Rozvoj lekce algebry v 11. profilové třídě

Hodinu vedla učitelka matematiky MBOU SŠ č. 6 Tupitsyna O.V.

Téma a číslo lekce v tématu:„Aplikace několika transformací vedoucích k rovnici-důsledek“, lekce č. 7, 8 v tématu: „Rovnice-důsledek“

Předmět:Algebra a počátky matematického rozboru - ročník 11 (profilový trénink podle učebnice S.M. Nikolského)

Typ lekce: "systematizace a zobecnění znalostí a dovedností"

Typ lekce: workshop

Role učitele: směřovat kognitivní činnost žáků k rozvoji schopnosti samostatně aplikovat poznatky v komplexu k výběru požadované metody nebo metod transformace, vedoucí k rovnici – důsledek a uplatnění metody při řešení rovnice, v nových podmínkách.

Požadované technické vybavení:multimediální zařízení, webová kamera.

Použitá lekce:

1. didaktický učební model- vytvoření problematické situace,
2. pedagogické prostředky- listy označující tréninkové moduly, výběr úloh pro řešení rovnic,
3. druh studentské činnosti- skupinové (v hodinách se tvoří skupiny - "objevy" nových poznatků, lekce č. 1 a 2 od žáků s různým stupněm učení a učení), společné nebo individuální řešení problémů,
4. osobnostně orientované vzdělávací technologie: modulový výcvik, problémové učení, metody hledání a výzkumu, kolektivní dialog, metoda aktivity, práce s učebnicí a různými zdroji,
5. zdravotně úsporné technologie- ke zmírnění stresu se provádí tělesná výchova,
6. kompetence:

- vzdělávací a kognitivní na základní úrovni- studenti znají pojem rovnice - důsledek, kořen rovnice a metody transformace vedoucí k rovnici - důsledek, jsou schopni najít kořeny rovnic a provést jejich ověření na produktivní úrovni;

- na pokročilé úrovni- studenti mohou řešit rovnice pomocí známých metod transformací, kontrolovat kořeny rovnic pomocí oblasti nepřípustných hodnot rovnic; vypočítat logaritmy pomocí vlastností založených na průzkumu; informační - studenti samostatně vyhledávají, extrahují a vybírají informace potřebné pro řešení výchovných problémů ve zdrojích různého typu.

Didaktický cíl:

vytváření podmínek pro:

Tvorba představ o rovnicích - důsledky, kořeny a způsoby transformace;

Utváření zkušenosti tvoření významu na základě logického důsledku dříve studovaných metod transformace rovnic: umocnění rovnice na sudou mocninu, potencování logaritmických rovnic, osvobození rovnice od jmenovatelů, vnášení podobných pojmů;

Upevňování dovedností při určování volby transformační metody, dalším řešení rovnice a volbě kořenů rovnice;

Zvládnutí dovedností zadání problému na základě známých a naučených informací, vytváření požadavků na zjištění toho, co ještě není známo;

Formování kognitivních zájmů, intelektuálních a tvůrčích schopností studentů;

Rozvoj logického myšlení, tvořivé činnosti žáků, projektových dovedností, schopnosti vyjádřit své myšlenky;

Formování smyslu pro toleranci, vzájemnou pomoc při práci ve skupině;

Probuzení zájmu o samostatné řešení rovnic;

úkoly:

Organizovat opakování a systematizaci znalostí o tom, jak transformovat rovnice;

- zajistit zvládnutí metod řešení rovnic a kontroly jejich kořenů;

- podporovat rozvoj analytického a kritického myšlení studentů; porovnávat a volit optimální metody řešení rovnic;

- vytvářet podmínky pro rozvoj badatelských dovedností, dovedností skupinové práce;

Motivovat studenty k použití probrané látky k přípravě na zkoušku;

Analyzujte a hodnoťte svou práci a práci svých soudruhů při výkonu této práce.

