Pagbuo ng isang aralin sa algebra sa ika-11 na klase ng profile

Ang aralin ay isinagawa ng guro ng matematika MBOU sekundaryong paaralan No. 6 Tupitsyna O.V.

Paksa at bilang ng aralin sa paksa:"Paglalapat ng ilang pagbabagong humahantong sa isang equation-consequence", aralin Blg. 7, 8 sa paksa: "Equation-consequence"

Paksa:Algebra at ang simula ng pagsusuri sa matematika - grade 11 (pagsasanay sa profile ayon sa aklat-aralin ni S.M. Nikolsky)

Uri ng aralin: "systematization at generalization ng kaalaman at kasanayan"

Uri ng aralin: workshop

Ang tungkulin ng guro: idirekta ang nagbibigay-malay na aktibidad ng mga mag-aaral upang bumuo ng kakayahang nakapag-iisa na mag-aplay ng kaalaman sa isang kumplikadong upang piliin ang nais na paraan o mga pamamaraan ng pagbabagong-anyo, na humahantong sa isang equation - isang kinahinatnan at aplikasyon ng pamamaraan sa paglutas ng equation, sa mga bagong kondisyon.

Mga kinakailangang teknikal na kagamitan:kagamitang multimedia, webcam.

Ang ginamit na aralin:

1. didactic learning model- paglikha ng isang problemang sitwasyon,
2. pedagogical na paraan- mga sheet na nagpapahiwatig ng mga module ng pagsasanay, isang seleksyon ng mga gawain para sa paglutas ng mga equation,
3. uri ng aktibidad ng mag-aaral- pangkat (mga grupo ay nabuo sa mga aralin - "mga pagtuklas" ng bagong kaalaman, mga aralin Blg. 1 at 2 mula sa mga mag-aaral na may iba't ibang antas ng pag-aaral at pagkatuto), pinagsamang o indibidwal na paglutas ng problema,
4. mga teknolohiyang pang-edukasyon na nakatuon sa personalidad: modular na pagsasanay, pag-aaral na nakabatay sa problema, mga paraan ng paghahanap at pananaliksik, kolektibong diyalogo, pamamaraan ng aktibidad, pagtatrabaho sa isang aklat-aralin at iba't ibang mga mapagkukunan,
5. mga teknolohiyang nagliligtas sa kalusugan- upang mapawi ang stress, isinasagawa ang pisikal na edukasyon,
6. kakayahan:

- pang-edukasyon at nagbibigay-malay sa pangunahing antas- alam ng mga mag-aaral ang konsepto ng isang equation - isang kahihinatnan, ang ugat ng isang equation at ang mga paraan ng pagbabagong-anyo na humahantong sa isang equation - isang kahihinatnan, ay maaaring mahanap ang mga ugat ng mga equation at maisagawa ang kanilang pag-verify sa isang produktibong antas;

- sa isang advanced na antas- Ang mga mag-aaral ay maaaring malutas ang mga equation gamit ang mga kilalang pamamaraan ng mga pagbabagong-anyo, suriin ang mga ugat ng mga equation gamit ang lugar ng masamang mga halaga ng mga equation; kalkulahin ang mga logarithm gamit ang mga katangiang nakabatay sa paggalugad; impormasyon - ang mga mag-aaral ay nakapag-iisa na maghanap, kunin at piliin ang impormasyong kinakailangan para sa paglutas ng mga problemang pang-edukasyon sa mga mapagkukunan ng iba't ibang uri.

Layunin ng didactic:

paglikha ng mga kondisyon para sa:

Pagbubuo ng mga ideya tungkol sa mga equation - mga kahihinatnan, mga ugat at pamamaraan ng pagbabago;

Pagbubuo ng karanasan ng paglikha ng kahulugan batay sa isang lohikal na kahihinatnan ng mga naunang pinag-aralan na pamamaraan ng pagbabago ng mga equation: pagtataas ng isang equation sa isang pantay na kapangyarihan, potentiating logarithmic equation, pagpapalaya ng isang equation mula sa mga denominator, nagdadala ng mga katulad na termino;

Pagsasama-sama ng mga kasanayan sa pagtukoy ng pagpili ng paraan ng pagbabago, higit pang paglutas ng equation at pagpili ng mga ugat ng equation;

Mastering ang mga kasanayan sa pagtatakda ng isang problema batay sa alam at natutunan na impormasyon, pagbuo ng mga kahilingan upang malaman kung ano ang hindi pa alam;

Pagbubuo ng mga interes ng nagbibigay-malay, intelektwal at malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral;

Pag-unlad ng lohikal na pag-iisip, malikhaing aktibidad ng mga mag-aaral, mga kasanayan sa proyekto, ang kakayahang ipahayag ang kanilang mga saloobin;

Pagbubuo ng isang pakiramdam ng pagpapaubaya, tulong sa isa't isa kapag nagtatrabaho sa isang grupo;

Paggising ng interes sa independiyenteng solusyon ng mga equation;

Mga gawain:

Ayusin ang pag-uulit at systematization ng kaalaman tungkol sa kung paano baguhin ang mga equation;

- upang matiyak ang karunungan ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at pagsuri sa kanilang mga ugat;

- upang itaguyod ang pagbuo ng analitikal at kritikal na pag-iisip ng mga mag-aaral; ihambing at piliin ang pinakamainam na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation;

- lumikha ng mga kondisyon para sa pagpapaunlad ng mga kasanayan sa pananaliksik, mga kasanayan sa pangkatang gawain;

Hikayatin ang mga mag-aaral na gamitin ang pinag-aralan na materyal upang maghanda para sa pagsusulit;

Suriin at suriin ang iyong gawain at ang gawain ng iyong mga kasama sa pagganap ng gawaing ito.

