ตัวแปรสุ่มคืออะไร ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถรับค่าได้กี่ค่า

แนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิดของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดลอง สามารถรับค่าหนึ่งหรือค่าอื่นได้ และไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม:

1) จำนวนครั้งที่ยิงสามนัด;

2) จำนวนการโทรที่ได้รับจากการแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ต่อวัน

3) อัตราการยิง 10 นัด

ในทั้งสามตัวอย่างที่ให้ไว้ ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าที่แยกจากกัน ซึ่งสามารถแจกแจงล่วงหน้าได้

ดังนั้นในตัวอย่างที่ 1) ค่าเหล่านี้คือ:

ในตัวอย่างที่ 2):

ในตัวอย่าง 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

ตัวแปรสุ่มดังกล่าวซึ่งรับเฉพาะค่าที่แยกจากกันซึ่งสามารถแจกแจงล่วงหน้าได้จะเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบไม่ต่อเนื่อง

มีตัวแปรสุ่มอีกประเภทหนึ่ง เช่น

1) abscissa ของจุดกระทบเมื่อยิง;

2) ข้อผิดพลาดในการชั่งน้ำหนักร่างกายบนเครื่องชั่งเชิงวิเคราะห์

3) ความเร็วของเครื่องบินเมื่อถึงระดับความสูงที่กำหนด

4) น้ำหนักของเมล็ดข้าวสาลีที่สุ่มมา

ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะไม่แยกออกจากกัน พวกเขาเติมช่องว่างอย่างต่อเนื่องซึ่งบางครั้งมีขอบเขตที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนและบ่อยครั้งมากขึ้น - ขอบเขตที่คลุมเครือและไม่ชัดเจน

ตัวแปรสุ่มดังกล่าวซึ่งเป็นค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเติมช่วงเวลาหนึ่งอย่างต่อเนื่องเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

แนวคิดของตัวแปรสุ่มมีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีความน่าจะเป็น หากทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบ "คลาสสิก" ดำเนินการกับเหตุการณ์เป็นหลัก ทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่จะชอบดำเนินการกับตัวแปรสุ่มในทุกที่ที่ทำได้

ให้เรายกตัวอย่างวิธีการเปลี่ยนจากเหตุการณ์เป็นตัวแปรสุ่มตามแบบฉบับของทฤษฎีความน่าจะเป็น

มีการดำเนินการทดลอง ซึ่งเหตุการณ์บางอย่างอาจเกิดขึ้นหรือไม่ปรากฏก็ได้ แทนที่จะเป็นเหตุการณ์ เราสามารถพิจารณาตัวแปรสุ่ม ซึ่งเท่ากับ 1 หากเหตุการณ์เกิดขึ้น และเท่ากับ 0 หากเหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น ตัวแปรสุ่มนั้นไม่ต่อเนื่องอย่างเห็นได้ชัด มีค่าที่เป็นไปได้สองค่า: 0 และ 1 ตัวแปรสุ่มนี้เรียกว่าตัวแปรสุ่มลักษณะของเหตุการณ์ ในทางปฏิบัติ มักจะสะดวกกว่าในการใช้งานกับตัวแปรสุ่มที่มีลักษณะเฉพาะแทนเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น หากทำการทดลองเป็นชุด ซึ่งแต่ละเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ จำนวนครั้งทั้งหมดของเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของตัวแปรสุ่มที่เป็นลักษณะเฉพาะของเหตุการณ์ในการทดลองทั้งหมด เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่างการใช้เทคนิคนี้จะสะดวกมาก

ในทางกลับกัน บ่อยครั้งมากในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กลับกลายเป็นว่าสะดวกที่จะเชื่อมโยงเหตุการณ์นี้กับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องบางตัว (หรือระบบของตัวแปรแบบต่อเนื่อง)

ตัวอย่างเช่น ให้วัดพิกัดของวัตถุ O เพื่อสร้างจุด M ที่แสดงภาพวัตถุนี้บนภาพพาโนรามา (การกวาด) ของพื้นที่ เราสนใจเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยข้อผิดพลาด R ที่ตำแหน่งของจุด M จะไม่เกินค่าที่ระบุ (รูปที่ 2.4.1) ให้เราระบุข้อผิดพลาดแบบสุ่มในการวัดพิกัดของวัตถุ เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์เทียบเท่ากับการสุ่มจุด M ที่มีพิกัดภายในวงกลมรัศมีที่จุด O กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นตัวแปรสุ่มและจะต้องตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ไม่ได้เป็นเพียงความน่าจะเป็นที่จะเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน (2.4.1) ความน่าจะเป็นนี้สามารถกำหนดได้หากทราบคุณสมบัติของตัวแปรสุ่ม

การเชื่อมโยงแบบอินทรีย์ระหว่างเหตุการณ์และตัวแปรสุ่มเป็นลักษณะเฉพาะของทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ ซึ่งหากเป็นไปได้ จะส่งผ่านจาก "แบบแผนของเหตุการณ์" ไปเป็น "แบบแผนของตัวแปรสุ่ม" แบบแผนหลังเมื่อเปรียบเทียบกับแบบเดิมเป็นเครื่องมือที่ยืดหยุ่นและเป็นสากลมากขึ้นสำหรับการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์สุ่ม

ค่าสุ่ม- นี่คือปริมาณที่เป็นผลมาจากประสบการณ์ ใช้ค่าใดค่าหนึ่ง และลักษณะที่ปรากฏของค่าหนึ่งหรือค่าอื่นของปริมาณนี้ก่อนที่จะไม่สามารถคาดการณ์การวัดได้อย่างแม่นยำ

เป็นทางการ ความหมายทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้: ปล่อยให้เป็นช่องว่างความน่าจะเป็น แล้วตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่สามารถวัดได้ด้วยความเคารพและ Borel σ-algebra บน พฤติกรรมความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่แยกจากกัน (ไม่ขึ้นกับตัวแปรอื่น) อธิบายไว้โดยสมบูรณ์โดยการแจกแจง

คำจำกัดความ[แก้]

พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น[แก้]

พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้นกรณีโยนลูกเต๋า

หากการโยนลูกเต๋าออกไป ใบหน้าด้านบนอาจเป็นหนึ่งในหกใบหน้าที่มีจำนวนจุดตั้งแต่หนึ่งถึงหก การสูญเสียใบหน้าในกรณีนี้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้นนั่นคือ

ชุดของใบหน้าทั้งหมด ก่อให้เกิดช่องว่างของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา ซึ่งส่วนย่อยของเหตุการณ์เรียกว่าเหตุการณ์สุ่ม ในกรณีของม้วนเดียว ตัวอย่างของเหตุการณ์คือ

พีชคณิตของเหตุการณ์[แก้]