Plánované výsledky:

*osobní:

Dovednosti zadání úkolu na základě známých a naučených informací, generování požadavků na zjištění toho, co ještě není známo;

Schopnost vybrat si zdroje informací nezbytné k řešení problému; rozvoj kognitivních zájmů, intelektuálních a tvůrčích schopností žáků;

Rozvoj logického myšlení, tvůrčí činnosti, schopnosti vyjadřovat své myšlenky, schopnosti argumentovat;

Sebehodnocení výsledků výkonu;

Dovednosti týmové práce;

*metapředmět:

Schopnost zdůraznit hlavní věc, srovnávat, zobecňovat, kreslit analogii, používat induktivní metody uvažování, předkládat hypotézy při řešení rovnic,

Schopnost interpretovat a aplikovat získané znalosti při přípravě na zkoušku;

*předmět:

znalost, jak transformovat rovnice,

Schopnost vytvořit vzor spojený s různými typy rovnic a použít jej při řešení a výběru kořenů,

Integrace cílů lekce:

1. (pro učitele) Utváření holistického pohledu na způsoby transformace rovnic a metody jejich řešení u studentů;
2. (pro studenty) Rozvoj schopnosti pozorovat, porovnávat, zobecňovat, analyzovat matematické situace spojené s typy rovnic obsahujících různé funkce. Příprava na zkoušku.

Fáze I lekce:

Aktualizace znalostí pro zvýšení motivace v oblasti aplikace různých metod transformace rovnic (vstupní diagnostika)

Fáze aktualizace znalostíprovedené formou zkušební práce s autotestem. Na základě znalostí získaných v předchozích lekcích jsou navrženy rozvojové úkoly, které vyžadují aktivní duševní aktivitu studentů a jsou nezbytné pro splnění úkolu v této lekci.

Ověřovací práce

1. Vyberte rovnice, které vyžadují omezení neznámých na množinu všech reálných čísel:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) = 1;

d) ( = (; e) =; e) +6 = 5;

g) =; h) =.

(2) Určete rozsah platných hodnot každé rovnice, kde existují omezení.

(3) Vyberte příklad takové rovnice, kde transformace může způsobit ztrátu odmocniny (použijte materiály z předchozích lekcí na toto téma).

Odpovědi si každý kontroluje samostatně podle připravených zvýrazněných na obrazovce. Nejobtížnější úlohy jsou analyzovány a studenti věnují zvláštní pozornost příkladům a, c, g, h, kde existují omezení.

Dochází se k závěru, že při řešení rovnic je nutné určit rozsah hodnot povolených rovnicí nebo zkontrolovat kořeny, aby se zabránilo cizím hodnotám. Opakují se dříve studované metody transformace rovnic vedoucích k rovnici - důsledek. To znamená, že studenti jsou tak motivováni k tomu, aby v další práci našli správný způsob řešení jimi navržené rovnice.

II fáze lekce:

Praktické uplatnění svých znalostí, dovedností a schopností při řešení rovnic.

Skupinám jsou rozdány listy s modulem sestaveným k problematice tohoto tématu. Modul obsahuje pět výukových prvků, z nichž každý je zaměřen na plnění určitých úkolů. Studenti s různým stupněm učení a učení si samostatně určují rozsah svých aktivit v hodině, ale protože všichni pracují ve skupinách, probíhá nepřetržitý proces přizpůsobování znalostí a dovedností, přitahování těch, kteří zaostávají, na povinné, ostatní na pokročilé a kreativní úrovně.

Uprostřed lekce se koná povinná fyzická minuta.

č. vzdělávacího prvku	Vzdělávací prvek s úkoly	Průvodce tvorbou vzdělávacího materiálu
UE-1	Účel: Určit a zdůvodnit hlavní metody řešení rovnic na základě vlastností funkcí. Cvičení: Určete transformační metodu pro řešení následujících rovnic: A))= -8); b) = c) (=( d) ctg + x2-2x = ctg +24; e) = ; f) = hřích x. 2) Úkol: Vyřešte alespoň dvě z navržených rovnic. Popište, jaké metody byly použity v řešených rovnicích.	Ustanovení 7.3 s. 212 Ustanovení 7.4 s. 214 Ustanovení 7.5 s. 217 Ustanovení 7.2 s. 210
UE-2	Cíl: Osvojit si racionální techniky a metody řešení Cvičení: Uveďte příklady z výše uvedených nebo samostatně vybraných (použijte materiály z předchozích lekcí) rovnic, které lze řešit pomocí racionálních metod řešení, jaké to jsou? (důraz na způsob kontroly kořenů rovnice)
UE-3	Cíl: Využití získaných znalostí při řešení rovnic vysoké úrovně složitosti Cvičení: = (nebo ( = (	Ustanovení 7.5
UE-4	Nastavte úroveň zvládnutí tématu: nízká - řešení ne více než 2 rovnic; Střední - řešení ne více než 4 rovnic; vysoká - řešení ne více než 5 rovnic
UE-5	Ovládání výstupu: Vytvořte tabulku, ve které představíte všechny metody transformace rovnic, které používáte, a pro každou metodu zapište příklady rovnic, které jste vyřešili, počínaje lekcí 1 tématu: „Rovnice - důsledky“	Abstrakta v sešitech

