ภาคเรียนที่ 3 การบรรยาย4.

การบรรยาย 4. สนามไฟฟ้าของตัวนำที่มีประจุ

พลังงานของสนามไฟฟ้าสถิต

สนามใกล้ตัวนำ ความจุของตัวนำและตัวเก็บประจุ (ความจุของตัวเก็บประจุแบบแบน ทรงกระบอก และทรงกลม) พลังงานของระบบประจุคงที่ พลังงานของตัวนำที่มีประจุ, ตัวเก็บประจุ ความหนาแน่นของพลังงานสนามไฟฟ้าสถิต.

เมื่อนำตัวนำเข้าด้านนอก สนามไฟฟ้าประจุภายในตัวนำเริ่มเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรงจากสนามภายนอกจนกว่าจะถึงสมดุล สิ่งนี้นำไปสู่การแจกจ่ายประจุไฟฟ้าภายในตัวนำ บริเวณของตัวนำซึ่งก่อนหน้านี้เป็นกลางทางไฟฟ้าจะได้รับประจุไฟฟ้าที่ไม่มีการชดเชย ดังนั้นสนามไฟฟ้าจึงปรากฏขึ้น (หรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่าถูกเหนี่ยวนำ) ในตัวนำ

. เงื่อนไขความสมดุลของประจุไฟฟ้า:

,

เหล่านั้น. ความแรงของสนามภายในตัวนำ:

ดังนั้น จากความเท่าเทียมกัน เราจะได้ ภายในตัวนำ ดังนั้นเงื่อนไขนี้จึงเป็นที่พอใจที่ขอบเขตของตัวนำ เหล่านั้น. พื้นผิวตัวนำคือ ศักยภาพเท่ากัน พื้นผิว นั่นเป็นเหตุผลที่ เส้นแรงของสนามไฟฟ้าตั้งฉากกับพื้นผิวตัวนำในแต่ละจุด .

ตัวนำที่มีประจุ .

หากประจุไฟฟ้าภายนอกถูกจ่ายให้กับตัวนำเดี่ยว เงื่อนไขสำหรับสมดุลของประจุจะนำไปสู่เงื่อนไขอีกครั้ง:

,ภายในตัวนำ

ตามมาด้วยว่าประจุภายนอกทั้งหมดอยู่บนพื้นผิวของตัวนำตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ความแรงของสนามภายในตัวนำเป็นศูนย์ และตามทฤษฎีบทเกาส์สำหรับพื้นผิวปิดใดๆ ภายในตัวนำ (รวมถึงพื้นผิวด้านนอกของตัวนำ):

.

เนื่องจากพื้นผิวของตัวนำในกรณีนี้ยังมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน เส้นแรงของสนามไฟฟ้าจึงตั้งฉากกับพื้นผิวของตัวนำในแต่ละจุด

จากทฤษฎีบทเกาส์จะเป็นไปตามที่พื้นผิวของตัวนำ

ขนาดของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้าเท่ากับความหนาแน่นของพื้นผิวของประจุภายนอก

ประจุบนพื้นผิวของตัวนำถูกกระจายในลักษณะที่ศักย์ของพื้นผิวคงที่ สิ่งนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าความหนาแน่นของประจุบนพื้นผิวของตัวนำนั้นไม่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับส่วนที่แหลมคมของตัวนำ ความหนาแน่นของประจุจะมากกว่าในช่อง ในเรื่องนี้ปรากฏการณ์ต่าง ๆ เกิดขึ้นเช่น "การระบายประจุ" หากตัวนำอยู่ในอากาศ ไอออนไนซ์ของอากาศก็จะเกิดขึ้นใกล้กับส่วนปลาย โดยนำประจุไฟฟ้าบางส่วนออกไป ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่า "ลมไฟฟ้า"

วิธีการถ่ายภาพด้วยไฟฟ้า .

หากพื้นผิวศักย์ไฟฟ้าถูกแทนที่ด้วยตัวนำไฟฟ้า จากนั้นส่วนหนึ่งของสนามที่พื้นผิวนี้แยกออกจากกัน ลวดลายของสนามในส่วนที่เหลือจะไม่เปลี่ยนแปลง ในทางกลับกัน หากภาพภาคสนามถูกเติมด้วยประจุที่สมมติขึ้นเพื่อให้พื้นผิวตัวนำถูกแทนที่ด้วยประจุศักย์ไฟฟ้า ภาพภาคสนามเริ่มต้นจะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง.หาแรงดึงดูดของจุดประจุไปยังระนาบนำไฟฟ้าอนันต์ . ในการทำเช่นนี้เราจะเสริมรูปภาพด้วยประจุประเภทเดียวกันอีกอันหนึ่ง แต่มีเครื่องหมายตรงข้ามซึ่งอยู่ในตำแหน่งสมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบ จากนั้นระนาบจะตรงกับพื้นผิวศักย์ศักย์ จึงสามารถทิ้งระนาบและพบแรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างประจุได้: .