ชุดของเหตุการณ์สุ่มจะสร้างพีชคณิตของเหตุการณ์หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

หากแทนที่จะเป็นเงื่อนไขที่สาม มันเป็นไปตามเงื่อนไขอื่น: การรวมของอนุวงศ์ที่นับได้ของยังเป็นของ ดังนั้นชุดของเหตุการณ์สุ่มจะสร้าง σ-พีชคณิตของเหตุการณ์

พีชคณิตของเหตุการณ์เป็นกรณีพิเศษของ σ-พีชคณิตของเซต

พีชคณิตที่เล็กที่สุดในบรรดา -algebras ที่เป็นไปได้ซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดเป็นช่วงบนเส้นจริงเรียกว่า Borel σ-algebra บนเซตของจำนวนจริง

ความน่าจะเป็น[แก้]

หากแต่ละเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาถูกกำหนดเป็นตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข:

ก็ถือว่ามีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ในฐานะเซตย่อยที่นับได้ของสเปซของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา ถูกกำหนดเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นเหล่านั้นที่เป็นของเหตุการณ์นี้ ข้อกำหนดการนับได้มีความสำคัญ เพราะไม่เช่นนั้น ผลรวมจะไม่ถูกกำหนด

ลองพิจารณาตัวอย่างการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มต่างๆ ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์เป็นเซตว่าง ความน่าจะเป็นจะเป็นศูนย์:

หากเหตุการณ์เป็นช่องว่างของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา ความน่าจะเป็นจะเท่ากับหนึ่ง:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (ส่วนย่อยของช่องว่างของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา) เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาเหล่านั้นซึ่งรวมถึงเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

คำจำกัดความของตัวแปรสุ่ม [แก้ไข]

ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันที่สามารถวัดได้และ Borel σ-algebra บน

ตัวแปรสุ่มสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีอื่นที่เทียบเท่ากัน ฟังก์ชันจะเรียกว่าตัวแปรสุ่ม ถ้าสำหรับจำนวนจริงใดๆ และชุดของเหตุการณ์เช่นนั้น ,เป็นของ

ตัวอย่าง[แก้]

เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับทั้งหมด

นั่นคือไม่ได้กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การจำแนกประเภท[แก้]

ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าที่ไม่ต่อเนื่อง ต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่องกัน ดังนั้น ตัวแปรสุ่มจึงถูกจำแนกออกเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่องแบบต่อเนื่อง (แบบผสม)

ในรูปแบบการทดสอบ ทั้งตัวแปรสุ่มที่แยกจากกัน (หนึ่งมิติ/สเกลาร์) และทั้งระบบของตัวแปรสุ่มที่มีความสัมพันธ์กันแบบหนึ่งมิติ (หลายมิติ/เวกเตอร์) สามารถกำหนดได้

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบผสมคือเวลารอเมื่อผ่าน ถนนในเมืองที่สี่แยกที่ไม่มีการควบคุม
ในรูปแบบอนันต์ (ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง) สะดวกในการอธิบายผลลัพธ์เบื้องต้นในเชิงปริมาณอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น จำนวนการไล่ระดับประเภทของอุบัติเหตุในการวิเคราะห์อุบัติเหตุทางถนน เวลาทำงานของเครื่องมือสำหรับการควบคุมคุณภาพ ฯลฯ
ค่าตัวเลขที่อธิบายผลลัพธ์ของการทดลองอาจไม่จำเป็นต้องระบุลักษณะผลลัพธ์เบื้องต้นแต่ละรายการในแบบแผนการทดสอบ แต่ยังสอดคล้องกับเหตุการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วย

ในอีกด้านหนึ่ง ค่าตัวเลขหลายค่าสามารถเชื่อมโยงกับแบบแผนการทดสอบเดียวและกับแต่ละเหตุการณ์ในนั้น ซึ่งจะต้องวิเคราะห์ร่วมกัน

ตัวอย่างเช่น พิกัด (abscissa, ordinate) ของการระเบิดแบบโพรเจกไทล์บางชนิดเมื่อทำการยิงไปที่เป้าหมายภาคพื้นดิน ขนาดเมตริก (ความยาว ความกว้าง ฯลฯ) ของชิ้นส่วนภายใต้การควบคุมคุณภาพ ผลการตรวจร่างกาย (อุณหภูมิ ความดัน ชีพจร ฯลฯ) เมื่อวินิจฉัยผู้ป่วย ข้อมูลสำมะโน (ตามอายุ เพศ ความมั่งคั่ง ฯลฯ)

เนื่องจากค่าของลักษณะเชิงตัวเลขของแบบแผนการทดสอบสอดคล้องกับรูปแบบกับเหตุการณ์สุ่มบางอย่าง (ด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอน) ดังนั้นค่าเหล่านี้จึงสุ่ม (มีความน่าจะเป็นเท่ากัน) ดังนั้นลักษณะตัวเลขดังกล่าวจึงมักเรียกว่าตัวแปรสุ่ม ในกรณีนี้ การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับค่าของตัวแปรสุ่มเรียกว่ากฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

วิธีการอธิบาย[แก้ไข]

เป็นไปได้ที่จะตั้งค่าตัวแปรสุ่มบางส่วน ซึ่งอธิบายคุณสมบัติความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็นตัวแปรสุ่มที่แยกจากกัน โดยใช้ฟังก์ชันการกระจาย ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และฟังก์ชันคุณลักษณะ กำหนดความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ ฟังก์ชันการกระจาย F(x) คือความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มน้อยกว่าจำนวนจริง x จากคำจำกัดความนี้ความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตกอยู่ในช่วงเวลา

โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าในพื้นที่ใดๆ ที่วัดได้ จากนั้นมักเรียกว่าเวกเตอร์สุ่มหรือองค์ประกอบสุ่ม ตัวอย่างเช่น,

ดูเพิ่มเติม[แก้ไข]

กระบวนการสุ่ม
ฟังก์ชันการกระจาย
มูลค่าที่คาดหวัง

หมายเหตุ[แก้]

1 2 เชอร์โนวา N. I.บทที่ 1 § 2 ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น // ทฤษฎีความน่าจะเป็น - กวดวิชา. - โนโวซีบีสค์: รัฐโนโวซีบีสค์ un-t, 2550. - 160 น.
เชอร์โนวา N. I.บทที่ 3 § 1. พีชคณิตและซิกมาพีชคณิตของเหตุการณ์ // ทฤษฎีความน่าจะเป็น - กวดวิชา - โนโวซีบีสค์: รัฐโนโวซีบีสค์ un-t, 2550. - 160 น.
เชอร์โนวา N. I.บทที่ 1 § 2 ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น // ทฤษฎีความน่าจะเป็น - กวดวิชา - โนโวซีบีสค์: รัฐโนโวซีบีสค์ un-t, 2550. - 160 น.
1 2 เชอร์โนวา N. I.บทที่ 6 ตัวแปรสุ่มและการแจกแจง § 1 ตัวแปรสุ่ม // ทฤษฎีความน่าจะเป็น - กวดวิชา - โนโวซีบีสค์: รัฐโนโวซีบีสค์ un-t, 2550. - 160 น.

