수업 "방정식의 등가. 방정식 %U2013 결과

11번째 프로필 수업에서 대수학 수업 개발

수업은 수학 MBOU 중등 학교 No. 6 Tupitsyna O.V.의 교사가 진행했습니다.

주제의 주제 및 수업 번호:"방정식 결과로 이어지는 여러 변환의 적용", 주제의 7, 8과 : "방정식 결과"

주제:대수학 및 수학적 분석의 시작 - 11학년(S.M. Nikolsky의 교과서에 따른 프로필 교육)

수업 유형: "지식과 기술의 체계화와 일반화"

수업 유형: 워크샵

교사의 역할: 학생들의인지 활동을 지시하여 원하는 방법이나 변환 방법을 선택하기 위해 복잡한 지식을 독립적으로 적용하는 능력을 개발하여 새로운 조건에서 방정식을 푸는 방법의 결과 및 적용을 유도합니다.

필요한 기술 장비:멀티미디어 장비, 웹캠.

사용한 수업:

교훈적 학습 모델- 문제 상황을 만드는 것,
교육적 수단- 교육 모듈을 나타내는 시트, 방정식 풀기 작업 선택,
학생 활동 유형- 그룹 (그룹은 수업에서 형성됩니다-새로운 지식의 "발견", 학습 및 학습 수준이 다른 학생들의 수업 1 및 2), 공동 또는 개별 문제 해결,
성격 지향적인 교육 기술: 모듈식 교육, 문제 기반 학습, 검색 및 연구 방법, 집단 대화, 활동 방법, 교과서 및 다양한 소스 작업,
건강을 지키는 기술- 스트레스 해소를 위해 체육 교육을 실시하고,
역량:

- 기본 수준의 교육 및 인지- 학생들은 방정식의 개념 - 결과, 방정식의 근원 및 방정식으로 이어지는 변환 방법 - 결과를 알고 방정식의 근원을 찾고 생산적인 수준에서 검증을 수행할 수 있습니다.

- 고급 수준에서- 학생들은 잘 알려진 변환 방법을 사용하여 방정식을 풀고 방정식의 허용 가능한 값 영역을 사용하여 방정식의 근을 확인할 수 있습니다. 탐색 기반 속성을 사용하여 로그를 계산합니다.정보 제공 - 학생들이 다양한 유형의 소스에서 교육 문제 해결에 필요한 정보를 독립적으로 검색, 추출 및 선택합니다.

교훈적인 목표:

조건 만들기:

방정식에 대한 아이디어 형성 - 결과, 뿌리 및 변형 방법;

이전에 연구된 방정식 변환 방법의 논리적 결과에 기초한 의미 생성 경험의 형성: 방정식을 짝수 거듭제곱으로 높이고, 대수 방정식을 강화하고, 분모에서 방정식을 풀고, 같은 항을 가져옵니다.

변환 방법의 선택을 결정하고 방정식을 추가로 해결하고 방정식의 근을 선택하는 기술 통합;

알려진 정보와 학습된 정보를 기반으로 문제를 설정하는 기술을 습득하고 아직 알려지지 않은 정보를 찾기 위한 요청을 형성합니다.

학생들의 인지적 관심, 지적 및 창의적 능력 형성;

논리적 사고, 학생의 창의적 활동, 프로젝트 기술, 생각을 표현하는 능력 개발;

관용의 형성, 그룹에서 일할 때 상호 지원;

방정식의 독립해에 대한 관심 깨우기;

작업:

방정식을 변환하는 방법에 대한 지식의 반복 및 체계화를 구성합니다.

- 방정식을 풀고 그 근을 확인하는 방법의 숙달을 보장합니다.

- 학생들의 분석적이고 비판적인 사고의 발전을 촉진하기 위해; 방정식을 풀기 위한 최적의 방법을 비교하고 선택합니다.

- 연구 기술, 그룹 작업 기술 개발을 위한 조건을 만듭니다.

학생들이 공부한 자료를 사용하여 시험을 준비하도록 동기를 부여합니다.

