Разработка на урок по алгебра в 11 профилиран клас

Урокът беше проведен от учителя по математика MBOU средно училище № 6 Tupitsyna O.V.

Тема и номер на урока в темата:„Прилагане на няколко преобразувания, водещи до уравнение-следствие”, урок № 7, 8 по темата: „Уравнение-следствие”

Предмет:Алгебра и началото на математическия анализ - 11 клас (профилно обучение по учебника на С.М. Николски)

Тип урок: "систематизиране и обобщаване на знанията и уменията"

Тип урок: работилница

Ролята на учителя: насочват познавателната дейност на учениците към развиване на способността за самостоятелно прилагане на знания в комплекс за избор на желания метод или методи на трансформация, водещи до уравнение - следствие и приложение на метода при решаване на уравнението, в нови условия.

Необходимо техническо оборудване:мултимедийно оборудване, уеб камера.

Използваният урок:

1. дидактически модел на обучение- създаване на проблемна ситуация,
2. педагогически средства- листове, показващи модули за обучение, селекция от задачи за решаване на уравнения,
3. вид ученическа дейност- групови (формират се групи в уроците - "откривания" на нови знания, уроци № 1 и 2 от ученици с различна степен на усвояване и научаване), съвместно или индивидуално решаване на проблеми,
4. личностно ориентирани образователни технологии: модулно обучение, проблемно обучение, търсещи и изследователски методи, колективен диалог, дейностен метод, работа с учебник и различни източници,
5. здравеопазващи технологии- за облекчаване на стреса се провежда физическо възпитание,
6. компетенции:

- образователно-познавателни на основно ниво- учениците знаят понятието уравнение - следствие, корен на уравнение и методи за преобразуване, водещи до уравнение - следствие, умеят да намират корените на уравненията и да извършват тяхната проверка на продуктивно ниво;

- на напреднало ниво- учениците могат да решават уравнения, използвайки добре познати методи на трансформации, проверяват корените на уравненията, използвайки областта на допустимите стойности на уравненията; изчисляване на логаритми с помощта на свойства, базирани на проучване;информационен - учениците самостоятелно търсят, извличат и подбират информацията, необходима за решаване на учебни задачи в източници от различен тип.

Дидактическа цел:

създаване на условия за:

Формиране на представи за уравнения – следствия, корени и методи на преобразуване;

Формиране на опит за създаване на смисъл въз основа на логическо следствие от предварително изучени методи за трансформиране на уравнения: повишаване на уравнение до четна степен, потенциране на логаритмични уравнения, освобождаване на уравнение от знаменатели, привеждане на подобни термини;

Консолидиране на умения за определяне на избора на метода на трансформация, по-нататъшно решаване на уравнението и избор на корените на уравнението;

Овладяване на умения за поставяне на проблем въз основа на известна и научена информация, формиране на заявки за откриване на това, което все още не е известно;

Формиране на познавателни интереси, интелектуални и творчески способности на учениците;

Развитие на логическото мислене, творческата активност на учениците, проектните умения, способността да изразяват мислите си;

Формиране на чувство за толерантност, взаимопомощ при работа в група;

Пробуждане на интерес към самостоятелно решаване на уравнения;

Задачи:

Организира повторението и систематизирането на знанията за това как се трансформират уравнения;

- да се осигури владеене на методи за решаване на уравнения и проверка на техните корени;

- да насърчава развитието на аналитично и критично мислене на учениците; сравняват и избират оптимални методи за решаване на уравнения;

- създават условия за развитие на изследователски умения, умения за групова работа;

Мотивирайте учениците да използват изучения материал за подготовка за изпита;

Анализирайте и оценете своята работа и работата на вашите другари при изпълнението на тази работа.