วรรณคดี[แก้]

Gnedenko B.V.หลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น - ครั้งที่ 8 เพิ่ม. และถูกต้อง - M.: Editorial URSS, 2005. - 448 p.
คณิตศาสตร์ พจนานุกรมสารานุกรม/ ช. เอ็ด Prokhorov Yu. V. - ฉบับที่ 2 - ม.: "สารานุกรมโซเวียต", 1998. - 847 น.
Tikhonov V.I. , Kharisov V.N.การวิเคราะห์ทางสถิติและการสังเคราะห์อุปกรณ์และระบบวิศวกรรมวิทยุ - ตำราเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย - ม.: วิทยุและการสื่อสาร, 2534. - 608 น. - ISBN 5-256-00789-0
เชอร์โนวา N. I.ทฤษฎีความน่าจะเป็น - กวดวิชา - โนโวซีบีสค์: รัฐโนโวซีบีสค์ un-t, 2550. - 160 น.

คำนิยาม. ตัวแปรสุ่มเป็นตัวแปรที่ผลของการทดลองใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากชุดของค่าที่เป็นไปได้ และไม่สามารถคาดเดาได้ว่าค่าใดก่อนการทดลอง

ตัวแปรสุ่ม เช่น จำนวนคะแนนที่หลุดออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า จำนวนผู้มาเยี่ยมร้านขายยาในระหว่างวัน จำนวนแอปเปิ้ลบนต้นไม้ เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มยังเป็นอุณหภูมิของผู้ป่วยในช่วงเวลาที่เลือกแบบสุ่มของวัน มวลของยาเม็ดที่เลือกแบบสุ่มของยาบางชนิด ความสูงของนักเรียนที่เลือกแบบสุ่ม เป็นต้น

โอ

อย่างไรก็ตาม จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ จะมีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างตัวแปรสุ่ม เช่น จำนวนผู้เข้าร้านยาในระหว่างวัน (ให้แทนค่าตัวแปรสุ่ม X 1) และการเติบโตของนักเรียนที่สุ่มเลือกจาก นักเรียนบางกลุ่ม (ค่า X 2) มีความแตกต่างพื้นฐานคือ: สำหรับค่า X 1 คุณสามารถระบุค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .) ในขณะที่ค่า X 2 ไม่สามารถทำได้ เนื่องจากค่านี้ซึ่งเป็นผลมาจากการวัด สามารถนำค่าใดก็ได้จากส่วนนั้น โดยที่

และ - ตามลำดับ ความสูงต่ำสุดและสูงสุดของนักเรียนในกลุ่ม

ตัวแปรสุ่มมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรละติน - X, Y, Z และอื่น ๆ และค่าที่เป็นไปได้ - โดยตัวพิมพ์เล็กที่เกี่ยวข้องพร้อมดัชนีตัวเลข ตัวอย่างเช่น ค่าของตัวแปรสุ่ม x แสดงดังนี้: x 1, x 2, x 3 เป็นต้น

แนวคิดของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

คำนิยาม. ตัวแปรสุ่มเรียกว่าไม่ต่อเนื่องหากชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นชุดค่าที่ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด แต่จำเป็นต้องนับได้เช่น ชุดดังกล่าวองค์ประกอบทั้งหมดสามารถเป็นตัวเลข (อย่างน้อยในทางทฤษฎี) และเขียนออกมาใน ลำดับที่เหมาะสม

คำนิยาม. ตัวแปรสุ่มเรียกว่า ต่อเนื่อง ถ้าชุดของค่าที่เป็นไปได้คือช่วงที่จำกัดหรืออนันต์ของแกนตัวเลข

ตามคำจำกัดความเหล่านี้ ตัวแปรสุ่มดังกล่าวที่ระบุไว้ข้างต้นเป็นจำนวนคะแนนที่หลุดออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า จำนวนผู้มาร้านขายยาในระหว่างวัน จำนวนแอปเปิ้ลต่อผล ต้นไม้ เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกัน และเช่น อุณหภูมิของผู้ป่วย ณ เวลาที่กำหนดของวัน มวลของยาเม็ดที่สุ่มเลือกโดยสุ่มของยาบางชนิด ความสูงของนักเรียนที่สุ่มเลือกเป็นตัวแปรต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

มาดูกันดีกว่า ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและตามกฎแล้วเราจะ จำกัด การพิจารณาตัวแปรสุ่มดังกล่าวซึ่งจำนวนค่าที่เป็นไปได้มี จำกัด

ข้อมูลที่สมบูรณ์ที่สุดเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะได้รับจากกฎการแจกแจงของตัวแปรนี้

คำนิยาม. กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้กับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องมักถูกระบุในรูปแบบของตารางสองบรรทัด แถวแรกซึ่งแสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรนี้ (ตามกฎ เรียงลำดับจากน้อยไปมาก) และแถวที่สองแสดงรายการ ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้ในตารางที่ 1:

ตัวอย่างที่ 2มีนักเรียนสิบกลุ่ม โดยมีนักเรียน 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 และ 11 คนตามลำดับ เขียนกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X ซึ่งกำหนดเป็นจำนวนนักเรียนในกลุ่มสุ่มเลือก

วิธีการแก้. ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่พิจารณา X มีดังต่อไปนี้ (ในลำดับจากน้อยไปมาก):

8, 9, 10, 11 และ 12.

เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X มีค่าเท่ากับ 8 หากกลุ่มที่สุ่มเลือกคือกลุ่มนักเรียน 8 คน (ให้เรียกว่าเหตุการณ์ A) ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะได้รับตามค่า
เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มนี้:
.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม A ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นคือ
เพราะจาก 10 กลุ่ม สองกลุ่มมีนักเรียน 8 คน

ดังนั้น สำหรับความน่าจะเป็นของค่า เราได้รับ:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของค่าที่เหลือของตัวแปรสุ่ม X:

ซึ่งช่วยให้เราเขียนกฎหมายการจำหน่ายที่ต้องการได้ (ตารางที่ 2):

กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถระบุได้โดยใช้สูตรที่อนุญาตให้แต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรนี้กำหนดความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

ตามกฎแล้วในการผลิตผลิตภัณฑ์กระบวนการผลิตได้รับอิทธิพลจากปัจจัยต่าง ๆ อันเป็นผลมาจากค่าของตัวบ่งชี้คุณภาพของผลิตภัณฑ์มีความกระจัดกระจาย ดังนั้น ตัวชี้วัดคุณภาพของผลิตภัณฑ์หรือบริการที่ผลิตควรถือเป็นตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่ม ค่าดังกล่าวเรียกว่าซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบภายในช่วงเวลาหนึ่งสามารถรับค่าตัวเลขต่างๆได้ (ตาม STB GOST R 50779.10 ตัวแปรสุ่มคือตัวแปรที่สามารถรับค่าใด ๆ จากชุดค่าที่กำหนดและเชื่อมโยงกับการกระจายความน่าจะเป็น).