III fáze lekce:

Výstupní diagnostická práce, představující reflexi studentů, která prokáže připravenost nejen k napsání testu, ale i připravenost ke zkoušce z této sekce.

Na konci lekce se všichni žáci bez výjimky hodnotí sami, poté přichází hodnocení učitele. Vzniknou-li mezi učitelem a žákem neshody, může učitel nabídnout žákovi dodatečný úkol, aby jej mohl objektivně zhodnotit. Domácí prácezaměřené na přezkoumání materiálu před kontrolními pracemi.

Tuto prezentaci lze použít při provádění lekce algebry a zahájení analýzy v 11. ročníku při studiu tématu "Rovnice - důsledky" podle výukových materiálů autorů S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

Zobrazit obsah dokumentu
„Rovnice důsledků. Další transformace vedoucí k rovnici důsledek"

ROVNICE - DŮSLEDKY

ÚSTNÍ PRÁCE

• Jaké rovnice se nazývají důsledkové rovnice?
• To, čemu se říká přechod k důsledkové rovnici
• Jaké transformace vedou k výsledné rovnici?

ÚSTNÍ PRÁCE

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Žádná řešení

Žádná řešení

ÚSTNÍ PRÁCE

Žádná řešení

Transformace vedoucí ke důsledkové rovnici

proměna

Vliv na kořeny rovnice

Zvýšení rovnice na SUDOU mocninu

f(x)=g(x) (f(x)) n = (g(x)) n

Potenciace logaritmických rovnic, tzn. výměna, nahrazení:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= G(X)

Může vést k cizím kořenům

Uvolnění rovnice od jmenovatelů:

Může vést ke vzniku vnějších kořenů, tj. ta čísla x i pro která nebo

Nahrazení rozdílu f(x)-f(x) nulou, tzn. redukce podobných členů

Může vést ke vzniku vnějších kořenů, tj. ta čísla, pro která není funkce f(x) definována.

Pokud při řešení této rovnice dojde k přechodu na důsledkovou rovnici, pak je nutné zkontrolovat, zda všechny kořeny důsledkové rovnice jsou kořeny původní rovnice.

Kontrola získaných kořenů je povinnou součástí řešení rovnice.

№ 8.2 2 (A) Vyřešte rovnici :

2) č. 8.23(a)

№ 8,24 (a, c) Vyřešte rovnici :

№ 8,25 (a, c) Vyřešte rovnici :

№ 8,28 (a, c) Vyřešte rovnici :

№ 8,29 (a, c) Vyřešte rovnici :

DOMÁCÍ PRÁCE

• Běh č. 8,24 (b, d), str. 236
• Č. 8,25(b, d)
• 8,28 (b, d)
• 8,29 (b, d)

Třída: 11

Doba trvání: 2 lekce.

Účel lekce:

• (pro učitele) vytvoření holistického pohledu na metody řešení iracionálních rovnic mezi studenty.
• (pro studenty) Rozvoj schopnosti pozorovat, porovnávat, zobecňovat, analyzovat matematické situace (snímek 2). Příprava na zkoušku.

Plán první lekce(snímek 3)

1. Aktualizace znalostí
2. Analýza teorie: Zvýšení rovnice na sudou mocninu
3. Workshop na řešení rovnic

Plán druhé lekce

1. Diferencovaná samostatná práce na skupinách "Iracionální rovnice na zkoušce"
2. Shrnutí lekcí
3. Domácí práce

Průběh lekcí

I. Aktualizace znalostí

Cílová: zopakujte si pojmy nezbytné pro úspěšný rozvoj tématu lekce.

přední anketa.

Které dvě rovnice jsou považovány za ekvivalentní?