Mga nakaplanong resulta:

*personal:

Mga kasanayan sa pagtatakda ng isang gawain batay sa alam at natutunang impormasyon, pagbuo ng mga kahilingan upang malaman kung ano ang hindi pa alam;

Ang kakayahang pumili ng mga mapagkukunan ng impormasyon na kinakailangan upang malutas ang problema; pagbuo ng mga interes ng nagbibigay-malay, intelektwal at malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral;

Ang pag-unlad ng lohikal na pag-iisip, malikhaing aktibidad, ang kakayahang ipahayag ang mga saloobin ng isang tao, ang kakayahang bumuo ng mga argumento;

Pagsusuri sa sarili ng mga resulta ng pagganap;

Kasanayan sa pagtutulungan ng magkakasama;

*metasubject:

Ang kakayahang i-highlight ang pangunahing bagay, ihambing, i-generalize, gumuhit ng pagkakatulad, ilapat ang mga induktibong pamamaraan ng pangangatwiran, maglagay ng mga hypotheses sa paglutas ng mga equation,

Kakayahang bigyang-kahulugan at ilapat ang nakuhang kaalaman bilang paghahanda para sa pagsusulit;

*paksa:

Kaalaman tungkol sa kung paano baguhin ang mga equation,

Ang kakayahang magtatag ng isang pattern na nauugnay sa iba't ibang uri ng mga equation at gamitin ito sa paglutas at pagpili ng mga ugat,

Pagsasama-sama ng mga layunin ng aralin:

1. (para sa guro) Pagbubuo sa mga mag-aaral ng isang holistic na pagtingin sa mga paraan ng pagbabago ng mga equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito;
2. (para sa mga mag-aaral) Pag-unlad ng kakayahang mag-obserba, maghambing, mag-generalize, mag-analisa ng mga sitwasyong pangmatematika na nauugnay sa mga uri ng equation na naglalaman ng iba't ibang function. Paghahanda para sa pagsusulit.

Yugto I ng aralin:

Pag-update ng kaalaman upang madagdagan ang pagganyak sa larangan ng aplikasyon ng iba't ibang paraan ng pagbabago ng mga equation (input diagnostics)

Ang yugto ng pag-update ng kaalamanisinasagawa sa anyo ng isang pagsubok na gawain na may sariling pagsubok. Ang mga gawain sa pag-unlad ay iminungkahi, batay sa kaalaman na nakuha sa mga nakaraang aralin, na nangangailangan ng aktibong aktibidad sa pag-iisip mula sa mga mag-aaral at kinakailangan upang makumpleto ang gawain sa araling ito.

Trabaho sa pagpapatunay

1. Pumili ng mga equation na nangangailangan ng paghihigpit ng mga hindi alam sa hanay ng lahat ng tunay na numero:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Tukuyin ang hanay ng mga wastong halaga ng bawat equation kung saan may mga paghihigpit.

(3) Pumili ng isang halimbawa ng naturang equation, kung saan ang pagbabago ay maaaring maging sanhi ng pagkawala ng ugat (gamitin ang mga materyales ng nakaraang mga aralin sa paksang ito).

Sinusuri ng bawat isa ang mga sagot nang nakapag-iisa ayon sa mga handa na na naka-highlight sa screen. Ang pinakamahirap na gawain ay sinusuri at binibigyang pansin ng mga mag-aaral ang mga halimbawa a, c, g, h, kung saan umiiral ang mga paghihigpit.

Napagpasyahan na kapag nilulutas ang mga equation, kinakailangan upang matukoy ang saklaw ng mga halaga na pinapayagan ng equation o suriin ang mga ugat upang maiwasan ang mga extraneous na halaga. Ang mga naunang pinag-aralan na pamamaraan ng pagbabago ng mga equation na humahantong sa isang equation - isang resulta ay paulit-ulit. Ibig sabihin, ang mga mag-aaral ay naudyukan na maghanap ng tamang paraan upang malutas ang equation na iminungkahi nila sa karagdagang gawain.

II yugto ng aralin:

Praktikal na aplikasyon ng kanilang kaalaman, kasanayan at kakayahan sa paglutas ng mga equation.

Ang mga grupo ay binibigyan ng mga sheet na may isang module na pinagsama-sama sa mga isyu ng paksang ito. Kasama sa modyul ang limang elemento ng pagkatuto, na ang bawat isa ay naglalayong magsagawa ng ilang mga gawain. Ang mga mag-aaral na may iba't ibang antas ng pag-aaral at pagkatuto ay nakapag-iisa na tinutukoy ang saklaw ng kanilang mga aktibidad sa aralin, ngunit dahil ang lahat ay nagtatrabaho sa mga grupo, mayroong isang tuluy-tuloy na proseso ng pagsasaayos ng kaalaman at kasanayan, na hinihila ang mga nahuhuli sa sapilitan, ang iba sa advanced at malikhaing antas.

Sa gitna ng aralin, isang ipinag-uutos na pisikal na minuto ay gaganapin.

