Algebras nodarbības izstrāde 11. profila klasē

Nodarbību vadīja MBOU 6. vidusskolas matemātikas skolotāja Tupitsyna O.V.

Tēma un nodarbības numurs tēmā:“Vairāku pārveidojumu pielietošana, kas ved uz vienādojumu-secību”, nodarbība Nr.7, 8 tēmā: “Vienādojums-secība”

Temats:Algebra un matemātiskās analīzes sākums - 11. klase (profila apmācība saskaņā ar S.M. Nikoļska mācību grāmatu)

Nodarbības veids: "zināšanu un prasmju sistematizācija un vispārināšana"

Nodarbības veids: darbnīca

Skolotāja loma: virzīt studentu kognitīvo darbību uz prasmju attīstību patstāvīgi pielietot zināšanas kompleksā, lai izvēlētos vēlamo transformācijas metodi vai metodes, kas noved pie vienādojuma - sekas un metodes pielietojums vienādojuma risināšanā, jaunos apstākļos.

Nepieciešamais tehniskais aprīkojums:multimediju aprīkojums, tīmekļa kamera.

Izmantotā nodarbība:

1. didaktiskais mācību modelis- radīt problemātisku situāciju,
2. pedagoģiskie līdzekļi- lapas, kurās norādīti apmācības moduļi, uzdevumu izlase vienādojumu risināšanai,
3. studentu aktivitātes veids- grupa (nodarbībās tiek veidotas grupas - jaunu zināšanu "atklājumi", stunda Nr. 1 un 2 no skolēniem ar dažādu mācīšanās un mācīšanās pakāpi), kopīga vai individuāla problēmu risināšana,
4. uz personību orientētas izglītības tehnoloģijas: moduļu apmācība, problēmmācība, meklēšanas un izpētes metodes, kolektīvais dialogs, darbības metode, darbs ar mācību grāmatu un dažādiem avotiem,
5. veselību saudzējošas tehnoloģijas- lai mazinātu stresu, tiek veikta fiziskā izglītība,
6. kompetences:

- izglītības un izziņas pamatlīmenī- studenti zina vienādojuma jēdzienu - sekas, vienādojuma sakni un pārveidošanas metodes, kas noved pie vienādojuma - sekas, prot atrast vienādojumu saknes un veikt to pārbaudi produktīvā līmenī;

- progresīvā līmenī- studenti prot atrisināt vienādojumus, izmantojot labi zināmas transformāciju metodes, pārbaudīt vienādojumu saknes, izmantojot vienādojumu pieļaujamo vērtību apgabalu; aprēķināt logaritmus, izmantojot uz izpēti balstītas īpašības; informatīvs - studenti patstāvīgi meklē, iegūst un atlasa izglītības problēmu risināšanai nepieciešamo informāciju dažāda veida avotos.

Didaktiskais mērķis:

radot apstākļus:

Priekšstatu veidošana par vienādojumiem - sekām, saknēm un transformācijas metodēm;

Nozīmju radīšanas pieredzes veidošana, pamatojoties uz iepriekš pētīto vienādojumu pārveidošanas metožu loģisko konsekvenci: vienādojuma paaugstināšana līdz pat pakāpei, logaritmisko vienādojumu potenciēšana, vienādojuma atbrīvošana no saucējiem, līdzīgu terminu ienesšana;

Prasmju nostiprināšana transformācijas metodes izvēles noteikšanā, tālākā vienādojuma risināšanā un vienādojuma sakņu izvēlē;

Problēmas noteikšanas prasmju apgūšana, pamatojoties uz zināmu un apgūtu informāciju, veidojot pieprasījumus noskaidrot vēl nezināmo;

Studentu izziņas interešu, intelektuālo un radošo spēju veidošana;

Attīstīt loģisko domāšanu, skolēnu radošo darbību, projektēšanas prasmes, spēju izteikt savas domas;

Tolerances sajūtas veidošana, savstarpēja palīdzība, strādājot grupā;

Modināt interesi par neatkarīgu vienādojumu risināšanu;

Uzdevumi:

Organizēt zināšanu atkārtošanu un sistematizēšanu par vienādojumu pārveidošanu;

- nodrošināt vienādojumu risināšanas un to sakņu pārbaudes metožu apguvi;

- veicināt studentu analītiskās un kritiskās domāšanas attīstību; salīdzināt un izvēlēties optimālas vienādojumu risināšanas metodes;

- radīt apstākļus pētniecisko prasmju, grupu darba iemaņu attīstībai;

Motivēt studentus izmantot apgūto materiālu, lai sagatavotos eksāmenam;

Analizējiet un novērtējiet savu un savu biedru darbu šī darba izpildē.