Jaké transformace rovnice se nazývají ekvivalentní?

- Nahraďte tuto rovnici ekvivalentní s vysvětlením použité transformace: (snímek 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Která rovnice se nazývá rovnice-důsledek původní rovnice?

– Může mít rovnice důsledků kořen, který není kořenem původní rovnice? Jak se tyto kořeny nazývají?

– Jaké transformace rovnice vedou k rovnicím-důsledkům?

Co je aritmetická odmocnina?

Zastavme se dnes podrobněji u transformace „Uvedení rovnice na rovnoměrnou mocninu“.

II. Analýza teorie: Zvýšení rovnice na sudou mocninu

Výklad učitele za aktivní účasti žáků:

Nechat 2m(mN) je pevné sudé přirozené číslo. Pak důsledek rovniceF(x) =G(x) je rovnice (F(x)) = (G(X)).

Velmi často se toto tvrzení používá při řešení iracionálních rovnic.

Definice. Rovnice obsahující neznámou pod znaménkem odmocniny se nazývá iracionální.

Při řešení iracionálních rovnic se používají tyto metody: (snímek 5)

Pozornost! Metody 2 a 3 vyžadují povinné kontroly.

ODZ ne vždy pomáhá eliminovat cizí kořeny.

Závěr: při řešení iracionálních rovnic je důležité projít třemi fázemi: technická, rozbor řešení, verifikace (snímek 6).

III. Workshop na řešení rovnic

Řešte rovnici:

Po diskusi o tom, jak vyřešit rovnici pomocí druhé mocniny, řešte přechodem na ekvivalentní systém.

Závěr: řešení nejjednodušších rovnic s celočíselnými kořeny lze provést jakoukoli známou metodou.

b) \u003d x - 2

Řešením umocněním obou částí rovnice na stejnou mocninu dostanou studenti kořeny x = 0, x = 3 -, x = 3 +, jejichž kontrola substitucí je obtížná a časově náročná. (Snímek 7). Přechod na ekvivalentní systém

umožňuje rychle se zbavit cizích kořenů. Podmínku x ≥ 2 splňuje pouze x.

Odpověď: 3+

Závěr: Je lepší zkontrolovat iracionální kořeny přechodem do ekvivalentního systému.

c) \u003d x - 3

V procesu řešení této rovnice získáme dva kořeny: 1 a 4. Oba kořeny splňují levou stranu rovnice, ale pro x \u003d 1 je porušena definice aritmetické odmocniny. Rovnice ODZ nepomáhá eliminovat cizí kořeny. Přechod na ekvivalentní systém dává správnou odpověď.

Závěr:dobrá znalost a pochopení všech podmínek pro určení aritmetické druhé odmocniny pomáhá přejít kprovádění ekvivalentních transformací.

Umocněním obou stran rovnice dostaneme rovnici

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, oddělením radikálu na pravou stranu dostaneme

26 - x + x \u003d 8. Aplikováním dalších kroků na kvadraturu obou částí rovnice povede k rovnici 4. stupně. Přechod na rovnici ODZ dává dobrý výsledek:

najdi rovnici ODZ:

x = 3.

Zkontrolujte: - 4 = , 0 = 0 je správně.

Závěr:někdy je možné provést řešení pomocí definice rovnice ODZ, ale určitě zkontrolujte.

Řešení: Rovnice ODZ: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Pro x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Proto je levá strana rovnice záporná a pravá strana nezáporná; takže původní rovnice nemá kořeny.

Odpověď: žádné kořeny.

Závěr:po správném zdůvodnění omezení v podmínce rovnice můžete snadno najít kořeny rovnice nebo zjistit, že neexistují.

Na příkladu řešení této rovnice ukažte dvojitou kvadraturu rovnice, vysvětlete význam slovního spojení „samota radikálů“ a nutnost kontroly nalezených kořenů.

h) + = 1.

Řešení těchto rovnic se provádí metodou změny proměnné až do návratu k původní proměnné. Dokončete rozhodnutí nabídnout těm, kteří se vyrovnají s úkoly další fáze, dříve.

testové otázky

• Jak řešit nejjednodušší iracionální rovnice?
• Na co je třeba pamatovat při zvyšování rovnice na sudou mocninu? ( mohou se objevit cizí kořeny)
• Jaký je nejlepší způsob, jak zkontrolovat iracionální kořeny? ( pomocí ODZ a podmínek pro shodu znamének obou částí rovnice)
• Proč je nutné umět analyzovat matematické situace při řešení iracionálních rovnic? ( Pro správnou a rychlou volbu metody řešení rovnice).

