Mikä on satunnaismuuttuja. Kuinka monta arvoa diskreetti satunnaismuuttuja voi ottaa

Yksi tärkeimmistä todennäköisyysteorian peruskäsitteistä on satunnaismuuttujan käsite.

Satunnaismuuttuja on suure, joka voi kokeen seurauksena saada yhden tai toisen arvon, eikä etukäteen tiedetä, mikä.

Esimerkkejä satunnaismuuttujista:

1) osumien määrä kolmella laukauksella;

2) puhelinkeskuksen vastaanottamien puhelujen määrä päivässä;

3) osumaprosentti 10 laukauksella.

Kaikissa kolmessa esimerkissä satunnaismuuttujat voivat saada erilliset, eristetyt arvot, jotka voidaan laskea etukäteen.

Joten esimerkissä 1) nämä arvot ovat:

esimerkissä 2):

esimerkissä 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Tällaisia satunnaismuuttujia, jotka ottavat vain toisistaan erotettuja arvoja, jotka voidaan laskea etukäteen, kutsutaan epäjatkuviksi tai diskreeteiksi satunnaismuuttujiksi.

On olemassa toisen tyyppisiä satunnaismuuttujia, esimerkiksi:

1) iskupisteen abskissa ammuttaessa;

2) kehon punnituksen virhe analyyttisellä vaa'alla;

3) ilma-aluksen nopeus tietyn korkeuden saavuttaessa;

4) satunnaisesti otettu vehnänjyvän paino.

Tällaisten satunnaismuuttujien mahdollisia arvoja ei eroteta toisistaan; ne täyttävät jatkuvasti tietyn aukon, jolla on joskus jyrkästi määritellyt rajat, ja useammin - määrittelemättömät, epämääräiset rajat.

Tällaisia satunnaismuuttujia, joiden mahdolliset arvot jatkuvasti täyttävät tietyn aikavälin, kutsutaan jatkuviksi satunnaismuuttujiksi.

Satunnaismuuttujan käsitteellä on erittäin tärkeä rooli todennäköisyysteoriassa. Jos "klassinen" todennäköisyysteoria toimi pääosin tapahtumilla, niin moderni todennäköisyysteoria mieluummin operoi mahdollisuuksien mukaan satunnaismuuttujilla.

Otetaan esimerkkejä todennäköisyysteorialle tyypillisistä menetelmistä siirtyä tapahtumista satunnaismuuttujiin.

Suoritetaan koe, jonka seurauksena jokin tapahtuma saattaa ilmestyä tai ei. Tapahtuman sijasta voidaan harkita satunnaismuuttujaa , joka on yhtä suuri kuin 1, jos tapahtuma tapahtuu, ja on yhtä suuri kuin 0, jos tapahtumaa ei tapahdu. Satunnaismuuttuja on ilmeisesti epäjatkuva; sillä on kaksi mahdollista arvoa: 0 ja 1. Tätä satunnaismuuttujaa kutsutaan tapahtuman ominaiseksi satunnaismuuttujaksi. Käytännössä on usein kätevämpää operoida tapahtumien sijaan niille ominaisilla satunnaismuuttujilla. Jos esimerkiksi suoritetaan sarja kokeita, joissa jokaisessa tapahtuman esiintyminen on mahdollista, niin tapahtuman esiintymisten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin tapahtuman tunnusomaisten satunnaismuuttujien summa kaikissa kokeissa. Kun ratkaistaan monia käytännön ongelmia, tämän tekniikan käyttö osoittautuu erittäin käteväksi.

Toisaalta hyvin usein tapahtuman todennäköisyyden laskemiseksi on kätevää liittää tämä tapahtuma johonkin jatkuvaan satunnaismuuttujaan (tai jatkuvien muuttujien järjestelmään).

Mitataan esimerkiksi jonkin kohteen O koordinaatit, jotta voidaan rakentaa piste M, joka kuvaa tätä kohdetta alueen panoraamalla (pyyhkäisyllä). Olemme kiinnostuneita tapahtumasta, joka koostuu siitä, että virhe R pisteen M paikassa ei ylitä määritettyä arvoa (kuva 2.4.1). Merkitään sattumanvaraisia virheitä kohteen koordinaattien mittauksessa. Ilmeisesti tapahtuma vastaa satunnaisen pisteen M osumista, jonka koordinaatit ovat sädeympyrän sisällä, jonka keskipiste on pisteessä O. Toisin sanoen, jotta tapahtuma tapahtuisi, satunnaismuuttujien ja on täytettävä epäyhtälö

Tapahtuman todennäköisyys on vain epäyhtälön (2.4.1) täyttymisen todennäköisyys. Tämä todennäköisyys voidaan määrittää, jos satunnaismuuttujien ominaisuudet tunnetaan.

Tällainen tapahtumien ja satunnaismuuttujien välinen orgaaninen yhteys on hyvin tyypillistä nykyaikaiselle todennäköisyysteorialle, joka mahdollisuuksien mukaan siirtyy "tapahtumakaaviosta" "satunnaismuuttujien kaavioon". Jälkimmäinen järjestelmä on edelliseen verrattuna paljon joustavampi ja yleismaailmallisempi laitteisto satunnaisiin ilmiöihin liittyvien ongelmien ratkaisemiseen.

Satunnainen arvo- tämä on suure, joka kokemuksen seurauksena ottaa yhden monista arvoista, ja tämän suuren yhden tai toisen arvon esiintymistä ennen sen mittausta ei voida ennustaa tarkasti.

Muodollinen matemaattinen määritelmä seuraava: olkoon todennäköisyysavaruus, niin satunnaismuuttuja on funktio, joka on mitattavissa suhteessa ja Borelin σ-algebraan . Erillisen (toisista riippumatta) satunnaismuuttujan todennäköisyyskäyttäytymistä kuvaa täysin sen jakauma.

