Uvažujme libovolný trojúhelník ABC a bod D, který neleží v rovině tohoto trojúhelníku. Spojte tento bod úsečkami s vrcholy trojúhelníku ABC. Ve výsledku dostaneme trojúhelníky ADC , CDB , ABD . Plocha ohraničená čtyřmi trojúhelníky ABC , ADC , CDB a ABD se nazývá čtyřstěn a označuje se DABC .
Trojúhelníky, které tvoří čtyřstěn, se nazývají jeho plochy.
Strany těchto trojúhelníků se nazývají hrany čtyřstěnu. A jejich vrcholy jsou vrcholy čtyřstěnu

Čtyřstěn má 4 tváře, 6 žeber a 4 vrcholy.
Dvě žebra, která nemají společný vrchol se nazývají opačné.
Často se pro pohodlí nazývá jedna z tváří čtyřstěnu základ a zbývající tři plochy jsou boční plochy.

Čtyřstěn je tedy nejjednodušší mnohostěn, jehož strany jsou čtyři trojúhelníky.

Ale je také pravda, že každá libovolná trojúhelníková pyramida je čtyřstěn. Pak také platí, že čtyřstěn se nazývá pyramida s trojúhelníkem na její základně.

Výška čtyřstěnu nazývaný segment, který spojuje vrchol s bodem umístěným na protější ploše a kolmo k němu.
Medián čtyřstěnu nazývaný segment, který spojuje vrchol s průsečíkem mediánů protější plochy.
Bimediální čtyřstěn se nazývá segment, který spojuje středy křížících se hran čtyřstěnu.

Protože čtyřstěn je pyramida s trojúhelníkovou základnou, lze objem libovolného čtyřstěnu vypočítat pomocí vzorce

• S je oblast jakékoli tváře,
• H- výška snížená na této ploše

Pravidelný čtyřstěn - speciální typ čtyřstěnu

Nazývá se čtyřstěn, ve kterém jsou všechny plochy rovnostranné trojúhelníky opravit.
Vlastnosti pravidelného čtyřstěnu:

• Všechny hrany jsou stejné.
• Všechny rovinné úhly pravidelného čtyřstěnu jsou 60°
• Protože každý z jeho vrcholů je vrcholem tří pravidelných trojúhelníků, je součet rovinných úhlů v každém vrcholu 180°
• Libovolný vrchol pravidelného čtyřstěnu se promítá do ortocentra protější plochy (do průsečíku výšek trojúhelníku).

Dostaneme pravidelný čtyřstěn ABCD s hranami rovnými a . DH je jeho výška.
Udělejme doplňkové konstrukce BM - výška trojúhelníku ABC a DM - výška trojúhelníku ACD .
Výška BM se rovná BM a rovná se
Uvažujme trojúhelník BDM , kde DH , což je výška čtyřstěnu, je také výškou tohoto trojúhelníku.
Výšku trojúhelníku pokleslého na stranu MB lze zjistit pomocí vzorce

, kde
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Dosaďte tyto hodnoty do vzorce výšky. Dostat


Vyjmeme 1/2a. Dostat

Použijte vzorec rozdílu čtverců

Po několika drobných úpravách se dostáváme


Objem libovolného čtyřstěnu lze vypočítat pomocí vzorce
,
kde ,

Dosazením těchto hodnot dostaneme

Objemový vzorec pro pravidelný čtyřstěn je tedy

kde A– hrana čtyřstěnu

Výpočet objemu čtyřstěnu, pokud jsou známy souřadnice jeho vrcholů

Dostaneme souřadnice vrcholů čtyřstěnu

Kreslit vektory z vrcholu , , .
Chcete-li zjistit souřadnice každého z těchto vektorů, odečtěte odpovídající počáteční souřadnici od koncové souřadnice. Dostat

Ze základního vzorce pro objem čtyřstěnu

kde S je oblast jakékoli tváře a H- podle výšky na něj lze odvodit celou řadu vzorců vyjadřujících objem z hlediska různých prvků čtyřstěnu. Tyto vzorce dáváme pro čtyřstěn abeceda.

(2) ,

kde ∠ ( INZERÁT,ABC) je úhel mezi okrajem INZERÁT a čelní rovina ABC;

(3) ,

kde ∠ ( ABC,ABD) je úhel mezi plochami ABC a ABD;

kde | AB,CD| - vzdálenost mezi protilehlými žebry AB a CD, ∠ (AB,CD) je úhel mezi těmito hranami.

K nalezení úhlů mezi přímkami a rovinami lze použít vzorce (2)–(4); Užitečný je zejména vzorec (4), pomocí kterého můžete zjistit vzdálenost mezi šikmými čarami AB a CD.