IV. Diferencovaná samostatná práce na skupinách "Iracionální rovnice na zkoušce"

Třída je rozdělena do skupin (vždy 2-3 osoby) podle úrovně zaškolení, každá skupina si vybere možnost s úkolem, diskutuje a řeší vybrané úkoly. V případě potřeby kontaktujte učitele a požádejte o radu. Po splnění všech úkolů jejich verze a kontrole odpovědí učitelem členové skupiny individuálně doplní řešení rovnic g) ah) předchozí etapy hodiny. U možností 4 a 5 (po kontrole odpovědí a rozhodnutí učitele) se na tabuli zapisují doplňující úkoly, které se plní individuálně.

Všechna jednotlivá řešení na konci lekcí předáváme k ověření vyučujícímu.

Možnost 1

Řešte rovnice:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Možnost 5

1. Řešte rovnici:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Řešte soustavu rovnic:

Další úkoly:

proti. Shrnutí lekcí

S jakými obtížemi jste se setkali při plnění úkolů zkoušky? Co je potřeba k překonání těchto obtíží?

VI. Domácí práce

Zopakujte si teorii řešení iracionálních rovnic, přečtěte si odstavec 8.2 v učebnici (pozor na příklad 3).

Řešte č. 8.8 (a, c), č. 8.9 (a, c), č. 8.10 (a).

Literatura:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra a začátek matematické analýzy , učebnice pro 11. ročník vzdělávacích institucí, M .: Vzdělávání, 2009.
2. Mordkovich A.G. K některým metodologickým otázkám souvisejícím s řešením rovnic. Matematika ve škole. -2006. -Číslo 3.
3. M. Shabunin. Rovnice. Přednášky pro středoškoláky a nově příchozí. Moskva, "Chistye Prudy", 2005. (knihovna "První září")
4. E.N. Balayan. Workshop o řešení problémů. Iracionální rovnice, nerovnice a systémy. Rostov na Donu, "Phoenix", 2006.
5. Matematika. Příprava na zkoušku-2011. Editoval F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov na Donu, 2010.

Některé transformace nám umožňují přejít od řešené rovnice k rovnicím ekvivalentním a také k rovnicím důsledkovým, což zjednodušuje řešení původní rovnice. V tomto materiálu vám řekneme, co to jsou rovnice, zformulujeme hlavní definice, ilustrujeme je názornými příklady a vysvětlíme, jak přesně se z kořenů rovnice následku nebo ekvivalentní rovnice počítají kořeny původní rovnice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojem ekvivalentních rovnic

Definice 1

Ekvivalent nazývané takové rovnice, které mají stejné kořeny, nebo ty, ve kterých žádné kořeny nejsou.

Definice tohoto typu se často nacházejí v různých učebnicích. Uveďme pár příkladů.

Definice 2

Rovnice f (x) = g (x) se považuje za ekvivalentní rovnici r (x) = s (x), pokud mají stejné kořeny nebo obě nemají žádné kořeny.

Definice 3

Rovnice se stejnými kořeny jsou považovány za ekvivalentní. Také jsou považovány za dvě rovnice, které stejně nemají kořeny.

Definice 4

Pokud má rovnice f (x) \u003d g (x) stejnou sadu kořenů jako rovnice p (x) \u003d h (x), pak se považují za ekvivalentní vůči sobě navzájem.

Když mluvíme o shodné množině kořenů, myslíme tím, že pokud je kořenem jedné rovnice určité číslo, bude se hodit jako řešení jiné rovnice. Žádná z rovnic, které jsou ekvivalentní, nemůže mít kořen, který není vhodný pro druhou.

Uvádíme několik příkladů takových rovnic.

Příklad 1

Například 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 a x \u003d 2 budou ekvivalentní, protože každý z nich má pouze jeden kořen - dva. Také x · 0 = 0 a 2 + x = x + 2 budou ekvivalentní, protože jejich kořeny mohou být jakákoli čísla, to znamená, že množiny jejich řešení jsou stejné. Rovnice x = x + 5 a x 4 = − 1 budou také ekvivalentní, z nichž každá nemá řešení.