Bilang ng elementong pang-edukasyon	Pang-edukasyon na elemento na may mga takdang-aralin	Gabay sa pagbuo ng materyal na pang-edukasyon
UE-1	Layunin: Upang matukoy at bigyang-katwiran ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation batay sa mga katangian ng mga function. Pagsasanay: Tukuyin ang paraan ng pagbabagong-anyo para sa paglutas ng mga sumusunod na equation: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sinx. 2) Gawain: Lutasin ang hindi bababa sa dalawa sa mga iminungkahing equation. Ilarawan kung anong mga pamamaraan ang ginamit sa mga nalutas na equation.	Clause 7.3 p.212 Clause 7.4 p.214 Clause 7.5 p.217 Clause 7.2 p. 210
UE-2	Layunin: Upang makabisado ang mga makatwirang pamamaraan at pamamaraan ng paglutas Pagsasanay: Magbigay ng mga halimbawa mula sa itaas o pinili (gumamit ng mga materyales mula sa nakaraang mga aralin) mga equation na maaaring malutas gamit ang mga makatwirang paraan ng solusyon, ano ang mga ito? (diin sa paraan upang suriin ang mga ugat ng equation)
UE-3	Layunin: Gamit ang nakuhang kaalaman sa paglutas ng mga equation na may mataas na antas ng pagiging kumplikado Pagsasanay: = ( o ( = (	Sugnay 7.5
UE-4	Itakda ang antas ng karunungan ng paksa: mababa - solusyon ng hindi hihigit sa 2 equation; Katamtaman - solusyon ng hindi hihigit sa 4 na equation; mataas - solusyon ng hindi hihigit sa 5 equation
UE-5	Kontrol sa output: Gumawa ng isang talahanayan kung saan ipapakita ang lahat ng mga paraan na iyong ginagamit upang baguhin ang mga equation at para sa bawat paraan isulat ang mga halimbawa ng mga equation na iyong nalutas, simula sa aralin 1 ng paksa: "Mga equation - mga kahihinatnan"	Mga abstract sa mga notebook

III yugto ng aralin:

Output diagnostic work, na kumakatawan sa pagmuni-muni ng mga mag-aaral, na magpapakita ng kahandaan hindi lamang magsulat ng pagsusulit, kundi pati na rin ang kahandaan para sa pagsusulit sa seksyong ito.

Sa pagtatapos ng aralin, lahat ng mga mag-aaral, nang walang pagbubukod, ay sinusuri ang kanilang sarili, pagkatapos ay darating ang pagtatasa ng guro. Kung ang mga hindi pagkakasundo ay lumitaw sa pagitan ng guro at ng mag-aaral, ang guro ay maaaring mag-alok ng karagdagang gawain sa mag-aaral upang sa layuning masuri ito. Takdang aralinnaglalayong suriin ang materyal bago ang gawaing kontrol.

Ang pagtatanghal na ito ay maaaring gamitin kapag nagsasagawa ng isang aralin sa algebra at nagsisimula ng pagsusuri sa grade 11 kapag pinag-aaralan ang paksang "Equation - consequences" ayon sa mga materyales sa pagtuturo ng mga may-akda S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

Tingnan ang nilalaman ng dokumento
“Equation of consequence. Iba pang mga pagbabagong humahantong sa equation corollary"

EQUATIONS - RESULTA

ORAL NA TRABAHO

• Anong mga equation ang tinatawag na corollary equation?
• Ano ang tinatawag na transition to the consequence equation
• Anong mga pagbabago ang humahantong sa corollary equation?

ORAL NA TRABAHO

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Walang solusyon

Walang solusyon

ORAL NA TRABAHO

Walang solusyon

Mga pagbabagong humahantong sa corollary equation

pagbabagong-anyo

Impluwensiya sa mga ugat ng equation

Pagtaas ng Equation sa isang EVEN Power

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Potentiation ng logarithmic equation, i.e. kapalit:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g(x)

Maaaring humantong sa mga extraneous na ugat

Ilalabas ang equation mula sa mga denominator:

Maaaring humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat, i.e. ang mga numerong x i para sa alin o

Ang pagpapalit ng pagkakaiba sa f(x)-f(x) ng zero, i.e. pagbabawas ng mga katulad na miyembro

Maaaring humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat, i.e. ang mga numerong iyon para sa bawat isa kung saan ang function na f(x) ay hindi tinukoy.

Kung, kapag nilulutas ang equation na ito, ang isang paglipat sa equation ng kinahinatnan ay ginawa, pagkatapos ay kinakailangan upang suriin kung ang lahat ng mga ugat ng equation ng kinahinatnan ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Ang pagsuri sa nakuha na mga ugat ay isang ipinag-uutos na bahagi ng paglutas ng equation.

№ 8.2 2 (a) Lutasin ang Equation :

2) No. 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) Lutasin ang Equation :

№ 8.25 (a, c) Lutasin ang Equation :

№ 8.28 (a, c) Lutasin ang Equation :

№ 8.29 (a, c) Lutasin ang Equation :

TAKDANG ARALIN

• Run No. 8.24 (b, d), p. 236
• No. 8.25(b, d)
• 8.28 (b, d)
• 8.29 (b, d)

klase: 11

Tagal: 2 aralin.

Layunin ng aralin:

• (para sa guro) ang pagbuo ng isang holistic na pagtingin sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation sa mga mag-aaral.
• (para sa mga mag-aaral) Pag-unlad ng kakayahang mag-obserba, maghambing, mag-generalize, mag-analisa ng mga sitwasyon sa matematika (slide 2). Paghahanda para sa pagsusulit.

