Sviluppo di una lezione di algebra nella classe 11° profilo

La lezione è stata condotta dall'insegnante di matematica MBOU scuola secondaria n. 6 Tupitsyna O.V.

Argomento e numero di lezione nell'argomento:"Applicazione di più trasformazioni che portano a un'equazione-conseguenza", lezione n. 7, 8 nell'argomento: "Equazione-conseguenza"

Materia:Algebra e inizi dell'analisi matematica - Grado 11 (formazione del profilo secondo il libro di testo di S.M. Nikolsky)

Tipo di lezione: "sistematizzazione e generalizzazione delle conoscenze e delle competenze"

Tipo di lezione: laboratorio

Il ruolo dell'insegnante: dirigere l'attività cognitiva degli studenti per sviluppare la capacità di applicare autonomamente la conoscenza in un complesso per selezionare il metodo o i metodi di trasformazione desiderati, portando a un'equazione - una conseguenza e l'applicazione del metodo nella risoluzione dell'equazione, in nuove condizioni.

Attrezzatura tecnica richiesta:apparecchiature multimediali, webcam.

La lezione usata:

1. modello di apprendimento didattico- creare una situazione problematica,
2. mezzi pedagogici- fogli indicanti moduli di formazione, una selezione di compiti per la risoluzione di equazioni,
3. tipo di attività degli studenti- gruppo (nelle lezioni si formano gruppi - "scoperte" di nuove conoscenze, lezioni n. 1 e 2 da studenti con diversi gradi di apprendimento e apprendimento), problem solving articolare o individuale,
4. tecnologie educative orientate alla personalità: formazione modulare, apprendimento basato sui problemi, metodi di ricerca e ricerca, dialogo collettivo, metodo di attività, lavoro con un libro di testo e varie fonti,
5. tecnologie salva salute- per alleviare lo stress, si svolge l'educazione fisica,
6. competenze:

- educativo e cognitivo a livello di base- gli studenti conoscono il concetto di equazione - una conseguenza, la radice di un'equazione ei metodi di trasformazione che portano a un'equazione - una conseguenza, sono in grado di trovare le radici delle equazioni ed effettuare la loro verifica a livello produttivo;

- a livello avanzato- gli studenti possono risolvere equazioni utilizzando metodi di trasformazione ben noti, verificare le radici delle equazioni utilizzando l'area dei valori non ammissibili delle equazioni; calcolare i logaritmi utilizzando le proprietà basate sull'esplorazione; informativo - gli studenti ricercano, estraggono e selezionano autonomamente le informazioni necessarie per risolvere i problemi didattici in fonti di vario tipo.

Obiettivo didattico:

creando le condizioni per:

Formazione di idee sulle equazioni - conseguenze, radici e metodi di trasformazione;

Formazione dell'esperienza della creazione di significato sulla base di una logica conseguenza dei metodi precedentemente studiati per trasformare le equazioni: elevare un'equazione a potenza pari, potenziare le equazioni logaritmiche, liberare un'equazione dai denominatori, portare termini simili;

Consolidamento delle competenze nel determinare la scelta del metodo di trasformazione, risolvendo ulteriormente l'equazione e scegliendo le radici dell'equazione;

Padroneggiare le capacità di impostare un problema sulla base di informazioni conosciute e apprese, generare richieste per scoprire ciò che non è ancora noto;

Formazione degli interessi cognitivi, delle capacità intellettuali e creative degli studenti;

Sviluppo del pensiero logico, attività creativa degli studenti, capacità di progetto, capacità di esprimere i propri pensieri;

Formazione del senso di tolleranza, assistenza reciproca quando si lavora in gruppo;

Risvegliare l'interesse per la soluzione indipendente di equazioni;

Compiti:

Organizzare la ripetizione e la sistematizzazione delle conoscenze su come trasformare le equazioni;

- assicurare la padronanza dei metodi per risolvere le equazioni e verificarne le radici;

- promuovere lo sviluppo del pensiero analitico e critico degli studenti; confrontare e scegliere metodi ottimali per risolvere le equazioni;

- creare le condizioni per lo sviluppo di capacità di ricerca, capacità di lavoro di gruppo;

Motivare gli studenti a utilizzare il materiale studiato per prepararsi all'esame;

Analizza e valuta il tuo lavoro e il lavoro dei tuoi compagni nell'esecuzione di questo lavoro.