Määritelmä [muokkaa]

Perustapahtumien tila [muokkaa]

Alkeistapahtumien tila nopan heiton tapauksessa

Jos noppaa heitetään, yläpinta voi olla yksi kuudesta pinnasta, jossa on pisteitä yhdestä kuuteen. Minkä tahansa kasvojen menetystä tässä tapauksessa kutsutaan todennäköisyysteoriassa alkeistapahtumaksi, toisin sanoen

Kaikki kasvot muodostaa alkeistapahtumien tilan, jonka osajoukkoja kutsutaan satunnaisiksi tapahtumiksi. Kun kyseessä on yksi noppaa, esimerkkejä tapahtumista ovat

Tapahtumien algebra[muokkaa]

Joukko satunnaisia tapahtumia muodostaa tapahtumaalgebran, jos seuraavat ehdot täyttyvät:

Jos se täyttää kolmannen ehdon sijasta toisen ehdon: laskettavan alaryhmän liitto kuuluu myös ryhmään, niin satunnaisten tapahtumien joukko muodostaa tapahtumien σ-algebran.

Tapahtumien algebra on joukkojen σ-algebran erikoistapaus.

Pienintä kaikista mahdollisista -algebroista, joiden kaikki alkiot ovat reaaliviivan intervalleja, kutsutaan Borelin σ-algebraksi reaalilukujen joukossa.

Todennäköisyys [muokkaa]

Jos jokaiselle alkeistapahtumalle annetaan numero, jonka ehto täyttyy:

silloin katsotaan, että alkeistapahtumien todennäköisyydet on annettu. Tapahtuman todennäköisyys, alkeistapahtumien tilan laskettava osajoukko, määritellään tähän tapahtumaan kuuluvien alkeistapahtumien todennäköisyyksien summaksi. Laskettavuusvaatimus on tärkeä, koska muuten summa on määrittelemätön.

Harkitse esimerkkiä erilaisten satunnaisten tapahtumien todennäköisyyden määrittämisestä. Esimerkiksi, jos tapahtuma on tyhjä joukko, sen todennäköisyys on nolla:

Jos tapahtuma on alkeistapahtumien avaruus, niin sen todennäköisyys on yhtä:

Tapahtuman todennäköisyys (alkeistapahtumien avaruuden osajoukko) on yhtä suuri kuin niiden elementaaristen tapahtumien todennäköisyyksien summa, jotka sisältävät tarkasteltavana olevan tapahtuman.

Satunnaismuuttujan määritelmä [muokkaa]

Satunnaismuuttuja on funktio, joka on mitattavissa suhteessa ja Borelin σ-algebra on .

Satunnaismuuttuja voidaan määritellä myös muulla vastaavalla tavalla. Funktiota kutsutaan satunnaismuuttujaksi, jos millä tahansa reaaliluvulla ja tapahtumajoukolla sellainen, että , kuuluu.

Esimerkkejä [muokkaa]

on yhtä suuri kuin kaikkien vastaanotettujen arvojen aritmeettinen keskiarvo.

eli matemaattista odotusta ei ole määritelty.

Luokittelu [muokkaa]

Satunnaismuuttujat voivat saada diskreettejä, jatkuvia ja diskreetti-jatkuvia arvoja. Sen mukaisesti satunnaismuuttujat luokitellaan diskreetteihin, jatkuviin ja diskreetteihin-jatkuviin (sekoitettuihin).

Testikaaviossa voidaan määritellä sekä erillinen satunnaismuuttuja (yksiulotteinen/skalaari) että kokonaisuus yksiulotteisia toisiinsa liittyviä satunnaismuuttujia (moniulotteinen/vektori).

Esimerkki sekoitetusta satunnaismuuttujasta on odotusaika läpikulkemisessa tie kaupungissa sääntelemättömässä risteyksessä.
Äärettävissä kaavioissa (diskreetti tai jatkuva) on kätevää kuvata kvantitatiivisesti jo alun perin alkeet. Esimerkiksi onnettomuustyyppien asteikot tieliikenneonnettomuuksien analysoinnissa; laitteen käyttöaika laadunvalvontaan jne.
Kokeiden tuloksia kuvaavat numeeriset arvot eivät välttämättä kuvaa yksittäisiä perustuloksia testikaaviossa, vaan vastaavat myös joitain monimutkaisempia tapahtumia.

Toisaalta yhteen testikaavioon ja sen yksittäisiin tapahtumiin voidaan liittää samanaikaisesti useita numeerisia arvoja, jotka on analysoitava yhdessä.

Esimerkiksi jonkinlaisen ammuksen räjähdyksen koordinaatit (abskissa, ordinaatit) ammuttaessa maakohdetta; laadunvalvonnan alaisen osan metriset mitat (pituus, leveys jne.); lääkärintarkastuksen tulokset (lämpötila, paine, pulssi jne.) potilasta diagnosoitaessa; väestönlaskentatiedot (iän, sukupuolen, varallisuuden jne. mukaan).

Koska testikaavioiden numeeristen ominaisuuksien arvot vastaavat kaaviossa joitain satunnaisia tapahtumia (niiden tietyillä todennäköisyyksillä), nämä arvot ovat itse satunnaisia (samalla todennäköisyydellä). Siksi tällaisia numeerisia ominaisuuksia kutsutaan yleensä satunnaismuuttujiksi. Tässä tapauksessa satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksien jakautumista kutsutaan satunnaismuuttujan jakauman laiksi.

Kuvausmenetelmät[muokkaa]

Satunnaismuuttuja on mahdollista asettaa osittain ja siten kuvata sen kaikki todennäköisyysominaisuudet erillisenä satunnaismuuttujana käyttämällä jakaumafunktiota, todennäköisyystiheyttä ja ominaisfunktiota määrittämällä sen mahdollisten arvojen todennäköisyydet. Jakaumafunktio F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttujan arvot ovat pienempiä kuin reaaliluku x. Tästä määritelmästä seuraa, että todennäköisyys, että satunnaismuuttujan arvo osuu väliin

Satunnaismuuttuja voi yleisesti ottaen ottaa arvoja missä tahansa mitattavissa olevassa avaruudessa. Silloin sitä kutsutaan usein satunnaisvektoriksi tai satunnaiselementiksi. Esimerkiksi,

Katso myös [muokkaa]

satunnainen prosessi
jakelutoiminto
Odotettu arvo

Muistiinpanot [muokkaa]