이 작업의 수행에서 당신의 작업과 동료의 작업을 분석하고 평가하십시오.

계획된 결과:

*개인의:

알려진 정보와 학습된 정보를 기반으로 작업을 설정하고 아직 알려지지 않은 정보를 찾는 요청을 생성하는 기술

문제를 해결하는 데 필요한 정보 출처를 선택할 수 있는 능력 학생들의 인지적 관심, 지적 및 창의적 능력 개발;

논리적 사고, 창의적 활동, 생각을 표현하는 능력, 주장을 펼치는 능력의 발달;

성과 결과에 대한 자체 평가

팀워크 기술;

*메타 주제:

주요 사항을 강조 표시하고, 비교하고, 일반화하고, 유추하고, 추론의 귀납적 방법을 적용하고, 방정식을 풀 때 가설을 제시하는 능력,

시험 준비를 위해 습득한 지식을 해석하고 적용하는 능력;

*주제:

방정식을 변환하는 방법에 대한 지식,

다양한 유형의 방정식과 관련된 패턴을 설정하고 근을 풀고 선택하는 데 사용하는 능력,

수업 목표 통합:

(교사를 위해) 방정식을 변환하는 방법과 방정식을 푸는 방법에 대한 전체적인 관점의 학생들의 형성;
(학생용) 다양한 기능을 포함하는 방정식 유형과 관련된 수학적 상황을 관찰, 비교, 일반화, 분석하는 능력 개발. 시험 준비.

수업의 1단계:

다양한 방정식 변환 방법(입력 진단) 적용 분야의 동기 부여를 위한 지식 업데이트

지식을 업데이트하는 단계자체 테스트와 함께 테스트 작업의 형태로 수행됩니다. 이전 수업에서 습득한 지식을 기반으로 학생의 적극적인 정신 활동이 필요하고 이 수업의 과제를 완료하는 데 필요한 발달 과제가 제안됩니다.

검증 작업

모든 실수 집합에서 미지수의 제한이 필요한 방정식을 선택하십시오.

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) 제약이 있는 각 방정식의 유효한 값의 범위를 지정합니다.

(3) 변형으로 인해 근이 손실될 수 있는 그러한 방정식의 예를 선택하십시오(이 주제에 대한 이전 수업의 자료 사용).

화면에 강조 표시된 기성품에 따라 모든 사람이 독립적으로 답변을 확인합니다. 가장 어려운 과제가 분석되고 학생들은 제한이 있는 예 a, c, g, h에 특별한 주의를 기울입니다.

방정식을 풀 때 방정식에서 허용하는 값의 범위를 결정하거나 외부 값을 피하기 위해 근을 확인해야한다는 결론이 도출됩니다. 방정식으로 이어지는 방정식을 변환하는 이전에 연구된 방법 - 결과가 반복됩니다. 즉, 학생들은 추가 작업에서 자신이 제안한 방정식을 푸는 올바른 방법을 찾도록 동기를 부여받습니다.

수업의 II 단계:

방정식을 풀 때 자신의 지식, 기술 및 능력을 실제로 적용합니다.

그룹에는 이 주제의 문제에 대해 컴파일된 모듈이 포함된 시트가 제공됩니다. 이 모듈에는 5가지 학습 요소가 포함되어 있으며 각 요소는 특정 작업을 수행하는 것을 목표로 합니다. 학습과 학습의 정도가 다른 학생들은 수업에서 자신의 활동 범위를 독립적으로 결정하지만 모두가 그룹으로 작업하기 때문에 지식과 기술을 조정하고 뒤처지는 사람은 의무적으로, 다른 사람은 고급으로, 다른 사람을 고급으로 끌어오는 지속적인 과정이 있습니다. 창의적인 수준.

수업 중간에 필수 신체 시간이 있습니다.