พลังงานของตัวนำที่มีประจุ .

พลังงานของตัวนำที่มีประจุเดี่ยวถูกกำหนดให้เป็นพลังงานของระบบประจุ: . บนตัวนำดังนั้นพลังงานของตัวนำเดี่ยว:

.

สำหรับระบบตัวนำที่มีประจุ: .

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับตัวนำสองตัวที่มีประจุ q ที่มีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน พลังงานจะเท่ากับ: .

ความคิดเห็น . ขนาดของความต่างศักย์ เรียกว่า ความเครียด ระหว่างร่างกาย

ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างประจุของตัวนำเดี่ยวกับศักยภาพ: . ปัจจัยสัดส่วน จากเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ทางไฟฟ้า ตู้คอนเทนเนอร์หรือ ความจุไฟฟ้า . หน่วยความจุไฟฟ้าคือ Farad (

).

ตัวเก็บประจุ เรียกว่าระบบของตัวนำสองตัวที่มีขนาดเท่ากัน แต่ค่าเครื่องหมายต่างกัน ตัวนำเรียกว่า แผ่นตัวเก็บประจุ .

ความจุของตัวเก็บประจุถูกกำหนดโดยสูตร

ตัวเก็บประจุถูกกำหนดตามอัตภาพ

การเชื่อมต่อตัวเก็บประจุ

พิจารณาการเชื่อมต่อแบบอนุกรมของตัวเก็บประจุสองตัว C 1 และ C 2 จุด A ระหว่างตัวเก็บประจุแยกออกจากส่วนที่เหลือของวงจร ดังนั้นประจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุจึงไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เนื่องจากประจุเริ่มต้นของจุดใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น . ดังนั้นประจุของเพลตตัวเก็บประจุที่อยู่ติดกับจุด A จึงมีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม แต่เนื่องจากค่าประจุของเพลตเท่ากับประจุของตัวเก็บประจุแล้ว ประจุทั้งหมดของจุด A เป็นศูนย์ ดังนั้นหากเราทิ้งจุดนี้พร้อมกับเพลต จะไม่มีสิ่งใดเปลี่ยนแปลงในวงจร เพราะ ประจุของเพลตสุดขั้วนั้นมีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน จากนั้นตัวเก็บประจุที่ได้จะมีประจุเท่ากันในขนาด

ทั้งหมด . ประจุของตัวเก็บประจุที่ต่อเป็นอนุกรมจะมีขนาดเท่ากัน ประจุทั้งหมดของตัวเก็บประจุที่ต่อเป็นอนุกรมจะเท่ากับประจุของตัวเก็บประจุแต่ละตัว

สำหรับกรณีนี้ แรงดันไฟฟ้าทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุ: U GENERAL \u003d U 1 + U 2 ประจุของตัวเก็บประจุจะเท่ากัน: q 1 \u003d q 2 \u003d q แล้ว . นั่นเป็นเหตุผลที่ .

เมื่อตัวเก็บประจุเชื่อมต่อเป็นอนุกรม ความจุของตัวเก็บประจุจะถูกเพิ่มตามกฎของส่วนกลับ . 

การคำนวณความจุสำหรับการเชื่อมต่อแบบขนานของตัวเก็บประจุ

สำหรับกรณีนี้ แรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุจะเท่ากัน: U 1 \u003d U 2 \u003d U

ค่าใช้จ่ายทั้งหมดเท่ากับผลรวมของค่าใช้จ่าย: q GEN = q 1 + q 2 หรือ C GEN U=C 1 U+C 2 U

จากนั้น C GENERAL =C 1 +C 2 เมื่อตัวเก็บประจุต่อขนานกัน ความจุของตัวเก็บประจุจะเพิ่มขึ้น 

พลังงานตัวเก็บประจุ :

.

ประจุทั้งหมดของตัวเก็บประจุเป็นศูนย์ ตัวเก็บประจุเก็บพลังงานไฟฟ้าโดยแยกประจุไฟฟ้า

ตัวอย่างการคำนวณความจุของตัวเก็บประจุ .