1 2 Chernova N.I. Luku 1. § 2. Alkeinen todennäköisyysteoria // Todennäköisyysteoria. - Opastus. - Novosibirsk: Novosibirskin osavaltio. un-t, 2007. - 160 s.
Chernova N.I. Luku 3. § 1. Tapahtumien algebra ja sigma-algebra // Todennäköisyysteoria. - Opetusohjelma. - Novosibirsk: Novosibirskin osavaltio. un-t, 2007. - 160 s.
Chernova N.I. LUKU 1 § 2. Alkeinen todennäköisyysteoria // Todennäköisyysteoria. - Opetusohjelma. - Novosibirsk: Novosibirskin osavaltio. un-t, 2007. - 160 s.
1 2 Chernova N.I. Luku 6. Satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat § 1. Satunnaismuuttujat // Todennäköisyysteoria. - Opetusohjelma. - Novosibirsk: Novosibirskin osavaltio. un-t, 2007. - 160 s.

Kirjallisuus [muokkaa]

Gnedenko B.V. Todennäköisyysteoriakurssi. - 8. painos lisätä. ja oikein. - M.: Pääkirjoitus URSS, 2005. - 448 s.
Matemaattinen tietosanakirja/ Ch. toim. Prokhorov Yu. V. - 2. painos. - M.: "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1998. - 847 s.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Radiotekniikan laitteiden ja järjestelmien tilastollinen analyysi ja synteesi. - Oppikirja yliopistoille. - M.: Radio ja viestintä, 1991. - 608 s. - ISBN 5-256-00789-0
Chernova N.I. Todennäköisyysteoria. - Opetusohjelma. - Novosibirsk: Novosibirskin osavaltio. un-t, 2007. - 160 s.

Määritelmä. Satunnaismuuttuja on sellainen muuttuja, joka kokeen tuloksena ottaa minkä tahansa arvon mahdollisista arvoistaan, ja on mahdotonta ennustaa minkä tahansa ennen koetta.

Satunnaismuuttujia ovat esimerkiksi noppaa heitettäessä putoavien pisteiden määrä, apteekin kävijöiden määrä päivän aikana, omenoiden määrä puussa jne.

Satunnaismuuttujia ovat myös potilaan lämpötila johonkin satunnaisesti valittuun vuorokaudenaikaan, satunnaisesti valitun lääkkeen tabletin massa, satunnaisesti valitun opiskelijan pituus jne.

NOIN

Matemaattisesta näkökulmasta katsottuna on kuitenkin perustavanlaatuinen ero sellaisten satunnaismuuttujien, kuten esimerkiksi apteekkivierailujen vuorokauden aikana (merkitsimme tätä satunnaismuuttujaa X 1) ja satunnaisesti valitun opiskelijan kasvun välillä. Tietylle opiskelijaryhmälle (arvo X 2) on perustavanlaatuinen ero, nimittäin: X 1 -arvolle voit luetella kaikki sen mahdolliset arvot (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), kun taas X 2 -arvolle tätä ei voida tehdä, koska tämä arvo voi mittauksen tuloksena ottaa minkä tahansa arvon segmentistä , jossa

ja - vastaavasti ryhmän oppilaiden vähimmäis- ja enimmäispituus.

Satunnaismuuttujat merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla - X, Y, Z jne., ja niiden mahdolliset arvot - vastaavilla pienillä kirjaimilla numeroindekseillä. Esimerkiksi satunnaismuuttujan x arvot merkitään seuraavasti: x 1, x 2, x 3 jne.

Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien käsite

Määritelmä. Satunnaismuuttujaa kutsutaan diskreetiksi, jos sen kaikkien mahdollisten arvojen joukko on äärellinen tai ääretön, mutta välttämättä laskettava arvojoukko, eli sellainen joukko, jonka kaikki alkiot voidaan (ainakin teoreettisesti) numeroida ja kirjoittaa ulos sopiva järjestys.

Määritelmä. Satunnaismuuttujaa kutsutaan jatkuvaksi, jos sen mahdollisten arvojen joukko on jokin numeerisen akselin äärellinen tai ääretön väli.

Näiden määritelmien perusteella yllä luetellut satunnaismuuttujat kuten noppaa heittäessä putoavien pisteiden määrä, apteekkivieraiden määrä päivän aikana, omenoiden määrä per. puu, ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, ja kuten potilaan lämpötila tiettyyn aikaan vuorokaudesta, satunnaisesti valitun jonkin lääkkeen tabletin massa, satunnaisesti valitun opiskelijan pituus ovat jatkuvia muuttujia.

Diskreetit satunnaismuuttujat

Katsotaanpa tarkemmin diskreetit satunnaismuuttujat, ja pääsääntöisesti rajoitamme huomiomme sellaisiin satunnaismuuttujiin, joiden mahdollisten arvojen määrä on äärellinen.

Täydellisimmän tiedon diskreetistä satunnaismuuttujasta antaa tämän muuttujan jakautumislaki.

Määritelmä. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on tämän satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien välinen vastaavuus.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki määritetään usein kaksirivisen taulukon muodossa, jonka ensimmäisellä rivillä on lueteltu tämän muuttujan kaikki mahdolliset arvot (yleensä nousevassa järjestyksessä) ja toisella rivillä näitä taulukon 1 arvoja vastaavat todennäköisyydet:

Esimerkki 2 Opiskelijaryhmiä on kymmenen, ja niissä on 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 ja 11 opiskelijaa. Kirjoita jakautumislaki satunnaismuuttujalle X, joka määritellään opiskelijoiden lukumääränä satunnaisesti valitussa ryhmässä.

Ratkaisu. Tarkastelun satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat seuraavat (nousevassa järjestyksessä):

8, 9, 10, 11 ja 12.

Koska satunnaismuuttuja X saa arvon 8, jos satunnaisesti valittu ryhmä on 8 opiskelijan ryhmä (kutsutaanko sitä tapahtumaksi A), todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon
, on yhtä suuri kuin tämän satunnaisen tapahtuman todennäköisyys:
.