교육 요소 수	과제가 있는 교육 요소	교육 자료 개발 안내
UE-1	목적: 함수의 속성을 기반으로 방정식을 푸는 주요 방법을 결정하고 정당화합니다. 운동: 다음 방정식을 풀기 위한 변환 방법을 지정합니다. A) )= -8); b) = 다) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sinx. 2) 작업: 제안된 방정식 중 2개 이상을 풉니다. 풀린 방정식에 어떤 방법이 사용되었는지 설명하십시오.	7.3 p.212 조항 7.4 p.214 조항 7.5 p.217 210페이지 7.2항
UE-2	목적 : 합리적 기법과 해결방법 습득 운동: 합리적인 해법을 사용하여 풀 수 있는 위의 방정식이나 스스로 선택한(이전 수업의 자료 사용) 방정식의 예를 들어 보십시오. 그것들은 무엇입니까? (방정식의 근을 확인하는 방법 강조)
UE-3	목적: 고도의 복잡도의 방정식을 풀 때 습득한 지식 활용 운동: = (또는 ( = (	7.5항
UE-4	주제의 숙달 수준 설정: 낮음 - 2개 이하의 방정식의 해; 중간 - 4개 이하의 방정식의 해; 높음 - 5개 이하 방정식의 해
UE-5	출력 제어: 방정식을 변환하는 데 사용하는 모든 방법을 제시하고 주제의 1과부터 시작하여 각 방법에 대해 해결한 방정식의 예를 기록하는 표를 만드십시오: "방정식 - 결과"	노트북의 초록

수업의 III 단계:

이 섹션에서 테스트 작성 준비뿐만 아니라 시험 준비도 보여 줄 학생의 반영을 나타내는 진단 작업을 출력합니다.

수업이 끝나면 모든 학생이 예외 없이 스스로를 평가하고 교사의 평가가 나옵니다. 교사와 학생 사이에 의견 불일치가 발생하면 교사는 학생을 객관적으로 평가할 수 있도록 추가 과제를 학생에게 제공할 수 있습니다. 숙제통제 작업 전에 자료를 검토하는 것을 목표로 합니다.

이 프레젠테이션은 저자 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin의 교재에 따라 "방정식 - 결과" 주제를 공부할 때 11학년에서 대수학 수업을 수행하고 분석을 시작할 때 사용할 수 있습니다.

문서 내용 보기
"결과 방정식. 방정식 결과로 이어지는 다른 변환"

방정식 - 결과

구두 작업

어떤 방정식을 추론 방정식이라고 합니까?
결과 방정식으로의 전환이라고 하는 것
어떤 변환이 결과 방정식으로 이어집니까?

구두 작업

√ x= 6
√ x-2 = 3
3 √x= 4;
√ x 2 \u003d 9
√ x+4=-2
√x+1+√x+2=-2

솔루션 없음

구두 작업

솔루션 없음

결론 방정식으로 이어지는 변환

변환

방정식의 근에 대한 영향

방정식을 짝수 거듭제곱으로 올리기

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

로그 방정식의 강화, 즉 바꿔 놓음:

로그 a f(x)=로그 a g(x) f(x)= g(엑스)

외부 뿌리로 이어질 수 있음

분모에서 방정식 풀기:

외부 뿌리의 출현으로 이어질 수 있습니다. 또는

차이 f(x)-f(x)를 0으로 대체합니다. 유사한 용어의 감소

외부 뿌리의 출현으로 이어질 수 있습니다. 함수 f(x)가 정의되지 않은 각각의 숫자.

이 방정식을 풀 때 결과방정식으로의 천이가 이루어진다면 결과방정식의 모든 근이 원래 방정식의 근인지 확인이 필요하다.

구한 근을 확인하는 것은 방정식 풀기의 필수 부분입니다.

№ 8.2 2 (ㅏ) 방정식 풀기 :

2) 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) 방정식 풀기 :

№ 8.25 (a, c) 방정식 풀기 :

№ 8.28 (a, c) 방정식 풀기 :

№ 8.29 (a, c) 방정식 풀기 :

숙제

실행 번호 8.24(b, d), 236페이지
8.25(b,d)
8.28 (b, d)
8.29 (b, d)

수업: 11

지속: 2교시.