คอนเดนเซอร์แบบแบน (อากาศ) แทนแผ่นขนานสองแผ่น ระยะห่างระหว่างแผ่นซึ่งน้อยกว่าขนาดของแผ่นเปลือกโลกมาก ดังนั้นสนามระหว่างแผ่นเปลือกโลกจึงถือได้ว่าสม่ำเสมอ มีสุญญากาศ (อากาศ) อยู่ระหว่างแผ่นเปลือกโลก ดังนั้น  = 1

ในกรณีนี้ เมื่อคำนวณรูปแบบสนาม เราสามารถใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากสนามของระนาบประจุอนันต์ เนื่องจากประจุและพื้นที่ของแผ่นเปลือกโลกมีขนาดเท่ากัน ความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแผ่นเปลือกโลกแต่ละแผ่นจึงเท่ากัน: แต่ทิศทางของเวกเตอร์ความเข้มต่างกัน (เวกเตอร์ความเข้มจากแผ่นประจุลบจะแสดงโดย เส้นประ) ระหว่างแผ่นเปลือกโลก เวกเตอร์ความเข้มจะถูกชี้นำในลักษณะเดียวกัน ดังนั้นความเข้มรวมจะเท่ากับผลรวมของความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแผ่นเปลือกโลกแต่ละแผ่น:

.

ด้านนอกของเพลต เวกเตอร์ความแรงของสนามมีทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นความแรงของสนามภายนอกจึงเป็นศูนย์ ทางนี้, ในตัวเก็บประจุ ความแรงของสนามจะไม่เท่ากับศูนย์ระหว่างแผ่นเปลือกโลกเท่านั้น

เนื่องจากสนามไฟฟ้าสถิตเป็นสนามแรงอนุรักษ์ ปริพันธ์ ไม่ขึ้นกับรูปทรงของวิถี Gดังนั้นความต่างศักย์ระหว่างแผ่นเปลือกโลกจึงสามารถพบได้ตามแนวตั้งฉากที่เชื่อมต่อแผ่นซึ่งมีความยาวเท่ากับ d:, ที่ไหน dคือระยะห่างระหว่างแผ่นเปลือกโลก จากนั้นความจุของตัวเก็บประจุแบบแบน (อากาศ) ตามคำจำกัดความจะเท่ากับ:

คอนเดนเซอร์ทรงกระบอก (อากาศ) ประกอบด้วยกระบอกสูบโคแอกเซียลสองตัว

ที่มีความยาวเท่ากัน ซ้อนกันเพื่อให้ระยะห่างระหว่างแผ่นเปลือกโลกน้อยกว่าขนาดของแผ่นเปลือกโลกมาก

ให้ความยาวของตัวเก็บประจุ หลี่, ประจุของเยื่อบุชั้นในเป็นบวก: q > 0. รัศมีการชุบ R 1 และ R 2 , ให้ R 1 <R 2. ความแรงของสนามระหว่างแผ่นเปลือกโลกในระยะไกล rจากเยื่อบุชั้นในคือ สำหรับ R 1 <r <R 2 เราพบว่าใช้ทฤษฎีบทเกาส์:

.

จากนั้นแรงดันระหว่างแผ่น: .

ดังนั้น ความจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุทรงกระบอก (อากาศ): .

จาก คอนเดนเซอร์ทรงกลม (อากาศ) หมายถึงทรงกลมที่มีศูนย์กลางซ้อนกันสองอันที่มีรัศมีของแผ่นเปลือกโลก R 1 และ R 2 ,R 1 <R 2. ปล่อยให้ประจุของเยื่อบุชั้นใน q> 0 ความแรงของสนามระหว่างวัสดุบุผิวในระยะไกล rจากซับใน ( R 1 <r <R 2) เราพบโดยทฤษฎีบทเกาส์:

.

ความตึงเครียดระหว่างแผ่น: .

ดังนั้นความจุของตัวเก็บประจุทรงกลม (อากาศ) .

ความหนาแน่นของพลังงานเชิงปริมาตรของสนามไฟฟ้าสถิต

พิจารณาคอนเดนเซอร์อากาศแบบแบน พลังงานของตัวเก็บประจุที่มีประจุ

.

ปริมาณช่องว่างระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุ เนื่องจากสนามระหว่างแผ่นเปลือกโลกถือเป็นเนื้อเดียวกัน ปริมาตรหน่วยของสนามนี้มีพลังงาน . ค่านี้เรียกว่า ความหนาแน่นของพลังงานเชิงปริมาตร .

ในกรณีที่สนามไม่สม่ำเสมอจะมีความหนาแน่นของพลังงานเชิงปริมาตร

ในเรื่องความหนาแน่นพลังงานเชิงปริมาตรของสนามไฟฟ้า .

ในกรณีของอิเล็กทริกแบบไอโซโทรปิกที่เป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้น .

เพราะ , แล้ว , ที่ไหน

พลังงานของสนามไฟฟ้าในสุญญากาศคือพลังงานของโพลาไรเซชันของสสาร

ตัวอย่าง . พิจารณาทรงกลมผนังบางที่มีประจุรัศมี R เนื่องจากประจุที่มีชื่อเดียวกันจะผลักกันบนทรงกลม แรงผลักมักจะยืดพื้นผิวของทรงกลม เราสามารถสรุปได้ว่าจากภายในทรงกลม ผนังได้รับผลกระทบจาก แรงดันเพิ่มเติม pระเบิดเป็นทรงกลมและเกิดจากการมีประจุไฟฟ้าอยู่บนพื้นผิว มาหากัน R.