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เรียกว่าค่าที่แยกได้เฉพาะค่าที่แยกจากกันและไม่สามารถใช้ค่ากลางระหว่างกันได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนชิ้นส่วนที่เสียในชุดงานสามารถเป็นจำนวนเต็มบวก 1, 2, 3 ฯลฯ เท่านั้น แต่ไม่สามารถเป็น 1.3 ได้ 1.7 เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ค่าดังกล่าวเรียกว่าซึ่งจากการทดสอบสามารถนำค่าตัวเลขใด ๆ จากชุดค่าที่เป็นไปได้อย่างต่อเนื่องภายในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ

ตัวอย่างเช่น ขนาดจริงของชิ้นส่วนที่กลึงเป็นตัวแปรสุ่มของประเภทต่อเนื่อง เนื่องจากสามารถใช้ค่าตัวเลขใดๆ ภายในขอบเขตที่กำหนดได้

ความเป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มในการรับค่าตัวเลขบางอย่างในระหว่างการทดสอบจะถูกประเมินโดยใช้ความน่าจะเป็น

ชุดค่าของตัวแปรสุ่มที่จัดเรียงจากน้อยไปมากพร้อมบ่งชี้ความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละค่าเรียกว่า การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม (ตาม STB GOST R 50779.10 การแจกแจงเป็นฟังก์ชันที่กำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าที่กำหนดหรือจะเป็นของชุดค่าที่กำหนด)

การกระจายของตัวแปรสุ่มสามารถนำเสนอในรูปแบบตาราง แบบกราฟิก และด้วยความช่วยเหลือของการประมาณทางสถิติ

เมื่อนำเสนอการแจกแจงตัวแปรสุ่มในรูปแบบตาราง แต่ละหมายเลขของหน่วยผลิตภัณฑ์ภายใต้การศึกษา (หมายเลขการวัด) จะสอดคล้องกับค่าของตัวบ่งชี้คุณภาพของหน่วยผลิตภัณฑ์นี้ (ผลการวัด)

เมื่อนำเสนอการแจกแจงตัวแปรสุ่มในรูปแบบกราฟิก กราฟการแจกแจงจะถูกพล็อตในพิกัด ค่าของตัวแปรสุ่ม - ความน่าจะเป็น (ความถี่ ความถี่) ของค่าของตัวแปรสุ่ม

รูปด้านล่างแสดงกราฟของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

รูป - กราฟการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

รูป - กราฟการแจกแจงตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

มีการแจกแจงตัวแปรสุ่มตามทฤษฎีและเชิงประจักษ์ ในการแจกแจงทางทฤษฎี การประเมินค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะดำเนินการโดยใช้ความน่าจะเป็นและการแจกแจงเชิงประจักษ์โดยใช้ความถี่หรือความถี่ที่ได้รับจากการทดสอบ

เพราะเหตุนี้, การแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่ม เป็นชุดของค่าทดลอง เรียงจากน้อยไปมาก ระบุความถี่หรือความถี่ของแต่ละค่า (ตาม STB GOST R 50779.10 การกระจายความถี่ คือความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ระหว่างค่าของคุณลักษณะและความถี่หรือความถี่สัมพัทธ์)

โต๊ะ. ตัวอย่างการแสดงตารางของการแจกแจงทางทฤษฎีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ในทางกราฟ การแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถแสดงเป็น แผนภูมิแท่ง เกิดจากชุดคอลัมน์ที่มีความกว้างเท่ากัน ซึ่งความสูงเป็นสัดส่วนกับความถี่ของค่าที่ไม่ต่อเนื่องของตัวแปรสุ่ม

รูป - แผนภูมิแท่งของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

หากตัวแปรสุ่มเป็นแบบต่อเนื่อง ปัญหาบางอย่างจะเกิดขึ้นกับการนำเสนอการแจกแจงในรูปแบบของตารางหรือกราฟ ดังนั้นในทางปฏิบัติ เมื่อศึกษาตัวแปรสุ่มประเภทต่อเนื่อง ค่าที่ได้รับจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงที่เท่ากัน เพื่อให้ค่าของช่วงมีค่ามากกว่าข้อผิดพลาดในการวัดปริมาณที่ศึกษาอยู่บ้าง จากนั้นความถี่จะไม่คำนวณโดยค่าจริงของตัวแปรสุ่ม แต่ตามช่วงเวลา ดังนั้นตารางการแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่มประเภทต่อเนื่องจะมีรูปแบบดังนี้

โต๊ะ. การกระจายเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่มประเภทต่อเนื่อง

ช่วงค่า X	ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	ความถี่ ฉ ผม	ความถี่ ม ผม
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		ฉ ผม = 100	ม ผม = 1

การแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแบบสุ่มสามารถแสดงแบบกราฟิกเป็นฮิสโตแกรมการแจกแจง รูปหลายเหลี่ยมความถี่ หรือรูปหลายเหลี่ยมความถี่สะสม

ฮิสโตแกรมการกระจาย คือชุดของสี่เหลี่ยมสัมผัส ฐานซึ่งเท่ากับช่วงเวลาของการแยกตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องและพื้นที่เป็นสัดส่วนกับความถี่ที่ค่าของตัวแปรสุ่มตกอยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้ (ตาม STB GOST R 50779.10 แผนภูมิแท่ง (การกระจาย) คือการแสดงกราฟิกของการแจกแจงความถี่สำหรับคุณลักษณะเชิงปริมาณ ซึ่งเกิดขึ้นจากสี่เหลี่ยมที่ต่อเนื่องกัน ฐานซึ่งเป็นช่วงของคลาส และพื้นที่เป็นสัดส่วนกับความถี่ของคลาสเหล่านี้)

รูป - ฮิสโตแกรมของการแจกแจงตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

รูปหลายเหลี่ยมความถี่ เป็นเส้นที่ขาดจากจุดเชื่อมต่อที่มี abscissas เท่ากับจุดกึ่งกลางของช่วงการแบ่งพาร์ติชั่น และพิกัดจะเท่ากับความถี่ที่สอดคล้องกัน

รูป - รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกัน

รูปหลายเหลี่ยมสะสม ความถี่ เป็นเส้นที่ขาดจากจุดเชื่อมต่อที่มี abscissas เท่ากับขอบเขตบนของช่วงการแบ่งพาร์ติชั่น และมีค่าพิกัดเท่ากับความถี่สะสมหรือความถี่สะสม (ความถี่สัมพัทธ์สะสม)

รูป - รูปหลายเหลี่ยมของความถี่สะสมของค่าต่อเนื่องแบบสุ่ม

ในคำอธิบายเชิงทฤษฎีของตัวแปรสุ่มของประเภทต่อเนื่อง ฟังก์ชันการแจกแจงจะถูกใช้ การแจกแจงตามทฤษฎีของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกันสามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้เป็น ปริพันธ์, อินทิกรัลผกผัน, ดิฟเฟอเรนเชียลฟังก์ชันและฟังก์ชันการกระจาย ความเข้ม.