수업의 목적:

(선생님을 위해)학생들 사이의 비합리적인 방정식을 푸는 방법에 대한 전체적인 관점의 형성.
(학생용)수학적 상황을 관찰, 비교, 일반화, 분석하는 능력 개발(슬라이드 2). 시험 준비.

첫 번째 수업 계획(슬라이드 3)

지식 업데이트
이론 분석: 방정식을 짝수로 올리기
방정식 풀기 워크숍

두 번째 수업의 계획

그룹에 대한 차별화 된 독립적 인 작업 "시험의 비합리적 방정식"
수업 요약
숙제

수업 과정

I. 지식 업데이트

표적:공과 주제의 성공적인 개발에 필요한 개념을 반복하십시오.

전면 투표.

등가라고 하는 두 방정식은 무엇입니까?

등가식이라고 하는 방정식의 변환은 무엇입니까?

- 이 방정식을 적용된 변환에 대한 설명이 포함된 동일한 방정식으로 교체합니다. (슬라이드 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

원래 방정식의 방정식 - 결과라고 하는 방정식은 무엇입니까?

– 결과 방정식이 원래 방정식의 근이 아닌 근을 가질 수 있습니까? 이 뿌리를 무엇이라고 합니까?

– 방정식의 어떤 변환이 방정식 결과를 가져옵니까?

산술 제곱근이란 무엇입니까?

오늘 "방정식을 짝수로 올리기"변환에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.

Ⅱ. 이론 분석: 방정식을 짝수로 올리기

학생들의 적극적인 참여와 교사의 설명:

렛 2mmN)은 고정된 자연수이다. 그런 다음 방정식의 결과에프(x) =g(x)는 방정식(에프(x)) = (g(엑스)).

매우 자주 이 진술은 비합리적인 방정식을 푸는 데 사용됩니다.

정의. 근의 부호 아래에 미지수를 포함하는 방정식을 무리수라고 합니다.

비합리적인 방정식을 풀 때 다음 방법이 사용됩니다. (슬라이드 5)

주목! 방법 2와 3에는 다음이 필요합니다. 필수적인체크 무늬.

ODZ가 외부 뿌리를 제거하는 데 항상 도움이 되는 것은 아닙니다.

결론:비합리적인 방정식을 풀 때 기술, 솔루션 분석, 검증의 세 단계를 거치는 것이 중요합니다(슬라이드 6).

III. 방정식 풀기 워크숍

방정식을 풉니다.

제곱하여 방정식을 푸는 방법을 논의한 후 등가 시스템에 전달하여 풉니다.

결론: 정수 근이 있는 가장 간단한 방정식의 해는 친숙한 방법으로 수행할 수 있습니다.

b) \u003d x - 2

방정식의 두 부분을 같은 정도로 올려 풀면 학생들은 근 x = 0, x = 3 -, x = 3 +를 얻습니다. 이는 대입으로 확인하기 어렵고 시간이 많이 걸립니다. (슬라이드 7). 동등한 시스템으로의 전환

외부 뿌리를 신속하게 제거 할 수 있습니다. 조건 x ≥ 2는 x에 의해서만 충족됩니다.

답: 3+

결론: 등가 시스템으로 전달하여 무리한 근을 확인하는 것이 좋습니다.

c) \u003d x - 3

이 방정식을 푸는 과정에서 1과 4라는 두 개의 근을 얻습니다. 두 근 모두 방정식의 왼쪽을 만족하지만 x \u003d 1의 경우 산술 제곱근의 정의가 위반됩니다. ODZ 방정식은 외부 근을 제거하는 데 도움이 되지 않습니다. 동등한 시스템으로의 전환이 정답을 제공합니다.

결론:산술 제곱근을 결정하기 위한 모든 조건에 대한 좋은 지식과 이해는 다음 단계로 넘어가는 데 도움이 됩니다.동등한 변환을 수행합니다.

방정식의 양변을 제곱하여 방정식을 얻습니다.

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, 라디칼을 오른쪽으로 분리하면 다음을 얻습니다.