Pro jasnost zvažte několik příkladů neekvivalentních rovnic.

Příklad 2

Například x = 2 a x 2 = 4 bude, protože jejich kořeny jsou různé. Totéž platí pro rovnice x x \u003d 1 a x 2 + 5 x 2 + 5, protože ve druhém může být řešení libovolné číslo a ve druhém nemůže být kořen 0.

Výše uvedené definice jsou vhodné i pro rovnice s více proměnnými, avšak v případě, kdy mluvíme o dvou, třech nebo více kořenech, je vhodnější výraz „řešení rovnice“. Abychom to shrnuli: ekvivalentní rovnice jsou takové rovnice, které mají stejná nebo žádná řešení.

Vezměme si příklady rovnic, které obsahují několik proměnných a jsou si navzájem ekvivalentní. Takže x 2 + y 2 + z 2 = 0 a 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 zahrnuje každá tři proměnné a má pouze jedno řešení rovné 0 ve všech třech případech. A dvojice rovnic x + y = 5 a x y = 1 nebudou vzájemně ekvivalentní, protože například hodnoty 5 a 3 jsou vhodné pro první, ale nebudou řešením za druhé: když je dosadíme do první rovnice, dostaneme správnou rovnost a ve druhé - nepravdu.

Pojem důsledkových rovnic

Uveďme několik příkladů definic důsledkových rovnic převzatých z učebnic.

Definice 5

Důsledkem rovnice f (x) = g (x) bude rovnice p (x) = h (x), za předpokladu, že každý kořen první rovnice je zároveň kořenem druhé.

Definice 6

Pokud má první rovnice stejné kořeny jako druhá, pak druhá bude důsledkem první.

Vezměme si několik příkladů takových rovnic.

Příklad 3

Takže x 2 = 32 bude důsledkem x - 3 = 0, protože první má pouze jeden kořen rovný třem a bude také kořenem druhé rovnice, takže v kontextu této definice jedna rovnice bude následkem jiného. Jiný příklad: rovnice (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 bude důsledkem x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 , protože druhá rovnice má dva stejné kořeny na 2 a 3 , které zároveň budou kořeny prvního.

Z výše uvedené definice můžeme usoudit, že každá rovnice, která nemá kořeny, bude také důsledkem jakékoli rovnice. Zde jsou některé další důsledky všech pravidel formulovaných v tomto článku:

Definice 7

1. Pokud je jedna rovnice ekvivalentní jiné, pak každá z nich bude důsledkem druhé.
2. Pokud je ze dvou rovnic každá důsledkem druhé, pak budou tyto rovnice navzájem ekvivalentní.
3. Rovnice budou vůči sobě ekvivalentní pouze tehdy, je-li každá z nich důsledkem druhé.

Jak najít kořeny rovnice z kořenů důsledkové rovnice nebo ekvivalentní rovnice

Na základě toho, co jsme napsali v definicích, pak v případě, že známe kořeny jedné rovnice, známe i kořeny ekvivalentních, protože se budou shodovat.

Pokud známe všechny kořeny důsledkové rovnice, pak můžeme určit kořeny druhé rovnice, jejíž je důsledkem. Chcete-li to provést, stačí odstranit cizí kořeny. O tom, jak se to dělá, jsme napsali samostatný článek. Doporučujeme vám ji přečíst.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Ke studiu dnešního tématu si musíme zopakovat, které rovnici se říká důsledková rovnice, které věty jsou „neklidné“ a z jakých kroků se řešení kterékoli rovnice skládá.

Definice. Je-li každý kořen rovnice ef z x roven x (označíme ho číslem jedna) je zároveň kořenem rovnice pe z x, roven popelu z x (označíme ho číslem dvě) , pak se rovnice dvě nazývá důsledkem rovnice jedna.

Věta čtyři. Pokud se obě strany rovnice ef z x rovnají stejnému z x, vynásobte stejným výrazem popel z x, což je:

Za prvé, má smysl všude v oblasti definice (v rozsahu přípustných hodnot) rovnice eff z x, která se rovná z x.