Unang lesson plan(slide 3)

1. Pag-update ng kaalaman
2. Pagsusuri ng teorya: Pagtaas ng equation sa pantay na kapangyarihan
3. Workshop sa paglutas ng mga equation

Plano ng ikalawang aralin

1. Iba't ibang independiyenteng gawain sa mga pangkat na "Hindi makatwiran na mga equation sa pagsusulit"
2. Buod ng mga aralin
3. Takdang aralin

Kurso ng mga aralin

I. Pag-update ng kaalaman

Target: ulitin ang mga konseptong kailangan para sa matagumpay na pagbuo ng paksa ng aralin.

front poll.

Anong dalawang equation ang sinasabing katumbas?

Anong mga pagbabago sa equation ang tinatawag na katumbas?

- Palitan ang equation na ito ng katumbas ng isang paliwanag ng inilapat na pagbabago: (slide 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Anong equation ang tinatawag na equation-consequence ng orihinal na equation?

– Maaari bang magkaroon ng ugat ang consequence equation na hindi ugat ng orihinal na equation? Ano ang tawag sa mga ugat na ito?

– Anong mga pagbabagong-anyo ng equation ang humahantong sa equation-consequences?

Ano ang arithmetic square root?

Pag-isipan natin ngayon nang mas detalyado ang pagbabagong "Pagtaas ng isang equation sa isang pantay na kapangyarihan".

II. Pagsusuri ng teorya: Pagtaas ng equation sa pantay na kapangyarihan

Paliwanag ng guro na may aktibong pakikilahok ng mga mag-aaral:

Hayaan 2m(mN) ay isang nakapirming kahit na natural na numero. Pagkatapos ang kinahinatnan ng equationf(x) =g(x) ay ang equation (f(x)) = (g(x)).

Kadalasan ang pahayag na ito ay ginagamit sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

Kahulugan. Ang isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng ugat ay tinatawag na hindi makatwiran.

Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ang mga sumusunod na pamamaraan ay ginagamit: (slide 5)

Pansin! Kinakailangan ng Paraan 2 at 3 sapilitan mga tseke.

Ang ODZ ay hindi palaging nakakatulong upang maalis ang mga extraneous na ugat.

Konklusyon: kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, mahalagang dumaan sa tatlong yugto: teknikal, pagsusuri ng solusyon, pagpapatunay (slide 6).

III. Workshop sa paglutas ng mga equation

Lutasin ang equation:

Pagkatapos talakayin kung paano lutasin ang equation sa pamamagitan ng pag-squaring, lutasin sa pamamagitan ng pagpasa sa isang katumbas na sistema.

Konklusyon: ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation na may mga integer na ugat ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng anumang pamilyar na pamamaraan.

b) \u003d x - 2

Ang paglutas sa pamamagitan ng pagtataas ng parehong bahagi ng equation sa parehong kapangyarihan, makukuha ng mga mag-aaral ang mga ugat na x = 0, x = 3 -, x = 3 +, na mahirap at matagal na suriin sa pamamagitan ng pagpapalit. (Slide 7). Paglipat sa isang katumbas na sistema

ay nagbibigay-daan sa mabilis mong mapupuksa ang mga extraneous na ugat. Ang kundisyon x ≥ 2 ay natutugunan lamang ng x.

Sagot: 3+

Konklusyon: Mas mainam na suriin ang hindi makatwiran na mga ugat sa pamamagitan ng pagpasa sa isang katumbas na sistema.

c) \u003d x - 3

Sa proseso ng paglutas ng equation na ito, nakakakuha kami ng dalawang ugat: 1 at 4. Ang parehong mga ugat ay nasiyahan sa kaliwang bahagi ng equation, ngunit para sa x \u003d 1, ang kahulugan ng arithmetic square root ay nilabag. Ang ODZ equation ay hindi nakakatulong na alisin ang mga extraneous na ugat. Ang paglipat sa isang katumbas na sistema ay nagbibigay ng tamang sagot.

Konklusyon:ang isang mahusay na kaalaman at pag-unawa sa lahat ng mga kondisyon para sa pagtukoy ng arithmetic square root ay nakakatulong upang magpatuloy sagumaganap ng katumbas na pagbabago.

Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation, nakukuha natin ang equation

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, na naghihiwalay sa radikal sa kanang bahagi, nakukuha namin

26 - x + x \u003d 8. Ang paglalapat ng mga karagdagang hakbang sa pag-squaring ng parehong bahagi ng equation, ay hahantong sa isang equation ng ika-4 na degree. Ang paglipat sa ODZ equation ay nagbibigay ng magandang resulta:

hanapin ang ODZ equation:

x = 3.

Suriin: - 4 = , 0 = 0 ay tama.

Konklusyon:minsan posible na magsagawa ng solusyon gamit ang kahulugan ng equation ng ODZ, ngunit siguraduhing suriin.

Solusyon: ODZ equation: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Para sa x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Samakatuwid, ang kaliwang bahagi ng equation ay negatibo, at ang kanang bahagi ay hindi negatibo; kaya ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

Konklusyon:na ginawa ang tamang pangangatwiran sa paghihigpit sa kondisyon ng equation, madali mong mahahanap ang mga ugat ng equation, o maitatag na wala ang mga ito.

Gamit ang halimbawa ng paglutas ng equation na ito, ipakita ang double squaring ng equation, ipaliwanag ang kahulugan ng pariralang "solitude of radicals" at ang pangangailangang suriin ang mga natagpuang ugat.

h) + = 1.