ให้ X เป็นตัวแปรสุ่ม และ x เป็นจำนวนจริงบางส่วน (ด้วย X< х ). เหตุการณ์ X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X .)< х) = F(х)

F(X) เรียกว่า ฟังก์ชันการกระจาย ความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการแจกแจงตัวแปรสุ่มหรืออินทิกรัล

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัล F(X) ถูกกำหนดอย่างง่ายดายจากตารางหรือกราฟ

ดังนั้น สำหรับตัวอย่างข้างต้นของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (ที่ X< 4):

ฉ(X) = พี( X ) = ป( X=1) + พี( X=2) + พี( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

กราฟของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งขั้น พิกัดของเส้นโค้งสำหรับค่าใดๆ ของ X จะแทนผลรวมของความน่าจะเป็นของค่าก่อนหน้า

รูป - ฟังก์ชันการกระจายแบบอินทิกรัลของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มระหว่างการทดสอบจะอยู่ภายในขอบเขตของค่าที่กำหนดสองค่า x 1 และ x 2 (x 2 > x 1) เท่ากับการเพิ่มของฟังก์ชันอินทิกรัลในพื้นที่นี้คือ

P(x .) 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X .) 1 )

หากเราหันไปที่ตัวอย่างข้างต้นของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สำหรับ x1 = 2 และ x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X .)< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง กราฟของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลจะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ในทางปฏิบัติ ความถี่การแจกแจงตามทฤษฎีถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

รูป - ฟังก์ชันการกระจายสะสม

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ฟังก์ชันการกระจายสะสมแบบผกผันเท่ากับผลต่างระหว่างเอกภาพและฟังก์ชันการกระจายสะสม

ความหนาแน่นของการกระจาย (ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง) ตัวแปรสุ่มเรียกว่าอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัล:

สำหรับคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ เราใช้ ฟังก์ชันความเข้ม เท่ากับอัตราส่วนของฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่างกับฟังก์ชันการกระจายอินทิกรัลแบบผกผัน:

รูป - ฟังก์ชันความเข้มของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

หัวข้อที่ 3

ตัวแปรสุ่มและฟังก์ชันการกระจาย

แนวคิดของตัวแปรสุ่ม

แนวคิดของตัวแปรสุ่ม

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม คุณสมบัติของมัน

ตัวแปรสุ่มพร้อมการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง

แนวคิดของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบแยกส่วน

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงต่อเนื่องอย่างแน่นอน

แนวคิดของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงต่อเนื่องอย่างแน่นอน

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องโดยสิ้นเชิง ความหนาแน่นคุณสมบัติของมัน

ตัวอย่างของการแจกแจงต่อเนื่องอย่างแน่นอน

แนวคิดของเวกเตอร์สุ่ม

แนวคิดของเวกเตอร์สุ่ม

ตัวแปรสุ่มอิสระ

การกระจายร่วมของตัวแปรสุ่ม

แนวคิดของตัวแปรสุ่ม

ตั้งแต่กำเนิดทฤษฎีความน่าจะเป็น ภารกิจหลักของมันคือการศึกษาไม่ใช่คุณสมบัติความน่าจะเป็นของการทดลองด้วยผลลัพธ์แบบสุ่ม แต่ปริมาณเชิงตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับการทดลองเหล่านี้ซึ่งเป็นเรื่องปกติที่จะเรียก ตัวแปรสุ่ม. ตัวอย่างเช่น เราอาจไม่สนใจคู่ของตัวเลขที่อยู่ด้านบนของลูกเต๋า แต่ในผลรวมของตัวเลขนั้น จำนวนความสำเร็จหรือความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งแรกในโครงการเบอร์นูลลี

บ่อยครั้งในวรรณคดี คุณสามารถหารูปแบบต่างๆ ในหัวข้อของคำจำกัดความต่อไปนี้: ตัวแปรสุ่มเรียกว่าตัวแปรที่รับค่าที่ขึ้นอยู่กับผลการทดสอบขึ้นอยู่กับกรณี

ดังนั้น ตัวแปรสุ่มจึงเป็นค่าตัวเลข ซึ่งค่าจะขึ้นอยู่กับว่าผลลัพธ์ (ระดับประถมศึกษา) ชนิดใดที่เกิดขึ้นจากการทดสอบผลลัพธ์แบบสุ่ม ชุดของค่าทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้เรียกว่า ชุดค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนี้

เราจะให้คำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้น เนื่องจากแนวคิดของตัวแปรสุ่มเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักที่เชื่อมโยงทฤษฎีความน่าจะเป็นกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และสร้างพื้นฐานแนวคิดของสถิติทางคณิตศาสตร์

คำนิยาม. ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชัน X = X(ω) ที่กำหนดในช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้น Ω ที่เหตุการณ์นั้น (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

สภาพ (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из แต่. นอกจากนี้ ผ่านเหตุการณ์ (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

ความคิดเห็น ดังนั้น ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความคือช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้น Ω และชุดของค่าคือชุดตัวเลข อาจเป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมด R.