ความแรงของสนามภายในทรงกลมเป็นศูนย์ ดังนั้นความหนาแน่นพลังงานเชิงปริมาตรของสนามไฟฟ้า wแตกต่างจากศูนย์นอกทรงกลมเท่านั้น

ด้วยการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในรัศมีของทรงกลมโดย dRปริมาตรจะเพิ่มขึ้น ในขณะที่พื้นที่โดยรอบที่เข้าไปในทรงกลมนั้น ความหนาแน่นของพลังงานเชิงปริมาตรจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงพลังงานของสนามภายนอกจะเท่ากับ โดยที่ สคือพื้นที่ผิว แต่ด้วยการขยายตัวของทรงกลม แรงกดภายในทรงกลมจะทำงาน . ตั้งแต่นั้นมา จากที่ไหน 

ตัวอย่าง . มาหาแรงที่กระทำต่อเพลตในตัวเก็บประจุแบบแบนที่มีประจุไฟฟ้า ซึ่งตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งพลังงาน

แผ่นเปลือกโลกมีประจุตรงกันข้ามจึงดึงดูด สมมติว่าแผ่นเปลือกโลกอยู่ใกล้กันในปริมาณเล็กน้อย x. จากนั้นปริมาตรของคอนเดนเซอร์จะลดลง dV = xSดังนั้นพลังงานของตัวเก็บประจุจึงลดลง dW = wdV. แรงดึงดูดกำลังทำงาน  อา = fx. ตั้งแต่ A= dW, แล้ว fx = wxS. ดังนั้น ขนาดของแรงคือ F = wS. แรงกดดันเพิ่มเติมที่กองกำลังเหล่านี้สร้างขึ้นนั้นเท่ากับ 

ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าวัตถุในสนามไฟฟ้าอยู่ภายใต้แรงที่ทำให้เกิดแรงดันเพิ่มขึ้นเท่ากับความหนาแน่นของพลังงานเชิงปริมาตร

ความดันที่เกิดจากสนามไฟฟ้ามีค่าเท่ากับความหนาแน่นของพลังงานเชิงปริมาตร .

กองกำลัง , กระทำต่อร่างกายจากด้านข้างของบางทุ่ง, เรียกว่า ปอนอีโมเตอร์ .

แผ่นตัวเก็บประจุที่มีประจุตรงข้ามดึงดูดกัน

แรงทางกลที่กระทำต่อวัตถุที่มีประจุมหภาคเรียกว่าPonderomotive .

เราคำนวณแรงสะสมที่กระทำต่อเพลตของตัวเก็บประจุแบบแบน ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

ตัวเก็บประจุถูกชาร์จและถอดออกจากแบตเตอรี่ที่ชาร์จแล้ว(ในกรณีนี้ จำนวนประจุบนเพลตจะคงที่ q = const).

เมื่อตัวเก็บประจุแผ่นหนึ่งถูกถอดออกจากอีกแผ่นหนึ่ง งานก็เสร็จสิ้น

เนื่องจากพลังงานศักย์ของระบบเพิ่มขึ้น:

ในกรณีนี้ dA = dW เท่ากับด้านขวาของนิพจน์เหล่านี้ เราได้รับ

(12.67)

ในกรณีนี้ เมื่อแยกความแตกต่าง ระยะห่างระหว่างเพลตถูกกำหนดเป็น x

ตัวเก็บประจุชาร์จแต่ไม่ได้ตัดการเชื่อมต่อจากแบตเตอรี่(ในกรณีนี้ เมื่อย้ายแผ่นตัวเก็บประจุตัวใดตัวหนึ่ง แรงดันไฟฟ้าจะคงที่ ( ยู = const). ในกรณีนี้ เมื่อจานหนึ่งเคลื่อนออกจากอีกจานหนึ่ง พลังงานศักย์ของสนามตัวเก็บประจุจะลดลง เนื่องจากมีประจุ "รั่ว" จากเพลต ดังนั้น

แต่

, แล้ว

นิพจน์ผลลัพธ์ตรงกับสูตร

. นอกจากนี้ยังสามารถแสดงในรูปแบบอื่นได้หากแทนที่จะเป็นประจุ q เราแนะนำความหนาแน่นของพื้นผิว:

(12.68)

สนามมีความสม่ำเสมอ ความแรงของสนามของตัวเก็บประจุคือ

โดยที่ x คือระยะห่างระหว่างแผ่นเปลือกโลก เปลี่ยนเป็นสูตร

U 2 \u003d E 2 x 2 เราได้แรงดึงดูดของเพลตของตัวเก็บประจุแบบแบน

(12.69)