Plānotie rezultāti:

*personīgi:

Prasmes izvirzīt uzdevumu, pamatojoties uz zināmu un apgūtu informāciju, ģenerēt pieprasījumus, lai noskaidrotu to, kas vēl nav zināms;

Spēja izvēlēties problēmas risināšanai nepieciešamos informācijas avotus; izglītojamo izziņas interešu, intelektuālo un radošo spēju attīstība;

Loģiskās domāšanas attīstība, radoša darbība, spēja izteikt savas domas, spēja argumentēt;

Darbības rezultātu pašnovērtējums;

Komandas darba prasmes;

*metasubjekts:

Spēja izcelt galveno, salīdzināt, vispārināt, izdarīt analoģiju, pielietot induktīvās spriešanas metodes, izvirzīt hipotēzes, risinot vienādojumus,

Spēja interpretēt un pielietot iegūtās zināšanas, gatavojoties eksāmenam;

*tēma:

Zināšanas par vienādojumu pārveidošanu,

Spēja izveidot modeli, kas saistīts ar dažāda veida vienādojumiem, un izmantot to sakņu risināšanā un atlasē,

Stundu mērķu integrēšana:

1. (skolotājam) Holistiska skatījuma veidošana skolēnos par vienādojumu pārveidošanas veidiem un to risināšanas metodēm;
2. (skolēniem) Attīstīt spēju novērot, salīdzināt, vispārināt, analizēt matemātiskas situācijas, kas saistītas ar vienādojumu veidiem, kas satur dažādas funkcijas. Sagatavošanās eksāmenam.

Nodarbības I posms:

Zināšanu papildināšana motivācijas paaugstināšanai dažādu vienādojumu pārveidošanas metožu pielietošanas jomā (ievades diagnostika)

Zināšanu atjaunināšanas posmsveikts pārbaudes darba veidā ar pašpārbaudi. Izvirzīti attīstošie uzdevumi, balstoties uz iepriekšējās nodarbībās iegūtajām zināšanām, kas prasa no skolēniem aktīvu garīgo darbību un ir nepieciešami uzdevuma veikšanai šajā nodarbībā.

Pārbaudes darbs

1. Izvēlieties vienādojumus, kas pieprasa nezināmo ierobežojumu ierobežošanu visu reālo skaitļu kopā:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Norādiet katra vienādojuma derīgo vērtību diapazonu, kur ir ierobežojumi.

(3) Izvēlieties šāda vienādojuma piemēru, kur transformācija var izraisīt saknes zudumu (izmantojiet iepriekšējo nodarbību materiālus par šo tēmu).

Katrs patstāvīgi pārbauda atbildes atbilstoši gatavajām, kas iezīmētas ekrānā. Sarežģītākie uzdevumi tiek analizēti un studenti īpašu uzmanību pievērš piemēriem a, c, g, h, kur pastāv ierobežojumi.

Secināts, ka, risinot vienādojumus, ir nepieciešams noteikt vienādojuma atļauto vērtību diapazonu vai pārbaudīt saknes, lai izvairītos no svešām vērtībām. Atkārtojas iepriekš pētītās vienādojumu pārveidošanas metodes, kas noved pie vienādojuma - sekas. Tas nozīmē, ka studenti tiek motivēti turpmākajā darbā atrast pareizo veidu, kā atrisināt viņu piedāvāto vienādojumu.

Nodarbības II posms:

Savu zināšanu, prasmju un iemaņu praktiska pielietošana vienādojumu risināšanā.

Grupām tiek izdalītas lapas ar moduli, kas sastādīts par šīs tēmas jautājumiem. Modulis ietver piecus mācību elementus, no kuriem katrs ir vērsts uz noteiktu uzdevumu veikšanu. Skolēni ar dažādām mācīšanās un mācīšanās pakāpēm patstāvīgi nosaka savu aktivitāšu apjomu stundā, bet, tā kā visi strādā grupās, notiek nepārtraukts zināšanu un prasmju pielāgošanas process, velkot atpalikušos uz obligāto, pārējos uz augstāko un radošie līmeņi.

Nodarbības vidū tiek ieturēta obligātā fiziskā minūte.

Izglītības elementa Nr	Izglītojošs elements ar uzdevumiem	Mācību materiāla izstrādes ceļvedis
UE-1	Mērķis: Noteikt un pamatot galvenās vienādojumu risināšanas metodes, pamatojoties uz funkciju īpašībām. Vingrinājums: Norādiet transformācijas metodi, lai atrisinātu šādus vienādojumus: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = grēks x. 2) Uzdevums: Atrisiniet vismaz divus no piedāvātajiem vienādojumiem. Aprakstiet, kādas metodes tika izmantotas atrisinātajos vienādojumos.	7.3.punkts 212.p 7.4.punkts 214.p 7.5.punkts 217.lpp 7.2.punkts 210.lpp
UE-2	Mērķis: Apgūt racionālus risināšanas paņēmienus un metodes Vingrinājums: Sniedziet piemērus no augstākminētajiem vai paša izvēlētiem (izmantojiet iepriekšējo stundu materiālus) vienādojumus, kurus var atrisināt, izmantojot racionālas risināšanas metodes, kas tie ir? (uzsvars uz veidu, kā pārbaudīt vienādojuma saknes)
UE-3	Mērķis: Iegūto zināšanu izmantošana augstas sarežģītības vienādojumu risināšanā Vingrinājums: = (vai ( = (	7.5.punkts
UE-4	Iestatiet tēmas meistarības līmeni: zems - ne vairāk kā 2 vienādojumu risinājums; Vidēja - ne vairāk kā 4 vienādojumu risinājums; augsts - ne vairāk kā 5 vienādojumu risinājums
UE-5	Izvades vadība: Izveidojiet tabulu, kurā attēlojiet visus vienādojumu pārveidošanas veidus un katram veidam pierakstiet atrisināto vienādojumu piemērus, sākot no tēmas 1. nodarbības: “Vienādojumi – sekas”	Abstrakti piezīmju grāmatiņās

III nodarbības posms:

Izvades diagnostikas darbs, kas atspoguļo studentu refleksiju, kas šajā sadaļā parādīs gatavību ne tikai rakstīt kontroldarbu, bet arī gatavību eksāmenam.