Vzorce (2) a (3) jsou podobné vzorci S = (1/2)ab hřích C pro oblast trojúhelníku. Vzorec S = rp podobný vzorec

kde r je poloměr vepsané koule čtyřstěnu, Σ je jeho celkový povrch (součet ploch všech ploch). Existuje také krásný vzorec, který spojuje objem čtyřstěnu s poloměrem R jeho popsaný rozsah ( Vzorec Crelle):

kde Δ je plocha trojúhelníku, jehož strany se číselně rovnají součinům protilehlých hran ( AB× CD, AC× BD,INZERÁT× před naším letopočtem). Ze vzorce (2) a kosinové věty pro triedrické úhly (viz Sférická trigonometrie) lze odvodit vzorec podobný Heronově vzorci pro trojúhelníky.

Definice čtyřstěnu

Čtyřstěn- nejjednodušší polyedrické těleso, jehož plochy a základna jsou trojúhelníky.

Online kalkulačka

Čtyřstěn má čtyři strany, z nichž každá je tvořena třemi stranami. Čtyřstěn má čtyři vrcholy, každý se třemi hranami.

Toto tělo je rozděleno do několika typů. Níže je jejich klasifikace.

1. Izoedrický čtyřstěn- všechny jeho plochy jsou stejné trojúhelníky;
2. Ortocentrický čtyřstěn- všechny výšky nakreslené od každého vrcholu k protější ploše mají stejnou délku;
3. Obdélníkový čtyřstěn- hrany vycházející z jednoho vrcholu mezi sebou svírají úhel 90 stupňů;
4. rám;
5. Přiměřené;
6. incentrický.

Objemové vzorce čtyřstěnu

Objem daného tělesa lze zjistit několika způsoby. Pojďme je analyzovat podrobněji.

Prostřednictvím smíšeného produktu vektorů

Pokud je čtyřstěn postaven na třech vektorech se souřadnicemi:

A ⃗ = (a x, ay, az) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)A= (A X​ , A y​ , A z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b X​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C X​ , C y​ , C z​ ) ,

pak objem tohoto čtyřstěnu je smíšeným součinem těchto vektorů, tedy takovým determinantem:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y \\ c_x & c_y \ & c )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ b X​ C X​ ​ A y​ b y​ C y​ ​ A z​ b z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Souřadnice čtyř vrcholů osmistěnu jsou známé. A (1 , 4 , 9) A (1, 4, 9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8; 7; 3), C (1, 2, 3) ​​C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7; 12; 1) D(7;12;1) D (7 , 1 2 , 1 ). Najděte jeho objem.

Řešení

A (1 , 4 , 9) A (1, 4, 9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8; 7; 3)
C (1, 2, 3) ​​C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7; 12; 1) D(7;12;1) D (7 , 1 2 , 1 )

Prvním krokem je určení souřadnic vektorů, na kterých je dané těleso postaveno.
Chcete-li to provést, musíte najít každou souřadnici vektoru odečtením odpovídajících souřadnic dvou bodů. Například souřadnice vektoru A B → \overrightarrow(AB) A B, tedy vektor nasměrovaný z bodu A A A do té míry B B B, to jsou rozdíly odpovídajících souřadnic bodů B B B a A A A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -osm)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Nyní najdeme smíšený součin těchto vektorů, za tímto účelem vytvoříme determinant třetího řádu, přičemž předpokládáme, že A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= A, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= C.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ − 7 ⋅ − 8)⋅ −1 ⋅ − 8 −1 ⋅ − 8 −1 ⋅ ⋅ (− 6) ∣ ∣ 3 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ b X​ CX​ ​ Ay​ by​ Cy​ ​ Az​ bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

To znamená, že objem čtyřstěnu je:

$PROTI=61\cdot |$

Odpovědět

$44.8\text{cm3 .}$

Vzorec pro objem izoedrického čtyřstěnu podél jeho strany

Tento vzorec platí pouze pro výpočet objemu izoedrického čtyřstěnu, tedy čtyřstěnu, ve kterém jsou všechny plochy shodné pravidelné trojúhelníky.

$PROTI=12\sqrt{2\cdot A^3}$

a aA je délka hrany čtyřstěnu.

Najděte objem čtyřstěnu, pokud je jeho strana rovna $11\text{cm.}$

Řešení

$A=11$

Náhradní a aA do vzorce pro objem čtyřstěnu:

$PROTI=12\sqrt{2\cdot A^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Odpovědět

$156.8\text{cm3 .}$