σ-พีชคณิตของเหตุการณ์ A คือโดเมนของคำจำกัดความของความน่าจะเป็น หากเราพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชัน

ความคิดเห็น . “คำว่า “ตัวแปรสุ่ม” ค่อนข้างจะคลาดเคลื่อน คำว่า “ฟังก์ชันโอกาส” จะเหมาะสมกว่า ตัวแปรอิสระเป็นจุดในพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น กล่าวคือ ผลของการทดลองหรือกรณี (W. Feller "บทนำสู่ทฤษฎีความน่าจะเป็น", ch. ทรงเครื่อง)

ตัวแปรสุ่มแสดงด้วยตัวอักษรของตัวอักษรกรีก:  (xi),  (นี่),  หรือตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรละติน X, Y, ... เราจะเขียนค่าของตัวแปรสุ่มเป็น ลำดับจำกัดหรืออนันต์ x 1 ,x 2 ,, x น,; y 1 ,y 2 ,,y น ,

ความคิดเห็น . ก่อนหน้านี้เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์บางอย่าง ตอนนี้เรามาพูดถึงฟังก์ชั่นกันต่อ เหตุการณ์ที่ชัดเจนที่สุดที่สามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดของฟังก์ชันคือการนำค่าบางอย่างไปใช้ (เฉพาะหรือเป็นของช่วงเวลา)

ในการศึกษาคุณสมบัติความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม จำเป็นต้องรู้กฎที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่าจากเซตย่อยของค่าของมัน กฎดังกล่าวเรียกว่า กฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นหรือการแจกแจง (ความน่าจะเป็น) ของตัวแปรสุ่ม(คำว่า "น่าจะเป็น" มักจะละเว้น)

กฎการกระจายทั่วไปที่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมดคือ ฟังก์ชันการกระจาย.

คำนิยาม.ความน่าจะเป็นทั้งชุด P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม Xใน กรณีทั่วไป. บ่อยครั้ง เพื่อความกระชับ กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มเรียกง่ายๆ ว่าการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

คำนิยาม.ฟังก์ชัน F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X

ค่าของฟังก์ชันการกระจายที่จุด x เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

โดยปกติแล้ว ค่าของฟังก์ชันการกระจายที่จุด x เท่ากับความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้กับค่าที่น้อยกว่า x

ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้ F(x) คือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้กับค่าที่แสดงโดยจุดบนเส้นจำนวนที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด x

ความคิดเห็น . ฟังก์ชันการกระจายเรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันอินทิกรัล หรือกฎปริพันธ์ของการแจกแจงตัวแปรสุ่ม X

ฟังก์ชันการกระจายมีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติ:

0≤ F(x)≤1 (เพราะตามนิยาม ฟังก์ชันการแจกแจงคือความน่าจะเป็น)

F(x 1) ≤ F(x 2) สำหรับ x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 เป็น x → - ∞ , lim F(x) = 1 เป็น x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางซ้าย เช่น F(x) = F(x - 0) โดยที่ F(x - 0) = lim F(y) เป็น y → x - 0 (ขีดจำกัดด้านซ้ายมือ)

ความคิดเห็น . เพื่อเน้นว่าตัวแปรสุ่มใดที่ฟังก์ชันการกระจาย F(x) เป็นของ ฟังก์ชันนี้บางครั้งถูกกำหนดตัวห้อยเพื่อแสดงถึงตัวแปรสุ่มเฉพาะ ตัวอย่างเช่น FX (x) = P (X< х}

ความคิดเห็น ในสิ่งพิมพ์บางฉบับ ฟังก์ชันการกระจายถูกกำหนดเป็น F(x) = P(X ≤ x) คำจำกัดความดังกล่าวไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไรเลยในสาระสำคัญของแนวคิดของฟังก์ชันการกระจาย เฉพาะคุณสมบัติสุดท้ายที่ห้าเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันในกรณีนี้กลายเป็นแบบต่อเนื่องทางขวา

การพูดนอกเรื่อง: "ฟังก์ชั่นคืออะไร"

ให้เราได้สองชุด X และ Y และ Y เป็นชุดตัวเลข และให้กฎ f ตามที่แต่ละองค์ประกอบ (จุด) ของชุด X เชื่อมโยงกับ (หนึ่งและหนึ่งเท่านั้น) องค์ประกอบ (ตัวเลข) ของชุด Y กฎ f ร่วมกับชุด X และ Y กำหนด ฟังก์ชันฉ สัญกรณ์ y=f(x) หมายความว่ากฎ f ถูกนำไปใช้กับบางจุด x ของเซต X และด้วยเหตุนี้เราจึงได้จุด y จากเซต Y X เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ (ตัวแปรอิสระ) และ y คือค่า (ตัวแปรตาม) ของฟังก์ชัน f ที่จุด X เซต X เรียกว่า โดเมนของนิยาม (setting area) ของฟังก์ชัน เค้าว่ากันว่าให้ฟังก์ชันในเซตนี้ เซต Y เรียกว่า เซตของค่าของฟังก์ชัน ชุด X ไม่จำเป็นต้องเป็นชุดตัวเลข ดังนั้น ตัวแปรสุ่มจึงเป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่องว่างที่ไม่ใช่ตัวเลขของเหตุการณ์พื้นฐาน

ค่าสุ่ม

ค่าสุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดสอบ จะใช้ค่าที่เป็นไปได้เพียงหนึ่งค่าเท่านั้น และค่าใดไม่ทราบล่วงหน้า

ไม่ต่อเนื่องเป็นตัวแปรสุ่มที่ใช้ค่าที่เป็นไปได้แยกจากกันโดยมีความน่าจะเป็นที่แน่นอน

ตัวแปรต่อเนื่องคือตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าทั้งหมดจากช่วงจำกัดหรืออนันต์บางช่วงได้

กฎการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็น กฎหมายฉบับนี้กำหนดไว้ในรูปแบบของตาราง สูตร หรือกราฟ

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรที่พบบ่อยที่สุดคือกฎการแจกแจงทวินามที่เรียกว่ากฎการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งรูปแบบการทดสอบซ้ำของเบอร์นูลลีนำไปสู่ สูตร (8) คือนิพจน์เชิงวิเคราะห์ของกฎหมายนี้

ตัวอย่าง 11.

ข้อความถูกส่งผ่านช่องทางการสื่อสารโดยใช้รหัสที่ประกอบด้วยอักขระสองตัว ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของครั้งแรกคือ 2/3 สามป้ายผ่านไป ค้นหากฎการกระจายสำหรับการเกิดขึ้นของสัญญาณแรก

วิธีการแก้.

ตามเงื่อนไข น=4, R=2/3, q=1/3. ค่าที่เป็นไปได้ของจำนวนครั้งของสัญญาณแรก: 0, 1, 2 และ 3 ค้นหาความน่าจะเป็นโดยใช้สูตร (8):

กฎหมายนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบของตาราง

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

ฟังก์ชันการแจกแจงเป็นฟังก์ชันที่กำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม Xเนื่องจากผลการทดสอบจะมีค่าน้อยกว่า เอ็กซ์,นั่นคือ

ในทางเรขาคณิต นี่หมายความว่าตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็น Rจะใช้ค่าที่แสดงบนแกนตัวเลขโดยชี้ไปทางซ้าย เอ็กซ์

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ฟังก์ชันการแจกแจงเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลแบบแยกส่วนแบบต่อเนื่อง คุณสมบัติหลักมาจากคำจำกัดความ:

1. ค่าของฟังก์ชันการกระจายอยู่ในเซ็กเมนต์ เช่น

2. F(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง นั่นคือ if

3. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มใช้ค่าที่มีอยู่ในช่วง [ a,b[, เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการกระจายในช่วงเวลานี้

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นที่จะยอมรับค่าเดียวจะเป็นศูนย์ ดังนั้น สำหรับตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 12.

