Vektorit voidaan esittää graafisesti suuntaviivasegmenteillä. Pituus valitaan tietyllä asteikolla osoittamaan vektorin suuruus , ja segmentin suunta edustaa vektorin suunta . Jos esimerkiksi oletetaan, että 1 cm edustaa nopeutta 5 km/h, niin 15 km/h koillistuulta edustaa 3 cm:n suuntaviiva, kuten kuvassa näkyy.

Vektori tasossa se on suunnattu segmentti. Kaksi vektoria yhtä suuri jos heillä on sama arvo Ja suunta.

Tarkastellaan vektoria, joka on piirretty pisteestä A pisteeseen B. Pistettä kutsutaan lähtökohta vektori, ja pistettä B kutsutaan päätepiste. Tämän vektorin symbolinen merkintä on (luetaan "vektorina AB"). Vektorit on merkitty myös lihavoituilla kirjaimilla, kuten U, V ja W. Vasemmalla olevan kuvan neljällä vektorilla on sama pituus ja suunta. Siksi he edustavat yhtä suuri tuulet; tuo on,

Vektorien yhteydessä käytämme = merkitsemään niiden yhtäläisyyttä.

pituus tai suuruus ilmaistuna ||. Sen määrittämiseksi, ovatko vektorit yhtä suuret, löydämme niiden suuruudet ja suunnat.

Esimerkki 1 Vektorit u, , w on esitetty alla olevassa kuvassa. Todista, että u = w.

Ratkaisu Ensin löydämme jokaisen vektorin pituuden etäisyyskaavalla:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Täältä
|u| = | = |w|.
Vektoreilla u, , ja w, kuten kuvasta näkyy, näyttävät olevan sama suunta, mutta tarkistamme niiden kaltevuuden. Jos viivoilla, joilla ne ovat, on sama kaltevuus, vektoreilla on sama suunta. Laske rinteet:
Koska u:lla, ja w:llä on sama suuruus ja sama suunta,
u = w.

Muista, että yhtäläiset vektorit vaativat vain saman suuruuden ja saman suunnan, eivätkä ne ole samassa paikassa. Ylin kuva on esimerkki vektorien yhtäläisyydestä.

Oletetaan, että henkilö ottaa 4 askelta itään ja sitten 3 askelta pohjoiseen. Henkilö on tällöin 5 askeleen päässä aloituspisteestä vasemmalla näkyvään suuntaan. Vektori, joka on 4 yksikköä pitkä ja jolla on oikea suunta, edustaa 4 askelta itään ja 3 yksikköä pitkä vektori ylöspäin edustaa 3 askelta pohjoiseen. Summa Näistä kahdesta vektorista on vektori, jonka suuruus on 5 askelta ja esitetyssä suunnassa. Summaa kutsutaan myös tuloksena kaksi vektoria.

Yleensä kaksi nollasta poikkeavaa vektoria u ja v voidaan lisätä geometrisesti sijoittamalla vektorin v alkupiste vektorin u loppupisteeseen ja etsimällä sitten vektori, jolla on sama aloituspiste kuin vektorilla u ja sama loppupiste. vektorina v alla olevan kuvan mukaisesti.

Summa on vektori, jota edustaa suunnattu segmentti vektorin u pisteestä A vektorin v loppupisteeseen C. Eli jos u = ja v = , niin
u+v=+=

Vektorien yhteenlaskua voidaan kuvata myös vektorien aloituspisteiden asettamiseksi yhteen, suunnikkaan rakentamiseksi ja suunnikkaan lävistäjän löytämiseksi. (Kuvassa alla.) Tätä lisäystä kutsutaan joskus nimellä suunnikassääntö vektorien lisääminen. Vektorin lisäys on kommutatiivista. Kuten kuvasta näkyy, molemmat vektorit u + v ja v + u edustavat samalla suunnatulla segmentillä.

Jos kaksi voimaa F1 ja F2 vaikuttavat samaan kohteeseen, tuloksena voima on näiden kahden erillisen voiman summa F 1 + F 2.