Risultati pianificati:

*personale:

Capacità di impostare un compito sulla base di informazioni conosciute e apprese, generare richieste per scoprire ciò che non è ancora noto;

La capacità di scegliere le fonti di informazione necessarie per risolvere il problema; sviluppo degli interessi cognitivi, delle capacità intellettuali e creative degli studenti;

Lo sviluppo del pensiero logico, l'attività creativa, la capacità di esprimere i propri pensieri, la capacità di costruire argomenti;

Autovalutazione dei risultati delle prestazioni;

Abilità di lavoro di gruppo;

*metasoggetto:

La capacità di evidenziare la cosa principale, confrontare, generalizzare, tracciare un'analogia, applicare metodi di ragionamento induttivo, avanzare ipotesi quando si risolvono equazioni,

Capacità di interpretare e applicare le conoscenze acquisite in preparazione all'esame;

*materia:

Conoscenza di come trasformare le equazioni,

La capacità di stabilire uno schema associato a vari tipi di equazioni e utilizzarlo per risolvere e selezionare le radici,

Integrare gli obiettivi della lezione:

1. (per il docente) Formazione negli studenti di una visione olistica delle modalità di trasformazione delle equazioni e dei metodi per risolverle;
2. (per studenti) Sviluppo della capacità di osservare, confrontare, generalizzare, analizzare situazioni matematiche associate a tipi di equazioni contenenti varie funzioni. Preparazione per l'esame.

Fase I della lezione:

Aggiornare le conoscenze per aumentare la motivazione nel campo di applicazione dei vari metodi di trasformazione delle equazioni (diagnostica degli input)

La fase di aggiornamento delle conoscenzesvolto sotto forma di lavoro di prova con autotest. Vengono proposti compiti di sviluppo, sulla base delle conoscenze acquisite nelle lezioni precedenti, che richiedono un'attività mentale attiva da parte degli studenti e necessari per completare il compito in questa lezione.

Lavoro di verifica

1. Scegli le equazioni che richiedono la restrizione delle incognite sull'insieme di tutti i numeri reali:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Specificare l'intervallo di valori validi di ciascuna equazione, dove sono presenti restrizioni.

(3) Scegli un esempio di tale equazione, in cui la trasformazione può causare la perdita della radice (usa i materiali delle lezioni precedenti su questo argomento).

Ognuno controlla le risposte in autonomia in base a quelle già pronte evidenziate sullo schermo. Vengono analizzati i compiti più difficili e gli studenti prestano particolare attenzione agli esempi a, c, g, h, dove esistono delle restrizioni.

Si conclude che quando si risolvono le equazioni, è necessario determinare l'intervallo di valori consentito dall'equazione o controllare le radici per evitare valori estranei. I metodi precedentemente studiati per trasformare le equazioni che portano a un'equazione - una conseguenza vengono ripetuti. Cioè, gli studenti sono così motivati ​​a trovare il modo giusto per risolvere l'equazione da loro proposta in un ulteriore lavoro.

II fase della lezione:

Applicazione pratica delle loro conoscenze, abilità e abilità nella risoluzione di equazioni.

Ai gruppi vengono fornite schede con un modulo compilato sui temi di questo argomento. Il modulo comprende cinque elementi di apprendimento, ognuno dei quali è finalizzato allo svolgimento di determinati compiti. Gli studenti con diversi gradi di apprendimento e apprendimento determinano indipendentemente l'ambito delle loro attività durante la lezione, ma poiché tutti lavorano in gruppo, c'è un processo continuo di adeguamento delle conoscenze e delle abilità, portando coloro che sono in ritardo all'obbligo, altri ad avanzato e livelli creativi.

A metà della lezione si tiene un minuto fisico obbligatorio.

N. di elemento educativo	Elemento educativo con compiti	Guida allo sviluppo del materiale didattico
UE-1	Scopo: Determinare e giustificare i principali metodi di risoluzione di equazioni basati sulle proprietà delle funzioni. Esercizio: Specificare il metodo di trasformazione per risolvere le seguenti equazioni: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = peccato x. 2) Compito: Risolvi almeno due delle equazioni proposte. Descrivi quali metodi sono stati utilizzati nelle equazioni risolte.	Clausola 7.3 p.212 Clausola 7.4 p.214 Clausola 7.5 p.217 Clausola 7.2 p.210
UE-2	Scopo: padroneggiare tecniche razionali e metodi di risoluzione Esercizio: Fornisci esempi da quanto sopra o equazioni auto-selezionate (usa i materiali delle lezioni precedenti) che possono essere risolte usando metodi di soluzione razionali, quali sono? (enfasi sul modo di verificare le radici dell'equazione)
UE-3	Scopo: Utilizzare le conoscenze acquisite nella risoluzione di equazioni di elevato livello di complessità Esercizio: = ( o ( = (	Clausola 7.5
UE-4	Impostare il livello di padronanza dell'argomento: basso - soluzione di non più di 2 equazioni; Medio - soluzione di non più di 4 equazioni; alta - soluzione di non più di 5 equazioni
UE-5	Controllo dell'uscita: Crea una tabella in cui presentare tutti i metodi di trasformazione delle equazioni che utilizzi e per ogni metodo annota esempi delle equazioni che hai risolto, partendo dalla lezione 1 dell'argomento: “Equazioni - conseguenze”	Abstract nei quaderni