Ang solusyon ng mga equation na ito ay isinasagawa sa pamamagitan ng paraan ng pagbabago ng variable hanggang sa bumalik sa orihinal na variable. Tapusin ang desisyon na mag-alok sa mga makakayanan ang mga gawain ng susunod na yugto nang mas maaga.

mga tanong sa pagsusulit

• Paano malutas ang pinakasimpleng hindi makatwiran na mga equation?
• Ano ang dapat tandaan kapag itinaas ang isang equation sa pantay na kapangyarihan? ( maaaring lumitaw ang mga panlabas na ugat)
• Ano ang pinakamahusay na paraan upang suriin ang hindi makatwiran na mga ugat? ( gamit ang ODZ at ang mga kondisyon para sa pagkakaisa ng mga palatandaan ng parehong bahagi ng equation)
• Bakit kailangang masuri ang mga sitwasyong pangmatematika kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation? ( Para sa tama at mabilis na pagpili ng isang paraan para sa paglutas ng isang equation).

IV. Iba't ibang independiyenteng gawain sa mga pangkat na "Hindi makatwiran na mga equation sa pagsusulit"

Ang klase ay nahahati sa mga pangkat (2-3 tao bawat isa) ayon sa mga antas ng pagsasanay, ang bawat pangkat ay pipili ng opsyon na may gawain, tinatalakay at lutasin ang mga napiling gawain. Kung kinakailangan, makipag-ugnayan sa guro para sa payo. Matapos makumpleto ang lahat ng mga gawain ng kanilang bersyon at suriin ang mga sagot ng guro, ang mga miyembro ng pangkat ay indibidwal na kumpletuhin ang solusyon ng mga equation g) at h) ng nakaraang yugto ng aralin. Para sa mga opsyon 4 at 5 (pagkatapos suriin ang mga sagot at ang desisyon ng guro), ang mga karagdagang gawain ay nakasulat sa pisara, na isa-isang isinasagawa.

Ang lahat ng mga indibidwal na solusyon sa pagtatapos ng mga aralin ay ibibigay sa guro para sa pagpapatunay.

Opsyon 1

Lutasin ang mga equation:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Opsyon 5

1. Lutasin ang equation:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Mga karagdagang gawain:

v. Buod ng mga aralin

Anong mga paghihirap ang naranasan mo sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin sa pagsusulit? Ano ang kailangan upang malampasan ang mga paghihirap na ito?

VI. Takdang aralin

Ulitin ang teorya ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation, basahin ang talata 8.2 sa aklat-aralin (bigyang pansin ang halimbawa 3).

Lutasin ang No. 8.8 (a, c), No. 8.9 (a, c), No. 8.10 (a).

Panitikan:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra at simula ng mathematical analysis , aklat-aralin para sa ika-11 baitang ng mga institusyong pang-edukasyon, M .: Edukasyon, 2009.
2. Mordkovich A.G. Sa ilang mga isyung metodolohikal na nauugnay sa solusyon ng mga equation. Matematika sa paaralan. -2006. -Bilang 3.
3. M. Shabunin. Mga equation. Mga lektura para sa mga mag-aaral sa high school at mga pasok. Moscow, "Chistye Prudy", 2005. (library "Una ng Setyembre")
4. E.N. Balayan. Workshop sa paglutas ng problema. Mga hindi makatwirang equation, hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema. Rostov-on-Don, "Phoenix", 2006.
5. Math. Paghahanda para sa pagsusulit-2011. Inedit ni F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov-on-Don, 2010.

Ang ilang mga pagbabagong-anyo ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa equation na nilulutas patungo sa mga katumbas na equation, gayundin sa mga equation na kinahinatnan, na nagpapasimple sa solusyon ng orihinal na equation. Sa materyal na ito, sasabihin namin sa iyo kung ano ang mga equation na ito, bumalangkas ng mga pangunahing kahulugan, ilarawan ang mga ito sa mga halimbawa ng paglalarawan at ipaliwanag kung paano eksaktong kinakalkula ang mga ugat ng orihinal na equation mula sa mga ugat ng equation ng kinahinatnan o isang katumbas na equation.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng mga katumbas na equation

Kahulugan 1

Katumbas tinatawag ang mga naturang equation na may parehong mga ugat, o yaong kung saan walang mga ugat.

Ang mga kahulugan ng ganitong uri ay madalas na matatagpuan sa iba't ibang mga aklat-aralin. Magbigay tayo ng ilang halimbawa.

Kahulugan 2

Ang equation na f (x) = g (x) ay itinuturing na katumbas ng equation r (x) = s (x) kung magkapareho ang mga ugat o pareho silang walang ugat.

Kahulugan 3

Ang mga equation na may parehong mga ugat ay itinuturing na katumbas. Gayundin, ang mga ito ay itinuturing na dalawang equation na pantay na walang mga ugat.

Kahulugan 4

Kung ang equation f (x) \u003d g (x) ay may parehong hanay ng mga ugat bilang equation p (x) \u003d h (x), kung gayon sila ay itinuturing na katumbas sa bawat isa.

Kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa magkakatulad na hanay ng mga ugat, ibig sabihin natin na kung ang isang tiyak na numero ay ang ugat ng isang equation, kung gayon ito ay magkasya bilang isang solusyon sa isa pang equation. Wala sa mga equation na katumbas ang maaaring magkaroon ng ugat na hindi angkop para sa isa pa.

Nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng naturang mga equation.