Esimerkki Kaksi 15 newtonin ja 25 newtonin voimaa vaikuttavat samaan esineeseen kohtisuorassa toisiinsa nähden. Etsi niiden summa eli resultanttivoima ja kulma, jonka se muodostaa suuremmalla voimalla.

Ratkaisu Piirretään tehtävän ehto, tässä tapauksessa suorakulmio, käyttämällä v tai kuvaamaan tulosta. Sen arvon selvittämiseksi käytämme Pythagoraan lausetta:
|v| 2 = 152 + 252 Täällä |v| tarkoittaa v:n pituutta tai suuruutta.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29.2.
Suunnan löytämiseksi huomaa, että koska OAB on suora kulma,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Laskimen avulla löydämme θ, kulman, jonka suuri voima muodostaa nettovoiman kanssa:
θ = tan -1 (0,6) ≈ 31°
Tuloksena olevan magnitudi on 29,2 ja kulma 31° suuremmalla voimalla.

Lentäjät voivat korjata lentonsa suuntaa, jos on sivutuuli. Tuuli ja lentokoneen nopeus voidaan esittää tuulina.

Esimerkki 3. Lentokoneen nopeus ja suunta. Lentokone liikkuu 100° atsimuuttia pitkin nopeudella 190 km/h tuulen nopeuden ollessa 48 km/h ja atsimuutin ollessa 220°. Selvitä lentokoneen absoluuttinen nopeus ja sen liikkeen suunta tuulen mukaan.

Ratkaisu Tehdään ensin piirustus. Tuuli on esitetty ja lentokoneen nopeusvektori on . Tuloksena oleva nopeusvektori on v, kahden vektorin summa. Kulmaa θ v:n ja välillä kutsutaan ryömintäkulma .


Huomaa, että COA = 100° - 40° = 60°. Tällöin CBA:n arvo on myös 60° (suunnikalan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret). Koska suunnikkaan kaikkien kulmien summa on 360° ja COB ja OAB ovat samansuuruisia, kummankin on oltava 120°. Tekijä: kosinisääntö OAB:ssa meillä on
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Sitten |v| vastaa 218 km/h. Mukaan sini sääntö , samassa kolmiossa,
48 /sinθ = 218 /synti 120°,
tai
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Sitten θ = 11° lähimpään kokonaislukukulmaan. Absoluuttinen nopeus on 218 km / h ja sen liikkeen suunta tuulen mukaan: 100 ° - 11 ° tai 89 °.

Kun vektori w on annettu, voimme löytää kaksi muuta vektoria u ja v, joiden summa on w. Vektoreita u ja v kutsutaan komponentit w ja niiden löytämisprosessia kutsutaan hajoaminen , tai vektorin esitys sen vektorikomponenteilla.

Kun hajotamme vektorin, etsimme yleensä kohtisuoraa komponenttia. Hyvin usein kuitenkin yksi komponentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa ja toinen on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Siksi niitä kutsutaan usein vaakasuoraan Ja pystysuora vektorikomponentit. Alla olevassa kuvassa vektori w = on jaettu u = ja v = summaksi.

W:n vaakakomponentti on u ja pystykomponentti v.

Esimerkki 4 w-vektorin magnitudi on 130 ja kaltevuus 40° vaakatasoon nähden. Jaa vektori vaaka- ja pystykomponentteihin.

Ratkaisu Ensin piirretään kuva vaaka- ja pystyvektoreilla u ja v, joiden summa on w.

ABC:stä löydämme |u| ja |v| käyttäen kosinin ja sinin määritelmiä:
cos40° = |u|/130 tai |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 tai |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Tällöin vaakasuuntainen w-komponentti on 100 oikealla ja pystysuora w-komponentti 84 ylöspäin.

"Geometria "Pusunsuunnikkaan pinta-ala"" - Ajattele. Trapetsin pinta-ala. AH=. 1. AD = 4 cm Pohja. Etsi puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala. Etsi suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan pinta-ala. Geometria. Toista lauseen todistus. Jaa monikulmio kolmioiksi. Ongelma ratkaisun kanssa.