Klassisen todennäköisyysmääritelmän mukainen satunnaisen tapahtuman A todennäköisyys on
koska 10 ryhmästä kahdessa on 8 oppilasta.

Siten arvon todennäköisyydelle saamme:

Vastaavasti voit löytää satunnaismuuttujan X jäljellä olevien arvojen todennäköisyydet:

jonka avulla voimme laatia halutun jakautumislain (taulukko 2):

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan määrittää myös käyttämällä kaavaa, jonka avulla jokainen tämän muuttujan mahdollinen arvo määrittää vastaavan todennäköisyyden.

Diskreetit ja jatkuvat satunnaismuuttujat

Pääsääntöisesti tuotteiden valmistuksessa sen valmistusprosessiin vaikuttavat monet erilaiset tekijät, minkä seurauksena tuotteiden laatuindikaattoreiden arvot hajoavat. Näin ollen valmistettujen tuotteiden tai palvelujen laatuindikaattoreita tulee pitää satunnaismuuttujina.

Satunnaismuuttuja kutsutaan sellaista arvoa, joka tietyn aikavälin testien tuloksena voi saada erilaisia numeerisia arvoja (STB GOST R 50779.10:n mukaan satunnaismuuttuja on muuttuja, joka voi saada minkä tahansa arvon tietystä arvojoukosta ja johon liittyy todennäköisyysjakauma).

Diskreetit satunnaismuuttujat kutsutaan niitä, jotka testien tuloksena voivat ottaa vain erilliset, eristettyjä arvoja eivätkä voi ottaa arvoja niiden välissä. Esimerkiksi erän huonojen osien määrä voi olla vain positiivinen kokonaisluku 1, 2, 3 jne., mutta ei 1,3; 1.7 jne.

Jatkuva satunnaismuuttuja kutsutaan sellaista arvoa, joka testien tuloksena voi ottaa mitkä tahansa numeeriset arvot niiden mahdollisten arvojen jatkuvasta sarjasta tietyn aikavälin sisällä.

Esimerkiksi koneistettujen osien todelliset mitat ovat jatkuvan tyyppisiä satunnaismuuttujia, koska ne voivat saada minkä tahansa numeerisen arvon tietyissä rajoissa.

Satunnaismuuttujien mahdollisuuksia ottaa tiettyjä numeerisia arvoja testin aikana arvioidaan todennäköisyyksien avulla.

Nousevaan järjestykseen järjestettyjen satunnaismuuttujien arvojen joukko, jossa ilmoitetaan niiden todennäköisyydet kullekin arvolle, on ns. satunnaismuuttujien jakauma (STB:n mukaan GOST R 50779.10-jakauma on funktio, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja saa tietyn arvon tai kuuluu tiettyyn arvojoukkoon).

Satunnaismuuttujan jakauma voidaan esittää taulukkomuodossa, graafisessa muodossa ja tilastollisten arvioiden avulla.

Esitettäessä satunnaismuuttujan jakauma taulukkomuodossa jokainen tutkittavan tuoteyksikön numero (mittausnumero) vastaa tämän tuoteyksikön laatuindikaattorin arvoa (mittaustulos).

Esitettäessä satunnaismuuttujan jakauma graafisessa muodossa, piirretään koordinaatteina jakautumakaavio, satunnaismuuttujan arvo - satunnaismuuttujan arvon todennäköisyys (taajuus, taajuus).

Alla oleva kuva esittää diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien jakauman kaavioita.

Kuva - Diskreetin satunnaismuuttujan jakauman kaavio

Kuva - Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman kaavio

On olemassa teoreettisia ja empiirisiä satunnaismuuttujien jakaumia. Teoreettisissa jakaumissa satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen arviointi suoritetaan todennäköisyyksien avulla ja empiirisessä jakaumassa käyttämällä taajuuksia tai testien tuloksena saatuja taajuuksia.

Siten, satunnaismuuttujan empiirinen jakauma on joukko sen kokeellisia arvoja, jotka on järjestetty nousevaan järjestykseen ja osoittavat kunkin arvon taajuudet tai taajuudet (STB:n mukaan GOST R 50779.10 taajuusjakauma on empiirinen suhde ominaisuuden arvojen ja sen taajuuksien tai suhteellisten taajuuksien välillä).

Pöytä. Esimerkki diskreetin satunnaismuuttujan teoreettisen jakauman taulukkoesityksestä

Graafisesti diskreetin satunnaismuuttujan empiirinen jakauma voidaan esittää muodossa pylväsdiagrammi , joka muodostuu joukosta yhtä leveitä sarakkeita, joiden korkeudet ovat verrannollisia satunnaismuuttujan diskreettien arvojen taajuuksiin.

Kuva - Diskreetin satunnaismuuttujan pylväskaavio.

Jos satunnaismuuttuja on jatkuva, sen jakauman esittäminen taulukon tai kaavion muodossa aiheuttaa vaikeuksia. Siksi käytännössä jatkuvan tyyppisiä satunnaismuuttujia tutkittaessa saadut arvot jaetaan yhtä suuriin aikaväleihin siten, että välin arvo on jonkin verran suurempi kuin tutkittavan suuren mittausvirhe. Sitten taajuuksia ei lasketa satunnaismuuttujan todellisten arvojen perusteella, vaan aikavälein. Siksi jatkuvan tyyppisen satunnaismuuttujan empiirisen jakauman taulukolla on seuraava muoto.

Pöytä. Jatkuvan tyyppisen satunnaismuuttujan empiirinen jakauma.

Arvoväli X	Aritmeettinen keskiarvo	Taajuus f i	Taajuus m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f i = 100	m i = 1

Jatkuvan satunnaismuuttujan empiirinen jakauma voidaan esittää graafisesti jakauman histogrammina, taajuuspolygonina tai kumulatiivisena taajuuspolygonina.

Jakauman histogrammi on joukko koskettavia suorakulmioita, joiden kantat ovat yhtä suuret kuin jatkuvan satunnaismuuttujan jakovälit ja alueet ovat verrannollisia taajuuksiin, joilla satunnaismuuttujan arvot osuvat näihin väliin (STB:n mukaan GOST R 50779.10 pylväsdiagrammi (jakauma) on graafinen esitys kvantitatiivisen ominaisuuden taajuusjakaumasta, joka muodostuu vierekkäisistä suorakulmioista, joiden kantat ovat luokkien välit ja alueet ovat verrannollisia näiden luokkien taajuuksiin).