Za druhé, nikde v této oblasti nezmizí, pak dostaneme rovnici ef z x, vynásobený popelem z x se rovná x, vynásobený popelem z x, ekvivalentní tomu, co je uvedeno v jeho ODZ.

Následek věta čtyři je další "klidné" tvrzení: pokud se obě části rovnice vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým číslem, získá se rovnice, která je ekvivalentní dané.

Věta pět. Pokud obě strany rovnice

ef z x se rovná x je v rovnici ODZ nezáporné, pak po zvýšení obou jejích částí na stejnou sudou mocninu n je rovnice eff z x na mocninu x rovna x na mocninu x, ekvivalentní této rovnici v jejím o de ze.

Věta šestá. Nechť a je větší než nula a ne rovno jedné a eff z x větší než nula,

zhe z x je větší než nula, tolologaritmická rovnice je logaritmus ef z x do základny a, roven logaritmu zhe z x do základu a,

je ekvivalentní rovnici ef z x je stejné jako z x .

Jak jsme již řekli, řešení jakýchkoli rovnic probíhá ve třech fázích:

První fáze je technická. Pomocí řetězce transformací z původní rovnice dojdeme k celkem jednoduché rovnici, kterou vyřešíme a najdeme kořeny.

Druhou fází je analýza řešení. Analyzujeme transformace, které jsme provedli, a zjišťujeme, zda jsou ekvivalentní.

Třetí fází je ověření. Kontrola všech nalezených kořenů jejich dosazením do původní rovnice je povinná při provádění transformací, které mohou vést k důsledkové rovnici.

V této lekci zjistíme, při použití jakých transformací přechází tato rovnice na rovnici důsledků? Zvažte následující úkoly.

Cvičení 1

Která rovnice je důsledkem rovnice x mínus tři se rovná dvěma?

Řešení

Rovnice x mínus tři se rovná dvěma má jeden kořen - x se rovná pěti. Vynásobte obě strany této rovnice výrazem x mínus šest, sečtěte stejné členy a dostanete kvadratickou rovnici x čtverec mínus jedenáct x plus třicet se rovná nule. Vypočítejme jeho kořeny: x první se rovná pěti; x sekunda se rovná šesti. Obsahuje již dva kořeny. Rovnice x čtverec mínus jedenáct x plus třicet se rovná nule obsahuje jednu odmocninu - x se rovná pěti; rovnice x mínus tři se rovná dvěma, takže x na druhou mínus jedenáct x plus třicet je důsledkem rovnice x mínus tři se rovná dvěma.

Úkol 2

Jaká další rovnice je důsledkem rovnice x-3=2?

Řešení

V rovnici x mínus tři se rovná dvěma, odmocníme obě její části, použijeme vzorec pro druhou mocninu rozdílu, sečteme podobné členy, dostaneme kvadratickou rovnici x na druhou mínus šest, x plus pět se rovná nule.

Vypočítejme jeho kořeny: x první se rovná pěti, x druhé se rovná jedné.

Odmocnina x se rovná jedné je mimo rovnici x mínus tři se rovná dvěma. Stalo se to proto, že obě strany původní rovnice byly na druhou mocninu. Ale zároveň jeho levá strana - x mínus tři - může být záporná (podmínky věta pět). Takže rovnice x čtverec mínus šest x plus pět se rovná nule je důsledkem rovnice x mínus tři se rovná dvěma.

Úkol 3

Najděte důsledek rovnice

logaritmus x plus jedna k základu tři plus logaritmus x plus tři k základu tři se rovná jedné.

Řešení

Představujeme jednotu jako logaritmus tří základních tří, potencujeme logaritmickou rovnici, provádíme násobení, přidáváme podobné členy a dostáváme kvadratickou rovnici x na druhou plus čtyři x se rovná nule. Vypočítejme jeho kořeny: x první se rovná nule, x druhé se rovná mínus čtyřem. Kořen x se rovná mínus čtyři je pro logaritmickou rovnici cizí, protože když je dosazen do logaritmické rovnice, výrazy x plus jedna a x plus tři nabývají záporných hodnot - podmínky jsou porušeny věta šest.

Takže rovnice x na druhou plus čtyři x se rovná nule je důsledkem této rovnice.