"Aksiaalisen symmetrian määritys" - Rakenna pisteet A "ja B". Aksiaalinen symmetria. Kuva. Puuttuvat koordinaatit. Segmentin rakentaminen. Jana. Symmetria-akseli. Symmetria runoudessa. Kolmion rakentaminen. Pisteet, jotka sijaitsevat samassa kohtisuorassa. Pisteen rakentaminen. Symmetria. Kolmiot. Rakenna kolmioita. Piirrä piste. Piirrä pisteet. Figuurit, joissa on yksi symmetria-akseli. Suoraan. Figuurit, joissa on kaksi symmetria-akselia. Symmetria luonnossa.

"Nelikarhut, niiden merkit ja ominaisuudet" - Testit. Rombiset kulmat. Suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Nelisivujen tyypit. Opi nelikulmioiden tyypeistä. Nelikulmio, jonka kärjet ovat sivujen keskipisteissä. Nelikulmat. Nelikulmat, niiden merkit ja ominaisuudet. Trapetsi. Suunnikas. Parallelogrammin ominaisuudet. Diagonaalit. Mitkä kaksi samankokoista kolmiota voivat muodostaa neliön? Suorakulmio. Neliö. Trapetsin tyypit.

"Kirjatun kulman lause" - Uuden materiaalin tutkimus. Ympyrät leikkaavat. Vastaus. Opiskelijoiden tiedon päivittäminen. Tarkista itse. Ympyrän säde. Oikea vastaus. Ympyrän säde on 4 cm Tutkitun aineiston yhdistäminen. Terävä kulma. Etsi jänteiden välinen kulma. Kolmio. Sisäänkirjoitetun kulman lause. Sisäänkirjoitetun kulman käsite. Etsi niiden välinen kulma. Mikä on sen kulman nimi, jonka kärki on ympyrän keskellä? Ratkaisu. Tiedon päivitys.

"Ympyrän tangentin rakentaminen" - Ympyrä. Suoran ja ympyrän keskinäinen järjestely. Ympyrä ja viiva. Halkaisija. Yhteisiä pointteja. Sointu. Ratkaisu. Ympyrällä ja viivalla on yksi yhteinen kohta. Tangentti ympyrää. Kertaus. Tangenttisegmenttilause.

"Geometria "Samankaltaiset kolmiot"" - Kahta kolmiota kutsutaan samanlaisiksi. Sini-, kosini- ja tangenttiarvot 30°, 45°, 60° kulmille. Etsi tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala. Lause samanlaisten kolmioiden pinta-alojen suhteesta. Samanlaisia ​​kolmioita. Kolmioiden samankaltaisuuden toinen merkki. Sivujen jatkoa. Sini-, kosini- ja tangenttiarvot. suhteelliset leikkaukset. Kolmion kaksi sivua on yhdistetty segmentillä, joka ei ole yhdensuuntainen kolmannen kanssa.

Tämä luku on omistettu geometrian vektorilaitteiston kehittämiselle. Vektorien avulla voit todistaa lauseita ja ratkaista geometrisia ongelmia. Tässä luvussa on esimerkkejä tästä vektorien käytöstä. Mutta vektoreiden tutkiminen on hyödyllistä myös siksi, että niitä käytetään fysiikassa laajalti kuvaamaan erilaisia ​​fyysisiä suureita, kuten esimerkiksi nopeutta, kiihtyvyyttä, voimaa.

monet fyysisiä määriä Esimerkiksi voimaa, aineellisen pisteen siirtymää, nopeutta ei luonnehdi ainoastaan ​​niiden numeerinen arvo, vaan myös suunta avaruudessa. Näitä fyysisiä suureita kutsutaan vektorisuureet(tai lyhyt vektorit).