III fase della lezione:

Output del lavoro diagnostico, che rappresenta il riflesso degli studenti, che in questa sezione mostrerà la disponibilità non solo a scrivere un test, ma anche la preparazione all'esame.

Alla fine della lezione tutti gli studenti, nessuno escluso, si valutano, poi arriva la valutazione del docente. In caso di disaccordo tra l'insegnante e lo studente, l'insegnante può offrire un compito aggiuntivo allo studente per poterlo valutare oggettivamente. Compiti a casafinalizzato alla revisione del materiale prima del lavoro di controllo.

Questa presentazione può essere utilizzata quando si conduce una lezione di algebra e si inizia l'analisi nel grado 11 quando si studia l'argomento "Equazioni - conseguenze" secondo i materiali didattici degli autori S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

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“Equazioni di conseguenza. Altre trasformazioni che portano al corollario dell'equazione"

EQUAZIONI - CONSEGUENZE

LAVORO ORALE

• Quali equazioni sono chiamate equazioni di corollario?
• Quella che viene chiamata la transizione all'equazione delle conseguenze
• Quali trasformazioni portano all'equazione del corollario?

LAVORO ORALE

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Nessuna soluzione

Nessuna soluzione

LAVORO ORALE

Nessuna soluzione

Trasformazioni che portano all'equazione del corollario

trasformazione

Influenza sulle radici dell'equazione

Elevare un'equazione a una potenza PARI

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Potenziamento di equazioni logaritmiche, ad es. sostituzione:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g(X)

Può portare a radici estranee

Rilasciando l'equazione dai denominatori:

Può portare alla comparsa di radici estranee, ad es. quei numeri x i per i quali o

Sostituendo la differenza f(x)-f(x) con zero, cioè riduzione di termini simili

Può portare alla comparsa di radici estranee, ad es. quei numeri per ciascuno dei quali la funzione f(x) non è definita.

Se, quando si risolve questa equazione, viene eseguita una transizione all'equazione di conseguenza, è necessario verificare se tutte le radici dell'equazione di conseguenza sono le radici dell'equazione originale.

Il controllo delle radici ottenute è una parte obbligatoria della risoluzione dell'equazione.

№ 8.2 2 (un) Risolvi l'equazione :

2) N. 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) Risolvi l'equazione :

№ 8.25 (a, c) Risolvi l'equazione :

№ 8.28 (a, c) Risolvi l'equazione :

№ 8.29 (a, c) Risolvi l'equazione :

COMPITI A CASA

• Corsa No. 8.24 (b, d), p. 236
• N. 8.25 (b, d)
• 8.28 (b, d)
• 8.29 (b, d)

Classe: 11

Durata: 2 lezioni.

Lo scopo della lezione:

• (per insegnante) la formazione di una visione olistica dei metodi per risolvere le equazioni irrazionali tra gli studenti.
• (per studenti) Sviluppo della capacità di osservare, confrontare, generalizzare, analizzare situazioni matematiche (slide 2). Preparazione per l'esame.

Primo piano di lezione(diapositiva 3)

1. Aggiornamento della conoscenza
2. Analisi della teoria: elevare un'equazione a una potenza pari
3. Workshop sulla risoluzione delle equazioni

Piano della seconda lezione

1. Lavoro indipendente differenziato sui gruppi "Equazioni irrazionali sull'esame"
2. Riassunto delle lezioni
3. Compiti a casa

Corso di lezioni

I. Aggiornare la conoscenza

Obbiettivo: ripetere i concetti necessari per lo sviluppo di successo dell'argomento della lezione.

sondaggio frontale.

Quali due equazioni si dicono equivalenti?

Quali trasformazioni dell'equazione sono dette equivalenti?