Stundas beigās visi skolēni bez izņēmuma novērtē sevi, tad seko skolotāja vērtējums. Ja starp skolotāju un skolēnu rodas domstarpības, skolotājs var piedāvāt skolēnam papildu uzdevumu, lai to objektīvi varētu izvērtēt. Mājasdarbskura mērķis ir pārskatīt materiālu pirms kontroles darba.

Šo prezentāciju var izmantot, vadot algebras stundu un sākot analīzi 11. klasē, apgūstot tēmu "Vienādojumi - sekas" saskaņā ar autoru S. M. Nikoļska, M. K. Potapova, N. N. Rešetņikova, A. V. Ševkina mācību materiāliem.

Skatīt dokumenta saturu
“Seku vienādojumi. Citas transformācijas, kas noved pie vienādojuma sekas"

VIENĀDĀJUMI - SEKAS

MUTES DARBS

• Kādus vienādojumus sauc par izrietošajiem vienādojumiem?
• Ko sauc par pāreju uz seku vienādojumu
• Kādas transformācijas noved pie izrietošā vienādojuma?

MUTES DARBS

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Nav risinājumu

Nav risinājumu

MUTES DARBS

Nav risinājumu

Transformācijas, kas noved pie secinājuma vienādojuma

transformācija

Ietekme uz vienādojuma saknēm

Vienādojuma paaugstināšana līdz vienmērīgai jaudai

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Logaritmisko vienādojumu potenciācija, t.i. nomaiņa:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g(x)

Var novest pie svešām saknēm

Vienādojuma atbrīvošana no saucējiem:

Var izraisīt svešu sakņu parādīšanos, t.i. tie skaitļi x i, kuriem vai

Starpību f(x)-f(x) aizstājot ar nulli, t.i. līdzīgu terminu samazināšana

Var izraisīt svešu sakņu parādīšanos, t.i. tie skaitļi, kuriem katram nav definēta funkcija f(x).

Ja, risinot šo vienādojumu, tiek veikta pāreja uz seku vienādojumu, tad ir jāpārbauda, ​​vai visas seku vienādojuma saknes ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Iegūto sakņu pārbaude ir obligāta vienādojuma risināšanas sastāvdaļa.

№ 8.2 2 a) Atrisiniet vienādojumu :

2) Nr. 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) Atrisiniet vienādojumu :

№ 8.25 (a, c) Atrisiniet vienādojumu :

№ 8.28 (a, c) Atrisiniet vienādojumu :

№ 8.29 (a, c) Atrisiniet vienādojumu :

MĀJASDARBS

• Nobrauciens Nr.8,24 (b, d), 236.lpp
• Nr. 8.25(b, d)
• 8,28 (b, d)
• 8,29 (b, d)

Klase: 11

Ilgums: 2 nodarbības.

Nodarbības mērķis:

• (skolotājam) holistiska skatījuma veidošana par iracionālu vienādojumu risināšanas metodēm studentu vidū.
• (skolēniem) Attīstīt spēju novērot, salīdzināt, vispārināt, analizēt matemātiskas situācijas (2. slaids). Sagatavošanās eksāmenam.

Pirmās nodarbības plāns(3. slaids)

1. Zināšanu atjaunināšana
2. Teorijas analīze: vienādojuma paaugstināšana līdz vienmērīgai pakāpei
3. Seminārs par vienādojumu risināšanu

Otrās nodarbības plāns

1. Diferencēts patstāvīgais darbs grupās "Iracionālie vienādojumi eksāmenā"
2. Nodarbību kopsavilkums
3. Mājasdarbs

Nodarbību gaita

I. Zināšanu papildināšana

Mērķis: atkārtojiet jēdzienus, kas nepieciešami sekmīgai stundas tēmas izstrādei.

priekšējā aptauja.

Kādi divi vienādojumi tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem?

Kādas vienādojuma transformācijas sauc par ekvivalentām?

- Aizstājiet šo vienādojumu ar līdzvērtīgu vienādojumu ar lietotās transformācijas skaidrojumu: (4. slaids)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Kādu vienādojumu sauc par sākotnējā vienādojuma vienādojumu-seku?

– Vai seku vienādojumam var būt sakne, kas nav sākotnējā vienādojuma sakne? Kā sauc šīs saknes?

– Kādas vienādojuma transformācijas noved pie vienādojuma-sekām?