แรงเหล่านี้ไม่เพียงทำหน้าที่บนจานเท่านั้น เนื่องจากแผ่นเปลือกโลกจะกดทับไดอิเล็กตริกที่อยู่ระหว่างพวกมันและทำให้เสียรูป แรงดันจึงเกิดขึ้นในไดอิเล็กตริก

(S คือพื้นที่ของแต่ละจาน)

ความดันที่เกิดขึ้นในไดอิเล็กตริกคือ

(12.70)

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 12.5 สู่จานแบน คอนเดนเซอร์อากาศใช้ความต่างศักย์ 1.5 kV พื้นที่จาน 150cm 2 และระยะห่างระหว่างกันคือ 5 มม. หลังจากถอดตัวเก็บประจุออกจากแหล่งจ่ายแรงดันแล้ว แก้วก็ถูกสอดเข้าไปในช่องว่างระหว่างเพลต (ε 2 =7) กำหนด:

1) ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นเปลือกโลกหลังจากการแนะนำอิเล็กทริก 2) ความจุของตัวเก็บประจุก่อนและหลังการแนะนำอิเล็กทริก; 3) ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวบนเพลตก่อนและหลังการแนะนำอิเล็กทริก

ที่ให้ไว้: U 1 \u003d 1.5 kV \u003d 1.5 ∙ 10 3 V; S \u003d 150cm 2 \u003d 1.5 ∙ 10 -2 ม. 2; ε 1 =1; d=5mm=5∙10 -3 ม.

ค้นหา: 1) ยู 2 ; 2) ค 1 C 2; 3) σ 1 , σ 2

วิธีการแก้ . เพราะ

(σ คือความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวบนแผ่นตัวเก็บประจุ) จากนั้นก่อนที่จะมีการนำอิเล็กทริก σd=U 1 ε 0 ε 1 และหลังจากการแนะนำไดอิเล็กตริก σd=U 2 ε 0 ε 2 ดังนั้น

ความจุของตัวเก็บประจุก่อนและหลังการแนะนำไดอิเล็กตริก

และ

ประจุของเพลตหลังจากตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายแรงดันจะไม่เปลี่ยนแปลงเช่น q=const. ดังนั้นความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวบนเพลตก่อนและหลังการแนะนำไดอิเล็กตริก

คำตอบ: 1) คุณ 2 \u003d 214V; 2) C 1 \u003d 26.5 pF; C 2 \u003d 186pF; 3) σ 1 = σ 2 = 2.65 μC/m 2

ตัวอย่าง 12.7 ช่องว่างระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุแบบแบนนั้นเต็มไปด้วยไดอิเล็กทริกแบบแอนไอโซทรอปิก การซึมผ่าน ε ซึ่งแตกต่างกันไปในทิศทางตั้งฉากกับเพลตตามกฎเชิงเส้นε = α + βх จาก ε 1 มากถึง ε 2 , และ ε 2 > ε 1 . พื้นที่ของแต่ละซับในสระยะห่างระหว่างกันd. หาความจุของตัวเก็บประจุ

ที่ให้ไว้:ส; ง; ε 1 ; ε 2

หา: จาก.

วิธีการแก้ . ค่าคงที่ไดอิเล็กตริก ε แปรผันเป็นเส้นตรง ε = α + βx โดยที่ x วัดจากซับในซึ่งมีการซึมผ่านเท่ากับ ε 1 . เมื่อพิจารณาว่า ε (0) = ε 1 , ε (d) = ε 2 เราได้รับการพึ่งพา

. ค้นหาความต่างศักย์ระหว่างแผ่นเปลือกโลก:

ความจุของตัวเก็บประจุจะเป็น

ตอบ:

ตัวอย่าง 12.7 ระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุแบบแบนที่มีประจุความต่างศักย์ ยู ไดอิเล็กทริกสองชั้นวางขนานกับเพลตของมัน ความหนาของชั้นและการอนุญาติของไดอิเล็กตริกตามลำดับd 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . กำหนดความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตในชั้นอิเล็กทริก

ที่ให้ไว้: ยู; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

หา: อี 1 , อี 2 .