- Sostituisci questa equazione con una equivalente con una spiegazione della trasformazione applicata: (diapositiva 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Quale equazione è chiamata equazione-conseguenza dell'equazione originale?

– L'equazione di conseguenza può avere una radice che non è la radice dell'equazione originale? Come si chiamano queste radici?

– Quali trasformazioni dell'equazione portano alle conseguenze dell'equazione?

Che cos'è una radice quadrata aritmetica?

Soffermiamoci oggi più in dettaglio sulla trasformazione "Alzare un'equazione a un potere pari".

II. Analisi della teoria: elevare un'equazione a una potenza pari

Spiegazione del docente con la partecipazione attiva degli studenti:

Lascia 2mmN) è un numero naturale pari fisso. Quindi la conseguenza dell'equazionef(x) =g(x) è l'equazione (f(x)) = (g(X)).

Molto spesso questa affermazione è usata per risolvere equazioni irrazionali.

Definizione. Un'equazione che contiene l'incognita sotto il segno della radice è chiamata irrazionale.

Quando si risolvono equazioni irrazionali, vengono utilizzati i seguenti metodi: (diapositiva 5)

Attenzione! I metodi 2 e 3 richiedono obbligatorio controlli.

ODZ non sempre aiuta ad eliminare le radici estranee.

Conclusione: quando si risolvono equazioni irrazionali, è importante passare attraverso tre fasi: tecnica, analisi della soluzione, verifica (diapositiva 6).

III. Workshop sulla risoluzione delle equazioni

Risolvi l'equazione:

Dopo aver discusso come risolvere l'equazione per quadratura, risolvi passando a un sistema equivalente.

Conclusione: la soluzione delle equazioni più semplici con radici intere può essere eseguita con qualsiasi metodo familiare.

b) \u003d x - 2

Risolvendo elevando entrambe le parti dell'equazione alla stessa potenza, gli studenti ottengono le radici x = 0, x = 3 -, x = 3 +, che sono difficili e richiedono molto tempo da controllare per sostituzione. (Diapositiva 7). Passaggio a un sistema equivalente

ti consente di sbarazzarti rapidamente delle radici estranee. La condizione x ≥ 2 è soddisfatta solo da x.

Risposta: 3+

Conclusione: È meglio controllare le radici irrazionali passando a un sistema equivalente.

c) \u003d x - 3

Nel processo di risoluzione di questa equazione, otteniamo due radici: 1 e 4. Entrambe le radici soddisfano il lato sinistro dell'equazione, ma per x \u003d 1 viene violata la definizione della radice quadrata aritmetica. L'equazione ODZ non aiuta a eliminare le radici estranee. Il passaggio a un sistema equivalente fornisce la risposta corretta.

Conclusione:una buona conoscenza e comprensione di tutte le condizioni per determinare la radice quadrata aritmetica aiuta a passare aeseguire trasformazioni equivalenti.

Al quadrato di entrambi i membri dell'equazione, otteniamo l'equazione

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, separando il radicale sul lato destro, otteniamo

26 - x + x \u003d 8. L'applicazione di ulteriori passaggi alla quadratura di entrambe le parti dell'equazione porterà a un'equazione di 4° grado. Il passaggio all'equazione ODZ dà un buon risultato:

trova l'equazione ODZ:

x = 3.

Verificare: - 4 = , 0 = 0 è corretto.

Conclusione:a volte è possibile eseguire una soluzione utilizzando la definizione dell'equazione ODZ, ma assicurati di controllare.

Soluzione: Equazione ODZ: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Per x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Pertanto, il lato sinistro dell'equazione è negativo e il lato destro non è negativo; quindi l'equazione originale non ha radici.

Risposta: niente radici.

Conclusione:fatto il ragionamento corretto sulla restrizione nella condizione dell'equazione, si possono facilmente trovare le radici dell'equazione, oppure stabilire che non esistono.

Utilizzando l'esempio di risoluzione di questa equazione, mostra la doppia quadratura dell'equazione, spiega il significato della frase "solitudine dei radicali" e la necessità di verificare le radici trovate.

h) + = 1.

