Considera un triangolo arbitrario ABC e un punto D che non giace nel piano di questo triangolo. Collega questo punto con segmenti ai vertici del triangolo ABC. Di conseguenza, otteniamo triangoli ADC , CDB , ABD . La superficie delimitata dai quattro triangoli ABC, ADC, CDB e ABD è chiamata tetraedro ed è denominata DABC.
I triangoli che compongono un tetraedro sono chiamati facce.
I lati di questi triangoli sono chiamati bordi del tetraedro. E i loro vertici sono i vertici di un tetraedro

Il tetraedro ha 4 facce, 6 costole e 4 picchi.
Due costole che non hanno cima comune sono chiamati opposti.
Spesso, per comodità, viene chiamata una delle facce del tetraedro base e le restanti tre facce sono facce laterali.

Pertanto, il tetraedro è il poliedro più semplice, le cui facce sono quattro triangoli.

Ma è anche vero che qualsiasi piramide triangolare arbitraria è un tetraedro. Allora è anche vero che si chiama tetraedro una piramide con un triangolo alla base.

L'altezza del tetraedro detto segmento che collega un vertice ad un punto posto sulla faccia opposta e perpendicolare ad esso.
Mediana di un tetraedro detto segmento che collega il vertice con il punto di intersezione delle mediane della faccia opposta.
tetraedro bimedianoè chiamato un segmento che collega i punti medi dei bordi di attraversamento del tetraedro.

Poiché un tetraedro è una piramide a base triangolare, il volume di qualsiasi tetraedro può essere calcolato utilizzando la formula

• Sè l'area di ogni volto,
• H- l'altezza abbassata su questa faccia

tetraedro regolare - un tipo speciale di tetraedro

Viene chiamato un tetraedro in cui tutte le facce sono triangoli equilateri corretta.
Proprietà di un tetraedro regolare:

• Tutti i bordi sono uguali.
• Tutti gli angoli piani di un tetraedro regolare sono 60°
• Poiché ciascuno dei suoi vertici è il vertice di tre triangoli regolari, la somma degli angoli piani di ciascun vertice è 180°
• Qualsiasi vertice di un tetraedro regolare viene proiettato all'ortocentro della faccia opposta (al punto di intersezione delle altezze del triangolo).

Diamo un tetraedro regolare ABCD con archi uguali a a . DH è la sua altezza.
Facciamo ulteriori costruzioni BM - l'altezza del triangolo ABC e DM - l'altezza del triangolo ACD .
Altezza BM è uguale a BM ed è uguale
Consideriamo il triangolo BDM , dove DH , che è l'altezza del tetraedro, è anche l'altezza di questo triangolo.
L'altezza di un triangolo caduto sul lato MB può essere trovata usando la formula

, dove
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Sostituisci questi valori nella formula dell'altezza. Ottenere


Prendiamo 1/2a. Ottenere

Applicare la formula differenza dei quadrati

Dopo alcune piccole trasformazioni, otteniamo


Il volume di qualsiasi tetraedro può essere calcolato utilizzando la formula
,
dove ,

Sostituendo questi valori, otteniamo

Quindi la formula del volume per un tetraedro regolare è

dove un–bordo tetraedrico

Calcolare il volume di un tetraedro se si conoscono le coordinate dei suoi vertici

Diamoci le coordinate dei vertici del tetraedro

Disegna i vettori dal vertice , , .
Per trovare le coordinate di ciascuno di questi vettori, sottrarre la coordinata iniziale corrispondente dalla coordinata finale. Ottenere

Dalla formula di base per il volume di un tetraedro

dove Sè l'area di qualsiasi volto, e H- dall'altezza abbassata su di essa si possono ricavare tutta una serie di formule che esprimono il volume in termini di vari elementi del tetraedro. Diamo queste formule per il tetraedro ABCD.

(2) ,

dove ∠ ( ANNO DOMINI,ABC) è l'angolo tra il bordo ANNO DOMINI e piano frontale ABC;

(3) ,

dove ∠ ( ABC,ABD) è l'angolo tra le facce ABC e ABD;

dove | AB,CD| - distanza tra costole opposte AB e CD, ∠ (AB,CD) è l'angolo tra questi bordi.