26 - x + x \u003d 8. 방정식의 두 부분을 모두 제곱하는 데 추가 단계를 적용하면 4차 방정식이 생성됩니다. ODZ 방정식으로 전환하면 좋은 결과를 얻을 수 있습니다.

ODZ 방정식을 찾으십시오.

x = 3.

확인: - 4 = , 0 = 0이 맞습니다.

결론:때로는 ODZ 방정식의 정의를 사용하여 솔루션을 수행하는 것이 가능합니다., 그러나 반드시 확인하십시오.

솔루션: ODZ 방정식: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

x ≤ -2의 경우,< 0, а ≥ 0.

따라서 방정식의 왼쪽은 음수이고 오른쪽은 음수가 아닙니다. 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

결론:방정식의 조건에서 제한에 대한 올바른 추론을 만들면 방정식의 근을 쉽게 찾거나 존재하지 않음을 설정할 수 있습니다.

이 방정식을 푸는 예를 사용하여 방정식의 이중 제곱을 보여주고 "라디칼의 고독"이라는 문구의 의미와 찾은 근을 확인할 필요성을 설명하십시오.

시간) + = 1.

이 방정식의 해는 원래 변수로 돌아갈 때까지 변수를 변경하는 방법으로 수행됩니다. 다음 단계의 작업에 더 일찍 대처할 사람들에게 제안하기로 결정하십시오.

시험 문제

가장 간단한 비합리적인 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
방정식을 짝수로 올릴 때 기억해야 할 사항은 무엇입니까? ( 외부 뿌리가 나타날 수 있음)
불합리한 뿌리를 확인하는 가장 좋은 방법은 무엇입니까? ( ODZ 및 방정식의 두 부분의 부호 일치 조건 사용)
비합리적인 방정식을 풀 때 수학적 상황을 분석할 수 있어야 하는 이유는 무엇입니까? ( 방정식을 푸는 방법의 정확하고 빠른 선택).

IV. 그룹에 대한 차별화 된 독립적 인 작업 "시험의 비합리적 방정식"

수업은 교육 수준에 따라 그룹(각 2-3명)으로 나뉘며 각 그룹은 과제와 함께 옵션을 선택하고 선택한 과제에 대해 토론하고 해결합니다. 필요한 경우 교사에게 조언을 구하십시오. 자신의 버전의 모든 작업을 완료하고 교사의 답변을 확인한 후 그룹 구성원은 수업의 이전 단계의 방정식 g) 및 h)의 솔루션을 개별적으로 완료합니다. 옵션 4와 5의 경우(답과 교사의 결정을 확인한 후) 개별적으로 수행되는 추가 작업이 칠판에 작성됩니다.

수업이 끝나면 모든 개별 솔루션은 확인을 위해 교사에게 전달됩니다.

옵션 1

방정식 풀기:

가) = 6
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.
옵션 5

1. 방정식을 풉니다.

가) = ;
비) = 3 - 2배;

2. 연립방정식 풀기:

추가 작업:

V. 수업 요약

시험 과제를 완료하는 데 어떤 어려움을 겪었습니까? 이러한 어려움을 극복하려면 무엇이 필요합니까?

VI. 숙제

비합리적인 방정식 풀기 이론을 반복하고 교과서의 단락 8.2를 읽으십시오(예제 3에 주의).

No. 8.8(a, c), No. 8.9(a, c), No. 8.10(a)를 풉니다.

문학:

Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. 대수와 수학적 분석의 시작 , 교육 기관의 11 학년 교과서, M .: 교육, 2009.

모르드코비치 A.G. 방정식 풀이와 관련된 몇 가지 방법론적 문제. 학교에서 수학. -2006. -3번.

M. 샤부닌. 방정식. 고등학생 및 신입생을 위한 강의. 모스크바, "Chistye Prudy", 2005. (도서관 "9월 1일")

이엔 발라얀. 문제 해결 워크숍. 비합리적인 방정식, 부등식 및 시스템. 로스토프나도누, "피닉스", 2006.

수학. 시험 준비-2011. 편집자: F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov-on-Don, 2010.