La soluzione di queste equazioni viene eseguita con il metodo di modifica della variabile fino al ritorno alla variabile originale. Termina la decisione di offrire a coloro che affronteranno i compiti della fase successiva in precedenza.

domande di prova

• Come risolvere le equazioni irrazionali più semplici?
• Cosa si dovrebbe ricordare quando si eleva un'equazione a una potenza pari? ( possono comparire radici estranee)
• Qual è il modo migliore per controllare le radici irrazionali? ( utilizzando l'ODZ e le condizioni per la coincidenza dei segni di entrambe le parti dell'equazione)
• Perché è necessario essere in grado di analizzare situazioni matematiche quando si risolvono equazioni irrazionali? ( Per la scelta corretta e rapida di un metodo per la risoluzione di un'equazione).

IV. Lavoro indipendente differenziato sui gruppi "Equazioni irrazionali sull'esame"

La classe è divisa in gruppi (2-3 persone ciascuno) in base ai livelli di formazione, ogni gruppo sceglie un'opzione con un compito, discute e risolve i compiti selezionati. Quando necessario, contattare l'insegnante per un consiglio. Dopo aver completato tutti i compiti della loro versione e aver verificato le risposte da parte dell'insegnante, i membri del gruppo completano individualmente la soluzione delle equazioni g) e h) della fase precedente della lezione. Per le opzioni 4 e 5 (dopo aver verificato le risposte e la decisione dell'insegnante), vengono scritti alla lavagna compiti aggiuntivi, che vengono eseguiti individualmente.

Tutte le soluzioni individuali al termine delle lezioni vengono consegnate al docente per la verifica.

opzione 1

Risolvi le equazioni:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Opzione 5

1. Risolvi l'equazione:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Risolvi il sistema di equazioni:

Compiti aggiuntivi:

v. Riassunto delle lezioni

Quali difficoltà hai riscontrato nel portare a termine i compiti dell'esame? Cosa occorre per superare queste difficoltà?

VI. Compiti a casa

Ripeti la teoria della risoluzione delle equazioni irrazionali, leggi il paragrafo 8.2 del libro di testo (fai attenzione all'esempio 3).

Risolvere n. 8.8 (a, c), n. 8.9 (a, c), n. 8.10 (a).

Letteratura:

1. Nikolsky SM, Potapov MK, NN Reshetnikov NN, Shevkin A.V. Algebra e inizio dell'analisi matematica , libro di testo per l'undicesimo grado delle istituzioni educative, M.: Education, 2009.
2. Mordkovich AG Su alcune questioni metodologiche relative alla soluzione delle equazioni. Matematica a scuola. -2006. -Numero 3.
3. M. Shabunin. Equazioni. Lezioni frontali per studenti e iscritti delle scuole superiori. Mosca, "Chistye Prudy", 2005. (biblioteca "Primo settembre")
4. E.N. Balayan. Workshop sulla risoluzione dei problemi. Equazioni, disuguaglianze e sistemi irrazionali. Rostov sul Don, "Phoenix", 2006.
5. Matematica. Preparazione per l'esame-2011. A cura di F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov sul Don, 2010.

Alcune trasformazioni consentono di passare dall'equazione da risolvere a equazioni equivalenti, nonché a equazioni di conseguenza, il che semplifica la soluzione dell'equazione originale. In questo materiale, ti diremo quali sono queste equazioni, formuleremo le definizioni principali, le illustreremo con esempi illustrativi e spiegheremo come esattamente le radici dell'equazione originale vengono calcolate dalle radici dell'equazione di conseguenza o di un'equazione equivalente.

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Il concetto di equazioni equivalenti

Definizione 1

Equivalente chiamate tali equazioni che hanno le stesse radici, o quelle in cui non ci sono radici.

Definizioni di questo tipo si trovano spesso in vari libri di testo. Facciamo alcuni esempi.

Definizione 2

L'equazione f (x) = g (x) è considerata equivalente all'equazione r (x) = s (x) se hanno le stesse radici o se entrambi non hanno radici.

Definizione 3

Le equazioni con le stesse radici sono considerate equivalenti. Inoltre, sono considerate due equazioni che ugualmente non hanno radici.

Definizione 4

Se l'equazione f (x) \u003d g (x) ha lo stesso insieme di radici dell'equazione p (x) \u003d h (x), allora sono considerate equivalenti l'una rispetto all'altra.

Quando parliamo di un insieme di radici coincidenti, intendiamo che se un certo numero è la radice di un'equazione, allora si adatterà come soluzione a un'altra equazione. Nessuna delle equazioni equivalenti può avere una radice che non è adatta per l'altra.

Diamo diversi esempi di tali equazioni.