Halimbawa 1

Halimbawa, ang 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 at x \u003d 2 ay magiging katumbas, dahil ang bawat isa sa kanila ay may isang ugat lamang - dalawa. Gayundin, ang x · 0 = 0 at 2 + x = x + 2 ay magiging katumbas, dahil ang kanilang mga ugat ay maaaring maging anumang mga numero, iyon ay, ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay pareho. Ang mga equation na x = x + 5 at x 4 = − 1 ay magiging katumbas din, na ang bawat isa ay walang solusyon.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga hindi katumbas na equation.

Halimbawa 2

Halimbawa, magiging x = 2 at x 2 = 4, dahil magkaiba ang kanilang mga ugat. Ang parehong naaangkop sa mga equation x x \u003d 1 at x 2 + 5 x 2 + 5, dahil sa pangalawa ang solusyon ay maaaring maging anumang numero, at sa pangalawa ang ugat ay hindi maaaring 0.

Ang mga kahulugan na ibinigay sa itaas ay angkop din para sa mga equation na may ilang mga variable, gayunpaman, sa kaso kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawa, tatlo o higit pang mga ugat, ang expression na "solusyon ng equation" ay mas angkop. Kaya, upang ibuod: ang mga katumbas na equation ay ang mga equation na may parehong mga solusyon o wala sa lahat.

Kumuha tayo ng mga halimbawa ng mga equation na naglalaman ng ilang mga variable at katumbas ng bawat isa. Kaya, ang x 2 + y 2 + z 2 = 0 at 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 ay may kasamang tatlong variable bawat isa at mayroon lamang isang solusyon na katumbas ng 0 sa lahat ng tatlong kaso. At ang pares ng mga equation na x + y = 5 at x y = 1 ay hindi magiging katumbas sa bawat isa, dahil, halimbawa, ang mga halaga 5 at 3 ay angkop para sa una, ngunit hindi magiging solusyon sa pangalawa: kapag pinapalitan ang mga ito sa unang equation, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay, at sa pangalawa - mali.

Ang konsepto ng corollary equation

Sipiin natin ang ilang halimbawa ng mga kahulugan ng mga corollary equation na kinuha mula sa mga aklat-aralin.

Kahulugan 5

Ang kahihinatnan ng equation f (x) = g (x) ay ang equation na p (x) = h (x), sa kondisyon na ang bawat ugat ng unang equation ay kasabay ang ugat ng pangalawa.

Kahulugan 6

Kung ang unang equation ay may parehong mga ugat gaya ng pangalawa, kung gayon ang pangalawa ay magiging bunga ng una.

Kumuha tayo ng ilang halimbawa ng mga naturang equation.

Halimbawa 3

Kaya, ang x 2 = 32 ay magiging kahihinatnan ng x - 3 = 0, dahil ang una ay may isang ugat lamang na katumbas ng tatlo, at ito rin ang magiging ugat ng pangalawang equation, kaya sa konteksto ng kahulugang ito, isang equation magiging kahihinatnan ng iba. Isa pang halimbawa: ang equation (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 ay magiging resulta ng x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 dahil ang pangalawang equation ay may dalawang ugat, katumbas ng 2 at 3, na sa parehong oras ay magiging mga ugat ng una.

Mula sa kahulugan sa itaas, maaari nating tapusin na ang anumang equation na walang mga ugat ay magiging resulta din ng anumang equation. Narito ang ilang iba pang mga kahihinatnan ng lahat ng mga patakarang nabuo sa artikulong ito:

Kahulugan 7

1. Kung ang isang equation ay katumbas ng isa pa, ang bawat isa sa kanila ay magiging kahihinatnan ng isa pa.
2. Kung sa dalawang equation ang bawat isa ay bunga ng isa pa, ang mga equation na ito ay magiging katumbas ng bawat isa.
3. Ang mga equation ay magiging katumbas lamang sa isa't isa kung ang bawat isa sa kanila ay bunga ng isa't isa.

Paano hanapin ang mga ugat ng isang equation mula sa mga ugat ng isang consequence equation o isang katumbas na equation

Batay sa kung ano ang isinulat namin sa mga kahulugan, pagkatapos sa kaso kapag alam natin ang mga ugat ng isang equation, alam din natin ang mga ugat ng mga katumbas, dahil sila ay magkakasabay.

Kung alam natin ang lahat ng mga ugat ng equation ng kinahinatnan, matutukoy natin ang mga ugat ng pangalawang equation, kung saan ito ay isang kinahinatnan. Upang gawin ito, kailangan mo lamang alisin ang mga panlabas na ugat. Sumulat kami ng isang hiwalay na artikulo tungkol sa kung paano ito ginagawa. Pinapayuhan ka naming basahin ito.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Upang pag-aralan ang paksa ngayon, kailangan nating ulitin kung aling equation ang tinatawag na consequence equation, kung aling mga theorems ang "hindi mapakali" at kung anong mga hakbang ang binubuo ng solusyon ng anumang equation.

Kahulugan. Kung ang bawat ugat ng equation ef mula sa x ay katumbas ng x (tinutukoy natin ito sa pamamagitan ng numero uno) ay kasabay ng ugat ng equation na pe mula sa x, katumbas ng abo mula sa x (tinutukoy natin ito sa pamamagitan ng numerong dalawa) , kung gayon ang equation two ay tinatawag na resulta ng equation one.

Teorem apat. Kung ang magkabilang panig ng equation ef mula sa x ay katumbas ng pareho mula sa x, i-multiply sa parehong expression na abo mula sa x, na:

Una, ito ay makatuwiran sa lahat ng dako sa domain ng kahulugan (sa hanay ng mga tinatanggap na halaga) ng equation eff mula sa x, na katumbas ng mula sa x.