Harkitse esimerkkiä. Anna voiman vaikuttaa kehoon 8 N. Kuvassa voimaa edustaa nuolella varustettu segmentti (kuva 240). Nuoli osoittaa voiman suunnan ja segmentin pituus vastaa voiman numeerista arvoa valitulla asteikolla. Joten kuvassa 240 1 N:n voima on esitetty 0,6 cm:n pituisena segmenttinä, joten 8 N:n voima on kuvattu 4,8 cm:n pituisena segmenttinä.

Riisi. 240

Fysikaalisten vektorisuureiden erityisominaisuuksista irtautumalla pääsemme vektorin geometriseen käsitteeseen.

Harkitse mielivaltaista segmenttiä. Sen päitä kutsutaan myös janan rajapisteet.

Janalle voidaan määrittää kaksi suuntaa: rajapisteestä toiseen ja päinvastoin.

Jos haluat valita yhden näistä suunnista, kutsumme janan yhtä rajapistettä jakson alku, ja se toinen - jakson lopussa ja oletetaan, että segmentti on suunnattu alusta loppuun.

Määritelmä

Kuvissa vektori on kuvattu segmenttinä nuolella, joka osoittaa vektorin suunnan. Vektorit on merkitty kahdella isolla latinalaiskirjaimella, joiden yläpuolella on nuoli, esimerkiksi . Ensimmäinen kirjain osoittaa vektorin alkua, toinen - loppua (kuva 242).

Riisi. 242

Kuva 243, a esittää vektorit pisteet A, C, E ovat näiden vektorien alkuja ja B, D, F ovat niiden päät. Vektorit merkitään usein yhdellä pienellä latinalaiskirjaimella, jonka yläpuolella on nuoli: (Kuva 243, b).

Riisi. 243

Seuraavassa on tarkoituksenmukaista sopia, että mikä tahansa tason piste on myös vektori. Tässä tapauksessa vektoria kutsutaan nolla. Nollavektorin alku on sama kuin sen loppu. Kuvassa tällaista vektoria edustaa yksi piste. Jos esimerkiksi nollavektoria edustava piste on merkitty kirjaimella M, niin tämä nollavektori voidaan merkitä seuraavasti: (Kuva 243, a). Nollavektoria on myös merkitty symbolilla Kuvassa 243 vektoreissa ovat nollasta poikkeavat ja vektori on nolla.

Nollasta poikkeavan vektorin pituus tai moduuli on janan AB pituus. Vektorin pituus (vektori ) merkitään seuraavasti: . Nollavektorin pituuden katsotaan olevan nolla:

Kuvissa 243, a ja 243, 6 esitettyjen vektorien pituudet ovat seuraavat:

(kullakin kuvan 243 solulla on sivu, joka on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö).

Vektorin tasa-arvo

Ennen kuin määrittelet yhtäläiset vektorit, katsotaanpa esimerkkiä. Tarkastellaan kappaleen liikettä, jossa kaikki sen pisteet liikkuvat samalla nopeudella ja samaan suuntaan.

Kappaleen jokaisen pisteen M nopeus on vektorisuure, joten se voidaan esittää suunnatulla segmentillä, jonka alku on sama kuin piste M (kuva 244). Koska kaikki kehon pisteet liikkuvat samalla nopeudella, kaikilla näiden pisteiden nopeuksia edustavilla suunnatuilla segmenteillä on sama suunta ja niiden pituudet ovat yhtä suuret.

Riisi. 244

Tämä esimerkki kertoo, kuinka vektorien yhtäläisyys määritetään.

Otetaan ensin käyttöön kollineaaristen vektorien käsite.

Nollasta poikkeavia vektoreita kutsutaan kollineaarinen, jos ne sijaitsevat joko samalla linjalla tai yhdensuuntaisilla viivoilla; nollavektoria pidetään kollineaarisena minkä tahansa vektorin kanssa.

Kuvassa 245 vektorit (vektori nolla) ovat kollineaarisia ja vektorit ja ovat myös ei-kollineaarisia.

Riisi. 245

Jos kaksi nollasta poikkeavaa vektoria ovat kollineaarisia, ne voidaan suunnata joko samalla tavalla tai vastakkaisesti. Ensimmäisessä tapauksessa vektoreita ja kutsutaan yhteissuuntainen, ja toisessa vastakkaisiin suuntiin 1 .