일부 변환을 통해 해결 중인 방정식에서 등가 방정식 및 결과 방정식으로 이동할 수 있으므로 원래 방정식의 해를 단순화합니다. 이 자료에서 우리는 이러한 방정식이 무엇인지 말하고, 주요 정의를 공식화하고, 실례를 들어 설명하고, 원래 방정식의 근이 결과 방정식 또는 등가 방정식의 근에서 어떻게 정확히 계산되는지 설명합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

등가 방정식의 개념

정의 1

동등한근이 같은 방정식 또는 근이 없는 방정식이라고 합니다.

이 유형의 정의는 다양한 교과서에서 흔히 볼 수 있습니다. 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

정의 2

f(x) = g(x) 방정식은 근이 같거나 둘 다 근이 없는 경우 방정식 r(x) = s(x)와 동일한 것으로 간주됩니다.

정의 3

동일한 근을 가진 방정식은 동일한 것으로 간주됩니다. 또한, 그들은 동등하게 근이 없는 두 개의 방정식으로 간주됩니다.

정의 4

방정식 f (x) \u003d g (x)에 방정식 p (x) \u003d h (x)와 동일한 근 세트가 있으면 서로 동등한 것으로 간주됩니다.

일치하는 근 집합에 대해 이야기할 때 특정 숫자가 한 방정식의 근이면 다른 방정식의 해로 적합하다는 것을 의미합니다. 등가 방정식 중 어느 것도 다른 방정식에 적합하지 않은 근을 가질 수 없습니다.

우리는 그러한 방정식의 몇 가지 예를 제공합니다.

실시예 1

예를 들어, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 및 x \u003d 2는 각각 루트가 2개이므로 동일합니다. 또한 x · 0 = 0 및 2 + x = x + 2는 루트가 임의의 숫자일 수 있기 때문에 동일합니다. 즉, 솔루션 세트가 동일하기 때문입니다. 방정식 x = x + 5 및 x 4 = − 1도 동일하며 각각에 해가 없습니다.

명확성을 위해 비등가 방정식의 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 2

예를 들어 x = 2 및 x 2 = 4는 근이 다르기 때문에 됩니다. 방정식 x x \u003d 1 및 x 2 + 5 x 2 + 5에도 동일하게 적용됩니다. 두 번째에서 솔루션은 임의의 숫자가 될 수 있고 두 번째에서 루트는 0이 될 수 없기 때문입니다.

위에서 주어진 정의는 여러 변수가 있는 방정식에도 적합하지만 2개, 3개 또는 그 이상의 근에 대해 이야기하는 경우 "방정식의 해"라는 표현이 더 적합합니다. 따라서 요약하자면 등가 방정식은 해가 같거나 전혀 없는 방정식입니다.

여러 변수를 포함하고 서로 등가인 방정식의 예를 들어 보겠습니다. 따라서 x 2 + y 2 + z 2 = 0 및 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0에는 각각 3개의 변수가 포함되며 세 경우 모두에서 0과 동일한 해가 하나만 있습니다. 그리고 방정식 x + y = 5 및 x y = 1 쌍은 예를 들어 값 5와 3이 첫 번째 값에 적합하지만 에 대한 솔루션이 아니기 때문에 서로에 대해 동일하지 않습니다. 두 번째 : 첫 번째 방정식에 대입하면 올바른 평등을 얻고 두 번째 방정식에서는 false를 얻습니다.

추론 방정식의 개념

교과서에서 가져온 추론 방정식의 정의에 대한 몇 가지 예를 인용하겠습니다.

정의 5

첫 번째 방정식의 각 근이 동시에 두 번째 방정식의 근인 경우 방정식 f(x) = g(x)의 결과는 방정식 p(x) = h(x)가 됩니다.

정의 6

첫 번째 방정식의 근이 두 번째와 같으면 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식의 결과가 됩니다.

그러한 방정식의 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.