Kuva - Satunnaisen jatkuvan muuttujan jakauman histogrammi.

Taajuus monikulmio on katkoviiva, joka saadaan yhdistämällä pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin jakovälien keskipisteet ja ordinaatit vastaavat vastaavia taajuuksia.

Kuva - Jatkuvan satunnaismuuttujan taajuuksien monikulmio.

Monikulmio kumulatiivinen taajuuksia on katkoviiva, joka saadaan yhdistämällä pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin osiointivälien ylärajat ja joiden ordinaatit ovat yhtä suuria kuin kumulatiiviset taajuudet tai kumulatiiviset taajuudet (kumulatiiviset suhteelliset taajuudet).

Kuva - Satunnaisen jatkuvan arvon kumulatiivisten taajuuksien monikulmio.

Jatkuvatyyppisten satunnaismuuttujien teoreettisissa kuvauksissa käytetään jakaumafunktiota. Jatkuvan satunnaismuuttujan teoreettinen jakauma voidaan esittää graafisesti muodossa integraali, käänteisintegraali, differentiaali jakelufunktiot ja toiminnot intensiteetti.

Olkoon X satunnaismuuttuja ja x jokin reaaliluku (ja X< х ). Tapahtuma X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X):tä kutsutaan jakelutoiminto todennäköisyyksiä satunnaismuuttujan tai integraalijakaumafunktio.

Diskreetille satunnaismuuttujalle integraalijakaumafunktio F(X) on helppo määrittää taulukosta tai kaaviosta.

Näin ollen yllä olevalle esimerkille diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasta (osoitteessa X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X = 2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Diskreetin satunnaismuuttujan integraalijakaumafunktion kuvaaja näyttää askelkäyrältä. Käyrän ordinaatit mille tahansa X:n arvolle edustavat aikaisempien arvojen todennäköisyyksien summaa.

Kuva - Diskreetin satunnaismuuttujan integraalijakaumafunktio

Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja on testauksen aikana kahden annetun arvon x 1 ja x 2 (x 2 > x 1) rajoissa, on yhtä suuri kuin integraalifunktion lisäys tällä alueella, ts.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Jos tarkastellaan yllä olevaa esimerkkiä diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasta, niin x1 = 2 ja x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle integraalijakaumafunktion kuvaaja näyttää monotonisesti kasvavalta käyrältä. Käytännössä teoreettiset jakautumistiheydet määritetään käyttämällä kumulatiivista jakaumafunktiota.

Kuva - Kumulatiivinen jakaumafunktio

jatkuva satunnaismuuttuja

Käänteinen kumulatiivinen jakaumafunktio on yhtä suuri kuin yksikön ja kumulatiivisen jakaumafunktion erotus.

Jakauman tiheys (differentiaalijakaumafunktio) satunnaismuuttujaa kutsutaan integraalijakaumafunktion ensimmäiseksi derivaataksi:

Jatkuvan satunnaismuuttujan analyyttiseen kuvaamiseen luotettavuusteoriassa käytämme intensiteettitoiminto , yhtä suuri kuin differentiaalijakaumafunktion suhde käänteiseen integraalijakaumafunktioon:

Kuva - Jatkuvan satunnaismuuttujan intensiteettifunktio.

Aihe 3.

Satunnaismuuttujat ja jakaumafunktiot

Satunnaismuuttujan käsite.

Satunnaismuuttujan käsite

Satunnaismuuttujan jakaumafunktio, sen ominaisuudet

Diskreetin jakauman satunnaismuuttujat

Diskreetin jakauman omaavan satunnaismuuttujan käsite

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki.

Esimerkkejä diskreeteistä jakaumista

Satunnaismuuttujat ehdottoman jatkuvalla jakautumisella

Satunnaismuuttujan käsite ehdottoman jatkuvalla jakaumalla

Absoluuttisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumislaki. Tiheys, sen ominaisuudet

Esimerkkejä täysin jatkuvista jakaumista

Satunnaisvektorin käsite.

Satunnaisvektorin käsite

Riippumattomat satunnaismuuttujat

Satunnaismuuttujien yhteisjakauma

Satunnaismuuttujan käsite.

Todennäköisyysteorian ilmaantumisen jälkeen sen päätehtävänä on ollut tutkia ei satunnaistuloksilla tehtyjen kokeiden todennäköisyysominaisuuksia, vaan näihin kokeisiin liittyviä numeerisia suureita, joita on luonnollista kutsua. satunnaismuuttujia. Emme esimerkiksi saa olla kiinnostuneita nopan yläsivuilla olevista lukupareista, vaan niiden summasta; onnistumisten tai epäonnistumisten määrä ennen ensimmäistä menestystä Bernoulli-järjestelmässä.

Usein kirjallisuudessa voit löytää muunnelmia seuraavan määritelmän teemasta: Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka testin tuloksesta riippuen saa arvot, jotka riippuvat tapauksesta.

Satunnaismuuttuja on siis numeerinen arvo, jonka arvo riippuu siitä, millainen (alkeis)tulos sattui satunnaistuloksella tehdyn kokeen tuloksena. Kutsutaan kaikkien arvojen joukko, jotka satunnaismuuttuja voi saada tämän satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko.

Annamme tarkemman määritelmän, koska satunnaismuuttujan käsite on yksi niistä keskeisistä käsitteistä, jotka yhdistävät todennäköisyysteorian matemaattiseen analyysiin ja muodostavat matemaattisten tilastojen käsitteellisen perustan.

Määritelmä. Satunnaismuuttuja on funktio X = X(ω), joka on määritetty alkeistapahtumien Ω avaruuteen, jolle tapahtuma (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Kunto (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из A. Lisäksi tapahtumien kautta (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Kommentti. Satunnaismuuttuja on siis funktio, jonka määritelmäalue on alkeistapahtumien avaruus Ω ja arvojoukko on numeerinen joukko, mahdollisesti koko reaalilukujoukko R.