Esempio 1

Ad esempio, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 e x \u003d 2 saranno equivalenti, poiché ognuno di essi ha solo una radice: due. Inoltre, x · 0 = 0 e 2 + x = x + 2 saranno equivalenti, poiché le loro radici possono essere qualsiasi numero, cioè gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi. Anche le equazioni x = x + 5 e x 4 = − 1 saranno equivalenti, ognuna delle quali non ha soluzione.

Per chiarezza, considera diversi esempi di equazioni non equivalenti.

Esempio 2

Ad esempio, x = 2 e x 2 = 4 lo saranno, perché le loro radici sono diverse. Lo stesso vale per le equazioni x x \u003d 1 e x 2 + 5 x 2 + 5, perché nel secondo la soluzione può essere qualsiasi numero e nel secondo la radice non può essere 0.

Le definizioni sopra riportate sono adatte anche per equazioni con più variabili, tuttavia, nel caso in cui si parli di due, tre o più radici, l'espressione "soluzione dell'equazione" è più appropriata. Quindi, per riassumere: le equazioni equivalenti sono quelle equazioni che hanno le stesse soluzioni o nessuna.

Prendiamo esempi di equazioni che contengono più variabili e sono equivalenti tra loro. Quindi, x 2 + y 2 + z 2 = 0 e 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 includono tre variabili ciascuna e hanno una sola soluzione uguale a 0 in tutti e tre i casi. E la coppia di equazioni x + y = 5 e x y = 1 non saranno equivalenti tra loro, poiché, ad esempio, i valori 5 e 3 sono adatti per la prima, ma non saranno una soluzione alla secondo: quando li sostituiamo nella prima equazione, otteniamo l'uguaglianza corretta e nella seconda - falsa.

Il concetto di equazioni di corollario

Citiamo alcuni esempi di definizioni di equazioni di corollario tratte dai libri di testo.

Definizione 5

La conseguenza dell'equazione f (x) = g (x) sarà l'equazione p (x) = h (x), a condizione che ogni radice della prima equazione sia allo stesso tempo la radice della seconda.

Definizione 6

Se la prima equazione ha le stesse radici della seconda, la seconda sarà una conseguenza della prima.

Prendiamo alcuni esempi di tali equazioni.

Esempio 3

Quindi, x 2 = 32 sarà una conseguenza di x - 3 = 0, poiché la prima ha solo una radice uguale a tre, e sarà anche la radice della seconda equazione, quindi nel contesto di questa definizione, un'equazione sarà una conseguenza di un altro. Altro esempio: l'equazione (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 sarà conseguenza di x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 perché la seconda equazione ha due radici, pari a 2 e 3, che allo stesso tempo saranno le radici del primo.

Dalla definizione di cui sopra, possiamo concludere che qualsiasi equazione che non ha radici sarà anche una conseguenza di qualsiasi equazione. Ecco alcune altre conseguenze di tutte le regole formulate in questo articolo:

Definizione 7

1. Se un'equazione è equivalente a un'altra, ciascuna di esse sarà una conseguenza dell'altra.
2. Se di due equazioni ciascuna è una conseguenza dell'altra, allora queste equazioni saranno equivalenti l'una all'altra.
3. Le equazioni saranno equivalenti l'una rispetto all'altra solo se ciascuna di esse è una conseguenza dell'altra.

Come trovare le radici di un'equazione dalle radici di un'equazione di conseguenza o di un'equazione equivalente

In base a quanto abbiamo scritto nelle definizioni, quindi nel caso in cui conosciamo le radici di un'equazione, allora conosciamo anche le radici di quelle equivalenti, poiché coincideranno.

Se conosciamo tutte le radici dell'equazione di conseguenza, allora possiamo determinare le radici della seconda equazione, di cui è una conseguenza. Per fare questo, devi solo estirpare le radici estranee. Abbiamo scritto un articolo separato su come questo è fatto. Ti consigliamo di leggerlo.

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Per studiare l'argomento di oggi, dobbiamo ripetere quale equazione è chiamata equazione delle conseguenze, quali teoremi sono "irrequieti" e in quali passaggi consiste la soluzione di qualsiasi equazione.

Definizione. Se ogni radice dell'equazione ef da x è uguale a x (la indichiamo con il numero uno) è allo stesso tempo la radice dell'equazione pe da x, uguale a cenere da x (la indichiamo con il numero due) , allora l'equazione due è chiamata conseguenza dell'equazione uno.

Teorema quattro. Se entrambi i membri dell'equazione ef di x sono uguali allo stesso di x, moltiplicare per la stessa espressione ash di x, che è:

In primo luogo, ha senso ovunque nel dominio di definizione (nell'intervallo dei valori ammissibili) dell'equazione eff da x, che è uguale a da x.