ค่าสุ่ม Xกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย

จงหาความน่าจะเป็นที่เป็นผลจากการทดสอบ Xจะนำค่าที่เป็นของเซ็กเมนต์ [-1; 0.5]

วิธีการแก้.

เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า Xเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ต่อเนื่องตัวแปรสุ่ม Xเรียกอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันการกระจาย

ฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(x)เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับความหนาแน่นของการแจกแจง ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของความหนาแน่นหรือ กฎความแตกต่างการแจกแจงและความสัมพันธ์กับฟังก์ชันการแจกแจงทำให้ง่ายต่อการแสดงคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ

2. ความน่าจะเป็นที่จะตีตัวแปรสุ่ม Xในช่วงเวลาเท่ากับ

(16)

3. จากคุณสมบัติ 2 เราได้รับนิพจน์สำหรับฟังก์ชันการกระจาย

(17)

4. สภาวะปกติ

(18)

ตัวอย่างที่ 13ค่าที่ไม่ต่อเนื่อง Xให้โดยตาราง

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายและสร้างกราฟ

วิธีการแก้.

1. ถ้า แล้ว ตั้งแต่ Xไม่ต่ำกว่า 2

ในกรณีนี้ ในช่วง (-¥, X)ตัวแปรสุ่มมีค่าเพียงค่าเดียว X (X=2). นั่นเป็นเหตุผลที่

สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ใด ๆ Xฟังก์ชั่น เอฟ(x),ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันนี้ในช่วงเวลา (-¥, X) ตีสองค่าของตัวแปรสุ่ม ( X=2 และ X=3). เพราะเหตุการณ์ที่ Xจะยอมรับค่าที่กำหนดไม่สอดคล้องกัน (หรือ X=2 หรือ X=3) แล้ว

4. ในทำนองเดียวกัน if

ดังนั้นฟังก์ชันการกระจายจะมีลักษณะดังนี้

เราสร้างกราฟของฟังก์ชันการกระจาย

ข้าว. 1 - กราฟของฟังก์ชันการกระจาย

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 14. ความหนาแน่นการกระจายข้อผิดพลาดในการวัด

กฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้าและลักษณะเฉพาะ

ค่าสุ่ม

ตัวแปรสุ่ม การจำแนกประเภทและวิธีการอธิบาย

ค่าสุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดลอง สามารถรับค่าหนึ่งหรือค่าอื่นได้ แต่จะไม่ทราบค่าใดล่วงหน้า สำหรับตัวแปรสุ่ม จึงสามารถระบุได้เฉพาะค่าเท่านั้น ซึ่งค่าหนึ่งจะต้องเป็นผลจากการทดสอบ ค่าเหล่านี้จะเรียกว่าค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม เนื่องจากตัวแปรสุ่มในเชิงปริมาณแสดงลักษณะเฉพาะของผลลัพธ์แบบสุ่มของการทดลอง จึงถือได้ว่าเป็นคุณลักษณะเชิงปริมาณของเหตุการณ์สุ่ม

ตัวแปรสุ่มมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรละติน เช่น X..Y..Z และค่าที่เป็นไปได้ด้วยตัวอักษรขนาดเล็กที่เกี่ยวข้อง

ตัวแปรสุ่มมีสามประเภท:

ไม่ต่อเนื่อง; ต่อเนื่อง; ผสม

ไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มดังกล่าวเรียกว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นชุดที่นับได้ ในทางกลับกัน ชุดที่นับได้คือชุดที่องค์ประกอบสามารถกำหนดหมายเลขได้ คำว่า "ไม่ต่อเนื่อง" มาจากภาษาละติน discretus ซึ่งแปลว่า "ไม่ต่อเนื่อง ประกอบด้วยส่วนที่แยกจากกัน"

ตัวอย่างที่ 1 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือจำนวนของชิ้นส่วนที่บกพร่อง X ในชุดของ nfl อันที่จริง ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนี้คือชุดของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง n

ตัวอย่างที่ 2 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือจำนวนช็อตก่อนการตีครั้งแรกที่เป้าหมาย ในที่นี้ เช่น ในตัวอย่างที่ 1 ค่าที่เป็นไปได้สามารถกำหนดหมายเลขได้ แม้ว่าในกรณีที่จำกัด ค่าที่เป็นไปได้จะเป็นจำนวนที่มากเป็นอนันต์

ต่อเนื่องเรียกว่าตัวแปรสุ่มซึ่งค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเติมช่วงเวลาหนึ่งของแกนตัวเลขอย่างต่อเนื่องซึ่งบางครั้งเรียกว่าช่วงเวลาของการดำรงอยู่ของตัวแปรสุ่มนี้ ดังนั้น ในช่วงเวลาจำกัดของการดำรงอยู่ จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจึงมีขนาดใหญ่มาก

ตัวอย่างที่ 3 ตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องคือปริมาณการใช้ไฟฟ้าที่องค์กรเป็นเวลาหนึ่งเดือน

ตัวอย่างที่ 4 ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือข้อผิดพลาดในการวัดความสูงโดยใช้เครื่องวัดระยะสูง ให้ทราบจากหลักการทำงานของเครื่องวัดระยะสูงว่าข้อผิดพลาดอยู่ในช่วง 0 ถึง 2 ม. ดังนั้นช่วงเวลาของการมีอยู่ของตัวแปรสุ่มนี้คือช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 2 ม.

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มจะถูกระบุโดยสมบูรณ์หากค่าที่เป็นไปได้ถูกระบุบนแกนตัวเลขและกำหนดกฎการแจกแจง

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เรียกว่าความสัมพันธ์ที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

มีการกล่าวถึงตัวแปรสุ่มว่ามีการแจกจ่ายตามกฎหมายที่กำหนดหรืออยู่ภายใต้กฎหมายการแจกจ่ายที่กำหนด กฎการแจกแจงความน่าจะเป็นจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันการแจกแจง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฟังก์ชันคุณลักษณะเฉพาะ

กฎหมายการแจกจ่ายให้คำอธิบายที่เป็นไปได้อย่างสมบูรณ์ของตัวแปรสุ่ม ตามกฎหมายการจัดจำหน่าย เป็นไปได้ที่จะตัดสินก่อนประสบการณ์ว่าค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะปรากฏบ่อยขึ้นและค่าใดที่น้อยกว่า

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กฎการแจกแจงสามารถกำหนดได้ในรูปแบบของตาราง เชิงวิเคราะห์ (ในรูปแบบของสูตร) และแบบกราฟิก