วิธีการแก้ . แรงดันไฟฟ้าที่พาดผ่านเพลตตัวเก็บประจุ เนื่องจากสนามภายในแต่ละชั้นไดอิเล็กตริกมีความสม่ำเสมอ

U=E 1 d 1 +E 2 d 2 . (หนึ่ง)

การกระจัดทางไฟฟ้าในชั้นไดอิเล็กทริกทั้งสองชั้นเท่ากัน เราจึงเขียนได้

D=D1=D2= ε 0 ε 1 อี 1 = ε 0 ε 2 อี 2 (2)

จากนิพจน์ (1) และ (2) เราพบว่าต้องการ

(3)

จากสูตร (2) จะได้ว่า

ตอบ:

;

ตัวอย่าง 12.7 พื้นที่จาน ส ตัวเก็บประจุแบบแบน 100cm 2 . ช่องว่างระหว่างแผ่นเปลือกโลกนั้นเต็มไปด้วยไดอิเล็กทริกสองชั้นอย่างใกล้ชิด - แผ่นไมกา (ε 1 =7) หนา d 1 =3.5 มม. และพาราฟิน (ε 2 =2) ความหนา d 2 =5 มม. กำหนดความจุของตัวเก็บประจุนี้

ที่ให้ไว้: ส=100ซม. 2 =10 -2 ม 2 ; ε 1 =7; d 1 =3.5มม.=3.5∙10 -3 ม;, ε 1 =2; d 1 =3.5มม.=5∙10 -3 เมตร;

หา: จาก.

วิธีการแก้ . ความจุของตัวเก็บประจุ

โดยที่ = - ประจุบนเพลตตัวเก็บประจุ (- ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวบนเพลต); \u003d - ความต่างศักย์ของเพลตเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าบนชั้นอิเล็กทริก: U \u003d U 1 +U 2 แล้ว

(1)

แรงดันไฟฟ้า U 1 และ U 2 หาได้จากสูตร

;

(2)

โดยที่ E 1 และ E 2 - ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตในชั้นแรกและชั้นที่สองของอิเล็กทริก D คือการเคลื่อนที่ทางไฟฟ้าในไดอิเล็กทริก (เหมือนกันในทั้งสองกรณี) โดยคำนึงว่า

และให้สูตร (2) จากนิพจน์ (1) เราพบความจุที่ต้องการของตัวเก็บประจุ

ตอบ: C \u003d 29.5pF

ตัวอย่าง 12.7 แบตเตอรี่ของตัวเก็บประจุสามตัวต่ออยู่ในชุด C 1 \u003d 1 μF; จาก 2 \u003d 2uF และ C 3 \u003d 4 μF เชื่อมต่อกับแหล่ง EMF ประจุแบตเตอรี่ตัวเก็บประจุ q \u003d 40 ไมโครซี กำหนด: 1) แรงดันไฟฟ้า ยู 1 , ยู 2 และ ยู 3 บนตัวเก็บประจุแต่ละตัว 2) แหล่ง EMF; 3) ความจุของธนาคารตัวเก็บประจุ

ที่ให้ไว้ : C 1 \u003d 1 μF \u003d 1 ∙ 10 -6 F; C 2 \u003d 2 μF \u003d 2 ∙ 10 -6 F และ C 3 \u003d 4 μF \u003d 4 ∙ 10 -6 F; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F .

ค้นหา: 1) U 1 , U 2 , U 3 ; 2) ξ; 3) ค.

วิธีการแก้ . เมื่อตัวเก็บประจุเชื่อมต่อแบบอนุกรม ประจุของเพลตทั้งหมดมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ดังนั้น

q 1 \u003d q 2 \u003d q 3 \u003d q

แรงดันตัวเก็บประจุ

EMF ของแหล่งกำเนิดเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมแต่ละตัว:

ξ \u003d คุณ 1 + คุณ 2 + คุณ 3

เมื่อเชื่อมต่อเป็นอนุกรม ส่วนกลับของความจุของตัวเก็บประจุแต่ละตัวจะถูกรวมเข้าด้วยกัน:

ความจุที่ต้องการของธนาคารตัวเก็บประจุอยู่ที่ไหน

คำตอบ: 1) คุณ 1 \u003d 40V; คุณ 2 \u003d 20V, คุณ 3 = 10V; 2) Ɛ= 70V; 3) C \u003d 0.571 μF

ตัวอย่าง 12.7 ตัวเก็บประจุอากาศแบบแบนสองตัวที่มีความจุเท่ากันเชื่อมต่อแบบอนุกรมและเชื่อมต่อกับแหล่ง EMF ประจุของตัวเก็บประจุจะเปลี่ยนไปกี่ครั้งและกี่ครั้งหากตัวใดตัวหนึ่งแช่อยู่ในน้ำมันที่มีค่าคงที่ไดอิเล็กตริก ε=2.2

ที่ให้ไว้: C 1 \u003d C 2 \u003d C; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

หา: .