In secondo luogo, da nessuna parte in questa regione svanisce, quindi otteniamo l'equazione ef da x, moltiplicata per cenere da x è uguale a x, moltiplicata per cenere da x, equivalente a quella data nella sua ODZ.

Conseguenza teorema quattroè un'altra affermazione "calma": se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Teorema cinque. Se entrambi i lati dell'equazione

ef da x è uguale a x è non negativo nell'equazione ODZ, quindi dopo aver elevato entrambe le sue parti alla stessa potenza pari n, l'equazione eff da x alla potenza di x è uguale a x alla potenza di x, equivalente a questa equazione nella sua o de ze.

Teorema sei. Sia a maggiore di zero, e diverso da uno, ed eff da x maggiore di zero,

zhe da x è maggiore di zero, l'equazione tologaritmica è il logaritmo di ef da x alla base a, uguale al logaritmo di zhe da x alla base a,

è equivalente all'equazione ef di x è uguale a x .

Come abbiamo già detto, la soluzione di qualsiasi equazione avviene in tre fasi:

La prima fase è tecnica. Con l'aiuto di una catena di trasformazioni dall'equazione originale, arriviamo a un'equazione abbastanza semplice, che risolviamo e troviamo le radici.

La seconda fase è l'analisi della soluzione. Analizziamo le trasformazioni che abbiamo eseguito e scopriamo se sono equivalenti.

La terza fase è la verifica. Controllare tutte le radici trovate sostituendole nell'equazione originale è obbligatorio quando si eseguono trasformazioni che possono portare a un'equazione di conseguenza.

In questa lezione scopriremo, quando si applicano quali trasformazioni, questa equazione diventa un'equazione di conseguenza? Considera i seguenti compiti.

Esercizio 1

Quale equazione è una conseguenza dell'equazione x meno tre fa due?

Soluzione

L'equazione x meno tre è uguale a due ha una sola radice - x è uguale a cinque. Moltiplica entrambi i membri di questa equazione per l'espressione x meno sei, aggiungi termini simili e ottieni l'equazione quadratica x quadrato meno undici x più trenta uguale a zero. Calcoliamo le sue radici: x la prima è uguale a cinque; x secondo fa sei. Contiene già due radici. L'equazione x quadrato meno undici x più trenta è uguale a zero contiene una sola radice - x è uguale a cinque; dell'equazione x meno tre è uguale a due, quindi x al quadrato meno undici x più trenta è una conseguenza dell'equazione x meno tre è uguale a due.

Compito 2

Quale altra equazione è una conseguenza dell'equazione x-3=2?

Soluzione

Nell'equazione x meno tre è uguale a due, rendiamo al quadrato entrambe le parti, applichiamo la formula per il quadrato della differenza, aggiungiamo termini simili, otteniamo l'equazione quadratica x al quadrato meno sei, x più cinque è uguale a zero.

Calcoliamo le sue radici: x la prima è uguale a cinque, x la seconda è uguale a uno.

La radice x uguale a uno è estranea all'equazione x meno tre uguale a due. Ciò è accaduto perché entrambi i lati dell'equazione originale erano al quadrato (una potenza pari). Ma allo stesso tempo, il suo lato sinistro - x meno tre - può essere negativo (condizioni teorema cinque). Quindi l'equazione x quadrato meno sei x più cinque è uguale a zero è una conseguenza dell'equazione x meno tre è uguale a due.

Compito 3

Trova l'equazione-corollario per l'equazione

il logaritmo di x più uno in base tre più il logaritmo di x più tre in base tre è uguale a uno.

Soluzione

Rappresentiamo l'unità come il logaritmo di tre alla base di tre, potenziiamo l'equazione logaritmica, eseguiamo la moltiplicazione, aggiungiamo termini simili e otteniamo l'equazione quadratica x al quadrato più quattro x uguale a zero. Calcoliamo le sue radici: x la prima è uguale a zero, x la seconda è uguale a meno quattro. La radice x è uguale a meno quattro è estranea all'equazione logaritmica, poiché quando viene sostituita nell'equazione logaritmica, le espressioni x più uno e x più tre assumono valori negativi - le condizioni vengono violate teorema sei.

Quindi l'equazione x al quadrato più quattro x è uguale a zero è una conseguenza di questa equazione.