Планирани резултати:

*лични:

Умения за поставяне на задача въз основа на известна и научена информация, генериране на заявки за откриване на това, което все още не е известно;

Способност за избор на източници на информация, необходими за решаване на проблема; развитие на познавателните интереси, интелектуалните и творческите способности на учениците;

Развитието на логическото мислене, творческата дейност, способността за изразяване на мислите, способността за изграждане на аргументи;

Самооценка на резултатите от изпълнението;

Умения за работа в екип;

*метасубект:

Способността да се подчертава основното, да се сравнява, обобщава, да се прави аналогия, да се прилагат индуктивни методи на разсъждение, да се излагат хипотези при решаване на уравнения,

Способност за интерпретиране и прилагане на придобитите знания при подготовката за изпита;

*предмет:

Знания как да трансформирате уравнения,

Способността да се установи модел, свързан с различни видове уравнения и да се използва при решаване и избор на корени,

Интегриране на целите на урока:

1. (за учителя) Формиране у учениците на цялостен поглед върху начините за преобразуване на уравнения и методите за тяхното решаване;
2. (за ученици) Развитие на способността да се наблюдават, сравняват, обобщават, анализират математически ситуации, свързани с видове уравнения, съдържащи различни функции. Подготовка за изпита.

Етап I на урока:

Актуализиране на знанията за повишаване на мотивацията в областта на прилагане на различни методи за трансформиране на уравнения (входна диагностика)

Етапът на актуализиране на знаниятапровежда се под формата на контролна работа със самопроверка. Предлагат се развиващи задачи, базирани на знанията, придобити в предишни уроци, изискващи активна умствена дейност от учениците и необходими за изпълнение на задачата в този урок.

Работа по проверката

1. Изберете уравнения, които изискват ограничаване на неизвестните в множеството от всички реални числа:

а) = X-2; б) 3 \u003d X-2; в) =1;

г) ( = (; д) = ; д) +6 =5;

g) = ; з) = .

(2) Посочете диапазона от валидни стойности на всяко уравнение, където има ограничения.

(3) Изберете пример за такова уравнение, където трансформацията може да доведе до загуба на корена (използвайте материалите от предишните уроци по тази тема).

Всеки проверява самостоятелно отговорите по готовите, осветени на екрана. Анализират се най-трудните задачи, като учениците обръщат специално внимание на примери а, в, ж, з, където има ограничения.

Заключението е, че при решаването на уравнения е необходимо да се определи диапазонът от стойности, разрешени от уравнението, или да се проверят корените, за да се избегнат външни стойности. Повтарят се вече изучените методи за преобразуване на уравнения, водещи до уравнение – следствие. Тоест по този начин учениците са мотивирани да намерят правилния начин за решаване на предложеното от тях уравнение в по-нататъшната си работа.

II етап на урока:

Практическо приложение на своите знания, умения и способности при решаване на уравнения.

На групите се раздават листове с модул, съставен по проблемите на тази тема. Модулът включва пет учебни елемента, всеки от които е насочен към изпълнение на определени задачи. Учениците с различна степен на обучение и учене самостоятелно определят обхвата на своите дейности в урока, но тъй като всички работят в групи, има непрекъснат процес на коригиране на знанията и уменията, извличайки изоставащите към задължителни, други към напреднали и творчески нива.

В средата на урока се провежда задължителна физическа минута.

No на учебен елемент	Образователен елемент със задачи	Ръководство за разработване на учебен материал
UE-1	Цел: Да се ​​определят и обосноват основните методи за решаване на уравнения въз основа на свойствата на функциите. Упражнение: Посочете метода на трансформация за решаване на следните уравнения: A) )= -8); б) = в) (=( г) ctg + x 2 -2x = ctg +24; д) = ; е) = sinx. 2) Задача: Решете поне две от предложените уравнения. Опишете какви методи са използвани при решените уравнения.	Клауза 7.3 стр.212 Клауза 7.4 стр.214 Клауза 7.5 стр.217 Клауза 7.2 стр. 210
UE-2	Цел: Усвояване на рационални техники и методи за решаване Упражнение: Дайте примери от горните или избрани от вас (използвайте материали от предишни уроци) уравнения, които могат да бъдат решени с помощта на рационални методи за решаване, какви са те? (акцент върху начина за проверка на корените на уравнението)
UE-3	Цел: Използване на придобитите знания при решаване на уравнения с високо ниво на сложност Упражнение: = (или ( = (	Клауза 7.5
UE-4	Задайте нивото на владеене на темата: ниско - решение на не повече от 2 уравнения; Среден - решение на не повече от 4 уравнения; високо - решение на не повече от 5 уравнения
UE-5	Контрол на изхода: Направете таблица, в която да представите всички методи за преобразуване на уравнения, които използвате, и за всеки метод запишете примери за уравненията, които сте решили, като започнете от урок 1 на темата: „Уравнения - следствия“	Конспекти в тетрадки