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของการระบุกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือตาราง (เมทริกซ์) ซึ่งแสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันตามลำดับจากน้อยไปมาก

ตารางดังกล่าวเรียกว่าชุดการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง หนึ่ง

เหตุการณ์ X 1 , X 2 ,..., X n ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากการทดสอบตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่า x 1 , x 2 ,... x n ตามลำดับ ไม่สอดคล้องกันและเป็นเพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้ (เนื่องจากตารางแสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม) เช่น สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 ดังนั้นสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องใดๆ

(หน่วยนี้มีการกระจายระหว่างค่าของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นคำว่า "การกระจาย")

สามารถแสดงชุดการแจกแจงแบบกราฟิกได้หากค่าของตัวแปรสุ่มถูกพล็อตตามแกน abscissa และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันตามแกนพิกัด การเชื่อมต่อของคะแนนที่ได้รับจะสร้างเส้นหัก เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงความน่าจะเป็น (รูปที่ 1)

ตัวอย่างมีการเล่นลอตเตอรี: รถมูลค่า 5,000 den ยูนิต ทีวี 4 เครื่อง มูลค่า 250 เด็น หน่วย, 5 VCRs มูลค่า 200 den. หน่วย โดยรวมแล้วมีการขายตั๋ว 1,000 ใบสำหรับ 7 den หน่วย ร่างกฎหมายว่าด้วยการกระจายเงินรางวัลสุทธิที่ได้รับจากผู้เข้าร่วมลอตเตอรีที่ซื้อตั๋วหนึ่งใบ

วิธีการแก้. ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X - เงินรางวัลสุทธิต่อตั๋ว - คือ 0-7 = -7 den หน่วย (ถ้าตั๋วไม่ชนะ), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den หน่วย (ถ้าตั๋วชนะ VCR ทีวี หรือรถ ตามลำดับ) ระบุว่าจากตั๋ว 1,000 ใบ จำนวนผู้ที่ไม่ใช่ผู้ชนะคือ 990 และการชนะที่ระบุคือ 5, 4 และ 1 ตามลำดับ และใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น เราได้รับ

การขยายแนวคิดของเหตุการณ์สุ่มซึ่งประกอบด้วยลักษณะของค่าตัวเลขบางอย่างอันเป็นผลมาจากการทดลองคือ ค่าสุ่มเอ็กซ์

คำนิยาม. สุ่มพวกเขาเรียกปริมาณที่เป็นผลมาจากการทดลองใช้ค่าเดียวจากจำนวนทั้งหมดบางส่วนและไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด

ค่าสุ่มตัวอย่างเช่น เป็นแบบอย่างที่เหมาะสมในการอธิบายข้อมูลทางธรณีวิทยา โดยคำนึงถึงอิทธิพลของปัจจัยต่างๆ ที่มีต่อสนามกายภาพ

นอกจากผลการทดสอบที่แยกจากกันแล้ว ยังไม่สามารถคาดเดาค่าที่แน่นอนของตัวแปรสุ่มได้ เราสามารถกำหนดรูปแบบทางสถิติได้เท่านั้น กล่าวคือ กำหนดความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่ม ตัวอย่างเช่น การวัด คุณสมบัติทางกายภาพ หินเป็นการสังเกตตัวแปรสุ่มที่สอดคล้องกัน

ในบรรดาตัวแปรสุ่มที่นักธรณีวิทยาต้องจัดการ สามารถจำแนกได้สองประเภทหลัก: ไม่ต่อเนื่องและปริมาณ ต่อเนื่อง.

คำนิยาม. ไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มคือตัวแปรที่สามารถใช้กับชุดค่าที่นับได้มีจำกัดหรือนับได้ไม่สิ้นสุด

ตามตัวอย่างทั่วไปของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง อาจมีผลลัพธ์ทั้งหมดของงานภาคสนาม ผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลอง ตัวอย่างที่นำมาจากภาคสนาม ฯลฯ

ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ กล่าวคือ ที่ใดมีจำกัดหรืออนันต์ จึงกล่าวได้ว่า ค่าสุ่มสรุปแนวคิดของเหตุการณ์สุ่ม

ให้ชุดข้อมูลต่อไปนี้เกี่ยวกับองค์ประกอบเชิงปริมาณของสายพันธุ์บางสายพันธุ์เป็นผลมาจากการวิจัย: 4; 3; หนึ่ง; 2; 5; สี่; 2; 2; 3; หนึ่ง; 5; สี่; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. ทำการทดสอบทั้งหมด 20 ครั้ง เพื่อให้สะดวกในการทำงานกับข้อมูล พวกมันถูกแปลง: ค่าที่ได้รับถูกจัดเรียงจากน้อยไปหามาก และคำนวณจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นของแต่ละค่า เป็นผลให้เราได้รับ (ตาราง 7.1):

คำนิยาม. การกระจายข้อมูลจากน้อยไปมากเรียกว่า อันดับ.

คำนิยาม. ค่าที่สังเกตได้ของสัญญาณบางอย่างของตัวแปรสุ่มเรียกว่าตัวแปร

คำนิยาม. ชุดที่ประกอบด้วยตัวแปรเรียกว่า ซีรีส์ที่แปรผัน.

คำนิยาม. การเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมายของตัวแปรสุ่มบางตัวเรียกว่า หลากหลาย.

คำนิยาม. ตัวเลขที่แสดงจำนวนครั้งที่ตัวแปรหนึ่งๆ แตกต่างกันเรียกว่า ความถี่ และแสดงด้วย

คำนิยาม. ความน่าจะเป็นลักษณะที่ปรากฏของตัวเลือกนี้เท่ากับอัตราส่วนของความถี่ต่อจำนวนรวมของชุดการเปลี่ยนแปลง

(1)

โดยคำนึงถึงคำจำกัดความที่แนะนำ เราจะเขียนตารางที่ 7.1 ใหม่

ตารางที่ 7.2. อันดับแถว

ตัวเลือก	1	2	3	4	5	6
ความถี่	3	4	3	3	6	1
ความน่าจะเป็น	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

ที่ การวิเคราะห์ทางสถิติข้อมูลการทดลองส่วนใหญ่จะใช้ปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง ตารางที่ 7.3 แสดงลักษณะเชิงตัวเลขหลักของปริมาณเหล่านี้ ซึ่งมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากในการประมวลผลข้อมูลการทดลอง

ตารางที่ 7.3 ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

ไม่มี p / p

ลักษณะ (พารามิเตอร์) ของตัวแปรสุ่มและการกำหนด

สูตรการหาคุณลักษณะของตัวแปรสุ่ม

บันทึก

มูลค่าที่คาดหวัง