Kas ir aritmētiskā kvadrātsakne?

Šodien sīkāk pakavēsimies pie transformācijas "Vienādojuma paaugstināšana līdz vienmērīgai pakāpei".

II. Teorijas analīze: vienādojuma paaugstināšana līdz vienmērīgai pakāpei

Skolotāja skaidrojums ar aktīvu skolēnu līdzdalību:

Ļaujiet 2m(mN) ir fiksēts pāra naturāls skaitlis. Tad vienādojuma sekasf(x) =g(x) ir vienādojums (f(x)) = (g(x)).

Ļoti bieži šis apgalvojums tiek izmantots iracionālu vienādojumu risināšanā.

Definīcija. Vienādojumu, kas satur nezināmo zem saknes zīmes, sauc par iracionālu.

Atrisinot iracionālus vienādojumus, tiek izmantotas šādas metodes: (5. slaids)

Uzmanību! Nepieciešama 2. un 3. metode obligāts pārbaudes.

ODZ ne vienmēr palīdz novērst svešas saknes.

Secinājums: risinot iracionālus vienādojumus, ir svarīgi iziet trīs posmus: tehnisko, risinājumu analīzi, pārbaudi (6. slaids).

III. Seminārs par vienādojumu risināšanu

Atrisiniet vienādojumu:

Pēc tam, kad ir apspriests, kā atrisināt vienādojumu ar kvadrātu, atrisiniet, pārejot uz līdzvērtīgu sistēmu.

Secinājums: vienkāršāko vienādojumu ar veselu skaitļu saknēm risinājumu var veikt ar jebkuru pazīstamu metodi.

b) \u003d x - 2

Atrisinot, paaugstinot abas vienādojuma daļas vienādās pakāpēs, skolēni iegūst saknes x = 0, x = 3 -, x = 3 +, kuras ir grūti un laikietilpīgi pārbaudīt ar aizstāšanu. (7. slaids). Pāreja uz līdzvērtīgu sistēmu

ļauj ātri atbrīvoties no svešām saknēm. Nosacījumu x ≥ 2 apmierina tikai x.

Atbilde: 3+

Secinājums: Iracionālas saknes labāk pārbaudīt, pārejot uz līdzvērtīgu sistēmu.

c) \u003d x - 3

Šī vienādojuma risināšanas procesā mēs iegūstam divas saknes: 1 un 4. Abas saknes apmierina vienādojuma kreiso pusi, bet x \u003d 1 tiek pārkāpta aritmētiskās kvadrātsaknes definīcija. ODZ vienādojums nepalīdz novērst svešas saknes. Pāreja uz līdzvērtīgu sistēmu sniedz pareizo atbildi.

Secinājums:labas zināšanas un izpratne par visiem aritmētiskās kvadrātsaknes noteikšanas nosacījumiem palīdz pāriet uzveicot līdzvērtīgas transformācijas.

Izliekot kvadrātā abas vienādojuma puses, mēs iegūstam vienādojumu

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, atdalot radikāli uz labo pusi, mēs iegūstam

26 - x + x \u003d 8. Piemērojot turpmākās darbības abu vienādojuma daļu kvadrātā, tiks izveidots 4. pakāpes vienādojums. Pāreja uz ODZ vienādojumu dod labu rezultātu:

atrodiet ODZ vienādojumu:

x = 3.

Pārbaudiet: - 4 = , 0 = 0 ir pareizs.

Secinājums:dažreiz ir iespējams veikt risinājumu, izmantojot ODZ vienādojuma definīciju, bet noteikti pārbaudiet.

Risinājums: ODZ vienādojums: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Ja x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Tāpēc vienādojuma kreisā puse ir negatīva, bet labā puse nav negatīva; tātad sākotnējam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: nav sakņu.

Secinājums:Pareizi pamatojot ierobežojumu vienādojuma nosacījumā, jūs varat viegli atrast vienādojuma saknes vai noteikt, ka tās neeksistē.

Izmantojot šī vienādojuma risināšanas piemēru, parādiet vienādojuma dubulto kvadrātu, izskaidrojiet frāzes "radikāļu vientulība" nozīmi un nepieciešamību pārbaudīt atrastās saknes.

h) + = 1.

Šo vienādojumu atrisināšana tiek veikta ar mainīgā mainīšanas metodi līdz atgriešanās pie sākotnējā mainīgā lieluma. Pabeidziet lēmumu piedāvāt tiem, kuri tiks galā ar nākamā posma uzdevumiem, agrāk.

testa jautājumi

• Kā atrisināt vienkāršākos iracionālos vienādojumus?
• Kas jāatceras, paaugstinot vienādojumu līdz vienmērīgai pakāpei? ( var parādīties svešas saknes)
• Kāds ir labākais veids, kā pārbaudīt neracionālās saknes? ( izmantojot ODZ un nosacījumus abu vienādojuma daļu zīmju sakritībai)
• Kāpēc, risinot iracionālus vienādojumus, ir jāspēj analizēt matemātiskas situācijas? ( Par pareizu un ātru vienādojuma risināšanas metodes izvēli).