III етап на урока:

Изходна диагностична работа, представляваща рефлексията на студентите, която ще покаже готовност не само за написване на тест, но и готовност за изпита в този раздел.

В края на урока всички ученици без изключение се самооценяват, след което идва оценката на учителя. Ако възникнат разногласия между учител и ученик, учителят може да предложи допълнителна задача на ученика, за да може обективно да я оцени. Домашна работанасочени към преговор на материала преди контролната работа.

Тази презентация може да се използва при провеждане на урок по алгебра и започване на анализ в 11 клас при изучаване на темата "Уравнения - следствия" според учебните материали на авторите С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин

Вижте съдържанието на документа
„Уравнения на следствието. Други трансформации, водещи до следствие от уравнението"

УРАВНЕНИЯ – ПОСЛЕДСТВИЯ

УСТНА РАБОТА

• Кои уравнения се наричат ​​следствия?
• Това, което се нарича преход към уравнението на следствието
• Какви трансформации водят до следствието на уравнението?

УСТНА РАБОТА

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Няма решения

Няма решения

УСТНА РАБОТА

Няма решения

Трансформации, водещи до следствието

трансформация

Влияние върху корените на уравнението

Повдигане на уравнение на ЧЕТНА степен

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Потенциране на логаритмични уравнения, т.е. замяна:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= ж(х)

Може да доведе до външни корени

Освобождаване на уравнението от знаменателите:

Може да доведе до появата на външни корени, т.е. тези числа x i, за които или

Замяна на разликата f(x)-f(x) с нула, т.е. намаляване на подобни условия

Може да доведе до появата на външни корени, т.е. тези числа, за всяко от които функцията f(x) не е дефинирана.

Ако при решаването на това уравнение се направи преход към уравнението на следствието, тогава е необходимо да се провери дали всички корени на уравнението на следствието са корените на първоначалното уравнение.

Проверката на получените корени е задължителна част от решаването на уравнението.

№ 8.2 2 (а) Решете уравнението :

2) № 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) Решете уравнението :

№ 8.25 (a, c) Решете уравнението :

№ 8.28 (a, c) Решете уравнението :

№ 8.29 (a, c) Решете уравнението :

ДОМАШНА РАБОТА

• Серия № 8.24 (b, d), стр. 236
• № 8.25(b,d)
• 8.28 (b, d)
• 8.29 (b, d)

клас: 11

Продължителност: 2 урока.

Целта на урока:

• (за учител)формирането на холистичен поглед върху методите за решаване на ирационални уравнения сред учениците.
• (за студенти)Развитие на способността да се наблюдават, сравняват, обобщават, анализират математически ситуации (слайд 2). Подготовка за изпита.

Първи план на урока(слайд 3)

1. Актуализация на знанията
2. Анализ на теорията: Повдигане на уравнение на четна степен
3. Уъркшоп за решаване на уравнения

План на втория урок

1. Диференцирана самостоятелна работа по групи "Ирационални уравнения на изпита"
2. Обобщение на уроците
3. Домашна работа

Ход на уроците

I. Актуализиране на знанията

Цел:повторете понятията, необходими за успешното развитие на темата на урока.

предна анкета.

Кои две уравнения се наричат ​​еквивалентни?

Какви трансформации на уравнението се наричат ​​еквивалентни?