Vektorien ja yhteissuuntaa merkitään seuraavasti: Jos vektorit ja ovat vastakkaisia, niin tämä merkitään seuraavasti: Kuva 245 esittää sekä yhteissuuntaiset että vastakkaiset vektorit:

Nollavektorin alku on sama kuin sen loppu, joten nollavektorilla ei ole mitään tiettyä suuntaa. Toisin sanoen mitä tahansa suuntaa voidaan pitää nollavektorin suunnana. Olemme yhtä mieltä siitä, että nollavektori on samansuuntainen minkä tahansa vektorin kanssa. Siten kuvassa 245 jne.

Nollasta poikkeavilla kollineaarisilla vektoreilla on ominaisuuksia, jotka on esitetty kuvassa 246, a - c.




Riisi. 246

Annamme nyt yhtäläisten vektorien määritelmän.

Määritelmä

Siten vektorit ja ovat yhtä suuret, jos . Vektorien ja yhtäläisyys merkitään seuraavasti:

Vektorin lykkääminen tietystä pisteestä

Jos piste A on vektorin alku, he sanovat sen vektoria siirretään pisteestä A(Kuva 247). Todistakaamme seuraava väite:

mistä tahansa pisteestä M, voit lykätä vektoria, joka on yhtä suuri kuin tietty vektori, ja lisäksi vain yksi.




Riisi. 247

Todellakin, jos on nollavektori, niin vaadittu vektori on vektori . Oletetaan, että vektori on nollasta poikkeava ja pisteet A ja B ovat sen alku ja loppu. Piirretään pisteen M kautta AB:n suuntainen suora p (kuva 248; jos M on suoran AB piste, niin suoraksi p otetaan itse suora AB). Suoralla p asetamme sivuun segmentit MN ja MN", jotka ovat yhtä suuret kuin jana AB, ja valitsemme vektoreista sellainen, joka on suunnattu yhdessä vektorin kanssa (kuvassa 248 vektori). Tämä vektori on haluttu vektori, yhtä suuri kuin vektori . Konstruktiosta seuraa, että tällaista vektoria on vain yksi.




Riisi. 248

Kommentti

Eri pisteistä piirretyt yhtäläiset vektorit merkitään usein samalla kirjaimella. Näin esimerkiksi eri pisteiden samansuuruiset nopeusvektorit on esitetty kuvassa 244. Joskus tällaisten vektorien sanotaan olevan sama vektori, mutta piirretty eri pisteistä.

Käytännön tehtäviä

738. Merkitse pisteet A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Piirrä kaikki nollasta poikkeavat vektorit, joiden alku ja loppu ovat samat minkä tahansa kahden pisteen kanssa. Kirjoita muistiin kaikki tuloksena saadut vektorit ja merkitse jokaisen vektorin alku ja loppu.

739. Kun olet valinnut sopivan mittakaavan, piirrä vektorit, jotka kuvaavat lentokoneen lentoa ensin 300 km etelään kaupungista A paikkaan B ja sitten 500 km itään kaupungista B paikkaan C. Piirrä sitten vektori, joka kuvaa liikettä lähtöpisteestä loppupisteeseen asti.

740. Piirrä vektorit siten, että:

741. Piirrä kaksi ei-kollineaarista vektoria ja . Piirrä useita vektoreita: a) samaan suuntaan vektorin kanssa ; b) samaan suuntaan vektorin kanssa; c) suunnattu vastakkaisesti vektoriin ; d) suunnattu vastakkaisesti vektoriin .

742. Piirrä kaksi vektoria: a) jolla yhtä pitkiä ja ei-kolineaarinen; b) samanpituiset ja samansuuntaiset; c) joilla on yhtä pitkät ja vastakkaiset suunnat. Missä tapauksessa tuloksena olevat vektorit ovat yhtä suuret?

Vastaus Tapauksessa b).