Tapahtumien A σ-algebra on todennäköisyyden määritelmäalue, jos sitä tarkastellaan funktiona.

Kommentti . "Termi "satunnainen muuttuja" on hieman epätarkka, termi "satunnaisfunktio" olisi sopivampi, riippumaton muuttuja on piste alkeistapahtumien avaruudessa, ts. kokeen tai tapauksen tulos. (W. Feller "Johdatus todennäköisyysteoriaan", luku. IX)

Satunnaismuuttujat merkitään kreikkalaisten aakkosten kirjaimilla:  (xi),  (tämä),  tai latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla X, Y, ... Kirjoitamme satunnaismuuttujan arvot äärellinen tai ääretön sekvenssi x 1 ,x 2,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Kommentti . Aiemmin olemme ottaneet käyttöön todennäköisyyden käsitteen suhteessa joihinkin tapahtumiin. Siirrymme nyt puhumaan funktioista. Ilmeisin tapahtuma, joka voidaan yhdistää funktion käsitteeseen, on jonkin arvon (spesifinen tai väliin kuuluva) omaksuminen.

Satunnaismuuttujan todennäköisyysominaisuuksien tutkimiseksi on tiedettävä sääntö, jonka avulla voit löytää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja ottaa arvon arvojensa osajoukosta. Jokaista tällaista sääntöä kutsutaan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman tai (todennäköisyyksien) jakauman laki.(sana "todennäköisyys" jätetään yleensä pois)

Kaikkiin satunnaismuuttujiin kuuluva yleinen jakautumislaki on jakelutoiminto.

Määritelmä. Koko joukko todennäköisyyksiä P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает satunnaismuuttujan X jakautumislaki V yleinen tapaus. Usein lyhyyden vuoksi satunnaismuuttujan jakautumislakia kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan jakaumaksi.

Määritelmä. Funktio F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется satunnaismuuttujan X jakaumafunktio.

Jakaumafunktion arvo pisteessä x on yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Yleensä sanotaan, että jakaumafunktion arvo pisteessä x on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x.

Geometrisesti tämä tarkoittaa seuraavaa: F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon, jota edustaa pisteen x vasemmalla puolella oleva lukuviivan piste.

Kommentti . Jakaumafunktiota kutsutaan myös integraalinen toiminto tai yhtenäinen laki satunnaismuuttujan X jakauma

Jakelufunktiolla on seuraava ominaisuuksia:

0≤ F(x)≤1 (koska määritelmän mukaan jakaumafunktio on todennäköisyys)

F(x 1) ≤ F(x 2) x 1:lle< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 x → - ∞ , lim F(x) = 1 x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) on vasen jatkuva funktio, ts. F(x) = F(x - 0), jossa F(x - 0) = lim F(y) kuten y → x - 0 (vasen raja)

Kommentti . Korostaakseen, mihin satunnaismuuttujaan jakaumafunktio F(x) kuuluu, tälle funktiolle annetaan joskus alaindeksi, joka ilmaisee tiettyä satunnaismuuttujaa. Esimerkiksi F X (x) = P (X< х}

Kommentti. Joissakin julkaisuissa jakaumafunktio on määritelty F(x) = P(X ≤ x). Tällainen määritelmä ei muuta mitään jakaumafunktion käsitteen olemuksessa, vain viimeinen, viides ominaisuus muuttuu. Toiminto osoittautuu tässä tapauksessa oikea-jatkuvaksi.

Poikkeama: "Mikä on funktio?"

Olkoon meille annettu kaksi joukkoa X ja Y, ja Y on lukujoukko. Ja annetaan sääntö f, jonka mukaan joukon X jokainen alkio (piste) liittyy (yhteen ja vain yhteen) joukon Y alkioon (numeroon). Sääntö f yhdessä joukkojen X ja Y kanssa määrittelee toiminto f. Merkintä y=f(x) tarkoittaa, että sääntöä f sovellettiin johonkin joukon X pisteeseen x ja tuloksena saatiin piste y joukosta Y. X:tä kutsutaan argumentiksi (itsenäinen muuttuja) ja y on funktion f arvo (riippuvainen muuttuja) pisteessä X. Joukkoa X kutsutaan funktion määritelmäalueeksi (asetusalueeksi), sanotaan, että funktio annetaan tässä joukossa, joukkoa Y kutsutaan funktion arvojoukoksi. Joukko X ei välttämättä ole lukujoukko. Näin ollen satunnaismuuttuja on funktio, joka on määritelty alkeistapahtumien ei-numeeriseen avaruuteen.

SATUNNAISET ARVOT

Satunnaisarvo on suure, joka testin tuloksena saa yhden ja vain yhden mahdollisen arvon, jota ei tiedetä etukäteen.

Diskreetti on satunnaismuuttuja, joka ottaa erilliset, eristetyt mahdolliset arvot tietyin todennäköisyksin.

Jatkuva muuttuja on satunnaismuuttuja, joka voi ottaa kaikki arvot jostakin äärellisestä tai äärettömästä intervallista.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välinen vastaavuus. Tämä laki annetaan taulukon, kaavan tai kaavion muodossa.

Diskreettien satunnaismuuttujien kohdalla yksi yleisimmistä on ns. binomiaalijakaumalaki, johon Bernoullin testien toistokaavio johtaa. Kaava (8) on tämän lain analyyttinen ilmaus.

Esimerkki 11.

Viesti lähetetään viestintäkanavalla kahdesta merkistä koostuvalla koodilla. Ensimmäisen ilmestymisen todennäköisyys on 2/3. Kolme merkkiä meni ohi. Etsi jakautumislaki ensimmäisen merkin esiintymille.

Ratkaisu.