- Заменете това уравнение с еквивалентно с обяснение на приложената трансформация: (слайд 4)

а) x + 2x +1; б) 5 = 5; в) 12x = -3; г) х = 32; д) = -4.

Кое уравнение се нарича уравнение-следствие от първоначалното уравнение?

– Може ли уравнението на следствието да има корен, който да не е коренът на първоначалното уравнение? Как се наричат ​​тези корени?

– Какви трансформации на уравнението водят до уравнението-последствия?

Какво е аритметичен квадратен корен?

Нека днес се спрем по-подробно на трансформацията "Повишаване на уравнение до четна степен".

II. Анализ на теорията: Повдигане на уравнение на четна степен

Обяснение от учителя с активното участие на учениците:

Нека 2m(mN) е фиксирано четно естествено число. Тогава следствието от уравнениетое(x) =g(x) е уравнението (е(x)) = (g(х)).

Много често това твърдение се използва при решаване на ирационални уравнения.

Определение. Уравнение, което съдържа неизвестното под знака на корена, се нарича ирационално.

При решаване на ирационални уравнения се използват следните методи: (слайд 5)

внимание! Методи 2 и 3 изискват задължителенчекове.

ODZ не винаги помага за премахване на външни корени.

Заключение:при решаването на ирационални уравнения е важно да се премине през три етапа: технически, анализ на решението, проверка (слайд 6).

III. Уъркшоп за решаване на уравнения

Решете уравнението:

След като обсъдите как да решите уравнението чрез повдигане на квадрат, решете го, като преминете към еквивалентна система.

Заключение: решението на най-простите уравнения с цели корени може да се извърши по всеки познат метод.

б) \u003d x - 2

Решавайки чрез повдигане на двете части на уравнението на една и съща степен, учениците получават корените x = 0, x = 3 -, x = 3 +, които са трудни и отнемат много време за проверка чрез заместване. (Слайд 7). Преход към еквивалентна система

ви позволява бързо да се отървете от чужди корени. Условието x ≥ 2 се изпълнява само от x.

Отговор: 3+

Заключение: По-добре е да проверите ирационалните корени, като преминете към еквивалентна система.

в) \u003d x - 3

В процеса на решаване на това уравнение получаваме два корена: 1 и 4. И двата корена отговарят на лявата страна на уравнението, но за x \u003d 1 дефиницията на аритметичния квадратен корен е нарушена. Уравнението ODZ не помага за премахване на външни корени. Преходът към еквивалентна система дава верния отговор.

Заключение:доброто познаване и разбиране на всички условия за определяне на аритметичния квадратен корен помага да се премине къмизвършване на еквивалентни трансформации.

Като повдигаме на квадрат двете страни на уравнението, получаваме уравнението

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, отделяйки радикала от дясната страна, получаваме

26 - x + x \u003d 8. Прилагането на по-нататъшни стъпки за повдигане на квадрат на двете части на уравнението ще доведе до уравнение от 4-та степен. Преходът към уравнението ODZ дава добър резултат:

намерете уравнението ODZ:

х = 3.

Проверете: - 4 = , 0 = 0 е правилно.

Заключение:понякога е възможно да се извърши решение, като се използва дефиницията на уравнението ODZ, но не забравяйте да проверите.

Решение: ODZ уравнение: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

За x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Следователно лявата страна на уравнението е отрицателна, а дясната страна е неотрицателна; така че първоначалното уравнение няма корени.

Отговор: няма корени.

Заключение:след като направите правилното разсъждение относно ограничението в условието на уравнението, можете лесно да намерите корените на уравнението или да установите, че те не съществуват.

Използвайки примера за решаване на това уравнение, покажете двойното повдигане на квадрат на уравнението, обяснете значението на израза „самотата на радикалите“ и необходимостта от проверка на намерените корени.

з) + = 1.

Решаването на тези уравнения се извършва чрез метода на промяна на променливата до връщане към първоначалната променлива. Завършете решението да предложите на тези, които ще се справят със задачите на следващия етап по-рано.