Pangalawa, wala saanman sa rehiyong ito ang naglalaho, pagkatapos ay makuha natin ang equation na ef mula sa x, na pinarami ng abo mula sa x ay katumbas ng x, pinarami ng abo mula sa x, katumbas ng ibinigay sa ODZ nito.

Bunga teorama apat ay isa pang "kalma" na pahayag: kung ang parehong bahagi ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, kung gayon ang isang equation ay nakuha na katumbas ng ibinigay na isa.

Limang teorama. Kung magkabilang panig ng equation

ef mula sa x ay katumbas ng x ay di-negatibo sa ODZ equation, pagkatapos pagkatapos itaas ang parehong bahagi nito sa parehong kahit na kapangyarihan n, ang equation eff mula sa x hanggang sa kapangyarihan ng x ay katumbas ng x sa kapangyarihan ng x, katumbas ng equation na ito sa o de ze nito.

Teorem anim. Hayaan ang isang mas malaki kaysa sa zero, at hindi katumbas ng isa, at ef mula sa x na mas malaki kaysa sa zero,

Ang zhe mula sa x ay mas malaki kaysa sa zero, ang tolologarithmic equation ay ang logarithm ng ef mula sa x hanggang sa base a, katumbas ng logarithm ng zhe mula sa x hanggang sa base a,

ay katumbas ng equation ef mula sa x ay kapareho ng mula sa x .

Tulad ng nasabi na natin, ang solusyon ng anumang mga equation ay nangyayari sa tatlong yugto:

Ang unang yugto ay teknikal. Sa tulong ng isang kadena ng mga pagbabagong-anyo mula sa orihinal na equation, nakarating tayo sa isang medyo simpleng equation, na ating nilulutas at hinahanap ang mga ugat.

Ang ikalawang yugto ay ang pagsusuri ng solusyon. Sinusuri namin ang mga pagbabagong ginawa namin at alamin kung katumbas ang mga ito.

Ang ikatlong yugto ay ang pagpapatunay. Ang pagsuri sa lahat ng mga ugat na natagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito sa orihinal na equation ay sapilitan kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong maaaring humantong sa isang resultang equation.

Sa araling ito, malalaman natin, kapag inilapat kung anong mga pagbabago ang napupunta ang equation na ito sa isang consequence equation? Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain.

Ehersisyo 1

Aling equation ang kinahinatnan ng equation x minus three ay katumbas ng dalawa?

Solusyon

Ang equation na x minus three ay katumbas ng dalawa ay may isang ugat - ang x ay katumbas ng lima. I-multiply ang magkabilang panig ng equation na ito sa expression na x minus anim, magdagdag ng mga katulad na termino at makuha ang quadratic equation x square minus labing-isang x plus tatlumpung katumbas ng zero. Kalkulahin natin ang mga ugat nito: x ang una ay katumbas ng lima; x segundo ay katumbas ng anim. Mayroon na itong dalawang ugat. Ang equation x square minus labing-isang x plus tatlumpung katumbas ng zero ay naglalaman ng isang ugat - x katumbas ng lima; ng equation x minus tatlo ay katumbas ng dalawa, kaya ang x squared minus labing-isang x plus tatlumpung ay isang kinahinatnan ng equation x minus tatlo ay katumbas ng dalawa.

Gawain 2

Anong iba pang equation ang kinahinatnan ng equation x-3=2?

Solusyon

Sa equation na x minus tatlo ay katumbas ng dalawa, parisukat namin ang parehong bahagi nito, ilapat ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba, magdagdag ng mga katulad na termino, makuha namin ang quadratic equation x squared minus anim, x plus limang katumbas ng zero.

Kalkulahin natin ang mga ugat nito: x ang una ay katumbas ng lima, x ang pangalawa ay katumbas ng isa.

Ang ugat na x katumbas ng isa ay extraneous sa equation x minus tatlo katumbas ng dalawa. Nangyari ito dahil ang magkabilang panig ng orihinal na equation ay parisukat (isang pantay na kapangyarihan). Ngunit sa parehong oras, ang kaliwang bahagi nito - x minus tatlo - ay maaaring negatibo (mga kondisyon limang teorama). Kaya ang equation x square minus anim x plus five ay katumbas ng zero ay isang resulta ng equation x minus three ay katumbas ng dalawa.

Gawain 3

Hanapin ang equation-corollary para sa equation

ang logarithm ng x plus one hanggang base three plus ang logarithm ng x plus three hanggang base three ay katumbas ng isa.

Solusyon

Kinakatawan namin ang pagkakaisa bilang logarithm ng tatlong base three, potentiate ang logarithmic equation, magsagawa ng multiplication, magdagdag ng mga katulad na termino at makuha ang quadratic equation x squared plus apat na x katumbas ng zero. Kalkulahin natin ang mga ugat nito: x ang una ay katumbas ng zero, x ang pangalawa ay katumbas ng minus apat. Ang root x ay katumbas ng minus apat ay extraneous para sa logarithmic equation, dahil kapag ito ay pinalitan sa logarithmic equation, ang mga expression na x plus one at x plus three ay kumukuha ng mga negatibong halaga - ang mga kondisyon ay nilabag. teorama anim.

Kaya ang equation x squared plus four x equals zero ay isang kinahinatnan ng equation na ito.