실시예 3

따라서 x 2 = 32는 x - 3 = 0의 결과가 될 것입니다. 첫 번째는 3과 동일한 루트가 하나만 있고 두 번째 방정식의 루트이기도 하므로 이 정의의 맥락에서 하나의 방정식 다른 결과일 것입니다. 다른 예: 방정식 (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0은 x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4의 결과가 됩니다. 왜냐하면 두 번째 방정식에는 2와 3은 동시에 첫 번째 뿌리가 될 것입니다.

위의 정의에서 근이 없는 방정식은 방정식의 결과이기도 하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 기사에서 공식화한 모든 규칙의 다른 결과는 다음과 같습니다.

정의 7

한 방정식이 다른 방정식과 같으면 각각은 다른 방정식의 결과가 됩니다.
두 방정식 중 각각이 다른 방정식의 결과이면 이 방정식은 서로 동등합니다.
방정식은 각각이 다른 방정식의 결과인 경우에만 서로에 대해 동등합니다.

결과 방정식 또는 등가 방정식의 근에서 방정식의 근을 찾는 방법

우리가 정의에 쓴 것을 기반으로 한 방정식의 근을 아는 경우 일치하므로 등가의 근도 알 수 있습니다.

결과 방정식의 모든 근을 알면 결과인 두 번째 방정식의 근을 결정할 수 있습니다. 이렇게하려면 외부 뿌리를 제거하면됩니다. 이 작업을 수행하는 방법에 대한 별도의 기사를 작성했습니다. 읽을 것을 권장합니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

오늘의 주제를 연구하려면 어떤 방정식을 방정식-결과라고 하는지, 어떤 정리가 "불안"하고 어떤 방정식의 해가 구성되는 단계를 반복해야 합니다.

정의. x의 방정식 ef의 각 근이 x와 같으면(숫자 1로 표시) 동시에 x의 방정식 pe의 근은 x의 ash와 같습니다(숫자 2로 표시) , 방정식 2는 방정식 1의 결과라고 합니다.

정리 4.방정식 ef from x의 양변이 x from x와 같으면 동일한 식 ash from x를 곱합니다. 다음과 같습니다.

첫째, 방정식 eff from x의 정의 영역(허용 가능한 값 범위 내)의 모든 곳에서 의미가 있으며, 이는 from x와 같습니다.

두 번째로, 이 영역의 어느 곳에서도 그것이 사라지지 않으면 방정식 ef를 x에서 곱하고 x에서 ash를 곱한 것은 x와 같으며 x에서 ash를 곱한 값은 ODZ에서 주어진 것과 같습니다.

결과 정리 4는 또 다른 "진정한" 문장입니다. 방정식의 두 부분에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식이 얻어집니다.

정리 5. 방정식의 양변이면

x의 ef는 x와 같으며 ODZ 방정식에서 음이 아닙니다. 그런 다음 두 부분을 동일한 짝수 거듭제곱 n으로 높인 후 x에서 x의 거듭제곱까지의 방정식 eff는 x의 x제곱과 같습니다. 그것의 o de ze에서 이 방정식과 동등합니다.

정리 6. 를 0보다 크고 1과 같지 않고 x에서 ef가 0보다 크다고 가정합니다.

x에서 zhe는 0보다 크며, tolologarithmic 방정식은 x에서 base a까지의 ef의 로그이며 x에서 base a까지의 zhe의 로그와 같습니다.

방정식 ef와 같습니다 x에서 ef는 x에서와 같습니다 .

우리가 이미 말했듯이 모든 방정식의 해는 세 단계로 발생합니다.

첫 번째 단계는 기술입니다. 원래 방정식의 일련의 변환을 통해 우리는 매우 간단한 방정식에 도달하여 근을 풀고 찾습니다.

두 번째 단계는 솔루션 분석입니다. 수행한 변환을 분석하고 동일한지 확인합니다.

세 번째 단계는 검증입니다. 결과 방정식으로 이어질 수 있는 변환을 수행할 때 원래 방정식에 대입하여 찾은 모든 근을 확인하는 것은 필수입니다.

이 수업에서 우리는 어떤 변환을 적용할 때 이 방정식이 결과 방정식으로 들어가는지 알아낼 것입니다. 다음 작업을 고려하십시오.

