7) + 10 + 7 + 5 + 9 = 27) ja jaamme niiden lukumäärällä (7), saamme 3,857142857142857.

Huomaa suluissa olevat numerot erotettu puolipisteellä (; ). Siten voimme määrittää jopa 255 numeroa.

Käytän esimerkiksi Microsort Excel 2010:tä.

Lisäksi avustuksella AVERAGE toiminnot voimme löytää solualueen keskiarvo. Oletetaan, että meillä on joitain lukuja tallennettuna alueelle A1:A7, ja haluamme löytää niiden aritmeettisen keskiarvon.

Laitetaan soluun B1 alueen A1:A7 aritmeettinen keskiarvo. Voit tehdä tämän asettamalla kohdistimen soluun B1 ja kirjoittamalla =KESKIARVO(A1:A7). Suluissa ilmoitin solualueen. Huomaa, että erotin on merkki kaksoispiste (: ). Se olisi vielä helpompi tehdä - kirjoita soluun B1 =keskiarvo( ja valitse sitten haluamasi alue hiirellä.

Seurauksena on, että solussa B1 saadaan numero 15.85714286 - tämä on alueen A1:A7 aritmeettinen keskiarvo.

Lämmittelynä ehdotan numeroiden keskiarvon löytämistä 1-100 (1, 2, 3 jne. 100:aan). Ensimmäinen oikein kommenteissa vastannut saa 50 ruplaa puhelimeen Työskentelemme.

Aritmeettisen keskiarvon käsite tarkoittaa tulosta etukäteen määritetyn lukusarjan keskiarvon yksinkertaisesta laskusarjasta. On huomattava, että tätä arvoa käyttävät tällä hetkellä laajalti useiden teollisuudenalojen asiantuntijat. Esimerkiksi kaavat tunnetaan, kun taloustieteilijät tai tilastoalan työntekijät tekevät laskelmia, joissa vaaditaan tämäntyyppinen arvo. Lisäksi tätä indikaattoria käytetään aktiivisesti useilla muilla edellä mainittuihin liittyvillä toimialoilla.

Yksi tämän arvon laskemisen ominaisuuksista on menettelyn yksinkertaisuus. Suorita laskelmat kuka tahansa voi. Tätä varten sinulla ei tarvitse olla erityis opetus. Usein tietotekniikkaa ei tarvitse käyttää.

Vastauksena kysymykseen aritmeettisen keskiarvon löytämisestä harkitse useita tilanteita.

Yksinkertaisin tapa laskea tämä arvo on laskea se kahdelle numerolle. Laskentamenettely tässä tapauksessa on hyvin yksinkertainen:

1. Aluksi on suoritettava valittujen numeroiden lisääminen. Tämä voidaan usein tehdä, kuten sanotaan, manuaalisesti ilman elektronisia laitteita.
2. Kun lisäys on tehty ja sen tulos on saatu, on tarpeen jakaa. Tämä toimenpide sisältää kahden lisätyn luvun summan jakamisen kahdella - lisättyjen numeroiden määrällä. Tämän toiminnon avulla voit saada vaaditun arvon.

Kaava

Siten kaava vaaditun arvon laskemiseksi kahden tapauksessa näyttää tältä:

(A+B)/2

Tämä kaava käyttää seuraavaa merkintää:

A ja B ovat esivalittuja numeroita, joille sinun on löydettävä arvo.

Kolmen arvon löytäminen

Tämän arvon laskeminen tilanteessa, jossa valitaan kolme numeroa, ei eroa paljon edellisestä vaihtoehdosta:

1. Voit tehdä tämän valitsemalla laskennassa tarvittavat luvut ja lisäämällä ne saadaksesi loppusumman.
2. Kun tämä summa kolme on löydetty, jakotoimenpide on suoritettava uudelleen. Tässä tapauksessa tuloksena saatu määrä on jaettava kolmella, mikä vastaa valittujen numeroiden määrää.

Kaava

Näin ollen aritmeettista kolmea laskettaessa tarvittava kaava näyttää tältä:

(A+B+C)/3

Tässä kaavassa on otettu käyttöön seuraava merkintä:

A, B ja C ovat lukuja, joiden aritmeettinen keskiarvo on löydettävä.

Neljän aritmeettisen keskiarvon laskeminen

Kuten on jo nähty analogisesti edellisten vaihtoehtojen kanssa, tämän arvon laskeminen summalle, joka on yhtä suuri, on seuraavassa järjestyksessä:

1. Valitaan neljä numeroa, joiden aritmeettinen keskiarvo lasketaan. Seuraavaksi suoritetaan summaus ja tämän menettelyn lopputuloksen löytäminen.
2. Nyt lopputuloksen saamiseksi sinun tulee ottaa tuloksena saatu neljän summa ja jakaa se neljällä. Vastaanotetut tiedot ovat vaadittua arvoa.