Sulla base della soluzione di questi esempi, possiamo fare conclusione:l'equazione di conseguenza si ottiene dall'equazione data espandendo il dominio dell'equazione. E questo è possibile quando si eseguono trasformazioni come

1) eliminare i denominatori contenenti una variabile;

2) elevare entrambe le parti dell'equazione alla stessa potenza pari;

3) esenzione dai segni dei logaritmi.

Ricorda: se nel processo di risoluzione dell'equazione il dominio di definizione dell'equazione si è espanso, è necessario controllare tutte le radici trovate.

Compito 4

Risolvi l'equazione x meno tre diviso x meno cinque più uno diviso x è uguale a x più cinque diviso x x meno cinque.

Soluzione

La prima fase è tecnica.

Eseguiamo una catena di trasformazioni, otteniamo l'equazione più semplice e risolviamola. Per fare ciò, moltiplichiamo entrambe le parti dell'equazione per un denominatore comune di frazioni, cioè per l'espressione x moltiplicata per xmeno cinque.

Otteniamo l'equazione quadratica x quadrato meno tre x meno dieci uguale a zero. Calcoliamo le radici: x la prima è uguale a cinque, x la seconda è uguale a meno due.

La seconda fase è l'analisi della soluzione.

Quando si risolve l'equazione, abbiamo moltiplicato entrambe le parti per un'espressione contenente una variabile. Ciò significa che il dominio di definizione dell'equazione si è ampliato. Pertanto, è necessario controllare le radici.

La terza fase è la verifica.

Quando x è uguale a meno due, il denominatore comune non svanisce. Quindi x è uguale a meno due è la radice di questa equazione.

Quando x è uguale a cinque, il denominatore comune va a zero. Pertanto x è uguale a cinque - una radice estranea.

Risposta: meno due.

Compito 5

Risolvi l'equazione radice quadrata di x meno sei è uguale alla radice quadrata di quattro meno x.

Soluzione

La prima fase è tecnica .

Per ottenere una semplice equazione e risolverla, eseguiamo una catena di trasformazioni.

Mettiamo al quadrato (una potenza pari) entrambe le parti di questa equazione, spostiamo le x sul lato sinistro e i numeri sul lato destro dell'equazione, diamo termini simili, otteniamo: due x uguale a dieci. X è uguale a cinque.

La seconda fase è l'analisi della soluzione.

Verifichiamo l'equivalenza delle trasformazioni eseguite.

Quando risolviamo un'equazione, abbiamo quadrato entrambi i lati di essa. Ciò significa che il dominio di definizione dell'equazione si è ampliato. Pertanto, è necessario controllare le radici.

La terza fase è la verifica.

Sostituiamo le radici trovate nell'equazione originale.

Se x è uguale a cinque, l'espressione radice quadrata di quattro meno x non è definita, quindi x uguale a cinque è una radice estranea. Quindi questa equazione non ha radici.

Risposta: L'equazione non ha radici.

Compito 6

Risolvi l'equazione Il logaritmo naturale di x al quadrato più due x meno sette è uguale al logaritmo naturale di x meno uno.

Soluzione

La prima fase è tecnica .

Eseguiamo una catena di trasformazioni, otteniamo l'equazione più semplice e risolviamola. Per fare questo, ci potenziamo

equazione, trasferiamo tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione, portiamo termini simili, otteniamo un'equazione quadratica x quadrato più x meno sei è uguale a zero. Calcoliamo le radici: x la prima è uguale a due, x la seconda è uguale a meno tre.

La seconda fase è l'analisi della soluzione.

Verifichiamo l'equivalenza delle trasformazioni eseguite.

Nel processo di risoluzione di questa equazione, ci siamo sbarazzati dei segni dei logaritmi. Ciò significa che il dominio di definizione dell'equazione si è ampliato. Pertanto, è necessario controllare le radici.

La terza fase è la verifica.

Sostituiamo le radici trovate nell'equazione originale.

Se x è uguale a due, allora otteniamo che il logaritmo naturale dell'unità è uguale al logaritmo naturale dell'unità -

corretta uguaglianza.

Quindi, x uguale a due è la radice di questa equazione.

Se x è meno tre, il logaritmo naturale di x al quadrato più due x meno sette e il logaritmo naturale di x meno uno non sono definiti. Quindi x uguale a meno tre è una radice estranea.

Risposta: due.

È sempre necessario distinguere tre fasi quando si risolve un'equazione? In quale altro modo puoi controllare?

Otterremo le risposte a queste domande nella prossima lezione.