тестови въпроси

• Как да решим най-простите ирационални уравнения?
• Какво трябва да се помни, когато се повдига уравнение на четна степен? ( могат да се появят външни корени)
• Кой е най-добрият начин за проверка на ирационални корени? ( използвайки ODZ и условията за съвпадение на знаците на двете части на уравнението)
• Защо е необходимо да можем да анализираме математически ситуации при решаване на ирационални уравнения? ( За правилен и бърз избор на метод за решаване на уравнение).

IV. Диференцирана самостоятелна работа по групи "Ирационални уравнения на изпита"

Класът се разделя на групи (по 2-3 човека) според нивата на подготовка, всяка група избира вариант със задача, обсъжда и решава избраните задачи. Когато е необходимо, свържете се с учителя за съвет. След изпълнение на всички задачи от своя вариант и проверка на отговорите от учителя, членовете на групата индивидуално решават уравнения ж) и з) от предходния етап на урока. За варианти 4 и 5 (след проверка на отговорите и решението на учителя) на дъската се записват допълнителни задачи, които се изпълняват индивидуално.

Всички индивидуални решения в края на часовете се предават на учителя за проверка.

Опция 1

Решете уравненията:

а) = 6;
б) = 2;
в) \u003d 2 - x;
г) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Вариант 5

1. Решете уравнението:

а) = ;
б) = 3 - 2x;

2. Решете системата от уравнения:

Допълнителни задачи:

v. Обобщение на уроците

Какви трудности срещнахте при изпълнението на изпитните задачи? Какво е необходимо за преодоляване на тези трудности?

VI. Домашна работа

Повторете теорията за решаване на ирационални уравнения, прочетете параграф 8.2 в учебника (обърнете внимание на пример 3).

Решете No 8.8 (a, c), No 8.9 (a, c), No 8.10 (a).

Литература:

1. Николски С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и началото на математическия анализ , учебник за 11 клас на образователните институции, М .: Образование, 2009.
2. Мордкович А.Г. По някои методически въпроси, свързани с решаването на уравнения. Математика в училище. -2006. -Номер 3.
3. М. Шабунин. Уравнения. Лекции за ученици и абитуриенти. Москва, "Чистые пруды", 2005 г. (библиотека "Първи септември")
4. Е.Н. Балаян. Семинар за решаване на проблеми. Ирационални уравнения, неравенства и системи. Ростов на Дон, "Феникс", 2006 г.
5. Математика. Подготовка за изпит-2011г. Редактирано от F.F. Лисенко, С.Ю. Кулабухов легион-М, Ростов на Дон, 2010 г.

Някои трансформации ни позволяват да преминем от решаваното уравнение към еквивалентни уравнения, както и към уравнения за следствие, което опростява решението на първоначалното уравнение. В този материал ще ви кажем какво представляват тези уравнения, ще формулираме основните дефиниции, ще ги илюстрираме с илюстративни примери и ще обясним как точно се изчисляват корените на първоначалното уравнение от корените на уравнението на следствието или еквивалентно уравнение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концепцията за еквивалентни уравнения

Определение 1

Еквивалентеннаричат ​​такива уравнения, които имат еднакви корени, или такива, в които няма корени.

Дефиниции от този тип често се срещат в различни учебници. Нека дадем няколко примера.

Определение 2

Уравнението f (x) = g (x) се счита за еквивалентно на уравнението r (x) = s (x), ако имат еднакви корени или и двете нямат корени.

Определение 3

Уравнения с еднакви корени се считат за еквивалентни. Освен това те се считат за две уравнения, които еднакво нямат корени.

Определение 4

Ако уравнението f (x) \u003d g (x) има същия набор от корени като уравнението p (x) \u003d h (x), тогава те се считат за еквивалентни един спрямо друг.

Когато говорим за съвпадащ набор от корени, имаме предвид, че ако определено число е корен на едно уравнение, тогава то ще пасне като решение на друго уравнение. Нито едно от уравненията, които са еквивалентни, не може да има корен, който да не е подходящ за другото.

Даваме няколко примера за такива уравнения.