IV. Diferencēts patstāvīgais darbs grupās "Iracionālie vienādojumi eksāmenā"

Klase ir sadalīta grupās (katrā 2-3 cilvēki) atbilstoši apmācību līmeņiem, katra grupa izvēlas variantu ar uzdevumu, pārrunā un risina izvēlētos uzdevumus. Ja nepieciešams, sazinieties ar skolotāju, lai saņemtu padomu. Pēc visu savas versijas uzdevumu izpildes un skolotāja atbilžu pārbaudes grupas dalībnieki individuāli izpilda iepriekšējā stundas posma vienādojumu g) un h) atrisinājumu. 4. un 5. variantam (pēc atbilžu un skolotāja lēmuma pārbaudes) uz tāfeles tiek uzrakstīti papildu uzdevumi, kas tiek izpildīti individuāli.

Visi individuālie risinājumi stundu beigās tiek nodoti skolotājam pārbaudei.

1. iespēja

Atrisiniet vienādojumus:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

5. iespēja

1. Atrisiniet vienādojumu:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Papildus uzdevumi:

v. Nodarbību kopsavilkums

Kādas grūtības saskārāties, pildot eksāmena uzdevumus? Kas ir nepieciešams, lai pārvarētu šīs grūtības?

VI. Mājasdarbs

Atkārtojiet iracionālu vienādojumu risināšanas teoriju, izlasiet mācību grāmatas 8.2. punktu (pievērsiet uzmanību 3. piemēram).

Atrisināt Nr.8.8 (a, c), Nr.8.9 (a, c), Nr.8.10 (a).

Literatūra:

1. Nikoļskis S.M., Potapovs M.K., N.N. Rešetņikovs N.N., Ševkins A.V. Algebra un matemātiskās analīzes sākums , mācību grāmata izglītības iestāžu 11. klasei, M .: Izglītība, 2009.g.
2. Mordkovičs A.G. Par dažiem metodoloģiskiem jautājumiem, kas saistīti ar vienādojumu atrisināšanu. Matemātika skolā. -2006. -Numurs 3.
3. M. Šabuņins. Vienādojumi. Lekcijas vidusskolēniem un abiturientiem. Maskava, "Chistye Prudy", 2005. (bibliotēka "Pirmais septembris")
4. E.N. Balaja. Seminārs par problēmu risināšanu. Iracionālie vienādojumi, nevienādības un sistēmas. Rostova pie Donas, "Fēnikss", 2006.
5. Matemātika. Sagatavošanās eksāmenam-2011. Rediģēja F.F. Lisenko, S.Ju. Kulabukhovas leģions-M, Rostova pie Donas, 2010.

Dažas transformācijas ļauj pāriet no risināmā vienādojuma uz līdzvērtīgiem vienādojumiem, kā arī uz seku vienādojumiem, kas vienkāršo sākotnējā vienādojuma atrisināšanu. Šajā materiālā mēs jums pastāstīsim, kas ir šie vienādojumi, formulēsim galvenās definīcijas, ilustrēsim tās ar ilustratīviem piemēriem un paskaidrosim, kā tieši tiek aprēķinātas sākotnējā vienādojuma saknes no seku vienādojuma vai līdzvērtīga vienādojuma saknēm.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ekvivalentu vienādojumu jēdziens

1. definīcija

Līdzvērtīgs sauc tādus vienādojumus, kuriem ir vienādas saknes, vai tādus, kuros nav sakņu.

Šāda veida definīcijas bieži atrodamas dažādās mācību grāmatās. Sniegsim dažus piemērus.

2. definīcija

Vienādojums f (x) = g (x) tiek uzskatīts par līdzvērtīgu vienādojumam r (x) = s (x), ja tiem ir vienādas saknes vai tiem abiem nav sakņu.

3. definīcija

Vienādojumi ar vienādām saknēm tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem. Arī tie tiek uzskatīti par diviem vienādojumiem, kuriem vienādi nav sakņu.

4. definīcija

Ja vienādojumam f (x) \u003d g (x) ir tāda pati sakņu kopa kā vienādojumam p (x) \u003d h (x), tad tos uzskata par līdzvērtīgiem viens pret otru.

Kad mēs runājam par sakņu kopu, kas sakrīt, mēs domājam, ka, ja noteikts skaitlis ir viena vienādojuma sakne, tad tas iederēsies kā cita vienādojuma risinājums. Nevienam no vienādojumiem, kas ir līdzvērtīgi, nevar būt sakne, kas nav piemērota otram vienādojumam.

Mēs sniedzam vairākus šādu vienādojumu piemērus.

1. piemērs

Piemēram, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 un x \u003d 2 būs līdzvērtīgi, jo katram no tiem ir tikai viena sakne - divas. Arī x · 0 = 0 un 2 + x = x + 2 būs līdzvērtīgi, jo to saknes var būt jebkuri skaitļi, tas ir, to risinājumu kopas ir vienādas. Arī vienādojumi x = x + 5 un x 4 = − 1 būs līdzvērtīgi, un katram no tiem nav atrisinājuma.

Skaidrības labad apsveriet vairākus neekvivalentu vienādojumu piemērus.