Le formule (2)–(4) possono essere utilizzate per trovare gli angoli tra linee e piani; la formula (4) è particolarmente utile, con la quale puoi trovare la distanza tra le linee di inclinazione AB e CD.

Le formule (2) e (3) sono simili alla formula S = (1/2)ab peccato C per l'area di un triangolo. Formula S = rp formula simile

dove rè il raggio della sfera inscritta del tetraedro, Σ è la sua superficie totale (la somma delle aree di tutte le facce). C'è anche una bella formula che collega il volume di un tetraedro con un raggio R il suo scopo descritto ( Formula Crelle):

dove Δ è l'area di un triangolo i cui lati sono numericamente uguali ai prodotti degli spigoli opposti ( AB× CD, corrente alternata× BD,ANNO DOMINI× AVANTI CRISTO). Dalla formula (2) e dal teorema del coseno per gli angoli del triangolo (vedi Trigonometria sferica), si può ricavare una formula simile alla formula di Heron per i triangoli.

Definizione di tetraedro

tetraedro- il più semplice corpo poliedrico, le cui facce e base sono triangoli.

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Un tetraedro ha quattro facce, ognuna delle quali è formata da tre lati. Il tetraedro ha quattro vertici, ciascuno con tre bordi.

Questo corpo è diviso in diversi tipi. Di seguito è riportata la loro classificazione.

1. tetraedro isoedrico- tutte le sue facce sono gli stessi triangoli;
2. tetraedro ortocentrico- tutte le altezze tracciate da ciascun vertice alla faccia opposta hanno la stessa lunghezza;
3. tetraedro rettangolare- i bordi che emanano da un vertice formano un angolo di 90 gradi l'uno con l'altro;
4. telaio;
5. Proporzionato;
6. incentrico.

Formule di volume del tetraedro

Il volume di un dato corpo può essere trovato in diversi modi. Analizziamoli più nel dettaglio.

Attraverso il prodotto misto di vettori

Se il tetraedro è costruito su tre vettori con coordinate:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)un= (un X​ , un y​ , un z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b X​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c X​ , c y​ , c z​ ) ,

allora il volume di questo tetraedro è il prodotto misto di questi vettori, cioè un tale determinante:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ un X​ b X​ c X​ ​ un y​ b y​ c y​ ​ un z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Sono note le coordinate dei quattro vertici dell'ottaedro. LA (1 , 4 , 9) LA(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Trova il suo volume.

Soluzione

LA (1 , 4 , 9) LA(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Il primo passo è determinare le coordinate dei vettori su cui è costruito il dato corpo.
Per fare ciò, devi trovare ciascuna coordinata del vettore sottraendo le coordinate corrispondenti di due punti. Ad esempio, coordinate vettoriali A B → \overrightarrow(AB) A B, cioè un vettore diretto da un punto AA UN al punto B B B, queste sono le differenze delle coordinate corrispondenti dei punti B B B e AA UN:

LA B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

LA C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)CORRENTE ALTERNATA= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
LA RE → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -otto)ANNO DOMINI= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Ora troviamo il prodotto misto di questi vettori, per questo componiamo un determinante di terzo ordine, assumendolo A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= un, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)CORRENTE ALTERNATA= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ANNO DOMINI= c.

∣ un x a y un z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 e -6 \\ 0 e -2 e -6 \\ 6 e 8 e -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ un X​ b X​ cX​ ​ uny​ by​ cy​ ​ unz​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Cioè, il volume di un tetraedro è:

$v=61\cdot |$

Risposta

$44.8\text{centimetro3 .}$

La formula per il volume di un tetraedro isoedrico lungo il suo lato

Questa formula è valida solo per calcolare il volume di un tetraedro isoedrico, cioè un tetraedro in cui tutte le facce sono triangoli regolari identici.

$v=12\sqrt{2\cdot {un}^3}$

aaunè la lunghezza del bordo del tetraedro.

Trova il volume di un tetraedro se il suo lato è uguale a $11\text{centimetro.}$

Soluzione

$un=11$

Sostituto aaun nella formula per il volume di un tetraedro:

$v=12\sqrt{2\cdot {un}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{centimetro3}}}}}$

Risposta

$156.8\text{centimetro3 .}$