Пример 1

Например 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 и x \u003d 2 ще бъдат еквивалентни, тъй като всеки от тях има само един корен - два. Освен това x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 ще бъдат еквивалентни, тъй като техните корени могат да бъдат произволни числа, тоест множествата на техните решения са еднакви. Уравненията x = x + 5 и x 4 = − 1 също ще бъдат еквивалентни, всяко от които няма решение.

За по-голяма яснота разгледайте няколко примера за нееквивалентни уравнения.

Пример 2

Например x = 2 и x 2 = 4 ще бъдат, защото техните корени са различни. Същото важи и за уравненията x x \u003d 1 и x 2 + 5 x 2 + 5, тъй като във второто решението може да бъде всяко число, а във второто коренът не може да бъде 0.

Дефинициите, дадени по-горе, са подходящи и за уравнения с няколко променливи, но в случай, че говорим за два, три или повече корена, изразът "решение на уравнението" е по-подходящ. Така, за да обобщим: еквивалентни уравнения са тези уравнения, които имат еднакви решения или изобщо нямат.

Нека вземем примери за уравнения, които съдържат няколко променливи и са еквивалентни едно на друго. И така, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 включват по три променливи и имат само едно решение равно на 0 и в трите случая. И двойката уравнения x + y = 5 и x y = 1 няма да бъдат еквивалентни едно спрямо друго, тъй като например стойностите 5 и 3 са подходящи за първото, но няма да бъдат решение на второ: когато ги заместваме в първото уравнение, получаваме правилно равенство, а във второто - невярно.

Концепцията за следствените уравнения

Нека цитираме няколко примера за дефиниции на следствени уравнения, взети от учебниците.

Определение 5

Следствието от уравнението f (x) = g (x) ще бъде уравнението p (x) = h (x), при условие че всеки корен на първото уравнение е същевременно корен на второто.

Определение 6

Ако първото уравнение има същите корени като второто, тогава второто ще бъде следствие от първото.

Нека вземем няколко примера за такива уравнения.

Пример 3

И така, x 2 = 32 ще бъде следствие от x - 3 = 0, тъй като първото има само един корен, равен на три, и също така ще бъде коренът на второто уравнение, така че в контекста на това определение едно уравнение ще бъде следствие от друго. Друг пример: уравнението (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 ще бъде следствие от x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4, защото второто уравнение има два корена, равни на 2 и 3, които в същото време ще бъдат корените на първия.

От горната дефиниция можем да заключим, че всяко уравнение, което няма корени, също ще бъде следствие от всяко уравнение. Ето някои други последствия от всички правила, формулирани в тази статия:

Определение 7

1. Ако едно уравнение е еквивалентно на друго, тогава всяко от тях ще бъде следствие от другото.
2. Ако от две уравнения всяко е следствие от другото, тогава тези уравнения ще бъдат еквивалентни едно на друго.
3. Уравненията ще бъдат еквивалентни едно спрямо друго само ако всяко от тях е следствие от другото.

Как да намерим корените на уравнение от корените на следствие от уравнение или еквивалентно уравнение

Въз основа на това, което сме написали в дефинициите, тогава в случая, когато знаем корените на едно уравнение, тогава знаем и корените на еквивалентните, тъй като те ще съвпадат.

Ако знаем всички корени на уравнението на следствието, тогава можем да определим корените на второто уравнение, на което то е следствие. За да направите това, просто трябва да отсеете външните корени. Написахме отделна статия за това как се прави това. Съветваме ви да го прочетете.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

За да изучаваме днешната тема, трябва да повторим кое уравнение се нарича следствие, кои теореми са „неспокойни“ и от какви стъпки се състои решението на всяко уравнение.

Определение.Ако всеки корен на уравнението ef от x е равен на x (означаваме го с числото едно) е в същото време корен на уравнението pe от x, равно на ash от x (означаваме го с числото две) , тогава уравнение две се нарича следствие от уравнение едно.