2. piemērs

Piemēram, x = 2 un x 2 = 4 būs, jo to saknes ir atšķirīgas. Tas pats attiecas uz vienādojumiem x x \u003d 1 un x 2 + 5 x 2 + 5, jo otrajā risinājums var būt jebkurš skaitlis, bet otrajā sakne nevar būt 0.

Iepriekš dotās definīcijas ir piemērotas arī vienādojumiem ar vairākiem mainīgajiem, tomēr gadījumā, ja mēs runājam par divām, trim vai vairākām saknēm, izteiciens "vienādojuma risinājums" ir piemērotāks. Rezumējot: līdzvērtīgi vienādojumi ir tie vienādojumi, kuriem ir vienādi risinājumi vai nav neviena.

Ņemsim vienādojumu piemērus, kas satur vairākus mainīgos un ir līdzvērtīgi viens otram. Tātad, x 2 + y 2 + z 2 = 0 un 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 ietver trīs mainīgos un visos trīs gadījumos tiem ir tikai viens risinājums, kas vienāds ar 0. Un vienādojumu pāris x + y = 5 un x y = 1 nebūs līdzvērtīgi viens otram, jo, piemēram, vērtības 5 un 3 ir piemērotas pirmajam, bet nebūs risinājums otrajam: aizvietojot tos pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību, bet otrajā - nepatiesu.

Secinājumu vienādojumu jēdziens

Citēsim vairākus mācību grāmatās ņemtus secinājumu vienādojumu definīciju piemērus.

5. definīcija

Vienādojuma f (x) = g (x) sekas būs vienādojums p (x) = h (x) ar nosacījumu, ka katra pirmā vienādojuma sakne vienlaikus ir arī otrā vienādojuma sakne.

6. definīcija

Ja pirmajam vienādojumam ir tādas pašas saknes kā otrajam, tad otrais būs pirmā vienādojuma sekas.

Ņemsim dažus šādu vienādojumu piemērus.

3. piemērs

Tātad x 2 = 32 būs x - 3 = 0 sekas, jo pirmajam ir tikai viena sakne, kas vienāda ar trīs, un tā būs arī otrā vienādojuma sakne, tāpēc šīs definīcijas kontekstā viens vienādojums būs citas sekas. Cits piemērs: vienādojums (x - 2) (x - 3) (x - 4) = 0 būs x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 sekas, jo otrajam vienādojumam ir divas saknes, kas vienādas ar 2 un 3, kas tajā pašā laikā būs pirmā saknes.

No iepriekš minētās definīcijas mēs varam secināt, ka jebkurš vienādojums, kuram nav sakņu, būs arī jebkura vienādojuma sekas. Šeit ir dažas citas visu šajā rakstā formulēto noteikumu sekas:

7. definīcija

1. Ja viens vienādojums ir līdzvērtīgs citam, tad katrs no tiem būs otra sekas.
2. Ja no diviem vienādojumiem katrs ir otra sekas, tad šie vienādojumi būs līdzvērtīgi viens otram.
3. Vienādojumi būs līdzvērtīgi viens otram tikai tad, ja katrs no tiem ir otra sekas.

Kā atrast vienādojuma saknes no seku vienādojuma vai līdzvērtīga vienādojuma saknēm

Pamatojoties uz to, ko rakstījām definīcijās, tad gadījumā, ja zinām viena vienādojuma saknes, tad zinām arī līdzvērtīgo saknes, jo tās sakritīs.

Ja zinām visas seku vienādojuma saknes, tad varam noteikt saknes otrajam vienādojumam, kura sekas tas ir. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāizrauj svešas saknes. Mēs rakstījām atsevišķu rakstu par to, kā tas tiek darīts. Mēs iesakām to izlasīt.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Lai pētītu šodienas tēmu, jāatkārto, kurš vienādojums tiek saukts par seku vienādojumu, kuras teorēmas ir "nemierīgas" un no kādiem soļiem sastāv jebkura vienādojuma atrisinājums.

Definīcija. Ja katra vienādojuma ef sakne no x ir vienāda ar x (mēs to apzīmējam ar skaitli viens), tajā pašā laikā ir vienādojuma pe sakne no x, vienāda ar pelni no x (mēs to apzīmējam ar skaitli divi) , tad otro vienādojumu sauc par pirmā vienādojuma sekām.

Teorēma ceturtā. Ja abas vienādojuma ef puses no x ir vienādas ar to pašu no x, reiziniet ar to pašu izteiksmi ash no x, kas ir:

Pirmkārt, vienādojuma eff no x, kas ir vienāds ar no x, definīcijas jomā (pieļaujamo vērtību diapazonā) ir jēga visur.

Otrkārt, nekur šajā reģionā tas nepazūd, tad iegūstam vienādojumu ef no x, reizināts ar pelniem no x ir vienāds ar x, reizināts ar pelniem no x, kas ir ekvivalents dotajam tā ODZ.