연습 1

다음 중 방정식 x 빼기 3은 2의 결과인 방정식은 무엇입니까?

해결책

방정식 x 빼기 3은 2와 같은 단일 근을 갖습니다. x는 5입니다. 이 방정식의 양변에 x 빼기 6을 곱하고 같은 항을 더한 다음 이차 방정식 x 제곱 빼기 11 x 더하기 30은 0과 같습니다. 근을 계산해 봅시다. x 첫 번째는 5와 같습니다. x초는 6과 같습니다. 그것은 이미 두 개의 뿌리를 포함합니다. 방정식 x 제곱 빼기 11 x 더하기 30은 0과 같은 단일 근을 포함합니다. x는 5입니다. 방정식의 x 빼기 3은 2이므로 x 제곱 빼기 11 x 더하기 30은 방정식 x 빼기 3이 2인 결과입니다.

작업 2

방정식 x-3=2의 결과인 다른 방정식은 무엇입니까?

해결책

방정식에서 x 빼기 3은 2입니다. 우리는 그것의 두 부분을 모두 제곱하고, 차이의 제곱에 대한 공식을 적용하고, 같은 항을 더하면, 우리는 2차 방정식 x 제곱 - 6, x 더하기 5는 0을 얻습니다.

근을 계산해 보겠습니다. x 첫 번째는 5, x 두 번째는 1입니다.

근 x는 1과 같음은 방정식 x 빼기 3이 2와 무관합니다. 이것은 원래 방정식의 양변이 제곱(짝수 거듭제곱)되었기 때문에 발생했습니다. 그러나 동시에 왼쪽 - x - 3 -은 음수일 수 있습니다(조건 정리 5). 따라서 방정식 x 제곱 빼기 6 x 더하기 5는 0과 같은 방정식 x 빼기 3은 2의 결과입니다.

작업 3

방정식에 대한 방정식 결과 찾기

x 더하기 1에서 밑 3까지의 로그 더하기 x 더하기 3에서 밑 3까지의 로그는 1과 같습니다.

해결책

우리는 1을 3 밑 3의 로그로 표현하고, 로그 방정식을 강화하고, 곱셈을 수행하고, 같은 항을 더하고 2차 방정식 x 제곱 더하기 4 x는 0을 얻습니다. 근을 계산해 봅시다. x 첫 번째는 0, x 두 번째는 빼기 4입니다. 루트 x는 마이너스 4와 같습니다. 로그 방정식에 대입될 때 x 더하기 1 및 x 더하기 3 표현식은 음수 값을 취하기 때문에 로그 방정식과 관련이 없습니다. 조건이 위반됩니다 정리 6.

따라서 방정식 x 제곱 더하기 4 x는 0과 같습니다. 이 방정식의 결과입니다.

이러한 예의 솔루션을 기반으로 할 수 있습니다. 결론:결과 방정식은 방정식의 영역을 확장하여 주어진 방정식에서 얻습니다. 그리고 이것은 다음과 같은 변환을 수행할 때 가능합니다.

1) 변수를 포함하는 분모 제거

2) 방정식의 두 부분을 동일한 짝수 거듭제곱으로 올립니다.

3) 로그 부호의 면제.

기억하십시오!방정식을 푸는 과정에서 방정식의 정의 영역이 확장되면 발견 된 모든 근을 확인해야합니다.

작업 4

방정식 x 빼기 3 나누기 x 빼기 5 더하기 1을 x로 나눈 값은 x 더하기 5를 x 곱하기 x 빼기 5와 같습니다.

해결책

첫 번째 단계는 기술입니다.

일련의 변환을 수행하고 가장 간단한 방정식을 가져와서 해결해 보겠습니다. 이를 위해 방정식의 두 부분에 분수의 공통 분모, 즉 표현식 x에 x-5를 곱한 값을 곱합니다.

우리는 이차 방정식 x 제곱 빼기 3 x 빼기 10이 0임을 얻습니다. 근을 계산해 봅시다. x 첫 번째는 5, x 두 번째는 빼기 2입니다.