Теорема четири.Ако двете страни на уравнението ef от x са равни на същото от x, умножете по същия израз ash от x, което е:

Първо, има смисъл навсякъде в областта на дефиниране (в диапазона от допустими стойности) на уравнението eff от x, което е равно на от x.

Второ, никъде в тази област не изчезва, тогава получаваме уравнението ef от х, умножено по пепел от х е равно на х, умножено по пепел от х, еквивалентно на даденото в неговия ODZ.

Последица теорема четирие друго "спокойно" твърдение: ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

Теорема пета. Ако и двете страни на уравнението

ef от x е равно на x е неотрицателно в уравнението ODZ, тогава след повдигане на двете му части на една и съща четна степен n, получаваме уравнението eff от x на степен x е равно на x на степен x, еквивалентен на това уравнение в неговия o de ze.

Теорема шеста. Нека a е по-голямо от нула и не е равно на единица и eff от x е по-голямо от нула,

zhe от x е по-голямо от нула, толологаритмичното уравнение е логаритъмът от ef от x към основата a, равен на логаритъма от zhe от x към основата a,

е еквивалентно на уравнението ef от x е същото като от x .

Както вече казахме, решаването на всякакви уравнения се извършва на три етапа:

Първият етап е технически. С помощта на верига от трансформации от първоначалното уравнение стигаме до доста просто уравнение, което решаваме и намираме корените.

Вторият етап е анализът на решението. Анализираме трансформациите, които извършихме, и установяваме дали са еквивалентни.

Третият етап е проверката. Проверката на всички намерени корени чрез заместването им в първоначалното уравнение е задължителна, когато се извършват трансформации, които могат да доведат до следствие от уравнение.

В този урок ще разберем, при прилагането на какви трансформации това уравнение преминава в следствие? Обмислете следните задачи.

Упражнение 1

Кое уравнение е следствие от уравнението x минус три е равно на две?

Решение

Уравнението x минус три е равно на две има един корен - x е равно на пет. Умножете двете страни на това уравнение по израза x минус шест, добавете подобни членове и получете квадратното уравнение x квадрат минус единадесет x плюс тридесет е равно на нула. Нека изчислим неговите корени: x първото е равно на пет; х секунда е равно на шест. Той вече съдържа два корена. Уравнението x квадрат минус единадесет x плюс тридесет е равно на нула съдържа един корен - x е равно на пет; на уравнението х минус три е равно на две, така че х на квадрат минус единадесет х плюс тридесет е следствие от уравнението х минус три е равно на две.

Задача 2

Кое друго уравнение е следствие от уравнението x-3=2?

Решение

В уравнението х минус три е равно на две, повдигаме на квадрат двете части от него, прилагаме формулата за квадрат на разликата, добавяме подобни членове, получаваме квадратното уравнение х на квадрат минус шест, х плюс пет е равно на нула.

Нека изчислим неговите корени: х първото е равно на пет, х второто е равно на едно.

Коренът x е равно на едно е страничен за уравнението x минус три е равно на две. Това се случи, защото и двете страни на първоначалното уравнение бяха на квадрат (четна степен). Но в същото време лявата му страна - х минус три - може да бъде отрицателна (условия теорема пета). Така че уравнението х на квадрат минус шест х плюс пет е равно на нула е следствие от уравнението х минус три е равно на две.

Задача 3

Намерете уравнението-следствие на уравнението

логаритъма от х плюс едно при основа три плюс логаритъма от х плюс три при основа три е равно на едно.

Решение

Представяме единицата като логаритъм от три основа три, потенцираме логаритмичното уравнение, извършваме умножение, добавяме подобни членове и получаваме квадратното уравнение x на квадрат плюс четири x е равно на нула. Нека изчислим неговите корени: х първото е равно на нула, х второто е равно на минус четири. Коренът x е равен на минус четири е чужд за логаритмичното уравнение, тъй като когато се замести в логаритмичното уравнение, изразите x плюс едно и x плюс три приемат отрицателни стойности - условията са нарушени теорема шеста.

Така че уравнението х на квадрат плюс четири х е равно на нула е следствие от това уравнение.