Na základě řešení těchto příkladů můžeme udělat závěr:důsledkovou rovnici získáme z dané rovnice rozšířením definičního oboru rovnice. A to je možné při provádění takových transformací jako

1) zbavení se jmenovatelů obsahujících proměnnou;

2) zvýšení obou částí rovnice na stejnou sudou mocninu;

3) osvobození od logaritmických znaků.

Pamatujte, že pokud v procesu řešení rovnice došlo k rozšíření definičního oboru rovnice, pak je nutné zkontrolovat všechny nalezené kořeny.

Úkol 4

Vyřešte rovnici x minus tři děleno x minus pět plus jedna děleno x se rovná x plus pět děleno x krát x minus pět.

Řešení

První fáze je technická.

Proveďme řetězec transformací, získáme nejjednodušší rovnici a vyřešíme ji. K tomu vynásobíme obě části rovnice společným jmenovatelem zlomků, tedy výrazem x násobeným xminus pěti.

Dostaneme kvadratickou rovnici x čtverec mínus tři x mínus deset se rovná nule. Vypočítejme kořeny: x první se rovná pěti, x druhé se rovná mínus dvěma.

Druhou fází je analýza řešení.

Při řešení rovnice jsme obě její části vynásobili výrazem obsahujícím proměnnou. To znamená, že se oblast definice rovnice rozšířila. Proto je nutná kontrola kořenů.

Třetí fází je ověření.

Když se x rovná mínus dvěma, společný jmenovatel nezmizí. Takže x se rovná mínus dva je kořen této rovnice.

Když se x rovná pěti, společný jmenovatel se rovná nule. Proto se x rovná pěti - cizí kořen.

Odpověď: mínus dva.

Úkol 5

Vyřešte rovnici druhá odmocnina z x mínus šest se rovná druhé odmocnině ze čtyř mínus x.

Řešení

První fáze je technická .

Abychom získali jednoduchou rovnici a vyřešili ji, provedeme řetězec transformací.

Odmocnime obě části této rovnice, posuňte x na levou stranu a čísla na pravou stranu rovnice, dejte stejné členy, dostaneme: dvě x se rovná deseti. X se rovná pěti.

Druhou fází je analýza řešení.

Zkontrolujme ekvivalenci provedených transformací.

Při řešení rovnice jsme odmocnili obě její strany. To znamená, že se oblast definice rovnice rozšířila. Proto je nutná kontrola kořenů.

Třetí fází je ověření.

Nalezené kořeny dosadíme do původní rovnice.

Je-li x rovno pěti, výraz odmocnina ze čtyř mínus x není definován, takže x rovné pěti je cizí odmocnina. Takže tato rovnice nemá kořeny.

Odpověď: Rovnice nemá kořeny.

Úkol 6

Vyřešte rovnici Přirozený logaritmus x na druhou plus dva x mínus sedm se rovná přirozenému logaritmu x mínus jedna.

Řešení

První fáze je technická .

Proveďme řetězec transformací, získáme nejjednodušší rovnici a vyřešíme ji. Abychom toho dosáhli, potencujeme

rovnice, převedeme všechny členy na levou stranu rovnice, dáme podobné členy, dostaneme kvadratickou rovnici x čtverec plus x mínus šest se rovná nule. Vypočítejme kořeny: x první se rovná dvěma, x druhé se rovná mínus třem.

Druhou fází je analýza řešení.

Zkontrolujme ekvivalenci provedených transformací.

V procesu řešení této rovnice jsme se zbavili znamének logaritmů. To znamená, že se oblast definice rovnice rozšířila. Proto je nutná kontrola kořenů.

Třetí fází je ověření.

Nalezené kořeny dosadíme do původní rovnice.

Pokud se x rovná dvěma, pak dostaneme, že přirozený logaritmus jednoty se rovná přirozenému logaritmu jednoty -

správná rovnost.

Kořenem této rovnice je tedy x rovno dvěma.

Je-li x mínus tři, pak přirozený logaritmus x na druhou plus dva x mínus sedm a přirozený logaritmus x mínus jedna nejsou definovány. Takže x rovno mínus tři je cizí kořen.

Odpověď: dva.

Je nutné vždy při řešení rovnice rozlišovat tři fáze? Jak jinak můžete zkontrolovat?

Na tyto otázky dostaneme odpovědi v příští lekci.