วิธีการแก้ . เมื่อเชื่อมต่อตัวเก็บประจุแบบอนุกรม ประจุของตัวเก็บประจุทั้งสองตัวจะมีขนาดเท่ากัน ก่อนแช่ในไดอิเล็กตริก (ในน้ำมัน) ประจุของตัวเก็บประจุแต่ละตัว

โดยที่ ξ \u003d U 1 + U 2 (เมื่อตัวเก็บประจุเชื่อมต่อแบบอนุกรม EMF ของแหล่งกำเนิดจะเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุแต่ละตัว)

หลังจากที่ตัวเก็บประจุตัวใดตัวหนึ่งถูกแช่ในไดอิเล็กทริก ประจุของตัวเก็บประจุจะเหมือนเดิมอีกครั้ง ดังนั้น ตัวเก็บประจุที่หนึ่งและตัวที่สองจึงมีค่าเท่ากัน

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(โดยคำนึงถึงว่า ε 1 =1) ดังนั้น หากเราพิจารณาว่า ξ = U 1 + U 2 เราจะพบว่า

(2)

หาร (2) ด้วย (1) เราพบอัตราส่วนที่ต้องการ

ตอบ:

, เช่น. ประจุของตัวเก็บประจุเพิ่มขึ้น 1.37 เท่า

ตัวอย่าง 12.7 ตัวเก็บประจุที่มีความจุ C แต่ละตัวเชื่อมต่อกันดังแสดงในรูปที่ กำหนดความจุ ทั่วไป การเชื่อมต่อของตัวเก็บประจุนี้ .

วิธีการแก้ . หากคุณถอดตัวเก็บประจุ C 4 ออกจากวงจร คุณจะได้การเชื่อมต่อของตัวเก็บประจุซึ่งคำนวณได้ง่าย เนื่องจากความจุของตัวเก็บประจุทั้งหมดเท่ากัน (C 2 \u003d C 3 และ C 5 \u003d C 6) กิ่งก้านคู่ขนานทั้งสองมีความสมมาตร ดังนั้นศักยภาพของจุด A และ B ซึ่งอยู่ในกิ่งก้านจะต้องเท่ากัน ตัวเก็บประจุ C 4 จึงเชื่อมต่อกับจุดที่มีความต่างศักย์เป็นศูนย์ ดังนั้นตัวเก็บประจุ C 4 จึงไม่ถูกชาร์จนั่นคือ สามารถยกเว้นได้และรูปแบบที่นำเสนอในเงื่อนไขของปัญหาสามารถทำให้ง่ายขึ้น (รูปที่ b)

วงจรนี้ประกอบด้วยกิ่งขนานสามกิ่งซึ่งสองกิ่งมีตัวเก็บประจุสองตัวเป็นอนุกรม

ตอบ: รวม C = 2C

ตัวอย่าง 12.7 คอนเดนเซอร์อากาศแบบแบนที่มีความจุ C 1 \u003d 4pF เรียกเก็บเงินจากความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้นยู 1 =100V. หลังจากถอดตัวเก็บประจุออกจากแหล่งจ่ายแรงดัน ระยะห่างระหว่างเพลตตัวเก็บประจุจะเพิ่มเป็นสองเท่า กำหนด: 1) ความต่างศักย์ยู 2 บนแผ่นตัวเก็บประจุหลังจากแยกออก 2) การทำงานของแรงภายนอกดันแผ่นเปลือกโลกออกจากกัน

ที่ให้ไว้: C 1 \u003d 4pF \u003d 4 ∙ 10 -12 F; คุณ 1 \u003d 100V; d 2 \u003d 2d 1

หา: 1) คุณ 2 ;2)ก.

วิธีการแก้ . ประจุของเพลตตัวเก็บประจุหลังจากตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายแรงดันไฟไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ถาม=ค่าคงที่ นั่นเป็นเหตุผลที่

C 1 U 1 \u003d C 2 U 2, (1)

โดยที่ C 2 และ U 2 ตามลำดับคือความจุและความต่างศักย์บนแผ่นตัวเก็บประจุหลังจากที่แยกออกจากกัน

เนื่องจากความจุของตัวเก็บประจุแบบแบน

จากสูตร (1) เราได้ค่าความต่างศักย์ที่ต้องการ

(2)

หลังจากตัดการเชื่อมต่อตัวเก็บประจุจากแหล่งจ่ายแรงดัน ระบบของเพลตที่มีประจุสองแผ่นถือได้ว่าปิด ซึ่งเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน: งาน A ของแรงภายนอกเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานของระบบ

A \u003d W 2 - W 1 (3)

โดยที่ W 1 และ W 2 เป็นพลังงานของสนามตัวเก็บประจุในสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้ายตามลำดับ

ระบุว่า

และ

(q – const) จากสูตร (3) เราได้รับงานที่ต้องการของแรงภายนอก

[พิจารณาว่า q=C 1 U 1 และสูตร (2)]

ตอบ : 1) U 2 \u003d 200V; 2) A \u003d 40nJ

ตัวอย่าง 12.7 ลูกบอลไดอิเล็กทริกที่มีรัศมีR=5 ซม. ชาร์จอย่างสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่น ρ=5nC/m 3 . กำหนดพลังงานของสนามไฟฟ้าสถิตที่มีอยู่ในพื้นที่รอบลูกบอล

ที่ให้ไว้: R=5cm=5∙10 -2 ม.; ρ=5nC/m 3 = 5∙10 -9 C / m 3

หา: ว.