Ehdon mukaan n=4, R=2/3, q=1/3. Ensimmäisen merkin esiintymismäärän mahdolliset arvot: 0, 1, 2 ja 3. Selvitä niiden todennäköisyydet kaavalla (8):

Tämä laki voidaan esittää taulukon muodossa

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Jakaumafunktio on funktio, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X testin tuloksena saa arvon, joka on pienempi kuin X, tuo on

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että satunnaismuuttuja, jolla on todennäköisyys R ottaa arvon, jota vasemmalla oleva piste edustaa numeerisella akselilla X.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle jakaumafunktio on jatkuva paloittain differentioituva funktio. Tärkeimmät ominaisuudet on johdettu määritelmästä:

1. Jakaumafunktion arvot kuuluvat segmenttiin ts.

2. F(x) on ei-laskeva funktio, eli jos

3. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka sisältyy väliin [ a,b[, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion lisäys tällä välillä

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle todennäköisyys hyväksyä yksittäinen arvo on nolla. Siksi jatkuville satunnaismuuttujille

Esimerkki 12.

Satunnainen arvo X jakautumisfunktion antama

Etsi todennäköisyys, että testin tuloksena X ottaa segmenttiin kuuluvan arvon [-1; 0,5].

Ratkaisu.

Ehdosta seuraa, että X on jatkuva satunnaismuuttuja, joka voi saada arvon 0 - 1.

Todennäköisyystiheys jatkuva Satunnaismuuttuja X kutsua jakaumafunktion ensimmäistä derivaatta

jakelutoiminto F(x) on yksi jakelutiheyden antiderivaatteista. Tiheyden tai differentiaalijakaumalain määritelmän ja sen yhteyden jakautumisfunktioon perusteella on helppo osoittaa seuraavat ominaisuudet:

1. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumistiheys on ei-negatiivinen funktio

2. Satunnaismuuttujan osumisen todennäköisyys X välissä on yhtä suuri kuin

(16)

3. Ominaisuudesta 2 saadaan lauseke jakaumafunktiolle

(17)

4. Normalisointitila

(18)

Esimerkki 13 diskreetti arvo X annettu taulukon mukaan

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Etsi jakaumafunktio ja rakenna sen kaavio.

Ratkaisu.

1. Jos , niin , koska X ei voi olla pienempi kuin 2.

Tässä tapauksessa välissä (-¥, X) satunnaismuuttujalla on vain yksi arvo X (X=2). Siksi

Kaikille argumentin arvoille X toimintoja F(x), tyydyttää tämä epäyhtälö väliin (-¥, X) osuu kahteen satunnaismuuttujan arvoon ( X=2 ja X=3). Koska tapahtumat X hyväksyy annetut arvot ovat epäjohdonmukaisia (tai X= 2 tai X=3), sitten

4. Samoin jos

Siksi jakelufunktio näyttää tältä

Rakennamme jakaumafunktiosta kuvaajan

Riisi. 1 - Jakaumafunktion kaavio

diskreetti satunnaismuuttuja

Esimerkki 14. Mittausvirheen jakautumistiheys

JAKELULAKI JA OMINAISUUDET

SATUNNAISET ARVOT

Satunnaismuuttujat, niiden luokittelu ja kuvaustavat.

Satunnaisarvo on suure, joka voi kokeen seurauksena saada yhden tai toisen arvon, mutta jota ei tiedetä etukäteen. Satunnaismuuttujalle voidaan siis määrittää vain arvoja, joista yhden se välttämättä ottaa kokeen tuloksena. Näitä arvoja kutsutaan satunnaismuuttujan mahdollisiksi arvoiksi. Koska satunnaismuuttuja luonnehtii kvantitatiivisesti kokeen satunnaista tulosta, sitä voidaan pitää satunnaisen tapahtuman kvantitatiivisena ominaisuutena.

Satunnaismuuttujat merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla, esimerkiksi X..Y..Z, ja niiden mahdolliset arvot vastaavilla pienillä kirjaimilla.

Satunnaismuuttujia on kolmen tyyppisiä:

diskreetti; Jatkuva; Sekoitettu.

Diskreetti kutsutaan sellaista satunnaismuuttujaa, jonka mahdollisten arvojen lukumäärä muodostaa laskettavan joukon. Laskettava joukko puolestaan on joukko, jonka alkiot voidaan numeroida. Sana "diskreetti" tulee latinan sanasta discretus, joka tarkoittaa "epäjatkuvaa, joka koostuu erillisistä osista".

Esimerkki 1. Diskreetti satunnaismuuttuja on viallisten osien X määrä erässä nfl. Todellakin, tämän satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat sarja kokonaislukuja 0 - n.

Esimerkki 2. Diskreetti satunnaismuuttuja on laukausten lukumäärä ennen ensimmäistä osumaa kohteeseen. Tässä, kuten esimerkissä 1, mahdolliset arvot voidaan numeroida, vaikka rajatapauksessa mahdollinen arvo on äärettömän suuri luku.

jatkuva kutsutaan satunnaismuuttujaksi, jonka mahdolliset arvot täyttävät jatkuvasti numeerisen akselin tietyn välin, jota joskus kutsutaan tämän satunnaismuuttujan olemassaolon väliksi. Näin ollen millä tahansa äärellisellä olemassaolon aikavälillä jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on äärettömän suuri.

Esimerkki 3. Jatkuva satunnaismuuttuja on yrityksen sähkönkulutus kuukauden ajalta.

Esimerkki 4. Jatkuva satunnaismuuttuja on korkeusmittauksen virhe. Olkoon korkeusmittarin toimintaperiaatteesta tiedossa, että virhe on alueella 0 - 2 m. Siksi tämän satunnaismuuttujan olemassaolon väli on väli 0 - 2 m.

Satunnaismuuttujien jakautumislaki.

Satunnaismuuttujan katsotaan olevan täysin määritelty, jos sen mahdolliset arvot on merkitty numeeriselle akselille ja jakautumislaki on vahvistettu.

Satunnaismuuttujan jakautumislaki kutsutaan relaatioksi, joka muodostaa suhteen satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja vastaavien todennäköisyyksien välille.

Satunnaismuuttujan sanotaan jakautuvan tietyn lain mukaan tai olevan tietyn jakautumislain alainen. Jakaumalakeina käytetään useita todennäköisyyksiä, jakaumafunktiota, todennäköisyystiheyttä, ominaisfunktiota.