Sekas ceturtā teorēma ir vēl viens "mierīgs" apgalvojums: ja abas vienādojuma daļas reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, tad tiek iegūts vienādojums, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

Piektā teorēma. Ja vienādojuma abas puses

ef no x ir vienāds ar x nav negatīvs ODZ vienādojumā, tad pēc abām tā daļām paaugstināšanas vienādās pakāpēs n iegūstam vienādojumu eff no x līdz pakāpei x ir vienāds ar x ar pakāpju x, kas ir ekvivalents šim vienādojumam tā o de ze.

Sestā teorēma. Lai a ir lielāks par nulli un nav vienāds ar vienu, un eff no x ir lielāks par nulli,

zhe no x ir lielāks par nulli, tolologaritmiskais vienādojums ir ef logaritms no x līdz bāzei a, vienāds ar zhe logaritmu no x līdz bāzei a,

ir ekvivalents vienādojumam ef no x ir tāds pats kā no x .

Kā jau teicām, jebkuru vienādojumu atrisināšana notiek trīs posmos:

Pirmais posms ir tehnisks. Ar sākotnējā vienādojuma transformāciju ķēdes palīdzību nonākam pie diezgan vienkārša vienādojuma, kuru atrisinām un atrodam saknes.

Otrais posms ir risinājuma analīze. Mēs analizējam veiktās transformācijas un noskaidrojam, vai tās ir līdzvērtīgas.

Trešais posms ir pārbaude. Veicot transformācijas, kas var novest pie seku vienādojuma, ir obligāti jāpārbauda visas atrastās saknes, aizstājot tās sākotnējā vienādojumā.

Šajā nodarbībā noskaidrosim, kādas transformācijas pielietojot šis vienādojums pāriet seku vienādojumā? Apsveriet šādus uzdevumus.

1. vingrinājums

Kurš vienādojums izriet no vienādojuma x mīnus trīs ir vienāds ar divi?

Risinājums

Vienādojumam x mīnus trīs ir vienāds ar divi ir viena sakne - x ir pieci. Reiziniet abas šī vienādojuma puses ar izteiksmi x mīnus seši, pievienojiet līdzīgus vārdus un iegūstiet kvadrātvienādojumu x kvadrāts mīnus vienpadsmit x plus trīsdesmit ir vienāds ar nulli. Aprēķināsim tā saknes: x pirmais ir vienāds ar pieci; x sekunde ir vienāda ar sešiem. Tajā jau ir divas saknes. Vienādojums x kvadrāts mīnus vienpadsmit x plus trīsdesmit ir vienāds ar nulli satur vienu sakni – x ir pieci; vienādojuma x mīnus trīs ir vienāds ar diviem, tātad x kvadrātā mīnus vienpadsmit x plus trīsdesmit ir vienādojuma x mīnus trīs ir vienāds ar divi sekas.

2. uzdevums

Kāds vēl vienādojums ir vienādojuma x-3=2 sekas?

Risinājums

Vienādojumā x mīnus trīs ir vienāds ar divi, mēs abas tā daļas kvadrātā, piemērojam atšķirības kvadrāta formulu, pievienojam līdzīgus vārdus, iegūstam kvadrātvienādojumu x kvadrātā mīnus seši, x plus pieci ir vienāds ar nulli.

Aprēķināsim tā saknes: x pirmais ir vienāds ar pieci, x otrais ir vienāds ar vienu.

Sakne x vienāds ar vienu ir ārpus vienādojuma x mīnus trīs ir vienāds ar divi. Tas notika tāpēc, ka abas sākotnējā vienādojuma puses bija kvadrātā (vienmērīga jauda). Bet tajā pašā laikā tā kreisā puse - x mīnus trīs - var būt negatīva (nosacījumi piektā teorēma). Tātad vienādojums x kvadrāts mīnus seši x plus pieci ir vienāds ar nulli ir vienādojuma x mīnus trīs ir vienāds ar divi sekas.

3. uzdevums

Atrodiet vienādojuma secinājumu

logaritms x plus viens līdz trīs bāzei plus logaritms x plus trīs līdz trīs bāzei ir vienāds ar vienu.

Risinājums

Mēs attēlojam vienotību kā logaritmu no trīs līdz trīs bāzei, pastiprinām logaritmisko vienādojumu, veicam reizināšanu, saskaitām līdzīgus vārdus un iegūstam kvadrātvienādojumu x kvadrātā plus četri x ir vienāds ar nulli. Aprēķināsim tā saknes: x pirmais ir vienāds ar nulli, x otrais ir vienāds ar mīnus četri. Sakne x ir vienāda ar mīnus četri ir sveša logaritmiskajā vienādojumā, jo, kad to aizstāj logaritmiskajā vienādojumā, izteiksmes x plus viens un x plus trīs iegūst negatīvas vērtības - nosacījumi tiek pārkāpti. sestā teorēma.

Tātad vienādojums x kvadrātā plus četri x ir vienāds ar nulli ir šī vienādojuma sekas.

Pamatojoties uz šo piemēru risinājumu, mēs varam darīt secinājums:seku vienādojumu iegūst no dotā vienādojuma, paplašinot vienādojuma apgabalu. Un tas ir iespējams, veicot tādas transformācijas kā

1) atbrīvošanās no saucējiem, kas satur mainīgo;

2) abas vienādojuma daļas paaugstinot līdz vienādam jaudai;

3) atbrīvojums no logaritmu zīmēm.