Въз основа на решението на тези примери можем да направим заключение:следствието уравнение се получава от даденото уравнение чрез разширяване на областта на уравнението. И това е възможно при извършване на такива трансформации като

1) премахване на знаменатели, съдържащи променлива;

2) повдигане на двете части на уравнението на еднаква четна степен;

3) освобождаване от знаци за логаритми.

Запомнете!Ако в процеса на решаване на уравнението е имало разширяване на областта на дефиниране на уравнението, тогава е задължително да се проверят всички намерени корени.

Задача 4

Решете уравнението x минус три делено на x минус пет плюс едно делено на x е равно на x плюс пет делено на x по x минус пет.

Решение

Първият етап е технически.

Нека извършим верига от трансформации, да получим най-простото уравнение и да го решим. За да направим това, умножаваме двете части на уравнението по общ знаменател на дроби, тоест по израза x, умножен по xминус пет.

Получаваме квадратното уравнение х квадрат минус три х минус десет е равно на нула. Нека изчислим корените: х първото е равно на пет, х второто е равно на минус две.

Вторият етап е анализът на решението.

При решаването на уравнението умножихме двете му части по израз, съдържащ променлива. Това означава, че областта на дефиниране на уравнението се е разширила. Следователно е необходима проверка на корените.

Третият етап е проверката.

Когато х е равно на минус две, общият знаменател не изчезва. Значи х е равно на минус две е коренът на това уравнение.

Когато х е равно на пет, общият знаменател става нула. Следователно х е равно на пет - външен корен.

Отговор: минус две.

Задача 5

Решете уравнението корен квадратен от х минус шест е равно на корен квадратен от четири минус х.

Решение

Първият етап е технически .

За да получим просто уравнение и да го решим, извършваме верига от трансформации.

Нека повдигнем на квадрат (четна степен) и двете части на това уравнение, преместим х-овете в лявата страна и числата в дясната страна на уравнението, да дадем подобни членове, получаваме: две х е равно на десет. X е равно на пет.

Вторият етап е анализът на решението.

Нека проверим извършените трансформации за еквивалентност.

Когато решавахме уравнение, повдигнахме на квадрат двете му страни. Това означава, че областта на дефиниране на уравнението се е разширила. Следователно е необходима проверка на корените.

Третият етап е проверката.

Заместваме намерените корени в оригиналното уравнение.

Ако x е равно на пет, изразът корен квадратен от четири минус x е недефиниран, така че x равно на пет е външен корен. Така че това уравнение няма корени.

Отговор: Уравнението няма корени.

Задача 6

Решете уравнението Натуралният логаритъм от х на квадрат плюс две х минус седем е равен на натуралният логаритъм от х минус едно.

Решение

Първият етап е технически .

Нека извършим верига от трансформации, да получим най-простото уравнение и да го решим. За да направим това, ние потенцираме

уравнение, прехвърляме всички членове в лявата страна на уравнението, даваме подобни членове, получаваме квадратно уравнение x квадрат плюс x минус шест е равно на нула. Нека изчислим корените: х първото е равно на две, х второто е равно на минус три.

Вторият етап е анализът на решението.

Нека проверим извършените трансформации за еквивалентност.

В процеса на решаване на това уравнение ние се отървахме от знаците на логаритмите. Това означава, че областта на дефиниране на уравнението се е разширила. Следователно е необходима проверка на корените.

Третият етап е проверката.

Заместваме намерените корени в оригиналното уравнение.

Ако x е равно на две, тогава получаваме натурален логаритъм от единица е равен на натурален логаритъм от единица -

правилно равенство.

Следователно х равно на две е коренът на това уравнение.

Ако х е минус три, тогава натуралният логаритъм от х на квадрат плюс две х минус седем и натуралният логаритъм от х минус едно са недефинирани. Така че х равно на минус три е външен корен.

Отговор: две.

Винаги ли е необходимо да се разграничават три етапа при решаване на уравнение? Как иначе можете да проверите?

Ще получим отговори на тези въпроси в следващия урок.