Jakaumalaki antaa täydellisen todennäköisen kuvauksen satunnaismuuttujasta. Jakaumalain mukaan on mahdollista arvioida ennen kokemusta, mitkä mahdolliset satunnaismuuttujan arvot ilmestyvät useammin ja mitkä harvemmin.

Diskreetille satunnaismuuttujalle jakautumislaki voidaan antaa taulukon muodossa, analyyttisesti (kaavan muodossa) ja graafisesti.

Yksinkertaisin muoto diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislain määrittämiseksi on taulukko (matriisi), jossa luetellaan nousevassa järjestyksessä kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot ja niitä vastaavat todennäköisyydet, ts.

Tällaista taulukkoa kutsutaan diskreetin satunnaismuuttujan jakauman sarjaksi. 1

Tapahtumat X 1 , X 2 ,..., X n , jotka koostuvat siitä, että testin tuloksena satunnaismuuttuja X saa vastaavasti arvot x 1 , x 2 ,... x n , ovat epäjohdonmukaisia ja ainoita mahdollisia (koska taulukossa on lueteltu kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot), ts. muodostaa kokonaisen ryhmän. Siksi niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1. Näin ollen mille tahansa diskreetille satunnaismuuttujalle

(Tämä yksikkö on jotenkin jakautunut satunnaismuuttujan arvojen kesken, tästä syystä termi "jakauma").

Jakaumasarja voidaan näyttää graafisesti, jos satunnaismuuttujan arvot piirretään abskissa-akselille ja niitä vastaavat todennäköisyydet ordinaattiselle akselille. Saatujen pisteiden liitos muodostaa katkoviivan, jota kutsutaan todennäköisyysjakauman monikulmioksi tai polygoniksi (kuva 1).

Esimerkki Lottoa pelataan: 5000 den arvoinen auto. yksikköä, 4 televisiota arvoltaan 250 den. yksikkö, 5 videonauhuria, joiden arvo on 200 den. yksiköitä Yhteensä 1000 lippua myydään hintaan 7 den. yksiköitä Laadi yhden lipun ostaneen lottoon osallistujan saamien nettovoittojen jakautumislaki.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujan X - nettovoitot per lippu - mahdolliset arvot ovat 0-7 = -7 den. yksiköitä (jos lippu ei voittanut), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. yksiköitä (jos lippu voitti videonauhurin, television tai auton). Ottaen huomioon, että 1000 lipusta ei-voittajia on 990 ja ilmoitetut voitot ovat 5, 4 ja 1, ja käyttämällä klassista todennäköisyyden määritelmää, saamme.

Satunnaisten tapahtumien käsitteen laajennus, joka koostuu tiettyjen numeeristen arvojen ilmaantumisesta kokeen tuloksena, on satunnainen arvo X.

Määritelmä. Satunnainen he kutsuvat suureksi, joka kokeen tuloksena ottaa vain yhden arvon osasta niiden kokonaisuudesta ja jota ei tiedetä etukäteen, minkä.

Satunnainen arvo esimerkiksi on järkevä malli geologisen tiedon kuvaamiseen, kun otetaan huomioon eri tekijöiden vaikutus fyysiseen kenttään .

Kuten erillisen kokeen tuloksena, satunnaismuuttujan tarkkaa arvoa ei voida ennustaa, voidaan vain määrittää sen tilastolliset mallit, ts. määrittää satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyydet. Esimerkiksi mitat fyysiset ominaisuudet kiviä ovat vastaavien satunnaismuuttujien havaintoja.

Niistä satunnaismuuttujista, joita geologin on käsiteltävä, voidaan erottaa kaksi päätyyppiä: diskreetti ja määrät jatkuva.

Määritelmä. Diskreetti Satunnaismuuttuja on sellainen, joka voi saada äärellisen tai äärettömän laskettavan joukon arvoja.

Tyypillisinä esimerkkeinä diskreetistä satunnaismuuttujasta voivat olla kaikki kenttätyön tulokset, kaikki kokeiden tulokset, kentältä tuodut näytteet jne.

Kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän, ts. , missä on äärellinen tai ääretön. Näin ollen voidaan sanoa satunnainen arvo yleistää satunnaisen tapahtuman käsitteen.

Saadaan tutkimuksen tuloksena seuraavat tietosarjat tietyn rodun määrällisestä koostumuksesta: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Suoritettiin yhteensä 20 testiä. Tietojen käsittelyn helpottamiseksi ne muunnettiin: saadut arvot järjestettiin nousevaan järjestykseen ja kunkin arvon esiintymisten lukumäärä laskettiin. Tuloksena saimme (taulukko 7.1):

Määritelmä. Datan nousevaa jakaumaa kutsutaan sijoitus.

Määritelmä. Satunnaismuuttujan jonkin merkin havaittua arvoa kutsutaan variantiksi.

Määritelmä. Variantista muodostuvaa sarjaa kutsutaan variaatiosarja.

Määritelmä. Muutosta jossain satunnaismuuttujan etumerkissä kutsutaan vaihteleva.

Määritelmä. Numeroa, joka osoittaa, kuinka monta kertaa tietty variantti vaihtelee, kutsutaan taajuudeksi ja sitä merkitään .

Määritelmä. Todennäköisyys Tämän vaihtoehdon ulkonäkö on yhtä suuri kuin taajuuden suhde variaatiosarjan kokonaismäärään

(1)

Ottaen huomioon käyttöönotetut määritelmät, kirjoitamme uudelleen taulukon 7.1.

Taulukko 7.2. rankattu rivi

Vaihtoehto	1	2	3	4	5	6
Taajuus	3	4	3	3	6	1
Todennäköisyys	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

klo Tilastollinen analyysi kokeellisia tietoja käytetään pääasiassa erillisiä määriä. Taulukossa 7.3 on esitetty näiden suureiden tärkeimmät numeeriset ominaisuudet, joilla on suuri käytännön merkitys kokeellisen tiedon käsittelyssä.

Taulukko 7.3. Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet

N p / p

Satunnaismuuttujan ominaisuus (parametri) ja sen nimitys

Kaava satunnaismuuttujan ominaisuuksien löytämiseksi

Huomautus

Odotettu arvo