วิธีการแก้ . สนามของลูกบอลที่ถูกชาร์จนั้นมีความสมมาตรทรงกลม ดังนั้นความหนาแน่นของประจุเชิงปริมาตรจะเท่ากันที่จุดทั้งหมดที่อยู่ในระยะเท่ากันจากศูนย์กลางของลูกบอล

อี พลังงานในชั้นทรงกลมเบื้องต้น (เลือกนอกไดอิเล็กตริกซึ่งควรพิจารณาพลังงาน) ด้วยปริมาตร dV (ดูรูป)

โดยที่ dV=4πr 2 dr (r คือรัศมีของชั้นทรงกลมเบื้องต้น dr คือความหนา);

(ε=1 – สนามในสุญญากาศ E – ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต)

เราจะพบความเข้ม E ตามทฤษฎีบทเกาส์สำหรับสนามในสุญญากาศ และเลือกทรงกลมที่มีรัศมี r เป็นพื้นผิวปิด (ดูรูป) ในกรณีนี้ การพุ่งเข้าของลูกบอลทั้งหมด ซึ่งสร้างสนามภายใต้การพิจารณา เข้าไปในพื้นผิว และตามทฤษฎีบทเกาส์

ที่ไหน

แทนที่นิพจน์ที่พบในสูตร (1) เราได้รับ

พลังงานที่มีอยู่ในพื้นที่รอบ ๆ ลูก

ตอบ: W=6.16∙10 -13 J.

ตัวอย่าง 12.7 ตัวเก็บประจุแบบระนาบกับพื้นที่ของเพลตสและระยะห่างระหว่างกัน ℓ มีการรายงานค่าใช้จ่ายqหลังจากนั้นตัวเก็บประจุจะถูกตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายแรงดันไฟ กำหนดแรงดึงดูดFระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุ ถ้าค่าคงที่ไดอิเล็กตริกของตัวกลางระหว่างแผ่นมีค่าเท่ากับ ε

ที่ให้ไว้ : เอส; ℓ; q; ε .

หา: เอฟ

วิธีการแก้ . ประจุของเพลตตัวเก็บประจุหลังจากตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายแรงดันไฟไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ q=const. สมมติว่าภายใต้การกระทำของแรงดึงดูด F ระยะห่างระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุเปลี่ยนไปโดย d ℓ . จากนั้นแรง F ก็ทำงาน

ตามกฎการอนุรักษ์พลังงานงานนี้เท่ากับการสูญเสียพลังงานของตัวเก็บประจุเช่น

. (3)

แทนที่ด้วยสูตรพลังงานของตัวเก็บประจุที่มีประจุ

นิพจน์สำหรับความจุของตัวเก็บประจุแบบแบน

, เราได้รับ

(4)

ตอบ:

ตัวอย่าง 12.7 ตัวเก็บประจุแบบแผ่นเรียบสและระยะห่างระหว่างกัน ℓ เชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ยู. กำหนดแรงดึงดูดFระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุ ถ้าค่าคงที่ไดอิเล็กตริกของตัวกลางระหว่างแผ่นมีค่าเท่ากับ ε

ที่ให้ไว้ : เอส; ℓ; ยู; ε .

หา: เอฟ

วิธีการแก้ . ตามเงื่อนไขของปัญหา แรงดันคงที่จะถูกรักษาไว้บนเพลตตัวเก็บประจุเช่น U=const. สมมติว่าภายใต้การกระทำของแรงดึงดูด F ระยะห่างระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุเปลี่ยนไปโดย dℓ จากนั้นแรง F ก็ทำงาน

ตามกฎหมายการอนุรักษ์พลังงาน ในกรณีนี้ จะเพิ่มพลังงานของตัวเก็บประจุ (เทียบกับงานก่อนหน้า) เช่น

ดังนั้น ตามนิพจน์ (1) และ (2) เราได้รับ

(3)

แทนสูตรพลังงานของตัวเก็บประจุ

นิพจน์สำหรับความจุของตัวเก็บประจุแบบแบน

, เราได้รับ

(4)

แทนค่าพลังงาน (4) เป็นสูตร (3) และดำเนินการสร้างความแตกต่าง เราพบแรงดึงดูดที่ต้องการระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุ

.

โดยที่เครื่องหมาย "-" แสดงว่าแรง F เป็นแรงดึงดูด

ตอบ :