Kaava

Yllä kuvatusta toimintosarjasta neljän aritmeettisen keskiarvon löytämiseksi saat seuraavan kaavan:

(A+B+C+E)/4

Tässä kaavassa muuttujilla on seuraava merkitys:

A, B, C ja E ovat niitä, joille sinun on löydettävä aritmeettisen keskiarvon arvo.

Tämän kaavan avulla on aina mahdollista laskea vaadittu arvo tietylle määrälle numeroita.

Viiden aritmeettisen keskiarvon laskeminen

Tämän toiminnon suorittaminen vaatii tietyn toimintoalgoritmin.

1. Ensinnäkin sinun on valittava viisi numeroa, joiden aritmeettinen keskiarvo lasketaan. Tämän valinnan jälkeen nämä luvut, kuten edellisissäkin vaihtoehdoissa, sinun tarvitsee vain laskea yhteen ja saada lopullinen summa.
2. Tuloksena oleva määrä on jaettava niiden lukumäärällä viidellä, mikä antaa sinun saada vaaditun arvon.

Kaava

Näin ollen, kuten aiemmin tarkastelut vaihtoehdot, saamme seuraavan kaavan aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi:

(A+B+C+E+P)/5

Tässä kaavassa muuttujilla on seuraava merkintä:

A, B, C, E ja P ovat lukuja, joille haluat saada aritmeettisen keskiarvon.

Universaali laskentakaava

Tarkastuksen suorittaminen erilaisia ​​vaihtoehtoja kaavat laskea aritmeettinen keskiarvo, voit kiinnittää huomiota siihen, että niillä on yhteinen kuvio.

Siksi on käytännöllisempää soveltaa yleistä kaavaa aritmeettisen keskiarvon löytämiseen. Loppujen lopuksi on tilanteita, joissa laskelmien määrä ja koko voivat olla hyvin suuria. Siksi olisi viisaampaa käyttää yleistä kaavaa eikä päätellä joka kerta yksittäistä tekniikkaa tämän arvon laskemiseksi.

Tärkeintä kaavan määrittämisessä on aritmeettisen keskiarvon laskemisen periaate O.

Tämä periaate, kuten yllä olevista esimerkeistä nähtiin, näyttää tältä:

1. Vaaditun arvon saamiseksi määritettyjen numeroiden määrä lasketaan. Tämä toiminto voidaan suorittaa sekä manuaalisesti pienellä määrällä numeroita että tietokonetekniikan avulla.
2. Valitut luvut lasketaan yhteen. Tämä toiminto suoritetaan useimmissa tilanteissa tietokonetekniikalla, koska numerot voivat koostua kahdesta, kolmesta tai useammasta numerosta.
3. Valitut numerot lisäämällä saatu summa on jaettava niiden lukumäärällä. Tämä arvo määritetään aritmeettisen keskiarvon laskemisen alkuvaiheessa.

Näin ollen yleinen kaava valittujen lukujen sarjan aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi näyttää tältä:

(А+В+…+N)/N

Tämä kaava sisältää seuraavat muuttujat:

A ja B ovat numeroita, jotka valitaan etukäteen niiden aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi.

N on niiden numeroiden lukumäärä, jotka on otettu vaaditun arvon laskemiseksi.

Korvaamalla valitut luvut tähän kaavaan joka kerta, voimme aina saada vaaditun aritmeettisen keskiarvon arvon.

Nähtynä, aritmeettisen keskiarvon löytäminen on helppo toimenpide. Laskelmissa on kuitenkin oltava tarkkaavainen ja tarkistettava saatu tulos. Tämä lähestymistapa selittyy sillä, että jopa yksinkertaisimmissa tilanteissa on mahdollista saada virhe, joka voi sitten vaikuttaa tuleviin laskelmiin. Tässä suhteessa on suositeltavaa käyttää tietokonetekniikkaa, joka pystyy tekemään kaiken monimutkaisia ​​laskelmia.

Yleisin keskiarvotyyppi on aritmeettinen keskiarvo.

yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo on keskimääräinen termi, jonka määrittämisessä tietyn attribuutin kokonaismäärä tiedoissa jakautuu tasaisesti kaikkien tähän populaatioon sisältyvien yksiköiden kesken. Siten keskimääräinen vuosituotanto työntekijää kohti on sellainen tuotantovolyymin arvo, joka kuuluisi jokaiselle työntekijälle, jos koko tuotantomäärä jakautuisi tasaisesti kaikkien organisaation työntekijöiden kesken. Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaavalla:

yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo— yhtä suuri kuin ominaisuuden yksittäisten arvojen summan suhde aggregaatissa olevien ominaisuuksien lukumäärään

Esimerkki 1 . 6 työntekijän ryhmä saa 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tuhatta ruplaa kuukaudessa.