Atcerieties!Ja vienādojuma risināšanas procesā ir paplašinājies vienādojuma definīcijas domēns, tad ir jāpārbauda visas atrastās saknes.

4. uzdevums

Atrisiniet vienādojumu x mīnus trīs dalīts ar x mīnus pieci plus viens dalīts ar x ir vienāds ar x plus pieci dalīts ar x reiz x mīnus pieci.

Risinājums

Pirmais posms ir tehnisks.

Veiksim transformāciju ķēdi, iegūstam vienkāršāko vienādojumu un atrisināsim to. Lai to izdarītu, mēs reizinām abas vienādojuma daļas ar daļu kopsaucēju, tas ir, ar izteiksmi x, kas reizināta ar xmīnus pieci.

Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu x kvadrāts mīnus trīs x mīnus desmit ir vienāds ar nulli. Aprēķināsim saknes: x pirmais ir vienāds ar pieci, x otrais ir vienāds ar mīnus divi.

Otrais posms ir risinājuma analīze.

Atrisinot vienādojumu, mēs abas tā daļas reizinām ar izteiksmi, kas satur mainīgo. Tas nozīmē, ka vienādojuma definīcijas joma ir paplašinājusies. Tāpēc ir nepieciešams pārbaudīt saknes.

Trešais posms ir pārbaude.

Ja x ir vienāds ar mīnus divi, kopsaucējs nepazūd. Tātad x ir vienāds ar mīnus divi ir šī vienādojuma sakne.

Ja x ir vienāds ar pieci, kopsaucējs kļūst par nulli. Tāpēc x ir vienāds ar pieci - sveša sakne.

Atbilde: mīnus divi.

5. uzdevums

Atrisiniet vienādojumu kvadrātsakne no x mīnus seši ir vienāds ar kvadrātsakni no četriem mīnus x.

Risinājums

Pirmais posms ir tehnisks .

Lai iegūtu vienkāršu vienādojumu un to atrisinātu, veicam transformāciju ķēdi.

Aprēķināsim abas šī vienādojuma daļas kvadrātā (vienādojuma pakāpē), pārvietosim x uz kreiso pusi, bet skaitļus uz vienādojuma labo pusi, iedosim līdzīgus vārdus, iegūstam: divi x ir vienādi ar desmit. X ir vienāds ar pieci.

Otrais posms ir risinājuma analīze.

Pārbaudīsim veikto transformāciju ekvivalenci.

Atrisinot vienādojumu, abas tā malas likām kvadrātā. Tas nozīmē, ka vienādojuma definīcijas joma ir paplašinājusies. Tāpēc ir nepieciešams pārbaudīt saknes.

Trešais posms ir pārbaude.

Mēs aizstājam atrastās saknes ar sākotnējo vienādojumu.

Ja x ir vienāds ar pieci, izteiksme kvadrātsakne no četriem mīnus x nav definēta, tāpēc x vienāds ar pieci ir sveša sakne. Tātad šim vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: vienādojumam nav sakņu.

6. uzdevums

Atrisiniet vienādojumu Naturālais logaritms x kvadrātā plus divi x mīnus septiņi ir vienāds ar naturālo logaritmu x mīnus viens.

Risinājums

Pirmais posms ir tehnisks .

Veiksim transformāciju ķēdi, iegūstam vienkāršāko vienādojumu un atrisināsim to. Lai to izdarītu, mēs pastiprinām

vienādojums, mēs pārnesam visus vārdus uz vienādojuma kreiso pusi, mēs ienesam līdzīgus terminus, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu x kvadrāts plus x mīnus seši ir vienāds ar nulli. Aprēķināsim saknes: x pirmais ir vienāds ar divi, x otrais ir vienāds ar mīnus trīs.

Otrais posms ir risinājuma analīze.

Pārbaudīsim veikto transformāciju ekvivalenci.

Šī vienādojuma risināšanas procesā mēs atbrīvojāmies no logaritmu zīmēm. Tas nozīmē, ka vienādojuma definīcijas joma ir paplašinājusies. Tāpēc ir nepieciešams pārbaudīt saknes.

Trešais posms ir pārbaude.

Mēs aizstājam atrastās saknes ar sākotnējo vienādojumu.

Ja x ir vienāds ar divi, tad mēs iegūstam vienības naturālo logaritmu, kas ir vienāds ar vienības naturālo logaritmu -

pareiza vienlīdzība.

Tādējādi x vienāds ar divi ir šī vienādojuma sakne.

Ja x ir mīnus trīs, tad naturālais logaritms x kvadrātā plus divi x mīnus septiņi un naturālais logaritms x mīnus viens nav definēts. Tātad x vienāds ar mīnus trīs ir sveša sakne.

Atbilde: divi.

Vai, risinot vienādojumu, vienmēr ir jānošķir trīs posmi? Kā vēl var pārbaudīt?

Atbildes uz šiem jautājumiem gūsim nākamajā nodarbībā.