Batay sa solusyon ng mga halimbawang ito, magagawa natin konklusyon:ang consequence equation ay nakuha mula sa ibinigay na equation sa pamamagitan ng pagpapalawak ng domain ng equation. At ito ay posible kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong tulad ng

1) pag-alis ng mga denominador na naglalaman ng variable;

2) pagtataas ng parehong bahagi ng equation sa parehong kahit na kapangyarihan;

3) exemption mula sa mga palatandaan ng logarithms.

Tandaan! Kung sa proseso ng paglutas ng equation ay nagkaroon ng pagpapalawak ng domain ng kahulugan ng equation, pagkatapos ay obligadong suriin ang lahat ng mga ugat na natagpuan.

Gawain 4

Lutasin ang equation x minus three na hinati sa x minus five plus one na hinati sa x ay katumbas ng x plus five na hinati ng x x minus five.

Solusyon

Ang unang yugto ay teknikal.

Magsagawa tayo ng isang hanay ng mga pagbabago, kunin ang pinakasimpleng equation at lutasin ito. Upang gawin ito, pinarami namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator ng mga fraction, iyon ay, sa pamamagitan ng expression na x na pinarami ng xminus lima.

Nakukuha namin ang quadratic equation x square minus tatlo x minus sampu ay katumbas ng zero. Kalkulahin natin ang mga ugat: x ang una ay katumbas ng lima, x ang pangalawa ay katumbas ng minus dalawa.

Ang ikalawang yugto ay ang pagsusuri ng solusyon.

Kapag nilulutas ang equation, pinarami namin ang parehong bahagi nito sa isang expression na naglalaman ng variable. Nangangahulugan ito na ang domain ng kahulugan ng equation ay lumawak. Samakatuwid, kailangan mong suriin ang mga ugat.

Ang ikatlong yugto ay ang pagpapatunay.

Kapag ang x ay katumbas ng minus dalawa, ang karaniwang denominator ay hindi naglalaho. Kaya ang x katumbas ng minus dalawa ay ang ugat ng equation na ito.

Kapag ang x ay katumbas ng lima, ang common denominator ay napupunta sa zero. Samakatuwid, ang x ay katumbas ng lima - isang extraneous root.

Sagot: minus two.

Gawain 5

Lutasin ang equation square root ng x minus anim ay katumbas ng square root ng apat na minus x.

Solusyon

Ang unang yugto ay teknikal .

Upang makakuha ng isang simpleng equation at malutas ito, nagsasagawa kami ng isang hanay ng mga pagbabago.

I-square (isang pantay na kapangyarihan) ang magkabilang bahagi ng equation na ito, ilipat ang mga x sa kaliwang bahagi, at ang mga numero sa kanang bahagi ng equation, magdala ng mga katulad na termino, makuha natin ang: dalawang x ay katumbas ng sampu. Ang X ay katumbas ng lima.

Ang ikalawang yugto ay ang pagsusuri ng solusyon.

Suriin natin ang mga ginawang pagbabago para sa equivalence.

Kapag nilulutas ang isang equation, ginawa naming parisukat ang magkabilang panig nito. Nangangahulugan ito na ang domain ng kahulugan ng equation ay lumawak. Samakatuwid, kailangan mong suriin ang mga ugat.

Ang ikatlong yugto ay ang pagpapatunay.

Pinapalitan namin ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Kung ang x ay katumbas ng lima, ang expression na square root ng apat na minus x ay hindi natukoy, kaya ang x na katumbas ng lima ay isang extraneous na ugat. Kaya ang equation na ito ay walang mga ugat.

Sagot: Ang equation ay walang mga ugat.

Gawain 6

Solve the equation Ang natural logarithm ng x squared plus two x minus seven ay katumbas ng natural logarithm ng x minus one.

Solusyon

Ang unang yugto ay teknikal .

Magsagawa tayo ng isang hanay ng mga pagbabago, kunin ang pinakasimpleng equation at lutasin ito. Upang gawin ito, potentiate namin

equation, inililipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation, nagbibigay kami ng mga katulad na termino, nakakakuha kami ng isang quadratic equation x square plus x minus anim ay katumbas ng zero. Kalkulahin natin ang mga ugat: x ang una ay katumbas ng dalawa, x ang pangalawa ay katumbas ng minus tatlo.

Ang ikalawang yugto ay ang pagsusuri ng solusyon.

Suriin natin ang mga ginawang pagbabago para sa equivalence.

Sa proseso ng paglutas ng equation na ito, inalis namin ang mga palatandaan ng logarithms. Nangangahulugan ito na ang domain ng kahulugan ng equation ay lumawak. Samakatuwid, kailangan mong suriin ang mga ugat.

Ang ikatlong yugto ay ang pagpapatunay.

Pinapalitan namin ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Kung ang x ay katumbas ng dalawa, kung gayon makuha natin ang natural na logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng natural na logarithm ng pagkakaisa -

tamang pagkakapantay-pantay.

Samakatuwid, ang x na katumbas ng dalawa ay ang ugat ng equation na ito.

Kung ang x ay minus tatlo, kung gayon ang natural na logarithm ng x squared plus dalawang x minus pito at ang natural na logarithm ng x minus one ay hindi natukoy. Kaya ang x na katumbas ng minus tatlo ay isang extraneous na ugat.

Sagot: dalawa.

Lagi bang kailangan na makilala ang tatlong yugto kapag nilulutas ang isang equation? Paano mo pa masusuri?

Makukuha natin ang mga sagot sa mga tanong na ito sa susunod na aralin.