Etsi keskipalkka
Ratkaisu: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tuhatta ruplaa.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo

Jos tietojoukon tilavuus on suuri ja edustaa jakaumasarjaa, lasketaan painotettu aritmeettinen keskiarvo. Näin määritetään painotettu keskihinta tuotantoyksikköä kohti: tuotannon kokonaiskustannus (sen määrän tuotteiden summa ja tuotantoyksikön hinta) jaetaan tuotannon kokonaismäärällä.

Esitämme tämän seuraavan kaavan muodossa:

Painotettu aritmeettinen keskiarvo- on yhtä suuri kuin suhde (attribuutin arvon tulojen summa tämän attribuutin toistotiheyteen) ja (kaikkien attribuuttien frekvenssien summa). useita kertoja.

Esimerkki 2 . Etsi myymälän työntekijöiden keskipalkat kuukaudessa

Keskipalkka saadaan jakamalla kokonaissumma palkat työntekijöiden kokonaismäärälle:

Vastaus: 3,35 tuhatta ruplaa.

Intervallisarjan aritmeettinen keskiarvo

Laskettaessa intervallivaihtelusarjan aritmeettista keskiarvoa kunkin intervallin keskiarvo määritetään ensin ylä- ja alarajan puolisummana ja sitten koko sarjan keskiarvona. Avointen intervallien tapauksessa alemman tai ylemmän välin arvo määräytyy niiden vieressä olevien intervallien arvon mukaan.

Intervallisarjoista lasketut keskiarvot ovat likimääräisiä.

Esimerkki 3. Määritä iltaosaston opiskelijoiden keski-ikä.

Intervallisarjoista lasketut keskiarvot ovat likimääräisiä. Niiden approksimaatioaste riippuu siitä, missä määrin populaatioyksiköiden todellinen jakautuminen intervallin sisällä lähestyy tasaista.

Keskiarvoja laskettaessa painoina voidaan käyttää paitsi absoluuttisia myös suhteellisia arvoja (taajuutta):

Aritmeettisella keskiarvolla on useita ominaisuuksia, jotka paljastavat täydellisemmin sen olemuksen ja yksinkertaistavat laskentaa:

1. Keskiarvon ja taajuuksien summan tulo on aina yhtä suuri kuin muunnelman ja taajuuksien tulojen summa, ts.

2. Vaihtelevien suureiden summan aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin näiden suureiden aritmeettisten keskiarvojen summa:

3. Attribuutin yksittäisten arvojen poikkeamien algebrallinen summa keskiarvosta on nolla:

4. Optioiden keskiarvon neliöpoikkeamien summa on pienempi kuin minkä tahansa muun mielivaltaisen arvon neliöityjen poikkeamien summa, ts.

Oletetaan, että sinun on löydettävä päivien keskimääräinen määrä tehtävien suorittamiseksi eri työntekijöiden kesken. Tai haluat laskea ajanjakson 10 vuotta Keskilämpötila tiettynä päivänä. Lukusarjan keskiarvon laskeminen useilla tavoilla.

Keskiarvo on funktio keskusten trendistä, joka on tilastollisen jakauman lukusarjan keskus. Keskeisen trendin kolme yleisintä kriteeriä ovat.

Keskiverto Aritmeettinen keskiarvo lasketaan lisäämällä joukko lukuja ja jakamalla sitten näiden lukujen lukumäärä. Esimerkiksi keskiarvolla 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 on 30 jaettuna 6:lla, 5:llä;

Mediaani Numerosarjan keskimmäinen numero. Puolet luvuista on arvoja, jotka ovat suurempia kuin mediaani, ja puolet luvuista on arvoja, jotka ovat pienempiä kuin mediaani. Esimerkiksi 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 mediaani on 4.

tila Yleisimmin esiintyvä luku numeroryhmässä. Esimerkiksi tilat 2, 3, 3, 5, 7 ja 10 - 3.

Nämä kolme lukusarjan symmetrisen jakauman keskeisen suuntauksen mittaa ovat yksi ja sama. Useiden lukujen epäsymmetrisessä jakaumassa ne voivat olla erilaisia.

Laske samassa rivissä tai sarakkeessa jatkuvasti sijaitsevien solujen keskiarvo

Tee seuraava.

Hajasolujen keskiarvon laskeminen

Suorita tämä tehtävä käyttämällä toimintoa KESKIVERTO. Kopioi alla oleva taulukko tyhjälle arkille.

Painotetun keskiarvon laskeminen

SUMMATUOTE Ja määriä. vTämä esimerkki laskee keskimääräisen yksikköhinnan, joka maksetaan kolmen oston ajalta, jolloin jokainen ostos on eri määrälle mittayksiköitä eri yksikköhinnoilla.

Kopioi alla oleva taulukko tyhjälle arkille.

Lukujen keskiarvon laskeminen nolla-arvot huomioimatta

Suorita tämä tehtävä käyttämällä toimintoja KESKIVERTO Ja Jos. Kopioi alla oleva taulukko ja muista, että tässä esimerkissä, jotta se olisi helpompi ymmärtää, kopioi se tyhjälle arkille.